高一数学空间几何体的表面积与体积 PPT

合集下载

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)

(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－－－－－－－－－－教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A

人教版高中数学必修二1.3 空间几何体的表面积与体积 PPT课件

圆台的展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面和加上侧面的面积，即
S ( r r r l rl )
'2 2 '
2r `
O`
2r
O
例2 如下图, 一个圆台形花盆直径为 20cm, 盆底直径为 15cm, 底部渗水圆孔直径为 1.5cm, 盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米(取 3.14, 结果精确到 1cm) ?
1、 3
空间几何体的表面积与体积
1. 柱体、锥体、台体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
32 3
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面
小结
本节课主要介绍了求空间几何体的表面积和体积的公式和方法：将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积。
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题。
例1、已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的四面体S ABC(如下图), 求它的表面积 .
S
A B D C
圆柱的展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 r ，母线为 l ，那么圆柱 2 r 的底面积为，侧面积为 2rl 。因此圆柱的表面积为
20cm
15cm
15cm
柱体、锥体、台体的体积

高中数学一空间几何体空间几何体的表面积与体积球的体积和表面积PPT课件

答案：D
类型 3 球的简单切、接的问题(互动探究)
[典例 3] (1)一球与棱长为 2 的正方体的各个面相切，则该球的体积为________．
(2)正方体的表面积是 a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．
解析：(1)依题意，2R＝2，所以 R＝1. 所以球的体积 V 球＝43π×13＝43π. (2)正方体内接于球，则正方体的对角线是球的直径．设球的半径是 r，则正方体的对角线长是 2r. 依题意，2r＝ 3× a62，即 r2＝18a2.
[自主解答] (1)设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球的半径为 R.
由于∠AOB＝90°，所以 VO ABC＝VC AOB＝13S△AOB·h＝16R2h.
要使三棱锥 O-ABC 的体积最大，则 h＝R. 因此16R3＝36，所以 R＝6，故球 O 的表面积 S 表＝4πR2＝144π. 答案：C
A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍解析：设三个球的半径分别为 x，2x，3x，则最大球的半径为 3x，其体积 V＝43π·(3x)3＝36πx3.
又其余两个球的体积之和为43πx3＋43π·(2x)3，所以43π·(3x)3÷43πx3＋43π·（2x）3＝3. 答案：C
SUCCESS
r＝ 3，故球的体积 V 球＝43πr3＝4 3π.
归纳升华 1．处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
2．解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决．

高中数学PPT：第1讲空间几何体及其表面积和体积

3＝
3 3 π.
索引
考点三多面体与球的切、接问题
///////
【例3】 (经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积 9
为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是____2_π___. 解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
个半圆，则此圆锥的体积为( A )
3 A. 3 π
3 B. 3
C. 3π
解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
D. 3
由πl＝2πr，得l＝2r，
又S＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝3π，
所以r2＝1，解得r＝ห้องสมุดไป่ตู้，所以圆锥的高为 h＝ l2－r2＝ 22－12＝ 3，
所以圆锥的体积为 V＝13πr2h＝13π×12×
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 “切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C且PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接球问题.
图(3)
索引
探究提高
1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常采用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
索引
【跟踪演练2】 (1)(2021·杭州二模)已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一
图(2)
索引
法三如图(3)，延长BC至点M，使得CM＝2，延长EF至点 N，使得FN＝1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABEDMN，所以所求几何体的体积等于直三棱柱ABE-DMN 的体积减去四棱锥D-CMNF的体积. 因为 VABE-DMN＝12×2×2×4＝8， VD-CMNF＝131＋2 2×2×2＝2，所以所求几何体的体积为VABE-DMN－VD-CMNF＝8－2＝6.

高一数学必修2课件：1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积

先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a，所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导必须由三视图准确地还原几何体，再根据定义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1，则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱

高中数学1.3空间几何体表面积和体积优秀课件

h
D
3
V
V大
V小
1 3
S(h
x)
1S' 3
x
A
S
C
1[Sh(SS')x] 3
B
S' S
x2 (h x)2
S' x
S'h
x
S hx
S S'
V1h[S(SS') S' ] 1[S SS' S']h
3
S S' 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
VSh S' S V1(S' S'SS)h S ' 0 V 1 S h
由祖暅原理得： V柱体= sh
经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 的 1 ，即棱锥(圆锥)的体积：
3
V 1 S h（其中S为底面面积，h为高）
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．1
3
设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体，使它们的底面在同一平面内.
4
2
2956(mm3)2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5 .8 1 0 0 0 ( 7 .8 2 .9 5 6 ) 2 5 2 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
柱体、锥体、台体的外表积展开图
圆柱 S2r(rl)
rr
圆台 S(r2r2rlr)l
r 0
圆锥 Sr(rl)
各面面积之和
柱体、锥体、台体的体积
由祖暅原理得： V棱锥=V圆锥
设三菱柱ABC-A’B’C’的底面积为S,高为h，那么它的体Sh积. 沿为平面A’BC和平面A’B’C，将这个三菱柱分

2 第2讲空间几何体的表面积与体积

第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝ π(r ＋r ′)l表面积体积柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13S 底h台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球 S ＝4πR 2V ＝43πR 3常用知识拓展1．正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，内切球的半径为r . (1)若球为正方体的外接球，则2R ＝3a . (2)若球为正方体的内切球，则2r ＝a . (3)若球与正方体的各棱相切，则2R ′＝2a .2．长方体的共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×以长为a ，宽为b 的矩形的一边所在的直线为轴旋转一周所得圆柱的侧面积为( )A ．abB ．πabC ．2πabD ．2ab解析：选C.若以长边所在的直线为轴旋转，则S 侧＝2πab ，若以短边所在的直线为轴旋转，则S 侧＝2πba .所以S 圆柱侧＝2πab ，故选C.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．(2018·高考天津卷)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为____________．解析：法一：连接A 1C 1交B 1D 1于点E ，则A 1E ⊥B 1D 1，A 1E ⊥BB 1，则A 1E ⊥平面BB 1D 1D ，所以A 1E 为四棱锥A 1BB 1D 1D 的高，且A 1E ＝22，矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2，1，故VA 1BB 1D 1D ＝13×1×2×22＝13.法二：连接BD 1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 分成两个三棱锥B -A 1DD 1与B -A 1B 1D 1，V A 1BB 1D 1D＝V B A 1DD 1＋V B A 1B 1D 1＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝13.答案：13(2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π. 答案：14π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)(2019·沈阳质量检测(一))某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D. 83【解析】 (1)因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图所示，其中P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且P A ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋42，故选A. 【答案】 (1)B (2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．1．(2019·湖南五市联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．20＋4 5B ．12＋4 5C ．20＋2 5D ．12＋2 5解析：选A.由三视图知该几何体是一个直三棱柱，底面是直角边分别为4，2的直角三角形，高为2，所以该几何体的表面积是(2＋4＋22＋42)×2＋2×12×2×4＝20＋45，故选A.2．(2019·唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为( )A ．1－π4B ．3＋π2C ．2＋π4D ．4解析：选D.由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫1×1－14×π×12＋2×(1×1)＋14×2π×1×1＝4.故选D.空间几何体的体积(多维探究)角度一求简单几何体的体积(1)(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为____________．【解析】 (1)法一(补形法)：如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.法二(估值法)：由题意，知12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．(2)如图，过点P 分别作PE ⊥BC 交BC 于点E ，作PF ⊥AC 交AC 于点F .由题意知PE ＝PF ＝ 3.过P 作PH ⊥平面ABC 于点H ，连接HE ，HF ，HC ，易知HE ＝HF ，则点H 在∠ACB 的平分线上，又∠ACB ＝90°，故△CEH 为等腰直角三角形．在Rt △PCE 中，PC ＝2，PE ＝3，则CE ＝1，故CH ＝2，在Rt △PCH 中，可得PH ＝2，即点P 到平面ABC 的距离为 2.【答案】 (1)B (2) 2角度二求组合体的体积(2019·福州市质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.π12＋3 B.π12＋6 C.π3＋3 D.π3＋6【解析】由三视图可知，该几何体是由直四棱柱与圆锥拼接而成的简单组合体，如图所示．由题设得，V 四棱柱＝12×(1＋2)×2×1＝3，V 圆锥＝13π⎝⎛⎭⎫122×1＝π12，所以该几何体的体积V＝V 四棱柱＋V 圆锥＝3＋π12.故选A.【答案】 A求空间几何体的体积的常用方法1．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____________g.解析：长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 1＝6×6×4＝144(cm 3)，而四棱锥O -EFGH 的底面积为矩形BB 1C 1C 的面积的一半，高为AB 长的一半，所以四棱锥O -EFGH 的体积V 2＝13×12×4×6×3＝12(cm 3)，所以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得几何体的体积V ＝V 1－V 2＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.82.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，则几何体的体积为____________．解析：过C 作平行于平面A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°，则V ＝V A1B 1C 1A 2B 2C ＋V C ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. 答案：6球与空间几何体的接、切问题(师生共研)(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3【解析】 (1)设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B.(2)设等边三角形ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6.设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.【答案】 (1)B (2)B处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．正四棱锥P -ABCD 的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是( ) A ．16π B ．12π C ．8πD ．4π解析：选A.设正四棱锥的外接球半径为R ，顶点P 在底面上的射影为O ，因为OA ＝12AC＝12AB 2＋BC 2＝12（22）2＋（22）2＝2，所以PO ＝P A 2－OA 2＝（22）2－22＝2.又OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，由此可知R ＝2，于是S 球＝4πR 2＝16π.2．设球O 内切于正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，则球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为________．解析：设球O 半径为R ，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ，则R ＝33×a 2＝36a ，即a ＝23R ，又正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为2R ，所以球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为43πR 334a 2×2R ＝43πR 334×12R 2×2R ＝23π27.答案：23π27直观想象——数学文化与三视图(2019·长春市质量检测(一))《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12【解析】如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，所以V ABCDEF ＝2V 四棱锥E -ADHG ＋V 三棱柱EHG -FNM ＝2×13×3×1＋32×2＝5，故选B. 【答案】 B本题是数学文化与三视图结合，主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据，求几何体的体积或侧(表)面积．此类问题难点：一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征；二是将三视图中的数据转化为几何体的几何度量．考查了直观想象这一核心素养．(2019·郑州市第二次质量预测)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π解析：选C.由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.[基础题组练]1．(2019·安徽合肥质检)已知圆锥的高为3，底面半径为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为( )A ．5 B. 5 C ．9D ．3解析：选B.因为圆锥的底面半径r ＝4，高h ＝3，所以圆锥的母线l ＝5，所以圆锥的侧面积S ＝πrl ＝20π，设球的半径为R ，则4πR 2＝20π，所以R ＝5，故选B.2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋6 2解析：选C.由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，其中AB ＝AA 1＝2，BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S ＝(2＋22)×2＝4＋42，故选C.3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A.设球的半径为R ，则由题意知球被正方体上面截得的圆的半径为4 cm ，球心到截面圆的距离为(R －2)cm ，则R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5，所以球的体积为4π×533＝500π3cm 3.4．(2019·福建市第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4π B.163π C.323π D ．16π解析：选D.如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋（3）2＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.5．(2019·武汉市武昌调研考试)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，所以组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝⎛⎭⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.6.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1EDF 的体积为________．解析：三棱锥D 1EDF 的体积即为三棱锥F DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以V D 1EDF ＝V F DD 1E ＝13×12×1＝16.答案：167.(2017·高考江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，高为2r ，所以V 1V 2＝πr 2·2r 43πr 3＝32. 答案：328．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面积＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π. [综合题组练]1．(2019·蓉城名校第一次联考)已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选B.根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和2的直角三角形(如图所示)，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×3＝ 2.故选B. 2．(2019·福州市质量检测)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π解析：选C.如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为34a 2＝334，所以a ＝ 3.又一个侧面的周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×32×23＝1.在直角三角形OEA 1中，OA 1＝12＋（3）2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.3．(2019·福建泉州质检)如图，在正方形网格纸上，实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸．若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于( )A ．8πB ．18πC ．24πD ．86π解析：选C.设球的半径为R .多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合)．两顶点之间的距离为2R ，底面是边长为2R 的正方形，由R 2＋⎝⎛⎭⎫2R 22＝32⇒R 2＝6，故该球的表面积S ＝4πR 2＝24π.选C.4．(2019·辽宁五校协作体模考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．36B ．48C ．64D ．72解析：选B.由几何体的三视图可得几何体如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为12×3×4×4＋12×3×4×4＝48，故选B.5．(2019·洛阳市第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.6.(应用型)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解：由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PQ 1＝8 m.因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．故仓库的容积是312 m 3.。

高一数学空间几何体的表面积与体积 ppt

15 cm
15 cm
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆（取 3.14, 结果精确到1毫升，可用计算器）？解：花盆外壁的表面积：
r O
l
O
2 r
圆柱的侧面展开图是矩形
S 2 r 2 rl 2 r ( r l )
2
S r 2 rl r (r l )
2r
l
r
圆锥的侧面展开图是扇形
O
(1)联系圆柱和圆锥的展开图,你能想象圆台展开图的形状并且画出它吗?
(2)如果圆台的上,下底面半径分别为 r , r ,母线长为l,你能计算出它的表面积吗?
S [( 15 2 15 20 1.5 ) 15 15] ( )2 2 2 2 2
20cm
1000(cm 2 ) 0.1( m 2 )
15 cm
15 cm
涂100个花盆需油漆： 0.1 100 100 1000 (毫升) 答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆．
圆柱 S 2r 2 rl 柱体、锥体、台体的表面积圆台S r2 r 2 rl rl 圆锥 S r rl
2
展开图
各面面积之和
作业:
P28. 习题1.3 A组第1,2题
∵ BC a , SD SB 2 BD 2 a 2 ( )2
S A B D C
SSBC
a 2
3 a 2
1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件ppt

连接 AC,BD,交于 O,连接 PO,则 PO⊥底面
1
1
ABCD,OC=2AC=2×3 2 ×
2=3(cm),
又棱长 PC=5 cm,∴OP= 52 -32 =4(cm),
1
∴VP-ABCD=3×18×4=24(cm3).
取 BC 边的中点 E,连接 PE,则 PE 为等腰三角形 PBC 的高,在 Rt△PBE
所以 A1B1=A1O1= 42 -22 =2 3(m),
取 A1B1 的中点为 Q,连接 O1Q,PQ,易得 PQ⊥A1B1.
1
所以 A1Q=2O1A1= 3,PQ= 12 -1 2 =
13(m),
设帐篷上部的侧面积为 S1,下部的侧面积为 S2,
1
所以 S1=6× A1B1·PQ=6 39(m2),
(
27
A． 4
9
B．4
27 3
C． 4
9 3
D． 4
)
【答案】D
1
3 2
【解析】
由题意可得底面正三角形的边长为 3，
所以 V＝3× 4 ×3 ×3
9 3
＝ 4 .故选 D．
3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是(
A.48
B.12 7
C.84
D.36+12 7
)
答案 C
2
6
解析正四棱锥的底面积为 6×6=36,侧面等腰三角形的高为 52 - 2 =4,则
2
2
所以 A1H= 1
2 - 2
=
1
1
其面积 S1= BD·A1H= ×
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
( 2) -

高考数学空间几何体及其表面积、体积ppt课件

21
2．(多选)下列命题，正确的有( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
√B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 √C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直
四棱柱
√D．存在每个面都是直角三角形的四面体
上一页
返回导航
下一页
第八章立体几何与空间向量
22
解析：A 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；C 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D 正确，如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的三棱锥 C1ABC，四个面都是直角三角形．
上一页
返回导航
下一页
第八章立体几何与空间向量
32
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于 x 轴的线段平行性不
变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关
系：S
＝直观图
2 4S
原图形．
第八章立体几何与空间向量
11
3．正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为 a，球的半径为 R， (1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
上一页
返回导航
下一页
第八章立体几何与空间向量
12
常见误区 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．

(浙江专用)高考数学第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积课件

3．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线是一个棱锥的三视图，则该棱锥
的表面积为
()
A．6＋4 2＋2 3 B．8＋4 2
C．6＋6 2
D．6＋2 2＋4 3
解析：由三视图可知该棱锥为如图所示的四棱锥
P-ABCD，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝12×2×2＝2，
S△PBC＝12×2 2×2 2×sin 60°＝2 3，S 四边形 ABCD
视图如图所示，则该几何体的体积为( )
3
1
3
A.1
B.2
C.2 D.4
解析：由题可得，该几何体是一个四棱锥，底面是上下底边
分别为 1 和 2，高为 1 的直角梯形，又四棱锥的高为 1.所以该
几何体的体积为 V＝13×12×(1＋2)×1×1＝12. 答案：C
2．(2019·台州高三适考)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________，几何体中最长棱的长是________．
考点二空间几何体的体积
[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
1．(2018·金华高三期末考试)某几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为
()
22 A. 3
23 B. 3
42 C. 3
43 D. 3
解析：由三视图可知该几何体是一个以俯视
图为底面的四棱锥，其直观图如图所示．底
面 ABCD 的面积为 2×2＝4，高 PO＝ 3，
所以OFMH＝PPOF，即13＝ hh－2＋132，解得h＝94. 答案：D
4．(2018·嘉兴一模)如图是某几何体的三视图，正视图是等边
三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接
球的表面积为

空间几何体的表面积和体积ppt

思考：怎样求斜棱柱的侧面积？ 1）侧面展开图是—— 平行四边形 2）S斜棱柱侧=直截面周长×侧棱长 3） S侧=所有侧面面积之和
几何体的表面积问题小结
1．高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
∴AE⊥侧面 BB1C1C，在 Rt△AED 中，由 AE＝DE，得
1＋x42＝ 3，
解得 x＝2 2.即正三棱柱的侧棱长为 2 2.
(2)S＝S 侧＋S 底， S 侧＝3×2×2 2＝12 2， S 底＝12× 3×2×2＝2 3， ∴S＝S 侧＋S 底＝12 2＋2 3.
【点评】求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求．
答：60
例2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积
答：9 7
例3 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
S 解：先求ABC的面积，过点S作 SD BC，
交BC于点D．
式：S正棱台侧＝ 1∕2(c＋c.′)h′
②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为
r′、r，母线长为l，则S圆台侧＝ πl(r′＋． r)
注：表面积＝侧面积＋底面积．
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？（类比梯形的面积）

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件

在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝12A1B1＝3
cm，OE＝1AB＝5 2
cm，
∴O1O＝ 142 -5-32 ＝8 3 (cm).
故该正四棱台的体积为 V＝1×8 3
1568
3 ×(62＋102＋6×10)＝ 3
3
(cm3).
例题讲解 LOGO
1.等积变换法
如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1－D1EF的体积.
故侧棱长即为直棱柱的高.
探究新知 LOGO
问题5 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？
探究新知 LOGO
课本P 121-122
祖暅[gèng]原理 “幂势既同，则积不容异”
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理.
祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲只到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598 年--1647年）提出上述结论.
(Sh
(S
S'
)h1
)
S' h S S'
1 (Sh (S S' ) S' h) 1 h(S (S S ' ) S'( S S')) 1 (S
3
S S' 3
S S'

高中数学：空间几何体的表面积与体积 (12)

锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？
答案：1，100π 2，C 3, 3 3 12 R
-10-
课堂小结
• 1.球的表面积和体积公式。 • 2.与球有关的接、切问题是近几年高考的热
点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题。
-11-
布置作业
• 课本练习 1、2、3。
-12-
则该球的表面积为S=27π。
2
-7-
一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________。答案：14π
-8-
已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面
上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC= 2r ,则球
的体积与三棱锥体积之比是（）
解：
V球
4
3
R3 ,V柱
R2
2R
2
R3
2 V球 3V柱
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
S球 S 圆柱侧
-6-
若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________ ？
解：画出球的轴截面可得，球的直径是
正方体的对角线，所以球的半R= 3 3 ，
A.π B.2π
C.3π
D.4π
答案：D
-9-
作业精选巩固提高
• 1.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.
• 2.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）
• A.1倍
B.2倍
C.倍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ