40 第一讲 速算巧算

a( b c ) a b c a( b) c a b c a (b c) a b c a (b c) a b c
添括号情形：括号前是“×”时，原符号不变； 括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”． a b c a (b c) a b c a (b c) 即 a b c a (b c) a b c a (b c) 5) 两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 (a b) (c d ) (a c) (b d ) (a d ) (b c) 上面的性质都可以推广到多个数的情形．
九、分数裂项 1．“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数 裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计 算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有 部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的 相似部分，让它们消去才是最根本的。 1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
a1 (qn 1) ( q 1 )； q 1
完全平方公式： a b a 2 2ab b2 ， a b a 2 2ab b 2 ；
2 2
用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的 2 倍，两条公式也可以合写在一起： a b a 2 2ab b2 ．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平
1 形式的，这里我们把较小的数写在前面， ab
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即 a b ，那么有 2)
1 1 1 1 ( ) ab b a a b
对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：
1 1 ， 形式的，我们有： n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3) 1 1 1 1 [ ] n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2) 1 1 1 1 [ ] n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)
n 2 (n 1)2 ； 4
1 3 5 7
2n 1 1 2 3
n 1 n n 1
3 2 1 n2 ；

等比数列求和公式： Sn a1q0 a1q1 a1q n1 平方差公式： a2 b2 a b a b ；
a (b c) a b c a (b c) a b c
在加、减法混合运算中，添括号时： 如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变； 如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。 如： a b c a (b c)
2．“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 1) 2)
ab a b 1 1 ab ab ab b a
a 2 b2 a2 b2 a b ab ab ab b a
3．裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型 的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 十、繁分数 1. 定义： 在一个分数的分子和分母里，至少有一个又含有分数，这样形式的分数，叫做繁分数。 繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫做繁分数的主分数线（也叫主分线）。主 分线比其他分数线要 长一些，书写位置要取中。在运算过程中，主分线要对准等号。如果一个繁 分数的分子部分和分母部分又是繁分数，我们就把最长的那条主分线，叫做中主分线，依 次向上 为上一主分线，上二主分线……；依次向下叫下一主分线，下二主分线……；两端的叫末主分线。
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助跑小升初课程 数学讲义 第一讲 总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变． 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与 第一个数相加，他们的和不变。 即： a b c (a b) c a (b c) 其中 a ， b ， c 各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8). 总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。 2．减法 在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”． 例如： a b c a c b ， a b c a c b ，其中 a ， b ， c 各表示一个数． 在加减法混合运算中，去括号时： 如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变； 如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”． 如： a (b c) a b c
a b c a (b c) a b c a (b c)
3．乘、除法 1) 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变． 即： a b (a n) (b n) (a m) (b m) m 0 ， n 0 2) 在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即： a b c a c b 3) 在乘、 除混合运算中， 被乘数、 乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置 （即带着符号搬家） ． 如： a b c a c b b c a 4) 在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则 去括号情形：括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变． 括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”． 即
裂差型裂项的三大关键特征： 1) 2) 3) 分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是 只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” 分母上几个因数间的差是一个定值。
12345679 9 111111111 （去 8 数，重点记忆） 7 1113 1001 （三个常用质数的乘积，重点记忆）
2. 理论依据：乘法交换率： a b b a 乘法结合率： (a b) c a (b c) 乘法分配率： (a b) c a c b c 积不变规律： a b (a c) (b c) (a c) (b c) 四、分数与小数混合运算的技巧 在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到 运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机 械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。 技巧 1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。 技巧 2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将 包括循环小数在内的所有小数都化为分数。 技巧 3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。 技巧 4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。 技巧 5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化 数表化对学习非常重要。 五、等差数列的相关公式 1. 三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项 首项 (项数 1 ) 公差， an a1 （n 1 ） d 递减数列：末项 首项 (项数 1 ) 公差， an a1 （n 1 ） d ② 项数公式：项数 (末项 首项) 公差+1 ③ 求和公式：和=(首项 末项) 项数÷ 2 2. 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首 项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
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四 等 裂 繁 常 分 组 加 减 法 加 补 位 值 基 准 商 不 积 不 则 运 算 乘 除 法 结 合 乘 法 换 提 运 算 技 巧 拆 分 求 和 差 数 列 求 项 数 求 通 向 整 数 裂 项 项 裂 差 分 数 裂 项 裂 和 凑 整 凑 整 原 理 数 法 变 性 质 变 性 质 律 分 配 律 元 法 取 公因式 数 法 组 法
4.
111 1111 1 123 n
n个1 n个1
321 ，其中 n 9 ．
八、整数裂项基本公式 1. 2.
1 1 2 2 3 3 4 ... (n 1) n (n 1) n (n 1) 3 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... (n 2) (n 1) n (n 2)(n 1)n(n 1) 4
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助跑小升初课程 数学讲义 第一讲 二、加减法中的速算与巧算 1. 分组凑整法：把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有 相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……， 就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”． 2. 3. 4. 加补凑整法：有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整． 数值原理法：先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加． “基准数”法：基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把 多加的数减去，把少加的数加上） 三、乘法凑整 1. 思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使 得 运算简便。 例如： 4 25 100 ， 8 125 1000 ， 5 20 100