第2课时 三角函数的概念
三角函数的概念和性质
三角函数的概念和性质三角函数是数学中的一类重要函数，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
本文将介绍三角函数的概念和性质，并对其应用进行简要探讨。
一、三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
1. 正弦函数（sin(x)）：正弦函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，描述了角度和弧度与单位圆上对应点的纵坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的纵坐标即为sin(x)。
2. 余弦函数（cos(x)）：余弦函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，描述了角度和弧度与单位圆上对应点的横坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的横坐标即为cos(x)。
3. 正切函数（tan(x)）：正切函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，定义为正弦函数与余弦函数的比值。
正切函数描述了角度和弧度与单位圆上对应点的纵坐标与横坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的纵坐标与横坐标之比即为tan(x)。
4. 余切函数（cot(x)）：余切函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，定义为余弦函数与正弦函数的比值。
余切函数描述了角度和弧度与单位圆上对应点的横坐标与纵坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的横坐标与纵坐标之比即为cot(x)。
二、三角函数的性质三角函数具有一系列的性质，这些性质对于解题和推导三角函数的各种公式都起到重要作用。
1. 周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数都是周期函数。
正弦函数和余弦函数的周期是2π，而正切函数和余切函数的周期是π。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
这表明正弦函数关于原点对称，而余弦函数关于y轴对称。
3. 余切函数关于原点对称：cot(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x)。
三角函数的概念(第二课时)+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一 情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =
那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
11
)
（3）tan(
4
6
解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645
sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9
2
（2）cos cos( 2 ) cos
sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而 的终边在 x 轴上，所以 tan 0
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：
（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为
4
是第四象限角，所以
三角函数的定义与性质
三角函数的定义与性质三角函数是数学中的重要概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、三角函数的定义三角函数是用于描述角度与弧长之间关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
1. 正弦函数（sin）：在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。
用数学符号表示为：sinθ = 对边 / 斜边。
2. 余弦函数（cos）：在一个直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比。
用数学符号表示为：cosθ = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数（tan）：在一个直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比。
用数学符号表示为：tanθ = 对边 / 邻边。
4. 余切函数（cot）：在一个直角三角形中，余切函数定义为邻边与对边之比。
用数学符号表示为：cotθ = 邻边 / 对边。
5. 正割函数（sec）：在一个直角三角形中，正割函数定义为斜边与邻边之比。
用数学符号表示为：secθ = 斜边 / 邻边。
6. 余割函数（csc）：在一个直角三角形中，余割函数定义为斜边与对边之比。
用数学符号表示为：cscθ = 斜边 / 对边。
二、三角函数的性质三角函数具有一系列的性质，这些性质在解决三角函数相关问题时起着重要的作用。
1. 周期性：所有的三角函数都是周期函数，即函数值在一定区间内重复出现。
其中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数和余切函数的周期为π。
2. 奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数和余切函数是偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域是[-1, 1]，而正切函数和余切函数的值域是实数全集。
4. 互余关系：正弦函数和余弦函数满足互余关系，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。
初中数学：三角函数
初中数学：三角函数三角函数是数学中经典的概念之一，是数学分析、数学物理、工程等领域的基础工具。
本篇文章将从初中三角函数的定义、性质、常见角度及其应用等方面进行介绍。
一、三角函数的定义1. 正弦函数正弦函数Sine，简写为sin，是一个经典的周期函数，它的周期是2π。
在数学上，正弦函数可以用一个圆上的角的对边长度与斜边长度之比来定义。
设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的正弦值为：sinα = 对边/ 斜边2. 余弦函数余弦函数Cosine，简写为cos，同样是一个经典的周期函数，它的周期也是2π。
在数学上，余弦函数可以用一个圆上的角的邻边长度与斜边长度之比来定义。
设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的余弦值为：cosα = 邻边/ 斜边3. 正切函数正切函数Tangent，简写为tan，用一个直角三角形的对边长度与邻边长度之比来描述。
设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的正切值为：tanα = 对边/ 邻边4. 余切函数余切函数Cotangent，简写为cot，是正切函数的倒数，它用邻边长度与对边长度之比来描述。
设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的余切值为：cotα = 邻边/ 对边二、三角函数的性质1. 正弦函数和余弦函数的特点正弦函数与余弦函数具有如下特点：（1）周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期均为2π。
（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
（3）取值范围：正弦函数的取值范围是[-1,1]，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。
2. 正切函数和余切函数的特点正切函数与余切函数具有如下特点：（1）周期性：正切函数和余切函数都是周期函数，周期均为π。
（2）奇偶性：正切函数是奇函数，余切函数也是奇函数。
（3）取值范围：正切函数的取值范围是R（实数集），余切函数的取值范围也是R，但余切函数的定义域不包括π的整数倍。
三、常见角度的三角函数值1. 30°、45°、60°三角函数值（1）30°角正弦函数：sin30° = 1/2余弦函数：cos30° = √3/2正切函数：tan30° = 1/√3余切函数：cot30° = √3（2）45°角正弦函数：sin45° = √2/2余弦函数：cos45° = √2/2正切函数：tan45° = 1余切函数：cot45° = 1（3）60°角正弦函数：sin60° = √3/2余弦函数：cos60° = 1/2正切函数：tan60° = √3余切函数：cot60° = 1/√32. 常用角度的三角函数值（1）0°和180°角正弦函数：sin0° = 0，sin180° = 0余弦函数：cos0° = 1，cos180° = -1正切函数：tan0° = 0，tan180° = 0余切函数：cot0° = 无穷大，cot180° = 无穷大（2）90°和270°角正弦函数：sin90° = 1，sin270° = -1余弦函数：cos90° = 0，cos270° = 0正切函数：tan90° = 无穷大，tan270° = 无穷大余切函数：cot90° = 0，cot270° = 0四、三角函数的应用1. 三角函数在直角三角形中的应用在直角三角形中，三角函数可以用来计算三角形的各个边与角。
《三角函数的概念(第二课时)》示范教学方案
《5.2.1 三角函数的概念（第二课时）》教学设计1．掌握三角函数值的符号；2．掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性．教学重点：函数值的符号、诱导公式一．教学难点：对诱导公式的发现与认识．PPT课件．资源引用：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解（一）创设情境引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？预设的师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：预设答案：因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导．（二）新知探究1．三角函数值的符号问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？预设的师生活动：由学生独立完成．★资源名称：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号★使用说明：本资源展现“三角函数值在各象限的符号”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合于教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：用集合语言表示的结果是：当α∈{β|2k π＜β＜2k π+π，k ∈Z }时，sin α＞0；当α∈{β|2k π+π＜β＜2k π+2π，k ∈Z }时，sin α＜0；当α∈{β|β=k π，k ∈Z }时，sin α=0．其他两个函数也有类似结果．设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，①tan θ＞0．② 预设的师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明． 预设答案：先证充分性．因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角． 再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力．★资源名称：【知识点解析】对三角函数值符号的理解★使用说明：本资源展现“对三角函数值符号的理解”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．2．诱导公式一问题2：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？ 师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现诱导公式一．追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？（2）你认为诱导公式一有什么作用？预设答案：（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：（1）cos 250°；（2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π； （3）tan (－672°)； （4）tan 3π．解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos 250°＜0；（2）因为4π-是第四象限角，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π＜0； （3）因为tan (－672°)＝tan (48°－2×360°)＝tan 48°，而48°是第一象限角， 所以tan (－672°)＞0；（4）因为tan 3π＝tan (π+2π)=tan π，而π的终边在x 轴上，所以tan π=0．例3 求下列三角函数值：（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）；（2）cos4π9； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π11． 解：（1）sin 1480°10′=sin (40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645；（2）9πππcos cos(2π)cos 4442=+==；（3）11πππtan()tan(2π)tan 6663-=-==． 师生活动：以上都是教科书中的例题，难度不大，可以由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．（三）课堂练习教科书练习第1，2，3，4，5题．（四）布置作业教科书习题5.2第1，3，4，5，7，8，9，10题．（五）目标检测设计1．求下列三角函数的值：（1）cos （－23π6）； （2）tan 25π6． 设计意图：考查诱导公式一，特殊角的三角函数值．2．角α的终边与单位圆的交点是Q ，点Q 的纵坐标是12，说出几个满足条件的角α． 设计意图：考查正弦函数的定义，诱导公式一．3．对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第二象限角的充要条件是________；（2）角θ为第三象限角的充要条件是________．设计意图：考查三角函数值的符号规律．。
三角函数的基本概念与关系
三角函数的基本概念与关系正文：三角函数是数学中一个重要的概念，广泛应用在几何、物理、工程等领域。
本文将介绍三角函数的基本概念与关系，帮助读者更好地理解和运用三角函数。
一、基本概念三角函数是通过三角形的边长比值定义的一组函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别记作sin(x)、cos(x)和tan(x)。
其中，x为角度。
正弦函数sin(x)定义为三角形的对边与斜边的比值，即sin(x) = a / c。
余弦函数cos(x)定义为三角形的邻边与斜边的比值，即cos(x) = b / c。
正切函数tan(x)定义为三角形的对边与邻边的比值，即tan(x) = a / b。
二、基本关系三角函数之间存在着一些基本关系，这些关系可以帮助我们在计算中相互转化三角函数。
1. 正弦函数与余弦函数的关系：根据勾股定理，我们知道c^2 = a^2 + b^2。
因此，对于任意角度x，sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
这个关系被称为三角恒等式之一，它表明正弦函数与余弦函数之间存在着一种特殊关系。
2. 正切函数与正弦函数、余弦函数的关系：利用三角函数的定义和基本关系，我们可以得到tan(x) = sin(x) /cos(x)。
这个关系可以帮助我们在计算中相互转化正弦函数、余弦函数和正切函数。
三、特殊角的三角函数值特殊角是指一些特定角度下的三角函数值，它们在计算中经常被使用。
以下是一些常见特殊角度的三角函数值：1. 0度和360度：根据定义，sin(0) = 0，cos(0) = 1，tan(0) = 0。
同时，由于正弦函数和余弦函数的周期为360度，所以sin(360) = 0，cos(360) = 1。
2. 30度和150度：在等边三角形中，对于一个边长为1的等边三角形，其角度为30度和150度。
根据定义，sin(30) = 1/2，cos(30) = √3/2，tan(30) = √3/3。
三角函数的概念
三角函数的概念三角函数是数学中一类重要的函数，与三角学密切相关。
它们被广泛应用于几何、物理、工程和计算机科学等领域中。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们是根据三角比例关系而定义的。
一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，常用符号为 sin。
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值：sinθ = 对边/斜边。
正弦函数的图像具有周期性，且在0到360度（或0到2π弧度）内，图像呈现出一条周期性波浪线。
正弦函数的取值范围在-1到1之间。
二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数是正弦函数的补充，常用符号为 cos。
在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值：cosθ = 邻边/斜边。
余弦函数的图像也具有周期性，和正弦函数的图像形状非常相似，但相位差为π/2。
余弦函数的取值范围也在-1到1之间。
三、正切函数（Tangent Function）正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，常用符号为 tan。
在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值：tanθ = 对边/邻边。
正切函数的图像具有周期性，但它与正弦函数和余弦函数的图像形状有所不同。
正切函数的取值范围是整个实数集。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他衍生的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数。
它们与正弦函数、余弦函数和正切函数之间存在特定的关系。
余切函数（Cotangent Function）是正切函数的倒数，常用符号为cot。
余切函数定义为邻边与对边的比值：cotθ = 邻边/对边。
正割函数（Secant Function）是余弦函数的倒数，常用符号为 sec。
正割函数定义为斜边与邻边的比值：secθ = 斜边/邻边。
余割函数（Cosecant Function）是正弦函数的倒数，常用符号为csc。
余割函数定义为斜边与对边的比值：cscθ = 斜边/对边。
三角函数的概念课件第二课时-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2
0
1
2 3
2
2
2
1
3
3
0
3
1
【例 3】 求下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;
解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)
+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)
y
记作tan α， 即 tan x 0
x
练习1：
3 4
1. 已知角α的终边与单位圆的交点是 - ， ,
5 5
则 sin α=
,cos α=
,tan α=
.
一、复习回顾
已知角 的终边上任意一点的坐标，求
其三角函数的值：
根据勾股定理r x 2 y 2
(3)对于任意角 ， ， ， 都有意义.( )
二、探究新知----诱导公式一
思考：当角α分别为60°,420°,-300°时,它们的终边有
什么特点?它们的三角函数值呢?
解:它们的终边重合.由三角函数的定义知,它们的三角函数
值相等.
诱
导
公
式
1
sin ( k 2 ) sin
5.2.1：三角函数的概念
第二课时
一、复习回顾
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点(，)
（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α
即y sin
（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α
5-2-1三角函数的概念(第二课时)-22-23高一上学期数学人教A版必修第一册
)
B．cosa tana＞0
D．sina＞0
分析 ，角a的终边过点(-3，-2)，则角a是第三
象限角。sina<0,cosa<0, tana>0
选C
四 课堂小结
1 三角函数的定义？
2 怎样利用角的终边上任意一点的坐标求它的三角函
数？
五 作业
p182
4,5
是_____
3 已知点P在半径为2的圆上按顺时方向做匀速运动，
角速度为1rad/s，求2s时点P所在的位置.
分析 ：
（1）16+b2 =25
b=±3
3
∵α的终边经过P(-b，4)，且cosα=- ,
5
∴ b=3
(2) α的终边经过P(-1，1 ),r= 2
sinα=
2
,cosαα
2
=−
2
,
2
tanα=-1
所以2s时，点P在该坐标系中的位置为
Q(2cos2，-2sin2)
三角函
数值的
符号
问题
y
( +
)
o
( - )
( +
y
)
x
( -
sin
)
( - )
o
( - )
y
( +
)
x
(
cos
+ )
(
-
) ( + )
o
( + )
x
( - )
tan
角α的正弦函数值的符号取决于它的终边上任意一点
的纵坐标的符号；角α的余弦函数值的符号取决于它
|P0 M0| |P M|
三角函数的概念与基本性质
三角函数的概念与基本性质三角函数是数学中重要的工具，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
它们描述了角度和直角三角形之间的关系。
本文将介绍三角函数的概念及其基本性质，帮助读者更好地理解和运用三角函数。
一、三角函数的概念三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
其中，正弦函数（sin）和余弦函数（cos）是最为常用的两个三角函数。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数表示一个角的反比例关系。
在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边长度之比。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数表示一个角的邻比例关系。
在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边长度之比。
余弦函数的定义域是实数集，值域也是[-1, 1]。
二、三角函数的基本性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数具有周期性，周期为360度（或2π）。
即在每一个周期内，正弦函数和余弦函数的值都会重复出现。
2. 正交性：正弦函数和余弦函数具有正交性质。
即在任意一段完整的周期内，两者的积分等于零。
这个性质在信号处理和傅里叶级数展开中具有重要应用。
3. 互余性：正弦函数与余弦函数是互为余弦的关系，即sin(x) = cos(90° - x)。
这个关系在数学和物理中常常用于简化问题的求解。
4. 初等周期：正弦函数和余弦函数在一个周期内具有相同的最大值和最小值，分别为1和-1。
它们的图像是周期性重复的波形，可以用于描述周期性的现象。
5. 正切函数和余切函数：正切函数（tan）表示角的正比例关系，余切函数（cot）表示角的邻比例关系。
它们的定义域是实数集，值域为整个实数集。
6. 正割函数和余割函数：正割函数（sec）为余弦函数的倒数，余割函数（csc）为正弦函数的倒数。
它们的定义域是实数集的补集，即除去正弦函数和余弦函数值为0的点。
三、应用举例三角函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 几何学：三角函数可用于计算和解析悉数值和向量之间的关系。
《三角函数——三角函数的概念》数学教学PPT课件(5篇)
一
二
三
提示:sin α=y,cos α=x,tan α= .这一结论可以推广到α是任意角.
一
二
三
2.填空如图,α是任意角,以α的顶点O为坐标原点,以α的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系.设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点.(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α;(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=cos α;(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切,记作tan α,即 =tan α(x≠0).正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.3.填空
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
判断三角函数值的符号A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)判断下列各式的符号:分析:(1)由已知条件确定出sin α,cos α的符号即可确定角α的象限;(2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(1)解析:由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二、第三象限角.由 可知cos α,tan α异号,从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.答案:C(2)解:①∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin 105°>0,cos 230°<0.于是sin 105°·cos 230°<0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 三角函数符号的判定:对三角函数符号的判定,首先要判断角是第几象限角,然后根据规律:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即可确定三角函数的符号.
三角函数的概念与基本性质
三角函数的概念与基本性质三角函数是高中数学中重要的概念之一，它与三角形的关系密切，是解决三角形相关问题的基础。
本文将介绍三角函数的概念与基本性质，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、三角函数的概念三角函数是指以角度为自变量，以某一边的长度比例为函数值的函数。
常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
以一个直角三角形为例，假设其中一个锐角为θ。
那么，正弦函数sinθ的定义为：sinθ = 对边/斜边，余弦函数cosθ的定义为：cosθ = 邻边/斜边，正切函数tanθ的定义为：tanθ = 对边/邻边。
这些定义是根据三角形中的几何关系推导而来的。
二、三角函数的基本性质1. 周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数都具有周期性。
以正弦函数为例，sin(θ+2π) = sinθ，即正弦函数在每个周期内的取值是相同的。
这一性质在解决三角函数相关问题时非常重要。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
这意味着正弦函数关于原点对称，而余弦函数关于y轴对称。
3. 互余关系：正弦函数和余弦函数具有互余关系，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。
这一性质可以通过三角函数的定义和几何关系进行推导。
4. 三角函数的范围：正弦函数和余弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，而正切函数的取值范围为全体实数。
5. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像是连续的曲线，呈现周期性变化。
正切函数的图像则是一条连续的曲线，但在某些点上有无穷大的间断点。
三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 三角函数在三角形相关问题中的应用：通过三角函数的定义和性质，可以解决三角形的边长、角度等相关问题。
例如，已知一个三角形的一边和一个角度，可以利用正弦函数或余弦函数求解其他边长或角度。
三角函数的基本概念
三角函数的基本概念三角函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于几何学、物理学以及工程学等领域。
它们与三角形的角度和边长之间的关系密切相关，并且在解决实际问题中具有重要的作用。
本文将介绍三角函数的基本概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，通常用sin表示。
在直角三角形中，正弦函数的定义为：角的对边与斜边的比值。
也就是说，对于一个角度为θ的直角三角形，其正弦值为对边长度与斜边长度的比值，即sinθ = 对边/斜边。
正弦函数的取值范围在-1到1之间。
2. 余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，通常用cos表示。
在直角三角形中，余弦函数的定义为：角的邻边与斜边的比值。
也就是说，对于一个角度为θ的直角三角形，其余弦值为邻边长度与斜边长度的比值，即cosθ = 邻边/斜边。
余弦函数的取值范围同样在-1到1之间。
3. 正切函数正切函数是三角函数中的第三种，通常用tan表示。
在直角三角形中，正切函数的定义为：角的对边与邻边的比值。
也就是说，对于一个角度为θ的直角三角形，其正切值为对边长度与邻边长度的比值，即tanθ = 对边/邻边。
正切函数的取值范围是整个实数集。
三角函数在解决实际问题中具有广泛的应用。
例如，在测量高楼的高度时，可以利用正切函数计算出斜率。
在物理学中，三角函数常用来描述波的运动、周期性现象以及振动等。
在建筑工程中，也经常使用三角函数来计算角度和距离。
除了上述基本的三角函数外，还有一些常用的相关函数，如反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
这些反函数可以帮助我们根据三角函数的值反推出对应角度的大小。
总结一下，三角函数是描述角度与边长关系的数学函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们在几何学、物理学和工程学等领域中具有重要地位，可以用于解决各种实际问题。
熟练掌握三角函数的概念和性质，对于提升数学水平和解决实际问题具有重要的意义。
本文对三角函数的基本概念进行了简要介绍，希望能对读者对此有所帮助。
三角函数的基本概念
三角函数的基本概念三角函数是数学中的重要概念，它与三角关系密切相关，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
本文将从基本概念、性质以及应用三个方面对三角函数进行探讨。
一、基本概念三角函数是利用一个角的两条直角边之间的比值关系来定义的。
设角A的两条直角边分别为a和b（a为对边，b为邻边），则常见的三角函数包括正弦函数sin(A)、余弦函数cos(A)、正切函数tan(A)。
1. 正弦函数（sin(A)）：定义为对边与斜边之间的比值，即sin(A) =a / c，其中c为斜边。
2. 余弦函数（cos(A)）：定义为邻边与斜边之间的比值，即cos(A) = b / c。
3. 正切函数（tan(A)）：定义为对边与邻边之间的比值，即tan(A) =a / b。
以上三个函数对于不同的角度A，其取值范围由-1到1，通过三角函数表可以得到具体的数值。
二、性质三角函数具有一系列的基本性质，这些性质是我们深入研究和应用三角函数的基础。
1. 周期性：正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期为2π；而正切函数则是以π为周期。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sin(A)；余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cos(A)；正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
3. 特殊值：根据角度的变化，三角函数具有一些特殊值。
例如，sin(0) = 0，cos(0) = 1，tan(0) = 0。
4. 互余关系：对于同一角度A，sin(A)和cos(A)被称为互余角，它们之间满足sin(A) = cos(90°-A)，cos(A) = sin(90°-A)。
三、应用三角函数在几何学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
以下介绍一些常见的应用：1. 几何学：利用三角函数可以计算三角形的各个边长和角度。
例如，根据已知的两边长和夹角，可以通过三角函数求解第三边的长度。
2. 物理学：在物理学中，三角函数广泛应用于描述波动、振动等现象，如正弦函数可以描述周期性的波动。
高中数学5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念第2课时三角函数值的符号及公式一课件新人教A版必
π
3
3
2
3
2
π
6
＋tan
1
2
3
3
＝ ．
2
2
π
−4π +
4
5
4
＝sin cos ＋tan cos ＝ × ＋1× ＝ ．
cos 4π +
π
3
•
•
•
•
反思领悟 利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z．
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
• ＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0°
• ＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
• 3．化简下列各式：
• (2)sin
[解]
11π
−
6
sin
11
− π
6
＝sin −2π
＝sin
＋cos
π
+
6
π
1
＋0＝ ．
6
2
12
π·tan
5
＋cos
＋cos
4π．
12
π·tan
5
2
π·tan
5
0
4π
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
√
C．第三象限角
D．第四象限角
B
[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限
角．故选B．]
1
2
3
4
2．sin (－315°)的值是(
三角函数的基本概念和性质
三角函数的基本概念和性质三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何、物理、信号处理等领域。
本文将介绍三角函数的基本概念和性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、三角函数的基本概念三角函数是以单位圆上的点的坐标值为基础定义的。
单位圆是一个半径为1的圆，以原点为中心。
对于单位圆上的点P(x,y)，其中x和y 分别为点P的横坐标和纵坐标，定义三角函数的基本比值为：正弦函数（sine）：sinθ = y余弦函数（cosine）：cosθ = x正切函数（tangent）：tanθ = y/x其中，θ表示单位圆上点P与x轴正半轴的夹角。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数具有周期性，即在一个周期内的函数值是重复的。
正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。
周期性使得三角函数在处理周期性现象时非常有用。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。
奇偶性质在简化计算和证明中起到了重要作用。
3. 诱导公式：三角函数存在一系列的诱导公式，可以用来简化函数的表示。
例如，sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ等。
这些公式常用于展开三角函数的乘积或和差形式。
4. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像为连续的曲线，呈现周期性的起伏；正切函数的图像由一系列的无穷多个断点和渐近线组成。
图像能够帮助我们直观地理解三角函数的性质。
三、三角函数的应用1. 几何学上，三角函数可用于解决各种三角形问题，如求解角度、边长、面积等。
例如，利用正弦函数可以求解不直角三角形的任意一边；利用余弦函数可以求解直角三角形的角度。
2. 物理学中，三角函数广泛应用于描述周期性的运动。
例如，调和运动的位移可以用正弦函数或余弦函数表示。
初二三角函数的定义与性质
初二三角函数的定义与性质三角函数是中学数学中重要的概念之一，它是初等数学与高等数学的桥梁，也是几何与代数的联系点之一。
在初二阶段学习三角函数的时候，我们主要要掌握三角函数的定义与性质。
本文将介绍三角函数的相关概念，并逐步分析它们的性质。
1. 三角函数的定义三角函数有两种常见的定义方法：几何定义和代数定义。
几何定义：我们可以从单位圆的角度来定义三角函数。
设角A的顶点为圆心O，终边与单位圆上点P的坐标为(x,y)，则正弦函数sin A等于点P的纵坐标y，余弦函数cos A等于点P的横坐标x，而正切函数tan A等于sin A除以cos A。
代数定义：通过单位圆，我们可以得到正弦函数和余弦函数的值。
而正切函数则可以通过正弦函数除以余弦函数得到。
这是以代数方式定义三角函数。
2. 三角函数的性质在初二阶段，我们主要需要了解三角函数的周期性、界值、奇偶性和单调性等基本性质。
周期性：正弦函数和余弦函数的周期都为2π，即sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) = cos(x)。
正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tan(x)。
界值：正弦函数和余弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1，-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
正切函数的取值范围则是整个实数集。
奇偶性：正弦函数为奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；而余弦函数为偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
正切函数没有奇偶性。
单调性：正弦函数在[0,π]和[π,2π]上是单调递增的，而在[-π,0]和[2π,3π]上是单调递减的。
余弦函数在[0,π/2]上是单调递减的，在[π/2,3π/2]上是单调递增的。
正切函数在每个周期上是单调递增或递减的。
除了上述性质以外，还有一些三角函数的重要关系需要我们掌握和理解：- sin^2(x) + cos^2(x) = 1，这是三角函数中的一个重要等式，称为三角恒等式。
三角函数的基本概念
三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的概念，被广泛应用于几何、物理、工程和计算机科学等领域。
在本文中，我们将介绍三角函数的基本概念，包括正弦、余弦和正切函数的定义及性质。
1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，用sin表示。
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即：sin(θ) = 对边 / 斜边其中，θ表示角度。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有周期性，即sin(θ + 2π) = sin(θ)，其中2π是一个完整的周期。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是正弦函数的互补函数，用cos表示。
在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即：cos(θ) = 邻边 / 斜边和正弦函数一样，余弦函数的定义域为实数集，值域也为[-1, 1]。
余弦函数也具有周期性，即cos(θ + 2π) = cos(θ)。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，用tan表示。
在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值，即：tan(θ) = 对边 / 邻边正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
与正弦函数和余弦函数一样，正切函数也具有周期性，即tan(θ + π) = tan(θ)。
4. 三角函数的关系正弦、余弦和正切函数之间存在一定的关系。
根据正弦函数和余弦函数的定义，我们可以得到以下关系：sin²(θ) + cos²(θ) = 1这被称为三角恒等式，对于所有的θ都成立。
这个恒等式揭示了三角函数之间的基本关系。
5. 三角函数的图像通过将三角函数表示为函数图像，我们可以更直观地理解其性质。
正弦函数的图像是一条周期性的曲线，始终位于y轴上下方向，波动在[-1, 1]之间。
余弦函数的图像与正弦函数相似，但相位有所偏移。
正切函数的图像则具有无穷多个渐进线，并且在π/2和3π/2等点处具有不连续性。
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第2课时 三角函数的概念
一 基础知识
1. 三角函数定义:在α的终边上任取一点(,)P x y ,它与原点的距离r = .
则sin α= ；cos α= ；tan α= (≠α )。
2. 三角函数线:如图,角α终边与单位圆交点为(,)P x y ，过P 作PM x ⊥我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α
的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
3.三角函数的正负判定： sin 0,αα>∈ ；sin 0,αα≤∈ ；
cos 0,αα>∈ ；cos 0,αα≤∈ ；
tan 0,αα>∈ ；tan 0,αα≤∈ ；
二 基础练习
1. （04浙江改）点P 从()1,0出发，沿单位圆122=+y x 顺时针方向运动3
2π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为 .
2.角α的终边上一点() 60cos 6,8--m P ，且5
4cos -=α,则=m ；=αtan . 3. 若0cos sin <⋅αα，则α在第 象限.
4.若α是第二象限角，则2tan ,2cos ,2sin
,2cos ,2sin ααααα•中能确定为正值的是 . 5．若x
x --=432cos α，角α是第二、三象限角，则x 的范围是 . 6.ABC ∆的内角满足sin cos 0,tan sin 0A A A A +>-<，则A 的范围是 .
7.函数()
3cos 2lg sin 23-+-=
x x y 的定义域是 . 三 例题
1.若α终边上有点()()08,15≠-a a a P ，求αααtan ,cos ,sin •
2.写出满足下列不等式的角x 的取值集合 ⑴03sin 2>-x ；⑵03cos 2≤-x ；⑶01sin 2>+x ；⑷01cos 2≤+x
3.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于B A ,两点，已知B A ,的横坐标分别为
552,102（1）求)tan(βα+的值（2）求βα2+的值。
(08年江苏)
4.如图所示，摩天轮的半径为40m ，O 点距地面的高度为50m ，摩天轮作匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低处．（1）试确定在时刻tmin 时P 点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70m ．
5(拓展 运用)
借助三角函数的概念证明两角和的余弦公式：()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+
四 当堂测试
1.若角α是第四象限角，且12
5tan -=α，则=αsin 2.角α的终边在直线x y 3=上，则=+ααcos sin ；=α2tan ；
3.若5
42cos ,532sin -==αα
，则角α在第 象限 4.若x
x --=432sin α，且α是三角形的内角，则x 的范围是 . 5.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合．将A B ，两点间的距离(cm)d 表示成(s)t 的函数，则d =_____，其中[]060t ∈，
．。