集合区间专题突破

一、选择题
1．已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，R＝{x|y＝x2＋1}，M＝{(x，y)|y＝x2＋1}，N＝{x|x≥1}，则()
A．P＝M B．Q＝R
C．R＝M D．Q＝N
答案 D
解析集合P是用列举法表示的，只含有一个元素，即函数y＝x2＋1.集合Q，R，N中的元素全是数，即这三个集合都是数集，集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，集合R是一切实数．集合M 的元素是函数y＝x2＋1图象上所有的点．故选D.
2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是() A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
答案 C
解析由已知得，对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0，是全称命题．它的否定是存在性命题，“任意的”的否定是“存在”，“≤0”的否定是“>0”，故选C.
3．“2a>2b”是“log2a>log2b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析若2a>2b，只能得到a>b，但不能确定a，b的正负性，
当0>a>b时，log2a，log2b均无意义，更不能比较其大小，从而未必有“log2a>log2b”；
若log2a>log2b，则可得a>b>0，从而有2a>2b成立．
综上，“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件．
4．已知集合A＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围为() A．m<4 B．m>4
C．0<m<4 D．0≤m<4
答案 A
解析∵A∩R＝∅，则A＝∅，即等价于方程x2－mx＋1＝0无实数解，即Δ＝m－4<0，即m<4，
选A.
注意m<0时也表示A＝∅.
5．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{1,2}，B＝{3,4}，则集合A⊙B 所有元素之积为()
A．4 500 B．342 000
C．345 600 D．135 600
答案 C
解析依题意，x，y的取值应为
x＝1，y＝3；x＝1，y＝4；x＝2，y＝3；x＝2，y＝4.
从而A⊙B＝{12,20,30,48}．
故所有元素之积为12×20×30×48＝345 600.
二、填空题
6．设集合M＝{y|y＝2－x，x<0}，N＝{a|a＝b－1}，则M∩N＝________.
答案{x|x>1}
解析∵y＝2－x，x<0，∴M＝{y|y>1}，
∴集合M代表所有大于1的实数；
由于N＝{a|a＝b－1}，
∴a＝b－1≥0，∴N＝{a|a≥0}，
∴集合N代表所有大于或等于0的实数，
∴M∩N代表所有大于1的实数，即M∩N＝{x|x>1}．
7．设集合A、B是全集U的两个子集，则“A∪B＝B”是“∁U A⊇∁U B”的________条件．答案充要
解析由Venn图知∁U A⊇∁U B⇔A⊆B，而A∪B＝B⇔A⊆B.
8．设A，B为两个集合，给出下列三个命题：
①A B是A∩B≠A的充要条件；②A B是A⊇B的必要条件；③A B是“存在x∈A，使
得x∉B”的充要条件．
其中真命题是________．(写出所有真命的序号)
答案①③
解析因为A⊆B⇔A∩B＝A，A⊆B⇔A∪B＝B，
又原命题与它的逆否命题是等价的，所以①是真命题；
对于②，由于A ⊇B 包含了A ＝B 的情形，而此时A ⊆B 成立，故②是假命题；
对于③，它的正确性不言自明．
三、解答题
9． 已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，若A ＝B ，求x ，y 的值．
解 由A ＝B 知需分多种情况进行讨论，
由lg(xy )有意义，则xy >0.
又0∈B ＝A ，则必有lg(xy )＝0，即xy ＝1.
此时，A ＝B ，即{0,1，x }＝{0，|x |，y }．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|x |，xy ＝1，
y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y ，xy ＝1，|x |＝1，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝－1.
当x ＝y ＝1时，
A ＝
B ＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；
当x ＝y ＝－1时，
A ＝
B ＝{0，－1,1}满足题意，故x ＝y ＝－1.
10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数
m 的取值范围．
解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10.
由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m .
∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，
∴q 是p 是必要不充分条件，
即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且qD ⇒/p ，
∴{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，
1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10.即m ≥9或m >9.
∴m ≥9.∴实数m 的取值范围为m ≥9.
B 组 专项能力提升
(时间：25分钟)
1． “a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 若“a ＝1”，则函数f (x )＝|x －a |＝|x －1|在区间[1，＋∞)上为增函数；而若f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数，则0≤a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，选A.
2． 下列命题的否定中真命题的个数是 ( ) ①p ：当Δ<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R )无实根；
②q ：存在一个整数b ，使函数f (x )＝x 2＋bx ＋1在[0，＋∞)上是单调函数；
③r ：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≥0不成立．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 B
解析 由于命题p 是真命题，∴命题①的否定是假命题；
命题q 是真命题，∴命题②的否定是假命题；
命题r 是假命题，∴命题③的否定是真命题．
故只有一个是正确的，故选B.
3． 已知集合M ＝{x |x ＝a 2－3a ＋2，a ∈R }，N ＝{x |y ＝log 2(x 2＋2x －3)}，则M ∩N ＝________.
答案 {x |x >1}
解析 ∵a 2－3a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a －322－14≥－14
， ∴M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≥－14； 由x 2＋2x －3>0，即(x －1)(x ＋3)>0，
解得x >1或x <－3，故N ＝{x |x >1或x <－3}．
∴M ∩N ＝{x |x >1}．
4． 若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．
答案 15
解析 子集只有1个元素的有{－1}，{1}共2个；
子集有2个元素的有{－1,1}，{13，3}，{12
，2}，共3个； 子集有3个元素的有{－1，13，3}，{－1，12，2}，{1，13，3}，{1，12
，2}，共4个； 子集有4个元素的有{－1,1，13，3}，{－1,1，12，2}，{2，12，13
，3}，共3个； 子集有5个元素的有{－1,2，12，13，3}，{1,2，12，13
，3}，共2个； 子集有6个元素的有{－1,1,2，12，13
，3}，共有1个，共15个． 5． 已知命题p ：函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数x 均成立．如果命题p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
解 命题p 为真命题等价于ax 2－x ＋116
a >0对任意实数x 均成立．当a ＝0时，－x >0，其解集不是R ，∴a ≠0.
于是有⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，1－14
a 2<0， 解得a >2，故命题p 为真命题等价于a >2.
命题q 为真命题等价于a >2x ＋1－1x ＝2x x (2x ＋1＋1)＝22x ＋1＋1对一切实数x 均成立． 由于x >0，∴2x ＋1>1，2x ＋1＋1>2，
∴22x ＋1＋1
<1，从而命题q 为真命题等价于a ≥1. 根据题意知，命题p 、q 有且只有一个为真命题，
当p 真q 假时实数a 不存在；
当p 假q 真时，实数a 的取值范围是1≤a ≤2.。