北师大数学八下课件1.4角平分线(2)

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北师大版八年级(下)数学第4讲：角平分线(教师版)——王琪

角平分线一、角平分线的性质定理1. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；2. 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

二、角平分线的判定定理在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。

三、关于三角形三条角平分线的定理1. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题。

2. 三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部，这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）。

1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．故选C．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠C的平分线与∠B的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（）A．50° B．45° C．40° D．35°解：∵E在∠C的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AC的距离，∵E在∠B的外角的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AB的距离，∴E点到AC的距离等于E到AB的距离，∴AE是∠A的外角的平分线．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，，∵EB是∠B的外角的平分线，∴∠ABE=60°，∴∠AEB=180°﹣60°﹣75°=45°．故选B．3．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A．2 B．3 C．D．4解：作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故选：A．4．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3解：作PM⊥OB于M，∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3，故选：C．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE=5cm，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣64°=26°．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，若AC=5，BC=12．求点D 到AB的距离．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC=5，BC=12，∴AB==13，∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，∴CD=DE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（HL），∴AE=AC=5，BE=AB﹣AE=13﹣5=8，设DE=x，则BD=12﹣x，在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，∴x2+82=（12﹣x）2，解得x=．答：点D到AB的距离是．7．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DC=DE；∴BD+DE=BD+CD=BC；∵AC2=AD2﹣CD2，AE2=AD2﹣DE2，∴AC=AE，而AC=BC，∴BC=AE，∴BD+DE+BE=AE+BE=AB，即△DBE的周长等于AB．8．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，∴AM=BM，在Rt△AOM和Rt△BOM中，，∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE=BF．证明：∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∵DE⊥AC，∠ABC=90°∴DE=BD，∠3=∠4，∵BF∥DE，∴∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴BD=BF，∴DE=BF．基础演练1．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故选D．2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．B．2 C．3 D．2解：过点P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PB=PA=3，∴PQ的最小值为3．故选：C．3．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2OM=8，∴PD=OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．故选C．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=1cm，BE=cm，则BC 等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．（+1）cm解：∵DE=1cm，BE=cm，∴BD==2cm，∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=1cm，∴BC=CD+BD=3cm，故选：C．5．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的长．∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB×DE+AC×DF∴S△ABC=（AB+AC）×DE即×（16+12）×DE=28，故DE=2（cm）．巩固提高6．（1）求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）如图，AD是△ABC的角平分线，求证：=．解：已知：OC平分∠AOB，点P为OC上任一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．求证：PE=PF证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POE=∠POF，∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴∠PEO=∠PFO=90°，在△PEO和△PFO中，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴PE=PF，∴角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）如图，过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=．7．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．8．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，AB=10，AC=6，求D到AB的距离．解：作DE⊥AB，垂足为E，DE即为D到AB的距离．又∵∠C=90°，AD平分∠CAB，∴DE=DC在△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，AC=6，∴BC=8，设CD=x，则DE=CD=x，BD=8﹣x．在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC=6，∴BE=4，在Rt△BED中，∵DE2+EB2=DB2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3．∴D到AB的距离是3．1．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB 的距离为（）A．18 B．16 C．14 D．12解：∵BC=32，BD：DC=9：7 ∴CD=14∵∠C=90°，AD平分∠BAC ∴D到边AB的距离=CD=14．故选C．2．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（）A．48 B．50 C．54 D．60解：作DE⊥AB于E，∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=4，∴△ABC的面积为：×AC×DC+×AB×DE=54，故选：C．4．如图，OP平分∠MON，PA⊥OA于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的值为（）A．1 B．2 C．大于2 D．不小于2解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=2，∴点P到OM的距离等于2，而点Q是射线OM上的一个动点，∴PQ≥2．故选D．5．如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB．证明：∵P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴OA=OB，∵OP平分∠AOB，∴OP垂直平分AB（三线合一）．6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB=6，AC=4，若S△ABD=9，求S△ACD．解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵S△ABD=9，AB=6，∴DE=3，∴DF=3，∵AC=4，∴S△ACD=AC•DF=6，故答案为：6．1．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB 的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD=ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，又AC=BC，∴AC=AE=BC，又AB=6cm，∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm．故选A．2．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5解：∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5则P到OB的距离为5因为Q是OB上任一点，则PQ≥5故选B．3．如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，连接DE，四边形ABCD的面积为12cm2．若BE平分∠ABC，则四边形ABED的面积为（）A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2解：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，∴AE=EC，∴S△ABE=S△ABC，S△ADE=S△ADC，∴四边形ABED的面积=×四边形ABCD的面积=6cm2，故选：B．4．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则△ADC的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE=DF=2．∴S△ACD=AC•DF=×3×2=3，故选A．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．6．如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∠BOC=30°，求∠AOB的度数．解：∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∴P在∠AOB的角平分线上，∴∠AOB=2∠BOC=2×30°=60°．7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）若△ABC面积是40cm2，AB=12cm，AC=8cm，求DE的长．（2）求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC．（1）解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵△ABC面积是40cm2，AB=12cm，AC=8cm，∴40=×12×DE+×8×DF，DE=DF=4（cm）．（2）证明：∴S△ABD=×AB×DE，S△ACD=×AC×DF，DE=DF，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，若AC=12，AD=8，求点D到AB的距离．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵CA=12，AD=8，∴CD=CA﹣AD=12﹣8=4，∵BD是∠ABC的平分线，∴DE=CD=4，故D到AB的距离是4．9．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．。

八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版

度数，可以求此角的度数。
3
应用三解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的平分线。
练习二用角平分线定理求角度
练习应用角平分线定理来求出角的度数。
练习三解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解方法？
可用尺规作图法作出一条角的平分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交，则它们所截的弧上的点都在相同的直线上。

北师大版八年级数学下册课件 1.4.1 角平分线的性质与判定

A. PC = PD B. OC = OD C. ∠CPO =∠DPO D. OC = PO
提出问题探索新知
思考：你能写出角平分线性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.
这个命题是假命题.角平分线是角内的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点.
∴AD 平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°.
A
∴在 Rt△ADE 中，
∠AED = 90°，AD = 10，
1
1
∴ DE = 2 AD = 2 ×10 = 5（在直
角三角形中，如果一个锐角等于30°，
E
F
B
D
C
∠PDO =∠PEO，
D C
P
O
EB
∠AOC =∠BOC， OP = OP，
∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE.
知识要点
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上；
A D
(3) 垂直距离. 定理的作用：证明线段相等.
导入新课
定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能证明这个定理吗？
探究新知
已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上， PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
A
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

北师大版数学八下1.4角平分线课件

2.已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，
使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相
等．
A
A
D
O
C B
D C
O
B
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC 证明：
1、判断题 (1)∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = DC ( × )
(2)∵ DC⊥AC于C，DB⊥AB于B （已知）
∴ BD = DC ( × )
B
A
D
C
A B
D
C
(3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC于C ，DB⊥AB于B （已知）
∴ BD = DC ( √ )
A
不必再证全等
B
D C
∴点P即为所求
O
A
P
D
C B
四、课堂小结角平分线性质定理定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线判定定理
定理
在一个角形内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上
探究二：
定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
条件
结论
你能写出这个定理的逆命题？
逆命题：一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
真命题？假命题？
角平分线性质定理的逆命题
一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
条件
结论
已知：点P为∠AOB内一点 PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D、E ， PD＝PE.
小结：角平分线性质判定定理在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

北师大版数学八年级下册数学课件：第一章4角平分线第二课时

解：把公路和铁路看作两条直线，画出它们所成角的平分线，在角的平分线上从顶点截出表示实际长 400 m的线段，即可确定学校的位置，如图1-4-23，图中的点P即为所求．表示实际长400 m的线段为 40 000÷12 500=3.2（cm）．
课堂讲练
模拟演练
1. 如图1-4-22，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.作 ∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）.
=28x，
∴28x=84.
解得x=3. 故PD的长为3.
连接OA.
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=3.
1
1
1
∴S△ABC= 2 AB·OE+ 2 AC·OF+ 2 BC·OD
பைடு நூலகம்
=
12（AB+AC+BC）·3=
63 2
.
课堂讲练
模拟演练
3.如图1-4-26所示，在△ABC中，若点O是∠ABC,∠ACB的角
平分线的交点，且∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠OAB的
2
∵∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC，
∴∠AOB=180°- ∠1 ABC- ∠1BAC
=90°+ 1 ∠ACB. 2
2
∵FO⊥OC2，∴∠FOC=90°.
∵∠BFO=∠FOC+∠OCF，∠OCF= ∴∠BFO=90°+ 1∠ACB.
∠A12 CB，
2
∴∠AOB=∠BFO.
课后作业
8. 如图1-4-35，在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7， BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB， PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E,F,D，求PD的长.

2024北师大版数学八年级下册1.4.2《三角形三个内角的平分线》教学设计

2024北师大版数学八年级下册1.4.2《三角形三个内角的平分线》教学设计一. 教材分析《三角形三个内角的平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4.2节的内容。

本节课主要介绍三角形的三个内角的平分线的性质及其作用。

学生在学习本节课之前，已经学习了角平分线的性质，对角平分线有一定的了解。

本节课的内容对于学生来说，既是知识的拓展，也是难度的加深。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角平分线的性质，对图形的平分有一定的理解。

但部分学生对角平分线与三角形内角平分线的联系和区别还不够清晰，对于如何运用内角平分线性质解决实际问题还有一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们理解和掌握内角平分线的性质，提高他们的解题能力。

三. 教学目标1.知识与技能：理解和掌握三角形的三个内角的平分线的性质，能够运用内角平分线性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：三角形的三个内角的平分线的性质。

2.难点：如何运用内角平分线性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解和掌握三角形的内角平分线性质。

2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生主动思考、积极探索，提高他们的解题能力。

3.小组合作学习：鼓励学生相互讨论、交流，共同解决问题，培养他们的团队协作能力。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。

2.教学课件：制作课件，展示三角形的内角平分线性质的相关图片和实例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如等腰三角形的制作，引导学生思考三角形的内角平分线的作用和意义。

让学生意识到本节课的重要性，激发他们的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用课件展示三角形的内角平分线性质的图片和实例，引导学生观察、分析，总结出三角形的内角平分线性质。

1.4第2课时三角形三条内角的平分线-北师大版八年级下册数学教案

1.4第2课时三角形三条内角的平分线-北师大版八年级下册数学教案
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级下册数学教材第4章第2节，主要内容包括：
1.三角形内角平分线的定义及性质；
2.证明三角形内角平分线定理：三角形的一个内角的平分线与这个内角的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做这个内角的平分线；
3.掌握三角形内角平分线的作法，并能够运用内角平分线解决相关问题；
2.教学难点
-理解内角平分线的定义：学生可能会对“平分线”这一概念感到抽象，难以形成清晰的认知。
-内角平分线定理的证明：几何证明过程中，学生可能会在添加辅助线、运用几何定理等方面遇到困难。
-准确作图：在实际操作中，如何准确作出内角平分线，对学生的空间想象能力和动手能力提出了挑战。
-解决实际问题中的应用：将内角平分线性质应用到具体问题中，学生可能会在问题分析和解决策略上感到困惑。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形内角平分线的基本概念。三角形内角平分线是指从一个三角形的内角出发，将这个角平分成两个相等角的线段。它是解决三角形问题时非常重要的工具，可以帮助我们简化问题，便于计算和理解。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过三角形内角平分线的性质，我们可以解决三角形中线的长度问题，或者判断某个点是否在三角形的某个角的平分线上。
-内角平分线的作法：学会在实际操作中准确地作出三角形的内角平分线。
-解决实际问题：运用内角平分线性质解决几何问题，如角度的计算、线段长度的比较等。
举例解释：
-在讲解内角平分线性质时，可以通过动画演示或实物模型，让学生直观感受内角平分线的作用，强调其在三角形中的重要性。
-在证明内角平分线定理时，指导学生通过画图、添加辅助线等步骤，逐步推导出定理，并强调证明过程中的逻辑顺序。

初中数学《角平分线》课件-完美版【北师大版】2

解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，连接 OA． ∵点 O 是∠ABC， ∠ACB 的平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即 OE＝OF＝OD＝3.
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC）＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB；（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm，求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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北师大版(新)初中数学八年级下册 1,4角平分线第二课时【优质课件】

1 已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( B ) A．P 为∠A 与∠B 的平分线的交点 B．P 为∠A 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 C．P 为AC，AB 两边上的高的交点 D．P 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE 丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
A
E
C
D
B
(1) 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴ B＝1 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
FEM＝FDN，
在△FEM 与△FDN 中， EMF＝DNF，
∴△FEM ≌ △FDN.
FM＝FN，
∴FE＝FD.
2 在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D )

1.4角平分线(课件)-2023—2024学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明1.4 角平分线
北师大版初中数学八年级下
1
1.城市发展规划先行
A
O
B
沣西新城位于渭河以南，沣河之西，两条河流交汇，形成了沣渭三角洲，即图中的∠AOB. 假如你是城市规划师，要在沣西设计一条景观带，要求这条景观带上的任意一点到沣河和渭河（即角的两边）的距离相等，那么这条景观带应该在什么位置呢？
思考：记PD=PE=PF=r，△ABC的周长为C,能否计算出三角形的面积？（为什么要记为r？）
5.总结串联升华提升
本节课你有哪些收获？
观察
测量
猜想
证明
角平分线的性质定理
角平分线的判定定理
&
数学建模
逻辑推理
6.作业布置,巩固拓展
初一时，通过观察，我们还曾经发现了以下三个现象：1.三角形三边的垂直平分线交于一点2.三角形的三条中线交于一点3.三角形三条高所在的直线交于一点聪明的你可以给出严格的证明吗？这些交点又有哪些有趣的性质呢？
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
∴ ∠AOP= ∠BOP，
∴ OP平分∠AOB
∵ OP=OP, PD=PE，
∴ Rt△PDO ≌Rt△PEO(HL).
1
A
O
B
C
P
3.致知穷理探索性质
D
E
沣西新城位于渭河以南，沣河之西，两条河流交汇，形成了沣渭三角洲，即图中的∠AOB. 假如你是城市规划师，要在沣西设计一条景观带，要求这条景观带上的任意一点到沣河和渭河（即角的两边）的距离相等，那么这条景观带应该在什么位置呢？
根据角平分仪的工作原理，我们利用尺规可以作出一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？

北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教案

北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教案一. 教材分析《1.4 第1课时角平分线》这一课时主要让学生掌握角平分线的性质。

教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生推理、证明的能力。

本课时内容是学生在学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，为后续学习线段平分线、弧平分线等知识打下基础。

二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了角的概念、角的计算等知识，对角有一定的认识。

但是，对于角平分线的性质，学生可能还没有直观的理解。

因此，在教学过程中，教师需要利用直观的教具，引导学生观察、思考，从而发现角平分线的性质。

三. 教学目标1.理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质。

2.培养学生的观察能力、推理能力、证明能力。

3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。

四. 教学重难点1.角平分线的性质。

2.如何引导学生发现并证明角平分线的性质。

五. 教学方法1.采用直观教学法，利用教具引导学生观察、思考。

2.采用问题驱动法，引导学生提出问题、解决问题。

3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流。

4.采用证明教学法，引导学生用几何证明的方法证明角平分线的性质。

六. 教学准备1.准备角平分线的教具，如量角器、直尺、三角板等。

2.准备多媒体课件，展示角平分线的性质。

3.准备练习题，巩固学生对角平分线的理解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师利用教具，如量角器，引导学生观察量角器上的角平分线，让学生直观地感受角平分线的作用。

同时，教师提出问题：“你们认为角平分线有什么性质呢？”引导学生思考。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示角平分线的性质。

同时，教师用几何证明的方法，引导学生证明角平分线的性质。

在这个过程中，教师要注意引导学生发现并理解角平分线的性质。

3.操练（10分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。

练习题包括判断题、填空题、解答题等题型，全面巩固学生对角平分线的理解。

北师大版八年级下册数学：1.4角平分线课件

则∠BAP__________∠CAP.
如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
E 如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
相信自己探究尝试
如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，
若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
课堂检测
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= 3 ，则PE=____.
E B
角平分线的性质定理 A
角平分线上的点到这个角的 D 两边的距离相等．
O
)1 )2
P C
几何语言：
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA， PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
E B
你会用吗?
巩固训练.
已知:如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
D
几何语言： ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ∴点P在∠AOB的平分线上。
O
) )
E
P C
B
典型例析
例题：在△ABC中，∠BAC =60°，点D 在BC上，AD =10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF ∴AD平分∠BAC 又∵ ∠BAC=60°，∴ ∠BAD=30° 在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10 ∴DE=1/2AD=1/2×10=5.

北师大版八年级数学下册1.4 角平分线的性质和判定课件

4.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E. 求证：AC＝BC. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB， BC⊥OA ∴CE＝CD，∠AEC＝∠BDC＝90° 又∠ACE＝∠BCD ∴△ACE≌△BCD(ASA) ∴AC＝BC
知识点2：角平分线的判定角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上. 几何语言： ∵____P__B_=_P_C_______， _P_B_⊥__A_B__，P__C_⊥__A_C__， ∴AP平分∠BAC.
1.如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝____5____cm.
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，则BD＝____5____cm.
3.(例1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：BE＝CF. 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90° ∵D是BC中点，∴BD＝CD ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴BE＝CF
又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)
∴OC＝OD
(2)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC＝PD ∴点P落在CD的垂直平分线上 ∵OC＝OD ∴点O落在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线
Байду номын сангаас
11.如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．求证：BD＝2CD.
证明：如图，过D作DE⊥AB于E ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90° ∴DE＝DC 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30° ∴BD＝2DE，∴BD＝2CD

北师大版八年级数学下册1.4角平分线角平分线的性质与判定课件

= ，
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
⁠
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.

∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.

在Rt△BDE中，DE＝，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.

北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件

只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,

北师大版数学八年级下册1.4《三角形三条内角的平分线》(第2课时)教学设计

北师大版数学八年级下册1.4《三角形三条内角的平分线》（第2课时）教学设计一. 教材分析《三角形三条内角的平分线》是北师大版数学八年级下册1.4的内容，本节课主要介绍三角形三条内角的平分线的性质及其应用。

通过本节课的学习，学生能够理解三角形三条内角的平分线的作用，掌握其性质，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质，对三角形有一定的了解。

但是，对于三角形内角平分线的性质和应用可能还不太清楚。

因此，在教学过程中，教师需要根据学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握三角形内角平分线的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解三角形三条内角的平分线的性质，并能够运用到实际问题中。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等方法，学生能够发现三角形内角平分线的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

3.情感态度价值观：学生能够积极参与课堂活动，培养对数学的兴趣和热情。

四. 教学重难点1.重点：三角形三条内角的平分线的性质。

2.难点：三角形内角平分线的应用。

五. 教学方法本节课采用讲授法、引导发现法、实践操作法等教学方法。

通过教师的讲解和引导，学生的观察和操作，以及合作交流，使学生能够主动探索和发现三角形内角平分线的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。

2.教学课件：PPT或者黑板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的相关知识，如三角形的内角和、三角形的分类等。

然后，教师提出本节课的学习内容：三角形三条内角的平分线。

2.呈现（10分钟）教师通过展示三角形内角平分线的图片，引导学生观察和思考三角形内角平分线的性质。

教师引导学生发现三角形内角平分线的一些特点，如：交于一点、长度相等等。

3.操练（10分钟）教师引导学生通过实际操作，验证三角形内角平分线的性质。

学生可以使用三角板、直尺、圆规等工具，自己画出三角形，并测量其内角平分线的长度。