10-5直接由平衡条件建立位移法基本方程

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结构力学位移法表格

结构力学位移法表格篇一：结构力学位移法解析第十章位移法10－1 概述位移法——以结点位移（线位移，转角）为基本未知量的方法。

基本概念：以刚架为例（图10-1）基本思路：以角位移Z1为基本未知量平衡条件——结点1的力矩平衡位移法要点：一分一合①确定基本未知量（变形协调）基本体系－独立受力变形的杆件②将结构拆成杆件－杆件分析（刚度方程－位移产生内力、荷载产生内力）③将结构杆件合成结构：整体分析——平衡条件——建立方程10－2 等截面直杆的转角位移方程单跨超静定梁——由杆端位移求杆端力——转角位移方程矩阵形式一、端（B端）有不同支座时的刚度方程（1）B端固定支座（2）B端饺支座（3）B端滑动支座二、由荷载求固端力（3*，4，11*，12，19，20）（1）两端固定（2）一端固定，一端简支（3）一端固定，一端滑动（可由两端固定导出）三、一般公式叠加原理杆端位移与荷载共同作用杆端弯矩：（10-1）位移法意义（对于静定、超静定解法相同）基本未知量－被动（由荷载等因素引起）→按主动计算——位移引起杆端力＋荷载的固端力→结点满足平衡正负号规则——结点转角（杆端转角）弦转角——顺时针为正杆端弯矩位移法三要素：1.基本未知量－独立的结点位移2.基本体系－原结构附加约束，分隔成独立变力变形的杆件体系。

3.基本方程－基本体系在附加约束上的约束力（矩）与原结构一致（平衡条件）10－3基本未知量的确定角位移数＝刚结点数（不计固定端）线位移数＝独立的结点线位移观察几何构造分析方法——结点包括固定支座）变铰结点铰结体系的自由度数＝线位移数――即使其成为几何不变所需添加的链杆数。

10－4典型方程及计算步骤典型方程（10－5、6）无侧移刚架的计算无侧移刚架－只有未知结点角位移的刚架（包括连续梁）（△＝0）有侧移刚架计算有侧移刚架――除结点有位移外还有结点线位移求解步骤：（1）确定基本未知量：Zi （按正方向设基本未知量）——基本体系，（2）作荷载、Zi = 1 —— MP??i=0?、Mi??i?1?图（3）求结点约束力矩：荷载——自由项RIp，及ΔJ = 1 ——刚度系数 kIJ（4）建立基本方程：[kIJ]{ Zi } + { RIp } = {0} ——附加约束的平衡条件求解Zi （Δi）(5) 叠加法作M?MP??MiZi10－5 直接建立位移法方程求解步骤：（1）确定基本未知量：Zi （按正方向设基本未知量）——基本体系，（2）写杆端弯矩（转角位移方程）（3）建立位移法方程——附加约束的平衡，求解Zi(4) 叠加法作M?MP??MiZi10－6 对称性利用对称结构对称荷载作用——变形对称，内力对称（M、N图对称，Q图反对称——Q对称）反对称荷载作用——变形反对称，内力反对称（M、N图反对称，Q图对称——Q反对称）——取半跨对称结构上的任意荷载——对称荷载＋反对称荷载10－7支座位移和温度改变时的计算一、支座位移的计算超静定结构：支座有已知位移——引起内力位移法计算：基本未知量、（基本体系）、基本方程及解题步骤与荷载作用时一样区别在于固端力——自由项：R1P——荷载引起R1C ——支座位移引起二、温度改变时的计算与支座位移相同，超静定结构：温度改变——内力固端力（相当荷(来自: 小龙文档网:结构力学位移法表格)载作用）（表11—1，5、11、15）Δt = t1 — t2 ——M图，受拉面在温度铰低一侧。

结构力学-直接由平衡条件建立位移法基本方程

Z2
P/2
用位移法分析上图时，将遇到一端固定另一端滑动的梁的内力如何确定的问题。
显然这不难用力法求解；也可以将原两端固定的梁在正对称的情况下的内力图
作出，然后截取一半即可。但此时需注意，此梁由于比原来两端固定梁短了
一半，故其相应的线刚度大了倍。此外，在正对称的荷载时用位移法求解只有
一个基本未知量，但在反对称的荷截时若用位移法求解将有两个基本未知量，
§１０－６对称性的利用
前面已经讨论过对称性的利用，并且得到一个重要的结论：对称结构在正对称的荷截作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称的荷截作用下，其内力和位移都是反对称的。在这里结论同样适用，并且同样可以分解来简化计算。如下图所示：
Z1
Z1
Z2
Z2
P
P/2
P/2
P/2
P/2
=
+
Z1
P/2
而用力法求解则只有一个基本未知量。因此，可以两种方法结合使用，在正对
称时用位移法，在反对称时用力法，比较简便。
例：
A A
a=1 a=1
未知数个数；正位3，力法6：反位6，力法3。
Z1
B I1=EI/l2
P
P/2
P/2
l1
I=EI/l
a’ A’
Z2
P/2
= +
x1 P/2 x2
L=2l1
将以上各系数代入典型方程：
6EIZ1/10 -6EIZ2/100-100=0 -6EIZ1/100+112EIZ2/1000-60=0
可解得
Z1=232。7/EI Z2=660。4/EI
由叠加法 M=M1‘Z1+M2’Z2+Mp可绘出最后的弯矩图如(h)所示。然后不

结构力学第8章位移法

结构力学第8章位移法位移法是结构力学中一种常用的分析方法。

它基于结构物由刚性构件组成的假设，通过计算结构在外力作用下产生的位移和变形，进而推导出结构的反力和应力分布。

位移法的基本思想是将结构的局部位移组合成整体位移，通过建立位移和反力之间的关系，解决结构的力学问题。

位移法的分析步骤通常包括以下几个方面：1.建立结构的整体位移函数。

位移函数是位移法分析的基础，通过解结构的运动方程建立结构的位移与自由度之间的关系。

2.应用边界条件。

根据边界条件，确定结构的支座的位移和转角值。

支座的位移和转角值可以由结构的约束条件和外力产生的位移计算得出。

3.构建位移方程组。

将结构的整体位移函数带入到结构的平衡方程中，得到位移方程组。

位移方程组是未知反力系数的线性方程组。

4.解位移方程组。

通过解位移方程组，求解未知反力系数。

可以使用高斯消元法、克拉默法则或矩阵方法等解方程的方法求解。

5.求解反力和应力分布。

通过已知的位移和未知的反力系数，可以计算出结构的反力和应力分布。

这些反力和应力分布可以进一步用于结构的设计和评估。

位移法的优点是适用范围广泛，适合复杂结构的分析。

它可以处理线性和非线性的结构，包括静力学和动力学的分析。

同时，位移法具有较高的精度和准确度，在结构的分析和设计中得到广泛应用。

然而，位移法也存在一些限制。

首先，位移法假设结构是刚性的，忽略了结构的变形和位移过程中的非线性效应。

其次，位移法需要建立适当的位移函数，对于复杂结构来说，这是一个复杂和困难的任务。

此外，位移法在处理大变形和非线性结构时可能会遭遇困难。

综上所述，位移法是结构力学中一种重要的分析方法。

它通过计算结构的位移和变形，推导出结构的反力和应力分布，为结构的设计和评估提供基础。

然而，位移法也存在一些限制，需要在具体的分析问题中谨慎应用。

01-结构力学位移法知识点小结

第8章位移法（知识点小结）一、杆端内力正负号规定（图8-1）杆端弯矩AB M 、BA M ：以绕杆端顺时针为正，逆时针为负；对结点或支座而言，截面弯矩以逆时针为正。

杆端剪力SAB F 、SBA F ：以绕微段隔离体顺时针转动者为正，反之为负。

结点转角（杆端转角）A θ、B θ：顺时针转动为正。

两端垂直杆轴的相对线位移AB ∆：以使杆件顺时针转动为正，反之为负。

图8-1 杆端内力及杆端位移的正负号规定二、等截面直杆的转角位移方程—位移法计算的基础1、由杆端位移求杆端力——形常数考虑三种不同情况：两端固定直杆、一端固定另一端铰支的直杆及一端固定另一端滑动支承的直杆。

由杆端位移求杆端内力的公式（刚度方程），如表8-1所示，这里/i EI l =。

由杆端位移求出杆端弯矩后，杆端剪力可由平衡条件求出。

表8-1中，杆端内力是根据图示方向的位移方向求得的，当计算某一结构时，应根据其杆件所受的实际位移方向，判断其杆端内力的正负号及受拉侧。

2、由荷载求固定内力——载常数对三种等截面直杆，在荷载作用、温度改变作用下的杆端弯矩和剪力，称为固端弯矩和固端剪力（载常数）。

常见荷载作用下的载常数可查表所得。

3、等截面直杆的转角位移方程对等截面直杆，既有已知荷载作用，又有已知的杆端位移，可根据叠加原理，写出其杆端力的一般表达式，这即为等截面直杆的转角位移方程。

三、位移法的基本未知量包括独立的结点角位移和独立的结点线位移。

独立的结点角位移数目等于刚结点（包括组合结点、弹性抗转弹簧）的数目。

结点线位移的数目可通过增设支杆法（或铰化体系法）来确定。

铰化体系法就是将原结构中所有刚结点和固定支座均改为铰结点形成铰接体系，此铰接体系的自由度数就是原结构的独立结点线位移数。

然后分析该铰接体系的几何组成：如果它是几何不变的，说明结构无结点线位移；相反，如果铰接体系是几何可变的，再看最少需要增设几根附加支杆才能确保体系成为几何不变，或者说使此铰接体系成为几何不变而需添加的最少支杆数就等于原结构的独立结点线位移数目。

位移法的基本结构及位移法方程

位移法方程
20kN/m
C
D
Z1
F1=0
k11 Z 1 F1P 0
A B
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a)
MP图(kN· m)
C D F1P C
b)M1图 (1/m)
D Z 1=1 k 11 C
c)
M图(kN· m)
D
(90) A -90 B C
F FQ CA = 45
1 F1P FP l 8
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k11 Z 1 F1P 0
将k11和F1P的值代入上式，解得
Z1 F1P FP l k11 64i
结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩可由叠加公式计算，即
M M 1 Z1 M P
8.4
位移法的基本结构及位移法方程
一、位移法的基本结构位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综合体。所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移 (但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“ ” 表示。所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束。
c) 基本体系 C
A Z1
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三、位移法方程
P l/2 l/2 l/2 FP lF /2
A A Z 1Z
1
C C Z1 Z
1
F1=0F1=0 FP Z1 Z1 A A Z1 Z Z1 Z1 1

直接利用平衡条件建立位移法方程

=12Z1+30
MBC=2iBC(2Z1+Z2)+0=2×4(2Z1+Z2)=16Z1+8Z2
MCB=2iCB(2Z2+Z1)+0=2×4(2Z2+Z1)=16Z2+8Z1
MBE=2iBE×2Z1+0=2×3×2Z1=12Z1
MEB=2iBEZ1+0=2×3Z1=6Z1
MCD=3iCDZ2+0=3×4Z2=12Z2
M A1 27.79 kN m
M1A 8.82 kN m
M12 8.82 kN m
M 21 0 M2B 0
MB2 11.37 kN m
与例15.3的计算结果相同。
目录
位移法\直接利用平衡条件建立位移法方程【例15.6】试直接利用平衡条件建立图a所示刚架的位移法方
程，计算各杆端弯矩，并绘制弯矩图。【解】 1）确定基本未知量。图a所示刚架为无侧移刚架，有
直接利用平衡条件建立位移法典型方程时，需要对每个杆件进行受力、变形分析，找出杆端内力与杆端位移及荷载之间的关系表达式。此关系式称为转角位移方程。
目录
位移法\直接利用平衡条件建立位移法方程
图a所示两端固定梁，受荷载作用，并在A端产
生了一转角 A ，B端产生了一转角 B ，同时A、
B两端还产生一相对线位移ΔAB ，变形如虚线所示。由叠加原理，该梁的受力、变形情况可看成由图b、c、d、e各因素单独作用叠加而成。
M 21 0
M2B 0
M B2
3iB2 3）建立位移法方程并求解。由以
上关系式可见，只要求出结点位移Z1 、 Z2 ，则可得出全部杆端弯矩。
目录
位移法\直接利用平衡条件建立位移法方程

17.位移法

φA MAB
P
q t1˚C βAB EI t2˚C B B' MBA l
A φA QAB
M AB M BA FQAB F QBA
f i A M AB f i A M BA F FQAB
0
位移法的思路
将结构的结点角位移和结点线位移作为基本未知量，固端弯矩、 ø B A C ø B B (al l 固端弯矩、固端剪力，从而将超静定结构转化为静定结构。 Z1= ø B
B 1.15
（4）计算杆端弯矩
A
40
B
62.5
D
C
9.8
M BA 43.5kN .m; M BC 46.9kN .m; M CB 24.5kN .m; M CD 14.7kN
E
3.4
9kN.m; M CB 24.5kN.m; M CD 14.7kN.m;
M BE 3.4kN .m; M EB 1.7kN .m;
φA P q MAB A φA βAB QAB t1˚C βAB EI t2˚C φB B' MBA QBA l B ΔAB
EI EI EI f M 4 2 6 Δ M AB A B AB l l l2 M 2 EI 4 EI 6 EI Δ M f A b BA BA l l l2 Q 6EI 6EI 12EI Δ Q f a b AB AB l2 l2 l3 6EI 6EI 12EI f Q AB 2 a 2 b 3 Δ QBA l l l
B
B C B
C
C
A
D
二、基本假设
1、小变形假设。 2、不考虑轴力和弯曲内力、弯曲变形之间相互影响。（采用上述假设后，图示刚架有3个基本未知量。）

位移法的基本体系.

柱
3 M 4 B 3 B 3 1.15 3.45kN m BE 4 M 4 1 2 2 (4.89) 9.8kN m CF C C 2
43.5 46.9 24.5 14.7
A
3.45
B
1.7
C 9.8
D
M图 (kN m)
k11 1=1 1 k21 2
k11×0+k21 ×1 = k12 ×1+k22 ×0
2=1
k12
2019/2/28
k21=k12
7
k22
例1、试用位移法分析图示刚架。
q=20kN/m A 4I0 B 3I0 E F 5I0 C 4I0
（1）基本未知量
D Δ 1、 Δ 2、Δ3 4m （2）基本体系计算杆件线性刚度i，设EI0=1，则
E 3.6
3.97
F
11
§6-4
无侧移刚架的计算
如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。 1、基本未知量B P=20kN q=2kN/m 2、固端弯矩
A
EI
3m 3m
B
B EI
6m
C
MAB
EI
P
B
MBC B
q
EI
Pl 20 6 mBA 15kN m 8 8 mAB 15kN m ql2 mBC 9kN m 8
M BC 4 B 2 C 41.7
2019/2/28
M CD 3 C
14
M BA 3iAB B mBA 3 B 40
M CD 3 C
梁
M BC 4 B 2 C 41.7

结构力学第七章

结构力学课件
第七章位移法
章目录第一节
第1节
7.1 基本概念
基本概念
第二节第三节第四节第五节第六节
• 为了说明位移法的基本概念,我们来分析图 ( d )所示刚架的位移.它在均布荷载 q 作用下将发生虚线所示的变形,在刚结点 C 处两杆的杆端均发生相同的转角 c (这个位移本章统一用 Z1 来表示).我们用位移
本章目录
7.1 基本概念 7.2 等截面直杆的转角位移方程 7.3 基本未知量数目的确定和基本结构 7.4 位移法典型方程及计算步骤 7.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 7.6 对称性的利用
基本要求
1.了解结构含义及结构的分类 2. 了解荷载的各种分类 3 .掌握结构计算的三个方面 4 .了解结构力学研究的具体内容和任务
法分析内力时可略去各杆的轴向变形,即认为两杆长度不变,因而结点
C 没有线位移.下面就来讨论根据 C 点的位移 Z1 来确定各杆内力.
结构力学课件
第七章位移法
章目录第一节
第1节
7.1 基本概念
基本概念
第二节第三节第四节第五节第六节结构力学课件
第七章位移法
章目录第一节第二节第三节第四节第五节第六节结构力学课件
第七章位移法
章目录第一节第二节第三节第四节第五节第六节结构力学课件
第 2 节等截面直杆的转角位移方程
7.2.3 一端固定、另一端定向支撑的单跨超静定梁
第七章位移法
章目录第一节第二节第三节第四节第五节第六节桥梁支座结构力学课件
第 3 节基本未知量数目的确定和基本结构
7.2 等截面直杆的转角位移方程

《结构力学》第八章-位移法

(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆

结构力学第8章

(h)
1 1 ∆ AB ′ θ A = θ A +θ ′′ = M AB − MBA + 3i 6i l (c) 1 1 ∆ AB ′ θ B = θ B +θ ′′ = − M AB + MBA + 6i 3i l
(2) B端为定向支承，如图(d)所示。 B端为定向支承如图(d)所示。端为定向支承， (d)所示
1. 位移法的基本未知量的数目(至少要求出多少个位位移法的基本未知量的数目( 移未知量) 移未知量) 2. 单跨超静定梁分析相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 3. 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。
在本节中，我们讨论第一个问题，在本节中，我们讨论第一个问题，位移法的基本未知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题，知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题，后面讨论。后面讨论。为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁，为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁，可以在原刚架的结点上引入某些附加约束刚架的结点上引入某些附加约束如：附加的刚臂（阻止结点转动的约束）附加的刚臂（阻止结点转动的约束）附加链杆（阻止结点线位移的约束）附加链杆（阻止结点线位移的约束）引入附加的刚臂附加链杆后使得结构的结点附加的刚臂或结点变引入附加的刚臂或附加链杆后，使得结构的结点变固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。成固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。所得的结构即为位移法计算时的基本结构位移法计算时的基本结构。结构即为位移法计算时的基本结构。而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为独立的基本未知量数目而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为基本结构时，附加的刚臂和附加链杆数目之和数目之和。基本结构时，所附加的刚臂和附加链杆数目之和。这样在确定了基本结构的同时，，在确定了基本结构的同时，也就确定了位移法的基本未知量的数目。未知量的数目。如：

位移ppt

F
l2
2
Pl 1 0
8
2 R2P
MP图
4
=-F/2
⇁2 R2P
0
25
将系数和自由项代入典型方程:
解得: 正值，Z 1、Z2与所设方向相同。由叠加法：
27
27
1552
Fl
Fl
2
552
F
60 Fl
552
3
183 Fl 552
4
66 Fl 552
M图
26
位移法计算步骤：
1. 确定基本未知量，附加约束形成基本结构； 2. 建立位移法典型方程； 3. 作各 M i图、MP图，求系数和自由项； 4. 解典型方程，得结点位移 Zi；
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5. 最后弯矩图按 M M iZi M P 叠加；
6. 内力图校核。
27
例8-1 (自学)支座A位移如图，转角=a/L，绘M图。
解：基本未知量 Z1
CI
B C Z1
B
典型方程： r11Z1+R1△=0
作
和M△图(设EI/L=i)
基本结构因支座位移产生的
固端弯矩:
2I
基本结构
A
A
4a
a
=a/1l6i C R1△
14
2) 独立线位移数

结构力学位移法详解

结构力学位移法详解结构力学是一门研究物体受力和变形关系的科学，它对于工程结构的设计和分析具有重要的意义。

结构力学包括静力学和动力学两个方面，其中位移法是解决结构静力学问题的一种重要方法。

位移法是一种基于结构位移的方法，通过建立结构的位移方程来求解结构中的受力和变形情况。

相比于应力法，位移法在简化问题过程中能够更好地处理约束条件和边界条件，使得解题更加简化和精确。

在位移法中，首先需要确定结构的边界条件，即结构的约束条件和边界条件。

然后根据结构的受力平衡和力的平衡条件，建立结构的位移方程。

位移方程是一个描述结构变形情况的方程，通过解这个方程可以得到结构的位移分布。

位移方程的建立通常需要以结构单元为基础，将整个结构分解为不同的单元进行分析。

每个单元之间通过节点连接，将力和位移传递给下一个单元。

而每个单元的位移方程则可以通过应力-应变关系、平衡方程和简化条件得到。

在求解位移方程时，常常使用有限差分法、有限元法或弹性力学公式等数值方法来近似求解。

这些数值方法将结构离散化，并通过数值计算得到结构的位移分布。

在得到结构的位移分布后，可以进一步计算结构的应力和应变分布，以及其它受力和变形相关的参数。

这样，就可以对结构的安全性和机械性能进行评估和优化。

总结起来，位移法是通过建立结构的位移方程来求解结构静力学问题的一种方法。

通过分析结构的位移分布，可以得到结构的应力和应变情况，进而评估结构的安全性和机械性能。

在实际工程问题中，位移法经常用于分析和设计各类结构，具有重要的实际应用价值。

位移法结构力学知识点概念讲解

位移法1.概述力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。

力法在19世纪末就已经应用于各种超静定结构的分析。

随后，由于钢筋混凝土结构的出现，大量高次超静定刚架逐渐增多，如果仍用力法计算将十分麻烦。

于是20世纪初又在力法的基础上建立了位移法。

力法的基本思路是先解除超静定结构上的多余约束，代之以多余未知力，以多余未知力为基本未知量，一般取静定结构为基本结构进行计算。

利用位移协调条件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后进一步求出结构的内力。

位移法的基本思路和力法相反。

位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以单跨超静定梁为计算的基本单元。

先设法确定出单根杆件的杆端内力，用杆端位移来表示，这些杆端位移应与其所在结点的其他杆端位移相协调。

然后用力的平衡条件建立位移法基本方程，确定出未知的结点位移,从而进一步求出整个结构的内力。

为了说明位移法的基本概念，我们来分析图1a所示的刚架位移。

（a）原结构（b）基本结构图1在荷载作用下，刚架产生的变形如途中虚线所示，设结点B 的转角为1∆，根据变形协调条件可知，汇交于结点B 的BA 杆、BC 杆两杆端也该有同样的转角1∆。

为了简化计算，在受弯杆件中，忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响，假设弯曲变形很小，因此可以假定结构变形后受弯杆件的两端之间的距离不变。

根据这些假定，B 结点就只有角位移没有线位移。

这样1b B 我们将第一步和第二步的结果叠加，得到的基本结构的变形和原结构一致。

我们注意到原结构在B 点并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，所以可得11F ＋P F 1＝0 （1）这里的11F 是基本结构在B 点发生转角1∆时，产生在附加刚臂中的反力矩。

用11k 来表示基本结构在B 点处发生单位转角1∆＝1时，产生在附加刚臂中的反力矩，则式（1）可以写成01111=+∆P F k （2）式(2)我们称为位移法基本方程。

11k 、P F 1我们可以用上一章学习的力法确定，然后我们可求出1∆，进而求出原结构的全部内力。

8.4 位移法的基本结构及位移法方程

8.4
位移法的基本结构及位移法方程
一、位移法的基本结构位移法的基本结构就是通过增加附加约束（位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附加支座链杆）得到的三种基本超静定杆的综臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综合体。合体。所谓附加刚臂，所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移 (但并不阻止其线位移的附加约束，用黑三角符号“ ” 但并不阻止其线位移)的附加约束但并不阻止其线位移的附加约束，用黑三角符号“ 表示。表示。所谓附加支座链杆，所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束。其线位移的附加约束。
F1P = FQFCA + FQFDB = 45 + 0 = 45 kN
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C
D
F1P
C
D
Z 1=1 k 11
C
D
(90) A -90 B C
F FQCA = 45
(90) A EI 12 C EI 72 EI 12 D EI 72 k 11 B 225 A 135 B
F1P A
FP C
c)
B
基本体系
B
d)
锁住结点
F11
基本结构在结点位移Z 基本结构在结点位移 1和荷载共同作用下，载共同作用下，刚臂上的反力矩F1必定为零必定为零（）。力矩必定为零（图c）。
Z1 A Z1 Z1
C
F1 = F11 + F1P = 0

结构力学课件位移法典型方程

第六章位移法
6.3 位移法的典型方程
Canonical equations of displacement method
1. 位移法基本方程的建立
两种途径：典型方程法：将杆端力视为各影响因素单独作用效果的叠加，由此借助平衡条件建立位移法方程。（讲授）
直接平衡法：直接利用转角位移方程，按照结点或截面的平衡条件建立位移法方程。（自学）
······ rn1Z1 + r n2Z2 + ···+ rnnZn + RnP = 0
可用矩阵表示为：[r]{Z} +{RP} = {0}
位移法方程的物理意义：基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零。
[r]{Z} +{RP} = {0}
式中： rii 为基本结构仅在单位结点位移Zi =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力; rij 为基本结构仅在单位结点位移Zj =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力（i≠j） RiP 为基本结构在荷载单独作用（结点位移都锁住）时，在附加约束 i 中产生的约束力
EI Z2
FP
EI
EA
l
2EI EI l
l
r21
3i/l
12i/l
12i/l
3i/l
Z2=1
Z1=1 r22
r11
3i
M1
4i
Z1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r12
M2
R2P FP
R1P
MP
0.24FPl
M
0.39FPl 0.13FPl
r11 30i / l 2
10kNm
2EI

位移法原理、计算方法及应用

结构的变形是微小的。
忽略杆件的轴向变形和剪切变形，即各杆端之间的轴向长度尺寸在变形后保持不变。
（2）.
（1）
结点线位移的弧线可用垂直于杆
件的切线来代替。
（3）
2.内力的正负规定杆端弯矩对杆端而言以顺时针转向为正（对结点或支座而言，则以逆时针转向为正）；杆端转角以顺时针转动为正；杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移（也称侧移）以使整个杆件顺时针转动为正。
移法典型方程
设该刚架中附加刚臂上的总反力矩为R1 ，附加杆件上的总反力为R2 :
R1 R11 R12 R1P R2 R21 R22 R2 P
又因原结构并无附加刚臂和水平附加杆件，故应有位移法的基本方程为
R1 0 R2 0
14.5.2 位移法典型方程
M BA为正 M AB为负
B为负
Δ为正
3.转角位移方程
位移法是以单跨超静定梁作为它的计算单元单跨超静定梁的支承情况一般可以分为以下三种：
1）两端固定梁
6i P M AB 4i A 2i B Δ M AB l 6i P M BA 4i B 2i A Δ M BA l 6i 6i 12i FSAB A B 2 Δ FSP AB l l l 6i 6i 12i FSBA A B 2 Δ FSP BA l l l
R1 R11 R12 R1P 0 R2 R21 R22 R2 P 0
Rik表示在附加约束上产生的反力（或反力矩），第一个下标表示发生反力（或反力矩）的位置，第二个下标表示产生此反力（或反力矩）的原因。
设
R11 r11Z1

结构力学位移法

熟记一些常用的形常数和载常数。掌握利用对称性简化计算。掌握荷载作用下超静定结构的计算，位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和直接平衡方程法。
.
超静定结构计算
满足基本假设的几何不变体系在一定外因作用下内力和位移的物理关系是一一对应的；力满足平衡条件；位移满足协调条件。
当以多余未知力为基本未知量作为突破口时采取的方法就是力法；当以某些结点位移作为基本未知量作为突破口时采取的方法就是位移法。
FP
位
DA伸长：2 2
移分析
DC伸长： 2
由材料力学可知：
2
EA FNDB L
FNDA FNDC
.
EA 2L
2 2
杆端力与杆端位移的关系
由结点平衡： Y 0
NDA
NDB
NDC
FNDB
2 2
FNDC
2 2
FNDA
FP
建立力的平衡方程
D Fp
EA(2 2L
2 ) FP
由方程解得： 2PL
.
例7：
A EA=∞
C
B
排架结构，有两个铰结点A、B，
由于忽略轴向变形，A、B两点的竖
向位移为零，A、B两点的水平位移
D 相等，因此该结构的未知量为： A B
例8：
A
EA=∞
B
C
D
E
F
G
AB DC c
.
例9： D
D
C
E
C
E
该题的未知量为
C D E C HD V
A
B
A
B
对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。