工程力学3—力系的平衡条件和平衡方程

机不向右翻倒的Q：
mB (F ) 0
Q(6 2) P 2 W (12 2) NA(2 2) 0
限制条件： N A 0
解得:
Q75 kN
②空载时，W=0 由 mA(F )0
限制条件为： NB 0 解得
Q(62)P2NB (22)0
Q350 kN
4 简单的刚体系统平衡问题
在静力学中求解物体系统的平衡问题时， 若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则 由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这 类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独 立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学 理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超 静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数 之差称为静不定次数。
FAx FT cos 0 (1)
FAy
FAx
Fy 0
A
FT

E
H
B
FAy FT sin P Q 0 (2)
P
a
M A(F) 0
Q
FT
sin


l

P

l 2

Qa

0
(3)
1
l
从(3)式解出
FT

sin l
(P 2
Qa) 13.2 kN
代入(1)式解出 FAx FT cos 11.43 kN
FAx＝
2FW
x l

FQl
cos30＝
3
FW l
x
FQ 2

FAy－FQ－FP＋FTB sin ＝0
FAy＝－
l－x l
FW＋
FQ 2

FTB＝
FW
x＋FQ
lsin

l 2
＝
2FW l
x

FQ
解： 3．讨论 由结果可以看出，当x＝l，即电动机移动到吊车大梁 右端B点处时，钢索所受拉力最大。钢索拉力最大值为
M m1 m2 m3 m4 4(15) 60 Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N
B

60 0.2
300N
N A NB 300 N
[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。
F Ptg
N
B

P
cos
又由几何关系： tg
r2 (rh)2 rh 0.577
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
1 平面汇交力系的平衡方程
FR ( Fxi )2 ( Fyi )2 0
3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3. 2 平衡方程
由于 FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO (Fi )
所以
Fxi 0 Fyi 0

M O (Fi ) 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
解之得：
FAx P cos
m Pb sin
FAy
a
FB

m

P sin (a
a
b)
P
FAx
A
m B
C
FAy
FB
例题3
悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁，BC为钢索， A、处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知起 重电动电动机E与重物的总重力为FP(因为两滑轮之 间的距离很小，FP可视为集中力作用在大梁上)， 梁的重力为FQ。已知角度θ=30º。 求：1. 电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和 支座A处的约束力； 2. 分析电动机处于什么位置时，钢索受力最大，并 确定其数值。
1 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍 物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大, 这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
NA 210 kN NB 870 kN
4 简单的刚体系统平衡问题
实际工程结构大都由两个或两个以上构件通过一定约束方式 连接起来的系统，因为在工程静力学中构件的模型都是刚体， 所以，这种系统称为刚体系统(system of rigidity bodies)。
前几章中，实际上已经遇到过一些简单刚体系统的问题， 只不过由于其约束与受力都比较简单，比较容易分析和处理。
代入(2)式解出 FAy Q P FT sin 2.1 kN
例3 FAx FT cos 0
(1)
C
FAy FT sin P Q 0 (2)
FT
sin


l

P

l 2

Qa

0
(3)
如果取B矩心列平衡方程得
FAy FAx
A
FT

EH B
MB(F) 0 l
分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理单个刚体的平 衡问题是一致的，但有其特点，其中很重要的是要正确判 断刚体系统的静定性质，并选择合适的研究对象。
4 简单的刚体系统平衡问题
由若干个物体通过约束所组成的系统称为 物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的 力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用 的力称该系统的内力。当整个系统平衡时，系 统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体 都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究物体 系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以 是局部，也可以是单个物体。
Fxi 0 Fyi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。
[例2] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解: 1. 取AB杆为研究对象
2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
X 0 RAcos SCDcos4500 Y 0 PRA sin SCD sin450 0

1 2
qb2
例2 例2 求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx P cos 0
P
A
m B
C
a
b
Fy 0 : FAy FB P sin 0
M A (F ) 0 : FBa P sin (a b) m 0
力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面
平行力系。
y
平面平行力系作为平面任意力系 的特殊情况，当它平衡时，也应满足
F1
F3 Fn
平面任意力系的平衡方程，选如图的
坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 平行力系的平衡方程为：
O
F2
x
Fy 0; MO (F ) 0
平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：
(2) 三矩式

M M
A B
(F (F
) )

0 0
MC (F ) 0
其中A、B、C三点不能在同一条直线上。
由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、
B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过
A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，
Mi 0
i 1
思考：从力偶理论知道，一
力不能与力偶平衡。图示轮 子上的力P为什么能与M平 衡呢？
M
OR
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶矩为
“平衡”不仅是本章的重要概念，而且也工程力学课程的重要 概念。对于一个系统，如果整体是平衡的，则组成这一系统的 每一个构件也平衡的。对于单个构件，如果是平衡的，则构件 的每一个局部也是平衡的。这就是整体平衡与局部平衡的概念。
第3章 力系的平衡条件与平衡方程
1 平面汇交力系的平衡条件与平衡方程 2 平面力偶系的平衡条件与平衡方程 3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 4 简单的刚体系统平衡问题 5 考虑摩擦时的平衡问题 6 结论与讨论
源自文库
MA(F) 0; MB (F) 0
其中AB连线不能与各力的作用线平行。
[例5] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重 量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平
衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机
轮子的反力？
解：⑴ 首先考虑满载时，起重
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx qb 0
P a A
q
b
Fy 0 : FAy P 0
P
M A(F) 0 :
MA
MA

Pa
1 2
qb2

0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
M
A

Pa
则力系必平衡。
注意： 以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。
例3 例4 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l＝2.5 m，重量P＝1.2 kN，
拉杆CB的倾角＝30°，质量不计，载荷Q＝7.5 kN。求图示位
置a＝2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
例3 解：取横梁AB为研究对象。
Fx 0
P 2 Q (l a) FAy l 0 (4)
aP Q
再取C为矩心列平衡方程得
MC (F) 0
FAx
tan

l

P

l 2

Qa

0
(5)
有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,4,5; 1,3,4； 2,4,5 ；2,3,5; 3,4,5
3.5 平面平行力系的平衡方程
4. 解方程 由EB=BC=0.4m，

解得： tg EB 0.4 1
AB 1.2 3
SCD

sin
450
P cos450
tg
4.24
kN
；
RA

SCD

cos450
cos
3.16 kN
2 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即 n
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
Fx＝0
Fy＝0
解： 2．建立平衡方程
M A F ＝0
－FQ

l 2
－FW

x

FTB

lsin
＝0
FTB＝
FP

x＋FQ
lsin

l 2
＝
2FW l
x

FQ
FAx FTB cos＝0
M AC RC d 0.255 RC (N.m)
Mi 0 M AC M 0
RC 3137 N
3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即
MFRO00
FR ( Fx )2 ( Fy )2 MO MO (Fi )
FTB＝
2FWl＋FQl 2lsin
＝
2FW＋FQ 2sin30
＝2
FW＋FQ
3.3 平衡方程的其它形式
(1) 二矩式
Fx 0 M A (F ) 0 M B (F ) 0
FR′ B
A
x
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件， 若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。
第三 章
力系的平衡条 件和平衡方程
第3章 力系的平衡条件与平衡方程
受力分析的最终的任务是确定作用在构件上的所有未知力， 作为对工程构件进行强度设计、刚度设计与稳定性设计的基础。
本章将在平面力系简化的基础上，建立平衡力系的平衡条件 和平衡方程。并应用平衡条件和平衡方程求解单个构件以及由 几个构件所组成的系统的平衡问题，确定作用在构件上的全部 未知力。此外本章的最后还将简单介绍考虑摩擦时的平衡问题。
因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：
75 kNQ350 kN
⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：
mA(F )0 Q(62)P2W (122)NB 40
Fyi 0 QPW N A NB 0
解得：