南京市2014届数学二模

解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．………………………………………2分
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．…………………………………………6分
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)cos(60°＋θ)………………………………8分
由解得或所以点Q的坐标为(－，－)．……………………4分
因为kPF·kPF＝－1，所以△PQF2为直角三角形．……………………6分
因为QF2的中点为(－，－)，QF2＝，
所以圆的方程为(x＋)2＋(y＋)2＝．……………………8分
（3）解法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝(x1＋1，y1)，＝(－1－x2，－y2)．
因为AP平面BDE，OE平面BDE，
所以AP∥平面BDE．…………………………………………6分
（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以BC⊥平面PAB．………………………………………8分
因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．
因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，
5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为▲．
6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为▲．
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π) 的图象如下图所示，则f()的值为▲．
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为▲．
参考公式：
柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
圆柱的侧面积公式：S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．函数f(x)＝lnx＋的定义域为▲．
2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，aR)．若z1z2为实数，则a的值为▲．
＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)．…………………………………………12分
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
所以x2＝cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－．…………………………………6分
（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α．…………………………………………8分
因为α(，)，所以α＋(，)．
所以S2＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α．……………………………10分
整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．
存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，
等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．…………………………………………12分
因为a＞0，所以＝．
设u(x)＝（x＞1），则u′(x)＝．
因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．(0，1]2．43．3004．5．26．47．1
8．9．10．60°11．1或12．2－213．(，)14．[－1，1]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为▲．
10．已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲．
11．在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为▲．
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且．
因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－．…………………………………12分
所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－．因为α(，)，所以tanα＝2．………14分
17．(本小题满分14分)
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．
因为＝，即＝，
所以sinα＝y，cosα＝＝＝．…………………………………………6分
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8分
在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP，
即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………12分
所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）．…………………………………………16分
所以PA⊥平面PBC．…………………………………………12分
因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．
因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．
因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，
所以BE⊥平面PAC．…………………………………………14分
16．(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交
AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2
＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………………………8分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)．…………………………12分
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，
BP＝BC，E为PC的中点．
（1）求证：AP∥平面BDE；
（2）求证：BE⊥平面PAC．
15．证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．
因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．
因为E是PC中点，所以OE∥AP．…………………………………………4分
因为＝λ，所以即
所以解得x2＝．…………………………………………12分
所以·＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy＝－x22－(1＋λ)x2－λ
＝－()2－(1＋λ)·－λ＝－(λ＋)．…………………………………………14分
因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．
于点A(x1，y1)，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．
（1）若x1＝，求x2；
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及
△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．
16．解：（1）因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．
所以sinα＝，cosα＝．………………………2分
答：设计∠AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分
解法二(构造直角三角形)：
设∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．……………2分
在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，
AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确)．……………6分
当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．
所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1．
所以b的最大值为－1－e－1．…………………………………………10分
②：因为g(x)＝(ax－－2a)ex，所以g′(x)＝(＋ax－－a)ex．
由g(x)＋g′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0，
解：（1）当a＝2，b＝1时，f(x)＝(2＋)ex，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
所以f′(x)＝ex．…………………………………………2分
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表
x
(－∞，－1)
－1
(－1，0)
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
－
f(x)
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
由表知f(x)的极大值是f(－1)＝e－1，f(x)的极小值是f()＝4．……………………………………4分
因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．
所以AP2≤12，即AP≤2．
当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2．
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分
18．(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．
南京市2014届高三年级第二次模拟考试
数学2014.03
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．