三角形中的取值范围

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解三角形中取值范围的求解策略例谈

技法点拨摘要：解三角形是高考数学考查的重点内容，从历年高考真题来看题型难度中等。

有关取值范围的问题是一个难点，涉及的问题主要有三角形边或边的比值的取值范围、角的取值范围、面积和周长等几类。

关键词：解三角形；取值范围；高考解三角形是普通高中数学重要的内容之一，主要研究三角形中边和角的关系，其中有关取值范围的考题是历年高考的重点和热点。

解三角形中的取值范围问题通常有三类，一是边或边的比值的取值范围；二是角的取值范围；三是三角形的周长或面积的取值范围。

本文结合实例，分析求解解三角形取值范围的常用策略。

一、运用函数思想方法求解取值范围函数思想方法，是破解取值范围和最值问题的强大武器。

运用函数思想方法的关键是合理选择自变量，在解三角形的取值范围中，主要以角为自变量，通过三角函数的有界性求解。

例1.（2020年浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知2b sin A -3a =0.（1）求角B 的大小；（2）求cos A +cos B +cos C 的取值范围.解：（1）B =π3（过程略）.（2）由A +B +C =π得C =2π3-A ，由△ABC 是锐角三角形，得ìíîïïïï0<A <π20<C <π2，即ìíîïïïï0<A <π20<2π2-A <π2，解得π6<A <π2.由cos C =cos(2π3-A )=-12cos A+A ，得cos A +cos B +cos C=A +12cos A +12=sin(A +π6)+12，因为π3<A +π6<2π3，sin(A +π6)≤1，<sin(A +π6)+12≤32，得cos A +cos B +cosC∈(32].故cos A +cos B +cosC ∈(3+12,32].点评：本题把求解的式子转化为关于角A 的三角函数，也可以转化为角C 的三角函数，无论转化为哪一种都有求出角的范围。

三角形中的范围问题

三角形中的范围问题
在三角形中，范围问题通常涉及到角度、边长、高、中线等元素的取值范围。

以下是一些常见的三角形中的范围问题：
1.角度范围：根据三角形的性质，一个三角形的三个内角之和为180度。

因此，
三角形的每个角都有一个范围，例如一个角最小为30度，那么其余两个角的和最大为150度。

2.
3.边长范围：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

因此，可以根据已知的两边长来计算第三边的可能范围。

4.
5.高范围：三角形的高是从顶点垂直到对应的底边的线段。

根据三角形的形状
和大小，高可以有一个范围。

例如，在直角三角形中，斜边上的高可以通过毕达哥拉斯定理计算出来，并有一个特定的范围。

6.
7.中线范围：三角形的中线是从顶点垂直到对应的底边的中点的线段。

中线的
长度也有一个范围，可以使用中线的性质来计算。

8.
解决三角形中的范围问题时，通常需要结合三角形的基本性质和几何知识，通过逻辑推理和数学计算来确定元素的取值范围。

专题三角形中的最值与取值范围问题

专题三角形中的最值与取值范围问题(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--专题三角形中的最值与取值范围问题三角形中的边与角的最值与取值范围问题，是复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起。

我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角周长面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题。

这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解主要是充分运用三角形的内角和定理，正余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质来进行解题，非常综合，是解三角形中的难点问题。

下面对这类问题的解法做下探讨。

类型一：已知一角+对边例题1：在?ABC 中，A=60°，，求（1）ABC ∆面积的最大值；（2）b c +的取值范围；（3）2b c +的最大值；（4）BC 边上高的最大值。

类型二：已知一角+边的等量关系例题2：在?ABC 中，A=60°，1b c +=，求（1）ABC S ∆的最大值；（2）a 的取值范围；（3）周长的取值范围。

类型三：已知一角+面积例题3：在?ABC 中，A=60°，ABC S ∆=（1）b c +的最小值；（2）a 的最小值。

（3）周长的最小值。

（4）112b c +的最小值。

类型四：已知角的等量关系例题4：在?ABC 中，A=2B ，则c b的取值范围为变式：在锐角?ABC 中，A=2B ，则c b的取值范围为类型五：已知两边，求面积的最值例题5：在?ABC 中，已知1,2AB BC ==，求（1）ABC S ∆的最大值；（2）角C 的取值范围。

类型六：已知一边+另两边的等量关系例题6：在?ABC 中，已知6,10BC AB AC =+=，求ABC S ∆的最大值。

变式：在?ABC 中，已知6,BC AC ==，求ABC S ∆的最大值。

高中数学专题-三角形取值范围问题-题型总结(解析版)2

三角形取值范围问题--归纳总结关于解三角形问题和取值范围有很多题型，总结起来大致可以分为两类。

第一种处理方法使用基本不等式求最值(往往结合余弦定理)，第二种处理方法转化为三角函数求值域(题目强调锐角三角形时用此法)。

需要注意的是基本不等式注意取等条件，三角函数法需要注意角的精确范围(尤其是锐角三角形时角的范围)。

题型1.三角函数和差类型方法：转换成三角函数求值域问题，注意角的范围。

【例1-1】(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A1+sin A=sin2B1+cos2B.（1）若C=2π3，求B；（2）求a2+b2c2的最小值.【解析】(1)由cosA1+sinA=sin2B1+cos2B,得cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即cosAcosB=sinB+sinBsinA,即cos(A+B)=-cosC=sinB,∵C=2π3,所以sinB=12得，B=A=π6.（2）由cos(A+B)=-cosC=sinB,得C=π2+B,A+2B=π2,由正弦定理得a2+b2 c2=sin2A+sin2Bsin2C=(2cos2B-1)2+1-cos2Bcos2B=4cos4B-5cos2B+2cos2B=4cos2B+2cos2B-5≥42-5,当且仅当cosB=(12)14时的符号成立，故最小值为42-5.【例1-2】(2022·广州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=3，且满足ab sin Ca sin A+b sin B−c sin C= 3.（1）求角C的大小；（2）求b+2a的最大值.【解析】(1)由题意得abca2+b2-c2=3,余弦定理得：a2+b2-c2=2ab∙cosC,所以cosC=a2+b2-c22ab=12,又C为△ABC内角，所以C=π3;(2)由题得asinA =bsinB=csinC=2,所以a=2sinA,b=2sinB,所以b=2sinB=2sin(A+π3),所以b+2a=2sin(A+π3)+4sinA=sinA+3cosA+4sinA=5sinA+3cosA=27sin(A+φ),且tanφ=35,又因为A∈(0,2π3),所以sin(A+φ)max=1,所以b+2a≤27,即b+2a的最大值为27.【训练1】(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.（1）求角B的大小；（2）求cos A+cos B+cos C的取值范围.【解析】(1)∵2bsinA=3a,2sinBsinA=3sinA,∵sinA≠0,∴sinB=32,∵△ABC为锐角三角形，∴B=π3,(2)∵△ABC为锐角三角形，B=π3,∴C=2π3-A,∴cosA+cosB+cosC= cosA+cos(2π3-A)+cosπ3=12cosA+32sinA+12=sin(A+π6)+12,△ABC为锐角三角形，0<A<π2,0<C<π2,解得π6<A<π2,∴π3<A+π6<2π3,∴32<sin(A+π6)≤1,∴32+12<sin(A+π6)+12≤32,∴cosA+cosB+cosC 的取值范围为(3+12,32].题型2.三角形面积最值方法一：余弦定理+基本不等式(锐角三角形不建议用).方法二：转化为三角函数求值域(任意三角形都可用).策略一：对边对角型【例2-1】(2021·衡水调研)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且a cos C+3a sin C−b−c=0.（1）求A的大小；（2）若a=3，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)由acosC+3a sinC-b-c=0,由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC,即sinAcosC+3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,可得：3sinAsinC=cosAsinC+sinC,由于C为三角形内角,sinC≠0,所以化简得3sinA-cosA=1,所以sin(A-π6)=12因为A∈(0,π2),所以A-π6∈(-π6,π3),所以A-π6=π6,即A=π3.（2）由2R=asomA=332=2,则bc=2RsinB∙2RsinC=4sinBsin(B+π3)=2(2B-π6)+1,sin因为△ABC是锐角三角形，所以B∈(π6,π2),所以(2B-π6sin)∈(12,1],可得bc∈(2,3],所以S△ABC=12bcsinA=34bc∈(32 ,334],所以△ABC的面积的取值范围是(32,334].【训练2】在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa=3cos C c.（1）求角C的大小；（2）如果c=2，求△ABC的面积的最大值.【解析】（1）因为sinAa=3cosCc=sinCc,所以sinC=3cosC,即tanC=3,由C为三角形内角得，C=π3;（2）由余弦定理得4=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b时取等号，所以ab≤4,△ABC的面积S=12absinC=34ab≤3，即面积的最大值为 3.策略二：对边异角型【例2-2】(2021·瑶海月考)若a，b，c为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C−sin2(B+C)=sin B sin C.（1）求角A；（2）若b=2，求△ABC的面积的取值范围.【解析】（1）因为sin2B+sin2C-sin2(B+C)=sinBsinC,所以sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC.由正弦定理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12,因为A为三角形内角，所以A=π3;（2）由题得bsinB=csinC,所以2sinB=csin(2π3-B),c=2sin(2π3-B)sinB=3cosB+sinBsinB=1+3tanB,因为锐角△ABC中，0<B<π20<2π3-B<π2,所以π6<B<π2,故tanB>33,0<1tanB<3,S△ABC=12bcsinA=34×2×(1+3 tanB)=32+32tanB∈(32,23).【训练3】(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A+C2=b sin A.（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】（1）asin A+C2=bsinA,即为asinπ-B2=acosB2=bsinA，可得sinAcos B2=sinBsinA=2sin B2cos B2sinA,∵sinA>0,∴cos B2=2sin B2cos B2 ,若cos B2=0，可得B=(2k+1)π,k∈Z不成立，∴sin B2=12,由0<B<π,可得B=π3;(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,由余弦定理可得b=a2+1-2a∙1∙cosπ3 =a2-a+1,由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a +1>a2,且1+a2>a2-a+1,解得12<a<2,可得△ABC面积S=12a∙sinπ3 =34a∈(38,32)策略三：夹边夹角型方法一：向量平方凑关系，结合基本不等式求最值.方法二：延长中线找对边，结合对边对角模型求值.【例2-3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A+12a=c.（1）求角B的大小；（2）若AC边上的中线BM的长为3，求△ABC面积的最大值.【解析】（1）因为bcosA+12a=c,由正弦定理可得sinBcosA+12sinA=sinC,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,所以12sinA=sinAcosB,又A为三角形内角，sinA>0,所以cosB=12,因为B∈(0,π),所以B=π3.(2)如图，延长线段BM至D，满足BM=MD,连接AD，在△ABC中，BD=2AM =23,AD=a,AB=c,∠BAD=π-B=2π3,由余弦定理，有232=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac,解得ac≤4,当且仅当a=c=2时取等号，所以S△ABC=12acsinB≤12×4×32=3,当且仅当a=c=2时等号成立，即面积的最大值为 3.AB C DE M【训练4】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知m=cos A 2,3sin A 2 ,n =−2sin A 2,2sin A2 ,且m ·n =0.（1）求角A 的大小；（2）点M 是BC 的中点，且AM =1，求△ABC 面积的最大值.【解析】（1）m ∙n =0,∴-2sin A 2cos A 2+23sin 2A 2=0,即-sinA +23×1-cosA2=-sinA -3cosA +3=0,即sinA +3cosA =3,即2sin (A +π3)=3，得sin (A +π3)=32,即A +π3=2π3,得A =π3.（2）∵点M 是BC 的中点，且AM=1，∴AM =12(AB +AC ),平方得AM 2=14(AB 2+AC 2+2AB ∙ AC ),即4=c 2+b 2+2bc ×12=c 2+b 2+bc ≥2bc +bc =3bc ,即bc ≤43,当且仅当b =c 时取等号，则△ABC 面积S =12bcsin π3=12×32bc ≤34×43=33,即三角形面积的最大值为33.题型3.三角形周长取值范围方法一：余弦定理+基本不等式(锐角三角形不建议用).方法二：转化为三角函数求值域(任意三角形都可用)策略一：对边对角型【例3-1】(2020·全国Ⅱ卷)在△ABC中，sin2A−sin2B−sin2C=sin B sin C.（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.=-12,【解析】（1）因为BC2-AC2-AB2=AC∙AB,所以cosA=AC2+AB2-BC22AC∙AB因为A∈(0,π),所以A=2π3.（2）由余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC∙ABcosA=AC2+AB2+AC∙AB=9,)2（当且仅当AC=AB时取等即（AC+AB）2-AC∙AB=9,AC∙AB≤(AC+AB2)2=34(AC+AB)2,解号），9=(AC+AB)2-AC∙AB≥(AC+AB)2-(AC+AB2得AC+AB≤23（当且仅当AC=AB时取等号），所以△ABC周长L=AC+ AB+BC≤3+23,周长的最大值为3+2 3.【训练5】(2021·江西模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a cos B=(2c−b)cos A.（1）求A；（2）若△ABC为锐角三角形，且a=1，求△ABC周长的取值范围.【解析】（1）法一：由题意得a cosB+b cosA=2c cosA;由正弦定理得sinAcosB +sinBcosA=2sinCcosA,即sin(A+B)=2sinCcosA;又sin(A+B)=sinC,所以sinC=2sinC cosA.又sinC≠0,所以cosA=12;又0<A<π,所以A=π3.解法二：结合余弦定理a×a2+c2-b22ac =(2c-b)×b2+c2-a22bc,化简得b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=12;又0<A<π,所以A=π3.(2)由正弦定理得asinA =bsinB=csinC,且a=1,A=π3,所以b=233sinB,c=233sinC;所以a+b+c=1+233(sinB+sinC)=1+233[sinB+sin(2π3-B)]=1+2sin(B+π6).因为△ABC为锐角三角形，所以得0<B<π20<2π3-B<π2 ,解得π6<B<π2.所以1+2sin(B+π6)∈(1+3,3];即△ABC周长的取值范围是(1+3,3].策略二：对边异角型【例3-2】(2021·衡水模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，sin A+a sin B=2 3.（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的取值范围【解析】（1）因为asinA =bsinB=csinC,所以asinB=bsinA,所以sinA+asinB=sinA+bsinA=4sinA=23,所以sinA=32,△ABC为锐角三角形，所以A=π3.（2）由题可得：asinA =bsinB=csinC,a=332sinB,c=3sinCsinB,a+c+3=332+3sinCsinB+3=332+3sin(2π3-B)sinB+3,所以周长=332+3(32cosB+12sinB)sinB+3=332∙1+cosBsinB+9 2=332∙1+2cos2B2-12sin B2cos B2+92=332∙1tan B2+92.又因为△ABC为锐角三角形，所以B 2∈(π12,π4)所以tan B2∈(2-3,1),所以1tan B2∈(1,2+3),所以(9+332,9+33).【训练6】(2021·江苏模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，2b sin A sin(A+C)=3a sin B.（1）求角B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC面积的取值范围.【解析】（1）∵2bsinAsin(A+C)=3asin2B,∴由正弦定理得：2sinBsinAsin(A +C)=23sinAsinBcosB,∵A+C=π-B,且sinA≠0,sinB≠0,∴sinB= 3cosB,∴tanB=3,∵B∈(0,π),∴B=π3.(2)由题意B=π3,c=2,可得S△ABC =12acsinB=3a2,由正弦定理得：a=csinAsinC=2sin(120°-C)sinC =3tanC+1,又△ABC为锐角三角形，可得0<A<90°,0<C<90°,故30°<C<90°,所以1<a<4,从而32<S△ABC<23,即△ABC面积的取值范围是(32,23).策略三：夹边夹角型方法一：向量平方凑关系，结合基本不等式求最值.方法二：延长中线找对边，结合对边对角模型求值.【例3-3】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c cos B+b cos C= 2a cos A,M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是.【解析】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c cosB+b cosC= 2acosA,利用正弦定理：sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,所以：sin(B+C) =sinA=2sinAcosA,由于：sinA≠0,所以cosA=12,0<A<π,故A=π3,因为M为BC的中点，且AM=1，所以可设BC=2x，则(2x)2=b2+c2-2bccosA,故2x2=b2+c2-bc2,利用余弦定理得c2=12+x2-2xcos∠BMA①，同理：b2=12+x2-2x∠CMAcos②由①②得：b2+c2=2+2x2,所以：b2+c2=c2+b2-bc2+2,故：(b+c)2=4+bc,整理得：(b+c)2≤4+(b+c2)2,解得0<b+c≤433,故答案为433.【训练7】(2022·石家庄模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若c cos B +b cos C =2a cos A ,AM =23AB +13AC，且AM =1，则b +2c 的最大值是.【解析】由ccosB +bcosC =2acosA ，得sinCcosB +sinBcosC =sin (B +C )=sinA =2sinAcosA ,可得cosA =12,A =π3,因为AM 2=(23AB +13AC )2=49c 2+19b 2+49bccosA =3,所以b 2+4c 2+2bc =27⇒(b +2c )2-2bc =27⇒(b +2c )2=27+2bc ≤27+(b +2c 2)2,当且仅当b =2c 取等号，得34(b +2c )2≤27⇒b +2c ≤6．b +2c 的最大值为6. 故答案为：6.【训练8】(2022·江苏模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =3b =4c ，若sin2A ≤λ(sin B +sin C )恒成立，则λ的最小值为()A .−1114B .127C .−1124D .−712【解析】设2a =3b =4c =12t (t >0),则a =6t ,b =4t ,c =3t ,sin 2A ≤λ(sinB +sinC )恒成立，即λ≥sin 2A sinB +sinC 恒成立，sin 2A sinB +sinC =2sinAcosA sinB +sinC =2a b +c ∙b 2+c 2-a 22bc =6t7t ∙16t 2+9t 2-36t 212t 2=-1114,以λ≥-1114,所以λ的最小值为-1114.故选：A.【训练9】(2022·甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=.【解析】设BD=x,CD=2x,在三角形ACD中，b2=4x2+4-2∙2x∙2∙cos60°,可得：b2=4x2-4x+4,在三角形ABD中,c2=x2+4-2∙x∙2∙cos120°,可得：c2=x2+2x+4,要使得AC AB 最小，即b2c2最小，b2c2=4x2-4x+4x2+2x+4=4(x2+2x+4)-4x-12x2+2x+4=4-12(x+1)(x+1)2+3=4-12(x+1)(x+1)2+3=4-12x+1+3x+1≥4-1223,当且仅当x+1=3x+1,即x=3-1时，取等号，故答案为：3-1.【训练10】(2022·深圳模拟)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9b2+6bc cos A=11c2,则角B的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.3π4【解析】由余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，代入9b2+6bc cosA=11c2,得9b2+3(b2+ c2-a2)=11c2,整理得b2=112(3a2+8c2),cosB=a2+c2-b22bc =a2+c2-112(3a2+8c2)2ac=34a2+13c22ac≥234×13ac2ac=12,当且仅当9a2=4c2时取“=”，又因为B∈(0,π),所以B≤π3,故选：C.【训练11】(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°.BC =2，则AB的取值范围是.【解析】方法一：如图所示，延长BA,CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=12x，AE=22x，DE=6+24x,CD=m,∵BC=2,∴(6+24x+m)sin15°=1,∴6+24x+m=6+2,∴0<x<4,而AB=6+24x+m-22x=6+2-22x，∴AB的取值范围是(6-2,6 +2).故答案为：（6-2,6+2）.方法二：如下图，做出底边BC=2的等腰三角形EBC ，B =C =75°,倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB 、EC 与A 、D ，则四边形ABCD 即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C 时，AB 趋近最小，为6-2;②直线接近点E 时，AB 趋近最大值，为6+2;故答案为：(6-2,6+2).m12x 6+24x 22x。

谈谈解答三角形取值范围问题的思路

解题宝典三角形取值范围问题比较常见，这类问题常与函数、三角函数、平面几何、解析几何、向量相结合.常见的命题形式：（1）求三角形中某条边、某个角的取值范围问题；（2）求三角形的周长、面积的取值范围.下面结合实例，谈一谈解答三角形取值范围问题的思路.一、利用函数的性质解答三角形取值范围问题，需首先灵活运用正弦定理a sin A =b sin B =csin C 以及余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc ∙cos A 进行边角互化，使得角统一，以将目标式化为只含有角的式子.这样便可以将问题转化为三角函数最值问题，利用三角函数的性质、二次函数的性质求得最值.例1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a >b >c ，a 2<b 2+c 2，求角A 的取值范围.解：∵a 2<b 2+c 2，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc ∙cos A ，∴b 2+c 2-2bc ∙cos A <b 2+c 2，可得cos A >0，∵在△ABC 中，0<A <π，∴A ∈æèöø0，π2，∵a >b >c ，∴A >B >C ，∴π=A +B +C <3A ，∴A ∈æèöøπ3，π2，∴角A 的取值范围为æèöøπ3，π2.我们根据a 2<b 2+c 2可联想到余弦定理，于是根据余弦定理求得cos A >0，即可根据余弦函数的有界性以及三角形内角的取值范围，求得角A 的取值范围.在解答与三角形的角有关的问题时，要注意挖掘一些关于角的隐含条件：三角形的内角和为180°，锐角的范围为（0，90°），钝角的范围（90°，180°）.例2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C =2B ，求cb的取值范围.解：由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C得c b =sin Csin B ，∵C =2B ，∴c b =sin 2B sin B =2sin B ∙cos B sin B=2cos B ，在△ABC 中，A +B +C =π，∴A =π-B -C =π-3B >0，∴B <π3，∴B ∈æèöø0，π3，∴cos B ∈æèöø12，1，∴c b =2cos B ∈()1,2，即c b的取值范围为()1,2.我们先根据正弦定理将边化为角，并将目标式化为用cos B 表示；然后根据三角形内角的取值范围确定角B 的取值范围，即可根据余弦函数的有界性和单调性求得目标式的取值范围.例3.已知△ABC 为锐角三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =2，C =π3，求△ABC 周长的取值范围.解：由正弦定理得a sin A =b sin B =csin C，∴a +b sin A +sin B=c sin C =2sin π3=∴a +b =)sin A +sin B cos Böø÷sin A +sin æèöø2π3-A =4sin æèöøA +π6，∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，∴0<2π3-A <π2，∴π3<A +π6<2π3，∴sin æèöøA +π6≤1，∴23<a +b ≤4，∴C ΔABC =a +b +c ∈(2+23,6]，43即△ABC 周长的取值范围为(2+23，6].解答本题，要根据正弦定理建立三角形边角之间的关系；然后用sin A 表示三角形的周长，将问题转化为正弦函数的最值问题；再根据两角和的正弦公式和辅助角公式化简目标式；最后根据正弦函数的有界性、单调性，以及三角形内角的取值范围求得△ABC 周长的取值范围.例4.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，a sin B =b cos B ，求cos A +cos B +cos C 的取值范围.解：由正弦定理a sin A =b sin B =csin C得sin A sin B=sin B cos B ，∵△ABC 中，0<B <π，∴sin B >0，∴sin A =cos B ，∴A -π2=B ，∴C =π-A -B =π-A -æèöøA -π2=3π2-2A ，∵C ∈æèöø0，π2，∴3π2-2A ∈æèöø0，π2，∴A ∈æèöøπ2，3π4，∴cos A +cos B +cos C =cos A +sin A +cos æèöø3π2-2A =cos A +sin A -sin 2A=sin A +cos A +1-()sin A +cos A 2，设t =sin A +cos A =2sin æèöøA +π4，∵A +π4∈æèöø3π4，π，∴sin æèöøA +π4∈æèçø0，即t ∈()0，1，∴cos A +cos B +cos C =-t 2+t +1=54-æèöøt -122∈æèùû1，54，∴cos A +cos B +cos C 的取值范围为æèùû1，54.先根据正弦定理建立三边三角之间的关系；然后用角A 的正余弦表示目标式，即可将目标式统一为关于角A 的式子；再根据同角的三角函数关系式以及辅助角公式将目标式化为关于t =2sin æèöøA +π4的式子；最后根据正弦函数的有界性和二次函数的单调性求得问题的答案.利用函数的性质求解三角形的取值范围问题，首先要利用正余弦定理将边角统一，并将目标式化为关于某个角的式子；然后确定该角的取值范围，才能利用函数的单调性和有界性求得目标式的取值范围.二、利用基本不等式基本不等式：当a >0，b >0时，a +b ≥2ab .基本不等式是解答三角形取值范围问题常用的方法.先根据正余弦定理将角化为边，并将目标式用边表示出来；然后将其配凑为两式的和或积的形式，并使其中之一为定值，即可运用基本不等式求得目标式的最值.例5.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =3，C =π3，（1）求△ABC 面积的最大值；（2）求△ABC 周长的最大值.解：（1）由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，∴3=a 2+b 2-ab ，∵a 2+b 2≥2ab ，∴ab +3≥2ab ，可得ab ≤3，当且仅当a =b =3时等号成立，∴S ΔABC =12ab sin C ≤12×3×sinπ3=，∴△ABC 面积的最大值为.（2）∵a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b =3时等号成立，∴()a +b 2≥4ab =43éëùû()a +b 2-3，∴()a +b 2≤12，∴0<a +b ≤23，∴C ΔABC =a +b +c ≤33，即当a =b =3时△ABC 的周长取最大值，为33.由三角形的面积公式和已知条件C =π3可知，要求△ABC 的面积的最大值，需求得ab 的最大值.于是根据余弦定理建立关于a 、b 、c 的关系式a 2+b 2=ab +3，其中a 2+b 2为两式的和，其积为a 2b 2，利用基本不等式即可建立关于ab 的不等式.我们利用基本不等式可得出a 2+b 2≥2ab ，即可将a 2+b 2=ab +3化为a+b 的平方式，通过解不等式求得a +b 以及三角形周长的取值范围.在解答三角形取值范围问题时，要注意：（1）三角形的三边均为正数，且两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2）灵活运用正余弦定理进行边角互化，使目标式中的边角统一；（3）根据已知条件和隐含条件减少目标式中边、角的个数，使目标式简化；（4）运用转化思想，将问题转化为最值问题来求解.（作者单位：江苏省淮北中学）解题宝典44。

解三角形中相关的取值范围问题

解决与三角形相关的取值范围问题例1：在锐角ABC 中，2A B =，则c b的取值范围是例2：若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是例3：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。

（1）求B 的大小。

（2）若5b =，求ABC 周长的取值范围。

例4：在ABC 中，22223a b c ab +=+，若ABC 的外接圆半径为2，则ABC 的面积的最大值为例5：（2008，江苏）满足2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值是例6：已知角,,A B C 是ABC 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量(1cos(),cos )2A B m A B -=-+，5(,cos )82A B n -=，且98m n ⋅= （1）求tan tan A B ⋅的值。

（2）求222sin ab Ca b c +-的最大值。

通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。

这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。

理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。

希望本文能对同学们复习备考有所帮助。

巩固练习1．在ABC 中，2,1a c ==，则C ∠的取值范围为2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是3．在 R t A B C 中，2C π=，且,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b xc +=，则实数x 的取值范围为4．在锐角ABC 中，2A B =，1AC =，则BC 的取值范围是 5．在锐角ABC 中，三个内角,,A B C 成等差数列，记cos cos M A C =，则M 的取值范围是6．已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ，则a 的取值范围是 7．已知ABC 外接圆的半径为6，若面积22()ABCSa b c =--且4sin sin 3B C +=，则sin A = ，ABCS的最大值为8．在ABC 中，(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==，且sin sin m n B C ⋅=+ （1）求证：ABC 为直角三角形（2）若ABC 外接圆的半径为1，求ABC 的周长的取值范围9．在ABC 中,,A B C 所对的边分别为,,a b c A =（1）若222a c b mbc -=-，求实数m 的值（2）若a =ABC 面积的最大值。

解三角形取值范围常见题型

解三角形取值范围常见题型引言解三角形取值范围是学习三角函数的重要一环，它涉及到解三角形的边长、角度以及各种三角函数的定义域和值域。

本文将介绍解三角形取值范围常见题型，通过详细的讲解和示例，帮助读者掌握解三角形取值范围的解题方法和技巧。

一、已知两边求角度1.已知两边求角度范围当已知三角形的两条边长度时，可以通过余弦定理或正弦定理来求出角度的范围。

例题1已知三角形的两边长分别为$a=5$和$b=7$，角$C$的取值范围是多少？解题思路：根据余弦定理，我们有$$c^2=a^2+b^2-2a b\co sC$$代入已知数值，得到$$c^2=5^2+7^2-2\c d ot5\cd ot7\cd ot\c os C$$化简后可得$$\c os C=\f ra c{c^2-74}{70}$$观察到余弦函数的定义域是$[-1,1]$，所以要使上式成立，必须满足$$\f ra c{c^2-74}{70}\in[-1,1]$$解以上不等式，可得$$-8.76\le qc^2\le q152.86$$由于$c$是三角形的边长，所以$c>0$，则有$$0<c\le q\sq rt{152.86}\a pp ro x12.36$$因此，角$C$的取值范围为$\c os^{-1}\l ef t(\f ra c{c^2-74}{70}\ri gh t)\ap p ro x\co s^{-1}\l ef t(\f ra c{5.14}{7}\r ig ht)\app r ox37.27°\l eq C\l eq180°$。

2.已知两边求角度解的数量当已知三角形的两条边长度后，求解角度的数量有一定的限制。

-如果两边之和小于第三边的长度，那么无解。

-如果两边之和等于第三边的长度，那么只有一个解，此时两边和第三边构成一条直线。

-如果两边之和大于第三边的长度，那么会有两个解。

例题2已知三角形的两边长分别为$a=4$和$b=5$，$\si nC=\fr ac{5}{6}$。

解三角形中的最值及取值范围问题

1
D
C
谢谢！
3
b c 2R(sin B sin C)
4 3[sin B sin（2 - B)]
3
4 3(sin B 3 sin B 1 cos sin B 3 cos B)
2
2
4 3 3( 3 sin B 1 cos B)
2
2
12sin(B )
6
A , B C 2
例1.(2016年北京卷） ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知a2 c2 b2 2ac, (1)求B的大小. (2)求 2 cos A cos C的最大值.
解： a2 c2 b2 2ac
a2 c2 - b2 2ac
2ac cos B 2ac
cos B 2 2
解三角形中取值范围（最值）问题
学习目标
1.能利用正弦、余弦定理来解三角形； 2.掌握解决解三角形问题中的取值范围问题的常规解法：函数法，不等式法等.
知识要点归纳
（1）正弦定理：（2）余弦定理：
a b c 2R sinA sinB sinC
c2=a2+b2-2abcosC
（3）三角形面积公式：
4
4
2
2
2 cos A cos A sin A
B , A C 3
4
4
2
2
A(0, 3 ) A ( , )
2 cos A 2 sin A
4
44
2
2
当A ，即A 时，取得最大值为1.
42
4
sin(A )
4
例2：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
4 (b c)2
3 (b c)2

利用三角形的三边关系求中线或高线的取值范围

利用三角形的三边关系求中线或高线的取值范围四川省江油市雁门初级中学（621718）钟文华邮箱地址：zwhua131@三角形的三边关系为：两边之和大于第三边（或两边之差小于第三边）。

简单记为：两边之差（取绝对值）<第三边<两边之和。

除了可以运用它求第三边的取值范围，还可以有如下运用：一已知两边，求第三边上的中线取值范围例已知在三角形ABC 中，AB=10，BC=8，求第三边AC 边上的中线BD 的取值范围。

分析通过旋转，可以将ΔCBD 绕点D 旋转180°后，得到ΔAED ，于是ED=BD ，AE=CB 。

从而在ΔBAE 中利用三角形三边的关系就可以解决了；或者利用全等三角形判断。

解将ΔCBD 绕点D 旋转180°后，得到ΔAED ，则ED=BD ，AE=CB ，在ΔBAE 中，∣AB -AE ∣<BE< AB + AE ，即： 2<BE<18，∴ 1< BD < 9。

一般地：三角形的两边分别为a 、b （a>b ），则第三边上的中线p 的取值范围是：21（a -b ）< p < 21（a+b ）。

二已知一边和另一边上的中线，求第三边的取值范围例在三角形ABC 中，点D 是BC 边上的中点，AD=6，AB=7，求AC 的取值范围。

B A CE D BA CD E分析将AB 、AC 、AD 三条线段（或部分或几倍）放在同一个三角形中，利用三角形的三边关系就可以求出AC 的取值范围。

解将ΔADC 绕点D 旋转180°后，得到ΔEDB ，则ED=AD ，AC=BE ，在ΔBAE 中，∣AE -AB ∣<BE< AE + AB ，即：12-7<BE<12+7∴ 5< BE < 19∴AC 的取值范围是：5< AC < 19。

三已知两边上的高线，求第三边上的高线取值范围例已知三角形的两边上的高分别为4和6，求第三边上的高线的取值范围。

锐角三角形中最多锐角x的取值范围

锐角三角形中最多锐角x的取值范围下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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三角形中一条边的取值范围

三角形中一条边的取值范围嘿，咱今儿就来唠唠三角形中一条边的取值范围这事儿。

你想啊，三角形就好比咱生活里的一个小团体，这三条边呢，就是团体里的每个人。

那其中一条边，它可不能太任性啦，得有个度。

就说这最短的边吧，它要是太短了，那整个三角形还不得歪七扭八的呀！就好像一个团队里有个人太弱了，那这个团队能稳定吗？肯定不行啊！它得有个起码的长度，不能短得离谱。

不然其他两条边得多累呀，得拼命去拉它、扶它。

那要是这条边太长了呢？也不行呀！那它不就成了“霸主”啦？其他两条边在它面前都没啥存在感了。

这就好比团队里有个特别强势的人，啥都得听他的，那别人还怎么发挥呀？这样的三角形也不和谐呀。

你再想想，要是三条边长度都差不多，那多好呀！就像一个和谐的小团队，大家相互配合，共同努力，多棒！咱再打个比方，这三角形的边就像咱吃饭用的筷子。

太短了，夹菜都费劲，够不着呀！太长了呢，又不好使，容易碰这碰那的。

只有长度合适，才能顺顺利利地夹到美味的菜肴。

那这一条边的取值范围到底咋确定呢？这可得好好琢磨琢磨。

它得和其他两条边有关系呀。

不能比另外两条边的和还大，要不然根本就围不成三角形，那不就白折腾啦？但也不能太小，小到没啥作用。

所以说呀，这三角形中一条边的取值范围可重要啦！咱得重视起来。

就像咱过日子一样，得把握好那个度，不能太过分，也不能太憋屈。

你说，要是三角形的边都能自己选择长度，它们会不会也很纠结呀？哈哈！不过咱可得帮它们把好关，让它们组成的三角形稳稳当当的。

总之，三角形中一条边的取值范围这事儿，看似简单，实则暗藏玄机。

咱得仔细研究，认真对待，才能让这些三角形发挥出它们最大的作用呀！这可不是闹着玩的，咱得好好琢磨琢磨，可别小瞧了它哟！。

三角形周长取值范围

三角形周长取值范围三角形是几何中最常见的图形之一，它是由三条直线相交构成的。

一个三角形的周长是指三角形所有边之和，它是用来测量三角形所占用的实际面积的最直接的方式。

三角形周长的取值范围受到边的长度及角的大小的限制，不同的三角形可能具有不同的周长取值范围。

首先要讨论的是三角形的周长的最小值。

三角形的最小周长取决于它的最短边，并且这条边的长度不能小于3个单位。

因此，根据定义，三角形的周长不能小于3个单位。

接下来要讨论的是三角形的最大周长，与最小周长一样，最大周长也依赖于三角形的边和角度。

根据勾股定理，三角形的各边之和不能大于两条边之和的长度，即相邻两条边之和的平方不得大于相邻两条边的平方之和。

这就是亚历山大定律，也被称为三角形的不等式。

由此可知，三角形的最大周长取决于它的边长及角度，其最大值是相邻两条边之和。

此外，由于边长及角度的不同，各种三角形可能具有不同的周长取值范围。

例如，等腰三角形的周长取值范围为3至3√3；而直角三角形的周长取值范围为3至4；而钝角三角形的周长取值范围为3至2√3。

此外，三角形的周长取值范围还受到它们的面积的影响。

从另一方面说，可以通过测量三角形的面积来测算它们的周长取值范围。

例如，测量某个三角形的面积可以得出它的周长取值范围。

最后，三角形的周长取值范围还受到它们是否属于正三角形的影响。

正三角形是一种面积为正数，三条边都相等的三角形，它的三条边的和可以表示为3m，其中m是边的长度。

正三角形的周长取值范围只有在3m内才有效，一旦边的长度超过3m，它就不再是正三角形，它的周长取值范围也会发生变化。

综上，三角形的周长取值范围受到它们的边长及角度的影响。

它的最小周长取值为3个单位，最大周长取值受到它们的边长及角度的限制，最大值是相邻两条边之和。

三角形的周长取值范围还受到它们的面积及是否属于正三角形的影响。

三角形两边之差的取值范围

三角形两边之差的取值范围一、引言在几何学中，三角形是最基本的图形之一，其性质和特点被广泛研究。

其中，三角形两边之差是一个重要的概念，对于理解三角形的构成和性质具有重要意义。

本文将详细探讨三角形两边之差的取值范围，并分析其几何意义和应用。

二、三角形两边之差的定义在任意三角形ABC中，假设三边的长度分别为a、b和c。

那么，两边之差可以定义为|a-b|、|b-c|和|c-a|。

这里，我们使用了绝对值符号，以确保差值为正数。

三、三角形两边之差的性质1.最大值：根据三角形的不等式定理，任意两边之和大于第三边，即a+b>c、b+c>a、c+a>b。

因此，两边之差的最大值小于第三边，即|a-b|<c、|b-c|<a、|c-a|<b。

2.最小值：由于三角形的三边都是正数，所以两边之差的最小值是0，即|a-b|≥0、|b-c|≥0、|c-a|≥0。

四、三角形两边之差的取值范围的意义1.判定三角形的形状：通过比较三角形两边之差与第三边的关系，我们可以判断三角形的形状。

例如，如果两边之差等于第三边，则三角形为等腰三角形；如果两边之差小于第三边且不等于0，则三角形为不等边三角形。

2.解决几何问题：在解决一些几何问题时，需要考虑三角形两边之差的取值范围。

例如，在证明两线段相等或求解线段长度时，可以利用三角形两边之差的性质进行推导和计算。

3.实际应用：在实际应用中，三角形两边之差的取值范围也具有重要意义。

例如，在工程设计和建筑结构中，需要考虑材料的强度和稳定性，以确保结构的安全性。

通过了解三角形两边之差的取值范围，可以更好地进行结构设计和优化。

五、结论本文详细探讨了三角形两边之差的取值范围及其意义。

通过分析三角形两边之差的定义、性质和应用场景，我们可以更好地理解三角形的构成和性质，为解决几何问题提供有效的工具和方法。

同时，研究三角形两边之差的取值范围也有助于推动几何学的发展和应用。

六、展望未来研究方向可以包括：深入探讨不同类型三角形（如直角三角形、等边三角形等）的两边之差的取值范围及其特点；研究三角形两边之差与其他几何量（如角度、面积等）之间的关系；以及拓展三角形两边之差在实际应用中的新领域和新用途。

三角形为锐角三角形则角的范围

三角形为锐角三角形则角的范围三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角构成。

在三角形中，角是一个非常重要的概念，它决定了三角形的性质和类型。

三角形根据内部角的大小可以被分为三种类型：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

在本文中，我们将重点讨论锐角三角形，并探讨锐角三角形角的范围。

首先，我们来看一下什么是锐角三角形。

锐角三角形是指三角形内的三个角都是锐角的三角形。

在锐角三角形中，每个角都小于90度。

这意味着三角形的三个内角之和小于180度。

锐角三角形是一种很常见的三角形，也是我们在日常生活和数学课堂上经常遇到的形状。

在锐角三角形中，每个角的范围是多少呢？要回答这个问题，我们需要了解一些基本的几何知识。

根据三角形内角和定理，三角形的内角之和等于180度。

因此，在一个锐角三角形中，三个角的和必须小于180度。

换句话说，每个角必须小于90度才能保证它是一个锐角三角形。

接下来，让我们更深入地研究锐角三角形角的范围。

在一个锐角三角形中，每个角的大小可以是多少呢？要回答这个问题，我们可以利用三角形内角的性质进行计算。

设锐角三角形的三个角分别为A、B、C，且A < B < C。

根据三角形内角和定理，我们可以列出如下不等式：A +B +C < 180度由于A、B、C都是锐角，因此A、B、C的范围分别为0度到90度之间。

根据这个范围，我们可以进一步推导出A、B、C各自的具体取值范围。

例如，A的取值范围为0度到90度，B的取值范围为0度到90度，C的取值范围为90度到180度。

通过以上推导，我们可以得出结论：在一个锐角三角形中，每个角的范围是0度到90度。

这意味着在一个锐角三角形中，每个角都是一个锐角，且每个角的大小都在0度到90度之间。

这个结论对于理解和分析锐角三角形的性质和特征具有重要意义。

让我们总结一下本文的重点，我们可以发现，本文通过对锐角三角形的定义和性质进行分析，深入探讨了锐角三角形角的范围。

等腰三角形底边取值范围

等腰三角形底边取值范围
等腰三角形是指两条边相等的三角形。

底边取值范围取决于等腰三角形的其他两条边的长度以及角度。

假设等腰三角形的两条等边的长度为a，底边的长度为b，顶角为θ。

首先，根据三角形的性质，任意一个三角形的一条边的长度必须小于另外两条边的长度之和。

因此，底边b的取值范围为0 < b < 2a。

其次，根据三角形的角度关系，顶角θ的取值范围为0°< θ < 180°。

综合考虑，等腰三角形底边的取值范围为0 < b < 2a，其中a 为等腰三角形的等边长度，b为底边长度。

这个范围确保了底边不会超过等边的两倍长度，同时符合三角形的角度和边长关系。

三角形周长的取值范围

三角形周长的取值范围三角形的周长是指三角形的三边加起来的总长度。

在计算三角形的周长时，我们需要知道三角形的三边长。

而对于三角形周长的取值范围，我们并不能给出一个具体的数值，而是需要从一些基本概念和数学知识出发，逐步探讨相关的内容。

首先，我们需要了解三角形的基本概念。

三角形是指由三条线段连接而成的图形。

它有三个顶点、三个内角、三个外角和三个边。

三角形的边可以是不等长的，但是任意两条边的长度之和必须大于第三条边的长度，这就是三角形的重要性质之一。

这个定理叫做三角形的两边之和大于第三边。

基于这个定理，我们可以得知三角形周长的取值范围。

假设三角形的三边长分别为a、b、c，那么根据上述定理，我们可以列出一个不等式：a +b > cb +c > ac + a > b将三个不等式相加，我们可以得到：2a + 2b + 2c > a + b + c也就是说，三角形周长的取值范围是大于三角形三边长之和的两倍。

因此，我们可以得出一个简单的公式：周长 > 2 × (a + b + c)这个公式可以用来计算三角形周长的最小取值。

但是，这个公式并不是三角形周长的最大取值，因为在三角形中，三个角度之和必须为180度。

如果三角形的两条边都很长，第三条边的长度可能非常短，使得三角形无法满足三个角度之和为180度的条件。

因此，三角形的边长不能任意取值，必须要满足一些限制条件。

另外，我们还需要知道三角函数的一些基本概念和用法。

三角函数是一组关于角度的函数，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

在计算三角形的周长时，我们可能需要使用三角函数来计算角度的值。

例如，我们可以利用余弦定理来计算三角形的某个角度的值。

余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2ab cos C其中，c表示三角形的斜边，a和b表示三角形的两个其他边，C表示连接斜边c的两个角度之一。

如果我们已经知道了三角形的三边长，那么就可以通过余弦定理来计算三角形的某个角度。

中线长的取值范围

中线长的取值范围中线长，是指在一个三角形中，连接底边中点与对角线顶点的线段的长度。

它是三角形的一个重要参数，也是计算三角形面积和周长的重要因素之一。

中线长的取值范围，是我们学习三角形知识时必须掌握的内容之一。

对于任意一个三角形，它的三条中线分别连接底边的中点与对角线顶点。

其中最长的一条中线，连线两个底边的中点，被称为该三角形的中位线。

根据中位线定理，中位线的长度等于底边长度的一半。

因此，对于任意三角形ABC，其中位线CD的长度，满足 0＜CD≤AB/2。

此外，我们还常常听到“三角形面积公式”——S=（a×h）/2，其中a为底边长度，h为底边到顶点的高度。

实际上，当我们知道三角形任意两个顶点之间的距离时，即可求出该三角形的面积。

这时，我们可以使用中线长进行计算。

具体地说，在一个三角形ABC中，若中线DE的长度为x，则中线EF的长度为y，则三角形面积S等于S=4/3xy。

我们可以根据这个公式，推算出三角形面积S的取值范围。

由中线长的取值范围可知，0＜x,y≤AB/2，因此 0＜S≤AB^2/4。

此外，根据三角形的不等式定理，若a、b、c为三角形的三条边长，则有a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b。

将其对应的中线长度x、y、z列出，则有z＜x+y，y＜x+z，x＜y+z。

通过数学推导，可以得出三角形面积S=4/3√(xyz(x+y+z))。

因此，我们可以进一步得出中线长的取值范围：0＜x,y,z≤(a+b+c)/4。

生动、全面、有指导意义的中线长取值范围文章，为大家介绍了中线长这一重要参数的含义及其在三角形面积计算中的应用。

通过学习中线长的取值范围，我们可以更深入地了解三角形的性质，并且更有效地计算三角形的面积与周长，进一步提高自己的数学学习成果。

tanα的取值范围

tanα的取值范围
tanα是三角函数的一种，它是指在三角形中，把直角边的一条边看成1，然后另外一条边除以它，所得的结果就是tanα，一般情况下，α都是角α的对边与其相对应的邻边的比值。

tanα的取值范围受α的角度值大小的限制，当α的角度值在（-90°，90°）范围时，tanα的取值范围是（-∞，∞）；当α的角度值在（90°，270°）范围时，tanα的取值范围是（-∞，0）或（0，∞）；当α的角度值在（270°，360°）范围时，tanα的取值范围是（-∞，-0）或（-0，∞）。

因此，总的来说，tanα的取值范围受α的角度值大小的限制，当α的角度值在（-90°，90°）,（90°，270°），（270°，360°）范围时，tanα的取值范围分别是（-∞，∞），（-∞，0）或（0，∞），（-∞，-0）或（-0，∞）。

在计算tanα的取值范围时，需要注意的是，tanα的取值范围受α的角度值大小的影响，即tanα的取值范围取决于α的角度值。

因此，在计算tanα的取值范围时，要先确定α的角度值，然后再确定tanα的取值范围。

总结，tanα的取值范围受α的角度值大小的限制，当α的角度值在（-90°，90°），（90°，270°），（270°，360°）范围时，tanα的取
值范围分别是（-∞，∞），（-∞，0）或（0，∞），（-∞，-0）或（-0，∞）。