平衡微分方程的适用范围
微分方程的平衡点及稳定性分析
者 可 以不 一致 ， 比如 说 ， 线性 近 似方 程 的平衡 点 为 中心 时 ， 用其 它 的方 法来判 断（ ） 要 ４ 式平 衡 点 的稳
１２ 判 定 平 衡 点 稳 定 性 的 方 法 ．
① 间接法 ： 定义３ 的方法称为间接法。 ②直接法 ： 不求方程式（ 的解 ） １ ） ０的方法 ， 称
为直接法。 方法： 在 将 ） 。 处作泰勒展开， 只取一
次项 ， 有微 分方 程 （ ） 近似 为 １可
变化规律 ， 预测它的未来形态时 ， 要建立对象 的动 态模 型 ， 常 要用到 微分方 程模 型 。 通 而稳 定性 模 型 的对象仍是动态过程 ，而建模 的目的是研究时间 充分 长 以后 过程 的变 化趋 势— — 平衡 状 态是 否 稳 定。 稳定性模型不求解微分方程 ， 而是用微分方程
） ） （） １
①羞 ０ ０则称 ）， ＜ 。 为方程（和（的稳定的 １ ３ ） ） 平
衡点。
ｏ 则称 为方 程（） ３的不稳 定 的平 ， １和（） 衡点。
定义２ 代数方程 ） 的实根 。 ： ＝ ０ 称为微分方
程（） １的平衡 点 。 定 义 ３从 某 领 域 的任 意 值 出发 ， 方 程 （ ） ： 使 １
。 ｏ 作 泰勒 展 开 ， ，） ｙ处 只取 一 次项 ， （在 Ｐ 。 。 得 ４ ） ０ ，） Ｙ
的线 性近 似方 程 为 ：
贝 ） 却 ｒ０ 则根据定理 １ｘ Ｏ Ｉ ＝＞ ， ， 是不稳定的平衡 ＝
点 ． Ｉ 一ｒＯ 是稳定的平衡点。 厂） ＜，
分 析 ： 平衡 点 的稳 定性 来 看 ， 从 随着 时 间 的推 移 ， 口的增 长在 人 处 趋于 稳定 ， 也就 是人 口达
物质平衡微分方程在油(气)藏水侵计算中的应用
物质平衡微分方程在油(气)藏水侵计算中的应用物质平衡微分方程是一种研究物质变化的数学模型，它可以用来描述物质在油(气)藏中的运动。
它基于物质守恒的原理，即物质在油(气)藏中的总量是不变的，只有它的形态和分布会发生变化。
物质平衡微分方程可以用来描述油(气)藏中物质的变化，以及油(气)藏中物质的流动情况。
它还可以用来研究物质在油(气)藏中的水侵运动，从而更好地了解油(气)藏的物质变化情况。
2. 油(气)藏水侵计算的基本模型油(气)藏水侵计算的基本模型是基于物质平衡微分方程，其中包括了渗流方程、热传导方程和物质平衡方程。
渗流方程用来描述油(气)藏内部的渗流状况，热传导方程用来描述油(气)藏内部的热传导状况，而物质平衡方程则用来描述油(气)藏内部的物质平衡状况。
这三个方程组合起来，可以建立出一个完整的油(气)藏水侵计算模型，用来模拟油(气)藏内部的水侵过程。
物质平衡微分方程可以用来模拟油(气)藏水侵的过程，它可以模拟油层中油水界面的运动，以及油水两相流动的情况。
物质平衡微分方程可以用来求解油水界面的位置，以及水侵的速度和方向。
此外，物质平衡微分方程还可以用来模拟油水两相流动的情况，以及油水界面的运动。
物质平衡微分方程还可以用来求解油水界面的位置，以及油水两相流动的情况。
此外，物质平衡微分方程还可以用来模拟油水界面的运动，以及油水界面的位置变化。
通过对油水界面的位置变化和油水两相流动的情况进行模拟，可以获得有关油(气)藏水侵的结果。
4. 油(气)藏水侵计算的数值解法油(气)藏水侵计算的数值解法主要包括有限差分法、有限元法和蒙特卡罗法。
有限差分法是采用网格结构，将油藏水侵计算的物质平衡微分方程进行离散化，然后求解离散的方程组，从而求解油藏水侵的数值解。
有限元法是将物质平衡微分方程区域化为网格，并将每个网格上的函数用元函数表示，然后求解元函数的系数，从而求解油藏水侵的数值解。
蒙特卡罗法是采用随机算法，将物质平衡微分方程转换为积分方程，然后采用抽样法求解积分方程，从而求解油藏水侵的数值解。
静止流体平衡微分方程
静止流体平衡微分方程1. 介绍在研究流体力学中，平衡是一个重要的概念。
平衡状态下，流体内部的各个点没有运动，即静止流体。
在静止流体平衡的研究中，微分方程起着关键作用。
本文将介绍静止流体平衡微分方程的概念、原理和应用。
2. 静止流体的性质静止流体的性质可以通过一系列基本概念来描述。
首先是流体的密度，表示流体单位体积的质量。
其次是流体的压强，表示单位面积上的力。
还有流体的重力加速度和外力的作用等。
静止流体中的压强分布可以沿着流体的竖直方向进行研究。
对于一根垂直柱状的静止流体，在竖直方向上，压强随深度的增加而增加。
这是由于上方的流体对下方的流体产生了压力，使得下方的压强更高。
3. 静止流体平衡微分方程的原理静止流体平衡微分方程描述了静止流体内部各点的平衡条件。
该方程是基于流体力学和力学平衡原理推导得出的。
首先，根据传统的力学平衡原理，任意一个静止流体内的点所受到的合外力为零。
这个外力可以分为两部分：流体受到的压力和其他可能作用在流体上的力。
因此，静止流体的平衡方程可以写成以下形式：∑F = ∑P + ∑F_other = 0其中，∑F表示所有作用在流体内各点的合外力，∑P表示流体内压力的合力，∑F_other表示其他可能作用在流体上的力的合力。
根据流体力学的原理，压力作用在过流体内某一点的垂直方向，所以∑P可以写成以下形式：∑P = -∇P其中，∇P表示压力梯度，代表压力沿着任意方向的变化率。
通过解析力学的推导，可以得到静止流体平衡微分方程的一般形式为：∇P + ρg = 0其中，ρ表示流体密度，g表示重力加速度。
这个方程表达了静止流体内部各点压强和重力场之间的关系。
4. 应用静止流体平衡微分方程在很多领域中都有重要应用。
以下是几个常见的应用场景：4.1. 液体静力学静止液体的行为可以通过静止流体平衡微分方程来研究。
通过对方程的求解，可以获得液体内部压强分布的信息，进而了解液体在容器中的分布情况。
这对于设计和优化容器的结构和功能具有重要意义。
微分方程在实际中的应用
微分方程在实际中的应用【摘要】本文通过举例，说明了微分方程在生物、经济、物理等交叉学科中的作用，进一步揭示了掌握微分方程理论知识的重要性。
【关键词】竞争种群;供求均衡;混沌一、微分方程的基本概念：表示自变量、函数、导函数关系的等式称为微分方程，如果函数只有一个自变量，那么称其为常微分方程（ODEs），若函数有多个自变量，称其为偏微分方程（PDEs）。
只含一阶导数的微分方程称为一阶微分方程，含有阶导数的方程称为阶微分方程，阶微分方程通过变换可以化成由个一阶微分方程构成的方程组;如果函数和它的导函数都是一次的微分方程称为线性微分方程，否则称非线性微分方程。
二、在生物种群模型中的应用：两个竞争种群A、B在时刻密度分别为和，和是关于时间的连续可微函数。
种群A、B不断繁殖导致密度变化，而由于A、B之间相互竞争，导致它们各自作为对方的食饵而相互抵消，这样影响它们各自密度变化率的有两个因素：一是自身的增长消亡，二是相互竞争导致的消亡。
由此有了下面著名的V olterra模型：这里，和分别表示了在时刻种群A、B的密度变化，分别为A、B的自然增长率，表示它们自身的消亡。
而、表示A、B的内禀增长率，表示在B的影响下，种群A的减少程度;表示在A的影响下，种群B的减少程度，且要求系数均是大于0的常数。
这是一个一阶非线性常微分方程组，它的平衡点为A、B、C、P，当时，平衡点P具有生态意义，即它是渐进稳定的正平衡点，当时，，说明在一定条件下经过长期竞争后，可以使种群A、B 密度（数量）趋于稳定。
三、在数量经济中的应用：在完全市场竞争条件下，商品价格由供求关系决定，即商品在时刻的供给量及需求量与时刻的商品价格有关，假设供给函数与需求函数分别为，其中，均为常数，且。
则供求均衡的静态模型为，此时均衡价格为。
假设初始价格为，而时刻价格变化率与供求量的差值成正比，即有这是一个一阶线性常微分方程的初值问题，其中为比例常数，，这个方程的解为由于，则，即最终供求平衡使得商品价格达到一个稳态。
弹塑性力学 4 平衡微分方程和边界条件汇总
平衡微分方程
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
微分平行六面体单元
平衡微分方程
x
x
yx
y
zx
z
Fbx
0
xy
xLeabharlann yyzyz
Fby
0
z
x
yz
y
z
z
Fbz
0
切应力互等定理
ij ji
ij ,i Fbj 0
真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足
变形连续条件。
位移边界条件 边界位移已知——位移边界Su
uu vu ww
位移边界条件就是弹性体表面的变形协调
弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等
混合边界条件 弹性体边界
S＝S＋Su
部分边界位移已知——位移边界Su 部分边界面力已知——面力边界S 不论是面力边界条件，位移边界条件， 还是混合边界条件，任意边界的边界条件
边界条件
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。
边界面力已知——面力边界S
面力边界条件—— Fsj ijni
确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于 边界的应力分量的关系。
面力边界条件描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。 这种平衡只是静力学可能的平衡。
数必须等于3个。
例：确定平面问题应力边界条件
q
O
x
α
α F
l
y
y=0边界面上
x 0
q
y
q l
x
O
x
xy 0
α
欧拉平衡微分方程的物理意义
欧拉平衡微分方程的物理意义
欧拉平衡微分方程在许多物理领域均有着重要的应用，主要用来描述物理系统在动态变化过程中的状态。
这种微分方程形式简洁明了，易于理解和计算。
"欧拉平衡微分方程" 的数学形式通常表示为d^2x/dt^2 = f(x)，其中x代表物理
状态，t代表时间，f(x)是一个关于x的函数。
它可以描述许多复杂的动态系统，如机械振动、电子振荡、量子力学等。
欧拉平衡微分方程其基本的物理意义是描述
有关物理量（如面积、长度、角度）与其对应的变化率之间的关系。
对于实物动态系统，欧拉平衡微分方程可用于近似描述系统的动态行为。
例如，欧拉平衡微分方程可以用于描述摆动、弹跳、振荡等动态现象。
在这些情况下，方程的解就代表了物体的运动轨迹，即其在某一特定时间点的状态。
在量子力学领域，欧拉平衡微分方程常常应用于描述粒子的波动行为。
例如，薛定谔方程就是一个特殊形式的欧拉平衡微分方程，用于描述粒子在量子态下的
运动。
在这种情境下，方程的解给出了粒子的波函数，即其在量子意义上的“位置”。
简言之, 欧拉平衡微分方程的物理意义在于研究物理过程中各物理量之间的变
化关系，尤其适用于描述动态系统。
其解极大地帮助人们理解和预测物理世界的行为。
弹塑性力学 4 平衡微分方程和边界条件
q
O α α
x
F
y
l
这种平衡只是静力学可能的平衡。 真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足
变形连续条件。
位移边界条件
边界位移已知——位移边界Su
u u
vu
ww
位移边界条件就是弹性体表面的变形协调
弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等
混合边界条件 弹性体边界 S＝ S ＋ S u 部分边界位移已知——位移边界Su
切应力互等定理
ij ji
边界条件
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。 边界面力已知——面力边界S
面力边界条件——
Fsj ij ni
确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于 边界的应力分量的关系。
面力边界条件描述弹性体表面的平衡，
平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。
微分平行六面体单元
平衡微分方程
yx zx x Fbx 0 x y z
ij , i Fbj 0
xy y zy Fby 0 x y z yz z z Fbz 0 x y z
部分边界面力已知——面力边界S
不论是面力边界条件，位移边界条件， 还是混合边界条件，任意边界的边界条件
数必须等于3个。
Байду номын сангаас 例：确定平面问题应力边界条件
q O x
α α
F y l
y=0边界面上
x 0
q y x l xy 0
q O x
α α
F y
l
y=xtg α边界面上
x sin xy cos 0
流体平衡微分方程式
6
Pz
pz
1 dxdy 2
Pn pndAn （dAn为BCD的面积）
除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量
力，该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的
平均密度为ρ，而微元四面体的体积为dV=dxdydz/6，则微
元四面体流体微团的质量为dm=ρdxdydz/6。假定作用在流 流体上的单位质量力为 f ，它在各坐标轴上的分量分别
2020/3/25
4
其上的力是平衡的
现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关
系。由于静止流体中没有切应力，所以作用在微元四面体
四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所
取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认
为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、
ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为px、py、
式，即：
z1
p1
g
z2
p2
g
（2-10）
2020/3/25
23
P0
P2 P1 Z1 Z2
图2-5 推导静力学基本方程式用图
2020/3/25
24
为了进一步理解流体静力学基本方程式，现在来讨论 流体静力学基本方程的物理意义和几何意义
1.物理意义
从物理学可知，把质量为m的物体从基准面提升z高度 后，该物体就具有位能mgz，则单位重量物体所具有的位 能为z(mgz/mg=z)。所以式(2-9)中z的物理意义表示为单位
（2-4）
2020/3/25
16
此式称为压强差公式。它表明：在静止流体中，空间点的 坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp， 压强的增量取决于质量力。
圆柱坐标系平衡运动微分方程
圆柱坐标系平衡运动微分方程
圆柱坐标系是三维空间中的一种坐标系，它由径向坐标 (r)、方位角坐标(θ) 和高度坐标 (z) 组成。
在圆柱坐标系中，平衡运动微分方程是描述系统在平衡状态下的运动方程。
平衡状态下，系统的受力和受力矩为零，因此微分方程可以通过平衡条件来推导。
首先，我们可以用牛顿第二定律来描述平衡状态下的运动微分方程。
在圆柱坐标系中，牛顿第二定律可以写成：
∑F_r = m(a_r rθ^2)。
∑F_θ = m(rα + 2θ'v_r)。
∑F_z = ma_z.
其中，∑F_r、∑F_θ 和∑F_z 分别表示径向、方位角和高度方向上的受力；m 是物体的质量；a_r、α 和 a_z 分别表示径向、方位角和高度方向上的加速度；r 和θ 分别表示径向和方位角坐标；v_r 和θ' 分别表示径向速度和角速度。
根据系统的几何形状和受力情况，可以列出径向、方位角和高
度方向上的受力平衡方程。
这些方程可以是由系统的几何形状和受
力情况决定的，例如重力、弹簧力、摩擦力等。
然后，将这些受力
平衡方程代入牛顿第二定律的表达式中，就可以得到系统在平衡状
态下的运动微分方程。
另外，还可以利用能量方法和动量方法来得到平衡状态下的运
动微分方程。
能量方法通过系统的动能和势能之间的关系来得到微
分方程，而动量方法则通过系统的动量守恒定律来得到微分方程。
总之，在圆柱坐标系中，平衡运动微分方程可以通过牛顿第二
定律、受力平衡方程、能量方法和动量方法等多种途径来推导得到。
不同的方法适用于不同的系统和问题，选择合适的方法对于解决问
题非常重要。
弹性与塑性力学基础-第3章平衡微分方程及应变协调方程
§3-3 二维极坐标系下的平衡微分方程
3.3.2 二维极坐标系下的平衡微分方程的建立 ➢ 微分体切向平衡方程
ddrdrr
r d(rd)rd
rrdr r ddrd2 rdrd2 Krddr0
➢ 用r代替r ，简化以后，除以rddr，再略去微量，得
1 r rr2rrK0
2 x y 2
2 y x2
2 xy xy
2 y z2
2 z y 2
2 yz yz
➢ 当六个应变分量
2 z x2
2 x z2
2
2 x yz
x
2 xz
zx yz x
xz y
xy z
(3-7)
满足以上应变协 调方程(3-7)时，
2 2 y zx
y
弹性与塑性力学基础
第三章
平衡微分方程及应变协调方程
2020/10/13
弹性与塑性
力 学 基 础 第三章 平衡微分方程及应变协调方程
§3-1 平衡微分方程的概念
3.1.1 平衡微分方程的概念 3.1.2 平衡微分方程的建立
§3-2 二维直角坐标系下的平衡微分方程
3.2.1 平面应力状态 3.2.2 平面应变状态
➢ 通过中心C并平行于z轴的直线为矩轴，力矩平衡方程 MC＝0：
xy xxyd x d y1d 2 xxd y y1d 2x
yx y yxd y d x 1d 2 yyd x x 1d 2 y0
将上式除以dxdy，得到ຫໍສະໝຸດ y1 2xyx
dx
=
yx
1 2
yx
x
dy
2020/10/略13 去微量，(亦即dx、dy都趋于零时)，得出
[平衡微分方程的适用范围]平衡微分方程
![[平衡微分方程的适用范围]平衡微分方程](https://img.taocdn.com/s3/m/0afa597caf45b307e87197ea.png)
[平衡微分方程的适用范围]平衡微分方程平衡微分方程的适用范围弹性力学、塑性力学、弹塑性力学。
张量:怎样判断？商判则：和任意矢量点积为K-1阶张量的量一定为K 阶张量。
能否满足分量转换规律是判断某个数的集合是否表示一个张量的基本准则。
3、n 维张量的举例标量零阶张量，矢量为一阶张量，应力、应变为二阶张量，应力、应变之间的弹性关系可用四阶张量表示。
4、▽的意义？▽为一个梯度，▽2为调和算子，▽4为重调和算子。
5、柯西应变张量与格林应变张量的区别？柯西应变张量适用于线弹性小变形，格林应变张量适用于任何情况。
6、任意斜面上的应力的本质是？平衡微分方程和转轴公式。
7、如何描述正应变，剪应变，体积应变，应力的球张量，应力的偏张量？对于各向同性材料，正应力引起正应变，引起线元长度变化；剪应力引起剪应变，引起角度的变化；应力的球张量，只引起体积变化，不会引起形状的变化；应力的偏张量，只引起形状变化，不会引起体积的变化。
动力学的平衡微分方程如何表示？根据达朗贝尔原理，把惯性力当作体力来满足力平衡和力矩平衡条件。
9、转轴公式的理论依据:柯西公式。
10、等效应力、等效应变物理意义、公式：等效应力将6个应力分量的对变形体的作用，等效于一个单向拉伸力的作用；等效应变将6个应变分量等效于一个单向拉伸力所产生的应变。
利用实验，就可以直接建立等效应变与等效应力的数值关系11、体积不可压：从体积弹性模量来看，当时，K 趋向于无穷大，也就是说体积变化无限小，即表示体积不可压缩。
12、为什么等值拉压是纯剪切等值拉压时，线元只有角度发生变化，长度有发生变化，故等值拉压是纯剪切。
13、里茨和伽辽金法的物理思想均是利用利用最小势能原理，寻找满足约束边界条件的试验函数。
14、弹性力学为什么可用逆解法、半逆解法：解的唯一性定理表明，无论用什么方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。
15、叠加原理建立在什么条件下：基本方程和边界条件满足线弹性条件，举例：在线弹性条件下，复杂问题可通过简单叠加处理。
常微分方程平衡点
常微分方程平衡点常微分方程的平衡点是指系统在某一特定时刻状态不再发生变化，即系统达到了动态平衡的状态。
一般来说，平衡点是使得微分方程等式两端为零的解，对应于系统在某个特定状态下的平衡。
对于一阶常微分方程，平衡点可以通过求解微分方程等式两端为零的方程得到。
以一阶线性微分方程为例，一般形式为dy/dt=f(y)，其中f(y)是关于y的函数。
令dy/dt=0，可得f(y)=0，这个方程的解即为平衡点。
对于非线性微分方程，平衡点的求解可能会更加复杂。
需要使用一些常见的技巧和方法进行求解。
以下是一些常见的方法和技巧，可以辅助求解常微分方程的平衡点：1. 变量分离法：对于一些可以通过分离变量的方程，可以将变量分离到等式的两侧，然后分别积分得到解。
在求解过程中，可以找到使得dy/dt=0的解，得到平衡点。
2. 线性代数方法：对于一些线性微分方程，可以将其转化为矩阵形式，然后使用线性代数的方法求解特征值和特征向量。
特征值为零的特征向量对应于平衡点。
3. 奇点分析法：对于一些非线性微分方程，可以通过奇点分析的方法来求解平衡点。
奇点分析的基本思想是将微分方程转化为更简单的形式，以便求解。
在求解过程中，找到使得系统不可解的奇点，即为平衡点。
4. 线性化方法：对于一些非线性微分方程，可以使用线性化的方法来近似求解平衡点。
线性化方法将非线性系统线性化为类似于线性系统的形式，然后求解线性系统的平衡点。
总之，求解微分方程的平衡点是对微分方程进行解析求解的重要步骤之一。
通过选择合适的方法和技巧，可以辅助求解微分方程的平衡点，进而研究系统在不同状态下的稳定性和行为。
《弹性力学教学课件》2-2平衡微分方程
平衡微分方程描述了物体内部各点在受力平衡状态下的应力分布 规律。
反映变形与力的关系
通过平衡微分方程，可以反映物体内部的变形与力的关系，以及变 形与位移的关系。
预测物态变化
在一定条件下，平衡微分方程可以用于预测物体的稳定状态和失稳 条件，以及可能的物态变化。
03
平衡微分方程的应用
效应，如应变硬化或软化。
非线性屈服准则
02
与非线性平衡微分方程相结合，用于描述材料在达到屈服点后
的行为。
非线性边界条件
03
在某些情况下，需要考虑非线性边界条件，耦合的平衡微分方程
01
热-弹性平衡微分方程
将温度场与弹性场耦合，描述了热膨胀和热应力等现象。
02
流体-弹性耦合平衡微分方程
平衡微分方程的数学表达
80%
数学表达式
根据推导结果，平衡微分方程通 常表示为关于位移、应力和应变 等变量的偏微分方程。
100%
形式多样
根据具体问题，平衡微分方程可 以有不同的形式，如平面问题、 轴对称问题等。
80%
求解方法
平衡微分方程的求解方法包括解 析法和数值法，如有限元法、有 限差分法等。
平衡微分方程的物理意义
弹性力学主要研究物体的应力、应变和位移等物理 量，以及它们之间的相互关系和变化规律。
平衡微分方程在弹性力学中的重要性
平衡微分方程是解决弹性力学 问题的基础，通过求解该方程 可以获得物体的应力分布、应 变和位移等物理量。
平衡微分方程是弹性力学的基 本方程之一，它描述了弹性物 体在力的作用下保持平衡状态 的条件。
数值法求解平衡微分方程
数值法
通过离散化方法将连续的 平衡微分方程转化为离散 的数值形式，通过迭代或 直接求解得到近似解。
工程流体力学2.2流体平衡微分方程
与静压强的合力相平衡。
适用范围
静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。
它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其 他计算公式都是从此方程组推导出来的。
第二节 流体平衡微分方程
二、压强差公式
fx
1
p x
0
乘以dx
f xdx
1
p dx x
0
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
同理得
1 p
f x x 0
1 p
f y y 0
1 p
fz z 0
写成矢量形式
f
1
p
0
流体平衡微分方程式 欧拉平衡微分方程式
第二节 流体平衡微分方程
f
1
p
0
物理意义
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导) 垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为
平衡微分方程
平衡微分方程
平衡微分方程是指在一个系统的各方面存在着平衡状态时的微分方程。
平衡状态指的是系统的各个部分性质保持不变，即系统不发生任何变化。
平衡微分方程是通过对系统的各个部分进行微分运算，从而得到系统在平
衡状态下的特定方程。
例如，在化学反应中，当反应达到平衡状态时，反应物和生成物的浓
度不再发生任何变化，此时化学反应的微分方程就可以表示为平衡微分方程。
同样，在物理学中，当物体处于平衡状态时，其受力平衡，可以利用
牛顿定律将其表示为平衡微分方程。
平衡微分方程是研究系统稳定性和动态特性的重要工具，在工程学、
生物学、经济学等领域有广泛应用。
重点讲义流体的平衡微分方程及其积分
流体的平衡微分方程及其积分一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程如图所示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为d x ，d y ，d z ，设中心点的压强为p (x,y,z )=p ，对其进行受力分析：根据平衡条件，在x 方向有0F x ＝∑，即：0zX y z y x p 21z y ）21＝＋）＋－（（d dxd d d dx p d d dx xpp ρ∂∂∂∂- 01X ＝－x p ∂∂ρ式中：X ——单位质量力在x 轴的投影流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程）： ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂-=∂∂-010101z p Z y p Y x pX ρρρ 物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。
压强沿轴向的变化率（zp y p x p ∂∂∂∂∂∂，，）等于轴向单位体积上的质量力的分量（ρX ，ρY ，ρZ ）。
二、平衡微分方程的积分将欧拉平衡微分方程中各式，分别乘以dx 、dy 、dz ，整理： Zdz)Ydy (Xdx dz z pdy y px ++=∂∂+∂∂+∂∂ρdx p因为p = p (x,y,z )∴ Zdz)Y dy (Xdx dp ++=ρ ρ为常量； Xdx ＋Ydy ＋Zdz 应为某函数W ＝F （x ，y ，z ）的全微分： dz z Wdy y Wdx x Wdz dy dx d ∂∂+∂∂+∂∂=++=)Z Y (X WdW dp ＝ρ 平衡流体中压强p 的全微分方程 积分得：p=ρW ＋c假定平衡液体自由面上某点（x 0，y 0，z 0）处的压强p 0及W 0为已知，则： c ＝p 0-ρW 0 ∴ p=p 0+ρ（W-W 0） 欧拉平衡微分方程的积分三、帕斯卡定律处于平衡状态下的不可压缩流体中，任意点M 处的压强变化值△p 0，将等值地传递到此平衡流体的其它各点上去。
说明：只适用于不可压缩的平衡流体；盛装液体的容器是密封的、开口的均可。
平衡微分方程公式
平衡微分方程公式平衡微分方程公式在物理学和工程学中可是个相当重要的概念呢！咱们先来聊聊它到底是啥。
平衡微分方程公式，简单来说，就是描述物体在受力平衡状态下，各物理量之间关系的数学表达式。
这就好比我们生活中的各种平衡状态，比如你站得稳稳的，或者桌子稳稳地放着没倒，背后都有着这些看不见的数学规律在支撑。
就拿我之前的一次经历来说吧。
有一次我在家组装一个书架，我把板子、钉子啥的都准备好，就开始动手了。
一开始我还觉得挺简单，不就是把几块板子钉在一起嘛。
可当我真正操作起来，才发现这里面大有学问。
我想让书架稳稳地站住，就得考虑板子的受力情况。
每一块板子受到的重力、支撑力，还有钉子给板子的拉力等等，都得算清楚。
这时候平衡微分方程公式就派上用场啦。
比如说，在计算一块板子水平方向的受力时，根据平衡微分方程公式，水平方向上的合力必须为零。
我就得仔细想想，是不是有哪个地方的钉子没钉好，导致板子受到了一个不该有的水平力。
而且这平衡微分方程公式可不只是在这种小手工里有用，在大工程里那更是至关重要。
像建高楼大厦，工程师们得精确计算每一根梁柱的受力，保证整个建筑的稳定和安全。
这时候，平衡微分方程公式就是他们手中的利器。
再来说说学习平衡微分方程公式的过程。
这可不像吃蛋糕那么轻松愉快，得下点功夫。
刚开始接触的时候，可能会觉得那些符号和公式让人眼花缭乱，脑袋都大了。
但是只要静下心来，一点点地去理解，去推导，就会发现其中的乐趣。
比如说，当你通过自己的努力，成功地用平衡微分方程公式解决了一个复杂的受力问题，那种成就感简直爆棚。
就好像你在黑暗中摸索了好久，突然找到了那盏明灯，一下子就把前路照亮了。
在实际应用中，平衡微分方程公式也不断地在发展和完善。
随着科学技术的进步，我们对物体受力的理解越来越深入，公式也变得更加精确和复杂。
总之，平衡微分方程公式虽然看起来有点深奥和复杂，但它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们打开理解物体受力平衡的大门。
无论是在小小的手工制作中，还是在宏伟的建筑工程里，它都默默地发挥着重要的作用。
常微分方程平衡点
常微分方程平衡点常微分方程平衡点是指微分方程中使系统保持静止或者不改变的点。
平衡点也被称为固定点或者驻点，它们在研究微分方程中的系统行为和性质时起到了重要的作用。
平衡点可以分为稳定平衡点、不稳定平衡点和半稳定平衡点。
稳定平衡点是指系统在该点附近的解是收敛到该点的。
也就是说，如果微分方程的解在该点附近偏离一点，系统将回到该点。
稳定平衡点是系统稳定性的一种表示，它表明系统对扰动具有一定的抗性。
不稳定平衡点是指系统在该点附近的解是发散的。
也就是说，如果微分方程的解在该点附近偏离一点，系统将远离该点。
不稳定平衡点表示系统不稳定，对扰动没有抗性。
半稳定平衡点是指系统在该点附近的解具有一定的稳定性和不稳定性。
也就是说，系统在该点附近的某些解是收敛到该点的，而其他解是发散的。
半稳定平衡点表示系统对扰动的反应具有一定的不确定性。
下面以几个常见的微分方程为例，简要介绍其平衡点和相关内容。
1. 一阶线性微分方程：$\frac{dx}{dt} = ax$该微分方程的平衡点为$x=0$。
当$a>0$时，该平衡点是不稳定的；当$a<0$时，该平衡点是稳定的。
平衡点的稳定性与$a$的符号有关。
2. 一阶非线性微分方程：$\frac{dx}{dt} = f(x)$该微分方程的平衡点为$f(x)=0$的解。
根据$f'(x)$的正负性，可以判断平衡点的稳定性。
如果$f'(x)<0$，则平衡点是稳定的；如果$f'(x)>0$，则平衡点是不稳定的。
3. 二阶线性非齐次微分方程：$\frac{d^2x}{dt^2} +a\frac{dx}{dt} + bx = f(t)$该微分方程的平衡点为$x=C$，其中$C$满足$aC+bC=0$。
平衡点的稳定性与$a$和$b$的符号有关。
如果$a<0$且$b>0$，则平衡点是稳定的；如果$a>0$且$b>0$，则平衡点是不稳定的。
微分方程平衡解
微分方程平衡解微分方程平衡解微分方程作为数学中一大重要分支，同样也是掌握了整个数学领域的名词。
在微分方程的解法中，平衡解作为一种特殊的解法，具有很重要的地位。
本文将重点对微分方程平衡解进行详细说明。
一、什么是微分方程平衡解？微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
在常微分方程当中，平衡解就是指当方程右边等于零时，方程的解就是平衡解。
以一阶常微分方程为例,$y'+f(x)y=0$当$f(x)y=0$时，该方程的解为平衡解。
也就是说，当函数的导数与函数本身的乘积等于零时，函数的解就是平衡解。
二、如何求微分方程的平衡解？1.求解微分方程的一般解在求解微分方程的平衡解之前，首先要先求解微分方程的一般解。
一般解：由微分方程得出的所以解构成的一组解，包括特解和齐次解。
2.将右端函数置为零平衡解出现的前提是方程的右端函数等于零。
因此，在求解平衡解的时候必须将方程的右端函数置为零，即求解齐次方程。
3.解齐次方程解齐次方程可以得到微分方程的齐次解，然后再通过判断微分方程的特征方程的根的情况，得到平衡解的表达式。
三、平衡解的实例计算以一阶已知函数为例，求出其平衡解：$y'-xy=0$解：因为右端函数为0，所以先将 $y'-xy=0$ 化为 $ y' - xy = f(x)$ 的形式，其中函数 $f(x) = 0$；$\frac{dy}{dx}-xy=0$这是一个一阶线性微分方程，所以解齐次方程得到其通解为：$y=c e^{\frac{x^2}{2}}$其中 $c$ 为任意常数。
特征方程为$0=λ^2 -x$ ，得出两个特征根$λ_1=\sqrt{x}$，$λ_2=-\sqrt{x}$，因此得出平衡解为：$y_1=c_1 e^{\frac{x^2}{2}}$$y_2=c_2 e^{-\frac{x^2}{2}}$四、总结微分方程是数学中一个非常重要的分支，其中平衡解是微分方程中的一种特殊解法。
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1、 平衡微分方程的适用范围
弹性力学、塑性力学、弹塑性力学。
2、 张量:怎样判断？
（1）商判则：和任意矢量点积为K-1阶张量的量一定为K 阶张量。
（2）能否满足分量转换规律是判断某个数的集合是否表示一个张量的基本准则。
3、n 维张量的举例
标量零阶张量，矢量为一阶张量，应力、应变为二阶张量，应力、应变之间的弹性关系可用四阶张量表示。
4、▽的意义？
▽为一个梯度，▽2为调和算子（拉普拉斯算子），▽4为重调和算子。
5、柯西应变张量与格林应变张量的区别？
柯西应变张量适用于线弹性小变形，格林应变张量适用于任何情况。
6、任意斜面上的应力的本质是？
平衡微分方程和转轴公式。
7、如何描述正应变，剪应变，体积应变，应力的球张量，应力的偏张量？
对于各向同性材料，正应力引起正应变，引起线元长度变化；剪应力引起剪应变，引起角度的变化；应力的球张量，只引起体积变化，不会引起形状的变化；应力的偏张量，只引起形状变化，不会引起体积的变化。
8、 动力学的平衡微分方程如何表示？（达朗贝尔原理）
根据达朗贝尔原理，把惯性力当作体力来满足力平衡和力矩平衡条件。
9、转轴公式的理论依据:柯西公式。
10、等效应力、等效应变物理意义、公式：
等效应力将6个应力分量的对变形体的作用，等效于一个单向拉伸力的作用；等效应变将6个应变分量等效于一个单向拉伸力所产生的应变。
利用实验，就可以直接建立等效应变与等效应力的数值关系
11、体积不可压（v=1/2）：
从体积弹性模量()
ν213-=E K 来看，当5.0=ν时，K 趋向于无穷大，也就是说体积变化无限小，即表示体积不可压缩。
12、为什么等值拉压是纯剪切
等值拉压时，线元只有角度发生变化，长度有发生变化，故等值拉压是纯剪切。
13、里茨和伽辽金法的物理思想
均是利用利用最小势能原理，寻找满足约束边界条件的试验函数。
14、弹性力学为什么可用逆解法、半逆解法：
解的唯一性定理表明，无论用什么方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。
15、叠加原理建立在什么条件下：
基本方程和边界条件满足线弹性条件，举例：在线弹性条件下，复杂问题可通过简单叠加处理。
16、圣维南原理的思想：
在物体内，距外加载荷作用处相当远的各点的应力状态，在外载荷的合力和合力矩相同时，与外载荷的具体分布形式关系很小。
17、位移解法、应力解法、应力函数解法：
（1）位移解法：几何方程→本构方程→平衡微分方程
（2）应力解法：平衡微分方程→本构方程→协调方程+（几何方程）
（3）应力函数解法：
引入能自动满足平衡方程的函数（应力函数），求解用这些函数表示的协调方程，应力分量可由其偏导数的组合来确定。
18、复变函数解法优点：
（1）统一了弹性力学中应力、位移、应力函数三种基本解法。
（2）统一了弹性力学中力边界、位移边界、混合边界。
（3）适用于直角坐标、极坐标和任意正交曲线坐标系。
（4）处理复杂问题具有明显优势。
19、保角变换：
设法找一个解析函数，通过保角变换把原物理平面上的复杂几何域映射成像平面上的中心单位圆、半无限平面等简单易解的规则域，把原物理平面上的基本关系也用像平面上的复变量来表示，先在像平面的规则域上找满足这些基本关系的解，然后把结果返回到物理平面就得到实际问题的解。
20、Tresca 、Mises 准则空间曲面：
Tresca 准则的屈服曲面是一个垂直于π平面的正六角柱面体，在π平面上的屈服曲线是一个正六边形，且s r σσ3
2=（纯拉伸屈服）。
Mises 准则的屈服曲面是一个垂直于π平面的圆柱面体，在π平面上的屈服曲线是一个圆，且s r σσ3
2=（纯拉伸屈服）。
21、对于不同加载面塑性机构的比值：p248-254
22、理想塑性材料加载面和屈服面：
理想材料的加载面与初始屈服面是重合的
23、等向强化模型加载面：
加载面在应力空间中做形状相似的扩大，认为材料在塑性变形以后，仍保持各向同性的性质，忽略了由于变形引起的各向异性的影响，只有在变性不大或应力偏量之间的相互比例改变不大时适用（p240）
24、基于Drucker 公设流动法则物理意义：244
1）加载面外凸的（屈服曲面的外凸性）；
2）应变增量垂直于加载面（塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致-正交性法则）
25、普朗特尔-劳埃斯与列维-米塞斯的使用条件：
普朗特尔-劳埃斯用于弹性应变增量不可忽略的。
列维-米塞斯：当塑性应变增量比弹性应变增量大的多时，则弹性应变增量可忽略。
26、全量理论什么时候用：
在简单加载条件下可以使用全量理论，但是在应力路径偏离简单加载路径一定范围内仍能使用全量理论。
（p264）
27、什么叫简单加载：
满足伊留申条件的加载即为简单加载：
1、小变形；
2泊松比等于0.5且材料不可压缩；
3、载荷是按比率增长，如有位移边条件，只能是零位移边条件；
4、材料的应力-应变（平均）曲线具有n
A εσ=的幂函数形式。