南京二模数学
江苏南京市2025届高三第二次调研数学试卷含解析
江苏南京市2025届高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．1 5 B ．415 C ．1 3 D ．25 2．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -= 3．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+ 4．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为23，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053πC ．12πD ．20π5．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 6．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ）A ．()()(0)f a b f ab f +>>B ．()(0)()f a b f f ab +>>C ．()()(0)f ab f a b f >+>D ．()(0)()f ab f f a b >>+7．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的焦距为（ ） A ．3 B ．32 C ．6 D ．628．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =9．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ）A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种10．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π 11．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-12．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．-8D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年南京市高三第二次模拟 数学(含答案)
2023年南京市高三第二次模拟考试数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷。
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上。
1. 集合{}N 14A x x =∈<<的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16 2. 已知复数Z 满足iZ 2i =−，其中i 为虚数单位，则Z 为（ ） A. 12i −−B. 12i +C. 12i −+D. 12i −3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,若sin sin 2A Bb c B +=，则角C 的大小为（ ）A.π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π64. 在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同,已知①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球。
下列说法正确的为（ ） A. 丙参加了铅球 B. 乙参加了铅球 C. 丙参加了标枪D. 甲参加了标枪5. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中表示太极，表示阳仪，表示阴仪）。
若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即1a 为天一对应的经历过的两仪数量总和0，2a 为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，3a 为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4，…，按此规律，则15a 为（ ） A. 84 B. 98 C. 112 D. 1286. 直角三角形ABC 中，斜边AB 长为2，绕直角边AC 所在直线旋转一周形成一个几何体，若该几何体外接球表面积为16π3，则AC 长为（ ）B. 17. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，F 为其左焦点，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于点A ，B ，且AF AB ⊥。
2024年江苏省南京师范大学附属中学中考数学二模试卷及参考答案
2024年江苏省南京师范大学附属中学中考数学二模试卷全卷满分120分．考试时间为120分钟．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1．14−的相反数是（ ） A ．14− B ．14 C ．4− D ．422的值应在（ ）A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间3．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意，可列方程组为（ ）A ．54573y x y x =+⎧⎨=+⎩B ．54573y x y x =−⎧⎨=+⎩C ．54573y x y x =+⎧⎨=−⎩D ．54573y x y x =−⎧⎨=−⎩4．如图，已知点()1,0A ，()4,B m ，若将线段AB 平移至CD ，其中点()2,1C −，(),D a n ，则a m n −+的值为（ ）A ．4−B ．2−C ．2D ．45．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行10000000000次运算，它工作2024秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）A ．140.202410⨯B ．1220.2410⨯C ．132.02410⨯D ．142.02410⨯6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),A m n ，()4,2B m n +−是函数(0,0)k y k x x=>>图象上的两点，过点B 作x 轴的垂线与射线OA 交于点C ．若8BC =，则k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．．8二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）7x 的取值范围是 ．8．不等式组23040x x −+≤⎧⎨−>⎩的所有整数解的和为 ． 9．圆锥的底面半径为5cm ，母线长为15cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °．10．如图，平行四边形ABCD 中，6045B AB AD E F ∠=︒==，，，，分别是边CD AD ，上的动点，且CE DF =，则AE CF +的最小值为 ．11．小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若90A ∠=︒，65B ∠=︒，10cm AB =，则原直角三角形玻璃的面积为 2cm ．（参考数据：sin650.91︒≈，cos650.42︒≈，tan 65 2.14︒≈）12．将抛物线22y x =向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ． 13．不透明袋子中装有3个黑球、5个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是 ．14．如图，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切O 于点C ，若34D ∠=︒，则A ∠的度数为 ．15．如图，在苏通长江大桥的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = （m ）．16．图1是利用边长为“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF 作为题字区域（点A E D B 、、、在圆上，点C F 、在AB 上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：111tan 603−⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭．18．先化简2211a a a a a −−⎛⎫−÷ ⎪⎝⎭，再从23a −<<的范围内选择一个合适的整数代入求值．19．解方程和不等式组： (1)23122x x x x +−=−−；(2)123312223x x x −≥⎧⎪+−⎨−<⎪⎩．20．驾驶员理论考试中，常遇到4选2的多选题．如：驾驶机动车遇到如图这种情况时，正确的做法是“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”．现制作4张形状大小完全相同的卡片，其中每张卡片的正面分别写有“停车等待动物穿过”“鸣喇叭驱赶动物”“下车驱赶动物”“与动物保持较远距离”，洗匀后背面朝上．(1)随机抽取1张卡片，恰为“停车等待动物穿过”的概率是______；(2)一次性抽取2张卡片，卡片恰为“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）21．如图，已知矩形ABCD ．(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF ，使点E F 、分别在AD BC 、边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）(2)若84AD AB ==，，求菱形BEDF 的周长．22．如图，已知在ABC 中，AB AC =，以A 为圆心，AB 的长为半径作圆，CE 是A 的切线与BA 的延长线交于点E ．(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A 作BC 的垂线交EC 的延长线于点D ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接BD ．①试判断直线BD 与A 的位置关系，并说明理由； ②若tan 34E =，A 的半径为3，求BD 的长．23．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A 种树苗的价格是树苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A 种树苗比在树苗基地购买的少2捆． (1)求树苗基地每捆A 种树苗的价格．(2)树苗基地每捆B 种树苗的价格是40元．学校决定在树苗基地购买A ，B 两种树苗共100捆，且A 种树苗的捆数不超过B 种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对A 、B 两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．24．已知函数1k y x=(k 是常数，0k ≠)，函数2392y x =−+ (1)若函数1y 和函数2y 的图象交于点()2,6A ，点()4,2B n −．①求k ，n 的值；②当12y y >时，直接写出x 的取值范围；(2)若点()8,C m 在函数1y 的图象上，点C 先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D ，点D 恰好落在函数1y 的图象上，求m 的值．25．如图，直线AB 交双曲线k y x=于A 、B 两点，交x 轴于点C ，且B 恰为线段AC 的中点，连接OA ．若6OAC S =△．求k 的值．26．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A 旋转一个角度1(080)θθ︒<<︒，再将旋转后的多边形以点A 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作(T A ，顺θ，)k ；若逆时针旋转，记作(T A ，逆θ，)k ．例如：如图①，先将ABC 绕点B 逆时针旋转50︒，得到11A BC ，再将11A BC 以点B 为位似中心缩小到原来的12，得到22A BC ，这个变换记作(T B ，逆50︒，1)2．(1)如图②，ABC 经过(T C ，顺60︒，2)得到A B C ''△，用尺规作出A B C ''△．（保留作图痕迹）(2)如图③，ABC 经过(T B ，逆α，1)k 得到EBD △，ABC 经过(T C ，顺β，2)k 得到FDC △，连接AE ，AF ．求证：四边形AFDE 是平行四边形． (3)如图④，在ABC 中，150A ∠=︒，2AB =，1AC =．若ABC 经过（2）中的变换得到的四边形AFDE 是正方形．Ⅰ．用尺规作出点D （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；Ⅱ．直接写出AE 的长．27．抛物线21:C y x bx c =++交x 轴于A B 、两点（A 在B 的左边），已知A 坐标()2,0−，抛物线交y 轴于点()0,8C −．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，点F 在抛物线段BC 上，过点F 作x 轴垂线，分别交x 轴、线段BC 于D E 、两点，连接CF ，若BDE △与CEF △相似，求点F 的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点，直线2y x =与抛物线交于O G 、两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于M N 、两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2024年南京师范大学附属中学中考数学二模试题参考答案及解析 1．B【分析】此题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数求解即可． 解：由相反数的定义可知，14−的相反数是14， 故选：B ．2．A【分析】本题主要考查了无理数的估算，2的取值范围即可．解：∵496264<<，∴78<<，∴526<<，故选：A ．3．A【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，列出方程组即可．解：设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意得：54573y x y x =+⎧⎨=+⎩， 故选：A ．4．C【分析】本题考查坐标与图象的变化，根据A ，C 两点的坐标可得出平移的方向和距离，求出a 和m n −的值，整体代入进而解决问题．解：∵线段CD 由线段AB 平移得到，且(1,0)A ，(2,1)C −，(4,)B m ，(,)D a n ，∴平移方式为：先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，∴1m n −=−，43a −=∴1a =，∴()()112a m n a m n −+=−−=−−=．故选：C ．5．C【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案． 解：13202410000000000 2.02410⨯⨯=，故选C ．6．B【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据根据AD CE ∥，得AD OD CE OE=，求出32n m =．作AD x ⊥轴于点D ，设直线CB 与x 轴交于点E ，根据AD CE ∥，得AD OD CE OE =，所以32n m =，即可得到点点3,2A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34,22B m m ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，代入(0,0)k y k x x =>>即可求出答案．解：如图，作AD x ⊥轴于点D ，设直线CB 与x 轴交于点E ，点(),A m n ，()4,2B m n +−，8BC =，∴点(),0D m ，()4,0E m +，6CE n =+，∵AD x ⊥轴，CE x ⊥轴，∴AD CE ∥，∴OAD OCE ∽， ∴AD OD CE OE=， ∴64n m n m =++， 32n m ∴=，∴点3,2A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34,22B m m ⎛⎫+− ⎪⎝⎭， 点A ，B 是函数(0,0)ky k x x=>>图象上的两点， ∴()334222k m m m m ⎛⎫=⋅=+⋅− ⎪⎝⎭， 解得2m =， ∴362k m m =⋅= 故选：B ．7．3x ≥−/3x −≤【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．解：∴30x +≥，解得3x ≥−，故答案为：3x ≥−．8．5【分析】此题主要考查解一元一次不等式组．先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后找出两个解集的公共部分所有整数求和即可．解：23040x x −+≤⎧⎨−>⎩①②， 解不等式①得：32x ≥， 解不等式②得：4x <，∴不等式组的解集为：342x ≤< 不等式组的整数解是：2，3，∴不等式组的整数解的和为：235+=，故答案为：5．9．120【分析】本题考查圆锥的侧面展开图以及扇形的弧长公式，圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式计算即可．解：∵圆锥的底面半径为5cm ，∴底面周长为：10πcmπ1510π180n ⨯= 解得：120n =，故答案为：12010【分析】延长BC ，截取CG CD =，连接GE ，AG ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，证明CDF GCE ≌，得出CF GE =，说明当AE EG +最小时，AE CF +最小，根据两点之间线段最短，得出当A 、E 、G 三点共线时，AE EG +最小，即AE CF +最小，且最小值为AG 的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可．解：延长BC ，截取CG CD =，连接GE ，AG ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴4AB DC ==，5AD BC ==，AD BC ∥，∴D ECG ∠=∠，∵CD CG =，DF CE =，∴CDF GCE ≌，∴CF GE =，∴AE CF AE EG +=+，∴当AE EG +最小时，AE CF +最小，∵两点之间线段最短，∴当A 、E 、G 三点共线时，AE EG +最小，即AE CF +最小，且最小值为AG 的长，∵AH BC ⊥，=60B ∠︒，∴=30BAH ∠︒， ∴122BH AB ==，∴AH ==∵549BG BC CG =+=+=，∴927GH =−=，∴AG ==即AE CF +．．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．11．107【分析】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积．利用直角三角形边角关系求出AC 的长是解题的关键． 根据tan AC B AB=，求得tan 21.4cm AC B AB =⋅=，再根据直角三角形面积公式求解即可． 解：∵90A ∠=︒ ∴tan AC B AB= ∴()tan tan 6510 2.141021.4cm AC B AB =⋅=︒⨯≈⨯= ∴()2111021.4107cm 22ABC S AB AC =⋅=⨯⨯= 故答案为：107．12．22(3)2y x =−+【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；将抛物线22y x =向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后可得：()2232y x =−+，故答案为：22(3)2y x =−+；13．38/0.375 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用黑球的个数除以球的总数即可得到答案．解：∵一共有3个黑球、5个白球，且每个球被摸到的可能性相同，∴从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是33358=+，故答案为：38．14．28︒/28度【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接OC ，根据切线的性质得90OCD ∠=︒，求出DOC ∠的度数，再根据圆周角定理计算A ∠的度数．解：如图，连接OC ，∵DC 切O 于点C ，∴OC DC ⊥，∴90OCD ∠=︒，∵34D ∠=︒，∴903456DOC ∠=︒−︒=︒， ∴1282A DOC ∠=∠=︒， 故答案为：28︒．15．1154cos α【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．解：解：由题意可得，2cos 2577cos 1154cos BD CE ααα⋅⨯⨯＝＝＝， 故答案为：1154cos α．16．5【分析】本题考查了正方形的性质、垂径定理、勾股定理、七巧板图案，根据不共线三点确定一个圆，根据对称性确定圆心的位置，进而根据垂径定理和勾股定理进行计算即可得出答案．解：如图，，正方形的边长为∴图1中的222GH ==， ∴由图可得：2QG GH ==，2KH GH ==，过左侧的三个端点Q 、K 、L 作圆，4QH LH ∴==，KH QL ⊥，∴点O 在KN 上，连接OQ ，则OQ 为半径，设半径为r ，则2OH r =−，在Rt OHQ △中，由勾股定理得：222OHQH OQ +=，()22242r r ∴=+−， 解得：=5r ，∴圆的半径为5，故答案为：5．17．2【分析】本题考查锐角三角函数的计算，解题的关键是掌握111a a −⎛⎫= ⎪⎝⎭，tan 60︒= 111tan 603−⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭，31=，2=．18．11a a −+，13【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键，先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法运算，最后结合分式有意义的条件把2a =代入计算即可． 解：原式()()()()()22111211111a a a a a a a a a a a a a +−−−+−=÷=⋅=+−+， 要使分式有意义，0a ≠且10a −≠且10a +≠，所以a 不能为0，1，1−，取2a =，当2a =时，原式211213−==+． 19．(1)43x =− (2)1x ≤−【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握解题步骤是解此题的关键．（1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验即可得出答案； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．（1）解：整理得：23122x x x x +−=−−−， 去分母得：()223x x x +−−=−，去括号得：223x x x +−+=−，移项得：322x x x −+=−−，合并同类项得：34x =−，系数化为1得：43x =−， 检验，当43x =−时，41022033x −=−−=−≠， ∴43x =−是原分式方程的解； （2）解：123312223x x x −≥⎧⎪⎨+−−<⎪⎩①②， 解不等式①得：1x ≤−，解不等式②得：1311x <， ∴原不等式组的解集为1x ≤−．20．(1)14； (2)16． 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图不重复、不遗漏地列举出所有等可能的情况．（1）利用简单概率公式计算即可；（2）通过画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可．（1）解：一共有4张卡片，随机抽取1张卡片，恰为“停车等待动物穿过”的概率是14， 故答案为； 14； （2）解：记“停车等待动物穿过”的卡片为A ，“鸣喇叭驱赶动物”的卡片为B ，“下车驱赶动物”的卡片为C ，“与动物保持较远距离”的卡片为D ，则画树状图如解图，由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰为“停车等待动物穿过”A 和“与动物保持较远距离”D 卡片的结果有2种，∴P （恰为“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”）21126== 21．(1)图见解析(2)20【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据相关知识正确作图是解题关键．（1）作对角线BD 的垂直平分线， 证明()ASA OED OFB ≌，即可证四边形BEDF 是菱形；（2）设菱形边长为x ，则8AE x =−，根据勾股定理列方程，求出5x =，即可得到菱形BEDF 的周长． （1）解：如图，菱形BEDF 即为所求作；EF 垂直平分BD ，BE DE ∴=，OB OD =，矩形ABCD ，AD BC ∴∥，ADB CBD ∴∠=∠，又DOE BOF ∠=∠，()ASA OED OFB ∴≌，DE BF ∴=，DE BF ∥∴四边形BEDF 是平行四边形，BE DE =，∴四边形BEDF 是菱形；（2）解：设菱形边长为x ，84AD AB ==，，8AE x ∴=−，在Rt ABE △中，根据勾股定理得，222AB AE BE +=，()22248x x ∴+−=， 解得5x =，∴菱形BEDF 周长420x =．22．(1)见解析(2)①BD 与A 相切，理由见解析；②6【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点B 、点C 为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A 与该点并延长交EC 的延长线于点D ．（2）①根据垂直平分线性质求得90ABC DBC BCD ACB ∠+∠=∠+∠=︒，则BD 与A 相切； ②在Rt AEC 中，由勾股定理可得AE 即可得BE ，在Rt BDE 中，由tan 34E =即可求解． （1）如图，AD 为所作垂线；（2）①BD 与A 相切，理由如下∶在ABC 中，AB AC AD =，是BC 的垂线，∴A ABC CB =∠∠，且AD 是BC 的垂直平分线，∴DB DC =，∴DCB DBC ∠=∠，CD 与A 相切于点C ，∴90BCD ACB ∠+∠=︒，即90ABC DBC ∠+∠=︒，∴BD 与A 相切；②在Rt AEC 中，3tan 3,4AC E AC CE===， 4EC ∴=根据勾股定理，得：5,AE ==358AB A BE E ∴=+=+=在Rt BDE 中，,tan 34BD BE E == 6.BD ∴= 【点评】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．23．(1)300(2)2800【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用；（1）设树苗基地每捆A 种树苗的价格为a 元/捆，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购买x 捆A 种树苗，则购买()100x −捆B 种树苗，共花费y 元，先求得50x ≤，根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．（1）（1）设树苗基地每捆A 种树苗的价格为a 元/捆，依题意，得300300254a a −= 解得：30a =经检验，30a =是原方程的解，且符合题意，答：树苗基地每捆A 种树苗的价格为30元/捆；（2）解：设购买x 捆A 种树苗，则购买()100x −捆B 种树苗，共花费y 元，()0.8304010032008y x x x =+−=−⎡⎤⎣⎦∵100x x ≤−解得：50x ≤∵80−<，y 随x 的增大而减小，∴当50x =时，取得最小值，最小值为3200450y =−⨯=280024．(1)①12k =，5n =；02x <<或>4x ； (2)53m =−． 【分析】（1）①采用待定系数法即可求出；②采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出；（2）结合题意，表示出点D 的坐标，然后将C ，D 两点代入到中即可求出；本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图象和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键．（1）解：①把点()2,6A 代入到1k y x=中，得：62k =，解得：12k =， 把()4,2B n −代入到2392y x =−+中，得：32492n −=−⨯+，解得：5n =， ∴()4,3B ，综上：12k =，5n =；②如图所示：∵()2,6A ，()4,3B ，结合图象，∴当12y y >时，x 的取值范围是：02x <<或>4x ；（2）解：根据题意，()8,C m ，∴()5,1D m −，把点C ，D 代入到1y 中，得：815k m k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，解得：40353k m ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， 综上：53m =−． 25．4k =【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；设A 点坐标为(,)k a a，C 点坐标为(,0)b ，根据线段中点坐标公式可得B 点坐标为(,)22a b k a +，利用点在反比例函数图象可得3b a =，再根据三角形面积公式即可求出k ；解：设A 点坐标为(,)k a a，C 点坐标为(,0)b ， B 恰为线段AC 的中点，B ∴点坐标为(,)22a b k a+， B 在反比例函数图象上，22a b k k a+∴⋅=， 3b a ∴=，6OAC S =，162k b a∴⋅=， 1362k аa∴⋅⋅=， 4k ∴=；26．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）旋转60︒，可作等边三角形DBC ，ACE ，从而得出B 点和点A 对应点D ，E ，进而作出图形；（2）根据EBD 和ABC 位似，FDC ∆与ABC 位似得出EBD ABC ∠=∠，BE BD AB BC=，DF AB CD BC =，进而推出EBA DBC ∽，从而AE AB CD BC=，进而得出AE DF =，同理可得：DE AF =，从而推出四边形AFDE 是平行四边形； （3）要使AFDE 是正方形，应使90EAF ∠=︒，AE AF =，从而得出270120BAE FAC BAC ∠+∠=︒−∠=︒，从而得出120DBC DCB ∠+∠=︒，从而60BDC ∠=︒，于是作等边BCG ，保证60BDC G ∠=∠=︒，作直径BD ，保证2BD CD =，这样得出作法．（1）解：如图1，1．以B 为圆心，BC 为半径画弧，以C 为圆心，BC 为半径画弧，两弧在BC 的上方交于点D ，分别以A ，C 为圆心，以AC 为半径画弧，两弧交于点E ，2．延长CD 至B '，使DB CD '=，延长CE 至A '，使A E CE '=，连接A B ''， 则A B C ''△就是求作的三角形；（2）证明：EBD 和ABC 位似，FDC △与ABC 位似，EBD ABC ∴∠=∠，BE BD AB BC =，DF AB CD BC =， EBA DBC ∴∠=∠，EBA DBC ∴∽，∴AE AB CD BC=，∴AE DF CD CD =，AE DF ∴=， 同理可得：DE AF =，∴四边形AFDE 是平行四边形；（3）解：如图2，1．以BC 为边在BC 上方作等边三角形GBC ，2．作等边三角形BCG 的外接圆O ，作直径BD ，连接CD ，3．作DBE ABC ∠=∠，BDE ACB ∠=∠，延长BA ，交O 于F ，连接CF ，DF ，则四边形AFDE 是正方形，证明：由上知：EBA DBC ∽，FAC DBC ∽，BAE DCB ∴∠=∠，FAC DBC ∠=∠，2AE AB CD BC BC ==，1AF AC BD BC BC==， BAE FAC DCB DBC ∴∠+∠=∠+∠， 要使AFDE 是正方形，应使90EAF ∠=︒，AE AF =，270BAE FAC BAC ∴∠+∠+∠=︒，2BD CD =，270270150120BAE FAC BAC ∴∠+∠=︒−∠=︒−︒=︒，120DBC DCB ∴∠+∠=︒，60BDC ∴∠=︒，∴作等边BCG ，保证60BDC G ∠=∠=︒，作直径BD ，保证2BD CD =，这样得出作法；30ABE DBC ∠=∠=︒，90EAB BCD ∠=∠=︒，2AB =，AE AB ∴ 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的分析能力．27．(1)228y x x =−−(2)点F 的坐标为()2,8−或335,24⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)点P 在一条定直线22y x =−上【分析】（1）由待定系数法求解即可；（2）分两种情况：若1111△∽△BE D CE F 时，则1BCF CBO ∠=∠；若2222△∽△BE D F E C 时，过2F 作2F T y ⊥轴于T ；分别求解即可；（3）求出直线GN 的解析式为：()22y n x n =+−，直线MO 的解析式为y mx =，联立求出2224,22n m n P n m n m +−⎛⎫ ⎪−+−+⎝⎭，从而即可得解． （1）解：将()2,0A −，()0,8C −代入抛物线解析式得4208b c c −+=⎧⎨=−⎩，解得：28b c =−⎧⎨=−⎩， ∴抛物线的解析式为：228y x x =−−；（2）解：在228y x x =−−中，令0y =，则228=0x x −−，解得：14x =，22x =−，()4,0B ∴，点F 在抛物线段BC 上，∴设点F 的坐标为()()2,2804t t t t −−<<，如图，若1111△∽△BE D CE F 时，则1BCF CBO ∠=∠，，1CF OB ∴∥，()0,8C −，2288t t ∴−−=−，解得：0=t （舍去）或2t =；如图，若2222△∽△BE D F E C 时，过2F 作2F T y ⊥轴于T ，22290BCF BD E ∠=∠=︒，90CBO BCO ∴∠+∠=︒，290F CT BCO ∠+∠=︒，2F CT CBO ∴∠=∠，2∠=∠CTF BOC ，2BCO CF T ∴△∽△，2F T CT CO BO∴=， ()4,0B ，()0,8C −，4OB ∴=，8OC =，2F T t =，()228282CT t t t t =−−−−=−，2284t t t −∴=， 整理得：2230t t −=，解得：0=t （舍去）或32t =；综上所述，符合题意的t 的值为2或32，则点F 的坐标为()2,8−或335,24⎛⎫− ⎪⎝⎭； （3）解：点P 在一条定直线上，由题意得知抛物线2C ：2y x =，直线OG 的解析式为2y x =，∴联立22y x y x =⎧⎨=⎩， 解得：00x y ==⎧⎨⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ()2,4G ∴，H 为OG 的中点，()1,2H ∴，设()2,M m m ，()2,N n n ， 设直线MN 的解析式为：y kx b =+，将()2,M m m ，()2,N n n 代入解析式得：22km b m kn b n ⎧+=⎨+=⎩， 解得：k m n b mn=+⎧⎨=−⎩， ∴直线MN 的解析式为：()y m n x mn =+−，直线MN 经过点()1,2H ，2mn m n ∴=+−，同理可得：直线GN 的解析式为：()22y n x n =+−，直线MO 的解析式为y mx =，，联立()22y mx y n x n =⎧⎨=+−⎩得：()22n x n mx +−=， 直线MO 与直线GN 交于点P ，20n m ∴−+≠，则22n x n m =−+， 22mn m y n ∴=−+， 2=+−mn m n ，2224,22n m n P n m n m +−⎛⎫∴ ⎪−+−+⎝⎭， 设点P 在直线y sx p =+上，则224222m n n k p n m n m +−=−⨯+++−， 整理得：()2242222m n sn pn pm p pm s p n p +−=+−+=−+++，比较系数可得：2p −=，22s p +=，解得：2p =−，2s =，∴当2p =−，2s =时，无论m ，n 为何值时，等式224222m n n k p n m n m +−=−⨯+++−恒成立， ∴点P 在一条定直线22y x =−上． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，次函数图象上点的坐标特征等，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题．。
2024年江苏省南京市玄武区中考二模数学试题
2024年江苏省南京市玄武区中考二模数学试题一、单选题1．计算()323⋅的结果是（）a a-A．2a B．3a C．5a D．9a2．下列各数中，与2）B．2C．2-D．2-A．3．一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（）A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱4．数轴上点A，B表示的数分别是5，－3，它们之间的距离可以表示为( ) A．－3＋5 B．－3－5 C．|－3＋5| D．|－3－5|5．关于x的方程22+=（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）x kxA．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根6．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD2=8，则⊙O的半径为（）A B．2 C．D．4二、填空题7．若式子x x的取值范围是．8．我国航空工业“沈飞”有一个年轻的钳工班组，他们创造0.00068毫米的加工公差，引领我国国产航空器零部件加工的极限精度．用科学记数法表示0.00068是．9．计算 10．分解因式2484a b ab b -+的结果是．11．设12,x x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =．12．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图的圆心角的度数为120︒，则圆锥的底面圆的半径为．13．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()1,2-．作点A 关于y 轴的对称点，得到点A '再将点A '向下平移4个单位，得到点A ''，则 点A ''的坐标是．14．如图，在圆内接六边形ABCDEF 中，230A E ∠+∠=︒，则C ∠的度数为︒ ．15．如 图，点A 、B 在 反 比 例 函 数(0)ky x x=> 的图像上，连接 AB 并延长交x 轴于点C ，若B 是AC 的中点，OAC V的面积为3，则k 的值为．16．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，2AB =，M 、N 分别是BC 、AB 边上的动点，且CM BN =，则线段MN 的最小值为 ．三、解答题17．（1）计算：2012|(3)2π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭；（2）解方程：23410x x -+=．18．计算：11(2)()x x x x-+÷-．19．临近端午，某学校采购甲、乙两种粽子共260个，其中，甲种粽子花费300元，乙种粽子花费400元，且甲种粽子的单价比乙种粽子高20%，求乙种粽子的单价．20．在某档歌唱比赛中，由10位专业评审和10位大众评审对甲、乙两位参赛歌手 进行评分（单位：分），10位专业评审的评分条形统计图如图①所示；10位大众评审的评分折线统计图如图②所示．(1)填空：(2)计算乙的大众评分的方差2S 乙；(3)若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按7:3的比例计算参赛歌手的最终得分，哪位选手的得分更高?21．游乐场有3个游玩项目A 、B 、C ，甲、乙各自在这3个项目中随机选取2个项目游玩．(1)求甲选择到项目A 的概率； (2)甲、乙都选择到项目A 的概率为 ．22．如图，在ABCD Y 中，AG BC CH AD ⊥⊥，，垂足分别为G 、H ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接EH EG FH FG 、、、．(1)求证：AEH CFG △≌△；(2)连接AC ，若65AB AC BC ===，，则四边形EGFH 的面积为．23．如图，C 处的一艘货轮位于A 处的一艘护卫舰的北偏东22.6︒方向，此时两船之间的距离AC 为26海里．两船同时沿着正北方向航行，护卫舰航行40海里到达B 处，此时货轮到达D 处，测得货轮位于护卫舰的北偏东53︒方向．求货轮航行的路程．（参考数据：5sin22.613︒≈，12cos22.613︒≈，5tan22.612︒≈，sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）24．某平台提供同城配送服务，每单费用=基础配送费+路程附加费+重量附加费．其中，基础配送费为8元；路程附加费的收费标准：当配送路程不超过3千米时，每千米1元，若超过3千米，则超过部分每千米2元；重量附加费y （元）与物品重量()kg x 之间的函数关系如图中折线所示．(1)当物品重量为3kg , 配送路程为16 km 时，则配送的费用为_____元； (2)当515x ≤≤时，求y 与x 的函数表达式；(3)某客户需将重量为22kg 的物品送到相距10 km 处的某地，由于平台规定每单配送物品的重量不得超过20 kg , 现需要分两单配送（物品可任意拆分），则两单费用之和的最小值为______元．25．已知二次函数2224y x mx m =-++-（m 为常数）． (1)求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；(2)设该函数图像的顶点为C ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，当ABC V 的面积与ABD △的面积相等时，求m 的值．26．如图，在菱形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AC DE 、交于点F ，O e 经过A 、B 、E ，点F 恰好在O e 上 ．(1)求证：AF DF =； (2)求证：AD 是O e 的切线；(3)若AB =4AF =，则BE 的长为______．27．在ABC V 中 ，BD 是AC 边上的中线，CE 是AB 边上的中线，BD 、CE 交于点O ． (1)求证：点O 在BC 边的中线上．如图①，连接AO 并延长，与BC 交于点F ，连接 DE ，与AF 交于点M ．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格；(2)当BD CE ⊥时，①如图②，连接AO ，求 证 ：AO BC =； ②若4BC =， 则ABC V 面积的最大值为______．(3)如图③，已知线段a 、b ，求作ABC V ，使AB a =，AC b =，且 BD CE ⊥， （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）。
2024年江苏省南京市秦淮区中考二模数学试卷
2024年江苏省南京市秦淮区中考二模数学试卷一、单选题(★) 1. 的倒数是（）A．2B．C．D．(★★★) 2. 下列计算，结果正确的是（）A．B．C．D．(★★) 3. 某班全体学生2024年初中毕业体育考试的成绩如下表：．．A．平均数是39.5分B．众数是40分C．中位数是37.5分D．极差是8分(★★) 4. 下列整数中，与最接近的是（）A．2B．3C．4D．5(★★★) 5. 如图，在正方形中，是的中点，是靠近点的的四等分点．已知，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①④D．③④(★★★★) 6. 如图，O是正六边形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题(★) 7. 4月初，某地发生4.0级地震，震源的深度是25 000m，用科学记数法表示25000是 _____ ．(★) 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____ ．(★★) 9. 计算的结果是 _____ ．(★★) 10. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是 _____ ．(★★) 11. 如图，是一圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的面积是 _____ ．（结果保留）(★★) 12. 如图，，，是射线上的动点，则长的最小值是 ___ ．(★★★) 13. 如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是_____ ．(★★) 14. 已知y是x的反比例函数，其部分对应值如下表：1a b m若，则m _____ n．（填“”“”或“＝”）(★★) 15. 化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是．若己烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是_____ ．(★★★) 16. 如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为处．若，，则的长为 _____ ．三、解答题(★) 17. 化简：.(★★★) 18. 计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数．(★★★) 19. 现有两个编号分别为1，2的抽屉及三个颜色分别为红、黄、蓝的小球，将每个小球随机放入一个抽屉中．(1)红色小球放入编号为1的抽屉中的概率是．(2)求三个小球放入编号相同的抽屉中的概率．(★★★) 20. 已知：如图矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形为菱形．(★★★) 21. 下图是年我国（国内生产总值）增长率的折线统计图．阅读统计图并回答以下问题．(1)下列结论中，所有正确结论的序号是．①年我国增长率逐年降低，但始终不低于；②2020年我国比2019年低；③年我国增长率的方差比年的方差小．(2)结合图中提供的数据，请用自己的语言概括这12年我国的相关情况．(★★★) 22. 如图，为了测量某学校旗杆的高度，将固定在旗杆顶端A上的绳子拉直后，绳子的末端恰好可以落在截面为矩形的主席台底的点C处，也可以落在主席台上的点处．主席台高为，和分别为，图中所有点均在同一平面内．求旗杆的高度．（参考数据：．）(★★★) 23. 与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明．(1)已知实数x，y满足，求证．证明：∵，∴（实数的加法法则），（不等式的基本性质1）．∴（①）．∵（②），∴．∴（③）．(2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．）(★★★) 24. 快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发．．．．第时，快、慢两车离甲地的距离分别为，当时，慢车到达乙地．与x之间的函数关系如图所示．(1)甲、乙两地相距，快车比慢车晚出发 h．(2)快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？(3)若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离与x之间的函数图像．(★★★) 25. 如图，内接于，．是上一点，．过点作的切线，交的延长线于点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，则的半径长为．(★★★) 26. 已知二次函数（a，m为常数，）．(1)求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使和的面积均为4，求a的取值范围．(★★★) 27. 如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）．(1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法）(2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）．①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）②点P不在的中心．i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路；ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置．。
2025届江苏省南京市秦淮中学高考数学二模试卷含解析
2025届江苏省南京市秦淮中学高考数学二模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈RB ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈RC ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R 2．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．8l D ．－813．若0,0x y >>，则“2x y +=的一个充分不必要条件是A ．x y =B ．2x y =C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =4．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3- 5．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m6．复数12i 2i +=-（ ）． A ．i B ．1i + C ．i - D ．1i -7．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22- D ．12e -8．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是() A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20 C ．20 D ．4010．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725- C ．1625 D ．8511．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设复数z ＝213ii -+，则|z |＝（ ）A ．13B ．23C ．12 D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年江苏省南京市鼓楼区中考二模数学试卷+答案解析
2024年江苏省南京市鼓楼区中考二模数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，最小的数是()A. B.0 C.2 D.2.如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面看作一条直线的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.包含3.刚刚过去的“五一”假期，南京全市景区景点、文博场馆、乡村旅游等监测点接待游客量约为108250000人次．用科学记数法表示108250000是()A. B. C. D.4.计算的结果是()A. B. C. D.5.若一个正n边形的内角和为，则它的每个外角度数是()A. B. C. D.6.如图，O是的外心，，垂足分别为D，E，F，连接的中点H，I，J，则与的面积之比是()A. B. C. D.二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
7.16的平方根是______，27的立方根是______.8.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.9.分解因式：__________.10.计算的结果是__.11.无人机正在飞行，某时刻控制界面显示“H：14m，D：48m”代表无人机离起飞点的垂直距离，D代表无人机离起飞点的水平距离，则此时无人机到起飞点的距离为_____12.如图，四边形ABCD是的内接四边形，BE是的直径，连接CE，若，则____13.用图中两块相同的含的三角板拼成一个四边形，在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为___.14.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为_____.15.如图，正方形ABCD边长为12，E为BC上一点，动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且若PD和AQ交于点F，连接BF，则BF的最小值为_____.三、计算题：本大题共2小题，共12分。
16.计算：17.解方程：；解不等式组：四、解答题：本题共10小题，共80分。
2025届江苏省南京市附中高三二诊模拟考试数学试卷含解析
2025届江苏省南京市附中高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数2．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A ．25B ．32C ．35D ．405．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π6．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）7．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫==⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin f x x =-D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞9．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．8310．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）11．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥12．己知46a =，544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届江苏南京宁海中学高考数学二模试卷含解析
2025届江苏南京宁海中学高考数学二模试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．2．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 211B ．52 C ．5D ．513． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．234．若函数2()xf x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e +∞ B ．24(0,)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞5．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．016．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．57．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心8．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．19．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ） A ．3) B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)10．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 11．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =- ）A ．0,1B ．[]0,2 C ．[]1,2D ．[]1,312．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京十校下学期2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析
江苏省南京十校下学期2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．3C ．2D ．22．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( )A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆3．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432B ．576C ．696D ．9604．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅5．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48B ．72C ．90D ．966．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．207．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．1731-C ．247D ．17318．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．210．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．2B ．5C ．1D ．311．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．3512．已知函数13()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市2024届高三下学期二模考后提升卷数学模拟测试一
江苏省2024届高三南京市二模考后提升卷数学模拟测试一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题5分）（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知向量()()1,2,3,a b t ==- ，且//a b ，则a b +=（）A B C D ．2．（本题5分）（23-24高三上·天津·期中）“213x -≥”是“201x x -≥+”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（本题5分）（22-23高一·全国·随堂练习）为了得到函数1πsin 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点（）．A ．横坐标伸长为原来的43倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短为原来的34，纵坐标不变C ．纵坐标伸长为原来的43倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短为原来的34，横坐标不变4．（本题5分）（22-23高三上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环最少需要移动256次，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．若将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()*9,N n a n n ≤∈，已知121,1a a ==，按规则有()*1223,N n n n a a a m n n --=++≥∈，则解下第6个圆环最少需要移动的次数为（）试卷第2页，共6页A ．63B ．64C ．31D ．325．（本题5分）（22-23高二下·重庆渝中·阶段练习）央视评价重庆是“最宠游客的城市.”现有甲､乙两位游客慕名来到重庆旅游，准备从洪崖洞､磁器口､长江三峡､大足石刻和天生三桥五个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件A 为“甲和乙至少一人选择洪崖洞”，事件B 为“甲和乙选择的景点不同”，则()P BA =∣（）A ．925B ．825C ．89D ．24256．（本题5分）（22-23高一下·山东枣庄·期末）一个圆台的上、下底面的半径分别为1，4，母线长为5，则该圆台的侧面积为（）A ．30πB ．25πC ．20πD ．15π7．（本题5分）（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知12,F F 是椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若E 上存在不同两点A ，B，使得12F A B =，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．1,1)B．1)C．(0,3-D．(3-8．（本题5分）（23-24高一上·广东茂名·期末）已知()sin cos 2f α=，则5π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1-B．2C ．23D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（本题9．（本9．（本题6分）（22-23高一下·福建福州·期中）若复数i z =，则下列说法正确的是（）A ．z 在复平面内对应的点位于第四象限B ． 4z =C ．2 4z =-D ．z 的共轭复数iz +10．（本题6分）（2024·重庆·模拟预测）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：()()()21f x f x f +=+-，则（）A ．()10f =B ．13022f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()4f x f x +=-D ．()12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭11．（本题6分）（2024·吉林延边·一模）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为的正方形，1,DE BF DE == ,BF DE ⊥平面ABCD ，动点P 在线段EF 上，则下列说法正确的是（）A ．AC DP⊥B ．存在点P ，使得DP 平面ACFC ．三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面面积是9π2D ．当动点P 与点F 重合时，直线DP 与平面ACF 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（本题5分）（2024·江苏南京·二模）已知集合{1,2,4}A =，{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈∣，则集合B 的元素个数为．13．（本题5分）（2024·河南商丘·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为2π,,,,223a b c A b c ===，D 为线段BA 延长线上一点，AM 平分CAD ∠，且直线AM 与直线BC 相交于点E ，则sin AEC ∠=．试卷第4页，共6页14．（本题5分）（22-23高二上·河北保定·阶段练习）在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =1，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P ，如图所示，若光线QR 经过ABC 的重心G ，则AP =．直线PQ的斜率为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）（22-23高二下·福建泉州·期末）学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学生每天花在数学上的课后自主学习时间（x 分钟）和他们的数学成绩（y 分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了x 与y 正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到13160255i i i x y ==∑，1311105i i y ==∑，i x 的方差为350，(,)i i x y 的相关系数0.98r ≈（1,2,3,,13i = ）.(1)请根据所给数据求出,x y 的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.编号1415161718x 8590100110120y113114117119119附：回归方程ˆˆy abx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y ba y bx x x ==-⋅-==--∑∑.16．（本题15分）（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函数()2e xx ax a f x ++=．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，求a 的取值范围；17．（本题15分）（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，O 为底面111A B C 的重心，点,D G 分别在棱111CC B C ,上，且111::1:2B G GC CD DC ==试卷第6页，共6页(1)求证：1//A C 平面DOG ；(2)若1AA ⊥底面111A B C ，且三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，求平面11AAC C 与平面DOG 的夹角的余弦值．18．（本题17分）（23-24高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>左焦点F 到双曲线E过点F 作直线l 与双曲线C 的左、右支分别交于点A B 、，过点F 作直线2l 与双曲线E 的左、右支分别交于点C D 、，且点B C 、关于原点O 对称．(1)求双曲线E 的方程；(2)求证：直线AD 过定点．19．（本题17分）（2024·湖南·一模）已知d 为非零常数，0n a >，若对*221,n n n a a d +∀∈-=N ，则称数列{}n a 为D 数列．(1)证明：D 数列是递增数列，但不是等比数列；(2)设1n n n b a a +=-，若{}n a 为D数列，证明：n b <(3)若{}n a 为D 数列，证明：*n ∃∈N，使得112024ni ia =>∑．参考答案：1．D【分析】根据平面共线向量的坐标表示求出t ，进而求出a b +，可求解其模长.【详解】由//,(1,2),(3,)a b a b t ==-，得132t ⨯=-⨯，解得6t =-，所以()3,6b =-- ，则()2,4a b +=--，故a b +==故选：D 2．B【分析】解不等式，根据解集间的关系及充分条件与必要条件的概念判断可得出结论．【详解】不等式213x -≥，即213x -≤-或213x -≥，解得1x ≤-或2x ≥，不等式201x x -≥+，即()()21010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得1x <-或2x ≥，因为{|1x x ≤-或2}x ≥{|1x x <-或2}x ≥因此，“213x -≥”是“201x x -≥+”的必要而不充分条件，故选：B ．3．D【分析】由(0)A A >对()sin y A ωx φ=+图象的影响可得.【详解】先将函数1πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的14，横坐标不变，得到函数1πsin 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即将函数1πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的34，横坐标不变，得到函数1πsin 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，答案第2页，共17页故选：D.4．C【分析】根据()*1223,N n n n a a a m n n --=++≥∈依次计算得到917185256a m =+=，1m =，得到答案.【详解】由题意:()12121,1,23,N n n n a a a a a m n n *--===++≥∈，32123a a a m m =++=+；432252a a a m m =++=+；5432115a a a m m =++=+；65422110a a a m m =++=+；76524321a a a m m =++=+；87628542a a a m m =++=+；987217185256a a a m m =++=+=，所以1m =，则解下第6个圆环最少需要移动的次数为631a =．故选：C ．5．C【分析】根据条件概率的计算公式即可求得答案.【详解】由题意知事件A ：“甲和乙至少一人选择洪崖洞”包含()1124C C 19n A =⋅+=种情况，事件AB ：“甲和乙选择的景点不同，且恰有一人选择洪崖洞”包含()1124C C 8n AB =⋅=种，所以()()()89n AB P BA n A ==∣，故选：C 6．B【分析】利用圆台的侧面积公式求解即可【详解】设圆台的上、下底面的半径为12,r r ，母线长为l ，所以121,4,5r r l ===，()()()12122π2ππππ4π525π2r r lS r r l +⋅==+⋅=+⋅=.故选：B ．7．D【分析】延长1AF 交椭圆于1A ，则有211F B A F =，设直线1AA 的方程x my c =-，联立直线1AA 与椭圆的方程，再由韦达定理可知2122222b mc y y b m a +=+，412222b y y b m a =-+，由12F A B = ，可得12y =，从而得220m =>，22c a >，即可得答案.【详解】解：延长1AF 交椭圆于1A ，根据椭圆的对称性，则211F B A F =，111F A F =，设直线1AA 的方程x my c =-，11(,)A x y ，122(,)A x y ，联立22221x my c x y a b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：222224()20b m a y b mcy b +--=，则2122222b mc y y b m a +=+，412222b y y b m a =-+，由12F A B =，则12y =，整理得：20m =，则22(3(30c a +-->，即222c a >∴椭圆的离心率3ce a=>-∴椭圆的离心率的取值范围(3-．答案第4页，共17页故选：D 8．B【分析】利用同角的三角函数平方关系及辅助角公式化简后，代入求值即可.【详解】由5ππ0,122⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故不妨设α为锐角，则0<sin 1,0cos 1αα<<<，则()sin cos 2f αα=⋅1cos 1sin =sin cos 2sin cos 2sin cos ααααααα-++=⋅+⋅-πsin cos 4ααα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以5π5πππ121246f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.9．AD【分析】根据复数的几何意义、复数模的公式、复数的四则运算及共轭复数的定义求解即可.【详解】由i z =，z 在复平面内对应的点为)1-，位于第四象限，故A正确；2z =，故B错误；)222 i3i 2z =-=-+=-，故C 错误；z 的共轭复数i z +，故D 正确.故选：AD.10．AB【分析】对A ：令=1x -，结合函数是奇函数，即可求得结果；对B ：令12x =-，结合函数是奇函数，即可判断；对C ：根据B 中所求()()2f x f x +=，即可判断；对D ：取满足题意的特殊函数，即可判断.【详解】对A ：对()()()21f x f x f +=+-，令=1x -，可得()()121f f =-，又()f x 在R 上是奇函数，故()()121f f =-，解得()10f =，故A 正确；对B ：对()()()21f x f x f +=+-，令12x =-，可得()31122f f f ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在R 上是奇函数，故()31122f f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()13122f f f ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由A 可知，()10f =，故13022f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对C ：因为()()110f f -=-=，则()()()21f x f x f +=+-即()()2f x f x +=，则()()()42f x f x f x +=+=，即()()4f x f x +=，故C 错误；对D ：由C 可知，()f x 为周期为2的奇函数，不妨画出满足题意的一个()f x 的图象如下所示：显然()12f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AB.11．ABD 【分析】由面面垂直的性质定理可判断选项A ；由线面平行的判定定理和性质定理可判断选项B ；由截面是ACF 的外接圆及正弦定理可判断选项C;由面面垂直的判定定理、面面垂直的性质及余弦定理可判断选项D ；【详解】设AC BD O = ,连接FO ，令EF 中点为G ，连接DG ，如图所示：由底面ABCD 是正方形可得：O 是,BD AC 的中点，且BD AC ⊥；由DE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,可得平面ABCD ⊥平面DEFB ，DE BD ⊥；答案第6页，共17页由1,//DE BF DE BF ==，DE BD ⊥,可得四边形DEFB 为矩形.对于选项A:由BD AC ⊥，平面ABCD ⊥平面DEFB ，且平面ABCD ⋂平面DEFB BD =,AC ⊂面DEFB ，可得AC ⊥面DEFB ，又DP ⊂面DEFB ,所以AC DP ⊥，故选项A 正确；对于选项B:因为在矩形DEFB 中,//,,DO FG DO FG =所以四边形DOFG 是平行四边形，则直线//,DG OF 因为OF ⊂平面ACF ,DG ⊄平面ACF ,则//DG 面ACF .故当P 是线段EF 的中点G 时，直线//DP 面ACF ,故B 正确；对于选项C:因为在ACF △中，2,AC AF CF FO ====所以sin 3OF FAC AF ∠==,由正弦定理得：ACF △的外接圆直径2sin FC r FAC ==∠则半径为r =298S r ππ==,因为三棱锥A CDE -的外接球的球心在过点O 且与平面ACD 垂直的直线上，且四边形BDEF 为矩形，所以点F 在三棱锥A CDE -的外接球上.所以三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面是ACF △的外接圆，因此三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截取的截面面积是98π，故C 错误．对于选项D:因为AC ⊥面DEFB ，AC ⊂平面ACF ,所以面DEFB ⊥平面ACF ，所以()DP DF 在平面ACF 内的射影在直线OF 上，即直线DP 与平面ACF 所成角为()OFD OPD ∠∠.在OFD △中，2221,2OF DF DO OD OF DF OFD OF DF +-===∠==⋅故选项D 正确；故选：ABD.12．2【分析】利用列举法求解集合()(){}2142B =，，，，即可求解.【详解】当1x =时，1y =，2，4，x y -分别为0,1,3--,均不能满足x y A -∈，当2x =时，1y =时可满足1x y A -=∈，2x =时，2,=0y x y =-，2x =时，4,=2y x y =--均不满足x y A -∈，当4x =时，2y =可满足2x y A -=∈，4x =时，1,=3y x y =-，4x =时，4,=3y x y =-均不满足x y A -∈，所以()(){}2142B =，，，，故集合B 的元素有2个，故答案为：213【分析】利用余弦定理计算||BC 及cos ABC ∠，sin ABC ∠的值，在AEB △中使用两角差的正弦公式计算即可.【详解】如图所示，因为2π,223A b c ===，所以||1,||2AB AC ==，在ABC 中，由余弦定理得2222π||||||2||||cos3BC AB AC AB AC =+-，即21||14212()72BC =+-⨯⨯⨯-=，故||BC =，由余弦定理得222||||cos2BC AB AC ABC AB BC+-∠===所以21sin 7ABC ∠=答案第8页，共17页又因为直线AM 平分CAD ∠，所以π6DAM CAM EAB ∠=∠=∠=，所以π6AEC ABC EAB ABC ∠=∠-∠=∠-，所以πππsin sin(sin cos cos sin 666AEC ABC ABC ABC ∠=∠-=∠-∠，化简得1sin 727214AEC ∠=⨯⨯.故答案为：14.14．132【分析】根据已知，利用对称性、重心的性质，求出对称点坐标，联立直线方程进行求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，可得(1,0)B ，(0,1)C ，所以直线BC 的方程为10x y +-=，ABC 的重心G 的坐标为11(,)33，设点(,0)P a ，(0)a >，,M N 分别是点P 关于直线BC 和y 轴的对称点，连接,NR QM ，所以(,0)N a -，设00(,)M x y ，则有00000(1)101022y x aa x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩，解得0011x y a =⎧⎨=-⎩，所以(1,1)M a -，由光的反射原理可知，,,,M N Q R 四点共线，所以MN GN k k =，即113113a a a -=++，解得13a =，此时13AP =，所以1(,0)3N -，2(1,)3M ，1(,0)3P ，直线MN 的方程为3610x y -+=，联立直线MN 的方程与BC 的方程有：361010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即54(,)99Q ，所以直线PQ 的斜率为40925193PQk -==-.故答案为：13，2.15．(1) 1.130y x =+，140分(2)①答案见解析；②答案见解析【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；（2）①根据回归方程的含义及统计知识解答疑惑即可；②补齐散点图，根据所学函数选择非线性回归方程即可.【详解】（1）202530354045505560657075805013x ++++++++++++==，11058513y ==，又,i 1,2,3,,13i x = 的方差为()1321135013i i x x =-=∑，所以()()()1313111321136025513508546355085385ˆ 1.113350133********iii ii i i i x x y y x y x ybx x ===-⋅--⋅-⨯⨯-⨯======⨯⨯-⋅∑∑∑，答案第10页，共17页ˆˆ85 1.15030ay bx =-=-⨯=，故 1.130ˆy x =+，当100x =时，140y =，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140分；（2）①（i ）所求的经验回归方程依据的样本数据时间范围在20~80分钟，当时间范围扩大后，,x y 之间不一定还符合该方程，所以预测与实际情况可能会有较大的差别；（ii ）事实上，样本数据时间在70分钟以后，对应成绩的增速已有明显减缓的趋势，因此当时间范围扩大后，相关系数会降低，所求经验回归方程模型不一定适合.（iii ）小李所拿到的样本数据的缺失可能使得回归模型不恰当，还应收集更多的样本数据分析，（iv ）如果原来成绩较低，通过增加学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到一定程度时（如110分以上），想要通过延长学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法.②补齐散点图如图：合适的回归模型如ln y a x b =+，y b =，by ax =，x y b a =- 等，答案不唯一，只要能体现出增长速度逐渐变缓即可.16．(1)答案见解析(2)2a ≤【分析】（1）求()f x '，分2a =，2a >，2a <讨论()f x 的单调性；（2）分离参数得22e 1x x a x -≤+，求()22e 1x x h x x -=+最小值即可.【详解】（1）由题意可知()f x 的定义域为R ，()()()()()()()22222e e 2e 2e e e x xxxx x x a x ax a xax x x x a f x +-++-'-+-+-==，令()0f x '=，则10x =，22x a=-①当2a =时，120x x ==，()0f x '≤在R 上恒成立，()f x 在R 上单调递减．②当2a >时，12x x >，(),2x a ∈-∞-时，()0f x '<，()2,0x a ∈-时，()0f x ¢>，()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),2a -∞-单调递减，在()2,0a -单调递增，在()0,∞+单调递减．③当2a <时，12x x <，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()0,2x a ∈-时，()0f x ¢>，()2,x a ∈-+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,2a -单调递增，在()2,a -+∞单调递减．综上：当2a =时，()f x 在R 上单调递减．②当2a >时，()f x 在(),2a -∞-单调递减，在()2,0a -单调递增，在()0,∞+单调递减．③当2a <时，()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,2a -单调递增，在()2,a -+∞单调递减．（2）当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，故22e xx ax a++≤，所以22e x x ax a ++≤，即()212e x a x x +≤-，由10x +>得22e 1x x a x -≤+，令()22e 1x x h x x -=+（0x ≥），则()()()()()()()2222e212e 2e 211xx x x x x x x h x x x '-+----==++，令()2e 2x t x x =--，则()2e 1x t x =-'，()t x '在[)0,∞+单调递增，答案第12页，共17页则()()01t x t '≥='，即()0t x '>在()0,∞+恒成立，故()t x 在[)0,∞+单调递增．所以()()00t x t ≥=，故()0h x '≥在[)0,∞+恒成立．由()h x 在[)0,∞+单调递增，而()02h =，()2h x ≥，故2a ≤．17．(1)证明见解析7【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用平行线比例关系，构造辅助线，即可证明；（2）根据底面特点，建立空间直角坐标系，分别求平面11AAC C 与平面DOG 的法向量，根据向量公式求二面角的余弦值.【详解】（1）如图，连接1C O 并延长，交11A B 于E ，延长线段GO ，交11A C 于H ，连接DH ．因为O 为底面111A B C 的重心，所以1:1:2EO OC =，又11:1:2B G GC =，所以111::EO OC B G GC =，所以11OG A B ∥，所以11:1:2A H HC =．因为1:1:2CD DC =，所以111::A H HC CD DC =，所以1DH AC ∥．因为1A C ⊄平面DOG ，DH ⊂平面DOG ，所以1//AC 平面DOG ．（2）取AB 的中点为F ，连接EF ．因为1AA ⊥底面111A B C ，且三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，所以直线11,,EB EC EF 两两互相垂直．以E 为坐标原点，11,,EB EC EF 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设三棱柱111ABC A B C -的棱长为6，则()()()()13,0,3,4,3,0,0,2,3,0O D B G ，所以()()0,3,42,0,0OD OG == ，．设平面DOC 的法向量为(),,n x y z =，则00n OG n OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即202340x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取(0,3n =- 易知平面11AAC C 的一个法向量为()13,3,0OB =．设平面11AAC C 与平面DOG 的夹角为θ，则11237cos 7723n OB n OB θ⋅===⨯ ，即平面11AAC C 与平面DOG 77．18．(1)22122x y -=(2)证明见解析【分析】（1）由条件列关于,,a b c 的方程，解方程求,,a b c ，由此可得双曲线方程；答案第14页，共17页（2）设()()0000,,,B x y C x y --，分别联立直线FB ，FC 与双曲线方程，结合关于系数关系求点A 和点D 坐标，利用点斜式表示直线AD 的方程，再证明直线过定点.【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，则(),0F c -，由已知c a =222222c a b a a +==，即a b =，所以渐近线方程为y x =±．又F 到双曲线E=，所以2,c a b ===．所以双曲线E 的方程为22122x y -=．（2）设()()0000,,,B x y C x y --，若00y =，则0x故)()()),,,BC A D，直线AD 的方程为0y =，若00y ≠，设直线FB 的方程为022x x y y +=-，直线FB 的方程与双曲线22:122x y E -=联立，()()2002200242120x x y y y y ⎛⎫++--+= ⎪ ⎪⎝⎭．又22002x y -=，则()()22000023220x y x y y y +-++=所以20023A y y y x =+，即000034,2323A Ay x y x x x --==++．同理000034,2323D D y x y x x x --==-+-+，则()()()()()()000000000000000002323232333434342334232323ADy y y x y x x x yk x x x x x x x x x ---++++-+===-------+--+-+-+，则直线AD 方程为0000003432323y y x y x x x x ⎛⎫---=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，则000034132323x x x x x ⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭，即()()()000000423344323233233x x x x x x x -+--=+==-+++所以直线AD 过定点4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；（2）强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）得到()2211n a a n d =+-，证明出0d <不合题意，0d >符合要求，从而得到()()110n n n n a a a a d +++-=>，结合0n a >得到10n n a a +->，得到{}n a 为递增数列，并得到2212221n n n n na a d a d a a ++==+不是常数，证明出结论；（2）得到n a >1n n n d b a a +=<+，结合答案第16页，共17页243n ≥-证明出结论；（3）得出21n a d ⎤⎣⎦>，结合累加法得到)1112n i i a a d =>∑，得到不等式，求出答案.【详解】（1）*221,n n n a a d +∀∈-=N ，故{}2n a 为公差为d 的等差数列，所以()2211n a a n d =+-，若0d <，则当211a n d>-时，()22110n a a n d =+-<，不合题意，若0d >，则()22110n a a n d =+->，满足要求，()()*22111,0n n n n n n n a a a a a a d +++∀∈-=+-=>N ，因为0n a >，所以10n n a a ++>，故10n n a a +->，故数列{}n a 为递增数列，2212221n n n n na a d a d a a ++==+，由于{}n a 为递增数列，故21n d a +不是常数，1n na a +不是常数，故D 数列是递增数列，但不是等比数列；（2）因为{}n a 为D 数列，所以()()22111n a a n d n d =+->-，故n a >因为()()110n n n n a a a a d +++-=>，所以11n n n n n d b a a a a ++=-=+因为22121243n n n =-+-+-，当且仅当1n=时，等号成立，所以n b <（3）因为{}n a 为D 数列，所以1n a =2d⎣⎦=，所以112ni i a d =>∑)12a d =-，令)122024a d>11012d a >+，解得2110122024n d a >+，所以*n ∃∈N ，使得112024n i i a =>∑.。
2024年中考数学二模试卷(南京卷)(全解全析)
2024年中考第二次模拟考试（南京卷）数学·全解全析注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列数中，是无理数的是（）A ．227B 7C ．0D ．1-【答案】B 【解析】解：227，0，1-是有理数；7故选B ．2．光年是天文学上一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于94600亿km ，用科学记数法表示94600亿是（）A ．119.4610⨯B ．1194.610⨯C ．1294.610⨯D ．129.4610⨯【答案】D【解析】解：94600亿48129.4610109.4610=⨯⨯=⨯，故选D3．不等式30x ->的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【解析】解：不等式30x ->的解为3x >．解集3x >在数轴上表现为不包括端点的射线，D 、B 、C 都不正确．故选：A ．4．如图，AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，40P ∠=︒，OC 的延长线交PA 于点P ，则ABC ∠的度数是（）A ．25︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒【答案】A 【解析】解：∵PA 与O 相切于点A ，，∴OA AP ⊥，即90OAP ∠=︒，∵40P ∠=︒，∴90904050AOC P ∠=︒-∠=︒-︒=︒，又∵在O 中，AOC ∠是圆心角且所对的弧是AC ，ABC ∠是圆周角且所对的弧也是AC，∴11502522ABC AOC ==︒=︒∠∠，即ABC ∠的度数是25︒．故选：A ．5．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm ，像距为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm ，则蜡烛火焰的高度是（）A ．3cmB ．5cmC ．6cmD ．9cm【解析】解：设蜡烛火焰的高度是cm x ，由相似三角形的性质得到：10915x =，解得6x =，即蜡烛火焰的高度是6cm ．故选：C ．6．如图是一种轨道示意图，其中A 、B 、C 、D 分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从A ，C 两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A D C →→和C B A →→．若移动时间为t ，两个机器人之间距离为d ．则2d 与t 之间的函数关系用图像表示大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：设正方形的边长为1，两个机器人看作点E 和F ，两个机器人的速度均为1．当点E 在边AD 上，点F 在边BC 上时，==AE CF t ．作EG BC ⊥于点G ，可得矩形AEGB 和矩形CDEG ．BG AE t ∴==，90EGF ∠=︒．12GF t ∴=-，222EF EG FG =+．两个机器人之间距离为d ．()2222112442d t t t ∴=+-=-+．40> ，∴函数图象为开口向上的二次函数．故选项C 和D 不符合题意．当机器人未出发时，点E 在点A 处，点F 在点C 处，如图1．2222EF AB BC =+=；当机器人分别到达点D 和点B 时，如图2．2222EF AB AD =+=；此时函数的y 的值和未出发时y 的值相同，故选：B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）7．计算：11122-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．23/32-【解析】解：1112221232-⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，23-．83x -有意义，则实数x 的取值范围是．【答案】3x >【解析】解：由题意得：30x ->，解得：3x >，故答案为：3x >．9．已知点(5)A m ，与点(5)B n -，均在反比例函数ky x =的图象上，则m n +的值是．【答案】0【解析】解： 点(5)A m ，与点(5)B n -，均在反比例函数ky x =的图象上，5,5k m k n ∴==-，即55m n =-，550m n +=，0m n ∴+=，故答案为：010．已知关于x 的一元二次方程250x x m -=+的一个根是2，则m 的值为．【答案】14【解析】解：由题意得22520m ⨯+-=，解得：14m =；故答案：14．11．小明在教室中的座位是第3排第2列，简记作()3,2，则()5,3表示．【答案】第5排第3列【解析】解：由题意可知座位的表示方法为排在前，列在后，得小华的座位()5,3表示第5排第3列．故答案为：第5排第3列．12．如图，从一张圆心角为45︒的扇形纸板剪出一个边长为1的正方形CDEF ，则图中阴影部分的面积为.【答案】5382π-【解析】解：如图，连接OF ，∵四边形CDEF 是边长为1的正方形，90BDC CDO ∴∠=∠=︒，1EF CD ED ===，45AOB ∠=︒ ，1OD CD ∴==，由勾股定理得：22215OF =+=，∴阴影的面积是=OCD CDEFS S S S -- 阴影正方形扇形2451111113602π⨯=-⨯⨯-⨯5382=π-；故答案为：5382π-．13．如图，在ABC 中，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，AD 为BAC ∠的平分线，ABC 的面积是228cm ，20cm 8cm AB AC ==，，DF =cm ．【答案】2【解析】解：∵ABC 中，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，AD 为BAC ∠的平分线，∴DE DF =，∵ABC 的面积是228cm ，∴112822AB ED AC DF ⋅+⋅=，∴()1282AC AB FD +⋅=，∴()1820282FD ⨯+=，∴()2cm FD =，故答案为：2．14．如图，在ABC 中，AB AC ＝，50BAC ∠︒＝，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE V ，若AD EC ∥时，则BAE ∠的度数．【答案】30︒【解析】解：∵将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE V ，∴50AE AC DAEBAC ∠∠︒＝，＝＝，∵AD EC ∥，∴50DAE AEC ∠∠︒＝＝，∵AE AC ＝，∴50AEC ACE ∠∠︒＝＝，∴80EAC ∠︒＝，∴30BAE EAC BAC ∠∠∠︒＝-＝，故答案为：30︒．15．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点，点F 在BA 边的延长线上，且CE AF =，连接EF 交AD 边于点G ，HN 垂直平分EF ，分别交AD ，EF ，AB 于点H ，M ，N ．若2CE =，则MH 的长为．【答案】103【解析】解：∵6AB =，8BC =，2CE AF ==，∴8BF =，6BE =，∴2210FE BF BE =+=，∵HN 垂直平分EF ，∴152FM ME FE ===，∵四边形ABCD 为矩形，点F 在BA 边的延长线上，∴90FAG B ∠=∠=︒，∵F F ∠=∠，∴AGF BEF ∽ ，∴AF FG BF FE=，则 2.5FG =，∴ 2.5MG =，在Rt FAG 中，22 1.5AG FG AF =-，∵F GHM ∠=∠，∴tan tan F GHM ∠=∠，∴AG GM AF MH =，解得103MH =．故答案为：103．16．如图，正方形ABCD 中，2AB E =，为边CD 的中点，连接AE BE P ，，为边AD 上一动点，将ABP 沿BP 所在直线翻折，若点A 的对应点A '恰好落在ABE 的边上，则线段AP 的长为．【答案】1或51-【解析】解：如图：以点B 为圆心，AB 为直径画圆，与AE BE 、分别相交于两点，且为12,A A ，然后过点B 分别作12,AA AA 的垂直平分线交AD 于21P P ，当A 的的对称点落在AE 上时，即点1A ；此时P 为AD 上的1P ，连接11A P ∵四边形ABCD 是正方形∴290AB AD DC D BAD ===∠=∠=︒，，则19090BAE DAE BAE ABP ∠+∠=︒∠+∠=︒，即1DAE ABP ∠=∠∴11tan tan AP DE DAE ABP AD AB ∠==∠=∵2AB E =，为边CD 的中点，∴112DE DC ==故1122AP =∴11AP =如图：当A 的的对称点落在BE 上时，即点2A ；此时P 为AD 上的2P 连接2BP 交AE 于一点G ，∵ABP 沿BP 所在直线翻折∴12ABG EBG ABE∠=∠=∠即直线BG 是ABE ∠的平分线，过点G 作MG AB GN BE ⊥⊥，，∴GM GN=∵四边形ABCD 是正方形∴90BAD AMG ∠=∠=︒∴MG AD DAE AGM ∠=∠ ，则1tan tan 2DE AMDAE AGM AD MG∠===∠=设2AM x BN BM x ===-，，2MG NG x ==则2245AG x x x =+∵2222415415AE AD DE BE BC CE =++=+=+=，，∴()555252GE NE BE BN x x ==-=--=-+，则Rt GNE 中，得222GE GN NE =+即))22255452x x x =+-+解得254x =-∵MG AD ，∴2AP B MGB∽则()()2222542254AP AB MG BM =⨯---，解得251AP =综上：线段AP 的长为151故答案为：151-三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（6分）17．解方程：3147123x x ---=．【解析】解：3147123x x ---=，去分母得:()()3316247x x --=-，去括号得:936814x x --=-，移项得:983614x x -=+-，合并同类项，得5x =-．（8分）18．先化简，再求值：()()()2222x y x y x y +---，其中2x =-，12y =-【解析】解：原式()2222444x y x xy y =---+242xy y =-将2x =-，12y =-代入原式()21142222⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭142=-132=（8分）19．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．(1)本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图；(2)本次捐款金额的众数为______元，中位数为______元；(3)若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？【解析】（1）解：816%50÷=（人），“捐款为15元”的学生有508146418----=（人），补全条形统计图如下：（2）解：学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，故答案为：15，15；（3）（3）样本平均数为581014151820625413.450⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元/人），所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为1346008040.⨯=（元），答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元．（8分）20．春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A -歌谣传情意，B -创意做灯笼，C -花好月圆写中秋，D -亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A 、B 、C 、D ，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．(1)任意转动转盘一次，选到“A -歌谣传情意”的概率是______；(2)甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．【解析】（1）解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A 、B 、C 、D ，∴任意转动转盘一次，选到“A -歌谣传情意”的概率为：14故答案为：14（2）解：画出树状图，如图：共有16种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种故甲和乙选到不同活动项目的概率为：123164=（8分）21．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 中点，,AE BC CE AD ∥∥．(1)求证：四边形ADCE 是菱形；(2)若606B AB ∠=︒=，，求四边形ADCE 的面积．【解析】（1）证明：∵,AE BC CE AD ∥∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，∴12AD BC CD ==，∴平行四边形ADCE 是菱形；（2）解：∵9060BAC B ∠=︒∠=︒，，∴30BCA ∠=︒，∴212BC AB ==，∴222212663AC BC AB =-=-=∵四边形ADCE 是菱形，点D 是BC 的中点，∴11266318322ACD ABC ADCE S S S AB AC ===⨯=⨯⨯= 菱形（7分）22．创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A ，B 两种型号的新型垃圾桶．若购买2个A 型垃圾桶和3个B 型垃圾桶共需要420元，购买5个A 型垃圾桶和1个B 型垃圾桶共需要400元．(1)求每个A 型垃圾桶和每个B 型垃圾桶各为多少元；(2)若需购买A ，B 两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A 型垃圾桶多少个？【解析】（1）解：设A 型垃圾桶单价为x 元，B 型垃圾桶单价为y 元，由题意可得：234205400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：60100x y =⎧⎨=⎩，答：A 型垃圾桶单价为60元，B 型垃圾桶单价为100元；（2）解：设A 型垃圾桶a 个，由题意可得：()6010020015200a a +-≤，解得120a ≥，答：至少需购买A 型垃圾桶120个．（8分）23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数2y x =+的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,A m ，与x 轴交于点C ，过点A 的直线与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点B .(1)求此反比例函数的解析式；(2)若点B 的纵坐标为1，求直线AC 的解析式；(3)求ACB △的面积.【解析】（1）∵一次函数2y x =+的图象过点(1,)A m ，∴123m =+=，∴()1,3A ，∵点A 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，∴133k =⨯=，∴反比例函数的解析式为3y x=；（2）∵点B 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，把1y =代入，则3x =，∴()3,1B ，把0y =代入2y x =+得2x =-，()2,0C ∴-；设直线AC 的解析式为y kx b =+，则有1302k b k b =+⎧⎨=-+⎩，解得1525k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故直线AC 的解析式为1255y x =+；（3）作BD x ∥轴，交直线AC 于点D ，则D 点的纵坐标为1，代入2y x =+得，12x =+，解得=1x -，∴(1,1)D -，∴314BD =+=，∴14362ABC S =⨯⨯=△．（8分）24．三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C 处，集合点位于点E 处，现有两条路线可以选择：①C E →，②C A D E →→→．已知B 位于C 的正西方，A 位于B 的北偏西30︒方向2003C 的北偏西53︒方向处．D 位于A 的正西方向1002米处，E 位于C 的西南方向，且正好位于D 的正南方向．2 1.414≈3 1.732≈，sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈）(1)求A 与C 之间的距离（结果保留整数）；(2)已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）【解析】（1）解：如图，过点A 作AH CB ⊥，交CB 的延长线于点H ，则90AHB ∠=︒，由题意可知，2003AB =903060,905337ABH ACH ∠=︒-︒=︒∠=︒-︒=︒，∴3sin 20033002AH AB ABH =∠=⨯=（米），∴3003000.6500sin sin 37AH AC ACH ==≈÷=∠︒（米），即A 与C 之间的距离为500米；（2）设CH 与DE 的交点为M ，由题意可知，90ADM DMH AHM ∠=∠=∠=︒，∴四边形ADMH 是矩形，∴300DM AH ==米，cos 5000.8400CH AC ACH =∠=⨯=（米），2MH AD ==由题意可知，45,18090MCE CME DMH ∠=︒∠=︒-∠=︒，∴CME △是等腰直角三角形，∴(4001002CM ME CH MH ==+=+米，∴()24002200CE CM ==米，∴路线①的步行的时间为4002200102519.140=+≈（分钟）路线②的步行的时间为50023004001002821619.8753+++=+≈（分钟）∵19.119.8<，∴走线路①用时更短．（8分）25．图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．(1)在图①中的线段AB 上找一点E ，使BE AD =．(2)在图②中的线段AB 上找一点F ，使DF AB ⊥．(3)在图③中的线段AB 上找一点G ，使点G 到直线,CD BC 距离之和为4【解析】（1）解：如图，点E 即为所求；理由：根据题意得：,3,2AM BN AM BN ==∥，∴AEM BEN ∽ ，∴32AE AMBE BN ==，∵22435AB =+，∴2BE =；（2）解：如图，点F 即为所求；理由：根据题意得：3,2,3,42AH AD AK BK ====，∴3tan 4ADH ∠=，3tan 4ABK ∠=，∴ADH ABK ∠=∠，∵90BAK ABK ∠+∠=︒，∴90ADH BAK ∠+∠=︒，∴90AFD ∠=︒，即AB DF ⊥；（3）解：如图，点G 即为所求．过点G 作PT AD ⊥，分别交,AD BQ 于点P ，Q ，根据题意得：5,2AB AD ==，设点G 到CD 的距离为h ，∴245h ⨯=，∴85h =，由作法得：1,2,AP BQ AP BQ ==∥，4PT =∴ADG BQG ∽ ，APG BTG ∽ ，∴23AG AD BG BQ ==，∴23AG PG BG TG ==，∴812,55PG GT ==，即PG 等于点G 到CD 的距离，此时PT 的长等于点G 到直线,CD BC 距离之和．（9分）26．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．(1)若ABCD Y 是圆的“奇妙四边形”，则ABCD Y 是_________（填序号）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如图1，已知O 的半径为R ，四边形ABCD 是O 的“奇妙四边形”．求证：2224AB CD R +=；(3)如图2，四边形ABCD 是“奇妙四边形”，P 为圆内一点，90APD BPC ∠=∠=︒，ADP PBC ∠=∠，4BD =，且3AB ．当DC 的长度最小时，求AP DP的值．【解析】（1）解：若平行四边形ABCD 是“奇妙四边形”，则四边形ABCD 是正方形．理由∶∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABC ADC ∠=∠，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ABC ADC ∠+∠=︒，∴90ABC ADC ∠=∠=︒，∴平行四边形ABCD 是矩形，∵四边形ABCD 是“奇妙四边形”，∴AC BD ⊥，∴矩形ABCD 是正方形，故答案为∶③；（2）证明∶过点B 作直径BE ，分别连接OA ，OD ，OC ，AE ，∵BE 是O 的直径，∴90EAB ∠=︒，∴90ABE E ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是“奇妙四边形”，∴AC BD ⊥，∴90BCD ACB ∠+∠=︒，又E ACB ∠=∠，∴ABE CBD ∠=∠，∵2AOE ABE ∠=∠，2DOC DCB ∠=∠，∴AOE DOC ∠=∠，∴AE DC =，∵90EAB ∠=︒，∴()22222AE AB BE R +==∴2224AB CD R +=；（3）解：连接AC 交BD 于E ，设DC 的长度为a ，CE x =，∵90AEB DEC ∠=∠=︒，BAC BDC ∠=∠，∴ABE DCE ∽，∴BEABAECE CD DE ==，∵3AB ∴33BE CE x ==，3AE DE =，∵4BD =，∴43DE x =，∵222CE DE CD +=∴()22243x x a +=，整理得22483160x a -+-=，∴(()22Δ8344160a =--⨯-≥∴4a ≥，又0a >，∴2a ≥，∴a 有最小值2，即DC 的长度最小值为2，∴()22434x x +=，解得∶123x x ==∴3CE =∴3BE =，∴1DE BD BE =-=，∴33AE =，∴23AC AE CE =+=，∵90APD BPC ∠=∠=︒，ADP PBC ∠=∠，∴ADP CBP ∽，90APC DPB DPC ∠=∠=︒+∠，∴AP PC DP PB=，∴APC DPB ∽△△，∴23342AP AC PD DB =．（10分）27.在平面直角坐标系中，抛物线()21:0L y ax x c a =++>与x 轴交于()()2,01,0A B -、两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线1L 对应的函数表达式；(2)如图1，点D 为直线AC 下方抛物线上的一动点，DM AC ⊥于点,M DN y ∥轴交AC 于点N ．求线段DM 的最大值和此时点D 的坐标；(3)如图2，将抛物线21:(0)L y ax x c a =++>沿着x 轴向左平移后得到抛物线2L ，若点P 是抛物线1L 与2L 在x 轴下方的交点且1tan 3ACP ∠=，求抛物线2L 对应的函数表达式．【解析】（1）解：把(2,0)A -、(1,0)B 代入2y ax x c =++得：42010a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得12a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线1L 对应的函数表达式为22y x x =+-；（2）解：在22y x x =+-中，令0x =得=2y -，(0,2)C ∴-，由(2,0)A -，(0,2)C -,设直线AC 解析式为11y k x b =+，111202k b b -+=⎧⎨=-⎩1112k b =-⎧⎨=-⎩则直线AC 解析式为2y x =--，设2(,2)D m m m +-，则(,2)N m m --，222(2)2DN m m m m m ∴=---+-=--，2OA OC == ，AOC ∴ 是等腰直角三角形，45ACO ∴∠=︒，∵DN OC ∥，45DNM ACO ∴∠=∠=︒，DNM ∴ 是等腰直角三角形，22DM ∴=，22222222)2(1)2222DM m m m m ∴=--=--=-++202-< ，∴当1m =-时，DM 取最大值22，此时D 的坐标为(1,2)--；∴线段DM 的最大值是22，此时点D 的坐标为(1,2)--；（3）解：过A 作AH CP ⊥于H ，过H 作KR y ∥轴交x 轴于K ，过C 作CR KR ⊥于R，如图：1tan 3ACP ∠= ，∴13AH CH =，90AHK CHR HCR ∠=︒-∠=∠ ，90AKH CRH ∠=∠=︒，AKH HRC ∴∽△△，∴13AKHKAH HR CR CH ===，3HR AK ∴=，3CR HK =，设AK p =，HK q =，则3HR p =，3CR q =，CR OK OA AK ==+ ，HK HR OC +=，∴3232q pq p =+⎧⎨+=⎩，解得2545p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12455H ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，，由12455H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，(0,2)C -同上得：直线HC 解析式为122y x =--，联立21222y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=+-⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩或3254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3524P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，2219224y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭ ，将抛物线22y x x =+-沿着x 轴向左平移后得到抛物线2L ，∴设抛物线2L 解析式为29()4y x t =+-，将3524P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入29()4y x t =+-得：2539()424t -=-+-，解得52t =或12t =（舍去），∴抛物线2L 对应的函数表达式为25924y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭即254y x x =++．。
重磅!2024届南京高三二模数学试题
1. 在一个正方形的对角线长度为10厘米，那么这个正方形的边长是多少厘米？- A. 5厘米- B. 7厘米- C. 8厘米- D. 10厘米2. 一个长方形的长是12厘米，宽是5厘米，那么它的对角线长度是多少？- A. 13厘米- B. 14厘米- C. 15厘米- D. 17厘米3. 如果2x + 3 = 15，那么x 的值是多少？- A. 6- B. 7- C. 8- D. 94. 一个立方体的边长是4厘米，它的体积是多少立方厘米？- A. 48立方厘米- B. 64立方厘米- C. 80立方厘米- D. 96立方厘米5. 在一个等边三角形中，每个角的度数是多少？- A. 45°- B. 60°- C. 75°- D. 90°6. 小明从家到学校的距离是2.5公里，他步行去学校用了30分钟，那么他的平均速度是多少公里每小时？- A. 4公里/小时- B. 5公里/小时- C. 6公里/小时- D. 7公里/小时7. 一个圆的周长是31.4厘米，那么这个圆的半径是多少厘米？（取π= 3.14）- A. 5厘米- B. 7厘米- C. 10厘米- D. 15厘米8. 在一个矩形中，周长是36厘米，宽是6厘米，那么它的长是多少厘米？- A. 8厘米- B. 12厘米- C. 14厘米- D. 18厘米9. 如果一个数加上12等于20，那么这个数是多少？- A. 6- B. 8- C. 10- D. 12。
江苏省南京市第一中学2024届高三二模数学试题
江苏省南京市第一中学2024届高三二模数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =∈-≤Z ，则A 的子集个数为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．162．下列命题中，真命题的是（ ）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若22ac bc ≥，则a b ≥D ．若22a b +=，则244a b +≥ 3．复数()31i +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知随机事件A ，B 发生的概率分别为()0.5P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（ ）A ．若()0.9P AB =，则A ，B 相互独立B ．若A ，B 相互独立，则()0.6P A B =C ．若()0.5P A B =，则()0.25P AB =D ．若B A ⊆，则()0.8P B A =5．已知向量,,a b c r r r 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()c b a ⋅-=r r r （ ）A ．4B ．1C ．1-D ．4-6．某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A ．42种 B ．40种 C ．36种 D ．30种7．已知圆22:(1)9C x y -+=，直线:0l x y m ++=，P 为直线l 上的动点．过点P 作圆C 的切线PM ，PN ，切点为M ，N ．若使得四边形PMCN 为正方形的点P 有且只有一个，则正实数m =（ ）A ．1B ．C ．5D ．7 8．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且仅有4个零点，直线π6x =为函数()y f x =图象的一条对称轴，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．12 D二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若随机变量X ，Y 满足21Y X =+，则()2()1D Y D X =+B ．若随机变量()2~3,X N σ，且(6)0.84P X <=，则(36)0.34P X <<=C ．若线性相关系数r 的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强D ．按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m ，40，50；乙组：24，n ，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则70m n += 10．如图，在边长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点，P 是正方形A 1B 1C 1D 1内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若DP ∥平面CEF ，则点P 的轨迹长度为B ．若AP P 的轨迹长度为2πC ．若AP AP 与平面CEFD ．若Р是棱A 1B 1的中点，则三棱锥P CEF -的外接球的表面积是41π11．已知函数()()3cos f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象既关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，也关于直线3π4x =轴对称，且()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的值可能是（ ） A ．25B ．65C ．2D ．145三、填空题12．已知向量a r ，b r 满足24a b ==r r ，且25a b -=r r ，则向量a r ，b r 夹角的余弦值是.13．甲、乙等5人参加A ，B ，C 这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A 活动，则他们参加活动的不同方案有种.14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为常数λ（0λ>，1λ≠），则点M 的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知()()1,0,0,1A B -，M 是平面内一动点，且MA MB=则点M 的轨迹方程为.若点Р在圆22:(2)36C x y -+=上，则2PA PB +的最小值是.四、解答题15．已知 a n 是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列 a n 的通项公式；(2)设22,1,n a n n n n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列 b n 的前2n 项和2n T . 16．ChatGPT 是AI 技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT 人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：(2)将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i ）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？（ii ）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++． 参考数据：17．如图，在三棱锥P ABC -中，,AB BC PB PC ⊥=，N 为PC 的中点，M 为ABC V 内部一点且PM ⊥平面ABC ．(1)证明：//MN 平面PAB ；(2)若2241AB BC PB PM ====,，求二面角B MN P --的余弦值． 18．已知函数()()ln ,1,f x mx x x ∞=-∈+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()112e m x f x x x -+≥-恒成立，求实数m 的取值范围.19．已知椭圆()222103x y a a Γ+=>：的右焦点为()10F ,，过点F 且不垂直于坐标轴的直线交Γ于,A B 两点，Γ在,A B 两点处的切线交于点Q ．(1)求证：点Q 在定直线上，并求出该直线方程；(2)设点M 为直线OQ 上一点，且AB AM ⊥，求AM 的最小值．。
2024年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷(含解析)
2024年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）4的算术平方根是（ ）A．2B．﹣2C．16D．﹣162．（2分）下列运算正确的是（ ）A．a6﹣a3＝a3B．a6•a3＝a9C．a6÷a3＝a2D．（a3）2＝a53．（2分）与最接近的整数是（ ）A．3B．4C．5D．64．（2分）若第一组数据a，b，c，d，e（a，b，c，d，e各不相等）的平均数为m，则第二组数据a，b，c，d，e，m与第一组数据相比（ ）A．平均数变小，方差变小B．平均数不变，方差变小C．平均数变小，方差变大D．平均数不变，方差变大5．（2分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠B＝∠C＝90°，若，则∠AED的度数为（ ）A．110°B．115°C．120°D．125°6．（2分）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成30°夹角时，直立的树苗AB在地面的影长AC为6m．由于培土不足，树苗AB栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗AB的影长的最大值为（ ）A．12m B．9m C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上）7．（2分）一粒大米的质量约为0.000021千克，数据0.000021用科学记数法可表示为 ．8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．9．（2分）计算的结果是 ．10．（2分）若关于x的方程x2+kx+2＝0有一个根为2，则k的值为 ．11．（2分）因式分解2x3﹣8x结果是 ．12．（2分）若反比例函数的图象经过点（2，3），（6，m），则m＝ ．13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（6，0），顶点B，C都在第一象限．若∠B＝60°，则顶点B的坐标为 ．14．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠1＝72°，若∠3＝3∠2，则∠4＝ °．15．（2分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点D在上，AE⊥CD于点E．若∠1＝30°，BD ＝6，则CE的长为 ．16．（2分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，点E在边AD上，且AE＝1，点F在边BC 上，把▱ABCD沿EF折叠，若点B恰好落在边CD上，则BF的长为 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）解不等式，并在数轴上表示解集．18．（7分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．19．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）连接AC，若AC＝AD，求证：四边形AECF是矩形．20．（8分）如图，将边长为8cm的正方形扩大成面积为120cm2的矩形．若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽．21．（8分）某共享单车停放点有3辆黄色单车、2辆蓝色单车，甲、乙两人分别从中随机选择1辆结伴骑行．（1）甲选择蓝色单车的概率是 ；（2）求甲、乙两人选择同一种颜色单车的概率．22．（7分）某车站抽样调查了部分旅客的等车时间，并列出如下频数分布表．等车时间t（min ）0＜t ≤55＜t ≤1010＜t ≤1515＜t ≤2020＜t ≤2525＜t ≤30频数56910137（1）本次抽样调查的样本容量是 ；（2）关于此样本的结论：①等车时间的众数是13min ；②等车时间的中位数可能是20min ；③等车时间的极差小于30min ．其中所有正确结论的序号是 ；（3）车站称“旅客等车的平均时间不超过14min ”，你认为这个说法正确吗？请说明理由．23．（8分）如图，小亮和小刚为测量某建筑物AB 的高度，他们都从C 处出发．小亮沿着水平方向步行48m 到达D 处，测得顶部A的仰角为56°；小刚沿着坡角为14°的坡道行至E 处，分别测得他沿垂直方向上升的高度EF 为9m 、顶部A 的仰角为37°，求该建筑物AB 的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，tan37°≈0.75，tan56°≈1.50．）24．（8分）甲、乙两人沿同一直道从A 处跑步到B 处．图①、②分别表示甲跑步的路程y （单位：m ）、甲乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发的时间x（单位：min）的函数关系．若乙先出发2min．（1）甲的跑步速度是 m/min，乙的跑步速度是 m/min；（2）求甲到达B处所用的时间；（3）直接写出甲、乙两人之间的距离不超过100m的总时间．25．（8分）二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m）．（1）h的值为 ；（2）若（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点，当a＜0，n＞2时，试说明：y1＞y2；（3）若关于x的方程a（x﹣h）2+4＝2a+5有一个正根和一个负根，直接写出a的取值范围．26．（9分）如图，在半径为的⊙O中，AB是直径，点P在⊙O上，且，弦PD（非直径）交AB于点C．（1）如图①，若PC＝CD，（Ⅰ）连接AD，AP，求证：AD＝AP；（Ⅱ）OC的长为 ．（2）如图②，若PC＝2CD（AC＜BC），求OC的长．27．（10分）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联…【模型认识】（1）如图①，在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AC，AE，△ABC∽△AED．（Ⅰ）求证：AC•AE＝AB•AD；（Ⅱ）∠BCD与∠CAD满足的数量关系为 ；【初步理解】（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在△ABC外，AD＝AB，连接DA并延长到点E，AE＝AD，点N在AC上，DN交AB于点M，∠DNE＝∠BAD＝45°．求证：S△AMN＝．【问题解决】（3）如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D在△ABC外，D到A的距离等于AB．过点D作直线l，使l分别交AB，AC于点M，N，且平分△ABC的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）2024年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）4的算术平方根是（ ）A．2B．﹣2C．16D．﹣16【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．2．（2分）下列运算正确的是（ ）A．a6﹣a3＝a3B．a6•a3＝a9C．a6÷a3＝a2D．（a3）2＝a5【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法进行解题即可．【解答】解：A、a6与a3不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；B、a6•a3＝a9，故该项正确，符合题意；C、a6÷a3＝a3，故该项不正确，不符合题意；D、（a3）2＝a6，故该项不正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（2分）与最接近的整数是（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】利用夹逼法估算的取值范围，即可进行判断．【解答】解：∵，∴，∴与最接近的整数是4，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．4．（2分）若第一组数据a，b，c，d，e（a，b，c，d，e各不相等）的平均数为m，则第二组数据a，b，c，d，e，m与第一组数据相比（ ）A．平均数变小，方差变小B．平均数不变，方差变小C．平均数变小，方差变大D．平均数不变，方差变大【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．【解答】解：由题意可知，第二组数据a，b，c，d，e，m与第一组数据相比，平均数不变，设第一组数据的方差为，第二组数据的方差为，则＝[（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）2+（d﹣m）2+（e﹣m）2]，＝[（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）2+（d﹣m）2+（e﹣m）2+（m﹣m）2]，∴＝＝，∴＝，∴若第一组数据a，b，c，d，e（a，b，c，d，e各不相等）的平均数为m，则第二组数据a，b，c，d，e，m与第一组数据相比平均数不变，方差变小．故选：B．【点评】本题主要考查了算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握算术平均数的公式以及方差的定义．5．（2分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠B＝∠C＝90°，若，则∠AED的度数为（ ）A．110°B．115°C．120°D．125°【分析】连接AC，AD，由tan∠BAC＝＝，求出∠BAC＝60°，判定AB∥CD，推出∠ACD＝∠BAC＝60°，由圆内接四边形的性质推出∠AED+∠ACD＝180°，即可求出∠AED＝120°．【解答】解：连接AC，AD，∵∠B＝90°，，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，∵∠B+∠BCD＝90°+90°＝180°，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝60°，∵四边形ACDE是圆内接四边形，∴∠AED+∠ACD＝180°，∴∠AED＝120°．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，关键是由圆内接四边形的性质推出∠AED+∠ACD＝180°．6．（2分）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成30°夹角时，直立的树苗AB在地面的影长AC为6m．由于培土不足，树苗AB栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗AB的影长的最大值为（ ）A．12m B．9m C．D．【分析】根据正切值求出树高AB，以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，求出AE的值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∵tan C＝∴AB＝AC•tan C＝6×＝2，以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，∴AE＝2AD＝2×2＝4（米）．故选：D．【点评】此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．分析以点A为圆心，以AB 为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上）7．（2分）一粒大米的质量约为0.000021千克，数据0.000021用科学记数法可表示为 2.1×10﹣5 ．【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．【解答】解：0.000021用科学记数法可表示为2.1×10﹣5．故答案为：2.1×10﹣5．【点评】本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示较小数的方法．8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣4 ．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x+4≥0，解得x≥﹣4．故答案为：x≥﹣4．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．9．（2分）计算的结果是 ．【分析】先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝2+＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式的化简与性质，二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的加减法法则是解题的关键．10．（2分）若关于x的方程x2+kx+2＝0有一个根为2，则k的值为 k＝﹣3 ．【分析】先把方程的一个根代入方程中，得到关于k的一元一次方程，再求出k的值即可．【解答】•解：把x＝2代入方程x2+kx+2＝0，得：4+2k+2＝0，解得k＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是运用方程根的代入法表示出关于k的方程．11．（2分）因式分解2x3﹣8x结果是 2x（x+2）（x﹣2） ．【分析】原式提取2x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2），故答案为：2x（x+2）（x﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（2分）若反比例函数的图象经过点（2，3），（6，m），则m＝ 1 ．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（2，3），（6，m），∴2×3＝6m，解得m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（6，0），顶点B，C都在第一象限．若∠B＝60°，则顶点B的坐标为 （9，3） ．【分析】过点B作BD⊥OA于D，由菱形的性质和直角三角形的性质可求AD，BD，即可求解．【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（6，0），∴OA＝AB＝6，AB∥OC，∴∠BAD＝∠AOC＝60°，∵BD⊥OA，∴∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝3，BD＝AD＝3，∴DO＝9，∴点D坐标为（9，3），故答案为：（9，3）．【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，求出AD，BD的长是解题的关键．14．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠1＝72°，若∠3＝3∠2，则∠4＝ 78 °．【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理，求出∠4的度数．【解答】解：设∠2＝x°，则∠3＝3∠2＝3x°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝＝54°，∴∠ABD＝（54﹣x）°，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝（54﹣x）°，∴∠ADC＝（54+2x）°，∵AC＝AD，∴∠4＝∠ADC＝（54+2x）°，∵∠2+∠BCD+∠3＝180°，∴x+54+54+2x+3x＝180，6x＝72，x＝12，∴∠4＝78°，故答案为：78．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，通过列一元一次方程求出∠2的度数，从而得到∠4的度数．15．（2分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点D在上，AE⊥CD于点E．若∠1＝30°，BD ＝6，则CE的长为 3 ．【分析】连接AD，∠ADB＝90°，∠ADB＝∠AEC，利用同弧所对的圆周角相等，∠ABD＝∠ACE，可得三角形相似，再找到对应线段成比例即可求出．【解答】解：连接AD．∵∠ACB＝90°，若∠1＝30°，∴AC＝AB．∵∠ACB＝90°，∴AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠ADB＝∠AEC，∵∠ABD＝∠ACE，∴△ADB∽△AEC，∴，∵BD＝6，∴CE＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了圆周角的性质，相似三角形的判定和性质．关键是添加适当的辅助线，构造相似．16．（2分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，点E在边AD上，且AE＝1，点F在边BC上，把▱ABCD沿EF折叠，若点B恰好落在边CD上，则BF的长为 4或 ．【分析】作出如图的辅助线，求得EH＝BE＝，设BF＝FH＝x，CK＝a，在Rt△EHL中，由勾股定理列式计算求得a＝0或a＝，当a＝0时，点H、C重合，此时BF＝FH＝BC＝4；当a＝时，Rt△FKH中，由勾股定理列式计算即可求解．【解答】解：过点A、E、H分别作BC的垂线，连接BE、EH、BH，如图，则四边形AIJE、EJKL都是矩形，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BI＝AB＝3，AI＝BI＝3＝EJ，∵AE＝1，∴IJ＝1，BJ＝4，∴BE＝＝，由折叠的性质得BF＝FH，EH＝BE＝，设BF＝FH＝x，CK＝a，∵∠HCK＝∠B＝60°，∴HK＝CK•tan60°＝a，∴HL＝LK−HK＝3−a，∵EL＝JK＝BC+CK−BJ＝8+a−4＝4+a，在Rt△EHL中，由勾股定理得（4+a）2+（3−a）2＝（）2，整理得4a2−10a＝0，解得a＝0或a＝，当a＝0时，点H、C重合，此时BF＝FH＝BC＝4；当a＝时，Rt△FKH中，FK＝BC−BF+CK＝8−x+＝−x，HK＝，由勾股定理得（−x）2+（）2＝x2，解得x＝，综上，BF的长为4或．故答案为：4或．【点评】本题考查了菱形及其折叠问题，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）解不等式，并在数轴上表示解集．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项，系数化为1解出解集，再在数轴上表示即可．【解答】解：，去分母，得2x+4≥4x﹣1，移项，得2x﹣4x≥﹣1﹣4，合并同类项，得﹣2x≥﹣5，系数化为1，得x≤2.5，在数轴上表示：．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力及在数轴上表示不等式的解集，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．18．（7分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：＝÷＝•＝，当a＝﹣1时，原式＝＝1．【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．19．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）连接AC，若AC＝AD，求证：四边形AECF是矩形．【分析】（1）直接利用平行四边形的性质得出AB＝DC，BC＝AD，∠B＝∠D，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案；（2）利用平行四边形的判定得出四边形AECF是平行四边形，进而利用矩形的判定方法得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，BC＝AD，∠B＝∠D，∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝FC，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS）；（2）如图所示：连接EF，∵AE＝CF，且AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC＝AD，BC＝AD，∴AC＝BC＝EF，∴四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定与性质以及矩形的判定等知识，正确掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．20．（8分）如图，将边长为8cm的正方形扩大成面积为120cm2的矩形．若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽．【分析】设矩形的宽为（8+x）cm，则矩形的长为（8+2x）cm，根据矩形的面积为120cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值分别代入（8+2x）及（8+x）中，即可求出结论．【解答】解：设矩形的宽为（8+x）cm，则矩形的长为（8+2x）cm，根据题意得：（8+2x）（8+x）＝120，整理得：x2+12x﹣28＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣14（不符合题意，舍去），∴8+2x＝8+2×2＝12（cm），8+x＝8+2＝10（cm）．答：矩形的长为12cm，宽为10cm．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（8分）某共享单车停放点有3辆黄色单车、2辆蓝色单车，甲、乙两人分别从中随机选择1辆结伴骑行．（1）甲选择蓝色单车的概率是 ；（2）求甲、乙两人选择同一种颜色单车的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．【解答】解：（1）∵共5辆单车，有3辆黄色单车、2辆蓝色单车，∴甲选择蓝色单车的概率是；故答案为：；（2）黄色单车用A表示、蓝色单车用B表示，列表如下：A A AB BA（A，A）（A，A）（B，A）（B，A）A（A，A）（A，A）（B，A）（B，A）A（A，A）（A，A）（B，A）（B，A）B（A，B）（A，B）（A，B）（B，B）B（A，B）（A，B）（A，B）（B，B）由表可知，共有20种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一种颜色单车的有8种结果，∴甲、乙两人选择同一种颜色单车的概率为．【点评】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率＝．22．（7分）某车站抽样调查了部分旅客的等车时间，并列出如下频数分布表．0＜t≤55＜t≤1010＜t≤1515＜t≤2020＜t≤2525＜t≤30等车时间t（min）频数56910137（1）本次抽样调查的样本容量是 50 ；（2）关于此样本的结论：①等车时间的众数是13min；②等车时间的中位数可能是20min；③等车时间的极差小于30min．其中所有正确结论的序号是 ②③ ；（3）车站称“旅客等车的平均时间不超过14min”，你认为这个说法正确吗？请说明理由．【分析】（1）将各分组人数相加即可得；（2）分别根据众数、中位数和极差的定义解答即可；（3）求出加权平均数可得答案．【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是：5+6+9+10+13+7＝50，故答案为：50；（2）等车时间的众数是20＜t≤25min，故①结论错误；等车时间的中位数位于“15＜t≤20min”，即可能是20min，故②结论正确；等车时间的极差小于30min，故③结论正确；故答案为：②③；（3）车站的说法错误，理由如下：旅客等车的平均时间大约为：（2.5×5+7.5×6+12.5×9+17.5×10+22.5×13+25.5×7）＝16.6（min），∵16.6＞14，∴车站的说法错误．【点评】本题主要考查了频数分布表，极差、中位数和众数，掌握相关统计量的计算是本题的关键．23．（8分）如图，小亮和小刚为测量某建筑物AB的高度，他们都从C处出发．小亮沿着水平方向步行48m 到达D处，测得顶部A的仰角为56°；小刚沿着坡角为14°的坡道行至E处，分别测得他沿垂直方向上升的高度EF为9m、顶部A的仰角为37°，求该建筑物AB的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，tan37°≈0.75，tan56°≈1.50．）【分析】在Rt△CEF中，根据三角函数的定义得到CF＝＝＝36（m），过E作EH⊥AB于H，则BH＝EF＝9m，EH＝BF，在Rt△ABD中，设AB＝x m，根据三角函数的定义得到BD＝x，求得AH＝（x﹣9）m，EH＝BC﹣CF＝（x+48﹣36）m，在Rt△AEH中，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：在Rt△CEF中，∵∠C＝14°，EF＝9m，∴CF＝＝＝36（m），过E作EH⊥AB于H，则BH＝EF＝9m，EH＝BF，在Rt△ABD中，设AB＝x m，∵∠ADB＝56°，∴＝＝tan56°＝1.5，∴BD＝x，∴AH＝（x﹣9）m，EH＝BC﹣CF＝（x+48﹣36）m，在Rt△AEH中，∵∠AEH＝37°，∴＝＝tan37°≈0.75，∴x＝36，∴AB＝36m，答：该建筑物AB的高度约为36m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．24．（8分）甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处．图①、②分别表示甲跑步的路程y（单位：m）、甲乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发的时间x（单位：min）的函数关系．若乙先出发2min．（1）甲的跑步速度是 150 m/min，乙的跑步速度是 100 m/min；（2）求甲到达B处所用的时间；（3）直接写出甲、乙两人之间的距离不超过100m的总时间．【分析】（1）根据图1中的数据，可以计算出甲的速度，然后根据图2中的数据，可以计算出乙的速度；（2）根据图象可知乙到达B地所用时间，然后求出A、B两地之间的距离，再用A、B两地之间的距离除以甲的速度即可得出结论；（3）分三种情况讨论即可．【解答】解：（1）由图①可知，甲的速度为＝150（m/min），由图②知，甲出发4分钟，甲追上乙，∴甲4min走的路程＝乙6min走的路程，∴乙的速度为＝100（m/min），故答案为：150，100；（2）由图②知，乙在甲出发22分钟到达B处，∴乙从A到B用时24min，∴AB两地之间的距离为100×24＝2400（m），∴甲到达B处所用的时间为＝16（min）；（3）①甲没有出发时，甲、乙两人相距100m，＝1（min），②设甲出发x分钟时，两人相距100m，则100（x+2）﹣150x＝100或150x﹣100（x+2）＝100，解得x＝2或x＝6；③当甲到达B地，甲、乙两人相距100m，100÷100＝1（min）．综上，甲、乙两人之间的距离不超过100m的总时间为1+（6﹣2）+1＝6（min）．【点评】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是明确三个量的关系：路程＝时间×速度，利用数形结合的思想解答．25．（8分）二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m）．（1）h的值为 1 ；（2）若（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点，当a＜0，n＞2时，试说明：y1＞y2；（3）若关于x的方程a（x﹣h）2+4＝2a+5有一个正根和一个负根，直接写出a的取值范围．【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m），则对称轴是直线x＝h＝，进而可以判断得解；（2）依据题意，由a＜0，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合（1）对称轴是直线x＝1，又n＞2，从而n﹣1＞2﹣1＝1，故n﹣1＞1﹣0，又（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点，故可判断得解；（3）依据题意，由h＝1，即方程为a（x﹣1）2+4＝2a+5，又a≠0，则（x﹣1）2＝2+≥0，从而≥﹣2，又x＝1±，根据方程有一个正根和一个负根，从而1﹣＜0，故＞1，求出＞﹣1，再分类讨论即可判断得解．【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m），∴对称轴是直线x＝h＝．∴h＝1．故答案为：1．（2）由题意，∵a＜0，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．由（1）对称轴是直线x＝1．∵n＞2，∴n﹣1＞2﹣1＝1．又1﹣0＝1，∴n﹣1＞1﹣0．又（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点，∴y1＞y2．（3）由题意，h＝1．∴方程为a（x﹣1）2+4＝2a+5．又a≠0，∴（x﹣1）2＝2+≥0．∴≥﹣2．∴x＝1±．∵方程有一个正根和一个负根，∴1﹣＜0．∴＞1．∴2+＞1．∴＞﹣1．①若a＜0，∴1＜﹣a．∴a＜﹣1．②若a＞0，∴1＞﹣a．∴a＞﹣1．∴此时a＞0．综上，a＜﹣1或a＞0．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．26．（9分）如图，在半径为的⊙O中，AB是直径，点P在⊙O上，且，弦PD（非直径）交AB于点C．（1）如图①，若PC＝CD，（Ⅰ）连接AD，AP，求证：AD＝AP；（Ⅱ）OC的长为 1 ．（2）如图②，若PC＝2CD（AC＜BC），求OC的长．【分析】（1）（Ⅰ）根据垂径定理以及线段中垂线的性质即可得出结论；（Ⅱ）利用圆周角定理，直角三角形的边角关系进行计算即可；（2）根据垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理进行计算即可．【解答】证明：（1）（Ⅰ）连接AP＝AD，∵PC＝CD，AB是⊙O的直径，∴PD⊥AB，即AB是PD中垂线，∴AP＝AD；（Ⅱ）连接OP，∵AB是直径，点P在⊙O上，且，∴∠POC＝＝45°，∵PD⊥AB，∴OC＝PC，在Rt△POC中，OP＝，PC＝OC，∴OC＝OP＝1，故答案为：1；（2）如图②，连接AD，PB，OP，过点P作PE⊥AB，垂足为E，由（1）可得PE＝OE＝1，OP＝，设OC＝x，∵∠B＝∠D，∠A＝∠BPC，∴△ACD∽△PCB，∴＝，即＝，∴PC2＝4﹣2x2，在Rt△PCE中，由勾股定理得，PC2＝1+（1+x）2，∴4﹣2x2＝1+（1+x）2，解得x＝或x＝＜0舍去，∴OC＝．【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握垂径定理，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．27．（10分）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联…【模型认识】（1）如图①，在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AC，AE，△ABC∽△AED．（Ⅰ）求证：AC•AE＝AB•AD；（Ⅱ）∠BCD与∠CAD满足的数量关系为 ∠BCD+∠CAD＝180° ；【初步理解】（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在△ABC外，AD＝AB，连接DA并延长到点E，AE＝AD，点N在AC上，DN交AB于点M，∠DNE＝∠BAD＝45°．求证：S△AMN＝．【问题解决】（3）如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D在△ABC外，D到A的距离等于AB．过点D作直线l，使l分别交AB，AC于点M，N，且平分△ABC的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）【分析】（1）（Ⅰ）根据相似三角形的性质可得，即可得出结论；（Ⅱ）根据相似三角形的性质可得∠BAC＝∠EAD，∠B＝∠AED，从而可得∠BAE＝∠CAD，∠B+∠AEC ＝180°，再根据四边形的内角和可得∠BCD+∠BAE＝180°，即可得出结论；（2）证明△DMA∽△NEA，可得，即，再根据三角形面积公式及AD＝AB，即可得出结论；（3）作AB垂直平分线，交AB于点E，连接EC并延长作直线l，再以点A为圆心，AB为半径作弧，交直线l于点D，作图即可．【解答】解：（1）（Ⅰ）∵△ABC∽△AED，∴，∴AC•AE＝AB•AD；（Ⅱ）∵△ABC∽△AED，∴∠BAC＝∠EAD，∠B＝∠AED，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE＝∠CAD，∠AED+∠AEC＝180°，∴∠B+∠AEC＝180°，又∵∠B+∠AEC+∠BCD+∠BAE＝360°，∴∠BCD+∠BAE＝180°，∴∠BCD+∠CAD＝180°，故答案为：∠BCD+∠CAD＝180°．（2）∵∠BAC＝90°，∠DNE＝∠BAD＝45°，∴∠NAE＝∠DAM＝45°，∠DAN＝45°+90°＝135°，∵∠D+∠DNA＝180°﹣135°＝45°，∠DAN+∠ANE＝∠DNE＝45°，∴∠D＝∠ANE，∴△DMA∽△NEA，∴，∴，∴；（3）如图，作AB的垂直平分线，交AB于点E，连接EC并延长作直线l，再以点A为圆心，AB为半径作弧，交直线l于点D，理由如下：∵点E是AB的中点，∴，∴，又∵点D、B在⊙A上，∴AD＝AB．四边形的内角和，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。
2024届江苏省南京东山外国语学校高考二模数学试卷
2024届江苏省南京东山外国语学校高考二模数学试卷一、单选题1．已知集合{}290,Z U x x x =-∈，{}2,1A =-，{}2,2B =-，则()U B A ⋃=ð（ ）A ．{}2,1,2-B ．{}2,0,2-C ．{}2,1,0,2--D ．{}2,1,2--2．设x ∈R ，则“0x <”是“3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数z 满足()1i z z +=，则||z =（ ）A ．12B C D ．24．曲线()2ln 1y x =-在原点处的切线方程为（ ） A ．y x =B ．y x =-C ．2y x =D ．2y x =-5．,D E 分别是等边ABC V 的边,AB AC 的中点，1DE =，点P 在线段DE 上的移动(含端点)，则BP BC ⋅u u u r u u u r一定不可能是（ ） A ．83B ．2C ．43D ．236．遗忘曲线（如图）由德国心理学家研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知产生了重大影响.设初次记忆后经过了x 小时，那么记忆率y 近似的满足0.2710.6y x =-.则记忆率为50%时，所经过的时间约为（ ）(参考数据:827lg 20.30,lg30.48100.5-≈≈≈，)A ．2小时B ．0.8小时C ．0.5小时D ．0.2小时7．设12,F F 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点，P 为椭圆上一点，直线1F P 与以2F 为圆心、2OF 为半径的圆切于点(Q O 为坐标原点)，且13FQ QP =u u u u ru u u r，则椭圆E 的离心率为（ ）A B C ．12D ．138．已知实数1()a b ∈+∞，，，且()22e 2ln 1a a b b +=++，e 为自然对数的底数，则（ ） A ．1b a <<B ．2a b a <<C ．2e a a b <<D ．2e e a a b <<二、多选题9．2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩分为四组，分别为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到频率分布直方图如图所示，则（ ）A ．0.05a =B ．这组样本数据的75%分位数为88C ．若从这100名学生成绩不低于80分的学生中，随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率为1169D ．若用样本的频率估计总体，从该校高中学生中随机抽199人，记“抽取199人中成绩不低于90的人数为k ”的事件为M ，则()P M 最大时，29k =.10．若()f x 的定义域为R ，满足对任意,x y ∈R ，都有()()22x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()22f =，则下列说法正确的是（ ）A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．()1f x +为奇函数D ．()202410i f i ==∑11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点P 满足()1111101,01A P A B A D λμλμ=+≤≤≤≤u u u r u u u u r u u u u r，则下列说法正确的是（ ）A ．若1,0λμ==，则三棱锥P BEC -外接球的表面积为94πB ．若12λμ==，则异面直线CP 与1B F C ．若1λμ+=，则PEF !面积的最小值为38D ．若存在实数,x y 使得11AP xBE yBF =+u u u r u u u u r u u u u r，则1D P三、填空题12．现有8道单选题（每题都是四个选择），某学生对其中6道有思路，2道题完全没有思路.假设有思路的题都能做对，没有思路的题仅能随机猜，那么从8题中随机选择1题，此学生能够做对的概率为.13．已知双曲线C ：224x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点O 的直线l ：()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若12AB F F =，则2AOF △的面积为.14．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间11,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为.四、解答题15．已知函数()()e ,0x f x ax a a a =-+∈≠R ，()f x '为()f x 的导函数. (1)若()02f =，求证：()()0f x f x '+'-≥； (2)若对任意[]0,3x ∈，()0f x ≥，求a 的取值范围.16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ()1cos sin B b A +=，(1)求B ；(2)线段AC 上一点D ，满足1,3AD BD CD ===，求边c 的长.17．如图，//AD BC ，AD AB ⊥，点E 、F 在平面ABCD 的同侧，//CF AE ，1AD =，2AB BC ==，平面ACFE ⊥平面ABCD ，EA EC ==(1)求证：//BF 平面ADE ；(2)若直线EC 与平面FBD CF 的长. 18．在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点O 的抛物线E 经过点()9,6A . (1)求抛物线E 的方程；(2)若抛物线E 不经过第二象限，且经过点()0,3B 的直线l 交抛物线E 于M ，N ，两点（BM BN <），过M 作x 轴的垂线交线段OA 于点P . ①当MP 经过抛物线E 的焦点F 时，求直线NP 的方程； ②求点A 到直线NP 的距离的最大值.19．设M 为部分正整数组成的集合，数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n k >时，()2n k n k n k S S S S +-+=+都成立. (1)设{}1M =，23a =，求数列{}n a 的通项公式； (2)设{}2,3M =，求数列{}n a 的通项公式.。
2024学年江苏省南京市九年级数学第二次模拟试题
2024学年江苏省南京市九年级数学第二次模拟试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约164000000平方米，164000000这个数用科学记数法可表示为1.6410n⨯，其中n的值为（）A．6B．7C．8D．92．已知2a＝3b，则（）A．2a+2＝3b+3 B．a＝23b C．32ab=D．2a2＝3b23．如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（）A．核B．心C．数D．养4．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=14BC．图中相似三角形共有【】A．1对B．2对C．3对D．4对5．如图，Oe的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．86．如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题7．（填“>”，“<”或“=”）8．因式分解2233x y-=．9．小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为．10．若函数的图象经过点（3，2）和点（2，3），写出一个符合条件的函数表达式．11．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是13，那么n的值为．1230°，圆锥的侧面积为．13．反比例函数y 1=1k x与一次函数y 2=k 2x+b 的图象交于A （﹣2，﹣1）和B 两点，点B 的纵坐标为﹣3，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是．14．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AD 的延长线上，连接CE ，点F 是CE 的中点，连接OF 交CD 于点G ．若DE =1，OF =1.5，则点C 到DF 的距离为．15．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为2m ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（用含a 的代数式表示）．16．如图，在Rt ABC V 中，90,,A D E ∠=︒分别在,AB AC 上，连接BE CD 、交于点F ．若3s i n ,5C F E C E A E B D B A ∠=∙=∙，则CE AB=的值是．三、解答题173(2)6tan30---o18．解不等式组：3(1)2,1 2.2x x x x ì+<ïïïí-ï<+ïïî 19．先化简，再求值：2232211x x x x x x++⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中2x =． 20．为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t （单位：分钟）按照完成时间分成五组：A 组．“45t ≤”，B 组．“4560t <≤”，C 组．“6075t <≤”，D 组．“7590t <≤”，E 组“90t >”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，B 组的圆心角是________度；(3)若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 21．如图，已知ABCD Y ．(1)尺规作图：作对角线AC 的垂直平分线，交AD 于点E ，交BC 于点F ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AF 、CE ．求证：四边形AECF 是菱形．22．某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需要支付设备维护费5万元.从今年1月份起使用新设备，生产收入增长且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平.（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；（2）购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费）23．某校组织九年级学生到三台山森林公园游玩，数学兴趣小组同学想利用测角仪测量天和塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为DE 的斜坡，已知12m CD =，30DCE ∠=︒，点E 、C 、A 在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡C 处测得塔顶部B 的仰角为45°，在斜坡D 处测得塔顶部B 的仰角为39°．(1)求DE 的长；(2)求塔AB 的高度．（tan39︒取0.81.7 1.4，结果取整数）24．如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、(1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)已知拱门高2.8m （优弧AC 中点到BD 的距离），,, 2.4m AB BD CD BD BD ⊥⊥=，0.4m AB =，求拱门的圆弧半径．25．背景：在数学综合实践活动中，小明利用等面积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知AD 是ABC V 的角平分线，可证AB BD AC CD=．小红经过思考，认为也可以构造相似三角形来证明，小红的证明思路是：如图2，过点B 作BE AC ∥，交AD 的延长线于点E ，从而证得AB BD AC CD=． 证明：（1）请参照小红提供的思路，利用图2证明：AB BD AC CD =； 运用：（2）如图3，AD 是ABC V 的角平分线，M 是BC 边的中点，过M 点作MN AD P ，交BA 的延长线于点N ，交AC 于点G ．若4AB =，6AC =，求线段AN 的长； 拓展：（3）如图4，⊙O 是ABC V 的外接圆，AB 是直径，点D 是半圆AB 的中点，连接CD 交AB 于点E ．若3AC =，6BC =，求线段DE 的长．26．定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．(1)当21x -≤≤时，下列函数有界的是______（只要填序号）；①21y x =-；②2y x=-；③223y x x =-++． (2)当2m x m ≤≤+时，一次函数()12y k x =+-的界值不大于2，求k 的取值范围；(3)当2a x a ≤≤+时，二次函数223y x ax =+-的界值为94，求a 的值． 27．如图，已知矩形ABCD 的边48AB AD ==，，点P 是边BC 上的动点，线段AP 的垂直平分线交矩形ABCD 的边于点M N 、，其中点M 在边AB 或BC 上，点N 在边CD 或DA 上．(1)如图22BP =，当时，求AM 的长度；(2)当AMN V 是等腰三角形时，求BP 能取到的值或取值范围；(3)当动点P 由点B 运动到点C 的过程中，求点N 的运动路程长为多少？。
2023年江苏省南京市数学二模测试卷(含答案)
2023年江苏省南京市数学二模测试卷(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.函数=sin(2x+Π/2)+1的最小值和最小正周期分别为（）A.1和2πB.0和2πC.1和πD.0和π2.在△ABC中,“cosA=cosB”是“A=B”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不是充分也不是必要条件3.若直线x+y=0 与直线ax-2y+1=0 互相垂直，则a 的值为（）A.-2B.2C.-1D.14.与直线x-y-7=0垂直，且过点（3，5）的直线为（）A.x+y−8=0B.x-y+2=0C.2x-y+8=0D.x+2y+1=05.不等式｜x-1｜< 2 的解集为（）A.y=x²B.y=x²-xC.y=x³D.y=1/x6.设a=lg 2 ，b=lg 3 ，c=lg5 ，则lg 30=（）A.abcB.a + b + cC.a - b - cD.无法确定7.若平面α//平面β，直线a⊂α，直线b⊂β那么直线a、b的位置关系是（）A.垂直B.平行C.异面D.不相交8.已知α为第二象限角，点P（（x，√5）为其终边上的一点，且cosα=√2x/4,那么x=（）A.√3B.±√3C.-√2D.-√39.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是（）A.y=x^(1/2)B.y=x^4C.y=x^(-2)D.y=x^(1/3)10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应边为a ，b ，c ，∠A=45° ，∠C=30°，a=2 ，则c=（）A.1B.2C.√2D.2√211.在某次1500米体能测试中，甲、乙2人各自通过的测试的概率分别是2/5,3/4,只有一人通过的概率是（）A.3/5B.3/10C.1/20D.11/2012.圆x² + y²- 4x + 4y + 6=0 截直线x - y - 5=0 所得弦长等于（）A.√6B.1C.5D. 5 √2 /213.与5Π/3终边相同的角是（）A.2Π/3B.-2Π/3C.-Π/3D.Π/314.倾斜角为60°，且在y轴上截距为−3的直线方程是（）A.√3x-y+3=0B.√3x-y-3=0C.3x-√y+3=0D.x-√3y-3=015.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={4，5，6，7，8 }，则Cu( M ∪N)= （）A.{2}B.{5，7}C.{2，4，8}D.{1，3，5，6，7}16.过点P(1,-1)垂直于X 轴的直线方程为（）A.x+1=0B.x-1=0C.y+1=0D.y-1=017.y=log₂（3x-6）的定义域是（）A.（（-∞，+∞）B.（（1，+∞）C.（（-∞，-2）∪（（2，+∞）D.（（2，+∞）18.设集合M={x│0≤x＜3，x∈N}，则M的真子集个数为( )A.3B.6C.7D.819.从1、2、3、4、5 五个数中任取一个数，取到的数字是3 或5 的概率为（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/520.与y=sinx相等的是( )A.y=cos(x+Π)B.y=cos(x-Π)C.y=cos(Π/2-x)D.y=cos(Π/2+x)参考答案1.D2.C[解析]讲解：由于三角形内角范围是(0，π)余弦值和角度一一对应，所以cosA=cosB与A=B是可以互相推导的，是充要条件，选C3.B4.D[答案]A [解析]讲解：直线方程的考查，两直线垂直则斜率乘积为-1，选A，经验证直线过点（3,5）。
江苏省南京市秦淮区四校联考2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)
初三年级数学练习注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 9的平方根等于（）A. 3B.C.D.答案：C解析：解：9的平方根是：．故选：C．2. 2024年，南京中考考生约人，则数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：C解析：解：．故选C．3. 计算的结果是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：，故选：C．4. 已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（）A. B. 2 C. 3 D. 4答案：A解析：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，∴，解得BC：EF=1：，∵BC=1，∴EF=．故选A．5. 如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（ ）A. B. C. D.答案：B解析：解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°，则正五边形ABCDE的一个内角==108°，连接OA、OB、OC，∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，∴∠OAE=∠OCD=90°，∴∠AOC=540°-∠E-∠D-∠OAE-∠OCD=144°，所以劣弧AC的长度为，故选：B.6. 如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为( )A. B. 1 C. D.答案：D解析：解：如图所示，建立平面直角坐标系，依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大，∵，设抛物线解析式为，将代入得，解得：故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________．答案：x≠2解析：试题解析：根据分式有意义的条件得：x-2≠0即：x≠28. 分解因式的结果是______．答案：解析：解：故答案为：9. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________．答案：1解析：解：把x＝代入方程得，解得m＝1．故答案为1．10. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上人数102988093127根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是_________．答案：7200解析：解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×＝7200（人），故答案为7200．11. 如图，点A、B、C、D在上，，，则_________°．答案：解析：解：如图，连接，，，，在中，，故答案为：．12. 如图，反比例函数y=的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为___________．答案：．解析：试题分析：根据题意设点A坐标（x，），由D为斜边OA的中点，可得出D（x，），从而得出过点D的反比例函数的解析式．试题解析：设点A坐标（x，），∵反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，∴D（x，），∴过点D的反比例函数的解析式为y=．∴k的值为．13. 在二次函数中，与的部分对应值如下表：则下列结论：①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是____．答案：①③⑤解析：解：由图表可以得出当或时，，时，，解得：，，图象经过原点，故①正确；＞，抛物线开口向上，故②错误；把代入得，，图象经过点（），故③正确；抛物线的对称轴是，＞时，随的增大而增大，＜时，随的增大而减小，故④错误；抛物线与轴有两个交点（）、（）有两个不相等的实数根，故⑤正确；故答案为：①③⑤．14. 如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为____．答案：##解析：解：如图所示，过点作交的延长线于点，在中，，，，，，，，，在中，，沿折叠得到，当点恰好落在上，，又，，，∴，在中，，，故答案为：．15. 如图，在中，是边上一点，若，则的长为__．答案：解析：解：设，在中，，则，过作，如图所示：，，，则，设，在中，，即，解得，则，，则，解得，在中，，即，即，解得，则（负值舍去），，故答案为：．16. 如图，在中，，，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为__．答案：解析：解：连接，并延长至点Q，使，连接，，，并延长交于点D，∵，点P是的中点，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小．∴在中，，∴的最小值为，∴的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解方程．答案：18. 解不等式组并写出不等式组的整数解．答案：不等式组的解集，整数解为3．解析：解：解不等式①，，．解不等式②，，．原不等式组的解集为．不等式组的整数解为：3．19. 如图，、是的两条弦，与相交于点E，．（1）求证：；（2）连接作直线求证：．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析．小问1解析：证明：∵，∴∴，即．∴．小问2解析：证明：连接∵∴∴∴∵∴E、O都在的垂直平分线上．∴20. 某公司有A、B、C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210 km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．（1）阳阳已经对B、C型号汽车数据统计如下表，请在下表中填写A型号汽车的平均里程、中位数、众数．型号平均里程中位数众数AB216215220C225（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．答案：（1）200，200，205；（2）选择B型号汽车．理由见解析．小问1解析：解：A型号汽车的平均里程为：，20个数据按从小到大的顺序排列，第10，第11个数据均为，∴中位数为：，出现了六次，∴众数为．小问2解析：解：选择B型号汽车，理由如下：A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；B、C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中B型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．21. 现有一组数：，，0，3，求下列事件的概率：（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大．答案：（1）；（2）．小问1解析：解；∵一共有四个数，其中无理数只有，且每个数被选择的概率相同，∴从中随机选择一个数，恰好选中无理数的概率为；小问2解析：解：设，，0，3这四个数分别用A、B、C、D表示，列表如下：由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中随机选择两个不同的数，均比0大的结果数有2种（，），∴从中随机选择两个不同的数，均比0大的概率为．22. 今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元．（1）求甲、乙两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用．答案：（1）甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．（2）甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．小问1解析：设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，由题意可得：解得答：甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．小问2解析：设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元．由题意得：．∴w随m的增大而增大．又，∴．∴当时，w有最小值为（元）．答：甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．23. 如图，为了测量大楼的高度，小明在点测得大楼顶端的仰角为，从点沿倾斜角为的斜坡走到点，再水平向左走达到点，在此处测得大楼顶端的仰角为，同时测得大楼底端的俯角为，求大楼的高度．参考数据：，．答案：大楼的高度为．解析：解：延长交于点，过点作，垂足为．设为．在中，，．在中，．．在中，，．在中，．，即．，解得．答：大楼的高度为．24. 在中，，、分别是、的点，且．（1）求证：；（2）求证：．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析小问1解析：)证明：，．，，．．小问2解析：，，即．设，，则．．，即．25. 如图，在四边形中，，E是边上一点，连接，，作的外接圆交于点F，与相切于点A．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）连接，求证：；（3）若，，，则的半径为．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．小问1解析：证明：连接，并延长交于点G，连接如图，∴∵∴，∴∵∴∵是的切线，∴∴又∴四边形是平行四边形；小问2解析：证明，由（1）知，四边形是平行四边形，∴又在四边形中，∴∵∴∴即∵∴∴又∴∴；小问3解析：解：设与交于点,由（1）知，垂直平分由（2）知∴∴∵，，∴∴又∴在中，∴∴，设的半径为，连接,则∴又，在中，∴，解得，故答案为：26. 已知二次函数．（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点；（2）是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明；（3）当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围．答案：（1）见解析（2）见解析（3）或或小问1解析：解：∵当时，；当时，，∴不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点；小问2解析：方法一、∵是该函数图像上的两个点，∴，，∴，∵，∴，即；方法二、∵抛物线的对称轴为：直线，，当时，，此时，当时，，此时，综上所述：小问3解析：解：∵当时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线，∴时，y随x的增大而增大，符合题意；当且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，∴或27. 将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径．如图，在中，是中线，是边上一点，，作的垂直平分线分别交于点，探究下列问题．特殊化（1）当点与点重合时，①在图中，画出此特殊情形的图；②此情形下，点与点重合，此时与满足的数量关系为．（2）当点与点重合时，在图中，用尺规作出点的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）一般化（3）当点中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中与所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由．答案：（1）①图见解析；②；（2）作图见解析（3）成立，理由见解析解析：解：（1）①如图所示：②当点与点重合时，点与点重合，此时与满足的数量关系为．故答案为：；；（2）如图所示：（3）（3）成立．证明如下：取AB中点G，连接BG，过点D作DH⊥AB，垂足为H．∵D、G分别是BC、AB中点，∴ DG AC，DG＝AC，∴∠GDE＝∠DEC＝45°．∵DH⊥AB，∠BAD＝45°，∴△AHD是等腰直角三角形．∴∠HDA＝45°，AD＝HD．∴∠HDG＋∠GDA＝∠ODF＋∠GDA＝45°．∴∠HDG＝∠ODF．又∠DHG＝∠DOF＝90°，∴△HDG∽△ODF．又O是AD的中点，∴＝·＝．∴＝＝，即FD＝DG．∴FD＝·AC＝AC，即AC＝FD．。
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南京、淮安市2013届高三模拟考试（南京二模、淮安三模）
数学2013．3
参考公式：锥体的体积公式为1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．
1．已知集合A={2a ,3}，B={2,3}．若A B={1,2,3}，则实数a 的值为____． 2．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是__________． 3．若复数12mi
z i
-=
+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____． 4．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______．
5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，
AQI 共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，
(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年
12月1日出版的《A 市早报》对A 市2012年11月份中30天的AQI 进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A 市该月环境空气质量优、良的总天数为____．
6．右图是一个算法流程图，其输出的n 的值是_____．
7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为2
3
π的扇形，则此圆锥的高为___cm ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：22
(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN 23≥，则直线l 的斜率k 的取值范围是______． 9．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，S
n
为其前n 项和，若
2222
1234a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．
10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1
()23x f x -=-，则不等
式()1f x >的解集为______________．
11．在ABC ∆中，已知AB=2，BC=3，60ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，D 为垂足，则
BD BC ⋅
的值为____．
12．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22
143x y -=．设过点M(0,1)的直线l 与双
曲线C 交于A 、B 两点，若2AM MB =
，则直线l 的斜率为_____．
14．已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2
n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则9c 的值为_____． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且
cos 2cos C a c
B b
-=
， （1）求B ； （2）若tan()74
A π
+
=，求cos C 的值．
16，（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA ．
（1）求三棱锥E-BAD 的体积； （2）求证：PC//平面BDE ．
17．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，60AOB ∠=︒，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在
AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何
处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．
18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项都为正数，且对任意*n N ∈，都有
212n n n a a a k ++=+(k 为常数)．
（1）若2
21()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列；（2）若k=0，且245,,a a a 成等差数列，求
2
1
a a 的值； （3）已知12,a a a
b ==(,a b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意
*n N ∈都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过
点(,),(3,1)22
a a
A B ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点00(,)P x y 在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为
00360x x y y +-=．
①求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；
②若点F 关于直线l 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．
20．（本小题满分16分）设函数2
()(2)ln f x x a x a x =---．
（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；
（3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12
()02
x x f +'>．。