一种分数阶傅里叶变换快速算法的研究

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分数阶傅里叶变换的原理与应用

分数阶傅里叶变换的原理与应用一、分数阶傅里叶变换的原理1.1传统傅里叶变换的局限性传统的傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，但其变换后的结果是旋转对称的，并且无法提供选择性的时频分辨率，即无法同时精确地描述信号的瞬时特性和频率特性。

1.2分数阶傅里叶变换的引入为了弥补传统傅里叶变换的不足，分数阶傅里叶变换被引入。

分数阶傅里叶变换是将传统傅里叶变换的旋转对称性由倾斜对称的情况首次引入到信号处理领域。

1.3 分数阶傅里叶变换的定义F(a,b) = ∫f(t)K(a,b,t)dt其中，a和b是变换的参数，f(t)是原始信号，K(a,b,t)为分数阶的核函数，核函数代表了信号在时域和频域中的变换关系，通过核函数可以实现对信号的不同时频特性的描述。

1.4分数阶傅里叶变换的数学表达式F(a,b) = ∫f(t)exp(-jπat²)exp(-jπb²/t²)dt其中，a和b分别代表旋转因子，通过调整a和b的取值，可以实现对信号的不同时频域特性的描述。

二、分数阶傅里叶变换的应用2.1信号处理2.2通信系统2.3图像处理2.4声音和视频处理2.5生物医学信号处理分数阶傅里叶变换在生物医学信号处理中也有广泛应用，如心电信号分析、脑电信号分析、磁共振成像分析等。

通过对生物医学信号进行分数阶傅里叶变换，可以实现对信号的精确分析和刻画，从而有助于疾病的早期诊断和治疗。

总结：分数阶傅里叶变换作为傅里叶变换的一种扩展形式，克服了传统傅里叶变换的不足，通过调整变换的参数，分数阶傅里叶变换可以实现对信号的精确时频分辨率分析，被广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理、声音和视频处理、生物医学信号处理等领域。

随着对分数阶傅里叶变换的进一步研究和应用，相信将会有更多的应用场景被发现，为信号处理和通信领域带来更多创新和发展。

分数阶傅立叶变换

分数阶傅立叶变换分数阶傅立叶变换（Fractional Fourier Transform）是一种多阶数学变换，可以将一个函数的时域特征转换到频域特征，同时也具有快速的计算特性。

它能够提供更加准确的信息处理方法，能够在信号处理中有效地应用。

分数阶傅立叶变换是在标准傅立叶变换基础上进行改进，其基本思想是将原始信号的时间域特征转换到频域特征。

转换后的信号可以更好地反映信号的频率分布，并且可以更好地处理诸如正弦波、高斯函数等不同形态的信号。

分数阶傅立叶变换的基本概念是将原始信号的时域特征变换到频域特征，这样就可以有效地处理各种不同形态的信号，而不会损失信号的细节和特征。

分数阶傅立叶变换的基本原理是将一个函数的时域特征转换到频域特征。

它是由一组数学公式组成的，可以将时域信号转换为频域信号，从而使信号可以在频域进行处理。

接下来要介绍的是分数阶傅立叶变换的公式。

首先，变换的基本公式是：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i 2 \pi f t}dt $$其中，$f$为一个函数，$t$是时间坐标。

要实现分数阶傅立叶变换，需要对这个公式作出改变：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i 2 \pi f t + i \alpha}dt $$其中，$\alpha$为变换参数，可以改变信号在时域和频域之间的映射关系，从而实现对信号的更加准确处理。

另外，分数阶傅立叶变换也可以通过建立矩阵进行表示：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(2 \pi f t) dt \\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(2 \pi f t) dt\end{bmatrix} $$可以看出，分数阶傅立叶变换的矩阵表示其实就是一个二维旋转矩阵。

matlab 分数阶傅里叶变换

matlab 分数阶傅里叶变换摘要：一、分数阶傅里叶变换介绍1.分数阶傅里叶变换的定义2.分数阶傅里叶变换与传统傅里叶变换的区别二、MATLAB 中实现分数阶傅里叶变换1.使用MATLAB 实现分数阶傅里叶变换的函数2.函数的参数及其意义3.分数阶傅里叶变换的实例三、分数阶傅里叶变换的应用1.分数阶傅里叶变换在信号处理中的应用2.分数阶傅里叶变换在图像处理中的应用正文：一、分数阶傅里叶变换介绍分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）是一种在频域上对信号进行操作的数学技术。

与传统的傅里叶变换（Fourier Transform，FT）相比，分数阶傅里叶变换可以更好地处理非周期性的信号。

它能够将一个信号分解为不同频率、不同相位的正弦和余弦波的叠加，从而更好地分析和处理信号。

分数阶傅里叶变换与传统傅里叶变换的主要区别在于，分数阶傅里叶变换允许频域上的分辨率比时间域上的分辨率更高。

这意味着，在进行分数阶傅里叶变换时，我们可以更精确地分析信号的频率成分。

二、MATLAB 中实现分数阶傅里叶变换在MATLAB 中，可以使用`fft`函数实现分数阶傅里叶变换。

`fft`函数的调用形式为：```matlabY = fft(x, N, M)```其中，`x`是需要进行分数阶傅里叶变换的信号，`N`是信号的长度，`M`是分数阶数。

例如，我们有一个长度为10 的信号`x`，想要对其进行分数阶傅里叶变换，分数阶数为2，可以按照如下方式进行操作：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];= length(x);M = 2;Y = fft(x, N, M);```三、分数阶傅里叶变换的应用分数阶傅里叶变换在信号处理和图像处理领域有着广泛的应用。

在信号处理领域，分数阶傅里叶变换可以用于音频信号的分析和处理，提高音频信号的质量。

分数傅里叶变换

分数傅里叶变换在信号处理领域中，傅里叶变换是一项重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。

然而，对于非周期信号或者信号突变的情况，传统的傅里叶变换可能无法准确地描述信号的频谱特征。

为了解决这个问题，人们提出了一种更加灵活和精确的傅里叶变换方法——分数傅里叶变换。

分数傅里叶变换是一种基于分数阶导数的信号变换方法，它能够有效地处理非周期信号和突变信号。

这种变换方法在信号处理、图像处理和模式识别等领域得到了广泛的应用，并且取得了令人瞩目的成果。

为了更好地理解分数傅里叶变换的原理和应用，我们首先需要了解傅里叶变换的基本概念。

傅里叶变换可以将一个信号分解为不同频率的正弦波成分，然后通过叠加这些正弦波成分，得到原始信号。

这种变换方法使得我们能够从频域的角度来分析信号的特征，比如频率、幅度和相位等。

然而，对于非周期信号或者信号突变的情况，传统的傅里叶变换可能会产生一些问题。

由于这些信号不具有周期性或者在某些时刻突然发生变化，传统的傅里叶变换无法准确地表示信号的频谱特征。

这就需要我们引入分数傅里叶变换这一更加灵活和精确的方法。

分数傅里叶变换基于分数阶导数的概念，可以有效地处理非周期信号和突变信号。

分数阶导数是导数的一种推广，它能够描述信号在时间或空间上的非平滑性和不连续性。

通过引入分数阶导数的概念，分数傅里叶变换能够更加准确地表示信号的频谱特征，从而提高信号处理的精度和效果。

分数傅里叶变换的应用十分广泛，涵盖了信号处理、图像处理和模式识别等多个领域。

在信号处理方面，分数傅里叶变换可以用于信号滤波、频谱分析和信号恢复等任务。

在图像处理方面，分数傅里叶变换可以用于图像去噪、图像增强和图像压缩等应用。

在模式识别方面，分数傅里叶变换可以用于特征提取和分类识别等任务。

通过分数傅里叶变换，我们可以更加准确地分析和处理信号的频谱特征，从而提高信号处理的精度和效果。

不仅如此，分数傅里叶变换还可以帮助我们深入理解信号的本质和特征，从而为更深入的研究和应用打下基础。

分数阶傅里叶变换

分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是傅里叶变换（FFT）的一种变体，主要用于信号和图像的处理和分析，它能够重构信号或图像的频域特征。

跟FFT相比，它可以提供更多的
频域参数，它的使用可以减少信号、图像的处理的时间，提高处理的
速度。

分数阶傅里叶变换的原理是将时域信号和图像通过一定的欧拉角
旋转轴系变换到频域进行处理，此处欧拉角旋转轴系是指改变时域变
量t的旋转角度ω，表示为比率α。

对于某一序列的信号变换到频域，则可以写为：F(ω,α)=Ft(Aw，αω)。

当把FFT的轴系旋转，会到达一个新的傅里叶变换领域，可以构
建分数阶傅里叶变换。

分数阶傅里叶变换的关键参数是α ，α由下
式给出：（ω，α）=（t，αt）。

α参数越大，则傅里叶变换域的
缩放程度也就越大，即改变FFT轴系旋转的程度越大，最终能够把信
号变换到一个更大更远的领域，例如远离原点的时域。

分数阶傅里叶变换的基本运算是通过一组定义的参数，前面已介
绍的α的参数就是其中的关键参数，所有的运算都由这个参数决定，
而信号或图像则由傅里叶变换的子函数来完成变换。

分数阶傅里叶变换过程分为5步：第一步，先检查信号的长度；第二步，根据前面定义的α参数，计算轴系旋转的角度θ；第三步，在频域求解零级子函数来提取信号或图像的特征；第四步，计算转换后的特征值；第五步，对其进行融合，降低噪声等。

分数阶傅里叶变换用在信号和图像处理当中，有着很多应用，例如图像检测、图像压缩等，它能够提高处理效率，减少计算任务的复杂度，同时提供更多的频域参数来进行分析和处理。

分数阶傅里叶变换的快速计算新方法

分数阶傅里叶变换的快速计算新方法
赵兴浩;陶然;邓兵;王越
【期刊名称】《电子学报》
【年(卷),期】2007(035)006
【摘要】本文提出了一种分数阶傅里叶变换(FRFT)高分辨(Zoom-FRFT)算法,通过设置谱区间和输出点数M,可实现任意局部谱的高分辨计算.随后,针对M很小时Zoom-FRFT运算效率低的问题,提出了基于Horner的单点快速计算(SP-FRFT)方法,并针对零点计算做出进一步简化.利用SP-FRFT可提高少量点输出时的计算效率,也可用于非均匀采样点计算.仿真结果验证了算法的有效性.
【总页数】5页(P1089-1093)
【作者】赵兴浩;陶然;邓兵;王越
【作者单位】北京理工大学信息科学技术学院电子工程系,北京,100081;北京理工大学信息科学技术学院电子工程系,北京,100081;北京理工大学信息科学技术学院电子工程系,北京,100081;北京理工大学信息科学技术学院电子工程系,北
京,100081
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.76
【相关文献】
1.基于分数阶傅里叶变换的邻近阶比分离研究 [J], 梅检民;肖云魁;杨万成;陈祥龙;乔龙
2.基于分数阶傅里叶变换的标量脱靶量测量新方法 [J], 邓兵;陶然;董云龙
3.基于分数阶傅里叶变换的双基地雷达线性调频信号的参数联合估计新方法 [J], 李丽;邱天爽
4.一种基于时分数据调制的加权分数阶傅里叶变换通信方法 [J], 张笑宇;冯永新
5.基于最优分数阶傅里叶变换的模拟电路故障特征提取新方法 [J], 罗慧;王友仁;崔江
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分数阶傅里叶变换的原理与应用

分数阶傅里叶变换的原理与应用分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FRFT）是一种广义的傅里叶变换方法，可以描述信号在时频域中的变换关系。

与传统的傅里叶变换相比，分数阶傅里叶变换具有更广泛的应用领域和更强大的变换能力。

本文将介绍分数阶傅里叶变换的原理及其在信号处理中的应用。

分数阶傅里叶变换的原理可以通过分数阶傅里叶变换核（Fractional Fourier Transform Kernel）来描述。

分数阶傅里叶变换核是一种特殊形式的线性空间变换核，它由角度参数α和分数阶参数β决定。

通过调整α和β的取值，可以实现对信号在时频域中的不同变换操作。

分数阶傅里叶变换可以看作是一种旋转和拉伸的变换方式。

当α=0时，分数阶傅里叶变换退化为傅里叶变换；当β=1时，分数阶傅里叶变换退化为时域的平移操作；当α和β均为分数时，分数阶傅里叶变换可以描述信号在时频域中的复杂变换关系。

分数阶傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。

首先，它可以用于信号的分析和合成。

通过分数阶傅里叶变换，可以将信号从时域变换到频域，进而实现对信号的频谱分析。

同时，分数阶傅里叶变换还可以将频域的信号合成为时域的信号，从而实现信号的合成。

分数阶傅里叶变换可以用于信号的压缩和去噪。

在信号的压缩中，通过选择合适的分数阶参数β，可以实现对信号的降维压缩，从而减少存储空间和传输带宽。

在信号的去噪中，分数阶傅里叶变换可以将信号在时频域中的噪声分离出来，从而实现对噪声的去除。

分数阶傅里叶变换还可以应用于图像处理和通信系统中。

在图像处理中，分数阶傅里叶变换可以用于图像的特征提取和图像的变换操作。

在通信系统中，分数阶傅里叶变换可以用于信号的调制和解调，从而实现对信号的传输和接收。

分数阶傅里叶变换是一种重要的信号处理方法，具有广泛的应用前景。

通过对信号的分析和合成、信号的压缩和去噪，以及在图像处理和通信系统中的应用，分数阶傅里叶变换可以实现对信号在时频域中的变换和处理，从而提高信号处理的效果和性能。

分数阶傅里叶变换FRFT研究

电信工程学院
2019/9/7
21
三.分数阶Fourier变换的基本性质
旋转相加性 FRFT可以反复地进行下去，直到满意为止。
F p F q F pq
两个特例：pp+1对应FFT pp-1对应IFFT
电信工程学院
2019/9/7
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三.分数阶Fourier变换的基本性质
连续性当p1,p2,c1,c2 为任意实数时，FRFT满足连续性
FRFT为无条件的.
电信工程学院
2019/9/7
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二.FRFT的基本概念
传统Fourier变换的性质
1.线性 2.卷积定理
F[anf(t)]= an F[f(t)] F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]•F[g(t)]
3.时域相关性定理 Rf1f2=f1()f2*(t- )d
若 2n 若x (2n 1)
电信工程学院
2019/9/7
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二.FRFT的基本概念
方波的几种分数阶Fourier变换. 实线:
实部
虚线: 虚部
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2019/9/7
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二.FRFT的基本概念
图(a): 三角函数rect(x/2)* rect(x/2)的幅值（实线）和p=0.5的FRFT的幅值（虚线）
图(b):图(a)的相位，三角函数（实线），FRFT（虚线）
图(c):有限长正旋函数 e j2x rect(x/20)的实部
图(d):图(c):有限长正旋函数的 FRFT(p=0.5)的实部
图(e):线性调频函数e -j2x2的实部
图(f):图(e)的FRFT (p=2arctan(-2)/ +1)

分数阶傅里叶变换的快速计算新方法

A j( m { F f} = e 2∀x 2∀x
a - ! ) m 2∀x
2 2 n= - N
Байду номын сангаас
∀x # j2
2 2
e
# ∀x
m 2P ∀x
2
#
N
e
j !
m- n 2∀x
2
%
2
n= - N
#
N
ej
1 m- n P! 2∀x n 2∀x
∃e
j ( - !)
m 2∀x
f
n , 2∀x
- ∀ m∀ N
( 4)
e
j2 ! x
n 2∀x
e
j
n 2∀x
2
f
n 2∀x
( 3)
上式中时域变量已经实现离散化, 接下来对分数阶域变量离散化. 以 1/ ( 2 ∀x ) 为采样间隔, 在全程范围 [ ∀x /2, ∀x / 2] 内对分数阶域变量采样, 即令 x = m/ ( 2 ∀x) , 代入公式( 3) , 经过整理得到
FRFT 在局部谱区间 [ x 1, x 2 ] 上的 M 点等间隔取样值, x 1, x 2 和 M 的取值任意. 将分数阶域变量离散化为 x = x i+ m ∀I , - M / 2 ∀ m ∀ M / 2, 其中 x i = ( x 2- x 1) / 2 表示区间中点, ∀I = ( x 2 - x 1 ) / ( M - 1) 表示采样间隔. 然后将其代入公式( 3) 中, 得到
! 4PN N#
2
3
FRFT 高分辨计算( Zoom FRFT)
可以看出, 分解型算法包含了 2 个离散化步骤: 第

分数阶傅里叶变换的数值计算方法研究

参数估计［时频滤波ｌ、、３目标识别等用途。Ｊ
ｆｅｐ（一２ｕｓ＋ｕｃｔ］ａＡ。ｘｔｃａｚｏ） ≠加ｃａ
（，） “ ￡一８ｕｔ（－）ａ一
ｌ（＋ “ ）
ＦｏｉｒＴｒｎｆｒｕｒｅａｓｍｏ
ＸＩＡＮＧｏｗｅＣｈｎｇｎ・ＷＡＮＧｚｏｇＺｅｈｎＨＵＡＮＧＬＩＦｅｇＹｕＵｎＳＵＮｅＸｕ
（．ｐｒｍｅｔｏｆＥｌｃｒｎｃａｎｏｍａｉｎＥｎｉｅｉｇ，ｖｌＡｅｏａｔｃｌａｔｏａｔｃｌＵｎｖｒｉｙ，Ｙａｔｉ２４０）１ＤｅａｔｎｅｔｏｉｎｄＩｆｒｔｇｎｅｒｎＮａａｒｎｕｉａｎｄＡｓｒｎｕｉａｉｅｓｔｏｎａ６０１（．．１６ｏｐｆＰＬＡ，Ｓｎｏ５１０４）２Ｎｏ９９０Ｔｒｏｓｏｈａｔｕ５７
ＡｂｓｒｃＡｓｔｅＦｒｃｉｎｌｕｉｒＴｒｎｆｒ（ＦＴ）ｃｎｂｅｎａｎｕｉｉｄｔｍｅｆｅｕｎｙｔａｓｏｍ，ｔｈｓｂｅｎａｐｗｅｆｌｔｏｔａｔｈａｔｏａＦｏｒｅａｓｏｍＦｒａｅｓｅｓａｎｆｅｉ－ｒｑｅｃｒｎｆｒｉａｅｏｒｕｏｌｗｈｃａｅｗｉｅｙｕｅｎｓｃｉｎｌｏｅｓｎｉｌｓａ：ｒｄｒｏｍｕｉａｉｎ，ｓｎｒｎＯＯｔＴｈａｔｃｍｐｔｔｏｆｔｅＦｒｉｈｃｎｂｄｌｓｄｉｕｈｓｇａｐｒｃｓｉｇｆｄｓａａ，ｃｍｅｎｃｔｏｏａ，ａｄＳＦ，ｅｆｓｏｕａｉｎｏｈＦＴｓｉｔｅｒｂｅｏｈｒｃｉａｐｐｉａｉｓＩｈｓｐｐｒｔｅｄｆｔｎｏｈｅＦｒｈｅａｋｙｐｏｌｍｆｔｅｐａｔｃｌａｌｔｃｏｎ．ｎｔｉａｅ，ｈｅｉｉｆｔＦＴｎｒｄｃｄａｄｓｖｒｌｔｐｃｌａｇｉｈｓｗｅｅａａｎｉｏｉｉｔｏｕｅｎｅｅａｙｉａｌｏｒｔｍｒｎ — ｓｌｚｄＴｈｎ，ｔｙｅ．ｅＡｗ￣ｐｓｍｐｅｎｔｔｏｆｔｅｆａｔｏａｕｉｒｔａｆｒｄｓｒｂｄｂｈｒｒＢｌｈｅｓｓｕｉｄＢｙｃｍｐｒｓｎ，ｔｈｓｈａｅｉｌｍｅａｉｎｏｈｒｃｉｎｌＦｏｒｅｒｎｓｏｍｅｃｉｅｙＡｄｅｍａｕｔｅｌｔｄｅ．ｏａｉｏｉａｉａｖｎａｅｆｈｇｒｃｓｏｎａｔｓｅｄ，ｗｈｃａｍｐｏｅｔｅｒａ—ｉｒｏｍａｅｉｎｎｅｉｇｆｌ．ｄａｔｇｓｏｉｈｐｅｉｉｎａｄｆｓｐｅｉｈｃｎｉｒｖｈｅｌｍｅｐｅｆｒｎｃｎｅｇｉｅｒｎｉｄｔｅＫｏｒＦｒ，ｓｇａｒｃｓｉｇ，ｄｇｔｌｃｍｐａｉｎｅｙＷｄｓＦＴｉｎｌｐｏｅｓｎｉｉｏｕｔｔｏａＣｌｓＮｕｂｒＯ２ａｓｍｅ９

分数阶导数的傅里叶变换

分数阶导数的傅里叶变换在数学和物理学中，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具。

它具有广泛的应用领域，例如信号处理、图像处理、量子力学以及电磁学等。

在这篇文章中，我们将重点讨论分数阶导数的傅里叶变换，探索其在实际问题中的应用和意义。

首先，让我们来回顾一下分数阶导数的定义。

一般来说，对于一个函数f(x)的n阶导数，它可以通过连续地对f(x)进行n次微分得到。

而当n为分数时，我们就需要借助分数阶导数来描述函数的变化率。

分数阶导数可以用不同的方法进行定义，其中一种常见的定义是通过傅里叶变换。

傅里叶变换是一种将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的方法，它将函数从时域转换到频域。

在分数阶导数的傅里叶变换中，我们将函数从时域转换到分数域，从而揭示出函数在不同分数阶导数下的性质。

分数阶导数的傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。

在许多实际问题中，信号通常具有非平稳性质，而分数阶导数能够更好地描述这种非平稳性。

通过将信号进行傅里叶变换，我们可以得到信号在不同频率下的分数阶导数，从而更准确地分析和处理信号。

另外，在图像处理中，分数阶导数的傅里叶变换也被广泛应用。

图像通常包含着丰富的细节和纹理信息，而对图像进行分数阶导数的傅里叶变换可以提取出这些信息。

这对于图像识别、纹理分析以及图像增强等任务非常有帮助。

除了信号处理和图像处理，分数阶导数的傅里叶变换在量子力学和电磁学等领域也有着重要的应用。

在量子力学中，波函数的分数阶导数可以描述微观粒子的行为和性质。

而在电磁学中，分数阶导数的傅里叶变换可以帮助我们更好地理解和分析电磁场的性质。

总而言之，分数阶导数的傅里叶变换在多个领域中都发挥着重要的作用。

它不仅能够准确地描述函数的变化率，还可以提取信号和图像中的有用信息。

通过深入研究和理解分数阶导数的傅里叶变换，我们可以更好地解决实际问题，并推动相关领域的发展。

因此，对于数学和科学研究者来说，掌握分数阶导数的傅里叶变换是非常重要的。

基于离散采样型的分数阶傅里叶变换的算法研究与实现

西南交通大学毕业论文基于离散采样型的分数阶FOURIER变换算法研究与实现年级: 2011学号: **********: **专业: 自动化(交通信息工程及控制方向)****: ***二零一五年六月西南交通大学本科毕业设计院系专业年级姓名题目指导教师评语指导教师(签章)评阅人评语评阅人(签章) 成绩答辩委员会主任(签章)年月日(此页为空白)毕业设计（论文）任务书班级学生姓名学号发题日期：2014 年12月1日完成日期：2015年 6 月15 日题目基于离散采样型的分数阶Fourier变换算法研究与实现1、本论文的目的、意义近年来,分数阶Fourier变换因其在光学、量子力学、模式识别、时频分析、信号处理等领的广泛应用得到了越来越多的关注。

分数阶Fourier 变换可以看作是时频平面的旋转,并且与其他时频分布具有密切的联系。

分数阶Fourier变换是传统Fourier变换的推广,不但继承了传统傅里叶变换的基本性质，还具有其他的诸多优点。

能够在介于时域和频域之间的分数域上分析信号，可以展示出信号从时域逐渐变化到频域的所有特征，从而突出问题的某些方面的本质特征。

由于分数阶Fourier变换的离散算法不像离散Fourier变换那样可以简单地通过在时域直接离散化采样得到, 因此分数阶Fourier变换的离散算法成为近年来的研究重点。

分数阶Fourier变换的离散算法主要有三种类型：离散采样型、线性组合型和特征分解型，本设计主要针对离散采样型算法进行研究和算法实现。

2、学生应完成的任务1、了解分数阶Fourier 变换的应用及离散化算法的发展动态；2、学习和掌握分数阶Fourier变换的机理及离散化算法的基本类型，重点研究和掌握离散采样型算法。

3、基于MATLAB编程实现分数阶Fourier 变换的离散采样型离散算法。

4、通过对一个典型的非平稳信号进行分数阶Fourier变换分析，研究信号的特征，并验证程序的可行性和正确性。

分数傅里叶变换的快速算法及计算全息图的研究

程中分数阶匹配与否的实验结果，验证了分数傅里叶变换分数阶的重要性质和笔者提出算法的可行性。
关键词：涅耳衍射；数傅里叶变换；菲分分数傅里叶变换全息图中图分类号：Ｐ０．Ｔ３１６文献标识码：Ａ文章编号：０５７１２０）４０１ — ３１０ —３５（０６０ — ０４０
ＳＩｎＣＡＯ —ｕ，ＺＨＤｏｇ，ＹｕｒＨＡＮＧｉｙｎ，ＷＥＩｕＺ—ｕｉＳ
（ｅａ．ｆｎｅｉｎｏｕｉｎｉａＰｏｍｉｇＡｈｉｉｅｉ，ｅｅ２０３，ｈｎ）ＫｙＬｂｏｔｌｅｔｍｐｔｇａｄＳｇｌｒｃｓ，ｎｕＵｎｖｒｔＨｆ３０９ＣｉＩｌｇＣｎｎｎｓｙｉａ
分数傅里叶变换的快速算法及计算全息图的研究
史东，曹玉茹，张子云，韦穗
（安徽大学计算智能与信号处理重点实验室，安徽合肥２０３）３０９
摘要：通过分析菲涅耳衍射积分的快速算法，依据Ｌ）￣ｍ提出的任意阶的分数傅里叶变换的单透镜光学实验装置，ｘ＝ｌｔ详
Ｏ引言分数傅里叶变换由Ｎｎｓａ１…在１８年引入量子力学ｉ９０
领域。２世纪９００年代Ｍｅｄｖ和Ｏａｔ把分数傅里ｎｌｉｏｃｚａｋｓ
１分数傅里叶变换及其快速算法实现
以一维为例，简单介绍菲涅耳近场衍射的角谱算法。］设物体在单位振幅均匀平面波照射后，光场分布为ｆ）则传播距离为处的衍射光场的菲涅耳衍射积分（，
细分析丁光场在此单透镜系统中的传播过程，出了一种基于傅里叶变换的分数傅里叶变换快速算法，对基于此快速算提并法的分数傅里叶变换全息图的计算机生成与数字重现进行了研究。实验结果示出了分数傅里叶变换全息图及其在重构过

基于多重分数阶傅里叶变换ISAR快速成像算法

火控雷达技术Fire Control Radar Technology第50卷第1期（总第195期）2021年3月Vol.厶。

Series 妙！)=ae 2021基于多重分数阶傅里叶变换ISAR 快速成像算法张俊王伟向聪相飞宋文青（西安电子工程研究所西安 710100）摘要：关于机动目标的逆合成孔径雷达成像技术在诸多应用领域扮演着重要的角色，但其应用一直存在一个严重问题——时变多普勒频率，它会在信号回波中引入高阶相位项，如调频率项，如果不对其进行精确补偿，最终获得的ISAR 图像质量会出现明显恶化。

针对上述问题，大量算法相继被提出用以实现调频率的估计，但是这些算法往往存在运算量大以及传递误差影响等问题。

针对这些问题，本文提出了一种基于多重FRFT 变换的ISAR 快速成像算法。

首先将ISAR 回波信号用二次调频(QFM )信号模型进行建模，再利用相干积累广义立方相位函数(CIGCPF )对信号中的线性项与三次项进行估计补偿，随后提出了最小二乘分数阶傅里叶变换(LS-FRFT )的方法，通过多次 LS-FRFT 联合估计即可独立估计出调频项，这一处理能够有效降低运算量并消除传递误差的影响。

考虑到测量误差以及低信噪比的影响可能降低误差的估计精度#在此前LS-FRFT 的基础上，我们又提出了加权最小二乘分数阶傅里叶变换(WLS-FRFT )方法来进一步改善参数估计的精度与稳定性。

最终通过实测数据验证了所提算法的有效性。

关键词：参数估计；传递误差；加权最小二乘估计；分数阶傅里叶变换中图分类号:TN957.52文献标志码:A 文章编号：100L -8652(2021)01 -001 -07引用格式：张俊，王伟，向聪，相飞，宋文青.基于多重分数阶傅里叶变换ISAR 快速成像算法[J ].火控雷达技术,2021,50(1 )：1 -7 +25.DOI ：10.19472/j. enkr. 1008 -8652.2021.01.001A Fast IIAR Imaging Method Based on Mutiple Fractional Fourier TransformZHANG Jun , WANG WC , XIANG Cony , XIANG FC , SONG Wenqiny(Xi(n Electronic Engineeeny Resecrch Institute , Xi(n 710100 )Abstraci : The inverse synthetic aperture radae (ISAR ) irndginy of maneuveriny rotatiny tagCs plays an importani ro/c in many applications , but it always faces a seaous chHenye : the time-vv )iny Dopplea frequency , which wil O induce high-ordea phase teans , especial l y chop ate team , degadiny the quality of ISAR imayes siyniOcantly if itcannot be compensated properly. Many alyorithms havv been proposed to estimate and compensate the chi) rate , howevee , these methods always suffer from heay computation burden and considerabW ctot propagation efect. Totackle this problem , we proposs a novel ISAR 0x 1311-0 alyorithm based on multiple FRFT. The received ISAR siy- nal is modeled as quadratic aequency modulated ( QFM ) siynl fimt , and tie linar term and cubic term can be re moved by usiny coherente intecrated yeneralized cubic phase function ( CIGCPF ) . Then we propose the joint W cs S square actiondl Fouriv transform ( LS-FRFT) metiod te estimate the chap rate term independentey , which elimi nates the eaecC of propagation cror and reduces the computation load. Consideriny that measurement error and low siynal-to-noise ratio ( SNR) may dejrade the aror estimation accuacy, a weighted 111: square FRFT ( WLS-FR f收稿日期：2019-12-30基金项目：装备发展领域基金（61406190101 ）#上海航天科技创新基金（SAST2017 -070）作者简介:张俊（1991 -），男，博士研究生％研究方向为雷达成像技术％2火控雷达技术第50卷FT)method is developed to improve the estimation accuracy and Tobust-ess.At last,real test results are presented to velidate the proposed method.Keywords:parametea estimation；papaaation eiroa；weighted least square estimation；fractionai Fouriea transform (FRFT)o引言逆合成孔径雷达能够对非合作目标进行高分辨成像观测,近年来在低空管控、战场侦察及遥测监视等方面受到了广泛的关注(在分ISAR应场，其观测目标由于观气象因素等条件，往往具有很强的，高目标上的多具变性,进：到的ISAR图像存在严重的［现象。

分数阶傅里叶变换讲解

分数阶傅里叶变换的MATLAB 仿真计算以及几点讨论在Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》中给出了一种快速计算分数阶傅里叶变换的算法，其MATLAB 计算程序可在.tr/~haldun/fracF.m 上查到。

现在基于该程序，对一方波⎪⎩⎪⎨⎧<=其它,01,1)(t t x 进行计算仿真。

注：网上流传较为广泛的FRFT 计算程序更为简洁，据称也是Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》使用的算法。

但是根据Adhemar Bultheel 和 Hector E. Martnez Sulbaran 的论文《Computation of the Fractional Fourier Transform 》中提到，Ozaktas 等人的分数阶傅里叶变换的计算程序仅有上述网站这一处，而两个程序的计算结果基本相符。

本文使用较为简洁的计算程序，Ozaktas 等人的计算程序在附表中给出。

程序如下：clearclc%构造方波⎪⎩⎪⎨⎧<=其它,01,1)(t t x dt=0.05;T=20;t=-T:dt:T;n=length(t);m=1;for k=1:n;% tt=-36+k;tt=-T+k*dt;if tt>=-m && tt<=mx(k)=1;elsex(k)=0;endend%确定α的值alpha=0.01;p=2*alpha/pi%调用计算函数Fx=frft(x,p);Fx=Fx';Fr=real(Fx);Fi=imag(Fx);A=abs(Fx);figure,subplot(2,2,1);plot(t,Fr,'-',t,Fi,':');title(' α=0.01时的实部和虚部π'); axis([-4,4,-1.5,2]);subplot(2,2,2);plot(t,A,'-');title('α=0.01时的幅值');axis([-4,4,0,2]);分数阶傅里叶变换计算函数如下：function Faf = frft(f, a)% The fast Fractional Fourier Transform% input: f = samples of the signal% a = fractional power% output: Faf = fast Fractional Fourier transformerror(nargchk(2, 2, nargin));f = f(:);N = length(f);shft = rem((0:N-1)+fix(N/2),N)+1;sN = sqrt(N);a = mod(a,4);% do special casesif (a==0), Faf = f; return; end;if (a==2), Faf = flipud(f); return; end;if (a==1), Faf(shft,1) = fft(f(shft))/sN; return; end if (a==3), Faf(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; return; end% reduce to interval 0.5 < a < 1.5if (a>2.0), a = a-2; f = flipud(f); endif (a>1.5), a = a-1; f(shft,1) = fft(f(shft))/sN; end if (a<0.5), a = a+1; f(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; end% the general case for 0.5 < a < 1.5alpha = a*pi/2;tana2 = tan(alpha/2);sina = sin(alpha);f = [zeros(N-1,1) ; interp(f) ; zeros(N-1,1)];% chirp premultiplicationchrp = exp(-i*pi/N*tana2/4*(-2*N+2:2*N-2)'.^2);f = chrp.*f;% chirp convolutionc = pi/N/sina/4;Faf = fconv(exp(i*c*(-(4*N-4):4*N-4)'.^2),f);Faf = Faf(4*N-3:8*N-7)*sqrt(c/pi);% chirp post multiplicationFaf = chrp.*Faf;% normalizing constantFaf = exp(-i*(1-a)*pi/4)*Faf(N:2:end-N+1);function xint=interp(x)% sinc interpolationN = length(x);y = zeros(2*N-1,1);y(1:2:2*N-1) = x;xint = fconv(y(1:2*N-1), sinc([-(2*N-3):(2*N-3)]'/2)); xint = xint(2*N-2:end-2*N+3);function z = fconv(x,y)% convolution by fftN = length([x(:);y(:)])-1;P = 2^nextpow2(N);z = ifft( fft(x,P) .* fft(y,P));z = z(1:N);从图中可见，当旋转角度0→α时，分数阶Fourier 变换将收敛为方波信号)(t x ；当2πα→时，收敛为c sin 函数。

分数阶傅里叶变换仿真

分数阶傅里叶变换仿真分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是一种基于分数阶微积分理论的信号处理方法。

它在时频域中对信号进行变换，具有很好的时频分辨率和抗干扰性能。

本文将介绍分数阶傅里叶变换的原理及其在仿真中的应用。

一、分数阶傅里叶变换原理分数阶傅里叶变换是傅里叶变换的推广形式，它的核函数是复数的n次幂函数。

在时域上，分数阶傅里叶变换可以表示为以下形式：```FrFT(a,b)f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} K(a,b,t,\omega) f(\omega)e^{j\omega t} d\omega```其中，a和b分别表示分数阶傅里叶变换的两个参数，f(t)表示输入信号，K(a,b,t,\omega)表示分数阶傅里叶变换的核函数。

二、分数阶傅里叶变换仿真方法为了对分数阶傅里叶变换进行仿真，我们可以借助计算机来实现。

以下是分数阶傅里叶变换仿真的步骤：1. 输入信号准备：选择一个合适的输入信号，可以是连续信号或离散信号。

确保信号具有一定的频谱特征，并且足够长以覆盖所需的频域范围。

2. 离散化：如果输入信号是连续信号，需要进行采样和离散化处理，得到离散信号。

3. 计算核函数：根据所选的参数a和b，计算分数阶傅里叶变换的核函数K(a,b,t,\omega)，可以利用数值计算的方法进行近似求解。

4. 执行分数阶傅里叶变换：将离散信号与核函数进行卷积运算，得到分数阶傅里叶变换后的信号。

5. 可视化结果：将变换后的信号进行可视化展示，可以使用时频图或频谱图等方式来展示信号在时域和频域上的特征。

三、分数阶傅里叶变换仿真实例为了更好地理解分数阶傅里叶变换的仿真过程，我们举一个简单的实例来演示。

假设我们有一个正弦信号f(t) = A\sin(2\pi f_0 t)，其中A为幅度，f_0为频率。

以下是实现分数阶傅里叶变换仿真的Python代码：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 参数设置A = 1.0f0 = 10.0alpha = 0.5beta = 1.0# 生成时间序列t = np.linspace(-10, 10, 1000)# 生成输入信号f = A * np.sin(2 * np.pi * f0 * t)# 计算核函数kernel = np.exp(-1j * np.pi * alpha * beta) * np.exp(1j * np.pi * beta * (f0 * t) ** 2)# 执行分数阶傅里叶变换frft = np.convolve(f, kernel, mode='same')# 可视化结果plt.figure()plt.subplot(2, 1, 1)plt.plot(t, f)plt.title('Input Signal')plt.xlabel('Time')plt.ylabel('Amplitude')plt.subplot(2, 1, 2)plt.plot(t, frft)plt.title('Fractional Fourier Transform')plt.xlabel('Time')plt.ylabel('Amplitude')plt.show()```通过运行以上代码，我们可以得到输入信号和分数阶傅里叶变换后的信号的时域波形图。