二次函数第五课时
九年级数学上第22章二次函数22.1二次函数的图象和性质5二次函数y=a2k的图象和性质课人教
课后训练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
7．(2020·甘孜州)如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴 交于A(－3，0)，B两点，下列说法错·误·的是( D )
A．a＜0 B．图象的对称轴为直线x＝－1 C．点B的坐标为(1，0) D．当x＜0时，y随x的增大而增大
*8.(2020·杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)， 当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，( C )
解：①当 MA＝MB 时，M(0，0)； ②当 AB＝AM 时，M(0，－3)； ③当 AB＝BM 时，M(0，3＋3 2)或 M(0，3－3 2)． 所以点 M 的坐标为(0，0)，(0，－3)，(0，3＋3 2)或(0，3－3 2)．
14．(2020·金华)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝ －12(x－m)2＋4 图象的顶点为 A，与 y 轴交于点 B，异于顶点 A 的点 C(1，n)在该函数图象上．
(1)求抛物线对应的函数解析式； 解：由题意可知 h＝1，则 y＝a(x－1)2＋k. 将点(3，0)，(0，3)的坐标分别代入上式， 得4aa＋＋kk＝＝30，，解得ak＝＝－4. 1， 故抛物线对应的函数解析式为 y＝－(x－1)2＋4.
新人教版九年级下二次函数全章教案
（1围。
（2教学重点：值范围。
教学难点：教学过程：一、问题引新1.矩形的另一边BC2．x3积y等于多少12、观察概括y=6x2以上3次函数，a4、课堂练习（1） (口答)(1)y=5x(3)y=2x3（2）．P3五、小结六、作业：课本第七、板书第二课时：26.1 二次函数（2）教学目标：1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。
教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。
教学过程：一、问题引新1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么?2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?二、学习新知1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。
（有学生自己完成）解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：(2)描点 (3)连线找一名学生板演画图提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，）2、归纳：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点坐标（0，0）3、运用新知（1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?（2）．课件出示：在同一直角坐标系中， y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较（3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______三、总结：函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。
函数第5课时二次函数二-中考数学总复习考点训练
第三章函数第5课时二次函数（二）【备考演练】一、选择题1．抛物线y＝ax2＋bx－3经过点(2，4)，则代数式8a＋4b＋1的值为( )A．3 B．9 C．15 D．－152．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移三个单位，再向上平移五个单位，得到抛物线为( ) A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－33．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x＋1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是( )A．(－1，1) B．(1，－2)C．(2，－2) D．(1，－1)二、填空题1．二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是__________．2．已知二次函数y＝ax2＋bxx …－1 0 1 2 3 …y …10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范围是____________．三、解答题1．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？2.(2017·龙东) 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线y ＝－32x ＋3交于C 、D 两点．连接BD 、AD.(1)求m 的值．(2)抛物线上有一点P ，满足S △ABP ＝4S △ABD ，求点P 的坐标．四、能力提升(2017·广州) 已知抛物线y 1＝－x 2＋mx ＋n ，直线y 2＝kx ＋b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(－1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4. 1．求y 1的解析式；2．若y 2随着x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的解析式．答案：一、1.C 2.D 3.B二、1.x ＜－1，x ＞3 2.0＜x ＜4三、1.解：(1)设y 与x 满足的函数关系式为：y ＝kx ＋b.由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧36＝24k ＋b21＝29k ＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3b ＝108故y 与x 的函数关系式为：y ＝－3x ＋108.(2)每天获得的利润为：P ＝(－3x ＋108)(x －20)＝－3x 2＋168x －2 160＝－3(x －28)2＋192.故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．2．解：(1)抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3过(3，0)，0＝－9＋3m ＋3，m ＝2(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3y ＝32x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝3 ,⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝72y 2＝－94，∴D(72，－94)，∵S △ABP ＝4S △ABD ，∴12AB ×||y P ＝4×12AB ×94，∴||y P ＝9，y P ＝±9，当y ＝9时，－x 2＋2x ＋3＝9，无实数解，当y ＝－9时，－x 2＋2x ＋3＝－9，x 1＝1＋13，x 2＝1－13， ∴P(1＋13，－9)或P(1－13，－9)四、解：1.∵抛物线y 1＝－x 2＋mx ＋n ，直线y 2＝kx ＋b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(－1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4.∴B(－1，1)或(－1，9)，∴－m 2×（－1）＝－1，4×（－1）n －m24×（－1）＝1或9，解得m ＝－2，n ＝0或8，∴y 1的解析式为y 1＝－x 2－2x 或y 1＝－x 2－2x ＋8；2．当y 1的解析式为y 1＝－x 2－2x 时，抛物线与x 轴得交点为顶点(－1，0)，不合题意；当y 1＝－x 2＋2x ＋8时，解－x 2＋2x ＋8＝0得x ＝－4或2，∵y 2随着x 的增大而增大，且过点A(－1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(－4，0)，把(－1，5)，(－4，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝5－4k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝53b ＝203；∴y 2＝53x ＋203.。
二次函数教学设计（精选19篇）
二次函数教学设计二次函数教学设计（精选19篇）教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。
以下是小编为大家收集的二次函数教学设计，欢迎阅读与收藏。
二次函数教学设计篇1教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识.(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法.教具准备投影片二张第一张:(记作§2.8.1A)第二张:(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.Ⅱ.讲授新课一、例题讲解投影片:(§2.8.1A)我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示,那么(1)h与t的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.[师]请大家先发表自己的看法,然后再解答.[生](1)h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h与t的关系式.(2)小球落地时h为0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h为0,求出t即可.还可以观察图象得到.[师]很好.能写出步骤吗?[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0,当v0=40,h0=0时,h=-5t2+40t.(2)从图象上看可知t=8时,小球落地或者令h=0,得:-5t2+40t=0,即t2-8t=0.∴t(t-8)=0.∴t=0或t=8.t=0时是小球没抛时的时间,t=8是小球落地时的时间.二、议一议投影片:(§2.8.1B)二次函数①y=x2+2x,②y=x2-2x+1,③y=x2-2x+2的图象如下图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?[师]还请大家先讨论后解答.[生](1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.[师]大家总结得非常棒.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.三、想一想在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?[师]请大家讨论解决.[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40m/s,h=60m时,有-5t2+40t=60,t2-8t+12=0,∴t=2或t=6.因此当小球离开地面2秒和6秒时,高度都是60m.Ⅲ.课堂练习随堂练习(P67)Ⅳ.课时小结本节课学了如下内容:1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.2.理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根.两个相等的实根和没有实根.Ⅴ.课后作业习题2.9板书设计§2.8.1 二次函数与一元二次方程(一)一、1.例题讲解(投影片§2.8.1A)2.议一议(投影片§2.8.1B)3.想一想二、课堂练习随堂练习三、课时小结四、课后作业备课资料思考、探索、交流把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?为什么?解:(1)设长方形的一边长为x m,另一边长为(50-x)m,则S长方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.即当x=25时,S最大=625.(2)S正方形=252=625.(3)∵正三角形的边长为 m,高为 m,∴S三角形= =≈481(m2).(4)∵2πr=100,∴r= .∴S圆=πr2=π·( )2=π· = ≈796(m2).所以圆的面积最大.二次函数教学设计篇2一、教学目标：1。
二次函数全章经典学案
二次函数学案第1课时 27.1 二次函数一、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式；2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 二、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、基本知识练习1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________．2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．3．下列函数表达式，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2（2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2（5）y ＝x ＋1x四、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)xmm -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米B ．48米C ．68米D ．88米4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式 ___________________________．5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－13 时，x 的值．6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．五、目标检测1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）20y x -= （2）2(2)(2)(1)y x x x =+---（3）21y x x=+（4）223y x x =+-2．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．22(1)y m x =- B ．22(1)y m x =+ C ．22(1)y m x =+ D ．22(1)y m x =- 3． 已知函数27(3)m y m x -=- 是二次函数，求m 的值．4．已知函数()21153my m x x +=-+-是二次函数，求m 的值.5 .已知函数()222845y m m x x =+-++是关于x 的二次函数，则m 的取值范围。
二次函数全章教案
第二十二章二次函数教案（一）．二次函数在初中数学教材中的分析二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
（二）本章课时安排本章教学时间约需15课时，具体安排如下：22．1节二次函数…………………………7课时22．2用函数的观点看一元二次方程…………………2课时22．3实际问题与二次函数…………………3课时教学活动小结及测试…………………3课时（三）、本章教学目标分析（1）本章教学要求如下①经历描点法画函数图象的过程。
②学会观察、归纳、概括函数图象的特点。
③经历二次函数图象平移的过程。
④了解y=ax2，y=a(x＋m)2，y=a(x＋m)2＋n三类二次函数图象之间的关系。
⑤归纳数学平移变换的特征并加以总结。
⑥经历二次函数解析式恒等变形的过程。
⑦会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。
湘教版九年级下册数学精品课件 第1章 二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
大而减小；当 x > 6 时，函数
值随 x 的增大而增大.
O
（6,3）
5 10 x
归纳总结 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是：
b 4ac b2
( ,
).
2a 4a
对称轴是：直线 x b . 2a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y
x b 2a
O (1)
如果 a＞0，当 x＜ b 时，y 随x
的增大而减小；当
2a
x＞
b
时，
2a
y 随 x 的增大而增大；当 x = b
x
2a
时，函数达到最小值，最小值
为 4ac b2 .
4a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y x b
2a
O (2)
如果 a < 0，当 x< b 时，y 随 x
(2) y 5x2 80x 319; 直线 x = 8
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线 x = 1.25
(4) y x 12 x.
直线 x = 0.5
3, 5
8, 1
5 4
,
9 8
1 2
,
9 4
2. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长
度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为
那么现在你会画这个二次函2 数的图象吗?2
根据顶点式 y 1 (x 6)2 3 确定对称轴，顶点坐标.
26.1.3(第五课时)二次函数y=a(x-h)^2+ k的图象与性质___课件
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x² ,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什 么? 2
y 3x 1 2
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y 3x 1 2
2
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y=3x2 y=3x2
向右
向右
y=3(x-1)2 y=3(x-1)2
向上
向下
y=3(x-1)2+2 y=3(x-1)2-2
2 向右 y=-3x 2 向右 y=-3x 2 向左 y=-3x 2 向左 y=-3x
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
二次函数数学教案(优秀6篇)
二次函数数学教案（优秀6篇）二次函数超级经典课件教案篇一1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。
2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。
初中数学二次函数教案篇二教学准备教学目标1、知识与技能(1)进一步理解表达式y=Asin(ωx+φ)，掌握A、φ、ωx+φ的含义；(2)熟练掌握由的图象得到函数的图象的方法；(3)会由函数y=Asin(ωx+φ)的图像讨论其性质；(4)能解决一些综合性的问题。
2、过程与方法通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
教学重难点重点：函数y=Asin(ωx+φ)的图像，函数y=Asin(ωx+φ)的性质。
难点：各种性质的应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】函数y=Asin(ωx+φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也是高考的热点，因为，函数y=Asin(ωx+φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关。
五、归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业：习题1-7第4，5，6题。
课后小结归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
二次函数全章教案(共13节)
教具准备坐标小黑板一块课型新授课教学过程初备统复备情境导入我们已经知道，一次函数12+=xy，反比例函数xy3=xy3=的图象分别是、，那么二次函数2xy=的图象是什么呢？（1）描点法画函数2xy=的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？（2）观察函数2xy=的图象，你能得出什么结论？实践与探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22xy=（2）22xy-=共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22xy=的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22xy-=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．注意点：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．实践与探索2例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．解（1）由题意，得)0(1612>=CCS．列表：描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．注意点：（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．2 4 6 8 ……小结与作业课堂小结：通过本节课的学习你有哪些收获？课堂作业：课本P4 习题 1～4家庭作业：《数学同步导学九下》P4 随堂演练实践与探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出函数22xy=与222+=xy的图象．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22xy=与222-=xy的图象之间的关系吗？x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …22xy=…18 8 2 0 2 8 18 …222+=xy…20 10 4 2 4 10 20 …实践与探索2例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=xy与12--=xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=xy得到抛物线12--=xy．回顾与反思抛物线12+-=xy和抛物线12--=xy分别是由抛物线2xy-=向上、向下平移一个单位得到的．探索如果要得到抛物线42+-=xy，应将抛物线12--=xy作怎样的平移？实践与探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221xy=，2)2(21+=xy，2)2(21-=xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．x …-3-2-1 0 1 2 3 …221xy=…2922121229…2)2(21+=xy…212122258225…2)2(21-=xy…22582922121…它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．探索抛物线2)2(21+=xy和抛物线2)2(21-=xy分别是由抛物线221xy=向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=xy，应将抛物线221xy=作怎样的平移？教学难点识图能力的培养教具准备投影仪，胶片．课型新授课教学过程初备统复备情境导入由前面的知识，我们知道，函数22xy=的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=xy的图象；函数22xy=的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=xy的图象，那么函数22xy=的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=xy的图象呢？实践与探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221xy=，2)1(21-=xy，2)1(212--=xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解（1）列表：略（2）描点：（3）连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．观察：它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．实践与探索1 例1．通过配方，确定抛物线6422++-=xxy的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解6422++-=xxy[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=xxxxxx因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：注意点：（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到；（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索：对于二次函数cbxaxy++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？实践与探索2例2．已知抛物线9)2(2++-=xaxy的顶点在坐标轴上，求a的值．分析顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0．实践与探索2例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130 150y（件）70 50若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．小结与作业回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．课堂作业：如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）用含y的代数式表示AE；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．家庭作业：《数学同步导学九下》P18 随堂演练教学后记实践与探索1 例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=aaxy．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=aaxy，得28.04.2⨯=-a所以415-=a．因此，函数关系式是2415xy-=．实践与探索1 例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是35321212++-=xxy，问此运动员把铅球推出多远？解如图，铅球落在x轴上，则y=0，因此，035321212=++-xx．解方程，得2,1021-==xx（不合题意，舍去）．所以，此运动员把铅球推出了10米．探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面35m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．实践与探索2例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．小结与作业回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2≠++=acbxaxy，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=akhxay，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．课堂作业：在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？家庭作业：《数学同步导学九下》P24 随堂演练情境导入给出三个二次函数：（1）232+-=xxy；（2）12+-=xxy；（3）122+-=xxy．它们的图象分别为观察图象与x轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？另外，能否利用二次函数cbxaxy++=2的图象寻找方程)0(02≠=++acbxax，不等式)0(02≠>++acbxax或)0(02≠<++acbxax的解？实践与探索1 例1．画出函数322--=xxy的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程322=--xx有什么关系？（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？解图象如图26．3．4，（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程0322=--xx的解相同．（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．例2．（1）已知抛物线324)1(22-+++=kkxxky，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．（2）已知二次函数232)1(2-++-=aaxxay的图象的最低点在x轴上，则a= ．（3）已知抛物线23)1(2----=kxkxy与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且1722=+βα，则k的值是．分析（1）抛物线324)1(22-+++=kkxxky与x轴相交于两点，相当于方程324)1(22=-+++kkxxk有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．（2）二次函数232)1(2-++-=aaxxay的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程232)1(2=-++-aaxxa的两个实数根相等，即⊿=0．（3）已知抛物线23)1(2----=kxkxy与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程023)1(2=----kxkx的两个根，又由于1722=+βα，以及αββαβα2)(222-+=+，利用根与系数的关系即可得到结果．实践与探索1例1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）0322=-+xx；（2）02522=+-xx．分析上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线2xy=的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．解（1）在同一直角坐标系中画出函数2xy=和32+-=xy的图象，如图26．3．5，得到它们的交点（-3，9）、（1，1），则方程0322=-+xx的解为–3，1．（2）解题略实践与探索2例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22321xyxy；（2）⎩⎨⎧+=+=xxyxy2632．分析（1）可以通过直接画出函数2321+-=xy和2xy=的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．当1≤x≤2。
拓展26.5二次函数解析式的确定(教案)1-5
二次函数解析式的确定教学目标：1、 经历对于确定二次函数解析式所需独立条件的个数的探索过程，体会待定系数的个数与所需独立条件的个数之间的关系；2、 对于一个二次函数，能根据它的解析式说出图像的基本特征；在已知图像上三点坐标、或已知图像顶点的坐标和另一条件、或已知图像与x 轴两交点的坐标以及另一条件的情况下，会用待定系数法求这个函数的解析式；3、 通过解决现实生活中简单实际问题的举例，体会二次函数的基本应用。
教学重点：第一课时：复习已知二次函数图像上三点的坐标求二次函数解析式，并进一步掌握二次函数图象的基本特征。
第二课时：学会运用待定系数法，在已知二次函数图像的顶点或对称轴的情况下，结合其他条件，求这个函数的解析式。
第三课时：学会运用待定系数法，在已知二次函数图像与x 轴的两个公共点的情况下，求这个函数的解析式。
第四课时：在确定二次函数的解析式和研究二次函数的过程中，感受二次函数与平面几何知识的综合应用，提高数学思维的能力和品质。
第五课时：体会二次函数在解决实际问题中的应用的过程，培养学生俄数学应用意识和能力 教学过程： 第一课时： 例1例2 已知二次函数的图像经过A （4 ，5）、B （2 ，– 3）、C （0 ，– 3），（1）求这个二次函数的解析式；（2）指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，以及图像的变化趋势一般的，确定二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的解析式，就是要确定a b c 、、的值，如果已知二次函数图像上的三个点的坐标（或自变量与函数值的三组对应值），那么可列出关于a b c 、、的方程组，通过解方程组求得a b c 、、的值.例3 已知二次函数243y x x =-+-，（1）判断点A （2 , 1）、B （4 , 3）是否在函数图象上； （2）求出函数图像与坐标轴的公共点的坐标；（3）指出函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，以及图像的变化趋势；第二课时：二次函数顶点式： y = a ( x + m ) 2 + k ( a ≠ 0 )三个系数，三个条件确定解析式其中有一个条件必与顶点、对称轴或最大最小值有关例4 已知二次函数图像的顶点坐标为( 2 , – 3 )，且过点A ( 3 , – 1 )，求此二次函数解析式；例5 已知二次函数图像过点A ( 1 , 0 )和B ( 0 , 3 )，对称轴为直线 x = – 1，求此二次函数解析式一般的，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴是直线x m =-，顶点坐标是(,)m k -，如果已知二次函数图象的顶点坐标及一个其他条件，就可以用2()(0)y a x m k a =++≠能确定这个函数的解析式.例6 二次函数 y = x 2 + 2( m – 3 )x + 9 的图像的顶点在坐标轴上，求此二次函数解析式 第三课时例7 已知二次函数2y ax bx c =++的图像与 x 轴的两个公共点的横坐标分别是 3、– 1，图像与 y 轴公共点的纵坐标是32-，求这个函数解析式一般的，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有12((,0)A x B x ,0)、两个公共点，那么12x x 、是方程20ax bx c ++=的两个实数根，这时，212()()ax bx c a x x x x ++=--，于是这个二次函数的解析式就可以表示为12()()y a x x x x =--，其中 x 1、x 2是图像与x 轴公共点的横坐标例8 已知Rt △ABC 的斜边AB 在x 轴上，斜边上的高OC 在y 轴正半轴上，且OA = 1，∠ACO = 30°，求过A 、B 、C 三点的抛物线的表达式补1、已知抛物线经过点 A( – 1 , 0 )，B( 3 , 0 )，与 y 轴交于点C ， （1）若△ABC 的面积为 8，求此抛物线解析式； （2）若BC =补2、有一个二次函数的图像，甲、乙、丙三位学生分别说出了它的一些特征： 甲：对称轴是直线 x = 4；乙：与x 轴的两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴的交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形的面积为3， 请写出满足上述全部特征的一个二次函数的解析式课后小结：二次函数的三种不同形式：一般式：y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 待定系数法、三个条件确定解析式 顶点式：y = a ( x + m ) 2 + k ( a ≠ 0 ) 条件与顶点、对称轴或最大最小值有关 两根式：y = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) ( a ≠ 0 ) x 1、x 2 是抛物线与x 轴的交点横坐标 根据条件选择最恰当的形式 第四课时例9 已知一个二次函数的图像经过点P （– 2 , 7），对称轴是直线x = 1，图像在x 轴上截得的线段长为8，求这个函数的解析式例10 已知抛物线2110y x mx n =++的对称轴是直线x = 10，并且过点M （30 , 20） （1）求这条抛物线的表达式；（2）如图，矩形OCBA 的边OA 、OC 分别在x 轴和y线上，求点B 、C 的坐标；（3）设抛物线的顶点为P ，试判断△PBC 的形状补3、已知：二次函数2(1)y x m x m =-++其中（m > 1）与 x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与 y 轴相交于点C ，（1）求点A 、B 、C 的坐标（可用 m 的代数式表示）； （2）当△ABC 的面积为6时，求这个二次函数的解析式。
九年级数学下第五章二次函数5.2二次函数的图象与性质5.2.3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
知2－讲
例2 [期末·南通] 关于抛物线y＝－x2－2x－3，下列说法 中错误的是( C ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线x＝－1 C. 当x＞－1 时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标为(－1，－2)
知2－讲
解题秘方：紧扣函数表达式中的系数和二次函数的性 质逐一判断各个选项中的说法是否正确
当x= －2ba 时，
4ac－b2
y最小值= 4a
当x= －2ba 时， y最大值= 4ac－b2
4a
活学巧记：
知2－讲
曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，顶点纵标是最值.
如果要画抛物线，描点平移两条路.
提取配方定顶点，平移描点皆成图.
列表描点后连线，五点大致定全图.
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小都不变
a>0
a<0
开后方向
对称轴
向上
向下
对称轴 顶点坐标
增减性
最值
知2－讲
直线 x=－2ba
(－2ba，4ac4－a b2)
当x< －2ba 时，y 当x< －2ba 时，y 随 随x的增大而减小；x 的增大而增大； 当x> －2ba 时，y随 当x> －2ba 时，y 随 x的增大而增大 x的增大而减小
又∵
4ac－b2 4×(－1)×(－3)－(－2)2
4a =
4×(－1)
=－2，∴顶点坐
标是(－1，－2)，故选项D 正确.
方法总结：
知2－讲
若不画图像直接得出函数图像的特征，则必须根据
函数图像的特征与二次函数表达式中系数之间的
关系来确定.对于抛物线y=ax2+bx+c，其中a决定
数学《二次函数》优秀教案
数学《二次函数》优秀教案数学《二次函数》优秀教案（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，可能需要进行教案编写工作，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。
教案要怎么写呢？以下是店铺为大家整理的数学《二次函数》优秀教案，仅供参考，欢迎大家阅读。
数学《二次函数》优秀教案篇1教学目标（一）教学知识点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标。
（二）能力训练要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。
2、通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
3、通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
（三）情感与价值观要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2、具有初步的创新精神和实践能力。
教学重点1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标。
教学难点1、探索方程与函数之间的联系的过程。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
教学方法讨论探索法。
教具准备投影片二张第一张：（记作§2.8.1A）第二张：（记作§2.8.1B）教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0（k≠0）和一次函数y=kx+b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系。
当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。
第26章第1节二次函数第5课紫石中学
《二次函数》教学案单位：紫石中学年级：九年级设计者：陆榴荣时间：《二次函数》（新授）课 题：人教版初中数学九年级下册《二次函数》 执教时间：2009年3月20日 执教班级：紫石中学九年级九班 执教老师：陆榴荣教学过程：师：同学们，今天这节课，我们一起来研究和学习如何通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
昨天我们已经研究并得出抛物线2)(h x a y -=+k 的特点。
并请大家课后理解记忆的。
现在那位同学先来展示一下你的成果？生1：（1）当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下。
（2）顶点坐标是(h , k). 师：不错！那位同学还有补充？ 生2： 还有对称轴是x =h师：还有同学有不同意见,请说： 生3：对称轴要强调是直线x =h.师：这位同学补充得很好。
下面我们来看一题具体的题目：你能说出函数 y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？（学生踊跃发言）师：同学们你能说出函数y ＝－21x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?（同学们思考，小组讨论激烈）师：我看大部分同学都已得出了该题的解答方法，现在请各组展示你们的优秀成果．生4（一组）：我们是先把函数的图像画出来，然后再依据函数的图像说出开口方向、对称轴和顶点坐标．生5（三组）：我们没有画图像，而是根据以前学过的配方法把y ＝－12x 2＋x －52化成2)(h x a y -=+k 的形式。
然后直接得出开口方向、对称轴和顶点坐标． 师：两位同学从不同的角度对本题进行了解答，都很不错．但比较而言，你们更喜欢那组同学的？生众：第三组！师：第一组同学是根据我们前面所学过的图像法来解答这道题的，但是在画图的过程中大家会发现一个很棘手的问题就是到底取哪几个点；而第三小组的同学巧妙运用了我们在一元二次方程那一章所学过的配方法，不需要画图像．两组同学的都不错!评：先由学生自己对题进行思考，在课堂上展示后再通过师生的共同评价修正，学生的主动性和积极性得到了充分的发挥，比只由教师讲解学得主动、理解深刻．教师以一个参与者的身份积极参与交流与评价，为学生大胆地探索、积极交流，融造了宽松的心理环境和民主、平等、和谐的课堂环境．师：通过配方变形，说出函数8822-+-=x x y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?大家先自己求解，要求速度快并运算准确。
渝北区八中九年级数学下册第二章二次函数5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程根的关系
A．(－1 , 0)
B．(4 , 0)
C．(5 , 0)
D．(－6 , 0)
7．(2018·孝感)如下图 , 抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2 , 4) , B(1 , 1) , 那么方程ax2＝bx＋c的x解1＝是－__2__,__x_2_＝__1__．
8．二次函数y＝x2＋ax＋a与x轴的交点分别是A(x1 , 0) , B(x2 , 0) , 且x1＋x2＝－10 , 那么a的值是10____．
A
B
C
不在同一直线上的三点确定一个圆
已知 : 不在同一直线上的三点A、B、C 求作 : ⊙O使它经过点A、B、C
A
NFBiblioteka BEOC M
作法 : 1、连结AB , 作线段AB的垂直平分 线MN ; 2、连接AC , 作线段AC的垂直平分 线EF , 交MN于点O ; 3、以O为圆心 , OB为半径作圆。
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
第24章
三点确定圆2
生活生产中的启示
问题 : 车间工人要将一个如下图的破损的圆
盘复原 , 你有办法吗 ？
知识回顾
1、过一点可以作几条直线 ？ 2、过几点可确定一条直线 ？
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情况两个: 交__点______一__个、交点 ________、无_交__点_____________．
(1)当二次函数的图象与x轴有_两__个__交__点___ , 这时b2－4ac>0 , 那么方程有两个不相等的实 一个数交根点 ;
闸北区四中九年级数学下册 第二章 二次函数 5二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数的图象与x轴
11．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如下图 , 假设－3＜y＜0 , 那 么x的取值范围是____－__1_<_x_<_0_或__2_<_x_<_3_______．
12．关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在 －1和0之间(不包括－1和0) , 那么a的取值范围是－__94_<_a_<_－__2____．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来问题不全面 13．假设函数y＝mx2－(m－3)x－4的图象与x轴只有一个交点 , 那么m 的值为D( ) A．0 B．1或9 C．－1或－9 D．0或－1或－9
18．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图 , 以下结论 : ①2a＋b ＝0 ; ②a＋c>b ; ③抛物线与x轴的另一个交点为(3 , 0) ; ④abc>0.其中 准确的结论是______①__④．(填序号)
19．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数y＝x的图象如下图 , 给出 以下结论 : ①b2－4ac＞0 ; ②a＋b＋c＝1 ; ③当1＜x＜3时 , ax2＋(b－ 1)x＋c＜0 ; ④二次函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象经过(1 , 0)和(3 , 0)． 其中准确结论的序号是_____②__③_．④
8．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)． (1)求证 : 不论m为何值 , 该函数的图象与x轴没有公共点 ; (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后 , 得到的函数的图 象与x轴只有一个公共点 ？
(1)∵Δ＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)＝－12＜0 , ∴方程x2－2mx＋m2＋3 ＝0没有实数解 , 即不论m为何值 , 该函数的图象与x轴没有公共点 (2)y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3 , 把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿 y轴向下平移3个单位长度后 , 得到函数y＝(x－m)2的图象 , 它的顶点坐 标是(m , 0) , 这个函数的图象与x轴只有一个公共点 , ∴把函数y＝x2－ 2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后 , 得到的函数的图象 与x轴只有一个公共点
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二次函数( 二次函数(五)
温故知新
(１)回忆 函数 y = a(x − h)
2
+ k 的图象特征与性质? 的图象特征与性质?
(２)确定下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 确定下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
2
y = −2(x + 3) − 4
2
1 2 y = (x −1) + 5 3
1 2 (3)你能求出函数 的顶点坐标吗? (3)你能求出函数 y = x − 6x + 21的顶点坐标吗? 2
合作交流,解读探究 合作交流 解读探究
1.函数 1.函数
y = ax +bx + c的图象的画法. 的图象的画法. 1 2 做一做】 的图象. 【做一做】画出二次函数 y = x − 6x + 21的图象. 2 1 2 解: y = x − 6x + 21 2 1 2 = (x −12x) + 21 2 1 2 = (x −12x + 36 −36) + 21 2 1 2 = (x − 6) + 3 2
【归纳】:一般地,我们可以用配方法求抛物线 归纳】 一般地,
y = ax + bx + c的顶点与对称轴: 的顶点与对称轴:
2
y = ax +bx + c b 2 4ac −b2 = a(x + ) + 2a 4a
2
b 因此, 因此,抛物线 y = ax + bx + c的对称轴是 x = − 2a 2 b 4ac −b , ) . 顶点坐标是 (− 2a 4a
(1) y =−x + 6x +1
2
(2) y = −2x +8x −8
2
类型一：二次函数的实际应用。 类型一：二次函数的实际应用。
例题2 用总长为60cm的篱笆围成的矩形场地. 例题2：用总长为60cm的篱笆围成的矩形场地.矩形面积 60cm的篱笆围成的矩形场地 随矩形一边长Ｌ的变化而变化，Ｌ是多少时， ，Ｌ是多少时 Ｓ随矩形一边长Ｌ的变化而变化，Ｌ是多少时，场地的 面积Ｓ最大？ 面积Ｓ最大？ 【议一议】 议一议】 ）Ｓ与 有何函数关系？ （１）Ｓ与Ｌ有何函数关系？ 举一例说明Ｓ （２）举一例说明Ｓ随Ｌ的变 化而变化的情况？ 化而变化的情况？ 怎样求Ｓ的最大值呢？ （３）怎样求Ｓ的最大值呢？ 变式题：已知直角三角形两条直角边的和等于８ 变式题：已知直角三角形两条直角边的和等于８，两条 直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大， 直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大 值是多少？ 值是多少？
2
(5)已知二次函数 (5)已知二次函数: y = x − 2x −3 已知二次函数: y = a(x − h)2 + k 的形式,并指出抛 的形式, ①把函数化为 物线的开口方向,顶点坐标和对称轴; 物线的开口方向,顶点坐标和对称轴; 画出这个函数的图象; ②画出这个函数的图象; 根据图象回答: 取何值时, 的增大而增大? ③根据图象回答: x取何值时, y 随 x的增大而增大? x取何值时, y 随 x的增大而减小? 取何值时, 的增大而减小? 根据图象回答: 有最大值还是最小值, ④根据图象回答:函数 y有最大值还是最小值,最值 是多少? 是多少? 根据图象回答: 取何值时, ⑤根据图象回答: x取何值时, y > 0, y = 0, y < 0 ?
2
(3)若二次函数 (3)若二次函数 y = ax + 2x + a -1 图所示, 的值是______. 图所示,则 a的值是______.
2
2
−1(a Leabharlann 0) 的图象如 y0x
(4)二次函数 (4)二次函数 y = 2x +bx + c 的顶点坐标是(1,-2), 的顶点坐标是(1, (1,则 b = -4 c= 0 _____, _______.
【归纳】:一般地,因为抛物线 归纳】 一般地,
y = ax + bx + c
2 2
的顶点是最低( 的顶点是最低(高)点, 又: y = ax
+bx + c
b 4ac −b2 的顶点坐标为: 的顶点坐标为: (− , ) 2a 4a
b x =− 所以当: 所以当: 2a 2 二次函数 y = ax + bx + c 4ac −b2 有最小( 有最小(大)值 : 4a
2
1 的图象. 画出二次函数 y = (x − 6)2 + 3 的图象. 2
【想一想】(1)列表取值应注意什么问题? 想一想】(1)列表取值应注意什么问题 列表取值应注意什么问题? (2)画函数 (2)画函数 点式? 点式?
y = ax +bx + c的图象为何先要将其化为顶
2
... 15
2
7 5 2
总结反思,拓展升华 总结反思 拓展升华
【总结】本节所学的数学知识: 总结】本节所学的数学知识: y = ax2 +bx + c的图象画法,其对称轴, (1)二次函数 的图象画法,其对称轴, (1)二次函数 顶点坐标公式. 顶点坐标公式. (2)利用函数的极值 解决实际问题,本节课所用的方法是: 利用函数的极值, (2)利用函数的极值,解决实际问题,本节课所用的方法是: 配方法,图象法. 配方法,图象法. 【反思】实际问题中,二次函数的最大(或最小)值一定在 反思】实际问题中,二次函数的最大(或最小) 抛物线的顶点取得吗? 抛物线的顶点取得吗?
2
应用迁移， 应用迁移，巩固提高
类型一：用配方法求二次函数 y = ax + bx + c的图 类型一： 象顶点坐标。 象顶点坐标。
2
y = a(x − h)2 + k 例题1 例题1：用配方法把下列函数写成
的形式,并写出它们的开口方向,对称轴和顶点坐标. 的形式,并写出它们的开口方向,对称轴和顶点坐标.
y = ax2 +bx + c 拓展】用待定系数法求解析式: 【拓展】用待定系数法求解析式:
已知一个二次函数的图象经过了点A(0, 已知一个二次函数的图象经过了点A(0,-1),B(1,0), A(0,C(-1,2),求其解析式 求其解析式. C(-1,2),求其解析式.
巩固练习
(1,(1,-4) (1)抛物线 (1)抛物线 y = x − 2x −3 的顶点坐标是________,对 的顶点坐标是________, ________,对 称 x =1 轴是_________. 轴是_________. 2 -1 (2)抛物线 (2)抛物线 y = 2x + 4x + 5的对称轴是 x = ________.
7 15 ... 3 5 2 2
y = ax2 +bx + c 的顶点与对称轴. 2.用配方法求抛物线 的顶点与对称轴. 2.用配方法求抛物线 b 2 2 解: y = ax + bx + c = a(x + x) + c a b b 2 b 2 2 = a[x + x + ( ) −( ) ] + c a 2a 2a 2 b b 2 b 2 = a[x + x + ( ) ] + c − a 2a 4a 2 2 b 2 4ac −b b 2 b = a(x + ) + c − = a(x + ) + 2a 4a 2a 4a b 2 ∴抛物线 y = ax + bx + c 的对称轴是 x = − ,顶点 2a 2 b 4ac −b , ) . 坐标为 (− 2a 4a