振动理论基础
振动理论08(2)-分析力学基础
利用广义坐标来描述系统的运动
基于物理坐标的能量原理只能提供一个方程
首先讨论动能和势能
概念 与广义坐标及其导数之间的关系 动能、势能和功之间的本质联系
拉格朗日方程 哈密尔顿原理
2
动能
对于 个自由度系统，可以用广义坐标 和时间 来描 述它的运动，即系统中任意一点 的位置用坐标矢量 表示为
上式对时间求导，则速度可以表示为
速点的动能 系统的总动能
考虑到速度与广义速度的如下关系
动能将是广义速度的零次、一次、二次函数
4
考虑定常约束情况（坐标不显含时间t） 速度的点积
5
把速度的点积代入动能表达式 交换求和次序
6
• 引入广义质量系数
具有对称性，
当 包含刚体位移时， 不为零时也会出现U等于零的 情况，因此U为半正定二次型，其系数矩阵 也是半正 定的
19
动力学普遍方程
利用D ‘Alembert原理，将虚位移原理推广到动力学问 题
D ‘Alembert原理
在质点系运动的任意瞬时，作用于各质点的外力与虚加于 各质点的惯性力组成一平衡力系，这些力的矢量和等于零 ，对任意点的力矩矢量和等于零
11
对比用广义力表示的虚位移原理
可以得到 系统在有势场仅有有势力作为主动力时，系统平衡的
条件是势能取驻值
12
例：重力场
当质量 的质点在重力场中运动时，在任意位置都受 到大小和方向都确定的重力 的作用
重力场内沿任意闭路重力所做功之和等于零
13
例：重力场
重力所做功的负值定义为A点的势能 广义力
主动力 反力
惯性力
20
动力学普遍方程（续）
振动的基础知识
频率
频率f是物体每秒钟振动循环的次数，单位是 赫兹[Hz]。 频率是一种振动特性，是分析振动故障原因 的主要依据。机器发生故障，一般只是某个 或某些部件出了故障并产生异常振动，异常 振动的频率是由此故障自身机理特性所决定 的，也就是说故障与频率存在着对应关系， 即“问题严重程度看振幅，什么问题看频 率”。
FFT
时间域 IFFT 频率域
之间的相位差，单位是度°。(也是就是转频分量从键相信 号起到振动最高峰值之间的时间计算值) （正峰值计算法：第一个正峰值与固定参考点的角位置）无 论采取何种相位取值方法，基频信号的相位都是值落后角度。 是振动在时间先后关系上或空间位置关系上相互差异的标志。 确定相位标记 在工程上指转轴上所做的键相谱（光电标）位置。 相位主要用于比较不同振动运动之间的关系（时间差及方位 差），或确定一个部件相对于另一个部件的振动状况，在区 别相同故障频率的不同故障类型时（特别是不平衡）往往起 关键作用。
速度振幅反映了分析频段内时间历程的振动能量即 振动烈度 振动烈度是描述机器振动状态的特征量。 通常在各个测量位置的水平、垂直和轴向上都进行 测量，得到一组不同的振幅值，所测的宽带最大振 幅值定义为振动烈度。 由于振动烈度可参照振动标准，评价机器振动状态 优劣；因此，在机器壳体上测量振动时要求在靠近 轴承位置处的三个方向上都进行测量，最后取最大 值作为振动烈度。
机械的支承分类
测量方向上，机器-基础组合分为柔性支承和 刚性支承。 柔性支承：系统自振转速低于工作转速。 刚性支承：系统自振转速高于工作转速。 对应基础组合系统的自振转速都有180°的相 位变化。 其中刚性基础不能承受系统的剪切力；柔性 基础能承受系统的剪切力
谢谢大家
牛顿摆原理的现实应用
牛顿摆原理的现实应用1. 简介牛顿摆是由英国科学家艾萨克·牛顿于1666年发明的，是一种通过重力和摆动力来保持恒定期的简单机械装置。
牛顿摆原理通过摆动力的传递，实现了能量的转化和传递。
这个原理在现实生活中被广泛应用于多个领域，如物理学、工程学和运动学等。
2. 物理学应用•天体物理学：牛顿摆原理在天体物理学中有重要的应用。
通过天体的运动规律，如行星绕恒星运动等，科学家可以使用牛顿摆原理解释这些运动。
这有助于人们更好地理解宇宙的结构和运动规律。
•振动理论：牛顿摆原理是振动理论的基础。
通过研究牛顿摆的运动规律，可以推导出振动系统的特性，如频率、振幅和相位等。
这对于理解振动现象以及设计和控制振动系统具有重要意义。
3. 工程学应用•钟摆：钟摆就是一个应用了牛顿摆原理的典型例子。
通过调节钟摆杆的长度和重物的质量，可以实现钟摆的稳定运动。
钟摆的应用广泛，如钟表、摆钟和落体钟等。
•摩擦力研究：牛顿摆原理在研究摩擦力中也有应用。
通过研究摆锤在不同摩擦系数下的摆动规律，可以对摩擦力进行量化和测试。
这对于工程学中摩擦力的研究和应用有重要意义。
4. 运动学应用•力学研究：牛顿摆原理是力学研究中的基础。
通过研究摆动物体的运动规律，可以分析物体受力情况和作运动的加速度。
这有助于人们更好地理解和应用物体运动的原理。
•自由摆：自由摆是应用了牛顿摆原理的特殊摆。
它的摆动规律与摆长有关，通过调整摆长可以改变自由摆的摆动周期。
自由摆的应用广泛，如钟摆、车床等。
5. 总结牛顿摆原理是一种能量转化和传递的原理，广泛应用于物理学、工程学和运动学等领域。
在物理学中，牛顿摆原理帮助我们更好地理解天体的运动和振动系统的特性。
在工程学中，该原理被应用于钟摆和摩擦力的研究。
在运动学中，牛顿摆原理用于力学研究和自由摆的分析。
牛顿摆原理的现实应用不仅帮助我们更好地理解自然界的规律，还为工程和科学技术的发展提供了重要的基础。
振动试验理论基础与方法培训
申 奥
2.1.3 电动振动台原理 励磁线圈如图示 2-2 在振动台台体内建立磁场，励磁线圈与直流电源相连，在环行气隙里产生一个高磁
通量。动圈部件，包括台面、骨架和驱动线圈，悬挂在振动台的环行气隙里，当交流电流通过驱动线圈时， 电磁力会在驱动线圈的绕组上产生，使得台面产生向上和向下的往复移动，如图示 2-2 中双向箭头处显示。 台面的移动量取决于振动控制器输出的驱动信号的大小和频率以及扩展台面（如果有的话）的质量、所加的 负载质量和台面悬挂系统的刚度。
根据输出信号不同，分为常规电荷压电和 ICP 压电传感器。
奥 b 压阻式加速度传感器，自发式传感器，其电阻的变化与所承受的机械应力成正比。
c 变电容式加速度传感器，其电容的变化与所承受的机械应力成正比。 （3）按功能分：控制传感器、监测传感器。
测 2.2.3 结构 加速度传感器通常由质量块、阻尼器、弹性元件（弹簧）、敏感元件和适调电路等部分组成，在加速过 程中，通过测量质量块所受的惯性力，利用牛顿第二定律获得加速度。
3.8 响应监测与分析 3.8.1 频率响应分析 系统在外激振作用下发生振动响应，通过采集反馈的振动输出信号，分析各振动参量在频率域的响应信号， 包括加速度频响、速度频响、位移频响。
3.8.2 共振分析 （1）目的：分析在测试振动频率范围，夹具或试样是否发生共振，及固有频率。
振动控制理论及其在工程中的应用
振动控制理论及其在工程中的应用一、引言振动是指由于突然的力量或者频繁的震动导致的物体固有运动。
在实际工程中，振动问题是不可避免的，因此如何有效控制振动成为研究和实践工程的关键问题之一。
振动控制理论作为一门分支学科，已成为日益成熟和重要的领域，它的优化成果和空间变形研究对实际工程问题的解决，具有重要的支撑和指导价值。
二、振动控制理论的概念及其理论基础1、概念振动控制是指以控制理论和控制方法尽量抑制或减小系统振动或使系统保持平衡的控制制度。
2、理论基础振动控制理论本质上是一个多学科的领域，其研究对象包括力学、结构动力学、材料科学、信号处理、数学和控制学等，它综合了这些学科的方法和手段。
因此，振动控制理论的理论基础涵盖了多个学科理论的相关基础，包括控制论、信号处理、机械振动、结构动力学和材料科学中的材料设计理论等。
三、常见的振动控制方法及其应用1、有源振动控制有源振动控制采用控制器来实现力或位移等控制方式，其最大优点是能够通过系统控制实现精确的抑制和减振。
该方法由于其对环境噪声来源有较强的抑制力，因此在某些飞机、汽车、电子设备和地铁等运输工具的控制系统中被广泛应用。
2、无源振动控制无源振动控制是采用材料或结构的特殊设计，通过双层材料或结构的选择、合理的材料叠层方式、结构变形和局部加强等来实现抑制和减振控制。
该方法的优点是控制代价小，控制方式简单，因此在一些无源振动控制设备中得到广泛应用。
3、混合振动控制混合振动控制是将有源振动控制和无源振动控制相结合，以充分利用有源振动控制和无源振动控制的优点，来实现系统的抑制和减振。
该方法应用在飞机、汽车和高铁等控制系统中，具有较好的效果。
四、振动控制的应用示例振动控制的应用以自然灾害和工程领域应用较为广泛。
自然灾害领域，地震的不可预报性和突发性，使地震响应控制成为重要技术。
在工程领域中，如大型建筑、桥梁、塔等建筑结构和机械系统振动等，均需要利用振动控制技术来维护其安全稳定运行。
振动理论基础及激励源分析
(3-13)
例 3-3 图 3-8 所示凸轮-从动杆机构利用一个轴的旋转运动实现阀的往复运动。从动杆系统 由质量为 m p 的推杆、质量和绕质心转动惯量分别为 mr 、 J r 的摇臂、质量为 mv 的阀门和不 计质量的阀门弹簧组成。求该机构在位置 A 点和 C 点的等效质量。
图 3-8
凸轮-从动杆系统
图 3-7 平动和转动多质量系统
（3-8）
1 1 1 1 m a2 1 1 2m (2a)2 2 2 T m1 x12 m2 x2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 3
假设 xe x1 ，且 x1 a ， x2 2 a ，则
(3-9)
1 1 T m1 xe2 2m2 xe2 m3 xe2 2 2
（1） 如果假设等效质量的位置在 A 点，则其速度为 xeq x p ，动能表达式为
(3-14)
1 2 Teq meq xeq 2
5
(3-15)
令 T 与 Teq 相等，并注意到下列关系：
x p x ， xv l2 l1 x ， xr l3 l1 x ，
得
r x l1
(3-16)
F F F ( x* ) dF dx (x)
x*
（3-24）
注意到弹簧 F F ( x* ) ， F 可以写成如下的形式：
F k x
dF 显然，等效线性弹簧常数为 k dx
（3-25）
x*
为了简单，可以利用式（3-25） ，但有时由于这种近似带来的误差可能比较大。 像梁这样的弹性元件其作用也相当于弹簧。例如，如图 3-4 所示端部有集中质量 m 的 悬臂梁，为了简单，可以假设梁的质量相对于集中质量 m 可以忽略不计。根据材料力学的 结果，梁在自由端的静变形为
第七章 振动理论基础
ω < 1.25 的范围内时，振动仍然 实践证明，频率比在 0.75 < 实践证明， 的范围内时， ω0
很强烈，工程上把这一区域称为共振区。 很强烈，工程上把这一区域称为共振区。共振往往是机器或其 共振区 零件产生破坏的重要原因。因此，在设计和使用机器时， 零件产生破坏的重要原因。因此，在设计和使用机器时，必须 使其转速避开共振区。 使其转速避开共振区
满载时车厢的固有频率为
w= g
δs
=
980 = 6.4rad / s 24
每分钟振动的次数为
f ′ = 60 f = 60 × w 6 .4 = 60 × 次 / 分 = 61次 / 分 2π 6.28
例7-2 如图所示，在无重弹性梁的中点放置重量为G的物 体，其静变形为2 mm。若将重物B放在梁未变形的位置上 无初速地释放。求系统自由振动时的运动方程。
第一节
振动的概念
机械振动——物体在其平衡位置附近作周期性的机械运动 机械振动 或往复运动。 振动系统的简化
振动中最简单而且最重要的一种是谐振动。 谐振动。 谐振动 谐振动——凡是决定其位置的坐标按余弦或正弦函数规律 凡是决定其位置的坐标按余弦或正弦函数规律 谐振动 谐振动。 随时间变化的振动都是谐振动 随时间变化的振动都是谐振动。其运动方程为
（4） ω
>ω
0
，振幅B将无限增大，产生强烈的振动。这 振幅 将无限增大，产生强烈的振动。 种现象称为共振 共振。 种现象称为共振。
表示。 旋转机械产生共振时的转速称为临界转速， 旋转机械产生共振时的转速称为临界转速，用 n k 表示。 临界转速
nk = 30
π
ω0 =
30
π
k 30 g = m π δs
第二章机械振动理论基础
工程中常见的振动问题 A 机械中的振动问题 B 结构中的振动问题 C 机械加工过程中的振动问题
振动诊断，就是对正在运行的机械设备或 给非工作状态的系统某种激励，测其振动响 应，对由测量响应得到的各种数据进行分析处 理，然后将结果与事先制订的某一标准进行比 较。进而判断系统内部结构的破坏、裂纹、开 焊、磨损、松脱及老化等各种影响系统正常运 行的故障。依此采取相应的对策来消除故障， 保证系统安全运行。
第三节 单自由度系统的自由振动
自由振动：就是指系统在初始干扰的作用后，仅靠弹性恢
复力来维持的振动形式。其中，系统中不存在阻尼的叫无阻 尼自由振动，而有阻尼的则称之为有阻尼的自由振动。 一．单自由度系统的无阻尼自由振动 1．直线振动 单自由度系统的无阻尼自由振动的力学模型可用弹簧－质 量系统来描述。
个周期内，摩擦力作功为FA，而在一个整周期内作 功总和为 We＝4FA 将其代入式 We ，即可求得干摩擦阻尼的等 Ce 效阻尼系数为 A2
4F Ce A
②流体阻尼的等效粘性阻尼 当物体以较高的 速度在粘性较小的流体(包括空气、液体)中运动 时，物体所受的阻力与速度的平方成正比，即有
Wr Fr xdt Ce A2 2 cos2 (t )dt Ce A2
0 0
T
T
由We＝Wr可得，等效粘性阻尼系数为
We Ce A2
① 干摩擦阻尼的等效粘性阻尼 干摩擦力F 一般 可近似认为是一个常力。它在整个强迫振动过程中 大小不变，但方向始终与运动方向相反。即在每1/4
x(t ) xi cos(2 fi t i )
i 1
至少有一组fm /fn为无理数
准周期振动时历曲线及频谱图 a－时历曲线 b－频谱图
振动监测技术
3.2 振动测试技术概述
加速度计 核心是一片压电晶体材料，通常为人工极化的铁电陶瓷，受到应
力作用时，无论是拉伸、压缩还是剪切，在它的两个极板上均出现与 所加应力成比例的电荷。
加速度传感器用得最广，不仅具有上述优点，且无需电源，自身 会产生电信号，没有运动件，不致被磨损，它体积小、质量轻、精度 高、适应温度范围广，便宜，通过积分电路可方便地获得速度和位移 信号。
(1)丹麦Brüel & Kjær公司是全世界最大的声学、振 动测量分析仪器的研究及制造公司，已具有六十 年的历史和丰富的经验，进入中国市场已有五十 多年。思百吉
(2)英国Prosig公司推出了一系列汽车测试新产品， 其中代表性的产品是P8000数据采集系统以及最新 版本的DATS软件分析系统。Prosig产品是实验室， 工作台或者野外条件下进行数据采集，分析和显 示的专家。
（2）滤波器选取感兴趣的频率，去除噪声。 （3）积分电路
加速度信号速度信号位移信号 （4）激振器对于静止的设备或非工作状态下的设备。（脉 冲锤） （4）测振仪（便携式测振仪）
有的测振仪带有电荷放大器，测量参数可调节，量程可调 节，灵敏度可调节，具有自校准功能，电路过载报警，后板可
接外部滤波器，及其它接口等特点。
响应或输出 机器在激励下产生的动态行为
振动诊断 对正运行或非工作状态的系统给以激励，测出响应，对数据
处理后，与事先制定的某些标准比较，进而判断系统内部结构的破坏、裂纹、磨
损、松脱、老化等各种影响正常运转的故障。
振动是机器运行伴生现象，它包含着丰富的机器运行状态的信息。一般
地，随着故障的出现和发展，机器的振动都会发生明显的变化。在正常运行状态
机械动力学之振动的基本理论(ppt 37页)
1
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振动理论与应用
引言
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 相类似：
• 选择合适的广义坐标； • 分析运动； • 分析受力； • 选择合适的动力学定理； • 建立运动微分方程； • 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
Theory of Vibration with Applications
Theoretical Mechanics
Theory of Vibration with Applications
目录
5
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• 第1章 振动的基本理论
• 1.1 振动系统
Theory of Vibration with Applications
6
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• 1.1 振动系统
振动系统一般可分为连续系统或离散系统。
Theory of Vibration with Applications
8
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• 1.1 振动系统
振动问题的分类
按系统特性或运动微分方程类型划分：
• 线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的
振动。
m y ky0
m e q keq＝ F 0si n t)(
• 非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将 得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称
2
可得到加速度与位移有如下关系
x 2x
重要特征:简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是 与位移相反，始终指向平衡位置。
Theory of Vibration with Applications
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• 1.2 简谐振动
1.2.1简谐振动的表示
2. 用旋转矢量表示简谐振动
《振动分析基础》课件
主动控制和被动控制的应用实例
主动控制应用实例
在桥梁、高层建筑等大型结构中，采用主动控制技术抑制地震、风等引起的振动；在精 密仪器中，采用主动控制技术抑制微小振动，提高测量精度。
被动控制应用实例
在汽车和航空器中，采用被动控制技术降低振动和噪音；在电子设备中，采用被动控制 技术吸收电磁干扰，提高设备性能。
REPORTING
振动分析的基本概念和原理
频率
单位时间内振动的次数。
阻尼
振动系统内部或外部阻力使振 幅逐渐减小的性质。
振幅
振动物体离开平衡位置的最大 距离。
周期
完成一次振动所需的时间。
共振
当策动力的频率与物体的固有 频率相等时，振幅急剧增大的 现象。
PART 02
振动分析的基本理论
单自由度系统的振动分析
自由振动分析
环境工程中的振动分析应用
总结词
环境保护、噪声控制
详细描述
在环境工程中，振动分析被应用于环境保护和噪声控制等领域。通过分析环境中的振动信号，工程师可以了解噪 声的来源和传播途径，制定有效的噪声控制措施，从而改善环境质量，保护人们的健康和生活质量。
2023-2026
END
THANKS
感谢观看
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PART 05
振动分析的工程应用
机械工程中的振动分析应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
广泛应用、提高效率和性能
在机械工程中，振动分析被广泛应用于各种设备和机器的 设计、优化和故障诊断。通过分析振动数据，工程师可以 了解设备的运行状态，预测潜在的故障，从而提高设备的 效率和性能，延长使用寿命。
航空航天工程中的振动分析应用
振动原理及应用
振动原理及应用振动原理是指物体围绕其平衡位置做周期性的往复运动或摆动的现象。
振动是存在于自然界和人类生活中的普遍现象，具有重要的理论和实际应用价值。
振动原理的基础是质点受到力的作用而发生的周期性运动。
当质点离开平衡位置后，会受到向平衡位置恢复的力的作用，这个力称为恢复力。
若恢复力与质点的偏离方向相反，大小与偏离位置成正比，那么质点就会做简谐振动。
简谐振动的周期只与质点的质量和恢复力的大小有关，与振幅无关。
振动在物理学中有着广泛的应用。
首先，振动是研究物体结构及其性质的重要手段之一。
很多材料和结构会在受到外力激励时发生振动，通过研究振动特性可以了解物体的结构以及材料的物理性质。
例如，通过物体的固有频率和阻尼特性可以评估材料的刚性、弹性、稳定性等。
振动还可以用于测量物体的质量、密度等物理参数，例如利用共振原理测量空气中的气体浓度、液体中的浓度等。
其次，振动还在机械工程领域有重要应用。
例如，振动在机械传动中可用于实现转速变换，例如摆线传动和椭圆传动。
振动也可以用于筛分和充填设备中，例如在煤矿行业中，振动筛主要通过振动筛将煤炭分级，以便于提高煤炭的利用率。
此外，振动在工程结构的性能评价和优化中也有广泛的应用，例如利用振动测试和分析评估建筑物的结构安全性。
另外，振动还在电子技术和通信领域有重要应用。
例如，振动传感器可以用于测量物体的振动和冲击，用于机械故障诊断和结构健康监测。
同样地，振动也可以用于电子设备中的能量转换和信息传输。
例如，振动发电机可以利用机械振动转化为电能，广泛应用于自动化设备和无线传感器网络中。
此外，振动还可以通过模拟振动信号实现信息传输，例如利用超声波传感技术进行物体定位和通信。
总之，振动原理是物理学中的重要概念，它广泛应用于科学研究、工程技术和生活实践中。
从材料性质评估到结构优化设计，从机械工程到电子技术，振动都发挥着重要的作用。
通过深入研究振动原理，我们可以更好地理解和应用振动现象，推动科学技术的发展和进步。
振动原理资料
振动原理振动原理是力学中一个重要的概念，它涉及物体在受到外力作用时产生的周期性运动。
振动是许多物理现象的基础，包括声音传播、机械波的传播等，因此对振动原理的深入理解对于理解自然界中许多现象至关重要。
振动基本概念振动的基本概念可以通过一个简单的例子来说明：当一个弹簧悬挂着一个重物，当将这个重物向下拉开一段距离然后释放，重物会因为受到的重力而产生来回运动，这种周期性的来回运动就称为振动。
在这个过程中，弹簧被拉伸和压缩，这种弹簧的变形是振动的结果。
振动的特征振动具有一些特征，包括振幅、频率和周期。
振幅是指振动物体从平衡位置到最大位移的距离，频率是指单位时间内振动的次数，周期是指完成一个完整振动运动所需的时间。
这些特征可以帮助我们描述和分析振动。
振动的分类根据振动的性质和特点，振动可以分为自由振动和受迫振动。
自由振动是指没有外力作用下的振动，比如弹簧振子在没有外力作用下的来回摆动；受迫振动则是指有外力作用下的振动，比如摆钟受到重力的影响进行来回摆动。
此外，振动还可以分为谐振动和非谐振动。
谐振动是指振动物体的加速度与位移成正比的振动，非谐振动则是指振动物体的加速度与位移不成正比的振动。
振动的应用振动原理在生活和工程领域有着广泛的应用。
例如，振动传感器可以用于检测机械设备的振动情况，振动吸收器可以用于减少汽车行驶时产生的震动，振动台可以用于测试产品的耐用性等。
振动原理也被应用于音响设备、振动筛选机等各个领域。
结语振动原理是一门深奥的物理学原理，它在自然界和工程领域都有着广泛的应用。
通过对振动原理的研究和理解，我们可以更好地掌握自然规律，提高生产效率，改善生活质量。
深入学习和探索振动原理将会给我们带来更多的启示和机遇。
振动的周期与频率
振动的周期与频率振动是物体在特定力的作用下，围绕平衡位置来回反复运动的现象。
它是自然界中非常常见的一种运动形式，涉及到周期和频率两个重要概念。
本文将从理论和实际应用两个方面来探讨振动的周期与频率。
一、理论基础1. 振动的周期振动的周期指的是完成一个完整往复运动所需要的时间。
记作T，单位是秒。
在振动过程中，物体从平衡位置出发，到达最大偏移位置，再返回平衡位置，这一过程称为一个振动周期。
2. 振动的频率振动的频率指的是单位时间内完成振动的次数。
记作f，单位是赫兹（Hz）。
频率与周期的关系可以用公式f=1/T表示，即频率等于周期的倒数。
二、周期与频率的关系周期和频率是密切相关的，它们是振动的两个不同描述方式。
周期描述了振动的时间特征，而频率则描述了振动的次数特征。
两者之间有着相互转化的关系。
根据频率和周期的定义，我们可以得到以下关系：T = 1/ff = 1/T也就是说，周期和频率是互为倒数的。
三、实际应用振动的周期和频率在很多领域都有着广泛的应用，以下是几个例子：1. 机械振动在机械工程领域，周期和频率是研究机械振动的重要参数。
通过控制和调节振动的周期和频率，可以使机械系统达到理想的运行状态，提高机械设备的效率和稳定性。
2. 声波和光波在声学和光学领域，周期和频率是描述声波和光波特性的重要参数。
声音的音调高低与频率有关，频率越高，音调越高。
同样，光的颜色也与频率相关，频率越高，光的颜色越偏蓝。
3. 电子振荡器电子振荡器是电子技术中常见的一种电路元件，它可以产生特定频率的振荡信号。
在无线通信、电子测量和音视频设备等领域，电子振荡器的周期和频率控制是实现信号处理和传输的关键。
四、总结振动的周期和频率是描述振动运动特征的两个重要参数。
周期是振动完成一个往复运动所需时间，频率是单位时间内完成振动的次数。
周期和频率是互为倒数的，它们在机械、声学、光学和电子等领域都有着广泛的应用。
理解和掌握振动的周期和频率对于深入研究和应用振动现象具有重要的意义。
机械振动学 第五章_两自由度系统振动(讲)
第五章两自由度系统振动§5-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
①汽车动力学模型：图3.1两自由度汽车动力学模型§5-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
设弹簧的刚度分别为k 1和k 2，质量为m 1、m 2。
质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。
此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。
这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm （3.1）令2212121,,m k c m k b m k k a ==+=则（3.1）式可改写成如下形式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm⎭⎬⎫=+-=-+00212211cx cx xbx ax x（3.2） 这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。
(分析)在第一个方程中包含2bx -项，第二个方程中则包含1cx -项，称为“耦合项”（coupling term ）。
这表明，质量m 1除受到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。
机械振动的原理及应用
机械振动的原理及应用一、什么是机械振动机械振动是指机械系统在受到外力作用或者自身固有特性发生变化时，产生周期性的运动或者摆动。
这种周期性的运动或摆动称为振动。
机械振动是机械工程中一个重要的研究领域，并在多个应用领域中发挥着重要作用。
二、机械振动的原理1.质点的简谐振动原理: 机械振动的基础理论是简谐振动。
简谐振动是指系统在外力作用下相对平衡位置做周期性的、大小和方向都相同的振动。
质点的简谐振动受到三个基本要素的影响：质点的质量、弹性恢复力和外力。
2.刚体的振动原理：刚体的振动与质点不同，无论是平动还是转动，都涉及到刚体上不同点之间的相对位置关系。
刚体的振动可以分为平动和转动两种类型。
刚体的振动受到质心的平动和转动之间的耦合效应所影响。
三、机械振动的应用1.振动工具和设备：机械振动被广泛应用于各种振动工具和设备中，例如振动筛、振动给料机、振动输送机等。
这些设备通过振动来实现物料的分离、输送和排放等功能。
2.振动检测与诊断：机械振动可用于检测和诊断装置或系统的故障。
通过监测和分析机械系统的振动特征，可以判断设备是否存在故障、预测故障发生的可能性以及确定故障的类型和位置。
3.振动控制与消除：机械振动在诸多领域中可能会引起一些负面影响，如噪音、损坏和疲劳等。
因此，控制和消除机械振动成为许多工程项目的重点。
采用合适的设计和控制方法，可以有效地减少机械振动，提高设备的性能和使用寿命。
4.振动能量回收：机械振动能量的回收利用成为一种新型的能源开发方式。
通过将机械系统中产生的振动能量转化为电能或其他可用能源，可以提高能源利用效率，减少对传统能源的依赖。
四、机械振动的未来发展与趋势1.智能化发展：随着科技的进步，机械振动领域也逐渐向着智能化、自动化的方向发展。
智能化振动控制系统的出现，将会更加准确地进行振动监测、诊断和控制，提高设备的效率和性能。
2.节能与环保：在全球节能与环保的背景下，减少机械振动对环境和人体健康的影响成为一个重要的课题。
机械振动第1章：振动理论基础
期T. 解：取位移轴ox，m在平 衡位置时，设弹簧伸长量 为l，则
mg kl 0
k
T F2
m
RJ o
m
aT
mg
x
当m有位移x时
mg T ma
T k(l x)R J a
R 联立得
kx
m
J R2
a
d 2 x
k
dt 2 m J
R2
x0
RJ k
T F2
m
aT
o
m
mg
x
物体作简谐振动
m
O
y
光滑斜面上的谐振子 X
k 0
m
简谐振动的速度、加速度
速度 dx dt Asin(t )
Acos( t 2)
(t ) m cos( t )
速度也是简谐振动 比x领先/2
加速度 a d 2 x dt 2 2 Acos( t )
a(t ) am cos( t a ) 也是简谐振动
(3). 描述简谐振动的特征量---周期、振幅、相位
a、周期T----物体完成一次全振动所需时间。
频率 1 T 物体在单位时间内完成振动的次数。
角频率
2 2 对弹簧振子：
T
T 2 m
k
1 2
2 k m
k m
o
T t
b. 振幅 A 谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
c. 相位 t+ 决定振动物体的运动状态
d2x m kx
dt 2
l0
两端除以质量m，并设
2 n
k m
移项后得:
d2x dt 2
2 n
x
0
st O
振动力学基础与matlab应用
振动力学是研究物体在作往复振动或周期性运动时的力学规律和特性的一门学科。
它在工程、物理、地震学等领域中有着广泛的应用。
MATLAB是一种强大的数值计算和科学绘图软件，可以用于振动力学的建模、仿真和可视化。
在振动力学基础方面，需要掌握以下内容：
1. 单自由度系统：这是振动力学的基础，主要研究质点的简谐振动和阻尼振动等。
需要了解自由度、刚度、阻尼和质量等概念，并能够利用牛顿第二定律、欧拉-拉格朗日原理等方法分析运动方程和相应的振动特性。
2. 多自由度系统：多自由度系统是复杂振动问题的常见形式，需要掌握刚体系统、弹性系统和连续系统等的振动特性。
这里需要了解模态分析、正交性原理和频率响应等概念，并学会通过欧拉-拉格朗日方程和质量矩阵、刚度矩阵等进行系统参数的求解和模拟。
在MATLAB应用方面，需要掌握以下内容：
1. MATLAB基础语法和常用命令，如数据类型、矩阵运算、函数定义和图形绘制等。
2. 振动力学的MATLAB模型建立和仿真分析。
需要学会利用MATLAB解决振动力学问题的程序设计和编写，如求解ODE方程组、进行模态分析和频率响应分析等。
3. MATLAB可视化工具的使用，如画图工具箱、动画工具箱、GUI界面设计与应用等，以便更加直观地展现振动力学问题的结果和结论。
振动力学基础与MATLAB应用是一门需要深入掌握的学科。
通过深入学习这门学科，可以更好地理解和应用振动力学的理论和方法，同时也可以更好地掌握MATLAB在振动力学中的应用。
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很小，可忽略不计。
②共振区λ =0.75～1.25。在此区域 内阻尼对振幅有显著影响，λ≈1时， 振幅急剧增加出现峰值的现象，称 为共振。对应曲线峰值的频率，称 为系统的共振频率。
小阻尼时，共振频率近似等
于固有频率，共振振幅ຫໍສະໝຸດ 似与阻尼比成反比，即③ 当λ ＞＞1时，阻尼对振幅 影响可忽略不计。
★ 相频特性 相频特性曲线如图所示。由图可知， 当有阻尼时，ε随频率比ω/ωn连续变化。
阻尼对振幅的影响 为描述振幅 Ai 的衰减，引入减幅系数η（或称振幅缩减率）。由 图示得
上式表明：衰减振动的振幅 按几何级数递减。阻尼对自
由振动的振幅影响较大。
例如：ζ＝0.05时，Td＝ 1.00125T而经过10个周期后， 振幅只及原振幅的4.3%。
对上式两边取对数得对数缩减率
所以
初始幅值 A 和初位相θ取决于初始条件。
系统动能
以平衡位置为势能零点，系统势能
由
1 2 2 1 J n (k1l 2 k 2 d 2 ) 2 2 2
得固有频率
例16-6 如图所示，质量为m ，半径为r 的圆柱体，在半径为R 的 圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微
小振动的固有频率。
解：取摆角
为广义坐标，设其微振动规律为
若以平衡位置为势能零点，则 系统势能
系统动能
由机械能守恒，即T+V＝常数，则
系统固有频率 表明；如取平衡位置为势能零点，则可以弹簧在平衡位置的长 度为原长计算弹性势能，而不考虑重力势能。只要写出系统的 动能和以平衡位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率， 而不必列写系统的微分方程。
例16-4 图示为两个相同的塔轮。齿轮半径皆为R，半径为r 的鼓轮上 绕有细绳，轮Ⅰ上连一铅直弹簧，轮Ⅱ上挂一重物。塔轮对 轴的转动惯量皆为J ，弹簧刚度为k ，重物质量为m 。求系统 振动的固有频率。
由平衡方程得
式中
为并联弹簧的等效弹簧刚度。 n个并联弹簧的等效刚度
★ 串联弹簧 图示为串联弹簧。 静平衡时，变形分别为 和 。
弹簧总伸长
等效弹簧刚度 n个弹簧串联，则有
例16-3 图为一摆振系统。杆重不计，球质量为m ，摆对轴O的转动
惯量为J，弹簧刚度为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求
系统微小振动的运动微分方程及振动频率。
圆柱体中心O1的速度
由运动学知，当圆柱体作纯滚动时，
角速度
系统动能
整理后得
系统的势能为重力势能，取圆柱在最低处时的圆心位置C 为 势能零点，则系统势能
圆柱体作微振动
由
3m 1 2 ( R r ) 2 2n mg ( R r ) 2 4 2
得
§16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动
例16-8 图示为一测振仪的简图，其中物块
质量为m ，弹簧刚度为k 。测振仪
放在振动物体表面，并随物体而运 动。设物体的振动规律为
求测振仪中物块的运动微分方程及
其受迫振动规律。
解：测振仪随物体振动，则其弹簧悬挂点的运动规律为
取 t=0 时物块的平衡位置为坐标原 点，取x 轴如图。在任一瞬时t ，弹
化简后得
系统的固有频率
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点。 则运动的初始条件： 初位移 初速度
得振幅及初位相
mm
物块的运动方程
例16-2 如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为m的物块，其 静挠度（静变形）为2mm。若将物块在梁未变形位置处无 初速释放，求系统的振动规律。
解：此无重弹性梁相当于弹簧，其刚性系数
解：以系统平衡时重物的位置为原点，取 x 为广义坐标。 设系统振动的规律为
则 塔轮角速度 系统动能
取平衡位置为势能零点，系统的势能为
由
得系统的固有频率
例16-5 在如图示的振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在
A水平位置处于平衡，求系统微振动的固有频率。
解：取摆角
为广义坐标，设其变化规律为
物块在一般位置的受力如图示，则其
振动微分方程为
令
，代入上式，
得单自由度系统自由振动微分方程 的标准形式
其通解
积分常数A 和θ分别为振幅和初位相。 它们由运动的初始条件决定。
频率
圆频率（或固有圆频率、固有频率） 周期
频率和周期只与系统本身所固有的惯 性和弹性有关，而与运动的初始条件 无关，是描述振动系统基本性质的重 要物理量。
或
化简得 令 代入上式得衰减振动微分方程的标准形式
2、微分方程的解 设 ，代入式中，得特征方程
方程的两个根
通解
有三种可能情形：
★ 小阻尼情形
当 或 时，称为小阻尼。
此时
令
则
得运动方程 如图所示。由于振幅随时间不断衰减，故称为衰减振动。
衰减振动的周期
令
称为阻尼比。
则 周期Td较无阻尼自由振动的周期T 略有增加。阻尼对周期的 影响很小，可忽略不计，取Td≈T。
由于阻力作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后趋于静止。 产生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨
论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称线性阻尼。即
式中负号表明阻力与速度方向相反，阻尼系数c 取决于阻尼 介质的性质和物体的形状。
1、有阻尼自由振动微分方程的标准形式
图（a）为一有阻尼的质量--弹簧系统。取平衡位置为坐标原 点，受力如图（b）。 阻力 微分方程为
取重物平衡位置为坐标原点，x轴方向铅直向下，运动微 分方程为:
式中圆频率
在初瞬时t＝0，物块位于未变形的梁上，其坐标
x0＝－δst= － 2mm，初速v0=0，则 振幅 mm
初位相
系统的振动规律
mm
等效弹簧
并联和串联弹簧
★ 并联弹簧
下图表示刚度分别为k1和k2的两个弹簧并联的两种形式，其分 析方法相同。
第十六章 振动理论基础
§16-1 单自由度系统的自由振动 §16-2 计算系统固有频率的能量法 §16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动 §16-4 单自由度系统的受迫振动 §16-5 隔振的概念
机械系统在其平衡位置附近所作的往复运动称为振动。振
动现象普遍存在于自然界和工程技术中，如地震。本章仅
研究单自由度系统的微振动，讨论振动的基本特征。
例16-1 质量m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速滑下，如图所示。 当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并不再分 离。弹簧刚度k=0.8kN/m，倾角β＝300，求系统振动的固 有频率和振幅，并写出物块的运动方程。
解：物块在平衡位置时，弹簧静变形
以此位置为原点O，建立图示 坐标。物块受力如图，其运动 微分方程为
？
谈谈本专业内有关振动问题！？
§16-1 单自由度系统的自由振动
系统偏离平衡位置后，仅在恢复力作
用下维持的振动称为自由振动。
图示为单自由度系统自由振动的简化 模型，它是从实际振动系统中抽象出 的简图。设弹簧原长为lo ，刚度为k ，
物块质量为m ，静平衡时，弹簧变形
为δst（称静变形），有
以平衡位置为原点，建立图示坐标。
1、激振力直接作用下的受迫振动 ★ 振动微分方程 图为受迫振动系统的简化模型。
激振力
其中，H为最大激振力，ω为激振
力的圆频率。 以平衡位置为坐标原点，则 ：
令 整理化简后，得单自由度系统受迫振动微分方程的标准形式
★ 微分方程的解 方程的通解由两部分构成：对应的齐次方程的通解和该方程
的一个特解。 上式右端第一项为衰减振动，经过短暂时间，即趋于衰减，
解：摆处于平衡位置时，弹簧已压缩 由平衡方程
有
以平衡位置为角坐标原点， 摆绕轴O的转动微分方程 得系统自由振动微分方程 ★可见，只要以平衡位置为坐标原点， 固有频率 系统的运动微分方程具有标准形式。
§16-2 计算系统固有频率的能量法
对于单自由度的保守系统，固有频率可简便地由机械能守
恒定律求出，称为能量法。 设图示系统作简谐振动，则有
称瞬态响应。最后得到持续的等幅振动，称稳态响应，即系 统的受迫振动
由式可知，受迫振动的频率等于激振力的频率。
将上式代入微分方程式，化简后得到受迫振动的振幅和位相差
式中
分别称为频率比、阻尼比和由最大激振力引起的弹簧的静变形。
★ 幅频特性
受迫振动的振幅与静变形之比称放大系数，即 当ζ一定，β与λ间的关系如图所示， 称为幅频特性曲线。由图可知： ①当λ＜＜1时，阻尼对振幅的影响
y Ⅱ Ⅰ
弹性力 F k ( y s ) k ( s y ) 应用
(e) m y F i Ci y
(a) (b) (c)
e
O
C φ mg m2g m1g x
m( 2e sin t ) 得 (m1 m2 ) y y
平衡位置
k ( s y ) (m1 g m2 g mg )
因为平衡时 m1g m2 g mg k s 则有
F
ky m 2e sin t (m1 m2 m) y
①当λ＜＜1时，ε≈0，受迫振动位移
与激振力接近同位相。 ②当λ ＞＞1时，ε≈π，受迫振动与激 振力接近反位相。 ③当λ＝1时，
关，这是共振时的一个重要特征。 2
，与阻尼大小无 工程上利用此特点，通过实 验测定系统固有频率ωn。
2、弹簧端点作简谐运动引起的受迫振动
振动系统的简化模型如图所示。设台面光滑，端点A 的运动规律 则弹簧恢复力 微分方程 得 与激振力直接作用下的受迫振动形式相同。前述有关受迫 振动的讨论适用于此。 令
并作用一简谐激振力
。刚杆在水平位置平衡，试列
出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率ωn，以及当激振 力频率ω 等于ωn 时质点的振幅。