3 力系的平衡条件与平衡方程

j j
P
P (a)
j1 j1
(2) 在j<j1的情况下，须在 物块上沿斜面至少施加 多大的力FT 才能使物块 下滑？
(b)
j j
P
(3) 欲使物体沿斜面向上滑动， (c) 须在物块上沿斜面至少施 加多大的力FT？
j j
P
解：(1) 画受力图如右。
(a)
j1 j1
P
列平衡方程
F F
x
0 0
F P sin j1 0 F P sin j1
y
(1) (2)
FN P cos j1 0 FN P cos j1
考虑极限平衡状态有： 从而得到：
tan j1 fs ,
X 0 平面汇交力系 Y 0
力偶系
两个独立方程，只能求两个独立 未知数。
M
i
0 一个独立方程，只能求一个独立未知数。
X 0 平面 三个独立方程，只能求三个独立未知数。 Y 0 任意力系 MO (Fi ) 0
静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量
的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方
B
C D
2a
a 图4-19
a
（2） 画受力图如 右下图所示。
Y
q
（3）取坐标如图。
A
m
C D
B
XA YA
ห้องสมุดไป่ตู้
X
YB a
2a
a
（4）列平衡方程
Y
A
m
A
(F ) 0 0
q
Y B × 4 a m q ×2 a ×a 0
XA YA 2a
m B X C D YB a a
X 0 ，X Y 0 ，Y
Q
思考题3
由下图所示的受力图，可否列出下列四 个独立的平衡方程？
C
T XA
A
D
30
E
0
B
YA P
m (F ) 0 m (F ) 0 m (F ) 0 X 0
A B c
Q
为什么其中必有一个 是从属的？
例
解： A （1）选AB梁为研 究对象。
如图4-19所示简支梁AB。梁的自重及各处 摩擦均不计。试求A、B处的支座反力。 q m
当物体系统处于平衡时，其中的每一个 物体都必须处于平衡。
例题 ：
三铰拱 ABC 的支承及荷载情况如图所示。已知 P=20 kN，均布荷
载 q = 4kN/m。求：铰链支座 A 和 B 的约束力。
P
1m
q
C
A
2m
2m
B
P
1m
q
C
XA
A
YA
2m
2m
XB B YB
解: ( 1 ) 取整体为研究对象，画受力图.
静滑动摩擦力的特点 方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向； 大小：
0 Fs Fmax
Fmax fs FN （库仑摩擦定律）
重量为 P 的物体置于斜面上，如图所 示。已知物块与斜面之间的静摩擦因数 f s，问： (1) 斜面的倾角j 增大到多少时（以j1表示）， 物块将下滑？
例题1
M1-FA （r sin）=0
23
(2) 再以摇杆BC为研究对象。其上受有力偶矩M2及F′A 和铰链B处 的约束反力FB的作用。FB与F′A必组成一力偶，其FB、 F′A大小相等 ，方向相反。摇杆BC受力图如图 c）所示。由力偶系的平衡条件知
：
∑M 0
将 FA FA
r M 2 FA 0 sin θ
m (F ) 0 m (F ) 0 X 0
A B
可否求出T、YA、XA；
T
XA
A
D
300
E
B
YA P
Q
思考题2
（2）由下图所示的受力图，试按
m (F ) 0 m (F ) 0 m (F ) 0
A B c
C
可否求出T、YA、XA。
T
XA
A
D
300
E
B
YA
P
c
A
D
300
2m
1m
E
B
1m
P
Q
解： （1）取AB梁为研究对象。 （2）画受力图。 XA
T
A
D
300
E
B
未知量三个： YA XA、YA、T 独立的平衡方程数也是三个。 （3）列平衡方程，选坐标如图所示。 X 0
0 X A T cos30 0 Y 0
P
Q
（1） （2）
YA T sin 30 P Q 0 mA (F ) 0

B
l /2
l /2
l /2
l /2
FB
Fx = 0
FAx - P cos = 0
FAx = P cos
M A ( Fi ) = 0
l M P sin F B l 0 2 Fy = 0
M P sin FB l 2
M P sin F Ay l 2
q
C
A
YA
2m
2m
XB B YB
图示三铰拱上，作用着均匀分布于 左半跨内的铅直荷载，其集度为q (kN/m),拱重及摩 擦均不计。求铰链A、B处的约束力。
q q C C
例题
h FA x A FA y FB x
A l/2 l/2
B
B FB y
解：(1) 研究整体其受力如图所示。
M
B
(F ) 0
M
A
0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
•利用“力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方 便： [例1 ] ：(书)P47 例3-4
[例2] 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC 上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M1＝2kN·m， OA＝r＝0.5m。图示位置时OA与OB垂直， 30o ， 且系统 平衡。求作用于摇杆BC上力偶矩M2及铰链O、B处的约束反力。
q C
l 3 l FAy l q 0 2 4 3 q l FAy kN ( ). 8
M
A
(F ) 0
l l FBy l q 0 2 4 q l FBy kN ( ). 8
FA x A FA y
B FB y
FB x
F
x
0
q
C
解 (1) 先选取圆轮为研究对象。圆轮受有力偶矩M1及光滑导槽对销 子A的作用力FA和铰链O处的约束反力FO的作用。由于力偶只能由力
偶来平衡，因而FO与FA必组成一力偶，其FO、FA大小相等，方向相
反。圆轮受力图如图 b）所示。由力偶系的平衡条件知 解得：
∑M 0
M1 FA r sin θ
P XC C YC
1m
XB B YB
P
MC ( F ) = 0
XC C YC
1m
-1×20 + 2×19.5 + 3XB = 0 XB = - 6.33 kN
XB B YB
( 3 ) 取整体为研究对象 Fx = 0 4×3 + XA + XB = 0 XA = - 5.67 kN
XA
P
1m
在梁长的中点 C 处作用一集中力 P ，它与水平的夹角 为，梁长为l 且自重不计。求支座 A 和 B 的反力。 P C

A
M
B
l /2
l /2
A
M
P C

B
l /2
A FAx FAy P M C
l /2

B
l /2
l /2
FB
解 : 取水平梁 AB 为研究对象画受力图
A
M
P C

P
B
FAx
M A FAy C
F cos 45 l F 2l 0 M 0 C A
FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例： 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB，BC受力.
解： AB、BC杆为二力杆，取滑轮B （或点B），画受力图.巧建图示 坐标系
FA x A
FA y q C FCy FAx
B
FB y FCx
FB x
A FAy
思考题 :
q C
判断图中受力图是否正确？
q
C
h
?
A l/2 B
h
A
B
l/2
FAy=0.5ql
FBy=0.5ql
0.5ql C q C FCy
FCx
h
A
B
A
FAy=0.5ql
(a)
FBy=0.5ql
FAy=0.5ql (b)
M 2 4M1 8kNm
由于FO与FA组成一力偶，FB与F'A组成一力偶，故有
M1 代入上式解得 r sin θ
M1 2 FO FB FA 8kN o r sin θ 0.5 sin 30
方向如图b)、c)所示。
24
§3.2 简单的刚体系统平衡问题
一、静定与静不定问题的概念
FAx FBx 0 FAx FBx .
(2) 研究AC,并画其受力图。
M C (F ) 0
3l 1 q l l FAx h q l 0, 8 2 2 4 q l2 FAx kN(), 16h q l2 FBx kN(). 16h
P
1m
q
C
XA
A
YA
2m
2m
XB B YB
MA( F ) = 0
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0 YB = 19.5 kN
P
1m
q
C
XA
A
YA
2m
2m
XB B
YB
Fy = 0
YA - 20 + 19.5 = 0
YA = 0.5 kN
( 2 ) 取 BC 为研究对象画受力图
A B
YA
YB a
2a
a 图4-20
例：
尺寸如图。 已知： P 1 10kN, P 2 40kN,
求： 轴承 A, B 处的约束力. 解： 取起重机，画受力图.
Fx 0
FAx FB 0
Fy 0
FAy P 1P 2 0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
0
0 T ×AB×sin 30 P× AD Q×AE 0
（3）
由（3）解得
2 P 3Q 2 4 3 10 T 19 kN 0 4 sin 30 4 0.5
以 T 之值代入（1）、（2），可得 XA=16.5 kN, YA=4.5 kN
思考题1
（1）由下图所示的受力图，试按
第三章 力系的平衡条件与平衡方程
§3.1 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
一、 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件
F R 0,
1.基本平衡方程 Fx = 0 Fy = 0
M O (F ) 0
（一矩式）
Mo ( F ) = 0 能解 3 个未知量
2.平面任意力系平衡方程的其它形式 （1） 二矩式
由左半部分受力图可知，AC不能平衡，(a)图是错 的。
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
一切物体表面都具有不同程度的粗糙度或物 体变形，当两物体相接触且有相对运动或相对运 动趋势时，由于接触面间的凹凸不平或变形，就 产生了相对运动的阻力，这种阻力称为摩擦力。
1. 摩擦力也可分为静摩擦和动摩擦。 (1) 静摩擦：两物体仍保持静止,仅有相对运动 的趋势时的摩擦。 (2) 动摩擦：两物体有相对运动时的摩擦。
FAy - P sin + FB = 0
例：
已知：AC CB l , F 10 kN 求： 铰链 A 和 DC 杆受力.
解： 取 AB 梁，画受力图.
F F cos 45 0 F 0 x Ax C F 0 FAy FC sin 45 F 0
y
A
A
q ×2 a Y B 0.
联合求解得到：
X A 0, YB YA 1 m qa , 2 4a 3 m qa . 2 4a
思考题 在图4-20中，试以下 列三个方程求解，看 会有什么问题，并说 明原因。
Y
q
A
m
C D
B
XA
X
m (F ) 0 m (F ) 0 Y 0
F
x
0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
F
y
0 F F cos 30 F cos 60 0 BC 1 2
F1 F2 P
FBA 7.321kN FBC 27.32kN
例
图示为一悬臂式起重机简图，A、B、C
处均为光滑铰链。水平梁AB自重 P=4kN,荷载 Q=10kN,有关尺寸如图所示，BC 杆自重不计。 求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的反力。
MA ( Fi ) = 0
MB ( Fi ) = 0
Fx = 0
投影轴 x 不能与矩心 A 和 B 的连线垂直.
A B
x
( 2 ) 三矩式
MA( Fi ) = 0 MB( Fi ) = 0 MC( Fi ) = 0
三个矩心 A , B 和 C 不在一直线上
A
B
C
例： 在水平梁 AB 上作用一力偶矩为 M 的力偶，
程就能解出这些未知量。如图所示结构。 q
A
m
C
P
B
2a
a
6a 2a
超静定问题：一个静力平衡问题，如果未知
量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力
学方法就不能解出所有的未知量。如图所示结构。
q
A
m
C D
P
B
2a
a 4a 4a
2a
[ 例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
二. 物体系统的平衡问题