1.4.3正切函数的性质与图象
必修四1.4.3正切函数的性质与图象
3 (1) 2 4 (1)
(2)2
(2)
题型三
【例 3】 求下列函数的最小正周期: ( 1) y=- tan x 3 ;
求周期
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
5
( 2) y=| tan x| . 分析: ( 1) 利用 T= 求解; ( 2) 画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解: ( 1) ∵ ω= , ∴ 最小正周期 T= = 3.
内都是增函数。
kπ , ( ,0) k Z 2
对称轴呢？
典型例题
例1.求函数y= tan(
2
x
3
)的定义域、周期和单调区间。
5 定义域： x x 2k , k 3
周期：T 2
5 1 单调增区间： +2k , 2k , k 3 3
y tan x
正切函数的图象
3 2
0
y
3 2
2
3 2
o
x
问题4、正切函数 y
= tanx 的单调性。
2 k ,
正切函数在开区间(问题5、正切函数 y
= tanx
2 的值域。
k ), k 内都是增函数.
值域为R
正 切 函 数 图 像
性质 :
预习自测 1 (1) x k x k , k (2) x x k , k 2 (3) x k x k , k 2 k 2 x x , k 3 6
x k x k , k 2
1.4.3正切函数的性质与图象
--米山国藏
谢谢大家
(2) 作正切线
(3) 平移
y
(4) 连线
o
2
o 3 x
84 8 2
探究函数
y
tan
x
，x
[0,
2
)
的图像在
[0,
2
)
的趋势
“ ”正切
y
-
x
-ห้องสมุดไป่ตู้
-
O
2
2
正切曲线
“华”正切
“华”正切
性质 数
图象 形
性质 数
数形 结合
“华”正切
已知tan x 3, x （- ， ），求x.
22 变式1：已知 tan x 3, 求x.
f (x) f (x)
tan(-x) - tan x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数
“画”正切
“画”正切
利用正切线作正切函数的图象
yT P
O
Ax
正切线：有向线段AT
“画”正切
利用正切线画出函数
y tan x，
x [0, )
2
的图象:
作法:(1) 等分：把单位圆在第一象限的部分分成4等份。
1.4.3 正切函数的 性质与图象
甘肃省临洮中学 朱建辉
核心素养
学习目标
能画出正切 函数的图象， 掌握正切函 数的性质．
数学抽象 直观想象
思想方法
数形结合 类比推理
“话”正切
1.4.3正切函数的性质和图象课件.ppt
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
2
值域： R
y y tan x
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
2
o 2
x 2
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 ( k , k ) k Z
2
2
内是增函数
对称性： 对称中心是(k , 0), k Z
2
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
3
0 x
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
1.4.3正切函数的性质与图象
B
)
π 2．y＝tanx(x≠kπ＋ ，k∈Z)在定义域上的单调性为( 2 A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
C
)
π π C．在每一个区间－ ＋kπ， ＋kπ (k∈Z)上为增函数 2 2 π π D．在每一个区间－ ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)上为增函数 2 2
(2)∵tan496°＝tan136°，
y＝tanx 在(90°，270°)上是增函数，270°>136°>126
°>90°，∴tan136°>tan126°，即 tan496°>tan126°.
不求值， 比较下列每组中两个正切值的大小， 用不等号 “<” 、 “>”连接起来．
< (1)tan32°________tan215 °.
O 6
4 3 2
x
正切函数的性质 :
定义域： x x k , k Z 2 值域： R
周期性：
k 对称中心是 ( , 0), k Z 2
T
奇偶性： 奇函数
单调性： 在开区间 2 k , 2 k k Z 内递增
cosx 是偶函数，∴(4)对． 因此，正确的命题的序号是(1)(4)．
解：令 z x
例1.求函数 y tan （x ）的定义域 . 4
z z k , k z 2 由x z k , 4 2 可得 x k k 2 4 4
y A tan( x ) T y tan x T π
2、奇偶性 π tan( x ) tan x , x R, x kπ , k Z 2 正切函数是奇函数
1.4.3-正切函数的性质与图像
答案:
1、定义域 2、值域
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
x
x
|
x
R且x
1 3
k
5
18
，k
Z
yR
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
非奇非偶函数
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、 正 切 曲 线 是 先 利 用移平正 切 线 得y tan x, x ( , )的 图 象 ， 22
思考 3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
y
T
x
o x (1,0) A
o x x (1,0) A
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
思考
2、正切函数 y tan x 是否为周期函数？
由诱导公式知
f x tanx tan x f x, x R, x k , k Z
2 ∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
24
令t x ;所以y tan t的单调递增区间为:
24
k t k , k Z
2
2
由t 1 x 得 :
24
k 1 x k
22 4
2
y
3 tan(
1 2
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象讲义3 新人教A版必修4
知识点2 正切函数的图象 观察图形，回答下列问题：
问题1：画正切曲线的关键点和关键线分别是什么？ 问题2：正切曲线是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
【总结提升】
1.正切函数图象的两种作法
(1)几何法：利用单位圆中的正切线作图，该方法较为精确，但画图时
较烦琐. (2)三点两线法：“三点”是指(-
lo g 1 x lo g 1 4，
2
2
tanx 1，
所以0<x< 或3 ≤x≤4.
所以所求定2 义域4 为(0， )∪[ 3， 4].
2
4
2在【.解［(变析0，换】π条由］件ta上、n的改x≠图变0象问，.法x∈)，［将0本，题π］函，数解改得为x“≠0y ， st且ainnxxx≠”试且 画x≠出π此. 函数
4
2
，xk∈kZ，
28
所以所求直线方程为x= k ， k∈Z.
28
2.(变换条件)将本例函数改为“ y
么？
t a n x 1，
tan tan (x
x 1
”，其定义域又是什
)
6
【解析】根据题意，得
ta
n
(
x
) 6
0，
4
解得 x
2
(3)解形如tan x>a的不等式的步骤
【变式训练】函数 y 2log1x tanx 的定义域是______.
2
【解析】x应满足 2 lo g 1 x 0，
2
ta n x 0，
所以 0kxx4， k所2(以k0Z<)， x<
数学必修四课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
17π － 【解析】tan ＝－tan 4 22π － tan ＝－tan 5
π ， 4
2π ， 5
π π 2π π 2π π ∵－ < < < ，∴tan ＞tan ， 2 4 5 2 5 4 即
17π 22π － tan－ 4 >tan . 5
)
tan 2x 3．函数 f(x)＝ 的定义域为( tan x
kπ A.xx∈R且x≠ 4 ，k∈Z
)
π B. xx∈R且x≠kπ＋4，k∈Z π C. xx∈R且x≠kπ＋2，k∈Z π D.xx∈R且x≠kπ－4，k∈Z
【答案】A
• 正切函数的性质
【例 1】 求函数 间．
【解题探究】 利用正切函数的定义域， 求出函数的定义域， 通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区 间求出函数的单调增区间．
π π y＝tan2x＋3 的定义域、周期和单调区
π π π 1 【解析】由 x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，解得 x≠ ＋2k，k∈Z. 2 3 2 3
1 ∴定义域为 xx≠3＋2k，k∈Z .
π 周期 T＝ ＝2. π 2 π π π π 由－ ＋kπ＜ x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z， 2 2 3 2 5 1 解得－ ＋2k＜x＜ ＋2k，k∈Z. 3 3
5 1 ∴函数的单调递增区间为－3＋2k，3＋2k ，k∈Z.
• 【方法规律】运用正切函数单调性比较大小 的方法 • (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 一单调区间内． • (2)运用单调性比较大小关系．
专题1.4.3 正切函数的性质与图象-20届高中数学同步讲义人教版(必修4)
第一章 三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象一、正切函数的性质 1．周期性由诱导公式可知，πtan πtan ,π,2()x x x x k k +=∈≠+∈R Z ,，因此 是正切函数的一个周期. 一般地，函数()(tan 0)y A x k A ωϕω=++≠的最小正周期π||T ω=.学科=网2．奇偶性正切函数的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ,关于原点对称，由于()()()()sin tan cos x f x x x --=-=- ()sin tan cos xx f x x-==-=-，因此正切函数是 . 3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示.利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：角xππ022-→→ π3ππ22→→正切线AT 0-∞→→+∞ 0-∞→→+∞tan x增函数 增函数由上表可知正切函数在ππ(,)22-,π3π(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k -+ ππ)()2k k +∈Z .此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)-∞+∞或R ，因此正切函数 最值. 二、正切函数的图象利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）. 作法如下：(1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线.根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.K 知识参考答案：一、1．π 2．奇函数 3．没有K —重点 正切函数的性质与图象K —难点 正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用 K —易错不能正确利用正切函数的图象与性质解题1．正切函数的性质熟练掌握正切函数tan ,y x x =∈R 的性质： (1)定义域：π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ； (2)值域：R ；学-科网 (3)最小正周期：π； (4)奇偶性：奇函数； (5)单调性：在每一个开区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 内均为增函数. 【例1】下列函数中，最小正周期为π2的是 A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝tan(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋π6)D ．y ＝tan(4x ＋π6)【答案】B【解析】函数y ＝tan(2x －π3)的最小正周期T ＝π2，故选B ．【例2】求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.【解析】由π33x -ππ2k ≠+得π5π318k x ≠+(k ∈Z )， 所以所求函数的定义域为π5π{|,318k x x x ∈≠+R 且，k ∈Z }； 值域为R ；函数πtan(3)3y x =-的定义域不关于原点对称，因此该函数既不是奇函数又不是偶函数；正切函数tan y x =在区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 上为增函数， 因此令πππ323k x -+<-ππ2k <+，解得ππ183k x -+<5ππ183k <+()k ∈Z , 即函数πtan(3)3y x =-的单调递增区间为ππ5ππ(,)()183183k k k -++∈Z .【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数()tan y x ωϕ=+一般不具有奇偶性， 需要先求出定义域，再进行判断.【名师点睛】（1）正切函数tan y x =的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.（2）求函数(n )ta y A x ωϕ=+的单调区间时，将x ωϕ+视为整体，代入函数tan y x =的单调区间即可，注意,A ω的符号对单调区间的影响. 2．正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化. 【例3】比较下列各组数的大小： （1）13πtan4与17πtan 5； （2）tan1,tan 2,tan 3,tan 4.【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理． 【例4】求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解析】由x ∈[π4，π3]，得tan x ∈[1，3]，令tan x ＝t ，则t ∈[1，3]．∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24. 由于1≤t ≤3， ∴8≤y ≤103－4，故函数的值域是[8,103－4]．【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解. 3．正切函数的图象及其应用 （1）tan y x =的周期性：函数sin y x =及cos y x =的周期是其对应函数sin ,cos y x y x ==周期的一半，而函数tan y x =的图象是把tan y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，但其周期与tan y x =的周期相等，均为π. （2）解三角不等式的方法一般有两种：学-科网一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用. 【例5】作出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间． 【答案】B【解析】y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2k ∈Z －tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π2，k πk ∈Z ，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期T ＝π，单调增区间的⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 【名师点睛】要作出函数y ＝|tan x |的图象，可先作出y ＝tan x 的图象，然后将其在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x 轴对称的图象)，就可得到y ＝|tan x |的图象． 【例6】求下列函数的定义域： （1）函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )；（2）函数y ＝tan(sin x )．（2）∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴函数y ＝tan(sin x )总有意义， 故函数y ＝tan(sin x )的定义域为R . 4．正确利用函数性质求解【例7】若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是________． 【错解】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π，其中x ＝π3.所以θ＝k π－2π3，k ∈Z .由于－π2<θ<π2，∴k ＝1时，θ＝π－2π3＝π3.【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k π，0)(其中k ∈Z )，但由正切函数的图象发现：点(k π＋π2，0)(其中k ∈Z )也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(k π2，0)(其中k ∈Z )． 【答案】－π6或π3.【正解】易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z .因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3.1．函数y =tan x 在其定义域上的奇偶性是 A ．奇函数 B ．偶函数C ．既奇且偶的函数D ．非奇非偶的函数2．函数y =tan （π2–x ）（ππ044x x ⎡⎤∈-≠⎢⎥⎣⎦，且）的值域为 A ．[–1，1] B ．[–1，+∞）C ．（–∞，1）D ．（–∞，–1]∪[1，+∞）3．函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是A ．πππ3π2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，B ．π3πππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，C ．ππππ2424k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，D ．π5πππ44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，，4．函数t =tan （3x +π3）的图象的对称中心不可能是 A ．（–π9，0） B ．（π18，0）C ．π018⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．5π018⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5．函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为A ．()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，B ．（k π，k π+π）（k ∈Z ）C ．()3ππππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，D ．()π3πππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，6．下列关于函数y =tan （x +π3）的说法正确的是 A ．在区间（–π6，5π6）上单调递增 B ．最小正周期是π C ．图象关于点（π4，0）成中心对称 D ．图象关于直线x =π6成轴对称 7．函数f （x ）=tan x 在ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为___________．8．已知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且1+tan α≥0，则角α的取值范围是___________．9．函数f （x ）=5tan （3x +π4）+2的最小正周期T =___________． 10．函数y =3tan （2x +π3）的最小正周期为___________． 11．观察正切曲线，满足条件tan x >1的x 的取值范围是___________． 12．求函数y =tan （π–23x ）的定义域、单调区间和对称中心．学-科网13．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x 的取值范围．（1）－32<cos x <0；（2）3tan x －3≥0.14．下列各式中正确的是A ．tan47π>tan 37π B ．tan （–134π）<tan （–175π） C ．tan4>tan3D ．tan281°>tan665°15．直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离是A ．π2B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关16．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是17．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π1218．函数y =tan （sin x ）的值域为A ．[–π4，π4] B ．[–22，22]C ．[–tan1，tan1]D ．以上均不对19．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．20．设函数()πtan 23x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求函数f （x ）的定义域和最小正周期； （2）求f （x ）的单调增区间； （3）求不等式–1≤f （x ）≤3的解集．21．求函数y =tan （3x –π3）的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．22．若函数f (x )＝tan 2x －a tan x (|x |≤π4)的最小值为－6，求实数a 的值．23．已知函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝. （1）求f (x )的最小正周期和单调递减区间； （2）试比较()πf 与3π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小．1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 ADACDBCBAAC1．【答案】A【解析】正切函数y =tan x 的定义域是（–π2+k π，π2+k π）k ∈Z ，定义域关于原点对称，且对于定义域内的任意x ，满足f （–x ）=tan （–x ）=–tan x =–f （x ），所以函数y =tan x 在其定义域上是奇函数．故选A ．3．【答案】A【解析】πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=–tan （2x –π4），要使原函数有意义，则ππππ2π242k x k -+<-<+，解得ππ3ππ8282k k x -+<<+，k ∈Z ，∴函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是πππ3π2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，，故选A ． 4．【答案】C【解析】因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是（π2k ，0），k ∈Z ．令3x +ππ32k =，解得x =ππ–69k ，k ∈Z ；所以函数y =tan （3x +π3）的图象的对称中心为（ππ–69k ，0），k ∈Z ；当k =0、1、–1时，得ππ–69k =–π9、π18、–5π18，所以A 、B 、D 选项是函数图象的对称中心．故选C ． 5．【答案】D【解析】对于函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令k π–π2<x –π4<k π+π2，求得k π–π4<x <k π+3π4，可得函数的增区间为（k π–π4，k π+3π4），故选D ．7．【答案】3-【解析】由于函数f （x ）=tan x 在（–π2，π2）上单调递增，故函数f （x ）=tan x 在ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故当x =–π3时，函数f （x ）取得最小值为–3，故答案为：3-． 8．【答案】[3π4，π） 【解析】1+tan α≥0，∴tan α≥–1，解得–π4+k π≤α<π2+k π，k ∈Z ．又α∈（π2，π），∴3π4≤α<π，即α的取值范围是[3π4，π）．故答案为：[3π4，π）． 9．【答案】π3【解析】根据正切函数的图象与性质得：函数f （x ）=5tan （3x +π4）+2的最小正周期为：T =ππ3ω=．故答案为：π3． 10．【答案】2π【解析】函数y =3tan （2x +π3）的最小正周期为：T =ππ12ω==2π．故答案为：2π． 11．【答案】（ππ4k +，ππ2k +），k ∈Z 【解析】观察正切曲线：当tan x =1时，x =ππ4k +，k ∈Z ，由tan x >1，可得ππππ42k x k +<<+．故答案为：（ππ4k +，ππ2k +），k ∈Z ．12．【解析】对于函数y =tan （π–23x ）， 令12x –π3≠k π+π2，k ∈Z ， 解得x ≠2k π+5π3，k ∈Z ，故函数y 的定义域为{x |x ≠2k π+5π3，k ∈Z }． 令k π–ππ–223x <<k π+π2，k ∈Z ， 解得2k π–π3<x <2k π+5π3，k ∈Z ， 故函数y 的单调增区间为（2k π–π3，2k π+5π3），k ∈Z ；无单调减区间． 令ππ–232x k =，k ∈Z ， 求得x =k π+2π3，k ∈Z ， 故函数y 图象的对称中心为（k π+2π3，0），k ∈Z ． 13．【解析】（1）如图所示．由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为(2k π＋π2，2k π＋5π6)∪(2k π＋7π6，2k π＋3π2)，k ∈Z .（2）如图所示．由3tan x －3≥0，得tan x ≥33. 由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为[π6＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .14．【答案】C【解析】函数y =tan x 在（–π2，π2）上单调递增．A ，tan 47π=tan （–37π），∴tan 47π<tan 37π，故A 错误．B ，tan （–134π）=tan （–π4），tan （–175π）=tan （–2π5），则tan （–134π）>tan （–175π），故B 错误．C ，tan4=tan （4–π），tan3=tan （3–π），则tan （4–π）>tan （3–π），即tan4>tan3，故C 正确．D ，tan281°=tan （–79°），tan665°=tan （–55°），则tan281°<tan665°，故D 错误，故选C ． 15．【答案】B【解析】直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离正好等于y =tan x 的一个周期，即直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离为π，故选B ．学-科网 16．【答案】A【解析】∵函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3的最小正周期为2π，因此可排除B 、D ，选项C 中，当x ＝π3时，y ≠0，因此排除C ，故选A ． 17．【答案】A【解析】解法一：验证：当φ＝－π6时，2x ＋φ＝2×π12－π6＝π6－π6＝0，∴tan(2x ＋φ)＝0，满足题意，故φ可以是－π6.解法二：由题意，得2×π12＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，令k ＝0时，φ＝－π6，故φ可以是－π6.18．【答案】C【解析】∵–1≤sin x ≤1，且函数y =tan t 在t ∈[–1，1]上是单调增函数，∴tan （–1）≤tan t ≤tan1，即–tan1≤tan （sin x ）≤tan1，∴函数y =tan （sin x ）的值域为[–tan1，tan1]．故选C ． 19．【解析】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.故函数f (x )的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x )＝tan()1lg tan()1x x -+--＋lg tan x ＋1tan x －1＝tan 1tan 1lg()tan 1tan 1x x x x -+⋅+-＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．（3）由题意，k π–π4≤π23x -≤k π+π3， 可得不等式–1≤f （x ）≤3的解集π4π{|2π2π}63x k x k k +≤≤+∈Z ，． 21．【解析】由ππ3π32x k -≠+，解得π5π318k x ≠+，k ∈Z ； ∴所求的定义域为π5π{|}318k x x x k ∈≠+∈R Z ，且，； 函数的值域为R ， 周期为T =ππ3ω=， f （x ）的定义域不关于原点对称，∴f （x ）是非奇非偶的函数； 令–π2+k π<3x –ππ32<+k π，k ∈Z ， 解得–π18+π3k <x <5π18+π3k ，k ∈Z ， ∴函数y 在区间()πππ5π318318k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，上是增函数．③若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝1－a ＝－6， ∴a ＝7，综上所述，a ＝－7或7. 23．【解析】（1）∵()ππ3tan()3tan()6446x x f x =-=--， ∴函数的最小正周期为4πT =． 由πππππ,2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π,33k x k k -<<+∈Z ， ∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调增区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调减区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，（2）()πππππ3tan 3tan 3tan 641212f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππ3π5π5π3tan 3tan 3tan 2682424f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵π5ππ012242<<<， ∴π5πtan tan1224<，∴π5π3tan3tan 1224->-，即()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【思路分析】（1）将函数化为()π3tan()46x f x =--，然后根据正切函数的周期和单调性求解． （2）由题意可得()π3π5ππ3tan,3tan 12224f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，根据函数tan y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性可得π5πtantan 1224<，从而可得()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【名师点睛】解决函数()tan()f x A x ωϕ=+有关问题的思路：（1）采用整体代换的解题方法，即把x ωϕ+看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解． （2）解题时要注意参数,A ω的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．。
19-20版 第1章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的图象与性质思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．()k π，k π＋π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．]2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .]3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪－4＜x ＜4，且x ≠0的值域是( )A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域： ①y ＝11＋tan x；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→求1tan x 的范围 (2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1； 当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z .【例2】 (1)函数f (x )＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解] ①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解](1)由⎩⎨⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )， 所以函数是奇函数.1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5； ②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上 →根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4→解－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z →求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5， 又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5. ②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5， 所以－tan π4＜－tan π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4”结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝lg tan x 的单调递增区间就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的单调递增区间，令k π＜2x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2＋π8＜x ＜k π2＋3π8(k ∈Z )， 故y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，k π2＋3π8，k ∈Z .1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．2．正切函数的性质 (1)正切函数y ＝tan x的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.] 3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。
1.4.3正切函数的性质与图象
X
2
如何作正切函数在整个定义域上的图象？ 根据正切函数的周期性，只要把上述图象 向左、右扩展，就可以得到正切函数在整个定 义域上的图象.
在整个定义域上的图象
y
正切曲线
1
o
-1
x
7.对称性
是它的对称中心
y
1
-3/2 - -/2
x
-1
0 /2
3/2
7.对称性
是它的对称中心
.
有没有更简单的方法求 的周期？
的周期为
函数
定义域 周期性 奇偶性 奇函数
单调性 增区间
值域 对称性 对称中心：
O
A
x
O
A
x
T
y y
T
O
A
A
x
O
T
x
4.单调性
由正切线的变化规律可以得出，正切函数 在 开区间 函数. 注：正切函数没有减区间 内是增函数. 又由正切函数的周期性可知，正切函数在 内都是增
观察正切线变化规律，思考正切函数的值域.
y y
T
O
A
x
O
A
x
T
y y
T
O
A
A
x
O
T
x
5.值域
y tan
1 k x ,k Z 3 3 2
k x 的对称中心是 （ ,0)， 2
解得
3k x ,k Z 2
1 所以函数 y 2 tan( 3 x 3 ) 的对称中心是 3k ( ,0), k Z . 2
1.4.3 正切函数的性质与图象
2
k , k Z
y A tan( x )
2.奇偶性
tan( x) tan x, x
T
2
k , k Z
正切函数是奇函数
练习：求下列函数的最小正周期： 1 π (1)y＝tan(－ x)；(2)y＝tan(2x＋ )． 2 12
T 2 1 2
[规律方法] 对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ为 非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正 切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和 换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式 将x的系数化为正数，再进行求解．
例 4 利用正切函数的单调性比较下列两个 函数值的大小： 6 13 (1)tan－5π与 tan－ 7 π； (2)tan 2 与 tan 9.
T
2
利用正切线画出函数在 , 的图象 2 2
y
O1
3 4 6 2
O 6
4 3 2
x
图
y
象
3 2
2
2
3 2
x
特征
三点两 线
2
由直线 x 1.有无穷多支曲线组成，
k , k Z隔开
2.在每个分支里是单调递增的 3.有渐近线 x
无减区间 在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说
正切函数在整个定义域上单调递增？
例 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的 定义域．
变式训练 求下列函数的定义域： 1 (1)y＝ ；(2)y＝lg( 3－tan x)． 1＋tan x
1.4.3正切函数的图象与性质
拓展：求 y log 0.5 tan(2 x
4
) 的单调区间。
解：由 x , ，得 tan x 1, 3 。 4 3
练习 4：若 x , ，求函数 y tan 2 x 2 tan x 1 的最值 3 4 及相应的 x 的值。
小结： （1）这节课我们采用类比的思想方法来学习正切 函数的图象和性质 （2）正切函数的作图是利用平移正切线得到的， 当我们获得一个周期上图象后，再利用周期 性把该段图象向左右延伸、平移。 （3）正切函数的性质及应用．
1.4.3正切函数的图象与性质
＊回顾：前几节课我们是如何研究正、余弦函数的图象和 性质的？ 用正切线作正切函数图像。 ＊正切函数 y tan x 是否为周期函数？
sin x sin x f x tan x tan x f x cos x cos x
解题回顾：比较两个角的正切值的大小，关键是 把相应的角诱导到的同一单调区间内，利用 y tan x 的单调递增性来解决．
练习2：比较大小：
(1) tan138 _____tan143 <
13 17 > (2) tan( ) _____ tan( ) 4 5
【例 3】根据正切函数的图象，求满足下列不等式的 x 的范围：
167 tan ∴ tan3 3 1733 3 y tan x ，x ， ，函数 又∵ 2 4 5 2 2 2
是增函数， 3 3 11 13 ∴ tan tan 即 tan tan ． 4 5 4 5
【高中数学必修四】专题1.4.3 正切函数的性质与图象
第一章 三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象一、正切函数的性质 1．周期性由诱导公式可知，πtan πtan ,π,2()x x x x k k +=∈≠+∈R Z ,，因此 是正切函数的一个周期. 一般地，函数()(tan 0)y A x k A ωϕω=++≠的最小正周期π||T ω=.2．奇偶性正切函数的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ,关于原点对称，由于()()()()sin tan cos x f x x x --=-=- ()sin tan cos xx f x x-==-=-，因此正切函数是 .学科-网 3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示.利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：角xππ022-→→ π3ππ22→→正切线AT 0-∞→→+∞ 0-∞→→+∞tan x增函数 增函数由上表可知正切函数在(,)22-,(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k -+ ππ)()2k k +∈Z .此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)-∞+∞或R ，因此正切函数 最值. 二、正切函数的图象利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）. 作法如下：(1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线.根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.K 知识参考答案：一、1．π 2．奇函数 3．没有K —重点 正切函数的性质与图象K —难点 正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用 K —易错不能正确利用正切函数的图象与性质解题1．正切函数的性质熟练掌握正切函数tan ,y x x =∈R 的性质： (1)定义域：π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ； (2)值域：R ； (3)最小正周期：π； (4)奇偶性：奇函数； (5)单调性：在每一个开区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 内均为增函数. 【例1】下列函数中，最小正周期为π2的是 A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝tan(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋π6)D ．y ＝tan(4x ＋π6)【答案】B【解析】函数y ＝tan(2x －π3)的最小正周期T ＝π2，故选B ．【例2】求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.正切函数tan y x =在区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 上为增函数， 因此令πππ323k x -+<-ππ2k <+，解得ππ183k x -+<5ππ183k <+()k ∈Z , 即函数πtan(3)3y x =-的单调递增区间为ππ5ππ(,)()183183k k k -++∈Z .【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数()tan y x ωϕ=+一般不具有奇偶性， 需要先求出定义域，再进行判断.【名师点睛】（1）正切函数tan y x =的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.（2）求函数(n )ta y A x ωϕ=+的单调区间时，将x ωϕ+视为整体，代入函数tan y x =的单调区间即可，注意,A ω的符号对单调区间的影响. 2．正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化. 【例3】比较下列各组数的大小： （1）13πtan4与17πtan 5； （2）tan1,tan 2,tan 3,tan 4.【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理． 【例4】求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解析】由x ∈[π4，π3]，得tan x ∈[1，3]，令tan x ＝t ，则t ∈[1，3]．∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24.由于1≤t ≤3， ∴8≤y ≤103－4，故函数的值域是[8,103－4]．【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解. 3．正切函数的图象及其应用 （1）tan y x =的周期性：函数sin y x =及cos y x =的周期是其对应函数sin ,cos y x y x ==周期的一半，而函数tan y x =的图象是把tan y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，但其周期与tan y x =的周期相等，均为π. （2）解三角不等式的方法一般有两种：一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用. 【例5】作出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间． 【答案】B【解析】y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2k ∈Z －tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π2，k πk ∈Z，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期T ＝π，单调增区间的⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 【名师点睛】要作出函数y ＝|tan x |的图象，可先作出y ＝tan x 的图象，然后将其在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x 轴对称的图象)，就可得到y ＝|tan x |的图象．【例6】求下列函数的定义域： （1）函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )；（2）函数y ＝tan(sin x )．【解析】（1）要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥－1tan x <1， ∴⎩⎨⎧k π－π4≤x <k π＋π2，k ∈Z k π－π2<x <k π＋π4，k ∈Z ，∴k π－π4≤x <k π＋π4，k ∈Z ，故函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为[k π－π4，k π＋π4)k ∈Z .（2）∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴函数y ＝tan(sin x )总有意义， 故函数y ＝tan(sin x )的定义域为R . 4．正确利用函数性质求解【例7】若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是________． 【错解】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π，其中x ＝π3.所以θ＝k π－2π3，k ∈Z .由于－π2<θ<π2，∴k ＝1时，θ＝π－2π3＝π3.【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k π，0)(其中k ∈Z )，但由正切函数的图象发现：点(k π＋π2，0)(其中k ∈Z )也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(k π2，0)(其中k ∈Z )．【正解】易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z .因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3.【答案】－π6或π3.1．下列说法中，正确的是 A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限内是增函数C ．y ＝tan x 在区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增函数D ．y ＝tan x 在某一区间内是减函数 2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是A ．{x |x ≠π4，x ∈R }B ．{x |x ≠－π4，x ∈R }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R }D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R }3．下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是A ．y ＝sin(x －π3)B ．y ＝sin xC ．y ＝tan xD ．y ＝cos x4．下列不等式中，正确的是 A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan(－13π7)>tan(－15π8)D ．tan(－13π4)<tan(－12π5)5．函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是________． 6．函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标是________．7．已知函数f (x )＝2tan(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π2，求函数f (x )的单调区间．8．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x 的取值范围． （1）－32<cos x <0；（2）3tan x －3≥0.9．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是 A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π810．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是11．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是A ．πB ．2πωC ．πωD ．π2ω12．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π1213．已知函数()πtan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法正确的是 A ．()f x 在定义域内是增函数B ．()f x 的对称中心是()ππ,046k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的对称轴是()ππ212k x k =+∈Z 14．函数y ＝tan(cos x )的值域是________． 15．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．学！科网16．若函数f(x)＝tan2x－a tan x(|x|≤π4)的最小值为－6，求实数a的值．17（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较()πf与1 2 3 4 9 10 11 12 13 CCDCCACAB1．【答案】C【解析】令x 1＝π3，x 2＝13π6，则tan x 1＝3，tan x 2＝33，即x 1<x 2，而tan x 1>tan x 2，故函数y ＝tan x 在第一象限内不是增函数，排除A 、B ；由正切函数的图象知，函数y ＝tan x 在某一区间内不可能是减函数，排除D ，故选C ． 2．【答案】C【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠3π4＋k π，k ∈Z ，故选D ．3．【答案】D【解析】函数y ＝cos x 在[0，π2]上单调递减，故选D ．5．【答案】5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z 【解析】（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--，由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z ， 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z, 故函数tan(2)3y x π=-的单调减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z . 6．【答案】(k π4＋π8，0)，k ∈Z【解析】由2x －π4＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π8，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标为(k π4＋π8，0)，k ∈Z .8．【解析】（1）如图所示．由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为(2k π＋π2，2k π＋5π6)∪(2k π＋7π6，2k π＋3π2)，k ∈Z .（2）如图所示．由3tan x －3≥0，得tan x ≥33. 由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为[π6＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .9．【答案】C【解析】由正切函数图象知2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π2＋π8，k ∈Z ，故符合题意的只有C 选项．10．【答案】A【解析】∵函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3的最小正周期为2π，因此可排除B 、D ，选项C 中，当x ＝π3时，y ≠0，因此排除C ，故选A ． 11．【答案】C【解析】相邻两交点间的距离，即为函数y ＝tan ωx (ω>0)的最小正周期T ＝πω，故选C ．13．【答案】B【解析】()f x 在定义域内不单调，且不具有奇偶性，没有对称轴，所以A 、C 、D 错误； 由ππ232k x +=，得ππ,64k x k =-+∈Z ，即()f x 的对称中心是()ππ,046k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ，所以B 正确，故选B.14．【答案】[－tan1，tan1]【解析】∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]，又函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，且－π2<－1<1<π2， ∴tan(cos x )∈[－tan1，tan1]．15．【解析】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.故函数f (x )的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x )＝tan()1lg tan()1x x -+--＋lg tan x ＋1tan x －1＝tan 1tan 1lg()tan 1tan 1x x x x -+⋅+-＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． 16．【解析】设t ＝tan x ，∵|x |≤π4，∴t ∈[－1,1]． 则原函数化为y ＝t 2－at ＝(t －a 2)2－a 24，对轴称为t ＝a 2. ①若－1<a 2<1，即－2<a <2时．则当t ＝a 2时，y min ＝－a 24＝－6，∴a 2＝24(舍去，不合题意)．②若a2≤－1，即a ≤－2时，二次函数在[－1,1]上单调递增，∴y min ＝1＋a ＝－6， ∴a ＝－7.③若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝1－a ＝－6， ∴a ＝7，综上所述，a ＝－7或7. 17．【解析】（1）∵()ππ3tan()3tan()6446x x f x =-=--， ∴函数的最小正周期为4πT =． 由πππππ,2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π,33k x k k -<<+∈Z ， ∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调增区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调减区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，（2）()πππππ3tan 3tan 3tan 641212f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππ3π5π5π3tan 3tan 3tan 2682424f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵π5ππ012242<<<， ∴π5πtan tan1224<， ∴π5π3tan3tan 1224->-，即()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【名师点睛】解决函数()tan()f x A x ωϕ=+有关问题的思路：学科！网（1）采用整体代换的解题方法，即把x ωϕ+看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解． （2）解题时要注意参数,A ω的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．。
1.4.3 正切函数的性质和图像
B
（2)我们怎么做出正切函数 在 - ， 内的简图 2 2
一点两线
三点两线
（3）直线y=a与y=tanx的两个相邻的交点间的距离是多少？ （4）正切函数具有怎样的对称性？
x 1 变式 : y 3 tan( ) (1) y 3 tan( x ); 2 4 2 4 1 解 : 原函数可化为 : y 3 tan( x ); 解：令 k x k 2 4 2 2 4 2 1 3 令k x k 2k x 2k 2 2 4 2 2 2
1 y 3 tan( x )递增区间为 : 2 4
数学应用 例3 求下列的单调区间：
1 y 3 tan( x )递减区间为 : 2 4
总结：对于函数 y A t an( x )的单调区间的求解， 应注意哪些方面？
3 ，k z 2k ， 2k 2 2
x
2
3
由图可知：x k , 2 x
6
）
3
2求函数y tan x 1 1 tan x的定义域
y
令k
3
2x
6
k
2
,k z
-
1
2
k k x 2 4 2 3 k k 解集为x / x ,k z 2 4 2 3
5 2
关于原点对称
5 2
3 2
-
O 2 2
3 2
X
f(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x)
正切函数是奇函数
思考 4 ：结合正切函数的周期性，正切函数的单 调性如何？
正切函数的性质与图象
f ( x ) tan( x ) tan( x ) tan[ ( x 2) ] f ( x 2) 2 3 2 3 2 3
因此函数的周期为2.带入正切的单调区间可解得函 数得单调区间
5 1 ( 2k , 2k ), k Z 3 3
(1)1 tan x 0;
y 3
(2) tan x 3 0;
4
3
y 1
小结
正切函数的周期性，奇偶
性，单调性，值域.
作业
课本45页练习
4、值域
正切函数的值域是实数 R. 集
举例
π π 例1 求函数y tan ( x )的定义域, 周 2 3 期和单调区间.
解:
x k 2 3 2
即
所以函数的定义域是 由于
1 { x | x 2k , k Z }. 3
1 x 2k , k Z 3
y A sin( x ), x R.( A 0, 0) y A cos(x ), x R.( A 0, 0)
y A tan( x ).( A 0, 0)
T
2
T
例2 求使下列不等式成立的 的集合: x
§ 1.4.3 正切函数的 性质与图象
引入
正切函数:
y tan x , x k , k Z 2
新课
正切函数图像:
FLASH
1、周期性
正切函数是周期函数, 周期是π.
2、奇偶性
正切函数是奇函数.
3、单调性
π π 在每一个开区间 , kπ ), k Z上都是增函数 (kπ . 2 2
课件4：1.4.3 正切函数的性质与图象
1.正切函数的图象
课后小结
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋2π，k∈Z，相邻
两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2.正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是x|x≠kπ＋2π，k∈Z，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0) 的周期为|ωπ |.
(3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增，正切函数无单调函数 y＝3tan(2x＋π4)的定义域是( C ) A．{x|x≠kπ＋π2，k∈Z} B．{x|x≠2kπ－38π，k∈Z} C．{x|x≠2kπ＋π8，k∈Z} D．{x|x≠2kπ，k∈Z}
2.函数 f(x)＝tan(x＋π4)的单调增区间为 ( C ) A．(kπ－π2，kπ＋π2)，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．(kπ－34π，kπ＋π4)，k∈Z D．(kπ－π4，kπ＋34π)，k∈Z
第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数 y＝tan x 的性质与图象
y＝tan x
图象
定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋π2，k∈Z}
值域 周期 奇偶性 单调性
R 最小正周期为 π
奇函数 在开区间 kπ－π2，kπ＋2π (k∈Z)
内递增
例 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． 解：由题意得t1a－n xta＋n 1x≥>00 ，即－1≤tan x<1. 在－π2，π2内，满足上述不等式的 x 的取值范围是－π4，π4， 又 y＝tan x 的周期为 π， 所以所求 x 的范围是kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z)． 即函数的定义域为kπ－π4，kπ＋4π (k∈Z)．
课件2：1.4.3 正切函数的性质与图象
(3)由 k x k , k Z 解得
2
2
3 2
5
1
2k x 2k , k Z
3
3
5
1
所以,函数的单调增区间为：( 2k , 2k ), k Z
3
3
典型例题
1 π
求函数 y＝tan( x－ )的定义域、周期及单调区间．
x ， , 的图像？
2 2
（ ，
tan ）
3
A
0
3
3
X
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
3
3
(2) 作正切线
， ， ， ， ，
8
8
4
8
8Hale Waihona Puke 4(3) 平移(4) 连线
o
3 0
2
8
4
8
8
4
3
8
2
想一想
正切函数在整个定义域内是增函数吗？
2
解析：(1)函数的自变量x应满足
x k , k Z
2
3 2
即
1
x 2k , k Z
3
1
所以,函数的定义域为：
x
/
x
2
k
,
k
Z
3
(2)周期 T 2
2
典型例题
求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间.
课件6：1.4.3 正切函数的性质与图象
所以函数的定义域为xx∈R且x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)因为 3－tan x>0，所以 tan x< 3. 又因为 tan x＝ 3时，x＝π3＋kπ(k∈Z)， 根据正切函数图象(图略)，得 kπ－2π<x<kπ＋3π(k∈Z)， 所以函数的定义域是xkπ－π2<x<kπ＋π3，k∈Z.
谢谢观看！
[达标·检测]
1．函数 y＝tan x－π4≤x≤π4且x≠0的值域是(
)
A．[－1，1]
B．[－1，0)∪(0，1]
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
【解析】 根据函数的单调性可得．
【答案】 B
2．函数 f(x)＝tanx＋6π的定义域是________，f6π＝________. 【解析】 由题意知 x＋6π≠kπ＋π2(k∈Z)，即 x≠3π＋kπ(k∈Z)． 故定义域为xx≠kπ＋π3，k∈Z，且 f6π＝tan6π＋π6＝ 3. 【答案】 xx≠kπ＋π3，k∈Z 3
是增函数
π 2.函数 y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是______|ω__| ___．
[题型·探究] 类型 1 正切函数的定义域、值域问题
例 1 (1)函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域是________． (2)函数 y＝tan(sin x)的值域为________． 【自主解答】 (1)要使函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)有意义， 则t1a－n xta＋n 1x≥>00，，即－1≤tan x<1. 在－π2，π2上满足上述不等式的 x 的取值范围是－π4，π4. 又因为 y＝tan x 的周期为 π， 所以所求 x 的定义域为x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z.
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利用正切线画出一个周期内的正切函数图象 Y 作法如下： 1.作直角坐标系，并在直角 坐标系y轴左侧作单位圆.
2.找横坐标（把 x 轴上 到 这一 2 2 段分成8等份）
3.把单位圆右半圆中作出正 切线并平移.
O
X
4.找交叉点，用平滑的曲线把 这些点连起来.
利用正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正 切函数y tan x, x R且x k (k Z)的图象，并把它 2
T
(3)
(4)
k Z 内都是增函数.
v
O
值域
A 如图（1） , 当x大于 且无限接近 时， x 2 2 u 正切线AT向Ov轴的负方向无限延伸； T
(1) v
T
x
O
A
u
如图（2） ,当x小于 且无限接近 时， 2 2 正切线AT向Ov轴的正方向无限延伸；
(2)
所以正切函数的值域是实数集R.
正切函数在开区间
k , k , k Z 2 2 内都是增函数。
例题1比较
与
的大小.
一般的，函数
且
最小正周期是
。
例2
求函数 单调区间.
的定义域、周期和
【当堂检测】
1．根据正切函数的图象，写出使下列不等式
成立的x的集合： （1） (2)
叫做正切曲线.
y
0
x
从图中可以看出, 正切曲线是由被相互平行的直线 x k , k Z所隔开的无穷多支曲线组成的. 2
正切函数性质和图象 定义域 x R ,x k , k Z 2 值域
全体实数R
图象
y
3 2
o
x
周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性
正切函数是周期函数
单调性
奇偶性
正切函数是奇函数，正 切曲线关于原点0对称
正切函数的性质与图象
回顾探究
试根据研究正、余弦函数的图象与性质的 经验，以同样的方法研究正切函数的图象 与性质.
周期性
由诱导公式得 tan( x ) tan x, x R,x k , k Z 2 所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan( x) tan x, x R,x k , k Z 2
2．函数 A.周期为 C. 周期为
是（ 的奇函数 的奇函数
） B. 周期为 D. 周期为
的偶函数 的偶函数
3． 为第二象限角，则必有 （ A. B. C. D.
）
【归纳小结】正切函数
且
的性质：
【自我反思】 本节课我最大的收获是： 我还存在的疑惑有：
所以正切函数是奇函数.
单调性
v
T
如图(1)(2),由正切线
v
的变换规律可得，正
x
A
x
O
A
u
O
u
T
内 切函数在 ,
是增函数，又由正切 函数的周期性可知，
2 2
(2)
v x
O
A
(1)
v x u
O
T
A
正切函数在开区间
u
k , k , 2 2