数与向量的乘法

AB=
1 2
a
DMC
BC=BD+DC
=(AD-AB)+DC A N B
=MbN-a=+D12Na-=DbM- 12=a12
a-b-
1 4
a=
1 4
a-b
练习 设 a、b是两个不平行的向量 若AB = 2a + 3b ,BC = 6a + 23b, CD = 4 a – 8 b .
求证：A、B、D三点共线
=3AB + 3BC A B
D
=3(AB + BC)
=3AC
AC与AE平行。
例4
ABC中，AD=
2 3
AB,DE与
BC平行交AC于E，AM是BC边上的中
线交DE于N,设AB = a,AC = b,
试用a、b分别表示向量
AE、 BC、DE、 DN、AM、AN。
C
E N
M
A
DB
求证:λ(μa ) = (λμ)a .
证明：若λ=0，μ=0，a =0 中至少 有一个成立，则求证显然成立. 如果λ、μ均不为0,且a≠0,有
|λ(μa )|=|λ||μa|=|λ||μ||a| |(λμ)a|=|λμ| |a|=|λ||μ||a| 所以：|λ(μa)| = |(λμ)a| .
如果λ、μ同号，则求证式子 两边向量的方向都与 a 同向;
（1） λ（μ ）a =（λμ ） ；a （2）（ λ+ μ） =a λ +aμ ； a （3） λ（ a+ ）b = λ +a λ 。b
证明这些运算律成立的关键， 是证明等式两边的向量的模相等， 且方向相同。为了证明这些运算律 在任何情况下都成立，还需对各种 可能的情况，做较全面的讨论。下 面针对第（1）条运算律进行证明。
反过来，若 a(a≠0)与b平行，且b的 长度是a的长度的μ倍，那么当a与b同方 向时，有b=μa;当a与b反方向时，有 b= -μa .即，若a(a≠0)与b平行，则
有且只有一个实数λ，使 b=λa。
3.向量b与非零向量a平行的 充要条件是有且只有一个 实数λ,使得 b =λa .
思考：(1)为什么规定 a ≠ 0 ? (2) 若 b = 0 情况会怎样？
如果λ、μ异号，则求证式子 两边向量的方向都与 a 反向.
综上，向量λ(μa )与（λμ）a 有相等的模和相同的方向，所以 这两个向量相等.
3.向量b与非零向量a平行的 充要条件是有且只有一个实数λ, 使得 b =λa .
对于向量a( a≠0 )、b ,如果有一个 实数λ，使 b=λa，那么a与b平行。
（2）运算律：设λ，m∈R ①λ(m a ) = (λm) a ②(λ+m) a =λa+m a ③λ(a+b)= λa+λb
（3）a∥b (a≠0) 存在唯一k(k∈R) 使k a = b
例5 如图，已知 AD=3AB,DE=3BC. 试判断AC与AE是否平行。
E
解：AE=AD + DE
C
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a -b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ ∴λ= -1 k= -λ k= -1 ∴k= -1
例3 .梯形ABCD，且|AB|=2|DC| M、N分别为DC、AB中点。 AB=a AD=b 用a，b来表示DC、BC 、MN。
解：DC=
1 2
已知非零向量 a ,请作出: a + a + a 和 (–a)+(–a) + (–a) .
分析： a a a OA B C
OC = OA+AB+BC = a+a+a = 3a a aa
N M QP PN = PQ+QM+MN =(–a)+(–a)+ (–a)
=-3a
1.定义：实数 λ 与向量 a的积是 一 个向量，记作λ a，它的长度 与方向规定如下： （1） λ a = λ a
证明：BD = BC + CD
=6a +23b +(4a – 8b) =10a + 15b =5(2a +3b)
BD = 5AB
BD与AB平行，且有公共端点B， A、B、D三点共线.
小结：实数与向量的积
（1）定义：λa ①|λa|=|λ| |a| ②当λ>0时，λa与 a 同向 λ<0时， λa与 a 反向 λ=0时，λa=0。
（2）当 λ>0时， λ 的a 方向 与 a 的方向相同；当λ<0时， λ a的方向与 a的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ向相反； λ=0时， λ =a 0
比较：2×（3 a）与（2×3）a
a
aaa
3a
A
B
C
AC = 2×(3 a)
a a a aa a
M
N
MN =（2×3）a
2×（3 a）=（2×3）a
2. 运算律：
设 λ、μ为实数， 、a 为b 向量,那么
3.向量b与非零向量a平行的 充要条件是有且只有一个 实数λ,使得 b =λa .
作用：判断两个向量是否平行，实 际上就是找出一个实数，使 这个实数能够和其中的一个 向量把另一个 向量表示出来。
例1 已知：△ABC中，AE是BC边上的中线， AB=a，AC=b。
求：AE。
A
B
E
C
例2 . 设a，b是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D三点共线，则k=___(k∈R)