八年级数学因式分解的复习与提高华东师大版知识精讲

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华师大版八年级下册初二数学(提高版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

华师大版八年级下册数学重难点突破全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习分式的概念和性质（提高）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】【403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如aπ是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与ab-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】类型一、分式的概念【403986 分式的概念和性质例1】1、指出下列各式中的整式与分式：1x ，1x y +，2a b +，x π，231x -，23-，232y -+，2x x，24y ．【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【答案与解析】解：整式有：2a b +，x π，23-，232y -+，24y ；分式有：1x ，1x y +，231x -，2x x ．【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一个是把π也看作字母来判断，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后再判断，如x 和2x x，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义，分式值为0 【403986 分式的概念和性质例2】2、当x 取什么数时，下列分式有意义？当x 取什么数时，下列分式的值为零？（1）21x x +；（2）25x x-；（3）2105x x --．【答案与解析】解：（1）当210x +≠，即21x ≠-时，分式有意义．∵ 2x 为非负数，不可能等于－1， ∴ 对于任意实数x ，分式都有意义；当0x =时，分式的值为零．（2）当20x ≠即0x ≠时，分式有意义；当0,50,x x ≠⎧⎨-=⎩即5x =时，分式的值为零（3）当50x -≠，即5x ≠时，分式有意义；当50,2100x x -≠⎧⎨-=⎩①②时，分式的值为零，由①得5x ≠时，由②得5x =，互相矛盾．∴ 不论x 取什么值，分式2105x x --的值都不等于零．【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零．举一反三：【变式1】（2016春•绍兴期末）下列分式中不管x 取何值，一定有意义的的是（）A ．2x xB ．211x x -- C ．232x x ++ D ．11x x -+【答案】C.【变式2】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？【答案】解：由题意可知20,260,x x ->⎧⎨+<⎩或20,260.x x -<⎧⎨+>⎩解不等式组20,260,x x ->⎧⎨+<⎩该不等式组无解．解不等式组20,260.x x -<⎧⎨+>⎩得32x -<<．所以当32x -<<时，分式226x x -+的值恒为负数．类型三、分式的基本性质【403986 分式的概念和性质例4】3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数. (1) ； (2)； (3).【答案与解析】解：(1)；(2) ()221122a a a a -++==---； (3).【总结升华】(1)、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用；(2)、添括号法则：当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号. 举一反三：【变式】下列分式变形正确的是（）A ．22x x y y =B ．2222()()()()m n m n m n m n m n m n m n ---==++--C ．211211x x x x -=-+- D ．2b ab a a= 【答案】D ；提示：将分式变形时，注意将分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式这一条件．其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中0m n -≠这一条件不知是否成立，故A 、B 两项均是错的．C 项左边可化为：2111(1)11x x x x -=≠---，故C项亦错，只有D 项的变形是正确的．类型四、分式的约分、通分4、约分：（1）22211a a a ++-；（2）23224n mmn n --；通分：（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．【答案与解析】解：（1）22221(1)11(1)(1)1a a a a a a a a ++++==-+--；（2）22232222(2)242(2)2(2)n m n m m n mn n n m n n m n ----==---12n=-；（3）最简公分母是222a b c ．2222333222bc bc a b a b bc a b c ==，22222()22222a b a b a a ab ab c ab c a a b c ---==．（4）最简公分母是(2)(2)x x +-， 21222(2)(2)4x x x x x x --==++--，224444x xx x =--，222(2)242(2)(2)4x x x x x x ++==--+-．【总结升华】如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂．通分的关键是确定几个分式的最简公分母，若分母是多项式，则要因式分解，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变化情况．类型五、分式条件求值5、若2xy=-，求22222367x xy y x xy y ----的值．【思路点拨】本题可利用分式的基本性质，采用整体代入法，或把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式，使问题得到解决．【答案与解析】解法一：因为2xy=-，可知0y ≠，所以22222222221(23)23167(67)x xy y x xy y y x xy y x xy y y ----=----222367x x y y x x y y⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭22(2)2(2)35(2)6(2)79--⨯--==--⨯--．解法二：因为2xy=-，所以2x y =-，且0y ≠，所以222223(3)()323567(7)()7279x xy y x y x y x y y y x xy y x y x y x y y y ---+---====---+---．【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想．一般情况下，在条件中含有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简的目的．举一反三：【变式1】已知(0)346x y zxyz ==≠，求222xy yz zx x y z ++++的值．【答案】解：设(0)346x y zk k ===≠，则3x k =，4y k =，6z k =．∴ 222222223446635454(3)(4)(6)6161xy yz zx k k k k k k k x y z k k k k ++++===++++．【变式2】（2015春•惠州校级月考）若0＜x ＜1，且的值．【答案】解：∵x+=6，∴（x ﹣）2=（x+）2﹣4=36﹣4=32， ∴x ﹣=±4，又∵0＜x ＜1， ∴x ﹣=﹣4．故答案为﹣4．【巩固练习】一.选择题1．（2015•南宁模拟）要使分式有意义，x 的取值范围为（） A.x ≠﹣5 B.x ＞0C.x ≠﹣5且x ＞0D.x ≥02.（2016·富顺县校级模拟）把分式22x yxy y +-的x y 、均扩大为原来的10倍后，则分式的值（） A ．不变B ．为原分式值的10倍C ．为原分式值的110D ．为原分式值的11003．若分式532a ba b-+有意义，则a b 、满足的关系是（）A ．32a b ≠B ． 15a b ≠C ．a b 32-=/D ．23a b =-/4．若分式1212+-b b的值是负数，则b 满足（）A ．b ＜0B ．b ≥1C ．b ＜1D ．b ＞15．下面四个等式：;22;22;22yx y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②①⋅-+=--22y x y x ④其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．化简22222a b a ab b -++的正确结果是（）A ．a b a b +-B ．a b a b -+C ．12abD ．12ab- 二.填空题 7.使分式22(3)xx +有意义的条件为______．8.（临清市期末）若，则= ．9．（2016春·龙岗区期末）要使分式211x x --的值等于零，则x 的取值是．10．填空：)()1(=++-n m n m =-----b a n m m n 212)2(;)(⋅-ba22111．填入适当的代数式，使等式成立．（1）22222()a ab b a b a b+-=⋅-+（2）.a b ba b a -=-+)(11 12. 分式22112mm m -+-约分的结果是______．三.解答题13.（2015春•泰兴市校级期中）（1）当x=﹣1时，求分式的值．（2）已知a 2﹣4a+4与|b ﹣1|互为相反数，求的值．14.已知112x y-=，求373232x xy yx xy y +---的值．15.（1）阅读下面解题过程：已知22,15x x =+求241x x +的值．解：∵22,15x x =+()0x ≠12,15x x =+∴即152x x +=⋅2422221114115117()2()22x x x x x x ====⋅+++--∴ （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知22,31xx x =-+求2421x x x ++的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】解：由题意得：x+5≠0，且x ≥0，解得：x ≥0，故选：D ．2. 【答案】C ；【解析】()()()()2222101010210021022101010x y x y x y x yxy y xy y xy y x y y ++++===---⨯⨯-，则分式的值变为原分式的110.3. 【答案】D ；【解析】由题意，320a b +≠，所以23a b =-/. 4. 【答案】D ；【解析】因为2210,b +>所以10,b -<即b ＞1. 5. 【答案】C ；【解析】①④正确. 6. 【答案】B ；【解析】()()()222222a b a b a b a b a ab b a b a b +---==++++. 二.填空题7. 【答案】3x ≠-. 8. 【答案】；【解析】解：设=k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ． ∴===．故答案为．9. 【答案】-1；【解析】21010x x ⎧-=⎨-≠⎩，所以1x =-.10.【答案】（1）－；（2）＋；11.【答案】（1）2a b +；（2）b a +；【解析】()()()()222222a b a b a ab b a b a b a b -++-=-+-；11a a ba b b b a b a b ab b+++==---. 12.【答案】11mm-+；【解析】()()()22212111111m m m m m m m m--+-==-+-+. 三.解答题13.【解析】解：（1）== =（2）a 2﹣4a+4=（a ﹣2）2≥0，|b ﹣1|≥0，∵a 2﹣4a+4与|b ﹣1|互为相反数， ∴a﹣2=0，b ﹣1=0， ∴a=2，b=1 ∴= = 14.【解析】解：方法一：∵112y x x y xy--==，等式两边同乘以xy ，得2xy y x =-． ∴ 2x y xy -=-．∴3733()72322()3x xy y x y xy x xy y x y xy +--+=----327122377xy xy xy xy xy xy -⨯+===--⨯--．方法二：∵ 112x y-=，∴ 1133377373327122232223711323x y x xy y y xx xy y y x x y ⎛⎫--++-⎪+--⨯+⎝⎭====----⨯-⎛⎫----- ⎪⎝⎭．15.【解析】解：∵22,31xx x =-+()0x ≠ ∴1213x x =+-，∴172x x +=∴222422211141145171112x x x x x x x ====++⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 分式的乘除（提高）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 【要点梳理】【402545 分式的乘除运算知识要点】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠.2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成nn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一、分式的乘法1、（2016北京•门头沟一模）已知x －3y =0，求()2222x yx y x xy y +⋅--+的值．【思路点拨】先把分母分解因式，并运用分式的乘法法则约分、化简，再把x =3y 代入可求分式的值．【答案与解析】解：原式=()()22x yx y x y +⋅--=2x yx y+- ∵ x －3y=0，∴ x=3y ．∴当x=3y 时，原式=2377322y y y y y y ⨯+==-．【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则，约分化简分式，并根据已知条件式求分式的值．举一反三：【变式】已知分式2|2|(3)0a b a b -+-=+，计算22222a aba abb a b+--的值．【答案】解：22222222()()()()a ab a ab a a b a a b a b a b b a b a b b +-+-==-+-．∵2|2|(3)0a b a b-+-=+， ∴ 2|2|(3)0a b -+-=，且0a b +≠，即20a -=且30b -=，解得2a =，3b =，此时50a b +=≠．∴ 原式222439==．类型二、分式的除法2、课堂上，李老师给同学们出了这样一道题：当3x =，522-73时，求代数式22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的过程．【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，本题所给的x 的值虽然有的较为复杂，但化简分式后即可发现结果与字母x 的取值无关．【答案与解析】解： 2222122(1)1111(1)(1)2(1)2x x x x x x x x x x -+--+÷==-++--．所以无论x 取何值，代数式的值均为12，即代数式的值与x 的取值无关．所以当3x =，522-73+时，代数式的值都是12．【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题，只是赋予情景，增加兴趣，要通过认真审题，领会解决问题的实质．举一反三：【变式】已知20a b +=，其中a 不为0，求22222ba ab a bab a --÷+的值.【答案】解：原式＝()()()()2a ab a b a b b a a b ++-⋅- ＝()22b b a +. ∵ 20a b +=， ∴ a b 2-=.∴ 原式＝22224)2()(a a a a =--. ∵ a 不为0，∴ 原式＝41.类型三、分式的乘方3、（2015春•泉州校级期中）计算：．【思路点拨】先进行乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果．【答案与解析】解：原式=﹣•=﹣．【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方．类型四、分式的乘除法、乘方混合运算【402545分式的乘除运算例2（4）】4、若m 等于它的倒数，求32222)2.()22(444m m m m m m m --+÷-++的值．【答案与解析】解：22232442().()422m m m m m m m +++÷--- ()()()()()()()22322222282282m m m m m m m m m m +-=-⨯⨯+-+-=-+∵m 等于它的倒数，∴1,m m=解得1m =± ∴1m =时，原式＝124；1m =-时，原式＝38-.【总结升华】乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．有乘方的，先算乘方，注意符号的处理. 举一反三：【变式】（2014春•安县校级月考）化简：．【答案】解：原式=﹣••=﹣．【巩固练习】一.选择题1．（2014秋•岱岳区期中）化简，其结果是（）A.﹣B.2C.﹣2 D ．2．（2016•济南）化简÷的结果是（） A ．B ．C ．D ．2（x+1）3．计算⨯-32)2(b a 2)2(a b 2()b a ÷-的结果是（） A ．68ba - B ．638b a - C ．5216b aD ．5216ba -4．下列各式中正确的是（）A ．263333()22x x y y=B ．22224)2(b a a b a a +=+C ．22222)(yx y x y x y x +-=+- D ．333)()()(n m n m nm n m -+=-+ 5．na b 22)(-（n 为正整数）的值是（）A ．n n a b 222+B ．n n ab 24C ．n n a b 212+-D ．n nab 24-6．下列分式运算结果正确的是（）A ．4453.m n m n m n =B ．.a c adb d bc=C ．222224()a a a b a b=--D ．33333()44x x y y=二.填空题7．已知x ＝2011，y ＝2012，则2244()()x y x y x y ++-的值为______．8．（2015春•周口校级月考）化简：（﹣）3÷（•）= ．9．（2016•永州）化简：÷= ．10.已知x a b =-，y a b =+，则()2x y xy --＝________. 11.当2x =，3y =-时，代数式22222x y xx x xy y -⋅++的值为________. 12.计算：222213699211x x x x x x x x -+-+⋅⋅=--++___________. 三.解答题13．（2015春•成都校级月考）计算：（1）﹣（2）÷．14．先化简，再求值：（1）,144421422x x x x x ++÷--其中14x =-⋅ （2）,a b .b b a a b a b a a 222224)()(+÷--其中,21=a b ＝－1． 15．已知.0)255(|13|2=-+-+b a b a 求323232236().()()a ab b a b b a -÷--的值．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C ；【解析】解：原式=﹣••=﹣2，故选C ．2.【答案】A ；【解析】原式=•（x ﹣1）=.3.【答案】C ；【解析】⨯-32)2(b a2)2(a b 32262528416()2b a b a a a b a b b ⎛⎫÷-=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭.4.【答案】D ；【解析】2633327()28x x y y =；22224()()a a a b a b=++；222()()()x y x y x y x y --=++.5.【答案】B ；【解析】2422()nn n b b a a-=.6.【答案】A ；【解析】.a c acb d bd =；()22224()a a a b a b =--；333327()644x x y y =. 二.填空题7.【答案】－1；【解析】22224422()()()()111()()()()20112012x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++====--++---. 8.【答案】﹣；【解析】解：原式=﹣÷=﹣•=﹣，故答案为：﹣.9.【答案】；【解析】原式=•=.10.【答案】2224b a b --；【解析】()()()()()222224a b a b x y b xy a b a b a b --+⎡⎤-⎣⎦-=-=--+-. 11.【答案】－5；【解析】()()()()22222235223x y x y x y xx x y x x xy y x x y x y +-----⋅=⋅===-+++-+. 12.【答案】31x x --；【解析】()()()()()()222222113136933921133111x x x x x x x x x x x x x x x x x x +---+-++-⋅⋅=⋅⋅=--+++-+--. 三.解答题13.【解析】解：（1）原式=+=；（2）原式=•=x ．14.【解析】解：（1）224144124x x x x x-++÷-()()()()2212122121x x x x x +-=⋅--+ ()22142x xx x =-=-++当14x =-时，原式＝11414424--=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. （2）422222().()a a b a a b b a b b a-+÷- ()()()()22242.a a b a b b b b a a b a a b a b +-=⋅=+-- 当,21=a b ＝－1时，原式＝()()4121312-=--. 15.【解析】解：∵.0)255(|13|2=-+-+b a b a∴3105502a b a b +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得1255a b ==，32394232322296236915().()()3648a ab b a a b a a b b a b a b b b -÷-=-⋅⋅=-=--.分式的加减（提高）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法．【要点梳理】【403995 分式的加减运算知识讲解】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：a b a bc c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、同分母分式的加减【403995 分式的加减运算例1】1、计算：（1）22256343333a b b a a ba bc ba c cba+-++-；（2）2222()()a b a b b a ---；（3）22m n n mn m m n n m++----；（4）33()()x y x y y x ---．【答案与解析】解：（1）原式2(56)(34)(3)3a b b a a b a bc ++--+=225634323a b b a a b a bc a c++---==．（2）2222()()a b a b b a ---222222()2()()()a b a b a b a b a b a b -=-==----；（3）22m n n m n m m n n m ++---- 22221m n n m m n n m n m n m n m n m n m n m ++---=--===-----；（4）33()()x y x y y x ---333()()()x y x yx y x y x y +=+=---．【总结升华】根据乘法交换律有222333a bc ba c cba ==，所以本题是三个同分母分式的加减法，根据法则：分母不变，分子相加减．注意把分子看成一个整体用括号括起来，再加减．仔细观察分母中2()a b -与2()b a -，()n m -与()m n -、3()x y -与3()y x -的互相转化中符号的变化．类型二、异分母分式的加减2、（新罗区校级月考）计算：．【答案与解析】解：原式=．【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式】计算（1）（2016·十堰）222442242x x x x x x-+-++-+；（2）222()()()()()()a b c b c a c b aa b a c b c b a c b c a ------++------．【答案】解：（1）222442242x x x x x x-+-++-+ ()()()()2222222x x x x x x --=+++-+ ()22222x x x x x--=++++ ()()()()()2222222x x x x x x x x x x x -+-=+++++ ()2222242x x x x x x x -+-++=+ ()23322x x x x +-=+；（2）原式111111a c ab b a bc c a c b =+++++------ 1111110a c a c a b a b b c b c=-+-+-=------．3、化简222236523256x x x x x x x x ++++-++++【答案与解析】解：原式2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 22443256x x x x =+++++ 44(1)(2)(2)(3)x x x x =+++++ 4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)x x x x x x x x ++=+++++++ 816(1)(2)(3)x x x x +=+++8(1)(3)x x =++．【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解，然后通分计算，不难发现：所有的分子计算较复杂．通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单，然后再计算就非常的容易了．所以，在进行分式化简时不能盲目地计算，首先应该观察分式的特点，然后选择合适的计算方法．举一反三：【变式】某商场文具专柜以每支a （a 为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就被销售一空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为(399a ＋805)元．你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗?每支钢笔的进价是多少元?【答案】解：设文具专柜共购进了钢笔y 支，则39980539979877399222a a y a a a +++===++++．因为a 为正整数，y 也为正整数，所以a ＋2是7的正约数，所以a ＋2＝7或a ＋2＝1．所以a ＝5或a ＝－1(不合题意，舍去)．所以当a ＝5时，y ＝400．即文具专柜共购进了400支钢笔，每支进价为5元．类型三、分式的加减运算的应用4、已知34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----，求整式A ，B ．【思路点拨】首先对等式的右边进行通分，可得(2)(1)(1)(2)A xB x x x -+---．已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即34()(2)x A B x A B -=+-+．多项式恒等即对应项的系数相等，由待定系数法可得3,(2)4,A B A B +=⎧⎨-+=-⎩可求得A ，B ．【答案与解析】解法一：由已知得34(2)(1)(1)(2)(1)(2)x A x B x x x x x --+-=----，即34()(2)(1)(2)(1)(2)x A B x A B x x x x -+-+=----．所以3,24,A B A B +=⎧⎨+=⎩ 所以1,2.A B =⎧⎨=⎩解法二：等式两边同时乘以(1)(2)x x --，得34(2)(1)x A x B x -=-+-，令1x =，则A ＝1．令2x =，则B ＝2．所以A ＝１，B ＝2．【总结升华】解法一是利用多项式恒等，则对应项的系数分别相等，列出方程组，求出A ，B 的值．解法二是运用特殊值法，因为多项式恒等，与x 取值无关，故令x ＝1，x ＝2简化式子，求出A ，B 的值．举一反三：【变式】（2015春•东台市校级期中）已知计算结果是，求常数A 、B 的值．解：因为== = 所以，解得，所以常数A 的值是1，B 的值是2．【巩固练习】一.选择题1．下列运算中，计算正确的是( )． A.)(212121b a b a +=+ B.acb c b a b 2=+C.aa c a c 11=+-D.110a b b a+=-- 2．a b a b a -++2的结果是( )．A.a 2-B.a4C.ba b --2 D.ab- 3．（2016·黄冈校级自主招生）已知227x ,y ==-，则221639yx y x y ---的值为（） A ．-1 B ．1 C ．-3D ．34．下列各式中错误．．的是（） A ．2c d c d c d c d d a a a a -+-----== B ．5212525aa a +=++C ．1x y x y y x-=---D ．2211(1)(1)1x x x x -=--- 5. 下列计算正确的是（） A.11211x x x x ---=-- B.()()()44311111x x x x +=--- C.()()3311011m m +=-- D.()()()()211212212x x x x x x -=+--++- 6. 化简232a b c a b c c ba b c a c b c a b-+-+--++--+--的结果是（） A.0 B.1 C.－1 D.()22b c c a b---二.填空题7．分式)2(,)2(++m b nm a m 的最简公分母是______．8．a 、b 为实数，且ab ＝1，设11,1111a b P Q a b a b =+=+++++，则P______Q(填“＞”、“＜”或“＝”)．9.2112111aa a a +-+--＝___________. 10．aa a -+-21422＝______．11．若x ＜0，则|3|1||31---x x ＝______．12.（2016春·保定期末）若13x x +=，则231xx x ++的值是．三.解答题13.计算下列各题（1）223215233249a a a a ++++-- （2）43214121111x x x x x x +-++-+--14．等式⋅-++=-++236982x Bx A x x x 对于任何使分母不为0的x 均成立，求A 、B 的值．15．（2014秋•乳山市期中）阅读，做题时，根据需要，可以将一个分数变成两个分数之差，如：==1﹣；==﹣；==（﹣），等等．解答下列问题：（1）已知a=，b=，c=，比较a ，b ，c 的大小．（2）求++++…++的值．（3）求++++…++的值．（4）求++++…+．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】11222a b a b ab ++=；b b bc ab a c ac ++=；11c c a a a+-=-.2. 【答案】C ；【解析】()()222a b a b a a b a b b a a b a b a b+-++=-=-----； 3. 【答案】B ；【解析】解：原式=()()16333yx y x y x y --+- =()()3633x y yx y x y +-+-=()()333x yx y x y -+-=13x y+，当227x ,y ==-，原式=112221=-，故选B ．4. 【答案】C ；【解析】x y x y x y x y y x x y x y x y+-=+=-----. 5. 【答案】C ；【解析】11011x x x x ---=--；()()()44411111x x x x x ++=---；()()222111112222x x x x x x x x -=-+--+---+ ()()22422xx x x =---+.6. 【答案】A ；【解析】原式＝2320a b c a b c c ba b c a b c a b c-+-+---=+-+-+-.二.填空题7. 【答案】()2ab m +； 8. 【答案】＝；【解析】()()()()()2111110111111ab a b ab a b ab b a P Q a b a b a b ---+--++---=+===++++++. 9. 【答案】0；【解析】2211211201111a a a a a a a a -++-+-==+---. 10.【答案】12a +；【解析】()22222114242a a a a a a a -++==---+. 11.【答案】229xx -；【解析】2111123|||3|339xx x x x x -=+=--+--.12.【答案】34；【解析】解：233111x x x x x=++++，当13x x +=，原式=33314=+．故答案为：34.三.解答题 13.【解析】解：（1）原式()()2222332321523215023234949a a a a a a a a --++++=-+==+---. （2）原式3337224448224448111111x x x x x x x x x x x x -=-+=-=-++-+-. 14.【解析】解：()22232892363266A B x B Ax A B Ax A Bx B x x x x x x x x ++-+-++=+==+-+-+-+-所以8329A B B A +=⎧⎨-=⎩，解得35A B =⎧⎨=⎩.15.【解析】解：（1）a==1﹣，b==1﹣，c==1﹣，∵＞＞，∴﹣＜﹣＜﹣，即1﹣＜1﹣＜1﹣，则a＜b＜c；（2）原式=++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=；（3）原式=[++…+]=（1﹣+﹣+…+﹣）=；（4）原式=++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=．分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】【分式方程的解法及应用知识要点】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案. 【典型例题】类型一、判别分式方程1、（2016春•闵行区期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A ．21x x -= B ．112231x x x --=-++ C ．22112x x x x +-=+ D ．21212x x x +=-【答案】B ．【解析】解：A 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；B 、该方程属于无理方程，故本选项正确；C 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；D 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；故选B ．【总结升华】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．类型二、解复杂分式方程的技巧2、解方程：1310414351x x x x -=-----．【答案与解析】解：方程的左右两边分别通分，得3131(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++=----，∴31310(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++-=----， ∴ 11(31)0(4)(3)(5)(1)x x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥----⎣⎦， ∴ 310x +=，或110(4)(3)(5)(1)x x x x -=----，由310x +=，解得13x =-，由110(4)(3)(5)(1)x x x x -=----，解得7x =．经检验：13x =-，7x =是原方程的根.【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘(4)(3)(5)(1)x x x x ----，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．举一反三：【变式】解方程11114756x x x x +=+++++．【答案】解：移项得11114567x x x x -=-++++，两边同时通分得(5)(4)(7)(6)(4)(5)(6)(7)x x x x x x x x +-++-+=++++，即11(4)(5)(6)(7)x x x x =++++，因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．所以(4)(5)(6)(7)x x x x ++=++，229201342x x x x ++=++， 2292013420x x x x ++---=， 4220x --=，∴ 112x =-．检验：当112x =-时，(4)(5)(6)(7)0x x x x ++++≠．∴ 112x =-是原方程的根．类型三、分式方程的增根【分式方程的解法及应用例3】3、（1）若分式方程223242mx x x x +=--+有增根，求m 值；（2）若分式方程2221151k k x x x x x---=---有增根1x =-，求k 的值．【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则(2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-，然后把2x =±代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把1x =-代入解出k 的值.【答案与解析】解：（1）方程两边同乘(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x mx x ++=-．∴ (1)10m x -=-．∴ 101x m=-．由题意知增根为2x =或2x =-，∴1021m =-或1021m =--． ∴ 4m =-或6m =．（2）方程两边同乘(1)(1)x x x +-，得(1)(1)(5)(1)k x x k x --+=-+． ∴ 34x k =-．∴ 43k x -=．∵ 增根为1x =-，∴ 413k -=-．∴ 1k =．【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．举一反三：【变式】（2015•泰州校级一模）是否存在实数x ，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．【答案】解：根据题意得：﹣=1+，去分母得：x 2﹣4x+4﹣16=x 2﹣4+4x+8，移项合并得：8x=﹣16，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，分式方程无解，所以不存在这样的实数x ，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．类型四、分式方程的应用【分式方程的解法及应用例3】4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（2）由工期不超过10天列出不等式组求出范围. 【答案与解析】解：(1)设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设()20x -米．根据题意，得35025020x x =-．解得70x =．经检验，70x =是原分式方程的解且符合题意．故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．。

八年级数学上册因式分解复习提纲华师大版

因式分解复习提纲一、知识提要1、因式分解的概念⑴注意与多形式乘法的联系与区别 ⑵用提公因式法时，每项必须有公因式⑶提公因式法时第一项为负一定要提出负号 ⑷分解因式一定要进行到底 ⑸先提公因式，后用公式法22416y x x -2、因式分解的方法 ⑴提公因式法 ⑵公式法 ⑶分组分解法by ay bx ax +--⑷十字相乘法二、易出错的地方1、用分解因式的方法解一元二次方程时漏解如64x 2=2、不记得相反数的平方相等（白P4）3、不记得填充完全平方公式时2ab 可正可负4、分解因式不能进行到底5、不能快速地看出平方差公式的特点如22b a -，22b a --，22b a +-，()22a a -+6、漏项()y x x x xy x 35352-=+-7、不会按要求在实数范围内分解。

三、练习1、多项式b a ab 22-提出公因式后，另一个因式是。

2、多项式分解因式的结果为()()2x 2x 22-+。

3、如果1kx x 92++是一个完全平方式，则k=。

4、若()()4x 2x q px x 2-+=++，则p= ，q=。

5、使18ax x 2++能分解因式整数a 共有个。

6、满足010n 6m 2n m 22=+-++，则m= ，n= 。

7、无论x 、y 取什么值，40y 12y x 4x 22+++-的值都是。

8、如果a+b=12，ab =－15，则22b a +的值是。

9、已知02x 3x 2=-+则，x 4x 62x 23-+的值是。

10、m 、n 为任意有理数，则4mn22n m 4+（填“＞、＜、≥、≤、=”） 11、多项式142+x 加上某个单项式能成为一个二项式的完全平方式。

例如加上单项式4x 可得()212+x ；加上单项式—4x 可得()212-x 。

请你例举另外一个单项式____________。

12、计算 49.7×30.3144-12×46+23213、因式分解 ①412++x x ②b a b a 2422-+- ③16x 4-④()1p 6q 6q p 92++--⑤()1y 2y x 422+-- 14、两个正方形的周长相差96㎝，它们的面积相差96㎝2，求这两个正方形的边长。

华师大版—初二数学因式分解知识点及经典例题详解

华师大版—初二数学因式分解知识点及经典例题详解初二数学——分解因式一、考点、热点分析整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

(一)常见形式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+（5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．）①二次三项式：把多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 、为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．②十字相乘法的依据和具体内容它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．注意：公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么运用c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”.如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x（6）分组分解法：在多项式am+ an+ bm+ bn 中，这四项没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．即：原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n)这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．（二）因式分解一般要遵循的步骤:(1)先考虑能否提公因式;(2)再考虑能否运用公式或十字相乘法;(3)最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．口诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．二、典型例题分解因式：1．m²(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a²＋b²＋c²)－a3bc＋2ab²c²；5．(x²－2x)²＋2x(x－2)＋1；6．(x－y)²＋12(y－x)z＋36z²；7．x²－4ax＋8ab－4b²；8．(ax＋by)²＋(ay－bx)²＋2(ax＋by)(ay－bx)；9．(1－a²)(1－b²)－(a²－1)²(b²－1)²；10．(x＋1)²－9(x－1)²；11．x 3n ＋y 3n ；12．(x ＋y)3＋125；13．8(x ＋y)3＋1；（1）1522--x x （2）2265y xy x +-（3）3522--x x （4）3832-+x x四、课后练习一、选择题1.下列分解因式正确的是（）A ． ﹣a+a 3=﹣a （1+a 2）B ． 2a ﹣4b+2=2（a ﹣2b ）C ． a 2﹣4=（a ﹣2）2D ． a 2﹣2a+1=（a ﹣1）22.若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=﹣10，则ab的值是（）A．﹣2 B．2C．﹣50 D．503.把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（）A．x（x+y）（x﹣y）B．x（x2﹣2xy+y2）C．x（x+y）2D．x（x﹣y）24．把a2﹣2a﹣1分解因式，正确的是（）A．a（a﹣2）﹣1 B．（a﹣1）2C．D．5．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（）A．3B．5C．7D．96．若（1﹣2x+y）是4xy﹣4x2﹣y2﹣m的一个因式，则m的值为（）A．4B．1C．﹣1 D．07．若481x2+2x﹣3可因式分解成（13x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则下列叙述正确的是（）A．a=1 B．b=468 C．c=﹣3 D．a+b+c=398．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（）A．b=3，c=﹣1 B．b=﹣6，c=2 C．b=﹣6，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣69．如果x2+3x﹣3=0，则代数式x3+3x2﹣3x+3的值为（）A．0B．﹣3 C．3D．二．填空题10．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2= _________ ．11．分解因式：2x2+2x+= _________ ．12．分解因式：﹣x3+2x2﹣x= _________ ．13．分解因式：x（x﹣1）﹣3x+4= _________ ．14．将多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式得_________ ．三．解答题15．已知x=y+4，求代数式2x2﹣4xy+2y2﹣25的值．16．计算：（1）（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x；（2）已知：m﹣n=4，m2﹣n2=24，求（m+n）3的值．（3）已知﹣2x3m+1y2n与7x n﹣6y﹣3﹣m的积与x4y是同类项，求m2+n的值．（4）先化简，再求值：（﹣2a4x2+4a3x3﹣a2x4）÷（﹣a2x2），其中a=，x=﹣4．17.证明：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.。

八年级数学乘法公式因式分解华东师大版

初二数学乘法公式因式分解华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：乘法公式因式分解教学目标：1. 会由整式的乘法推导乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景。

2. 体会公式在运算中的应用，熟练地利用公式进行简单的计算。

3. 了解因式分解的意义，感受因式分解与整式乘法之间的互逆变形。

4. 会用提公因式法，公式法进行因式分解。

知识内容：一. 乘法公式重点：理解掌握平方差公式，两数和的完全平方公式的结构特征，正确地应用公式。

1. 平方差公式：()()a b a b a b +-=-22它的结构特征是：①左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一个完全相同，另一个互为相反数。

②右边是乘式中两个项的平方差。

③公式中的a ，b 可以是任意一个整式（数、字母、单项式或多项式） 2. 两数和的完全平方公式：()a b a ab b +=++2222它的结构特征是：①左边是两个相同的二项式相乘。

②右边是二次三项式，首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式中两项积的2倍。

③式中的a ，b 可以是数，单项式或多项式。

3. 两数差的完全平方公式：()a b a ab b -=-+2222二. 因式分解重点：理解因式分解的含义，会用提公因式法和公式法进行因式分解。

1. 因式分解把一个多项式化为几个整式的乘积形式，就是因式分解。

因式分解与整式乘法互为逆运算。

2. 提公因式法多项式ma ＋mb ＋mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式。

把公因式提出来，多项式ma ＋mb ＋mc 就可以分解为两个因式m 和（a ＋b ＋c ）的乘积了，像这样因式分解的方法，叫提公因式法。

am bm cm m a b c ++=++()3. 公式法利用乘法公式对多项式进行因式分解的方法，叫公式法。

a b a b a b 22-=+-()() a ab b a b 2222++=+() a ab b a b 2222-+=-() 4. 分组分解法要把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式，没有公因式可提，也不能直接运用公式，如果先把前两项分成一组，并提出公因式a ，把它的后两项分成另一组，提出公因式b ，从而得到a m n b m n ()()+++，这时又有公因式()m n +，于是提出()m n +，从而得到()()m n a b ++，这种方法叫分组分解法。

八年级数学因式分解华东师大版知识精讲

初二数学因式分解华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：因式分解二. 重点、难点学习重点：1. 能根据分组的目的，找到恰当的分组方法。

2. 掌握十字相乘法。

学习难点：1. 预见分组后的后果，调节分组方案。

2. 首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法。

学习要求：1. 能通过分组为使用提公因式法和运用公式法分解因式创造条件。

2. 能用十字相乘法分解二次三项式。

三. 知识点精析（分组分解法）1. 为什么要分组分解？先看下面这两个多项式：（1）xy xb ay ab -+- （2）x y ax ay 22-++ 分析：（1）xy xb ay ab -+-=+--=+-+=+-xy ay xb aby x a b x a x a y b ()()()()（2）x y ax ay 22-++=+-++=+-+()()()()()x y x y a x y x y x y a2. 由上述两道题可见，对于四项以上的多项式，进行恰当的分组，往往可以进行因式分解。

3. 如何分组：分组的原则是：分组后，组与组之间可以出现公因式，或者可以直接利用公式分解。

【典型例题】1. 分组后直接提取公因式：例1. 分解因式：26332x x x +--分析：可通过观察系数特点，将263x x 与-分一组。

x 23与-分一组，也可将一、二项结合分组，三、四项结合分组。

解法1：26332x x x +--=-+-=-+-=-+()()()()()()26323332132222x x x x x x x x解法2：26332x x x +--=+-+=+-+=+-()()()()()()263213212133222x x x x x x x x2. 分组后能直接运用公式：例2. 分解因式：x x y y 2242--+（可发现x y 224-能用平方差公式分解）解：x x y y 2242--+=---=+---=-+-()()()()()()()x y x y x y x y x y x y x y 2242222221例3. 分解因式：4416222a ab b c -+-分析：4422a ab b -+能用完全平方公式分解解：4416222a ab bc -+-=-+-=--=-+--()()()()4416216242422222a ab bc a b ca b c a b c3. 四项式因式分解的方法是三一分或二二分。

华师大版八年级上册初二数学(提高版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

华师大版八年级上册数学重难点突破全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习平方根【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根．2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.要点诠释：一个正数aa的负平方根用“”表示；因此，一个正数a”表示，其中a叫做被开方数.2.算术平方根的定义正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数a（a≥0）.要点诠释：有意义时，a0，a≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()2a a=≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=. 【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.＝5，所以本说法正确；B.＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.4，所以本说法错误；D.因为＝0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（）（24=±．（）（3）21()10-的平方根是110±．（）（4）25--是425的算术平方根．（）【答案】√ ；×； √； ×，提示：（24=；（4）25是425的算术平方根．2、（2016•古冶区二模）如果一个正数的平方根为2a+1和3a-11，则a=（） A. ±1 B.1 C. 2 D. 9【思路点拨】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．【答案】C ．【解析】解：根据题意得：2a+1+3a-11=0解得：a=2．故选C.【总结升华】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．3、（2015•前郭县二模）观察下列各式：=2，=3，=4，…请你找出其中规律，并将第n （n≥1）个等式写出来______________________________. 【思路点拨】根据所给式子，找规律．【答案】．【解析】解：=（1+1）=2，=（2+1）=3，=（3+1）=4，…，故答案为：．【总结升华】本题考查了实数平方根，解决本题的关键是找到规律．举一反三：【变式】（2015•恩施州一模）观察数表：根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是．【答案】7．类型二、平方根的运算4、求下列各式的值．2234+；【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：2234+257535==⨯=；110.63035=⨯-⨯90.26 1.72=--=-．【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根(0)a a=>来解．举一反三：【变式】求下列各式的值：（1）（2（3（4【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）655类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝132321x=±x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.【巩固练习】一.选择题1. （2016•泰州）4的平方根是（）A. ±2B.-2C. 2D.1 2±2．下列各数中没有平方根的是（）A．()23-B．0 C．81D．36-3．下列说法正确的是（）A．169的平方根是13 B．1.69的平方根是±1.3 C．()213-的平方根是－13 D．－（－13）没有平方根4．若m4，则估计m的值所在的范围是（）A．1＜m＜2 B. 2＜m＜3 C. 3＜m＜4 D. 4＜m＜55.（2015•重庆模拟）若+（y+2）2=0，则（x+y）2015等于（）A.﹣1B.1C.32014D.﹣320146.一个数的算术平方根是a，则比这个数大8数是（）A．a＋8B．a－4C．28a-D．28a+二.填空题7．计算：（1=______；（2）=______；（3）=______；（4=______；（5=______；（6）=______．8. （2016•广东）9的算术平方根是________.9.11125的平方根是______；0.0001算术平方根是______；0的平方根是______．10的算术平方根是____________．112，则这个数的平方是______．12．（2015春•罗田县期中）已知，，则=________.三.解答题13．求下列各式中的x．（1）21431x-=；（2）2410x-=；14．（2015春•昌江县校级期中）小文房间的面积为10.8m2，房间地面恰巧由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？15.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数. 2. 【答案】D ；【解析】负数没有平方根. 3. 【答案】B ；【解析】169的平方根是13±，()213-的平方根是13±.4. 【答案】B ；【解析】67<<，所以2－4＜3 . 5. 【答案】A ；【解析】解：∵+（y+2）2=0， ∴x=1，y=﹣2，∴（x+y ）2015=（1﹣2）2015=﹣1，故选A ．6. 【答案】D ；【解析】一个数的算术平方根是a ，则这个数是2a . 二.填空题7. 【答案】11；－16；12±；9；3；32-. 8. 【答案】3； 9. 【答案】65±；0.01；0. 10.【答案】2；－3；＝49，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.11.【答案】16；【解析】一个数的平方根是±2，则这个数是4，4的平方是16. 12.【答案】578.9. 三.解答题 13.【解析】解：（1）2144x = （2）21=4x 12x =± 12x =±14.【解析】解：设每块地砖的边长是x ，则120x 2=10.8，解得x=±0.3（舍负），答：每块地砖的边长是0.3m. 15.【解析】解：∵25＜35＜36<即5＜35＜6∵35比较接近36，6.立方根【学习目标】1. 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根；2. 了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；3. 会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，表示，其中a是被开方数，3是根指数..求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质=a=3a=要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660.【典型例题】类型一、立方根的概念1、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．1-是16-的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1D=【答案】D；【解析】64的立方根是4；12-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；=举一反三：【变式】下列说法正确的是（）A．一个数的立方根有两个B．一个非零数与它的立方根同号C．若一个数有立方根，则它就有平方根D．一个数的立方根是非负数【答案】B；提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.2、（2016春•南昌期末）已知实数x 、y4240,2-3x y x y -+=求的立方根．【思路点拨】先由非负数的性质求得x 、y 的值，然后在求得代数式的值，最后再求得它的立方根即可．【答案与解析】解：由非负数的性质可知：2x -16=0，x -2y +4=0，解得：x =8，y =6．∴442-=28-6=833x y ⨯⨯. ∴42-3x y 的立方根是2.【总结升华】本题考查了非负数的性质、立方根的定义，求得x 、y 的值是解题的关键．类型二、立方根的计算3、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）（2（3）43===91=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）=33=1-+（5）3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】（2015春•武汉校级期末）计算= ．【答案】．解：．类型三、利用立方根解方程4、（2015春•黄梅县校级月考）若8x 3﹣27=0，则x= ．【思路点拨】先求出x 3的值，然后根据立方根的定义解答．【答案】．【解析】解：8x 3﹣27=0，x 3=，∵（）3=，∴x=；【总结升华】本题考查了利用立方根求未知数的值，熟记立方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______；（3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3．类型四、立方根实际应用5、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________。

八年级数学寒假专题——因式分解的应用华东师大版知识精讲.doc

初二数学寒假专题——因式分解的应用华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：寒假专题——因式分解的应用在解决实际问题时，常利用因式分解的公式进行变形和转化，这样可使计算或运算简化，避免大量的复杂运算。

因式分解就是简化运算的解题工具。

【典型例题】例1. 在一条宽阔的马路上，整齐排列着10个花坛，每个花坛的形状都像操场上的跑道圈那样两端呈半圆形，连接两个半圆边缘部分是直线的一部分。

已知每个花坛的宽都是6m ，每个花坛边缘直的部分的长分别是36m 、25m 、30m 、28m 、25m 、32m 、24m 、24m 、22m 和32m ，试求出这些花坛的总面积。

分析：把生活中的实例转化为数学问题来求解是“数学建模”思想的运用，花坛的形状应归类到数学中的几何图形，进而求出面积。

可以把每个花坛的面积都看作是一个长方形与两个半圆的面积和，即一个长方形与一个圆的面积和。

解：设花坛总面积为S ，则：S =⨯+⋅+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()()()()36632563306328632222ππππ +⨯+⋅+⨯+⋅+⨯+⋅+⨯+⋅()()()()25633263246324632222ππππ +⨯+⋅+⨯+⋅()()2263326322ππ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⋅()3662563062862563262462462263261032π=+++++++++⨯+⨯⋅()3625302825322424223261032π =⨯+≈27869019512π()m评析：凭借想象力，设每个花坛的两端各组成一个圆，而10个花坛的中间部分顺次首尾相接，形成一个很长的长方形，这样重新组合并不改变总面积。

在解题时局部使用了提取公因式进行了因式分解，并运用加法的交换律与结合律简化了整个运算过程。

例2. 一圆形灯具（如图1），在一个大圆盘中，嵌入四个小圆盘，大、小圆的半径为整数，有阴影部分的面积是52πdm ，试求大、小圆盘的半径。

华东师大版八年级上册因式分解复习(教师版)

因式分解复习课（一）知识储备一、因式分解的概念(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

（反复强调化成乘积的形式，而且要进行到每个因式都不能再分解为止） (2)因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式）整式的积（积的形式）整式乘法二、因式分解常用方法一：提取公因式法1.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

3．提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法： (1)公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。

(2)公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式三、因式分解常用方法二：公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫公式法。

(1)平方差公式：22()()a b a b a b -=+-(2)完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+ ；2222()a ab b a b -+=- 四、因式分解常用方法三：十字相乘法1.十字交叉法的定义：一般地，22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++可以用十字交叉线表示为：xba利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

2. 十字相乘法的依据：利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则。

乘法公式中：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ 反过来可得：2()()()x a b x ab x a x b +++=++4．用十字相乘法分解的多项式的特征： (1)必须是一个二次三项式；(2)二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和a+b 正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”，公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式； (3)对于二次项系数不是1的二次三项式2ax bx c ++（a 、b 、c 都是整数且0a ≠)来说,如果存在四个整数121212121221,,,,,,,a a c c a a a c c c a c a c b ==+=使22121221121122()()()ax bx c a a x a c a c x c c a x c a x c ++=+++=++那么，这种方法的特征是"拆两头,凑中间",这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂。

八年级数学寒假专题18因式分解华东师大版

初二数学寒假专题——因式分解华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：教学内容：寒假专题——因式分解寒假专题——因式分解二. 重点、难点：重点、难点： 1. 重点：重点：（1）因式分解的意义；）因式分解的意义；（2）因式分解的一般步骤. 2. 难点：难点：（1）因式分解与整式乘法的联系与区别；）因式分解与整式乘法的联系与区别；（2）灵活运用因式分解的方法解答实际问题. 三. 知识梳理：知识梳理：1. 因式分解的意义：因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解．叫做把这个多项式因式分解．叫做把这个多项式因式分解．可见，可见，因式分解与整式乘法是正好相反的过程．分解与整式乘法是正好相反的过程．例如：下列因式分解中，结果正确的是＿＿. A. ()()2422x x x -=+-B. ()()()21213x x x -+=++ C. ()23222824m n n n m n -=-D. 222111(1)44x x x x x-+=-+ 2. 因式分解的两种基本方法：因式分解的两种基本方法：（1）提公因式法：如ab ＋ac=a （b ＋c ）。

（2）运用公式法：如)y x )(y x (y x 22-+=-，运用平方差公式；，运用平方差公式；222)y x (y xy 2x +=++，运用完全平方公式。

，运用完全平方公式。

“先看有无公因式，“先看有无公因式，再看能否用公式”再看能否用公式”。

这个思想要贯穿于我们解题的始终，这个思想要贯穿于我们解题的始终，不管是难不管是难题还是易题，填空题还是大题，这样更有利于形成能力.因式分解要彻底，也就是分解到不能再分解为止。

能再分解为止。

例如：分解因式：x 5－x 3. 3. 公因式的意义：公因式的意义：多项式的各项中都含有的相同的因式，叫公因式，如ab ＋ac ＋ad 中，各项中都含有因式a ，故a 叫公因式。

初二数学最新课件-因式分解的复习华师大版精品

（１）m(x-y)=mx-my ( × )
( 2 ) a2-16+3b=(a+4)(a-4)+3b ( × ) ( 3 ) a2-4=(a+2)(a-2) ( √ )
( 4 ) (2a+1)2=4a2+4a+1 ( × )
( 5 ) 8a2b3=2a2×4b3
(×)
三、因式分解的几种方法
（1）提公因式法（2）套用公式法（3）分组分解法（4）十字相乘法
(3)、 5(x-y)2-10(y-x)3 解：原式=5（x-y)2+10(x-y)3
=5(x-y)2[1+2(x-y)] =5(x-y)2(1+2x-2y)
(4)、 4x2-y2 解：原式=（2x)2-32
=(2x+3)(2x-3)
5、x-xy2
解：原式= x(1-y2)
= x(1+y)(1-y) 6、 x4-1 解：原式= (x2+1)(x2-1)
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑中间项。
四、例题分析 1、把下列各式分解因式（1）3ay-3by+3y 解：原式=3y(a-b+I) (2)-4a3b2+6a2b-2ab
解：原式= -（4a3b2-6a2b+2ab)
= -(2ab·2a2b-2ab·3a+2ab·1）
=-2ab（2a2b-3a+1)
六、作业
《优化训练》提公因式法和公式法B卷
练习3 若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式，求k的值。
练习4 已知x2+y2-4x+6y+13=0，求 x+y的值。

八年级数学上册因式分解复习课件华东师大版

复习课
定义方法步骤练习小结
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式。也叫做因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积
注：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止
练习：1、下列从左到右是因式分解的是（ C ）
A. x(a－b)=ax－bx
B. x2 －1+y2=(x－1)(x+1)+y2
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
C. x2－1=(x+1)(x－1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c
2、下列因式分解中，正确的是（C ）
A．3m2－6m=m(3m－6)
B．a2b+ab+a=a(ab+b)
C．－x2+2xy－y2=－(x－y)2 D．x2+y2=(x+y)2
（二）分解因式的方法：
（1）、提取公因式法（2）、运用公式法（3）、十字相乘法（4）、分组分解法
a2 －2ab+ b2 ＝（a－b）2 [ 完全平方公式 ]
公式法
练习：
1、分解因式 x2 9
=____________________。
2、分解因式 x24x4 =____________________。
3、分解因式 xy2 1x 4y4=9_____________。
4、分解因式 3xy1a 8xy2a 72xy=
解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q)
解：原式=(x-y) 2(1-y)
（2）运用公式法：
公式法：利用平方差和完全平方公式，将多项式因式分解的方法。

华师大版初二上学期数学《因式分解》知识点

华师大版初二上学期数学《因式分解》知识点整理学习是一个不停深入的过程，他需要我们对每日学习的新知识点及时整理，接下出处查字典数学网为大供给了因式分解知识点整理，望大家好好阅读。

因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.公因式：一个多项式每一项都含有的同样的因式叫做这个多项式的公因式.确立公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大合约数;字母取各项的同样字母，并且各字母的指数取次数最低的.提公因式法：一般地，假如多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这类分解因式的方法叫做提公因式法.提出多项式的公因式此后，另一个因式的确定方法是：用本来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式.假如多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.(5)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整第1 页式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式.运用公式法：假如把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这类分解因式的方法叫做运用公式法.平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)具备什么特色的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，(指的系数是完整平方数)②字母指数要成双，(指的指数是偶数)③两项符号相反.(指的两项一正号一负号)用平方差公式分解因式的重点：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么.(l2)完整平方公式：两个数的平方和，加上(或许减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或许差)的平方.字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2完整平方公式的特色：①它是一个三项式.②此中有两项是某两数的平方和.③第三项是这两数积的正二倍或负二倍.④具备以上三方面的特色此后，就等于这两数和(或许差)的平方.第2 页立方和与立方差公式：两个数的立方和(或许差)等于这两个数的和(或许差)乘以它们的平方和与它们积的差(或许和).利用立方和与立方差分解因式的重点：能把这两项写成某两数立方的形式.具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：假如一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能连续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.分组分解法的前提：娴熟地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提.分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或许分组后可以直接运用公式.(17)在分组时要早先考虑到分组后能否连续进行因式分解，合理选择分组方法是重点.第3 页。

[精品]华东师大初中数学八年级上册提公因式法(提高)知识讲解

提公因式法（提高）【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】【高清课堂398715 提公因式法知识要点】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．（1）()a x y ax ay +=+；（2）2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-；（3）24(2)(2)ax a a x x -=+-；（4）221122ab a b =；（5）222112a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断.【答案与解析】解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；(4)的左边不是多项式而是一个单项式，(5)中的21a 、1a都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．举一反三：【变式】下列变形是因式分解的是 ( )A.243(2)(2)3a a a a a -+=-++B.2244(2)x x x ++=+C. 11(1)x x x +=+D.2(1)(1)1x x x +-=-【答案】B ；类型二、提公因式法分解因式2、（2016春•山亭区期中）把下列各式分解因式：（1）2m （m ﹣n ）2﹣8m 2（n ﹣m ）（2）﹣8a 2b +12ab 2﹣4a 3b 3．【思路点拨】（1）直接提取公因式2m （m ﹣n ），进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式﹣4ab ，进而分解因式得出答案．【答案与解析】解：（1）2m （m ﹣n ）2﹣8m 2（n ﹣m ）=2m （m ﹣n ）[（m ﹣n ）+4m ]=2m （m ﹣n ）（5m ﹣n ）；（2）﹣8a 2b +12ab 2﹣4a 3b 3=﹣4ab （2a ﹣3b +a 2b 2）．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．举一反三：【变式】（2014春•濉溪县期末）下列分解因式结果正确的是（）A.a 2b+7ab ﹣b=b （a 2+7a ）B.3x 2y ﹣3xy+6y=3y （x 2﹣x ﹣2）C.8xyz ﹣6x 2y 2=2xyz （4﹣3xy ）D.﹣2a 2+4ab ﹣6ac=﹣2a （a ﹣2b+3c ）【答案】D.解：A 、原式=b （a 2+7a+1），错误；B 、原式=3y （x 2﹣x+2），错误；C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；D 、原式=﹣2a （a ﹣2b+3c ），正确．故选D ．类型三、提公因式法分解因式的应用【高清课堂398715 提公因式法例5】3、若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？【答案与解析】解：∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--当a b =时，等式成立，当a b ≠时，原式变为a b a c -=-，得出b c =，∴a b b c ==或∴ABC ∆是等腰三角形.【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型.【高清课堂398715 提公因式法例6】4、对任意自然数n （n ＞0），422n n +-是30的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，并说说理由.【答案与解析】解：()44422222221152n n n n n n +-=⨯-=-=⨯∵n 为大于0的自然数，∴2n 为偶数，15×2n 为30的倍数，即422n n +-是30的倍数.【总结升华】判断422n n +-是否为30的倍数，只需要把422n n +-分解因式，看分解后有没有能够整除30的因式.举一反三：【变式】说明200199198343103-⨯+⨯能被7整除.【答案】解：200199198343103-⨯+⨯()198219833431073=-⨯+=⨯ 所以200199198343103-⨯+⨯能被7整除.5、（2015春•湘潭县期末）已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x 2y+xy 2的值．【思路点拨】将原式提取公因式xy ，进而将已知代入求出结果即可．【答案与解析】解：∵xy=—3，x+y=2，∴x 2y+xy 2=xy （x+y ）=﹣3×2=﹣6．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．。

12.5 因式分解华东师大版八年级上册数学导学课件

感悟新知
知识点 3 提公因式法
1. 定义把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m 和(a+b+c)的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法. 即：用字母表示为ma+mb+mc=m(a+b+c).
感悟新知
3－2. 若将多项式x2+3x+a 分解为(x+1)·(x+2)，则a的
值为( A )
A. 2 B. 3
C. －3 D. －2
感悟新知
知识点 2 公因式
1. 定义多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式.
2. 公因式的确定 (1)确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则
感悟新知
2－1. 下列从左到右因式分解正确的是( D )
A. x3+x2+x=x(x2+x)
B. －5t3+10t2－15t=5t·(t2+2t－3)
C.
4p3－6p2=2p(2p2－3p)=2p3
2－
3 p
D. (x－y)2－ (y－x)=(y－x)(y－x－1)
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例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
感悟新知
例2 [中考·毕节] 下列因式分解正确的是( )
A.x3y－2x2y+xy=xy(x2－2x)
B. x2－x+
1 4
=
x－
1 2
2
C. x2－2x+4=(x－2)2
D. 4x2－y2=(4x+y)(4x－y)
解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.