2.2.1椭圆及其标准方程-(2)

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2.2.1椭圆及其标准方程(2)

§2.2.1椭圆及其标准方程（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】熟练椭圆方程的求解【知识回顾】1. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆的焦点坐标是（） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.小结：【新知构建】用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上．(2)设方程：①依据上述判断设方程为或．②在不能确定焦点位置的情况下也可设．(3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组．(4)解方程组，代入所设方程即为所求．例1 已知圆A ：(x ＋3)＋y ＝100，圆A 内一定点B(3，0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．例2 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．小结： 22125169x y +=【当堂练习】1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．小结：【课后作业】1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为( ) A ．5或3 B ．8 C ．5 D ．32. 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0，1)3.椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．284. 一动圆过定点A (1，0)，且与定圆(x ＋1)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心轨迹方程是__________．5. 与椭圆x 2＋4y 2＝4有公共的焦点，且经过点A (2，1)的椭圆的方程为．6.△ABC 的三边a ＞b ＞c 且成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，求顶点B 的轨迹方程。

2.2.1椭圆及其标准方程(第二课时)

把x0 x, y0 2y代入方程，得x2 4y2 4,
即 x2 y2 1.所以点M的轨迹是一个椭圆。 4
变式：已知圆x2 y2 9,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP' ,点M 在PP '上，并且PM 2MP ',求点M的轨迹。
y P
x2 y2 1 9
椭圆的标准方程 y
M
F1
O
F2
x
y
F2
O F1
M
x
焦点F1(c,0), F2(c,0)
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
这里c2 a2 b2
焦点F1(0,c), F2(0,c) y2 x2 1(a b 0) a2 b2
这里c2 a2 b2
例1.已知椭圆方程为 x2 y2 1 , 25 16
1
a b 0
a2 b2 c2
上,则ABC的周长为( B )
A.2 3
B.4 3
C.6
D.16
3.当直线y kx 2的倾斜角大于45小于90时，它和
曲线2x2 3 y2 6的公共点的个数为( C )
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
7.? 神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以
地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地
例1 在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点
M的轨迹是什么？为什么？
y
P
解：设点M的坐标为(x, y),
M
点P的坐标为(x0 , y0 ),

§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)

椭圆的定义图形标准方程焦点坐标 a,b,c的关系焦点位置的判断
MF + MF2 = 2a(2a > 2c > 0) 1
y y
a b F co 1
M M
F2 x
F 2
M
o
F 1
x
y2 x2 x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 2 a b a b
Q P ( x0 , y0 )在圆 x 2 + y 2 = 4上
2 2
y M 0
D
P
代入法
x
将 x0 = x ,
y 0 = 2 y代入上述方程 x2 + y2 = 1 4
得 x 2 + 4 y 2 = 4即
设点A 的坐标分别为（），（5 例4 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）. 直线AM BM相交于点 AM，相交于点M 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 − 4 ，求 9 的轨迹方程. 点M的轨迹方程. y
【课前练习】课前练习】
x2 y 2 过，， 1.(09山东设椭圆山东)设椭圆山东设椭圆E: 2 + 2 = 1 (a,b>0)过M(2， 2 )， a b N( 6 ,1)两点，O为坐标原点，两点，为坐标原点为坐标原点，两点（I）求椭圆E的方程；）求椭圆的方程；的方程 2 2 x y 两点, ，，两点因为椭圆E: 2 + 2 = 1过M(2， 2 )，N( 6 ,1)两点解:因为椭圆因为椭圆 a b
PD，为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M PD中点的轨迹方程。轨迹是什么图形？的轨迹方程。轨迹是什么图形？的坐标为(x,y)，点P的坐标为 ( x0 , y0 ) 解：设点M的坐标为设点的坐标为，的坐标为则

2.2.1椭圆及其标准方程(二)2

2.2.1椭圆及其标准方程（二）【教学目标】1.理解椭圆的定义及标准方程；2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学科素养】数学抽象、逻辑推理，数学运算.【教学重点】椭圆的定义及标准方程的推导.【教学难点】理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学法指导】教师启发讲授，学生探究学习.复习回顾问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？新知探究例2：如图，在圆422=+y x 上任意取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？点评：相关点法（代入法）（设计意图：利用直线中点坐标公式，探求动点轨迹）变式训练2：教材第50页B 组第一题例3：如图所示，设A ，B 的坐标分别是()()0,5,0,5-，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-，求Ｍ点得轨迹方程。

（设计意图：把直线相关知识与椭圆结合到一起，加强知识之间的联系，以此培养学生的知识串联能力）点评：参数法变式训练3：(教材第42页练习第4题)小结：求解与椭圆相关的轨迹问题的方法1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）1,4==b a ，焦点在x 轴上；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上；（3）52,10==+c b a2、椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（）A (0, ±3)B (±3, 0)C (0, ±5)D (±4, 0)3、在方程22110064x y +=中，下列a, b, c 全部正确的一项是（） A a=100, b=64, c=36 B a=10, b=6, c=8C a=10, b=8, c=6D a=100, c=64, b=36 教材第42页练习第1题、第3题.课堂小结1.椭圆的概念及标准方程；2.求椭圆方程的方法.作业布置习题2.2A 组5 、7板书设计椭圆及其标准方程1、椭圆的定义例2：例32、椭圆的标准方程课后感悟。

高中数学选修2-1课时作业6：2.2.1 椭圆及其标准方程(二)

2.2.1 椭圆的标准方程（二）1．已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 213＋y 212＝1B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1C.x 213＋y 2＝1D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 [解析]选D.由a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝13－12＝1.分焦点在x 轴和y 轴上写标准方程．2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6C ．7 D ．8[解析]选D.∵a ＝5，|PF 1|＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×5－2＝8.3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 [解析]选A.c ＝1，a ＝12()2＋12＋0＋2－12＋0＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1[解析]选B.由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4. 5．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]选C.mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n ＝1，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n，因此椭圆焦点在y 轴上，反之亦成立．6．椭圆x 2m ＋y 215＝1的焦距等于2，则m 的值是________． [解析]当焦点在x 轴时，m －15＝1，m ＝16；当焦点在y 轴时，15－m ＝1，m ＝14.[答案]16或147．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．[解析]原方程可化为x 22＋y 22k ＝1，因表示焦点在y 轴上的椭圆．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，2k ＞2.解得0＜k ＜1. ∴k 的取值范围是(0,1)．[答案](0,1)8．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．[解析]由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案]x 24＋y 23＝1 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P (3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.解：(1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意知2a ＝8，∴a ＝4，又点P (3,2)在椭圆上，∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1. ②若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵2a ＝8，∴a ＝4. 又点P (3,2)在椭圆上，∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12.∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. 由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2c ＝16,2a ＝9＋15＝24，∴a ＝12，c ＝8，∴b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 10．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．解：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，即c ＝5.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1代入P (3,4)，得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45，a 2＝5(舍去)．∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20. 能力提升1．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[解析]选B.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2.所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2.因此∠MF 2F 1＝90°，△MF 1F 2为直角三角形．2．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．[解析]当△PF 1F 2面积取最大时，S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. [答案]x 225＋y 29＝1 3．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 4. 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，如下图，求圆心P 的轨迹方程．解：设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|P A|＝10－r，即|P A|＋|PB|＝10，而|AB|＝6，∴|P A|＋|PB|＞|AB|，∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴圆心P的轨迹方程为x225＋y216＝1.。

高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程

工具
第二章圆锥曲线与方程
栏目导引
2．请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部，并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是什么曲线，并思考下面的问题：
(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定的还是运动的？
(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
A．7 倍
B．5 倍
C．4 倍
D．3 倍
工具
第二章圆锥曲线与方程
栏目导引
解析：
(1)如图所示，由已知：a＝5， △AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.
工具
第二章圆锥曲线与方程
栏目导引
(2)不妨设 F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知 P3，± 23，即|PF2|＝ 23，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 3，即|PF1|＝7 23，所以|PF1|＝7|PF2|.故选 A.
解析：由已知 2a＝8,2c＝2 15， ∴a＝4，c＝ 15， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为1y62 ＋x2＝1. 答案： 1y62 ＋x2＝1
工具
第二章圆锥曲线与方程
栏目导引
4．已知椭圆88x12＋3y62 ＝1 上一点 M 的纵坐标为 2. (1)求 M 的横坐标； (2)求过 M 且与x92＋y42＝1 共焦点的椭圆的方程．解析： (1)把 M 的纵坐标代入88x12＋3y62 ＝1 得88x12＋346＝1，即 x2＝9. ∴x＝±3.即 M 的横坐标为 3 或－3.

2.2.1椭圆及其标准方程(2)

∵y1≠0，∴y≠0.已知点 P 在椭圆上，将上面结果代入已知椭 3x2 圆方程，有＋(3y)2＝1 (y≠0)， 9
2.2.1
1．解答与椭圆有关的轨迹问题的一般思路是
2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别 .
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.1
跟踪训练 1 已知圆 A： (x＋3)2＋y2＝100，圆 A 内一定点 B(3， 0)，圆 P 过 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程．
解
如图，设圆 P 的半径为 r，又圆 P 过
点 B，∴|PB|＝r. 又∵圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10， ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6. ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. x2 y 2 ∴点 P 的轨迹方程为25＋16＝1.
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2.2.1
探究点二相关点法求轨迹方程例 2 如图，在圆 x2＋ y2＝ 4 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD， D 为垂足．当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？为什么？
解设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)， y0 则 x＝x0，y＝ 2 .从而得 x0＝x，y0＝2y
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2.2.1
x2 2 4．椭圆＋y ＝1 上有动点 P，F1，F2 是椭圆的两个焦点， 9 求△PF1F2 的重心 M 的轨迹方程．
解设 P，M 点坐标分别为(x1，y1)，(x，y) 9－1＝2 2. ∵在已知椭圆方程中，a＝3，b＝1，∴c＝

2.2.1 椭圆及其标准方程(2)

问题拓展
y
例2 如图，已知点B是圆C：(x+1)2+y2=16上一动点，A(1, 0)，线段AB的垂直平分线l 交BC于点M，求M的轨迹方程. 变题：已知动圆M过定点A(1, 0) 且与定圆C：(x+1)2+y2=16 内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
l
M C O A
B
x
y
M
C O A
B
x y 1 上的一点，若点P 例2 设点P是椭圆 16 12
到两焦点F1，F2的距离之差为2，则DPF1F2是（ B ） (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形
2
2
动圆M与圆(x+1)2+y2=36内切，与(x－1)2+y2=4 外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
标准方程焦点 a,b,c
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
F1(-c,ห้องสมุดไป่ตู้0) F2(c, 0)
F1(0, c) F2(0, -c)
a2=b2+c2 (a>b>0)
定义应用
例1 平面内到两定点A(-1,0)，B(1,0)的距离之和等于2的点的轨迹是（ D ） (A)椭圆 (B)圆 (C)直线 (D)线段
共焦点的椭圆系方程：
x2 y2 2 2 1 ( k m , k n ) 2 2 m k n k
轨迹问题
例4 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P做x 轴的垂线段PD，D为垂足. 当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
y P
M
O D x

2.2.1椭圆及其标准方程(2)

y2 b2
1
b2
a2
c2
焦点坐标：F1 -c,0,F2 c,0 F1 0,-c,F2 0,c
a a、b、c的关系： 2 b2 c2
[1] 椭圆的标准方程有几个？
答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上
答：在分母大的那个轴上。
[3] Ax 2 By 2 C 什么时候表示椭圆？
2.取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。
3.根据已知求出a、c，再推出a、b
写出椭圆的标准方程。
例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
解：因为动点到两定点的距离的和为10且大于两定点的距离，由椭圆定义知，动点的轨迹为椭圆。
和是常数12，且12 6 O1O2 ,
所以点P的轨迹是焦点为-3,0、3,0的椭圆，
且方程为标准方程：x2 + y2 = 1 a2 b2
2c 6,2a 12, c 3, a 6
b2 a2 c2 36 9 27,
∴动圆圆心的轨迹方程为：x2 + y2 = 1 36 27
x2
y2
1.
25 16
例2、已知F1、F2是椭圆
x2 4
+
y2 3
=1的两个焦点，P是椭圆上一点，
且F1PF2 =60，求PF1F2的面积。
解：由已知a=2,c=1, 设 PF1 = d1,PF2 = d2,
由椭圆的定义得d1 + d2 = 2a = 4,
在F1PF2中，由余弦定理得cos60°= d12

2.2.1椭圆的标准方程 (2)

（2）已知a 10，b 6；
（3）两个焦点坐标分别是（0，-2）、（0，2），且经过点（-
3 2
，5 ）； 2
椭圆标准方程的识别
已知方程： x2 y2 1
25 k k 9
（1）表示椭圆时实数k 的取值范围是______ （2）表示焦点在x 轴上的椭圆时实数的取值范围是_______ （3）表示焦点在y 轴上的椭圆时实数的取值范围是________ （4）椭圆的焦距长为6，则实数的值是_____
1．椭圆标准方程形式：左边是“平方＋平方”，分母不等，右边为“1”．
2．焦点在 x 轴上⇔标准方程中 x2 项的分母较大，焦点在 y 轴上⇔标准方程中 y2 项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
1．椭圆的标准方程（分类），根据条件求椭圆标准方程 2．椭圆标准方程中字母的含义及三者之间的关系 3．椭圆方程本质特征的认识
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程
1．椭圆的定义：
平面内到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2 )的点的轨迹
注意点：
1平面内
2到两个定点之和为定值 2a
32a F1F2
PF1 PF2 2a(2a 2c 0)
以F1，F2所在直线为 x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系 xOy
F1，F2的坐标分别为 - c，0，c，0
设Px，y为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知
PF1 PF2 2a
x c2 y2 (x c)2 y2 2a
将这个方程移项后两边平方，得
y
▪o F1

原创2：2.2.1 椭圆及其标准方程

2
2.椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，
25
则点P到另一个焦点的距离为( D )
A．5
B．6
C．7
D．8
定义
自主练习
椭圆类型
3.椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距
2a=8
离和为 8 ，焦距为 2 15 ，则此椭圆的标准方程为

＋x2＝1

________．
2
2
∴所求椭圆的标准方程为＋
8
12
＝1.
典例导航
题型二：椭圆定义的应用
2
2
如图所示，已知F1，F2是椭圆＋
100
36
＝1的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．
典例导航
【解析】
(1)由椭圆方程得a2＝100，b2＝36，
于是a＝10，c＝8，
15
5
＝1.
典例导航
(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3，－2)和B(－2 3，1)
思考：在上述的解题过程中，将方程组看作是关于
1
1
2 、 2 的方程组，解题过程还可以做怎样的优化？

【另解】设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)
3m+4n=1
1
1
则由已知
解得：m= ，n=
15
5
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16
③－②，得3PF1|·|PF2|＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
1
∴S＝ |PF1|·|PF2|·sin

2.2.1《椭圆及其标准方程(二)

2
x y 4
'2
'2
例 7 如图 2.1 6, 设点A, B 的坐标分别为 5,0, 5,0 . 直线 AM , BM 相交于点M , 4 且它们的斜率之积是 , 9 求点 M的轨迹方程.
A
y
M
B
O
x
图2.1 6
分析设点M的坐标为 x, y , 那么直线AM , BM 的斜率就可以用含 x, y的式子表示 .由于直线AM , 4 BM 的斜率之积是 ,因此可以建立 x, y之间的 9 关系式, 得出点M的轨迹方程.
所以设它的标准方程为
x2 a
2
你还能用其他方法求它的方程吗？

y2 b
2
1(a b 0). 由椭圆的定义知
5 3 2 ( 2) ( 0) 2 2 10, 2 2
5 3 2 2 a ( 2) ( 0 ) 2 2 2
所以 a 10.
2 2 2 b a c 10 4 6. 又因为 c 2 ，所以
复习：
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
1.椭圆的定义:
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a 2 b 2 y x 2 1(a b 0) 2 a b
B
x
x2 y2 化简, 得点 M的轨迹方程为 1 x 5 . 25 100/ 9
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 aLeabharlann =b +c例1.写出椭圆的标准方程

人教课标版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程(第2课时)》教学设计

2.2.1 椭圆及其标准方程（第二课时）一、教学目标（一）学习目标1.掌握椭圆的定义与标准方程；2.会求椭圆的标准方程. （二）学习重点用待定系数法与定义法求椭圆方程（三）学习难点掌握求椭圆方程的基本方法. 二、教学设计（一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第38页至第40页. （2）想一想：如何求椭圆的标准方程？（3）写一写：椭圆的一般方程： . 2.预习自测（1）已知6,1a c ==，则椭圆的标准方程为（）A.2213635x y +=B.2213635y x +=C.221365x y += D.以上都不对【解题过程】由于条件中只给出,a c 的值，椭圆的焦点位置不确定，有两种可能性，故答案为D.【思路点拨】求椭圆方程时，要先定型后定量. 【答案】D（2）已知椭圆的方程为222116x y m +=，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（）A.44m -≤≤B.44m -<<C.4m >或4m <-D.04m << 【解题过程】由条件可知：216m <可得：44m -<<. 【思路点拨】把握椭圆方程的结构特征解题. 【答案】B（3）若ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（）A.221259x y +=B.221(0)259y x y +=≠C.221(0)169x y y +=≠D.221(0)259x y y +=≠ 【解题过程】由条件可知：||||10||CA CB AB +=>，故点C 的轨迹是以,A B 为焦点，210a =的椭圆.考虑到,,A B C 三点构成三角形，故0y ≠. 【思路点拨】利用椭圆的定义解题. 【答案】D（4）已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12,F F ，且12||8F F =，弦AB 过1F ，则2ABF ∆的周长为（）A.10B.20C.D. 【解题过程】2251641a =+=.由椭圆的定义得：2ABF ∆的周长为：221212||||||(||||)(||||)4AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==. 【思路点拨】利用椭圆定义求解即可. 【答案】D （二）课堂设计 1.知识回顾（1）椭圆的定义；（2）椭圆的标准方程. 2.新知讲解探究如何求椭圆标准方程 ●活动① 双基口答练习①方程194522=+y x 表示到焦点1F （-6,0）和2F __（6,0）_的距离和为常数____的椭圆；②求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）125,(3,0),(3,0)a F F =-,22+12516x y = （2）5,3a c ==2222+1+125161625x y x y ==，③如果方程2214x y m +=表示焦点在x 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是(0,4). ●活动② 归纳提炼方法例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是12(2,0),(2,0)F F -，并且经过点53(,)22P -，求它的标准方程. 【知识点】椭圆的定义和标准方程. 【解题过程】法一：定义法：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x由椭圆的定义知，,102232252322522222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a所以10=a .又因为2c =，所以.6410222=-=-=c a b因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x 法二：待定系数法：由题意，椭圆的两个焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(12222>>=+b a by a x 由已知，2c =，所以.422=-b a ①又由已知，得123252222=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ②联立①②解方程组，得6,1022==b a .因此，所求椭圆的标准方程为.161022=+y x【思路点拨】先确定标准方程的形式，用椭圆的定义或待定系数法求解. 求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用椭圆的定义或待定系数法确定a 、b 的值，写出椭圆的标准方程.【答案】.161022=+y x同类训练求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦距为8，经过点(0,P ；（2）与椭圆22194x y +=有相同焦点，且过点(3,2)M -.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】（1）∵焦距是8，即28,4c c =∴=①若焦点在x轴上，则b =，222241640,a b c ∴=+=+=∴椭圆方程为2214024x y +=； ②若焦点在y轴上，则a =，22224168,b a c ∴=-=-=∴椭圆方程为221248y x +=.（2）由题意设所求方程为222215x y a a +=-，∵过点(3,2)M -∴229415a a +=-，解得215a =或23a =（舍） ∴椭圆方程为2211510x y +=.【思路点拨】牢记椭圆的标准方程【答案】（1）2214024x y +=；（2）2211510x y +=.例2.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段'PP ，求线段'PP 的中点M 的轨迹. 【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)2,(y x 因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有 4)2(22=+y x .即2214x y +=. 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1422=+y x【思路点拨】这种利用未知点表示一个或几个与之相关的已知点，从而求解未知点轨迹方程的方法，即为相关点法，是解析几何中常用的求轨迹的方法.【答案】1422=+y x ●活动③ 强化提升灵活应用例3. 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC长为，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点,A B ，求该椭圆方程.【知识点】椭圆的定义和标准方程.【解题过程】由题意知24=BC ，设椭圆的另一个焦点为D . 以直线DC 为x 轴，线段DC 的中点为原点建立直角坐标系。

高二数学2.2.1椭圆的标准方程2(经典)

高二数学2.2.1椭圆的标准方程2学案学习目标：1、掌握椭圆的标准方程，并会应用椭圆的标准方程解决一些简单问题；2、应用椭圆的定义解决焦点三角形有关问题；3、综合应用椭圆的定义与标准方程解决一些简单问题；重点：理解椭圆的定义与掌握椭圆的标准方程；难点：综合应用椭圆的定义与标准方程的解决一些简单问题；学习过程：复习与巩固1、椭圆的定义：______________________________________________________思考：命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和︱P A ︱+︱PB ︱=2a （a ＞0，且a 是常数）；命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2、椭圆的标准方程:_____________________________________________________________思考：已知52,10==+c b a ，则此椭圆的方程是 3、待定系数法：________________________________________________________________ 思考：焦点在坐标轴上，且经过两点)2,3(-A 、)1,32(-B 的椭圆方程是．完成学习目标1：掌握椭圆的标准方程，并会应用椭圆的标准方程解决一些简单问题；例1、1、若方程1222=+a y ax 表示焦点在y 轴上的椭圆 , 则a 的取值范围_________________ 1、已知方程125)43()73(22+=+++m y m x m 表示的曲线是椭圆，则实数m 的取值范围______ 练1、如果方程1422=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为。

练2、如果方程x 2＋ky 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围________________完成学习目标2：应用椭圆的定义解决焦点三角形有关问题；例2、已知21,F F 为椭圆1641002=+yx 的左右焦点，P 是椭圆上的点，且321π=∠PF F ，求此时21PF F ∆的面积练习：已知21,F F 为椭圆1641002=+yx 的左右焦点，P 是椭圆上的点，且3221π=∠PF F ，求此时21PF F ∆的面积小结：完成学习目标3：综合应用椭圆的定义与标准方程解决一些简单问题；例3、（1）已知经过椭圆1162522=+y x 的右焦点F 2做垂直于x 轴的直线AB 交椭圆与A , B 两点, F 1是椭圆的左焦点.（1）求△AF 1B 的周长；（2）如果AB 不垂直于x 轴, △AF 1B 的周长有变化吗?为什么?（2）已知P 为椭圆1422=+y x 上任意一点，1F ,2F 是椭圆的两个焦点，求（1）||||21PF PF ∙的最大值（2）2221||||PF PF +的最小值五、课堂小结：六、课堂检测：过椭圆1162522=+y x 的一个焦点M 的直线与椭圆交于B A ,，求B A ,与椭圆的另一个焦点N 围成ABN ∆的周长。

2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案

1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程教学重点：用待定系数法与定义法求曲线的方程教学难点：待定系数法教学过程：一、自学导引：（自学P41-P42） 1、椭圆定义：2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26.二、合作探究：探究1、求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.探究2、已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与，求椭圆的标准方程探究3、已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程探究4、课本P41例3三、自我检测：1．设21,F F 为定点，|21F F |=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.直线C.圆D.线段 2.椭圆171622=+yx的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（）A.32B.16C.8D.4 3.设α∈(0,2π)，方程1cos sin 22=+ααyx表示焦点在x 轴上的椭圆，则α∈A.(0,4π] B.(4π,2π) C.(0,4π) D.［4π,2π)4.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是______.5.方程11222=--m ymx表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______.6.在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程.四、学后反思：。

2、2、1椭圆及其标准方程(2)

MF1 MF2 2a (2a 2c 0)
(1) (2a 2c 0) 焦点在x轴上,中心在原点：
y
M(x,y) F1
(2) 焦点在y轴上,中心在原点：
y
F2
M(x,y)
o
2
F2 x
y
x y 2 1 a b 0 a2 b
2
o
M
x
F1

b a o c F2 x

椭圆的定义
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y
y M M
F2 x F 2
M
图形标准方程焦点坐标 a,b,c的关系
焦点位置的判断
2
a b F co 1
2
o
F 1
x
x y 2 1 a b 0 a2 b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
11
例 1 已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a 2 c 2 36 4 32 x2 y2 1. ∴所求的轨迹方程为 32 36
13
例 3 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x , y )