5.1 连杆的速度和加速度

i
vci i vi i i i pci
i
vci i vi i i i pci i i (i i i pci )
式中：I是3×3的单位矩阵， (k , ) R(t ) 为微分旋转算子 利用旋转变换通式，并用微分量 代替 cos 1 ver 0可得： ，由于 sin
z 0
0 k z k y 0 (k , ) R(k , ) I k z 0 k x z k y k x 0 y
A A A C A B B RBC A A C A B B RBC S ( AB )B RBC
旋转关节的连杆运动的传递
连杆运动通常是用连杆坐标系的原点速度和加速度，以及连杆 坐标系的角速度和角加速度来表示的。 连杆i+1相对连杆i转动的角速度是绕关节 i+1运动引起的。
B
v p B v p 0
A
（b）若运动坐标系｛B｝相对参考系｛A｝移动，即 Ap A p 0 A 固定不变 BR
A A vp A vBo B RBvp A vp A vBo B RBvp
A
A
（c）若｛B｝相对参考系｛A｝纯滚动，即 A pBowk.baidu.com const
i 1
移动关节的连杆运动的传递
当关节i+1是移动关节时，连杆i+1相对坐标系｛i+1｝的z轴移 动，没有转动，旋转矩阵是常数矩阵，相应的传递关系为：
i 1
i1 ii1 Rii
i1 ii1 Rii
i 1
i 1
vi1 ii1 R(i vi i i i pi 1 ) di1i 1zi1
x
y x
0
相应的角速度矢量：
k x x k y y k k z z
角速度算子 s( ) 和角速度矢量 是角速度的两种描述，在 任意矢径p处引起的线速度 vp 可表示为：
A A A A vp B RBvp s( AB )B RB p
vBo A vBo 0
A A A A vp B RBvp 2s( AB )B RBvp s( AB )B RB p s( AB )s( AB )B RB p
因为角速度矢量是自由矢量，若已知｛C｝相对｛B｝的转动角 速度，则｛C｝相对｛A｝的转动角速度和角加速度矢量为：
i 1
vi1 ii1 R(i vi i i i pi1 i i (i i i pi1 )) di 1i 1zi1 2i 1i1 di1i1zi1
质心的速度和加速度
质心坐标系｛ci}与连杆i固接；坐标原点位于连杆i的质心，坐 标方向与｛i｝相同。
0 i 1i 1 zi 1 i 1 0 i 1 i i1 i i ii 1 Ri 1i 1zi 1
两端左乘旋转矩阵
i 1 i
Rii 1 ii 1 Rii ii1 Rii1Ri 1i 1zi 1
将上式两端求导得加速度关系：
A A A A A vp A vBo B RBvp 2s( AB )B RBvp s( AB )B RB p s( AB )s( AB )B RB p
（a）｛A｝固定不动，刚体与｛B｝固接，则 B p const
A A vp A vBo s( AB )B RB p A A vp A vBo s( AB )B RB p s( AB )s( AB )B RB p
操作臂动力学研究对象：物体的运动和受力之间的关系 动力学需解决的两个问题：动力学正问题－－根据关节驱动力或力 矩，计算操作臂的运动（关节位移、速度和加速度）
动力学逆问题－－已知操作臂的运动（关节位移、速度和加速 度），求出所需的关节力或力矩
动力学的目的：动力学正问题与操作臂的仿真研究有关，逆问题是 为零实时控制的需要，利用动力学模型，实现最优控制，以期达到 良好的动态性能和最优指标 动力学的用途：机器人动力学模型主要用于机器人的设计和离线编 程。 本章体系结构：为了建立机器人动力学方程，本章首先讨论机器人 运动的瞬时状况，对其进行速度分析和加速度分析，研究连杆的静 力学平衡问题。然后利用达朗贝尔原理，将静力学平衡条件用于动 力学问题。
i 1
i1 ii1 Rii i1i1zi1
坐标系｛i+1｝原点的线速度等于坐标系 ｛i｝原点的线速度加上连杆i转动速度而 产生的分量。
i
vi 1 i vi i i i pi 1
i 1 i
两端左乘旋转矩阵
Ri vi 1 ii 1 Ri vi ii 1 Rii i pi 1 vi 1 ii 1 R(i vi i i i pi 1 )
i 1
从而可得从一连杆向下一连杆的角加速度 和线加速度传递公式：
i 1
i1 ii1 Ri ii1 Rii i 1i1zi 1 i 1i1zi 1 vi 1 ii 1 R(i vi i i i pi 1 i i (i i i pi 1 ))
为了描述刚体在不同坐标系中的运动，设有两个坐标系： 参考坐标系｛A｝和运动坐标系｛B｝。｛B｝相对｛A｝的
位置矢量为 A pBo ，旋转矩阵为 标系中描述的关系为：
A A p A pBo B RB p
B A
R 。任意一点p在两个坐
两边对时间t求导得
A
A A p A pBo B RB p B RB p
旋转矩阵的导数
由导数的定义：
R(t t ) R(t ) R(t ) R(t ) lim lim t 0 x t t
R(t t ) R(k , ) R(t ) R(t ) R(t t ) R(t ) [ R(k , ) I ]R(t ) (k , ) R(t )
vp s() p p
R(t ) s() R R
刚体的速度和加速度
由于：
A
A B A R(t ) s( AB )B R A A A p A pBo B RB p B RB p
A A vp A vBo B RBvp s( AB )B RB p