高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算导学案(无答案)北师大版选修2_1

合集下载

高中数学2.5夹角的计算 学案 (北师大选修2-1)

高中数学2.5夹角的计算 学案 (北师大选修2-1)

2。

5 夹角的计算学习目标:1)能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角;(2)能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。

学习重点:向量法在立体几何中求空间的夹角应用。

学习难点:探究题型,掌握解法. 学习过程: 1.复习回顾①直线间的夹角[0,]2π②平面间的夹角(0,]2π,二面角平面角的大小(0,]π;③直线与平面夹角[0,]2π1。

已知:在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD AB C D -中2,1AB BC ==13AA =,求对角线11AC A D与夹角的余弦值.n2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点E 为棱AB 的中点。

求:D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小(用余弦值表示)3.如图在空间直角坐标系中有单位正方体1111ABCD A B C D -,(1)求平面11111BCDA A B C D θ与平面的夹角(2) 1.AC ABCD α对角线与底面所成角正弦值(3) 1.AC ABCD α对角线与底面所成角余弦值4.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB =90,侧棱AA 1=2,D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G 。

求A 1B 与平面ABD 所成角的大小(结果用余弦值表示);ABCD A B C D Exy z yzA BDC1A 1B 1D 1C GD ACBCB K x zAEEFO5.在四棱锥P -ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平面ABCD ,PA =AB =a,E 为BC 中点。

(1)求平面PDE 与平面PAB 所成二面角的大小(用正切值表示);(2)求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

[精品]2019学年高中数学第二章2.5夹角的计算教学案北师大版选修2

[精品]2019学年高中数学第二章2.5夹角的计算教学案北师大版选修2

§5 夹角的计算第一课时 直线间的夹角、平面间的夹角[对应学生用书P34]山体滑坡是一种常见的自然灾害.甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度,甲站在水平地面上的A 处,乙站在山坡斜面上的B 处,从A ,B 两点到直线l (水平地面与山坡的交线)的距离AC 和BD 分别为30 m 和40 m ,CD 的长为60 m ,AB的长为80 m.问题1:直线AC 和BD 的夹角范围是什么?向量AC 与向量BD 的夹角范围是什么?提示:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,[0,π].问题2:直线AC 与BD 的夹角与〈AC ,BD 〉有什么关系? 提示:当0≤〈AC ,BD 〉≤π2时,它们相等;当π2<〈AC ,BD 〉≤π时,直线AC 与BD 的夹角为π-〈AC ,BD 〉. 问题3:上图中水平地面与斜坡面的夹角α与〈CA ,DB 〉有什么关系?为什么?提示:α=π-〈CA ,DB 〉,因为图中两平面夹角(即为直线BD 与CA 的夹角)为锐角,而〈CA ,DB 〉为钝角,所以α=π-〈CA ,DB 〉.问题4:若n 1,n 2分别为两个平面π1,π2的法向量,则π1与π2的夹角θ与〈n 1,n 2〉有什么关系? 提示:当0≤〈n 1,n 2〉≤π2时,θ=〈n 1,n 2〉;当π2<〈n 1,n 2〉≤π时,θ=π-〈n 1,n 2〉.1.两直线的夹角当两条直线l 1与l 2共面时,把两条直线交角中,范围在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2内的角叫做两直线的夹角.2.异面直线l 1与l 2的夹角(1)定义:直线l 1与l 2是异面直线,在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2,则直线l 1和直线AB 的夹角叫作异面直线l 1与l 2的夹角.(2)计算:设直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1,s 2.当0≤〈s 1,s 2〉≤π2时,直线l 1与l 2的夹角等于〈s 1,s 2〉;当π2<〈s 1,s 2〉≤π时,直线l 1与l 2的夹角等于π-〈s 1,s 2〉. 3.平面间的夹角(1)定义:平面π1与π2相交于直线l ,点R 为直线l 上任意一点,过点R ,在平面π1上作直线l 1⊥l ,在平面π2上作直线l 2⊥l ,则直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.(2)计算:已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2, 当0≤〈n 1,n 2〉≤π2时,平面π1和π2的夹角等于〈n 1,n 2〉;当π2<〈n 1,n 2〉≤π时,平面π1和π2的夹角等于π-〈n 1,n 2〉.1.求空间角时,要注意角的范围.(1)异面直线夹角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2;(2)两平面夹角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2. 2.求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解;也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解,但要注意其转化关系.[对应学生用书P35][例1] 如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,AB =BC =a ,AD =2a ,且PA ⊥底面ABCD ,∠PDA =30°,AE ⊥PD ,E为垂足.(1)求证:BE ⊥PD ;(2)求异面直线AE 与CD 夹角的余弦值.[思路点拨] 要证明两直线垂直,或求两直线的夹角,只要适当地建立空间直角坐标系,求出两直线对应的方向向量,然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得.[精解详析] 以A 为原点,AB ,AD ,AP 所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图,则A (0,0,0),B (a,0,0),C (a ,a,0),D (0,2a,0).又∵∠PDA =30°, ∴AP =AD ·tan 30°=2a ·33=233a ,AE =AD ·sin 30°=2a ·12=a .过E 作EF ⊥AD ,垂足为F ,在Rt △AFE 中,AE =a ,∠EAF =60°,∴AF =a 2,EF =32a .∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,233a ,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12a ,32a .(1)证明:BE =⎝ ⎛⎭⎪⎫-a ,12a ,32a ,PD =⎝ ⎛⎭⎪⎫0,2a ,-233a ,∴BE ·PD =0+a 2-a 2=0.∴BE ⊥PD ,∴BE ⊥PD .(2)AE =⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12a ,32a ,CD =(-a ,a,0).则cos 〈AE ,CD 〉=AE ·CD| AE ||CD |=12a 22a ·a =24,即AE 与CD 的夹角的余弦值为24. [一点通]1.求两异面直线的夹角时,可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a ,b 的夹角〈a ,b 〉.但两异面直线的夹角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2,所以当〈a ,b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2,π时,两异面直线的夹角应为π-〈a ,b 〉.2.合理建立空间直角坐标系,可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算,也可选用基向量法进行求解.1.把正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,点E ,F 分别是AD ,BC 的中点,O 是正方形ABCD 的中心,则折起后,∠EOF 的大小为( )A .60°B .90°C .120°D .150°解析:如图,建立空间直角坐标系,设正方形边长为2.则F ⎝⎛⎭⎪⎫22,22,0,E ⎝⎛⎭⎪⎫0,-22,22,⎛2,OE = ⎛0,-∴cos ∠EOF =cos 〈OF ,OE 〉 =0×22-22×22+0×2212+12× 12+12=-12,∴∠EOF =120°. 答案:C2.在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,求异面直线BA 1与AC 的夹角.解:法一:以A 点为坐标原点,建立直角坐标系如右图所示,设B (1,0,0),则C (1,1,0),A 1(0,0,1),∴AC =(1,1,0),1BA =(-1,0,1), ∴cos 〈AC ,1BA 〉=AC ·1BA |AC |·|1BA |=,1,-1,0,2×2=-12.∴〈AC ,1BA 〉=120°.故AC 与BA 1的夹角为60°. 法二∵1BA =BA +1BB ,AC =AB +BC , ∴1BA ·AC =(BA +1BB )·(AB +BC )=BA ·AB +BA ·BC +1BB ·AB +1BB ·BC . ∵AB ⊥BC ,BB 1⊥AB ,BB 1⊥BC ,∴BA ·BC =0,1BB ·AB =0,1BB ·BC =0, ∴1BA ·AC =-a 2.又∵1BA AC =|1BA |·|AC |·cos〈1BA ,AC 〉, ∴cos 〈1BA ,AC 〉=-a22a ·2a =-12.∴〈1BA,AC 〉=120°. 故异面直线BA 1与AC 的夹角为60°.3.如右图,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,∠PAD =60°,在四边形ABCD 中,∠ADC=∠DAB =90°,AB =4,CD =1,AD =2.(1)建立适当的坐标系,并写出点B ,P 的坐标; (2)求异面直线PA 与BC 夹角的余弦值.解:(1)如右图建立空间直角坐标系,∵∠ADC =∠DAB =90°,AB =4,CD =1,AD =2, ∴A (2,0,0),C (0,1,0),B (2,4,0).在Rt △PAD 中,由AD =2,∠PAD =60°得PD =23, ∴P (0,0,23).(2)由(1)得PA =(2,0,-23),BC =(-2,-3,0),∴cos 〈PA ,BC 〉=PA ·BC|BA ||BC |=-+-+-23413=-1313. 故异面直线PA 与BC 夹角的余弦值为1313.[例2] 如图,PA ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,PA =AC =1,BC =2,求平面PAB 与平面PBC 的夹角的余弦值.[思路点拨] 建立空间直角坐标系,利用法向量进行求解. [精解详析] 如图建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (2,1,0),C (0,1,0),P (0,0,1),AP =(0,0,1),AB =(2,1,0),CB =(2,0,0),CP =(0,-1,1). 设平面PAB 的法向量为m =(x ,y ,z ),则⎩⎨⎧m ⊥AP ,m ⊥AB ,即⎩⎨⎧m ·AP =0,m ·AB =0,∴⎩⎨⎧x ,y ,z ,0,=0,x ,y ,z2,1,=0.∴⎩⎨⎧y =-2x ,z =0.令x =1,得m =(1,-2,0),设平面PBC 的法向量为n =(x ′,y ′,z ′),则⎩⎨⎧n ⊥CB ,n ⊥CP ,即⎩⎨⎧n ·CB =0,n ·CP =0,∴⎩⎨⎧x ′,y ′,z 2,0,=0,x ′,y ′,z,-1,=0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′=0,y ′=z ′.令y ′=1,∴n =(0,1,1). ∴cos 〈m ,n 〉=m·n |m||n|=-33.而平面PAB 与平面PBC 夹角∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2∴平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为33. [一点通]求两平面的夹角有两种方法:(1)定义法:在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线,这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角,但要注意其异同.(2)法向量法:分别求出两平面的法向量n 1,n 2,则两平面的夹角为〈n 1,n 2〉⎝ ⎛⎭⎪⎫当〈n 1,n 2〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时或π-〈n 1,n 2〉⎝ ⎛⎭⎪⎫当〈n 1,n 2〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2,π时.4.在底面是直角梯形的四棱锥S -ABCD 中,∠ABC =90°,SA ⊥面ABCD ,SA =AB =BC =1,AD =12,求平面SCD与平面SBA 夹角的余弦值.解:建立如图所示空间直角坐标系,则A (0,0,0),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,0,C (1,1,0),S (0,0,1),平面SAB 的一个法向量是AD =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,0.设n =(x ,y ,z )是面SCD 的一个法向量,则n ⊥DC ,n ⊥DS ,即n ·DC =0,n ·DS =0.又DC =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,0,DS =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0,1,∴12x +y =0,且-12x +z =0. ∴y =-12x ,且z =12x .∴n =⎝ ⎛⎭⎪⎫x ,-x 2,x 2,取x =1,得n =⎝⎛⎭⎪⎫1,-12,12.∴cos 〈AD ,n 〉=AD ·n| AD |·|n |=1212× 1+14+14=63. ∴平面SCD 与平面SBA 夹角的余弦值为63. 5.(陕西高考)如图,四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形,O 为底面中心,A 1O ⊥平面ABCD ,AB =AA 1= 2.(1)证明:A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.解: (1)证明:法一:由题设易知OA ,OB ,OA 1两两垂直,以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. ∵AB =AA 1=2, ∴OA =OB =OA 1=1,∴A (1,0,0),B (0,1,0),C (-1,0,0),D (0,-1,0),A 1(0,0,1). 由1A B =AB ,易得B 1(-1,1,1).∵1A C =(-1,0,-1),BD =(0,-2,0),1BB =(-1,0,1), ∴1A C ·BD =0,1A C ·1BB =0, ∴A 1C ⊥BD ,A 1C ⊥BB 1, 又BB 1∩BD =B , ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .法二:∵A 1O ⊥平面ABCD ,∴A 1O ⊥BD . 又四边形ABCD 是正方形,∴BD ⊥AC ,∴BD ⊥平面A 1OC ,∴BD ⊥A 1C . 又OA 1是AC 的中垂线,∴A 1A =A 1C =2,且AC =2,∴AC 2=AA 21+A 1C 2, ∴△AA 1C 是直角三角形,∴AA 1⊥A 1C . 又BB 1∥AA 1,∴A 1C ⊥BB 1.又BB 1∩BD =B ,∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量n =(x ,y ,z ). ∵OC =(-1,0,0),1OB =(-1,1,1),∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC =-x =0,n ·1OB =-x +y +z =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =-z .取n =(0,1,-1),由(1)知,1A C =(-1,0,-1)是平面BB 1D 1D 的法向量, ∴cos θ=|cos 〈n ,1A C 〉|=12×2=12. 又0≤θ≤π2,∴θ=π3.用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时,要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a ,b 的夹角及两平面的法向量n 1,n 2的夹角的关系:(1)当cos 〈a ,b 〉<0时,cos θ=-cos 〈a ,b 〉,当cos 〈a ,b 〉≥0时,cos θ=cos 〈a ,b 〉,即cos θ=|cos 〈a ,b 〉|. (2)当cos 〈n 1,n 2〉≥0时,cos φ=cos 〈n 1,n 2〉,当cos 〈n 1,n 2〉<0时,cos φ=-cos 〈n 1,n 2〉,即cos φ=|cos 〈a ,b 〉|.[对应课时跟踪训练十一1.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,E ,F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心,则异面直线EF 和CD 的夹角是( ) A .60° B .45° C .30°D .90°解析:以D 为原点,分别以射线DA ,DC ,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,1,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,12, EF =⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,-12,DC =(0,1,0).所以cos 〈EF ,DC 〉=EF ·DC | EF |·|DC |=-22,所以〈EF ,DC 〉=135°, 所以异面直线EF 和CD 的夹角是45°. 答案:B2.(陕西高考)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,CA =CC 1=2CB ,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析:设CA =2,则C (0,0,0),A (2,0,0),B (0,0,1),C 1(0,2,0),B 1=(0,2,1),可得向量1AB =(-2,2,1),1BC =(0,2,-1),由向量的夹角公式得cos 〈1AB ,1BC 〉=-2×0+2×2+-0+4+1·4+4+1=15=55. 答案:A3.如图所示,已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点,且PA ⊥平面ABCD ,PA =AD =AC ,点F 为PC 中点,则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为( )A.36B.34C.33D.233解析:设AC ∩BD =O ,连接OF ,以O 为原点,OB ,OC ,OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴,建立空间直角坐标系,设PA =AD =AC =1,则BD =3,∴B ⎝⎛⎭⎪⎫32,0,0,F ⎝⎛⎭⎪⎫0,0,12, C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0,12,0,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,0,0. ∴OC =⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,0,且OC 为平面BDF 的一个法向量. 由BC =⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12,0,FB =⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,-12可得平面BCF 的一个法向量n =(1,3,3). ∴cos 〈n ,OC 〉=217,sin 〈n ,OC 〉=277. ∴tan 〈n ,OC 〉=233.答案:D4.P 是二面角α-AB -β棱上的一点,分别在α,β平面内引射线PM ,PN ,如果∠BPM =∠BPN =45°,∠MPN =60°,那么α与β的夹角大小为( )A .60°B .70°C .80°D .90°=45°,故PE =a2,解析:设PM =a ,PN =b ,作ME ⊥AB ,NF ⊥AB ,则因∠BPM =∠BPNPF =b2.于是EM ·FN =(PM -PE )·(PN -PF )=PM·PN-PM ·PF -PE ·PN +PE ·PF =ab cos 60°-a ·b2cos 45°-a2·b cos 45°+a2·b2=ab 2-ab 2-ab2+ab2=0.因为EM ,FN 分别是α,β内的与棱AB 垂直的两条直线,所以EM 与FN 的夹角就是α与β的夹角.答案:D5.平面π1的一个法向量n 1=(1,2,-1),平面π2的一个法向量n 2=(2,-2,-2),则平面π1与π2夹角的正弦值为________.解析:n 1·n 2=2-4+2=0,∴n 1⊥n 2,∴〈n 1,n 2〉=π2,即α与β垂直, ∴sin 〈n 1,n 2〉=1. 答案:16.如图,已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等,M 是侧棱CC 1的中点,则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________.解析:不妨设棱长为2,则1AB =1BB -BA ,BM =BC +121BB ,cos 〈1AB ,BM 〉=1BB -BABC +121BB 22·5=0-2+2+022·5=0.故AB 1与BM 的夹角为90°. 答案:90°7.如图,四边形ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,AF ∥DE ,DE =3AF ,BE 与平面ABCD 所成角为60°.求平面BEF 与平面BDE 的夹角的余弦值.解:因为DA ,DC ,DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标系,如图所示.因为BE 与平面ABCD 所成角为60°,即∠DBE =60°,所以ED DB= 3. 由AD =3可知DE =36,AF =6,则A (3,0,0),F (3,0,6),E (0,0,36),B (3,3,0),C (0,3,0).所以BF =(0,-3,6),EF =(3,0,-26).设平面BEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎨⎧n ·BF =0,n ·EF =0.即⎩⎨⎧-3y +6z =0,3x -26z =0,令z =6,则n =(4,2,6).由题意知AC ⊥平面BDE , 所以CA 为平面BDE 的法向量,CA =(3,-3,0).所以cos 〈n ,CA 〉=n ·CA |n ||CA |=632×26=1313.故由题意知平面BEF 与平面BDE 的夹角的余弦值为1313. 8.如图,在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,AB ⊥AC ,AB =AC =2,A 1A =4,点D 是BC 的中点. (1)求异面直线A 1B 与C 1D 的夹角的余弦值; (2)求平面ADC 1与平面ABA 1的夹角的正弦值.解:(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0),D (1,1,0),A 1(0,0,4),C 1(0,2,4),所以1A B =(2,0,-4),1C D=(1,-1,-4).因为cos 〈1A B ,1C D 〉=1A B ·1C D| 1A B ||1C D |=1820×18=31010,所以异面直线A 1B 与C 1D 的夹角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1=(x ,y ,z ),因为AD =(1,1,0),1AC =(0,2,4),所以n 1·AD =0,n 1·1AC =0,即x +y =0且y +2z =0,取z =1,得x =2,y =-2,所以n 1=(2,-2,1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面ABA 1的一个法向量为n 2=(0,1,0),设平面ADC 1与平面ABA 1的夹角的大小为θ.由|cos θ|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|=29×1=23,得sin θ=53. 因此,平面ADC 1与平面ABA 1的夹角的正弦值为53.第二课时 直线与平面的夹角[对应学生用书P37]在上节研究的山体滑坡问题中,A ,B 两点到直线l (水平地面与山坡的交线)的距离分别为AC 和BD ,直线BD 与地面ACD 的夹角为φ.问题1:φ与〈CA ,DB 〉有什么关系? 提示:φ=π-〈CA ,DB 〉.问题2:φ与〈BD ,n 〉有何关系?(n 为地面法向量)提示:φ=π2-〈BD ,n 〉或φ=〈BD ,n 〉-π2,即sin φ=|cos 〈BD ,n 〉|.直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角. (2)如果一条直线与一个平面垂直,这条直线与平面的夹角为π2.(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内,这条直线与平面的夹角为0. (4)设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,l 与α的夹角为θ,则, 当〈a ,n 〉≤π2时,θ=π2-〈a ,n 〉;当〈a ,n 〉>π2时,θ=〈a ,n 〉-π2.即sin 〈a ,n 〉=|cos 〈a ,n 〉|.(1)直线与平面夹角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2;(2)求直线与平面夹角θ时,可用定义求解;也可用直线的方向向量s 、平面的法向量n 的夹角进行求解,但要注意sin θ=|cos 〈s ,n 〉|.[对应学生用书P37][例1] (新课标全国卷Ⅰ)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60°.(1)证明:AB ⊥A 1C ;(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ,AB =CB ,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值. [思路点拔](1)先证明直线与平面垂直,再利用线面垂直的性质求证线线垂直;(2)建立空间直角坐标系,写出点与向量坐标,将线面角的大小用方向向量和法向量表示,但要注意线面角的范围.[精解详析] (1)如图,取AB 的中点O ,连接OC ,OA 1,A 1B .因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°,故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C 平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ,OA1⊥AB ,又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ,交线为AB ,所以OC ⊥平面AA 1B 1B ,故OA ,OA 1,OC 两两相互垂直.以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴的正方向,|OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由题设知A (1,0,0),A 1(0,3,0),C (0,0,3),B (-1,0,0),则BC =(1,0,3),1BB =1AA =(-1,3,0),1A C =(0,-3,3). 设n =(x ,y ,z )是平面BB 1C 1C 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC =0,n ·1BB =0,即⎩⎪⎨⎪⎧x +3z =0,-x +3y =0.可取n =(3,1,-1), 故n ,1A C=n ·1A C|n ||1A C |=-105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值为105. [一点通]设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为u ,直线l 与平面α所成的角为θ,a 与u 的夹角为φ,则有sin θ=|cos φ|=|a ·u ||a ||u |或cos θ=sin φ,其中θ与φ满足:①当φ是锐角时,θ=π2-φ;②当φ为钝角时,则θ=φ-π2.1.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 81与平面ABCD 夹角的余弦值为( ) A.33 B.36 C.62D.63解析:如图所示建系,设正方体棱长为1,则A (1,0,0),C 1(0,1,1),C (0,1,0),而CC 1⊥面ABCD ,∴AC 1在底面ABCD 的射影为AC .又1AC =(-1,1,1),AC =(-1,1,0), ∴AC 1与平面ABCD 夹角的余弦值 cos θ=|cos 〈1AC ,AC 〉|=63. 答案:D2.如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1,则AC 1与平面BB 1C 1C 夹角的正弦值为________.解析:取B 1C 1中点O ,建立如图所示的空间直角坐标系. O (0,0,0),1A O =设AB =BB 1=2,则A 1(-3,0,0),C 1(0,1,0),A (-3,0,2),(3,0,0),1A O 为面BB 1C 1C 的法向量,1AC =(3,1,-2),∴sin θ=|cos 〈1A O ,1AC 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1A O ·1AC |1A O ||1AC | =33·3+1+4=64.答案:643.已知三棱锥P -ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,PA =AC =12AB ,N 为AB 上一点,AB =4AN ,M ,S 分别为PB ,BC 的中点.(1)证明:CM ⊥SN ;(2)求SN 与平面CMN 的夹角.解:设PA =1,以A 为原点,射线AB ,AC ,AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系如图.则P (0,0,1),C (0,1,0),B (2,0,0),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,0,12,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,0, S ⎝⎛⎭⎪⎫1,12,0.(1)证明:CM =⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-1,12,SN =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-12,0,因为CM ·SN =-12+12+0=0,所以CM ⊥SN .(2) NC =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,1,0,设a =(x ,y ,z )为平面CMN 的一个法向量,则a ·CM =0,a ·NC =0, 即⎩⎪⎨⎪⎧x -y +12z =0,-12x +y =0.令x =2,得a =(2,1,-2).因为|cos 〈a ,SN 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-1-123×22=22,所以SN 与平面CMN 的夹角为45°.[例2] 如图,在三棱锥A -BCD 中,侧面ABD ,ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且AD =3,BD =CD =1.另一个侧面ABC 是等边三角形.点A 在底面BCD 上的射影为H .(1)以D 点为原点建立空间直角坐标系,并求A ,B ,C 的坐标; (2)求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值.(3)在线段AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD 的夹角为30°?若存在,确定点E 的位置;若不存在,说明理由.[思路点拨] (1)建立坐标系,证明AD ·BC =0. (2)求两平面法向量的夹角.(3)先假设存在点E 满足条件,再建立关于点E 的坐标的方程,判断方程是否有符合题意的解,即可得出结论. [精解详析] (1)由题意AB =AC =2,∴BC = 2. 则△BDC 为等腰直角三角形. 连接BH ,CH ,∴DB ⊥BH ,CH ⊥BH .∴四边形BHCD 为正方形,以DC为y 轴,DB 为x 轴建立空间直角坐标系如图所示,则A (1,1,1),B (1,0,0),C (0,1,0).(2)设平面ABC 的法向量为n 1=(x ,y ,z ), 则由n 1⊥BC 知:n 1·BC =-x +y =0. 同理,由n 1⊥CA 知:n 1·CA =x +z =0. 可取n 1=(1,1,-1).同理,可求得平面ACD 的一个法向量为n 2=(1,0,-1). 则cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=1+0+13·2=63,即所求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值为63. (3)假设存在E 满足条件,设CE =x CA =(x,0,x )(0≤x ≤1),则DE =DC +CE =(0,1,0)+(x,0,x )=(x,1,x ),平面BCD 的一个法向量为n =(0,0,1),∵ED 与平面BCD 的夹角为30°, 由图可知DE 与n 的夹角为60°,所以cos 〈DE ,n 〉=DE ·n| DE ||n |=x 1+2x 2=cos60°=12. 则2x =1+2x 2,解得x =22,即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1,22, |AC |=2,|CE |=1.故线段AC 上存在点E (与C 的距离为1),使ED 与平面BCD 的夹角为30°. [一点通]解决存在性探究问题,一般先假设存在,然后进行推理计算,推出的结果若符合题意,则说明假设正确.若出现矛盾或得出相反的结论,则否定假设,说明不存在.4.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为棱BB 1的中点,在棱DD 1上是否存在点P ,使MD 与平面PAC 的夹角为90°?若存在,确定P 点位置;若不存在,说明理由.M ⎝⎛⎭⎪⎫1,1,12,解:如图,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),C (0,1,0),D (0,0,0),假设存在P (0,0,x )(0≤x ≤1)满足条件,经检验,当x =0时不满足要求, 当0<x ≤1时,则PA =(1,0,-x ),AC =(-1,1,0),MD =(-1,-1,-12).设平面PAC 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1),则由⎩⎨⎧PA ·n =0, AC ·n =0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1-xz 1=0,-x 1+y 1=0.令x 1=1得y 1=1,z 1=1x,即n =(1,1,1x).由题意MD ∥n ,由MD =⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-1,-12=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1,1,12=-n , 得x =2.又0<x ≤1,故不满足要求,综上所述,棱DD 1上不存在点P ,使MD 与平面PAC 的夹角为90°.5.(北京高考)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB =3,BC =5.(1)求证:AA 1⊥平面ABC ;(2)求平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值; (3)证明:在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BDBC 1的值. 解:(1)证明:因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ,所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB .由题知AB =3,BC =5,AC =4,所以AB ⊥AC .如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A ­xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4).设平面A 1BC 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B =0,n ·11A C =0,即⎩⎪⎨⎪⎧3y -4z =0,4x =0.令z =3,则x =0,y =4,所以n =(0,4,3). 同理可得,平面B 1BC 1的法向量为m =(3,4,0).所以cos 〈 n ,m 〉=n ·m |n ||m |=1625.所以平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值为1625.(3)证明:设D (x 1,y 1,z 1)是线段BC 1上一点,且BD =λ1BC . 所以(x 1,y 1-3,z 1)=λ(4,-3,4). 解得x 1=4λ,y 1=3-3λ,z 1=4λ. 所以AD =(4λ,3-3λ,4λ).由AD ·1A B =0,即9-25λ=0,解得λ=925.因为925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B . 此时,BD BC 1=λ=925.计算直线l 与平面α的夹角为θ. (1)利用法向量计算θ的步骤如下:(2)利用定义计算θ的步骤如下:[对应课时跟踪训练十二1.已知直线l 的一个方向向量为a =(1,1,0),平面α的一个法向量为μ=(1,2,-2),则直线l 与平面α夹角的余弦值为( )A.22B .-22C .±22D.12解析:cos 〈a ,μ〉=a·μ|a||μ|=32·3=22,则直线l 与平面α的夹角θ的正弦值sin θ=|cos 〈a ,μ〉|=22,cos θ=22.答案:A2.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为4的正方形,长方体的高为AA 1=3,则BC 1与对角面BB 1D 1D 夹角的正弦值等于( )A.45B.35C.225D.325解析:建立如图所示的空间直角坐标系,∵底面是边长为4的正方形,AA1=3,∴A 1(4,0,0),B (4,4,3),C 1(0,4,0).而面BB 1D 1D 的法向量为AC =11A C =(-4,4,0),∴BC 1与对角面BB 1D 1D 所成角的正弦值即为|cos 〈1BC ,11A C 〉|=-4,0,--4,4,42+32×42+42=165×42=225.答案:C3.如图所示,点P 是△ABC 所在平面外的一点,若PA ,PB ,PC 与平面α的夹角均相等,则点P 在平面α上的投影P ′是△ABC 的( )A .内心B .外心C .重心D .垂心解析:由于PA ,PB ,PC 与平面α的夹角均相等,所以这三条由点P 出发的平面ABC 的斜线段相等,故它们在平面ABC 内的投影P ′A ,P ′B ,P ′C 也都相等,故点P ′是△ABC 的外心.答案:B4.(大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则CD 与平面BDC 1的夹角的正弦值等于( ) A.23 B.33C.23D.13解析:法一:如图,连接AC ,交BD 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC⊥BD .因为CC 1⊥平面ABCD ,所以CC 1⊥BD .又CC 1∩AC =C ,所以BD ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则BD ⊥CH .又BD ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面BDC 1,连接DH ,则DH 为CD 在平面BDC 1上的射影,所以∠CDH 求得CH =23.在Rt △为CD 与平面BDC 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由等面积变换易CDH 中,sin ∠CDH =CH CD =23.法二:以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA1=2AB =2,则D (0,0,0),C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),则DC =(0,1,0),DB =(1,1,0),1DC =(0,1,2).设平面BDC 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ⊥DB ,n ⊥1DC ,所以有⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,y +2z =0,令y =-2,得平面BDC 1的一个法向量为n =(2,-2,1).设CD 与平面BDC 1的夹角为θ,则sin θ=|cos 〈n ,DC 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC |n ||DC |=23.答案:A5.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________. 解析:如图,以DA 、DC 、DD1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A (1,0,0),B (1,1,0),C 1(0,1,1),易证1AC 是平面A 1BD 的一个法向量.1AC =(-1,1,1),1BC =(-1,0,1).cos 〈1AC ,1BC 〉=1+13×2=63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63. 答案:636.如图所示,已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等,D 是A 1C 1的中点,则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________.解析:不妨设正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则C (0,0,0),A (3,-1,0),B 1(3,1,2),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-12,2,则CD =(32,-12,2),1CB =(3,1,2), 设平面B 1DC 的法向量为n =(x ,y,1),由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD =0,n ·1CB =0,解得n =(-3,1,1). 又∵DA =⎝⎛⎭⎪⎫32,-12,-2,∴sin θ=|cos 〈DA ,n 〉|=45. 答案:457.如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =2AA 1,点D 是A 1B 1的中点. 求直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值.解:如图所示,设O 是AC 的中点,以O 为原点建立空间直角坐标系.不妨设AA 1=2,则AB =2,相关各点的坐标分别是A (0,-1,0),B (3,0,0),C 1(0,1,2),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-12,2. 易知AB =(3,1,0),1AC =(0,2,2),AD =⎝⎛⎭⎪⎫32,12,2. 设平面ABC 1的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB =3x +y =0,n ·1AC =2y +2z =0,解得x =-33y ,z =-2y . 故可取n =(1,-3,6).所以cos 〈n ,AD 〉=n ·AD |n ||AD |=2310×3=105. 即直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值为105. 8.如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,侧棱AA 1⊥底面ABCD ,AB ∥DC ,AA 1=1,AB =3k ,AD =4k ,BC =5k ,DC =6k (k >0).(1)求证:CD ⊥平面ADD 1A 1;(2)若直线AA 1与平面AB 1C 夹角的正弦值为67,求k 的值.解:(1)证明:取CD 的中点E ,连接BE ,如图.∵AB ∥DE ,AB =DE =3k ,∴四边形ABED 为平行四边形,∴BE ∥AD 且BE =AD =4k .在△BCE 中,∵BE =4k ,CE =3k ,BC =5k , ∴BE 2+CE 2=BC 2,∴∠BEC =90°,即BE ⊥CD .又∵BE ∥AD ,∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ,CD 平面ABCD ,∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD =A ,∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点,DA ,DC ,1DD 的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A (4k,0,0),C (0,6k,0),B 1(4k,3k,1),A 1(4k,0,1), ∴AC =(-4k,6k,0),1AB =(0,3k,1),1AA =(0,0,1). 设平面AB 1C 的法向量n =(x ,y ,z ),则由⎩⎪⎨⎪⎧AC ·n =0,1AB ·n =0,得⎩⎪⎨⎪⎧-4kx +6ky =0,3ky +z =0. 取y =2,得n =(3,2,-6k ).设AA 1与平面AB 1C 的夹角为θ,则sin θ=|cos 〈1AA ,n 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n | 1AA |n |=6k 36k 2+13=67,解得k =1,故所求k 的值为1.。

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》word整章教案

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》word整章教案

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》扶风县法门高中姚连省第一课时平面向量知识复习一、教学目标:复习平面向量的基础知识,为学习空间向量作准备二、教学重点:平面向量的基础知识。

教学难点:运用向量知识解决具体问题三、教学方法:探究归纳,讲练结合四、教学过程(一)、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。

(二)、基本运算1、向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则),(2121yyxxba++=+abba+=+)()(cbacba++=++ACBCAB=+向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-BAAB-==-向量的乘法1a是一个向量,满足:2>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时, aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向 量 的 数 量 积b a ∙是一个数10=或0=b 时,b a ∙=020≠且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =∙2121y y x x b a +=∙a b b a ∙=∙)()()(b a b a b a ∙=∙=∙λλλc b c a c b a ∙+∙=∙+)( 22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤∙2、平面向量基本定理:如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数21,λλ,使a = ; 注意)(21+=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件: ⑴ //a b 的充要条件是: ;(向量表示)⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==,则//a b 的充要条件是: ;(坐标表示)4、两个非零向量垂直的充要条件: ⑴ a b ⊥的充要条件是: ;(向量表示)⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==,则a b ⊥的充要条件是: ;(坐标表示)(三)、课堂练习1.O 为平面上的定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三点,若( OB -OC )·(OB +OC -2)=0,则∆ABC 是( )A .以AB 为底边的等腰三角形 B .以BC 为底边的等腰三角形 C .以AB 为斜边的直角三角形D .以BC 为斜边的直角三角形2.P 是△ABC 所在平面上一点,若⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心3.在四边形ABCD 中,−→−AB =−→−DC ,且−→−AC ·−→−BD =0,则四边形ABCD 是( ) A . 矩形 B . 菱形 C .直角梯形 D .等腰梯形4.已知||22p =||3q =,p 、q 的夹角为45︒,则以52a p q =+,3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为( )A .15B . 14 D .165.O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=(++λ,),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心 (四)、作业布置1.设平面向量=(-2,1),=(λ,-1),若与的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A .),2()2,21(+∞- B .),2(+∞ C .),21(+∞- D .)21,(--∞ 2.若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为 。

陕西省蓝田县高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角导学案(无答案)北师大版选修2-1

陕西省蓝田县高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角导学案(无答案)北师大版选修2-1

2.5.3直线与平面的夹角学习目标1 理解直线与平面的夹角的概念;2 了解“几何法”求直线与平面的夹角;3 掌握“向量法”求直线与平面的夹角.学习过程一、温故知新1:直线的方向向量与平面的法向量如何确定?2.空间中直线与平面的夹角的定义?范围?平面外一条直线与它在该平面内的 的夹角叫做该直线与此平面的夹角. 如果一条直线与一个平面平行或在平面内,规定这条直线与平面的夹角为 ;如果一条直线与一个平面垂直,规定这条直线与平面的夹角是 。

综上直线与平面的夹角的范围是二 新知探究:1.设直线的方向向量为s ,平面的法向量为n ,直线与平面的夹角为θ,则<s,n> 与θ有何关系?(1) 当时,0,>=<n s ;(2)当时,2,π>=< ;(3)当0时,2,π><<< ;(4) 当时,ππ><<<n s ,2 。

2.设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面的夹角为θ,则=θsin做一做:1平面的一条斜线段长是它在平面上射影长的3倍,则这条斜线段与平面夹角的余弦值是( )A .13C.2-D.232若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l 与平面α的夹角等于( )A .30°B .60°C .150°D .以上均错3一条直线与平面α的夹角为300,则它和平面α内所有直线所成的角中最小的角是( )A.300B.600C.900D.1500二例题例1、在正方体AC1中,试求直线A1B与平面A1B1CD的夹角.例2、在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=BD=2AE,M是AB的中点,求CM与平面CDE的夹角.[例3] 如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=3,BD=CD=1.另一个侧面ABC是等边三角形.点A在底面BCD上的射影为H.以D点为原点建立空间直角坐标系,并求A,B,C的坐标(2)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD的夹角为30°?若存在,确定点E的位置;若不存在,说明理由.※动手试试1、平面的一条斜线段长是它在平面上射影长的3倍,则这条斜线段与平面所成角的余弦值是()A.13B.3C. 2D.232、四面体S—ABC中,SA、SB、SC两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点,求SC与平面ABC所成角的正弦值。

高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算 空间向量的应用-求空间角与距离素材 北师大版选修2-1

高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算 空间向量的应用-求空间角与距离素材 北师大版选修2-1

空间向量的应用----求空间角与距离一、考点梳理1.自新教材实施以来,近几年高考的立体几何大题,在考查常规解题方法的同时,更多地关注向量法(基向量法、坐标法)在解题中的应用。

坐标法(法向量的应用),以其问题(数量关系:空间角、空间距离)处理的简单化,而成为高考热点问题。

可以预测到,今后的高考中,还会继续体现法向量的应用价值。

2.利用法向量求空间角和空间距离,其常用技巧与方法总结如下: 1)求直线和直线所成的角若直线AB 、CD 所成的角是α,cos α=|,cos |><CDAB ||||CD AB CD AB =2).利用法向量求线面角设θ为直线l 与平面α所成的角,ϕ为直线l 的方向向量v r与平面α的法向量nr 之间的夹角,则有2πϕθ=-或2πϕθ=+。

特别地0ϕ=时, 2πθ=,l α⊥;2πϕ=时,0θ=,l α⊂或l αP 。

计算公式为:||sin cos ||||v n v n θϕ==r r g r rg 或||sin sin()cos (0)2||||||||v n v n v n v n v n πθϕϕ=-=-=-=<r r r r r rg g r r r r g g g3).利用法向量求二面角设1n r 、2n r 分别为平面α、β的法向量,二面角l αβ--的大小为θ,向量1n r 、2n r 的夹角为ϕ,则有θϕπ+=或θϕ=。

计算公式为:1212cos cos ||||n n n n θϕ=-=u u r u u r g u u r u u r g 1212cos cos ||||n n n n θϕ==u u r u u r g u u r u u r g 4).利用法向量求点面距离如图点P 为平面外一点,点A 为平面内的任一点,平面的法向量为n,过点P 作平面α的垂线PO ,记∠OPA=θ,则点P 到平面的距离θcos ||||PA d ==||||||||||||n PA PA n PA n PA n •=⊗•=r u u u r u u u r r u u u r r u u u r u u r 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外,还能处理异面直线间的距离,线面间的距离,以及平行平面间的距离等。

高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5 夹角的计算学案 北师大版选修21

高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5 夹角的计算学案 北师大版选修21

5 夹角的计算学习目标 1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.知识点一 直线间的夹角思考1 设a ,b 分别是空间两条直线l 1,l 2的方向向量,则l 1与l 2的夹角大小一定为〈a ,b 〉吗?思考2 当两条直线平行时,它们的夹角是多少?梳理 (1)共面直线的夹角当两条直线l 1与l 2共面时,我们把两条直线交角中,范围在[0,π2]内的角叫作两直线的夹角,如图所示,当两条直线垂直时,夹角为__________.(2)异面直线的夹角当直线l 1与l 2是异面直线时,在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2,我们把直线l 1和直线AB 的夹角叫作异面直线l 1与l 2的夹角,如图所示.两条异面直线的夹角的范围为________,当夹角为π2时,称这两条直线异面______.综上,空间两条直线的夹角的范围是____________. (3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1,s 2.当0≤〈s 1,s 2〉≤π2时,直线l 1与l 2的夹角等于____________;当π2<〈s 1,s 2〉≤π时,直线l 1与l 2的夹角等于____________. 知识点二 平面间的夹角思考 若平面π1与平面π2平行,则它们的夹角是多少?梳理 (1)平面间夹角的概念如图,平面π1与π2相交于直线l ,点R 为直线l 上任意一点,过点R ,在平面π1上作直线l 1⊥l ,在平面π2上作直线l 2⊥l ,则l 1∩l 2=R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.由平面间夹角的概念可知,空间中两个平面的夹角的范围是____________.当夹角等于0时,两个平面______;当夹角等于π2时,两个平面互相______.(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系 空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定. 已知平面π1与π2的法向量分别为n 1与n 2.当0≤〈n 1,n 2〉≤π2时,平面π1与π2的夹角等于__________________;当π2<〈n 1,n 2〉≤π时,平面π1与π2的夹角等于__________________.事实上,设平面π1与平面π2的夹角为θ,则cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|. 知识点三 直线与平面的夹角思考 若直线l 与平面的夹角是0,则直线l 与平面是否一定平行?梳理 (1)直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角,如图所示.(2)直线与平面夹角的范围如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角是____. 如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角是____________. 由此可得,直线与平面夹角的范围是____________. (3)利用向量计算直线与平面夹角的方法空间中,直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定. 设平面α的法向量为n ,直线l 的方向向量为a ,直线l 与平面α所成的角为θ. 当0≤〈n ,a 〉≤π2时,θ=__________________;当π2<〈n ,a 〉≤π时,θ=__________________. 即sin θ=|cos 〈n ,a 〉|.类型一 直线间的夹角求解例1 已知直线l 1的一个方向向量为s 1=(1,0,1),直线l 2的一个方向向量为s 2=(-1,2,-2),求直线l 1和直线l 2夹角的余弦值.反思与感悟 利用直线的方向向量求两条直线的夹角时,要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系.因为两条直线的方向向量的夹角的范围是[0,π],而两条直线的夹角的范围是[0,π2],所以这两者不一定相等,还可能互补.由于任意两条直线的夹角θ∈[0,π2],所以直线l 1和直线l 2夹角的余弦值等于|cos 〈s 1,s 2〉|.跟踪训练1 如图所示,在三棱柱OAB -O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,∠O 1OB =60°,∠AOB =90°,且OB =OO 1=2,OA =3,求异面直线A 1B 与AO 1夹角的余弦值.类型二 求平面间的夹角例2 如图,已知ABCD 为直角梯形,∠DAB =∠ABC =90°,SA ⊥平面ABCD ,SA =AB =BC =1,AD =12.求平面SAB 与平面SCD 的夹角的余弦值.反思与感悟 利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)分别求出两平面的法向量; (3)求出两个法向量的夹角; (4)确定平面间夹角的大小.跟踪训练2 如图,在四棱锥S -ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB ∥DC ,AD ⊥DC ,AB =AD =1,DC =SD =2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC .(1)证明:SE =2EB ;(2)求平面ADE 与平面CDE 夹角的大小.类型三直线与平面的夹角例3 已知直线l的一个方向向量为s=(1,0,0),平面π的一个法向量为n=(2,1,1),求直线与平面夹角的正弦值.反思与感悟注意公式sin θ=|cos〈n,a〉|中,是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值,不要记错.跟踪训练3 如图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.1.在两个平面内,与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这两个平面夹角的余弦值为( )A.156B.-153C.153D.156或-1562.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1的夹角的正弦值是( )A.23B.33C.23D.133.在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD的夹角大小为________.4.已知直线l1的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线l2的一个方向向量为b=(3,-2,0),则两条直线夹角的余弦值为________.5.已知平面π1的一个法向量为n1=(1,-1,3),平面π2的一个法向量为n2=(-1,0,-1),求这两个平面夹角的余弦值.用坐标法求异面直线的夹角的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标;(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角;(4)结合异面直线夹角的范围得到异面直线的夹角.提醒:完成作业第二章§5答案精析问题导学 知识点一思考1 不一定.若l 1,l 2的方向向量的夹角为[0,π2]内的角时,l 1与l 2的夹角为〈a ,b 〉,否则为π-〈a ,b 〉. 思考2 0.梳理 (1)π2 (2)(0,π2] 垂直[0,π2] (3) 〈s 1,s 2〉 π-〈s 1,s 2〉知识点二 思考 0.梳理 (1)[0,π2] 重合 垂直(2)〈n 1,n 2〉 π-〈n 1,n 2〉 知识点三 思考 不一定. 梳理 (2)0π2 [0,π2] (3)π2-〈n ,a 〉 〈n ,a 〉-π2题型探究例1 解 ∵s 1=(1,0,1),s 2=(-1,2,-2),∴cos〈s 1,s 2〉=s 1·s 2|s 1||s 2|=-1-22×9=-22<0,∴〈s 1,s 2〉>90°,∴直线l 1与直线l 2的夹角为π-〈s 1,s 2〉, ∴直线l 1与直线l 2夹角的余弦值为22. 跟踪训练1 解 建立如图所示的空间直角坐标系,则O (0,0,0),O 1(0,1,3),A (3,0,0),A 1(3,1,3),B (0,2,0),∴A 1B →=(-3,1,-3),O 1A →=(3,-1,-3).∴|cos〈A 1B →,O 1A →〉| =|A 1B →·O 1A →||A 1B →||O 1A →|=-3,1,-33,-1,-37·7=17. ∴异面直线A 1B 与AO 1夹角的余弦值为17.例2 解 如图,以A 为坐标原点,分别以AD ,AB ,AS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则S (0,0,1),D (12,0,0),C (1,1,0),B (0,1,0),∴SD →=(12,0,-1),SC →=(1,1,-1).设平面SCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·SD →=0,n ·SC →=0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧12x -z =0,x +y -z =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =2z ,y =-z ,令z =1,得n =(2,-1,1).易得BC →是平面SAB 的一个法向量,且BC →=(1,0,0), ∴cos〈BC →,n 〉=BC →·n |BC →||n |=63.设平面SAB 与平面SCD 的夹角为θ,则cos θ=63. 跟踪训练2 (1)证明 以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,2,0),S (0,0,2),∴SC →=(0,2,-2),BC →=(-1,1,0), DC →=(0,2,0).设平面SBC 的一个法向量为m =(a ,b ,c ).由m ⊥SC →,m ⊥BC →,得⎩⎪⎨⎪⎧m ·SC →=0,m ·BC →=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧2b -2c =0,-a +b =0,令b =1,则m =(1,1,1).又设SE →=λEB →(λ>0),则E (λ1+λ,λ1+λ,21+λ),∴DE →=(λ1+λ,λ1+λ,21+λ).设平面EDC 的一个法向量为n =(x ,y ,z ). 由n ⊥DE →,n ⊥DC →,得⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →=0,n ·DC →=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧λx 1+λ+λy 1+λ+2z 1+λ=0,2y =0,令x =2,则n =(2,0,-λ). 由平面EDC ⊥平面SBC ,得m ⊥n , ∴m ·n =0,∴2-λ=0,即λ=2, ∴SE =2EB .(2)解 由(1),知E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,23,23, ∴DE →=(23,23,23),EC →=(-23,43,-23),∴EC →·DE →=0,∴EC ⊥DE .取线段DE 的中点F ,则F (13,13,13),∴FA →=(23,-13,-13),∴FA →·DE →=0,∴FA ⊥DE .∴向量FA →与EC →的夹角或其补角等于平面ADE 与平面CDE 的夹角. 计算得cos 〈FA →,EC →〉=FA →·EC →|FA →||EC →|=-12,故平面ADE 与平面CDE 夹角的大小为60°. 例3 解 ∵cos〈s ,n 〉=s ·n |s||n |=21×6=63>0,∴〈s ,n 〉<π2, ∴直线l 与平面π的夹角θ=π2-〈s ,n 〉,∴sin θ=sin(π2-〈s ,n 〉)=cos 〈s ,n 〉=63.即直线与平面夹角的正弦值为63. 跟踪训练3 解 由题设条件知,以点A 为坐标原点,分别以AD ,AB ,AS 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系(如图所示).设AB =1,则A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,0,S (0,0,1). ∴AS →=(0,0,1),CS →=(-1,-1,1).显然AS →是底面的法向量,它与已知向量CS →的夹角为β=90°-θ,11 故有sin θ=cos β=AS →·CS →|AS →||CS →|=11×3=33,∵θ∈[0°,90°],∴cos θ=1-sin 2θ=63.当堂训练1.A2.A3.30°4.578785.解 ∵n 1=(1,-1,3),n 2=(-1,0,-1), ∴cos〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1||n 2|=-1-311×2=-22211<0.故这两个平面夹角的余弦值为|cos 〈n 1,n 2〉|=22211.。

2.5夹角的计算 教案(高中数学北师大版选修2-1)

2.5夹角的计算 教案(高中数学北师大版选修2-1)

§5夹角的计算5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角5.3直线与平面的夹角●三维目标1.知识与技能(1)使学生掌握空间向量的夹角公式及其简单应用(2)提高学生选择恰当的方法求夹角的技能.2.过程与方法(1)在与平面向量的夹角公式的比较基础上,培养学生观察、分析、类比转化的能力.(2)通过对空间几何图形的探究,使学生会恰当地建立空间直角坐标系.(3)通过空间向量的坐标表示法的学习,使学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程,从而提高分析问题、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观(1)通过自主探究与合作交流的教学环节的设置,激发学生的学习热情和求知欲,充分体现学生的主体地位.(2)通过数形结合的思想和方法的应用,让学生感受和体会数学的魅力,培养学生“做数学”的习惯和热情.●重点难点重点:空间夹角的计算.难点:两平面的夹角与两平面法向量所成角的关系及直线与平面的夹角与直线的方向向量与平面法向量所成角的关系.本节课主要通过寻找空间角与向量夹角间的关系,在教学中,可以以教师为主导,学生为主体,训练为主线,创设情境,引导学生自主探究,通过启发、提问、讨论、点拨、演示、归纳,让学生想、学生做、学生说,在活动中,深化对夹角计算方法的认识.(教师用书独具)●教学建议1.通过提问、探索、讨论、归纳,让学生参与教学活动,调动学习积极性.2.渗透类比、分析、归纳的方法,加深学生对向量法的理解,培养学生探索能力.3.通过纯几何方法求空间角的“难”与向量法求空间角的“易”比较,加深对向量法的认识.●教学流程创设情境引入课题―→空间角的定义过程―→探究空间角与向量夹角的关系―→归纳空间角的向量求法―→通过例题与变式体验空间角的求法―→归纳总结形成整体认识图11.如图1,s1,s2分别是直线l1,l2的方向向量,则直线l1,l2的夹角θ与〈s1,s2〉有怎样的关系?【提示】θ=〈s1,s2〉.2.将图1改成图2呢?图2【提示】θ=π-〈s1,s2〉.直线间的夹角设直线l1与l2的方向向量分别为s1,s2.。

【2019最新】高中数学第二章空间向量与立体几何2-5夹角的计算导学案无答案

【2019最新】高中数学第二章空间向量与立体几何2-5夹角的计算导学案无答案

【2019最新】高中数学第二章空间向量与立体几何2-5夹角的计算导学案无答案学习目标:知识与技能 : 掌握空间向量的夹角公式及其简单应用; 学生学会选择恰当的方法求夹角. 过程与方法: 经历知识的发生、发展和形成过程,提高观察分析、类比转化的能力; 学生通过用向量法解决空间角的问题,提高数形结合能力和分析问题、解决问题的能力. 情感态度价值观: 提高学生的学习热情和求知欲,体现学生的主体地位; 感受和体会“学数学用数学”、“学会与会学”的关系.学习重点 : 空间向量夹角公式及其坐标表示;选择恰当方法求夹角.学习难点 : 两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别;构建恰当的空间直角坐标系,并正确求出点的坐标及向量的坐标.学习方法 以讲学稿为依托的探究式教学方法.学习过程一、课前预习指导:1.两条异面直线所成的角:当直线l 1、l 2是异面直线时,在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2,我们把l 1和直线AB 的夹角叫做异面直线l 1与l 2的夹角.已知l 1、l 2的方向向量分别为s 1、s 2,当0≤〈s 1,s 2〉≤π2时,l 1与l 2的夹角等于〈s 1,s 2〉; 当π2<〈s 1,s 2〉≤π时,l 1与l 2的夹角等于π-〈s 1,s 2〉. 2.直线和平面的夹角是指这条直线与它在这个平面内的 的夹角,其范围是 斜线与平面的夹角是这条直线与平面内的一切直线所成角中 的角.直线和平面所成的角可以通过直线的 与平面的 求得,若设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ,则有sin θ= .3. 如图所示,平面π1与π2相交于直线l ,点R 为直线l 上任意一点,过点R ,在平面π1上作直线l 1⊥l ,在平面π2上作直线l 2⊥l ,则l 1∩l 2=R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.当0≤〈n 1,n 2〉≤π2时,平面π1与π2的夹角等于〈n 1,n 2〉; 当π2<〈n 1,n 2〉≤π时,平面π1与π2的夹角等于π-〈n 1,n 2〉. 二、新课学习:问题探究一 线线夹角问题1 两直线夹角的范围是什么?问题2 怎样求两条异面直线所成的角?问题3 两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量的夹角有什么区别?讲解教材43页例1学后检测1:如图所示,三棱柱OAB—O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=3,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.问题探究二求直线和平面的夹角问题1 直线和平面的夹角的范围是什么?问题2 怎样利用向量求直线和平面所成的角?讲解教材45页例3,46页例4学后检测2如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(1)求证:PB⊥DM; (2)求BD与平面ADMN的夹角.问题探究三 求平面间的夹角问题 怎样利用向量法求两个平面间的夹角的大小?讲解教材44页例2学后检测3 如图,已知四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,且ABCD 为正方形,PA =AB =a ,点M 是PC 的中点.(1)求BP 与DM 所成的角的大小;(2)求平面MAD 与平面的ABCD 的夹角的大小.三、当堂检测:1.若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°,则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A .30°B .150°C .30°或150°D .以上均错2.已知向量m ,n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量,若cos 〈m ,n 〉=-12, 则l 与α所成的角为 ( )A .30°B .60°C .120°D .150°3.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 的夹角的正弦值为( ) A.24 B.23 C.63 D.324.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为______.四、课堂小结五、课后作业。

高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算教学案北师大版选修

高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算教学案北师大版选修

5 夹角的计算第一直线间的夹角、平面间的夹角[对应学生用书P34]山体滑坡是一种常见的自然灾害.甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度,甲站在水平地面上的A 处,乙站在山坡斜面上的B 处,从A ,B 两点到直线l (水平地面与山坡的交线)的距离AC 和BD 分别为30 m 和40 m ,CD 的长为60 m ,AB 的长为80 m.问题1:直线AC 和BD 的夹角范围是什么?向量AC 与向量BD 的夹角范围是什么?提示:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,[0,π].问题2:直线AC 与BD 的夹角与〈AC ,BD 〉有什么关系? 提示:当0≤〈AC ,BD 〉≤π2时,它们相等;当π2<〈AC ,BD 〉≤π时,直线AC 与BD 的夹角为π-〈AC ,BD 〉. 问题3:上图中水平地面与斜坡面的夹角α与〈CA ,DB 〉有什么关系?为什么? 提示:α=π-〈CA ,DB 〉,因为图中两平面夹角(即为直线BD 与CA 的夹角)为锐角,而〈CA ,DB 〉为钝角,所以α=π-〈CA ,DB 〉.问题4:若n 1,n 2分别为两个平面π1,π2的法向量,则π1与π2的夹角θ与〈n 1,n 2〉有什么关系?提示:当0≤〈n 1,n 2〉≤π2时,θ=〈n 1,n 2〉;当π2<〈n 1,n 2〉≤π时,θ=π-〈n 1,n 2〉.1.两直线的夹角当两条直线l 1与l 2共面时,把两条直线交角中,范围在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2内的角叫做两直线的夹角.2.异面直线l 1与l 2的夹角(1)定义:直线l 1与l 2是异面直线,在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2,则直线l 1和直线AB 的夹角叫作异面直线l 1与l 2的夹角.(2)计算:设直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1,s 2.当0≤〈s 1,s 2〉≤π2时,直线l 1与l 2的夹角等于〈s 1,s 2〉;当π2<〈s 1,s 2〉≤π时,直线l 1与l 2的夹角等于π-〈s 1,s 2〉. 3.平面间的夹角(1)定义:平面π1与π2相交于直线l ,点R 为直线l 上任意一点,过点R ,在平面π1上作直线l 1⊥l ,在平面π2上作直线l 2⊥l ,则直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.(2)计算:已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2,当0≤〈n 1,n 2〉≤π2时,平面π1和π2的夹角等于〈n 1,n 2〉;当π2<〈n 1,n 2〉≤π时,平面π1和π2的夹角等于π-〈n 1,n 2〉.1.求空间角时,要注意角的范围.(1)异面直线夹角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2;(2)两平面夹角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2. 2.求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解;也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解,但要注意其转化关系.[对应学生用书P35]求异面直线的夹角[例1]如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,AB =BC =a ,AD =2a ,且PA ⊥底面ABCD ,∠PDA =30°,AE ⊥PD ,E 为垂足.(1)求证:BE ⊥PD ;(2)求异面直线AE 与CD 夹角的余弦值.[思路点拨]要证明两直线垂直,或求两直线的夹角,只要适当地建立空间直角坐标系,求出两直线对应的方向向量,然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得.[精解详析]以A 为原点,AB ,AD ,AP 所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图,则A (0,0,0),B (a,0,0),C (a ,a,0),D (0,2a,0).又∵∠PDA =30°, ∴AP =AD ·tan 30°=2a ·33=233a , AE =AD ·sin 30°=2a ·12=a .过E 作EF ⊥AD ,垂足为F ,在Rt △AFE 中,AE =a ,∠EAF =60°,∴AF =a 2,EF =32a .∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,233a ,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12a ,32a .(1)证明:BE =⎝ ⎛⎭⎪⎫-a ,12a ,32a ,PD =⎝ ⎛⎭⎪⎫0,2a ,-233a ,∴BE ·PD =0+a 2-a 2=0.∴BE ⊥PD ,∴BE ⊥PD .(2)AE =⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12a ,32a ,CD =(-a ,a,0).则cos 〈AE ,CD 〉=AE ·CD | AE ||CD |=12a 22a ·a =24,即AE 与CD 的夹角的余弦值为24. [一点通]1.求两异面直线的夹角时,可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a ,b 的夹角〈a ,b 〉.但两异面直线的夹角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2,所以当〈a ,b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2,π时,两异面直线的夹角应为π-〈a ,b 〉.2.合理建立空间直角坐标系,可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算,也可选用基向量法进行求解.1.把正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,点E ,F 分别是AD ,BC 的中点,O 是正方形ABCD 的中心,则折起后,∠EOF 的大小为()A .60°B .90°C .120°D .150°解析:如图,建立空间直角坐标系,设正方形边长为2.则F ⎝⎛⎭⎪⎫22,22,0,E ⎝⎛⎭⎪⎫0,-22,22, ∴OF =⎝⎛⎭⎪⎫22,22,0,OE =⎝⎛⎭⎪⎫0,-22,22, ∴cos ∠EOF =cos 〈OF ,OE 〉 =0×22-22×22+0×2212+12× 12+12=-12,∴∠EOF =120°. 答案:C2.在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,求异面直线BA 1与AC 的夹角.解:法一:以A 点为坐标原点,建立直角坐标系如右图所示,设B (1,0,0),则C (1,1,0),A 1(0,0,1),∴AC =(1,1,0),1BA =(-1,0,1),∴cos 〈AC ,1BA 〉=AC ·1BA |AC |·|1BA |=1,1,0·-1,0,12×2=-12.∴〈AC ,1BA 〉=120°.故AC 与BA 1的夹角为60°. 法二∵1BA =BA +1BB ,AC =AB +BC , ∴1BA ·AC =(BA +1BB )·(AB +BC )=BA ·AB +BA ·BC +1BB ·AB +1BB ·BC . ∵AB ⊥BC ,BB 1⊥AB ,BB 1⊥BC ,∴BA ·BC =0,1BB ·AB =0,1BB ·BC =0,∴1BA ·AC =-a 2.又∵1BA AC =|1BA |·|AC |·cos〈1BA ,AC 〉, ∴cos 〈1BA ,AC 〉=-a22a ·2a =-12.∴〈1BA ,AC 〉=120°. 故异面直线BA 1与AC 的夹角为60°.3.如右图,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,∠PAD =60°,在四边形ABCD 中,∠ADC =∠DAB =90°,AB =4,CD =1,AD =2.(1)建立适当的坐标系,并写出点B ,P 的坐标; (2)求异面直线PA 与BC 夹角的余弦值. 解:(1)如右图建立空间直角坐标系,∵∠ADC =∠DAB =90°,AB =4,CD =1,AD =2, ∴A (2,0,0),C (0,1,0),B (2,4,0).在Rt △PAD 中,由AD =2,∠PAD =60°得PD =23, ∴P (0,0,23).(2)由(1)得PA =(2,0,-23),BC =(-2,-3,0),∴cos 〈PA ,BC 〉=PA ·BC|BA ||BC |=2×-2+0×-3+-23×0413=-1313.故异面直线PA 与BC 夹角的余弦值为1313.求两平面的夹角[例2]如图,PA ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,PA =AC =1,BC =2,求平面PAB 与平面PBC 的夹角的余弦值.[思路点拨]建立空间直角坐标系,利用法向量进行求解.[精解详析]如图建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (2,1,0),C (0,1,0),P (0,0,1),AP =(0,0,1),AB =(2,1,0),CB =(2,0,0),CP =(0,-1,1).设平面PAB 的法向量为m =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥AP ,m ⊥AB ,即⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP =0,m ·AB =0,∴⎩⎨⎧x ,y ,z ·0,0,1=0,x ,y ,z ·2,1,0=0.∴⎩⎨⎧y =-2x ,z =0.令x =1,得m =(1,-2,0),设平面PBC 的法向量为n =(x ′,y ′,z ′),则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥CB ,n ⊥CP ,即⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB =0,n ·CP =0,∴⎩⎨⎧x ′,y ′,z ′·2,0,0=0,x ′,y ′,z ′·0,-1,1=0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′=0,y ′=z ′.令y ′=1,∴n =(0,1,1). ∴cos 〈m ,n 〉=m·n |m||n|=-33.而平面PAB 与平面PBC 夹角∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2∴平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为33. [一点通]求两平面的夹角有两种方法:(1)定义法:在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线,这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角,但要注意其异同.(2)法向量法:分别求出两平面的法向量n 1,n 2,则两平面的夹角为〈n 1,n 2〉⎝ ⎛⎭⎪⎫当〈n 1,n 2〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时或π-〈n 1,n 2〉⎝ ⎛⎭⎪⎫当〈n 1,n 2〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2,π时.4.在底面是直角梯形的四棱锥S -ABCD 中,∠ABC =90°,SA ⊥面ABCD ,SA =AB =BC =1,AD =12,求平面SCD 与平面SBA 夹角的余弦值.解:建立如图所示空间直角坐标系,则A (0,0,0),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,0,C (1,1,0),S (0,0,1),平面SAB 的一个法向量是AD =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,0.设n =(x ,y ,z )是面SCD 的一个法向量,则n ⊥DC ,n ⊥DS ,即n ·DC =0,n ·DS =0.又DC =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,0,DS =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0,1, ∴12x +y =0,且-12x +z =0. ∴y =-12x ,且z =12x .∴n =⎝ ⎛⎭⎪⎫x ,-x 2,x 2,取x =1,得n =⎝⎛⎭⎪⎫1,-12,12.∴cos 〈AD ,n 〉=AD ·n| AD |·|n |=1212×1+14+14=63. ∴平面SCD 与平面SBA 夹角的余弦值为63. 5.(陕西高考)如图,四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形,O 为底面中心,A 1O ⊥平面ABCD ,AB =AA 1= 2.(1)证明:A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.解: (1)证明:法一:由题设易知OA ,OB ,OA 1两两垂直,以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.∵AB =AA 1=2, ∴OA =OB =OA 1=1,∴A (1,0,0),B (0,1,0),C (-1,0,0),D (0,-1,0),A 1(0,0,1).由1A B =AB ,易得B 1(-1,1,1).∵1A C =(-1,0,-1),BD =(0,-2,0),1BB =(-1,0,1), ∴1A C ·BD =0,1A C ·1BB =0, ∴A 1C ⊥BD ,A 1C ⊥BB 1, 又BB 1∩BD =B , ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .法二:∵A 1O ⊥平面ABCD ,∴A 1O ⊥BD . 又四边形ABCD 是正方形,∴BD ⊥AC ,∴BD ⊥平面A 1OC ,∴BD ⊥A 1C . 又OA 1是AC 的中垂线,∴A 1A =A 1C =2,且AC =2,∴AC 2=AA 21+A 1C 2, ∴△AA 1C 是直角三角形,∴AA 1⊥A 1C . 又BB 1∥AA 1,∴A 1C ⊥BB 1.又BB 1∩BD =B , ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量n =(x ,y ,z ). ∵OC =(-1,0,0),1OB =(-1,1,1),∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC =-x =0,n ·1OB =-x +y +z =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =-z .取n =(0,1,-1),由(1)知,1A C =(-1,0,-1)是平面BB 1D 1D 的法向量, ∴cos θ=|cos 〈n ,1A C 〉|=12×2=12. 又0≤θ≤π2,∴θ=π3.用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时,要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a ,b 的夹角及两平面的法向量n 1,n 2的夹角的关系:(1)当cos 〈a ,b 〉<0时,cos θ=-cos 〈a ,b 〉,当cos 〈a ,b 〉≥0时,cos θ=cos 〈a ,b 〉,即cos θ=|cos 〈a ,b 〉|. (2)当cos 〈n 1,n 2〉≥0时,cos φ=cos 〈n 1,n 2〉,当cos 〈n 1,n 2〉<0时,cos φ=-cos 〈n 1,n 2〉,即cos φ=|cos 〈a ,b 〉|.[对应跟踪训练十一]1.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,E ,F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心,则异面直线EF 和CD 的夹角是()A .60°B .45°C .30°D .90°解析:以D 为原点,分别以射线DA ,DC ,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,1,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,12,EF =⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,-12,DC =(0,1,0).所以cos 〈EF ,DC 〉=EF ·DC | EF |·|DC |=-22,所以〈EF ,DC 〉=135°, 所以异面直线EF 和CD 的夹角是45°. 答案:B2.(陕西高考)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,CA =CC 1=2CB ,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为()A.55 B.53C.255D.35解析:设CA =2,则C (0,0,0),A (2,0,0),B (0,0,1),C 1(0,2,0),B 1=(0,2,1),可得向量1AB =(-2,2,1),1BC =(0,2,-1),由向量的夹角公式得cos 〈1AB ,1BC 〉=-2×0+2×2+1×-10+4+1·4+4+1=15=55. 答案:A3.如图所示,已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点,且PA ⊥平面ABCD ,PA =AD =AC ,点F 为PC 中点,则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为()A.36B.34C.33D.233解析:设AC ∩BD =O ,连接OF ,以O 为原点,OB ,OC ,OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,设PA =AD =AC =1,则BD =3,∴B ⎝⎛⎭⎪⎫32,0,0,F ⎝⎛⎭⎪⎫0,0,12,C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0,12,0,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,0,0. ∴OC =⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,0,且OC 为平面BDF 的一个法向量. 由BC =⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12,0,FB =⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,-12可得平面BCF 的一个法向量n =(1,3,3).∴cos 〈n ,OC 〉=217,sin 〈n ,OC 〉=277. ∴tan 〈n ,OC 〉=233.答案:D4.P 是二面角α-AB -β棱上的一点,分别在α,β平面内引射线PM ,PN ,如果∠BPM =∠BPN =45°,∠MPN =60°,那么α与β的夹角大小为()A .60°B .70°C .80°D .90°解析:设PM =a ,PN =b ,作ME ⊥AB ,NF ⊥AB ,则因∠BPM =∠BPN =45°,故PE =a2,PF =b2.于是EM ·FN =(PM -PE )·(PN -PF )=PM ·PN -PM ·PF -PE ·PN+PE ·PF =ab cos 60°-a ·b2cos 45°-a 2·b cos 45°+a 2·b 2=ab 2-ab 2-ab2+ab2=0.因为EM ,FN 分别是α,β内的与棱AB 垂直的两条直线,所以EM 与FN 的夹角就是α与β的夹角.答案:D5.平面π1的一个法向量n 1=(1,2,-1),平面π2的一个法向量n 2=(2,-2,-2),则平面π1与π2夹角的正弦值为________.解析:n 1·n 2=2-4+2=0,∴n 1⊥n 2,∴〈n 1,n 2〉=π2,即α与β垂直,∴sin 〈n 1,n 2〉=1. 答案:16.如图,已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等,M 是侧棱CC 1的中点,则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________.解析:不妨设棱长为2,则1AB =1BB -BA ,BM =BC +121BB ,cos 〈1AB ,BM 〉=1BB -BA·BC +121BB 22·5=0-2+2+022·5=0.故AB 1与BM 的夹角为90°. 答案:90°7.如图,四边形ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,AF ∥DE ,DE =3AF ,BE 与平面ABCD 所成角为60°.求平面BEF 与平面BDE 的夹角的余弦值.解:因为DA ,DC ,DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标系,如图所示.因为BE 与平面ABCD 所成角为60°,即∠DBE =60°,所以ED DB= 3. 由AD =3可知DE =36,AF =6,则A (3,0,0),F (3,0,6),E (0,0,36),B (3,3,0),C (0,3,0).所以BF =(0,-3,6),EF =(3,0,-26).设平面BEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF =0,n ·EF =0.即⎩⎨⎧-3y +6z =0,3x -26z =0,令z =6,则n =(4,2,6).由题意知AC ⊥平面BDE , 所以CA 为平面BDE 的法向量,CA =(3,-3,0).所以cos 〈n ,CA 〉=n ·CA |n ||CA |=632×26=1313.故由题意知平面BEF 与平面BDE 的夹角的余弦值为1313. 8.如图,在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,AB ⊥AC ,AB =AC =2,A 1A =4,点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 的夹角的余弦值; (2)求平面ADC 1与平面ABA 1的夹角的正弦值.解:(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0),D (1,1,0),A 1(0,0,4),C 1(0,2,4),所以1A B =(2,0,-4),1C D =(1,-1,-4).因为cos 〈1A B ,1C D 〉=1A B ·1C D| 1A B ||1C D |=1820×18=31010,所以异面直线A 1B 与C 1D 的夹角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1=(x ,y ,z ),因为AD =(1,1,0),1AC =(0,2,4),所以n 1·AD =0,n 1·1AC =0,即x +y =0且y +2z =0,取z =1,得x =2,y =-2,所以n 1=(2,-2,1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面ABA 1的一个法向量为n 2=(0,1,0),设平面ADC 1与平面ABA 1的夹角的大小为θ.由|cos θ|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|=29×1=23,得sin θ=53.因此,平面ADC 1与平面ABA 1的夹角的正弦值为53.第二直线与平面的夹角[对应学生用书P37]在上节研究的山体滑坡问题中,A ,B 两点到直线l (水平地面与山坡的交线)的距离分别为AC 和BD ,直线BD 与地面ACD 的夹角为φ.问题1:φ与〈CA ,DB 〉有什么关系? 提示:φ=π-〈CA ,DB 〉.问题2:φ与〈BD ,n 〉有何关系?(n 为地面法向量)提示:φ=π2-〈BD ,n 〉或φ=〈BD ,n 〉-π2,即sin φ=|cos 〈BD ,n 〉|.直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角. (2)如果一条直线与一个平面垂直,这条直线与平面的夹角为π2.(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内,这条直线与平面的夹角为0. (4)设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,l 与α的夹角为θ,则, 当〈a ,n 〉≤π2时,θ=π2-〈a ,n 〉;当〈a ,n 〉>π2时,θ=〈a ,n 〉-π2.即sin 〈a ,n 〉=|cos 〈a ,n 〉|.(1)直线与平面夹角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2;(2)求直线与平面夹角θ时,可用定义求解;也可用直线的方向向量s 、平面的法向量n 的夹角进行求解,但要注意sin θ=|cos 〈s ,n 〉|.[对应学生用书P37]求直线与平面的夹角[例1](新课标全国卷Ⅰ)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60°.(1)证明:AB ⊥A 1C ;(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ,AB =CB ,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值. [思路点拔](1)先证明直线与平面垂直,再利用线面垂直的性质求证线线垂直;(2)建立空间直角坐标系,写出点与向量坐标,将线面角的大小用方向向量和法向量表示,但要注意线面角的范围.[精解详析](1)如图,取AB 的中点O ,连接OC ,OA 1,A 1B . 因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°,故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C 平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ,OA 1⊥AB ,又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ,交线为AB ,所以OC ⊥平面AA 1B 1B ,故OA ,OA 1,OC 两两相互垂直.以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴的正方向,|OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由题设知A (1,0,0),A 1(0,3,0),C (0,0,3),B (-1,0,0),则BC =(1,0,3),1BB =1AA =(-1,3,0),1A C =(0,-3,3). 设n =(x ,y ,z )是平面BB 1C 1C 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC =0,n ·1BB =0,即⎩⎪⎨⎪⎧x +3z =0,-x +3y =0.可取n =(3,1,-1), 故cos n ,1A C=n ·1A C|n ||1A C |=-105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值为105. [一点通]设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为u ,直线l 与平面α所成的角为θ,a 与u 的夹角为φ,则有sin θ=|cos φ|=|a ·u ||a ||u |或cos θ=sin φ,其中θ与φ满足:①当φ是锐角时,θ=π2-φ;②当φ为钝角时,则θ=φ-π2.1.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 81与平面ABCD 夹角的余弦值为() A.33 B.36 C.62D.63解析:如图所示建系,设正方体棱长为1,则A (1,0,0),C 1(0,1,1),C (0,1,0),而CC 1⊥面ABCD ,∴AC 1在底面ABCD 的射影为AC .又1AC =(-1,1,1),AC =(-1,1,0), ∴AC 1与平面ABCD 夹角的余弦值 cos θ=|cos 〈1AC ,AC 〉|=63. 答案:D2.如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1,则AC 1与平面BB 1C 1C 夹角的正弦值为________.解析:取B 1C 1中点O ,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB =BB 1=2,则A 1(-3,0,0),C 1(0,1,0),A (-3,0,2),O (0,0,0),1A O =(3,0,0),1A O 为面BB 1C 1C 的法向量,1AC =(3,1,-2),∴sin θ=|cos 〈1A O ,1AC 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1A O ·1AC |1A O ||1AC | =33·3+1+4=64.答案:64 3.已知三棱锥P -ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,PA =AC =12AB ,N为AB 上一点,AB =4AN ,M ,S 分别为PB ,BC 的中点.(1)证明:CM ⊥SN ;(2)求SN 与平面CMN 的夹角.解:设PA =1,以A 为原点,射线AB ,AC ,AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系如图.则P (0,0,1),C (0,1,0),B (2,0,0),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,0,12,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,0, S ⎝⎛⎭⎪⎫1,12,0. (1)证明:CM =⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-1,12,SN =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-12,0,因为CM ·SN =-12+12+0=0,所以CM ⊥SN .(2) NC =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,1,0,设a =(x ,y ,z )为平面CMN 的一个法向量,则a ·CM =0,a ·NC =0,即⎩⎪⎨⎪⎧x -y +12z =0,-12x +y =0.令x =2,得a =(2,1,-2).因为|cos 〈a ,SN 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-1-123×22=22,所以SN 与平面CMN 的夹角为45°.存在性问题[例2]如图,在三棱锥A -BCD 中,侧面ABD ,ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且AD =3,BD =CD =1.另一个侧面ABC 是等边三角形.点A 在底面BCD 上的射影为H .(1)以D 点为原点建立空间直角坐标系,并求A ,B ,C 的坐标; (2)求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值.(3)在线段AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD 的夹角为30°?若存在,确定点E 的位置;若不存在,说明理由.[思路点拨](1)建立坐标系,证明AD ·BC =0. (2)求两平面法向量的夹角.(3)先假设存在点E 满足条件,再建立关于点E 的坐标的方程,判断方程是否有符合题意的解,即可得出结论.[精解详析](1)由题意AB =AC =2,∴BC = 2. 则△BDC 为等腰直角三角形. 连接BH ,CH ,∴DB ⊥BH ,CH ⊥BH .∴四边形BHCD 为正方形,以DC 为y 轴,DB 为x 轴建立空间直角坐标系如图所示,则A (1,1,1),B (1,0,0),C (0,1,0).(2)设平面ABC 的法向量为n 1=(x ,y ,z ), 则由n 1⊥BC 知:n 1·BC =-x +y =0. 同理,由n 1⊥CA 知:n 1·CA =x +z =0. 可取n 1=(1,1,-1).同理,可求得平面ACD 的一个法向量为n 2=(1,0,-1). 则cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=1+0+13·2=63,即所求平面BAC 与平面DAC 的夹角的余弦值为63. (3)假设存在E 满足条件,设CE =x CA =(x,0,x )(0≤x ≤1),则DE =DC +CE =(0,1,0)+(x,0,x )=(x,1,x ),平面BCD 的一个法向量为n =(0,0,1),∵ED 与平面BCD 的夹角为30°, 由图可知DE 与n 的夹角为60°,所以cos 〈DE ,n 〉=DE ·n | DE ||n |=x 1+2x 2=cos60°=12. 则2x =1+2x 2,解得x =22,即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1,22, |AC |=2,|CE |=1.故线段AC 上存在点E (与C 的距离为1),使ED 与平面BCD 的夹角为30°. [一点通]解决存在性探究问题,一般先假设存在,然后进行推理计算,推出的结果若符合题意,则说明假设正确.若出现矛盾或得出相反的结论,则否定假设,说明不存在.4.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为棱BB 1的中点,在棱DD 1上是否存在点P ,使MD 与平面PAC 的夹角为90°?若存在,确定P点位置;若不存在,说明理由.解:如图,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),C (0,1,0),D (0,0,0),M ⎝⎛⎭⎪⎫1,1,12,假设存在P (0,0,x )(0≤x ≤1)满足条件,经检验,当x =0时不满足要求, 当0<x ≤1时,则PA =(1,0,-x ),AC =(-1,1,0),MD =(-1,-1,-12).设平面PAC 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1),则由⎩⎪⎨⎪⎧PA ·n =0, AC ·n =0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1-xz 1=0,-x 1+y 1=0.令x 1=1得y 1=1,z 1=1x, 即n =(1,1,1x).由题意MD ∥n ,由MD =⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-1,-12=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1,1,12=-n , 得x =2.又0<x ≤1,故不满足要求,综上所述,棱DD 1上不存在点P ,使MD 与平面PAC 的夹角为90°. 5.(北京高考)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB =3,BC =5.(1)求证:AA 1⊥平面ABC ;(2)求平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值; (3)证明:在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BDBC 1的值. 解:(1)证明:因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ,所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB .由题知AB =3,BC =5,AC =4,所以AB ⊥AC .如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A ­xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4).设平面A 1BC 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B =0,n ·11A C =0,即⎩⎪⎨⎪⎧3y -4z =0,4x =0.令z =3,则x =0,y =4,所以n =(0,4,3). 同理可得,平面B 1BC 1的法向量为m =(3,4,0).所以cos 〈 n ,m 〉=n ·m |n ||m |=1625.所以平面A 1BC 1与平面B 1BC 1的夹角的余弦值为1625.(3)证明:设D (x 1,y 1,z 1)是线段BC 1上一点,且BD =λ1BC . 所以(x 1,y 1-3,z 1)=λ(4,-3,4). 解得x 1=4λ,y 1=3-3λ,z 1=4λ. 所以AD =(4λ,3-3λ,4λ).由AD ·1A B =0,即9-25λ=0,解得λ=925.因为925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B . 此时,BD BC 1=λ=925.计算直线l 与平面α的夹角为θ. (1)利用法向量计算θ的步骤如下:(2)利用定义计算θ的步骤如下:[对应跟踪训练十二]1.已知直线l 的一个方向向量为a =(1,1,0),平面α的一个法向量为μ=(1,2,-2),则直线l 与平面α夹角的余弦值为()A.22 B .-22C .±22D.12解析:cos 〈a ,μ〉=a·μ|a||μ|=32·3=22,则直线l 与平面α的夹角θ的正弦值sin θ=|cos 〈a ,μ〉|=22,cos θ=22. 答案:A2.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为4的正方形,长方体的高为AA 1=3,则BC 1与对角面BB 1D 1D 夹角的正弦值等于()A.45 B.35 C.225D.325解析:建立如图所示的空间直角坐标系,∵底面是边长为4的正方形,AA 1=3,∴A 1(4,0,0),B (4,4,3),C 1(0,4,0).而面BB 1D 1D 的法向量为AC =11A C =(-4,4,0),∴BC 1与对角面BB 1D 1D 所成角的正弦值即为|cos 〈1BC ,11A C 〉|=|-4,0,-3·-4,4,0|42+32×42+42=165×42=225.答案:C3.如图所示,点P 是△ABC 所在平面外的一点,若PA ,PB ,PC 与平面α的夹角均相等,则点P 在平面α上的投影P ′是△ABC 的()A .内心B .外心C .重心D .垂心解析:由于PA ,PB ,PC 与平面α的夹角均相等,所以这三条由点P 出发的平面ABC 的斜线段相等,故它们在平面ABC 内的投影P ′A ,P ′B ,P ′C 也都相等,故点P ′是△ABC 的外心.答案:B4.(大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则CD 与平面BDC 1的夹角的正弦值等于()A.23B.33C.23D.13解析:法一:如图,连接AC ,交BD 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥BD .因为CC 1⊥平面ABCD ,所以CC 1⊥BD .又CC 1∩AC =C ,所以BD ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则BD ⊥CH .又BD ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面BDC 1,连接DH ,则DH 为CD 在平面BDC 1上的射影,所以∠CDH 为CD与平面BDC 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由等面积变换易求得CH =23.在Rt △CDH 中,sin ∠CDH =CH CD =23.法二:以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D (0,0,0),C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),则DC =(0,1,0),DB =(1,1,0),1DC =(0,1,2).设平面BDC 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ⊥DB ,n ⊥1DC ,所以有⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,y +2z =0,令y =-2,得平面BDC 1的一个法向量为n =(2,-2,1).设CD 与平面BDC 1的夹角为θ,则sin θ=|cos 〈n ,DC 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC |n ||DC |=23.答案:A5.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________. 解析:如图,以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A (1,0,0),B (1,1,0),C 1(0,1,1),易证1AC 是平面A 1BD 的一个法向量.1AC =(-1,1,1),1BC =(-1,0,1).cos 〈1AC ,1BC 〉=1+13×2=63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63. 答案:636.如图所示,已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等,D 是A 1C 1的中点,则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________.解析:不妨设正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则C (0,0,0),A (3,-1,0),B 1(3,1,2),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-12,2,则CD =(32,-12,2),1CB =(3,1,2), 设平面B 1DC 的法向量为n =(x ,y,1),由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD =0,n ·1CB =0,解得n =(-3,1,1). 又∵DA =⎝⎛⎭⎪⎫32,-12,-2,∴sin θ=|cos 〈DA ,n 〉|=45.答案:457.如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =2AA 1,点D 是A 1B 1的中点. 求直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值.解:如图所示,设O 是AC 的中点,以O 为原点建立空间直角坐标系.不妨设AA 1=2,则AB =2,相关各点的坐标分别是A (0,-1,0),B (3,0,0),C 1(0,1,2),D ⎝⎛⎭⎪⎫32,-12,2.易知AB =(3,1,0),1AC =(0,2,2),AD =⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12,2. 设平面ABC 1的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB =3x +y =0,n ·1AC =2y +2z =0,解得x =-33y ,z =-2y . 故可取n =(1,-3,6). 所以cos 〈n ,AD 〉=n ·AD|n ||AD |=2310×3=105.即直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值为105. 8.如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,侧棱AA 1⊥底面ABCD ,AB ∥DC ,AA 1=1,AB =3k ,AD =4k ,BC =5k ,DC =6k (k >0).(1)求证:CD ⊥平面ADD 1A 1;(2)若直线AA 1与平面AB 1C 夹角的正弦值为67,求k 的值.解:(1)证明:取CD 的中点E ,连接BE ,如图.∵AB ∥DE ,AB =DE =3k , ∴四边形ABED 为平行四边形, ∴BE ∥AD 且BE =AD =4k .在△BCE 中,∵BE =4k ,CE =3k ,BC =5k , ∴BE 2+CE 2=BC 2,∴∠BEC =90°,即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ,∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ,CD 平面ABCD , ∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD =A , ∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点,DA ,DC ,1DD 的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A (4k,0,0),C (0,6k,0),B 1(4k,3k,1),A 1(4k,0,1), ∴AC =(-4k,6k,0),1AB =(0,3k,1),1AA =(0,0,1). 设平面AB 1C 的法向量n =(x ,y ,z ),则由⎩⎪AC ·n =0,n =0,得⎩⎪⎨⎪⎧-4kx +6ky =0,3ky +z =0.取y =2,得n =(3,2,-6k ). 设AA 1与平面AB 1C 的夹角为θ,则sin θ=|cos n 〉|=1AA ·=6k 36k 2+13=67,解得k =1, 故所求k 的值为1.。

[推荐学习]2017_2018版高中数学第二章空间向量与立体几何5夹角的计算学案北师大版选修2_1

[推荐学习]2017_2018版高中数学第二章空间向量与立体几何5夹角的计算学案北师大版选修2_1

5 夹角的计算学习目标 1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.知识点一 直线间的夹角思考1 设a ,b 分别是空间两条直线l 1,l 2的方向向量,则l 1与l 2的夹角大小一定为〈a ,b 〉吗?思考2 当两条直线平行时,它们的夹角是多少?梳理 (1)共面直线的夹角当两条直线l 1与l 2共面时,我们把两条直线交角中,范围在[0,π2]内的角叫作两直线的夹角,如图所示,当两条直线垂直时,夹角为__________.(2)异面直线的夹角当直线l 1与l 2是异面直线时,在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2,我们把直线l 1和直线AB 的夹角叫作异面直线l 1与l 2的夹角,如图所示.两条异面直线的夹角的范围为________,当夹角为π2时,称这两条直线异面______.综上,空间两条直线的夹角的范围是____________. (3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1,s 2.当0≤〈s 1,s 2〉≤π2时,直线l 1与l 2的夹角等于____________;当π2<〈s 1,s 2〉≤π时,直线l 1与l 2的夹角等于____________. 知识点二 平面间的夹角思考 若平面π1与平面π2平行,则它们的夹角是多少?梳理 (1)平面间夹角的概念如图,平面π1与π2相交于直线l ,点R 为直线l 上任意一点,过点R ,在平面π1上作直线l 1⊥l ,在平面π2上作直线l 2⊥l ,则l 1∩l 2=R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.由平面间夹角的概念可知,空间中两个平面的夹角的范围是____________.当夹角等于0时,两个平面______;当夹角等于π2时,两个平面互相______.(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系 空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定. 已知平面π1与π2的法向量分别为n 1与n 2.当0≤〈n 1,n 2〉≤π2时,平面π1与π2的夹角等于__________________;当π2<〈n 1,n 2〉≤π时,平面π1与π2的夹角等于__________________.事实上,设平面π1与平面π2的夹角为θ,则cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|. 知识点三 直线与平面的夹角思考 若直线l 与平面的夹角是0,则直线l 与平面是否一定平行?梳理 (1)直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角,如图所示.(2)直线与平面夹角的范围如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角是____. 如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角是____________. 由此可得,直线与平面夹角的范围是____________. (3)利用向量计算直线与平面夹角的方法空间中,直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定. 设平面α的法向量为n ,直线l 的方向向量为a ,直线l 与平面α所成的角为θ. 当0≤〈n ,a 〉≤π2时,θ=__________________;当π2<〈n ,a 〉≤π时,θ=__________________. 即sin θ=|cos 〈n ,a 〉|.类型一 直线间的夹角求解例1 已知直线l 1的一个方向向量为s 1=(1,0,1),直线l 2的一个方向向量为s 2=(-1,2,-2),求直线l 1和直线l 2夹角的余弦值.反思与感悟 利用直线的方向向量求两条直线的夹角时,要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系.因为两条直线的方向向量的夹角的范围是[0,π],而两条直线的夹角的范围是[0,π2],所以这两者不一定相等,还可能互补.由于任意两条直线的夹角θ∈[0,π2],所以直线l 1和直线l 2夹角的余弦值等于|cos 〈s 1,s 2〉|.跟踪训练1 如图所示,在三棱柱OAB -O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,∠O 1OB =60°,∠AOB =90°,且OB =OO 1=2,OA =3,求异面直线A 1B 与AO 1夹角的余弦值.类型二 求平面间的夹角例2 如图,已知ABCD 为直角梯形,∠DAB =∠ABC =90°,SA ⊥平面ABCD ,SA =AB =BC =1,AD =12.求平面SAB 与平面SCD 的夹角的余弦值.反思与感悟 利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)分别求出两平面的法向量; (3)求出两个法向量的夹角; (4)确定平面间夹角的大小.跟踪训练2 如图,在四棱锥S -ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB ∥DC ,AD ⊥DC ,AB =AD =1,DC =SD =2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC .(1)证明:SE =2EB ;(2)求平面ADE 与平面CDE 夹角的大小.类型三直线与平面的夹角例3 已知直线l的一个方向向量为s=(1,0,0),平面π的一个法向量为n=(2,1,1),求直线与平面夹角的正弦值.反思与感悟注意公式sin θ=|cos〈n,a〉|中,是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值,不要记错.跟踪训练3 如图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.1.在两个平面内,与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这两个平面夹角的余弦值为( )A.156B.-153C.153D.156或-1562.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1的夹角的正弦值是( )A.23B.33C.23D.133.在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD的夹角大小为________.4.已知直线l1的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线l2的一个方向向量为b=(3,-2,0),则两条直线夹角的余弦值为________.5.已知平面π1的一个法向量为n1=(1,-1,3),平面π2的一个法向量为n2=(-1,0,-1),求这两个平面夹角的余弦值.用坐标法求异面直线的夹角的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标;(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角;(4)结合异面直线夹角的范围得到异面直线的夹角.提醒:完成作业第二章§5答案精析问题导学 知识点一思考1 不一定.若l 1,l 2的方向向量的夹角为[0,π2]内的角时,l 1与l 2的夹角为〈a ,b 〉,否则为π-〈a ,b 〉. 思考2 0.梳理 (1)π2 (2)(0,π2] 垂直[0,π2] (3) 〈s 1,s 2〉 π-〈s 1,s 2〉知识点二 思考 0.梳理 (1)[0,π2] 重合 垂直(2)〈n 1,n 2〉 π-〈n 1,n 2〉 知识点三 思考 不一定. 梳理 (2)0π2 [0,π2] (3)π2-〈n ,a 〉 〈n ,a 〉-π2题型探究例1 解 ∵s 1=(1,0,1),s 2=(-1,2,-2),∴cos〈s 1,s 2〉=s 1·s 2|s 1||s 2|=-1-22×9=-22<0,∴〈s 1,s 2〉>90°,∴直线l 1与直线l 2的夹角为π-〈s 1,s 2〉, ∴直线l 1与直线l 2夹角的余弦值为22. 跟踪训练1 解 建立如图所示的空间直角坐标系,则O (0,0,0),O 1(0,1,3),A (3,0,0),A 1(3,1,3),B (0,2,0),∴A 1B →=(-3,1,-3),O 1A →=(3,-1,-3).∴|cos〈A 1B →,O 1A →〉| =|A 1B →·O 1A →||A 1B →||O 1A →|=-3,1,-33,-1,-37·7=17. ∴异面直线A 1B 与AO 1夹角的余弦值为17.例2 解 如图,以A 为坐标原点,分别以AD ,AB ,AS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则S (0,0,1),D (12,0,0),C (1,1,0),B (0,1,0),∴SD →=(12,0,-1),SC →=(1,1,-1).设平面SCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·SD →=0,n ·SC →=0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧12x -z =0,x +y -z =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =2z ,y =-z ,令z =1,得n =(2,-1,1).易得BC →是平面SAB 的一个法向量,且BC →=(1,0,0), ∴cos〈BC →,n 〉=BC →·n |BC →||n |=63.设平面SAB 与平面SCD 的夹角为θ,则cos θ=63. 跟踪训练2 (1)证明 以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,2,0),S (0,0,2),∴SC →=(0,2,-2),BC →=(-1,1,0), DC →=(0,2,0).设平面SBC 的一个法向量为m =(a ,b ,c ).由m ⊥SC →,m ⊥BC →,得⎩⎪⎨⎪⎧m ·SC →=0,m ·BC →=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧2b -2c =0,-a +b =0,令b =1,则m =(1,1,1).又设SE →=λEB →(λ>0),则E (λ1+λ,λ1+λ,21+λ),∴DE →=(λ1+λ,λ1+λ,21+λ).设平面EDC 的一个法向量为n =(x ,y ,z ). 由n ⊥DE →,n ⊥DC →,得⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →=0,n ·DC →=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧λx 1+λ+λy 1+λ+2z 1+λ=0,2y =0,令x =2,则n =(2,0,-λ). 由平面EDC ⊥平面SBC ,得m ⊥n , ∴m ·n =0,∴2-λ=0,即λ=2, ∴SE =2EB .(2)解 由(1),知E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,23,23, ∴DE →=(23,23,23),EC →=(-23,43,-23),∴EC →·DE →=0,∴EC ⊥DE .取线段DE 的中点F ,则F (13,13,13),∴FA →=(23,-13,-13),∴FA →·DE →=0,∴FA ⊥DE .∴向量FA →与EC →的夹角或其补角等于平面ADE 与平面CDE 的夹角. 计算得cos 〈FA →,EC →〉=FA →·EC →|FA →||EC →|=-12,故平面ADE 与平面CDE 夹角的大小为60°. 例3 解 ∵cos〈s ,n 〉=s ·n |s||n |=21×6=63>0,∴〈s ,n 〉<π2, ∴直线l 与平面π的夹角θ=π2-〈s ,n 〉,∴sin θ=sin(π2-〈s ,n 〉)=cos 〈s ,n 〉=63.即直线与平面夹角的正弦值为63. 跟踪训练3 解 由题设条件知,以点A 为坐标原点,分别以AD ,AB ,AS 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系(如图所示).设AB =1,则A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,0,S (0,0,1). ∴AS →=(0,0,1),CS →=(-1,-1,1).显然AS →是底面的法向量,它与已知向量CS →的夹角为β=90°-θ,生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持 故有sin θ=cos β=AS →·CS →|AS →||CS →|=11×3=33, ∵θ∈[0°,90°], ∴cos θ=1-sin 2θ=63. 当堂训练 1.A 2.A 3.30° 4.578785.解 ∵n 1=(1,-1,3),n 2=(-1,0,-1),∴cos〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1||n 2|=-1-311×2=-22211<0. 故这两个平面夹角的余弦值为|cos 〈n 1,n 2〉|=22211.。

高中数学 夹角的计算参考学案 北师大版选修21

高中数学 夹角的计算参考学案 北师大版选修21

2.5 夹角的计算 导学案一、学法指导本小节主要包括三个部分的知识:直线间的夹角;平面间的夹角;直线与平面间的夹角.在学习时要注意的问题有:(1)直线间的夹角:直线间夹角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)求平面间的夹角时求平面的法向量是解题的关键.(3)求直线与平面间的夹角时用的是直线的方向向量和平面的法向量所成的夹角,此角与直线和平面所成角互余. 用向量作工具来研究空间的夹角问题时,重要的是明确直线的方向向量、平面的法向量以及它们之间的关系. 二、知识精要知识点1: 直线间的夹角 1.两直线的夹角当两条直线1l 与2l 共面时,我们把两条直线交角中,范围在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的角叫做两直线的夹角 2. 异面直线的夹角:当两条直线1l 与2l 是异面直线时,在直线1l 上任取一点A 作AB∥2l ,我们把直线1l 和直线AB 的夹角叫做异面直线1l 与2l 的夹角3.(重点)空间两直线的夹角与它们方向向量的夹角的关系:已知直线1l 与2l 的方向向量分别为1s u r, 2s r ,当0<12,s s r r <2π时,直线1l 与2l 的夹角等于12,s s r r ;当2π<12,s s r rπ≤时,直线1l 与2l 的夹角等于π-12,s s r r.注:确定直线的方向向量是解决两直线夹角的关键. 知识点2 (重难点) 平面间的夹角 1. 平面间的夹角:在两个平面所成的二面角的平面角中,称范围在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的角为这两个平面的夹角. 注:平面间的夹角与平面的二面角不是同一概念. 2. (重点)求两平面间的二面角的向量求法方法一:在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量,则这两个向量所成的角或其补角即为所求的二面角的大小;注:要特别关注两个向量的方向方法二:设1n u r ,2n u u r 分别是两个面的法向量,则向量1n u r 与2n u u r的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小.注:通过向量法求出二面角有利于求两平面的夹角. 3. (难点)两平面的夹角与两平面法向量所成的角的关系.平面1π和2π的法向量为1n u r 和2n u u r,θ为两个平面所成二面角的平面角,θ与12,n n u r u u r 的关系: (1) 当0≤12,n n u r u u r ≤2π时,θ=12,n n u r u u r ;(2) (2)当2π<12,n n u r u ur ≤π时,θ=π-12,n n u r u u r知识点3 (重难点) 直线与平面间的夹角. 1.直线与平面的夹角平面外一条直线与他在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角. 注:直线与平面间的夹角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2直线与平面的夹角的计算方法(1) 在平面内作出直线的投影,找到直线与平面的夹角,通过解三角形求出. (2) 利用直线的方向向量和平面的法向量所成的角求直线与平面的夹角. 3. (难点)直线的方向向量与平面的法向量的夹角与平面间的夹角的关系:一直线的方向向量为s r ,一平面的法向量为n r ,则此直线与该平面的夹角θ与,s n r r的关系为θ=,2s n π-r r .三、知识深化知识点1: 直线间的夹角两直线的夹角是指两条直线相交构成的四个角中不超过2π的角,由于异面直线既不相交也不平行,因此通过平移的方式使两异面直线相交然后定义其夹角,故空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定。

北师大版高中数学选修2-1导学案设计:2.5.1直线间的夹角(无答案)

北师大版高中数学选修2-1导学案设计:2.5.1直线间的夹角(无答案)

§5.1直线间的夹角主备: 审核: 班级: 小组: 学生姓名: 【学习目标】1.理解共面直线与异面直线夹角的概念及夹角的范围;2.会用直线的方向向量求两直线的夹角.【学习重点】用直线的方向向量求两直线的夹角.【学习难点】两直线方向向量的夹角与两直线夹角的关系. 【自主预习】 (一)旧知回顾用向量法证明垂直与平行问题的本质(1)空间两条直线平行的本质是 ; (2)空间直线与平面平行的本质是 ; (3)空间两个平面平行的本质是 ; (4)空间两条直线垂直的本质是 ; (5)空间直线与平面垂直的本质是 ; (6)空间两个平面垂直的本质是 . (二)自主探究1. (1)空间两直线的位置关系有: 、 、 . (2)若直线l 1与l 2平行,l 1与l 2所成角是 . (3)若直线l 1⊥l 2,l 1与l 2所成角是 . (4)若直线l 1∩l 2=A ,构成四个角∠1=∠3=030,∠2=∠4=0150,则直线l 1与l 2所成角是 .(5)若直线l 1与l 2异面,在图中做出直线l 1与l 2所成角(6)两直线夹角的范围是 .1 23l 2 4l 1 A2. (1)当两条直线l 1与l 2共面时,我们把 叫做两直线的夹角.(2)当两条直线l 1与l 2共面时, 叫做两异面直线l 1与l 2的夹角.3.在△ABC 中,∠A=120゜,∠B=30゜. (1)向量BA 与BC 的夹角为 ;向量与的夹角为 ;直线AB 与BC 的夹角是 . (2)向量与的夹角为 ;向量与的夹角为 .直线AB 与AC 的夹角是 . (3)已知直线l 1与l 2的方向向量分别为→1S ,→2S , 则<→1S ,→2S >与l 1,l 2的夹角有什么关系?4.已知直线l 1与l 2的方向向量分别为→1S ,→2S ,设直线l 1与l 2的夹角为θ.θcos = = . []0090,0∈θ 【合作探究】 探究活动一例1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,试用向量法求异面直线的夹角. (1)D 1B 1与AC 的夹角; (2)A 1D 与AC 的夹角.C120 030 0BAC 1B 1D 1 A 1 CBDBCDSAE探究活动二例2.已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高都为2,AB=4,求异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值.例3. 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,求AE, SD 所成的角的余弦值.【达标测评】1. 已知直线l 1的方向向量为)1,1,1(1-=→S ,直线l 2的方向向量为)0,2,1(2-=→S . 求两条直线夹角的余弦值.【作业】课本P 47 习题 1,5题1.5.(选做)如图,已知点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上,∠PDA=60°,求DP 与CC 1所成角的大小.EB 'C 'D 'B C DA A'。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2.5夹角的计算
学习目标:
知识与技能 : 掌握空间向量的夹角公式及其简单应用; 学生学会选择恰当的方法求夹角. 过程与方法: 经历知识的发生、发展和形成过程,提高观察分析、类比转化的能力; 学生通过用向量法解决空间角的问题,提高数形结合能力和分析问题、解决问题的能力. 情感态度价值观: 提高学生的学习热情和求知欲,体现学生的主体地位; 感受和体会“学数学用数学”、“学会与会学”的关系.
学习重点 : 空间向量夹角公式及其坐标表示;选择恰当方法求夹角.
学习难点 : 两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别;构建恰当的空间直角
坐标系,并正确求出点的坐标及向量的坐标.
学习方法 以讲学稿为依托的探究式教学方法.
学习过程
一、课前预习指导:
1.两条异面直线所成的角:当直线l 1、l 2是异面直线时,在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2,我们把l 1和直线AB 的夹角叫做异面直线l 1与l 2的夹角.
已知l 1、l 2的方向向量分别为s 1、s 2,当0≤〈s 1,s 2〉≤π2
时,l 1与l 2的夹角等于〈s 1,s 2〉; 当π2
<〈s 1,s 2〉≤π时,l 1与l 2的夹角等于π-〈s 1,s 2〉. 2.直线和平面的夹角是指这条直线与它在这个平面内的 的夹角,其范围是 斜线与平面的夹角是这条直线与平面内的一切直线所成角中 的角.直线和平面所成的角可以通过直线的 与平面的 求得,若设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ,则有sin θ= .
3. 如图所示,平面π1与π2相交于直线l ,
点R 为直线l 上任意一点,
过点R ,在平面π1上作直线l 1⊥l ,
在平面π2上作直线l 2⊥l ,则l 1∩l 2=R .我们把直
线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.
已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.
当0≤〈n 1,n 2〉≤π2
时,平面π1与π2的夹角等于〈n 1,n 2〉; 当π2
<〈n 1,n 2〉≤π时,平面π1与π2的夹角等于π-〈n 1,n 2〉. 二、新课学习:
问题探究一 线线夹角
问题1 两直线夹角的范围是什么?
问题2 怎样求两条异面直线所成的角?
问题3 两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量的夹角有什么区别?
讲解教材43页例1
学后检测1:如图所示,三棱柱OAB—O1A1B1中,
平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,
且OB=OO1=2,OA=3,
求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.
问题探究二求直线和平面的夹角
问题1 直线和平面的夹角的范围是什么?
问题2 怎样利用向量求直线和平面所成的角?
讲解教材45页例3,46页例4
学后检测2如图所示,在四棱锥P—ABCD中,
底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,
且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
(1)求证:PB⊥DM; (2)求BD与平面ADMN的夹角.
问题探究三求平面间的夹角
问题 怎样利用向量法求两个平面间的夹角的大小?
讲解教材44页例2
学后检测3 如图,已知四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,且ABCD 为正方
形,PA =AB =a ,点M 是PC 的中点.
(1)求BP 与DM 所成的角的大小;
(2)求平面MAD 与平面的ABCD 的夹角的大小.
三、当堂检测:
1.若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°,则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )
A .30°
B .150°
C .30°或150°
D .以上均错
2.已知向量m ,n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量,若cos 〈m ,n 〉=-12
, 则l 与α所成的角为 ( )
A .30°
B .60°
C .120°
D .150°
3.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 的夹角的正弦值为( ) A.24 B.23 C.63 D.32
4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为______.
四、课堂小结
五、课后作业。

相关文档
最新文档