第12章_磁场和它的源
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例题1 直线电流的磁场
2
Idl
o Idl sin dB 2 4 r
r
L
l
o
1
r
P
o Idl sin B dB 2 4r
方向
19
2
由图可知
r
r r sin
rd dl sin 2
Idl
l rctg
I z o
r
x
dB
.
P
x
dBx dB sin
0 Idl R
4πr
2
r
27
dByz dB cos
第四步：考虑所有电流元在 P 点的贡献 由对称性可知，每一对对称的电流元在P点的 磁场垂直分量相互抵消，所以
Bx dB sin
I
4 πr
r
1
P
B
21
3)长直载流导线 中垂线上一点
＊各电流元产生的磁感强度方向相同 ＊中垂线上半部分电流与中垂线下半部分
电流各提供1/2的磁感强度
＊无限长和半无限长载流导线
则有必然结果
l
B
B半无限
1 B无限 2
P
B无限
0 I 2r
22
例题2
圆电流中心的磁感应强度
dB
0 Idl dB 4R 2
1G 10 T
11
4
3、磁力线 典型电流的磁力线
I B
I
直线电流的磁力线
12
圆电流的磁力线
通电螺线管的磁力线
I I
磁力线的性质
I
1）无头无尾闭合曲线
2）与电流套连 3）与电流成右手螺旋关系 B
I
13
一些磁场的大小：
人体磁场极弱， 如心电激发磁场 约3×10-10T。测 人体内磁场分布 可诊断疾病，图 示磁共振图象。
Fe
Fm
Fm
+
+
Fm Fe
静电荷 运动电荷
电场
静电荷
磁场
运动电荷
7
§12.2 磁场与磁感应强度
电流 或运动电荷周围既有电场 又有磁场
1. 磁场: 由运动电荷(或电流)产生在空间 连续分布的一种物质 2.磁场的宏观性质 1）对运动电荷(或电流)有力的作用 2）磁场有能量
8
一、磁感应强度 B
I
o R
Id l
0 Idl 0 I B 2 2 4R I 4R
0I B 2R
dl
I
0I
2R
B
BN
0 I
2R
N---分数和整数
原因：各电流元在中心产生的磁场方向相同
23
例题3
圆电流轴线上任一点的磁场 半径为R 设圆电流在yz平面内
圆电流的电流强度为I 建如图所示的坐标系
地球磁场约 5×10-5T。 超导磁体能激 发高达25T磁 场；原子核附 近可达104T； 脉冲星表面高 达 108T
大型电磁铁磁 场可大于2T。
14
二、磁场叠加原理 磁场源：运动电荷、电流 等 有若干个磁场源时，磁场满足叠加原理：
B Bi
i
磁场叠加原理
en
B
dS
三、磁通量
dm B dS
L
说明磁场为非保守场（涡旋场）
33
B dl 0 Ii内
L i
B 空间所有电流共同产生 L 在场中任取的一闭合线 dl L绕行方向上的任一线元 I内 与L套连的电流
如图示的 I 1 I2
3）正确理解定理中各量的含义
I3
I1
dl
I2
L
电流分布
34
I
38
例题1
密绕长直螺线管内部的磁感应强度 N 总匝数为N 总长为l （ n 单位长度上匝数 ） l 通过稳恒电流 电流强度为I 解：分析对称性 知内部场沿轴向
方向与电流成右手螺旋关系 由磁通连续原理可得
l B
I
39
B内>> B外
取过场点的每个边都相当小的矩形环路abcda
B内 dl B dl B外 dl B dl B d l
I
42
l
例题2 无限长导体柱沿轴向通过电流I，截面上 各处电流均匀分布，柱半径为R。求柱内外磁场分 布。在长为l的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量 是多少？ 解：电流均匀分布，则电流密度为
I I J 2 S πR
根据电流分布的柱对称，取过场点的圆 环作为环流的积分路径。 由安培环路定理有
I
J
i
i内
电流代数和
I3
I1
电流正负的规定：
与L绕行方向成右手螺旋的 电流取正值
如图示的电流 I 1取正 电流 I2 取负 I 值采样的面积：
dl
I2
L
电流分布
以L为边界的任意面积的电流强度值
35
如何理解I 值采样的面积：
电流强度的定义是：
单位时间通过某个面积的电量
所以 谈论电流强度必须指明面积
大小： dB 2 4 πr 方向： Idl r 如图所示 既垂直电流元
0 Idl er dB 2 4 r 0 Idl sin
Idl r P
又垂直矢径
I
B dB
L
dB
电流 在场点的磁感应强度
磁场叠加原理
18
二、毕奥－萨伐尔定律的应用
R
r
B
2πrB 0 I i
i
43
2πrB 0 I i
i
解得
B
0 I i
i
I J S
2 πr
r<R
I
J
R
2 I J π r i i
若场点在圆柱内，即 包围的电流为
0 Jπr 2 0 J 则磁感强度为 B r 2πr 2 0 若写成矢量式为 B J r 2
在磁感应强度为B的恒定磁场中
磁感应强度沿任一闭合环路的线积分等 于穿过该环路的所有电流的代数和的0倍。
表达式为：
B d l I 0 i内
L i
32
讨论
B dl 0 Ii内
L i
1）安培环路定理是稳恒电流磁场的性质方程 （稳恒电流的回路必须闭合或伸展到） 2） B d l 0
r
0 NI B 2 r
无限大均匀载流平面
B
0 J
2
电流密度
O R1 r R2
41
电流密度
•（体）电流 (面)密度
如图 电流强度为I 的电流通过截面S
若均匀通过
I 电流密度为 J S
I
S
•(面) 电流 (线)密度
如图 电流强度为I的电流通过截线 l
I 若均匀通过 电流密度为 J l
在稳恒电流的情况下
因为电流强度处处相等 所以在哪个面积处取值都相同
36
练习
I1
I2
l1
B d l
l1
I
l2
B dl
l2
37
二、安培环路定理在解场方面的应用 对于一些对称分布的电流
可以通过取合适的环路L
利用磁场的环路定理比较方便地求解场量 (类似于电场强度的高斯定理的解题) 以例题说明解题过程
1、实验: 运动电荷在磁场中受力
（ 1） f f B
（2） f sin = 0° 时 , f = 0 = 90°时, f 最大
q
B
f
（3） f max q
9
固定 q , v ,
实验发现: 同一点, 不同点, 结论:
q
L
ab bc cd da
B内 ab
由安培环路定理有
每项均为零
N B ab 0 I ab l
均匀场
B 0nI
N n l
c d
40
b
B内
a
由安培环路定理可解一些典型的场
无限长载流直导线 密绕螺绕环
匝数
0I B 2 r I
解: 取半径为 r, 宽度为 dr 的均匀带电圆环。
R
dq dI dt
or
dr
P
所以
x
dq dS 2rdr
dt T 2 /
dI rdr
30
R
or
dr
P
作业 12.1 12.2 12.4 12.5
x
0 r dI dB 2 r 2 x 2 3 / 2
B
f
f max q
f max q f max q
与 q , v ,无关
不同 只与磁场的性质有关
10
2、 (定义)磁感应强度 B f max 大小: B q
磁场中一点的 B 的大小等于单位正电荷以 单位速度在该点运动时所受的最大磁场力 方向:
小磁针静止时 N 极的指向
单位：特斯拉 (T) 高斯（G）
P
L
l
o
1
r
B
2
1
o I sin d 4r
直线电流的磁场 无限长直线电流的磁场
o I cos1 cos 2 B 4r
o I B 2r
20
直电流磁场的特点
1)场点在直电流延长线上
I
P
ˆ 0 Idl r
B0
2
I
2）场点在距直电流r处的P点
0 I cos1 cos 2 B 4r
r
B
44
解得
B
0 I i
i
2 πr
r> R
I
J
R
若场点在圆柱外，即 包围的电流为
I
i
i
I
r
则磁感强度为
B
0 I
2πr
45
B
场的分布为
r<R
r> R
0 B J r 2
B
0 I
2πr
I
J
R
求长为l的一段通过的磁通量:
建坐标如图。
在任意坐标r处，宽为dr的面积元的 磁通量为 0 Jr
y
Idl r 组成的平面
r Id l ˆ
I
z o
r
x
dB
.
P
x
ˆ 相互垂直 所以 Idl r 2 dB 垂直 Idl r 组成的平面
由此可知
dB
0 Idl
4πr 2
26
第三步：根据坐标
y
写分量式
Idl r 组成的平面
r Id l ˆ
I
0 Idl R
2
r
0 IR
4 πr
3
dl
I
0 IR
2r
3
2
结论：在P点的磁感强度
B Bx
0 IR
2r
3
2
2 x R
2
0 IR
2 2 3/ 2
方向：沿轴向,与电流成右手螺旋关系。
28
B Bx
讨论
0 IR
2r
3
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x R
2
0 IR
场点P坐标为x
y
I
z
R o
P . x
x
24
y
r Id l ˆ
I
z o
Idl r 组成的平面
r
x
dB
.
P
x
解：第一步：在圆电流上任取一电流元 Idl
由毕－萨定律得在场点 P 产生的磁感应强度
0 Idl r ˆ dB 2 4πr
25
第二步：分析各量关系 明确 dB 的方向和大小
《大学物理学》电磁学
第12章
磁场和它的源
1
第12章
磁场和它的源
§12.1 磁力与电荷的运动
§12.2 磁场与磁感应强度
§12.3 毕奥 – 萨伐尔定律及其应用 §12.4 安培环路定理及其应用 注（与变化的电场相联系的磁场在第16章讲）
2
§12.1 磁力与电荷的运动
基本磁现象 磁铁间的相互作用
S
2 2 3/ 2
1）圆电流中心的场 2）若x >> R
x0 B
0 I
2R
即场点离圆电流很远
B
0 IR
2x
3
2
0 IR
2r
3
2
29
例题4 半径为R的圆片均匀带电，面电荷密度为 ， 令该圆片以角速度 绕通过中心且垂直于圆平面的轴 旋转。求轴线上距圆片中心为x的P点处的磁感应强度。
m B dS
S
单位：韦伯(Wb)
15
四、磁场的高斯定理 B dS 0 磁场是无源场
S
§12.3
毕奥－萨伐尔定律及其应用
要解决的问题是：
其磁感应强度的计算 方法：将电流分割成许多电流元 Idl
16
已知任一电流分布
一、毕奥－萨伐尔定律
将电流分割成许多电流元 Idl
N
S
N
同性磁极相互排斥,异性磁极相互吸引
3
电流对磁铁的作用
I
S
N
1820年 奥斯特
磁针的一跳
电流的磁效应
电流能够产生磁场
4
电流与电流之间的相互作用
I
F F
I
电流产生磁场，磁场对电流有力的作用
5
磁场对运动电荷的作用
电子束
S N +
磁场对运动电荷有力的作用
6
运动电荷与运动电荷的相互作用 Fe
dq dE 2 r
实验表明
Idl dB 2 r
Idl r
dB
P
Idl sin dB 2 r
Idl , r
7
I
每个电流元在场点的磁感应强度为
0 Idl sin dB 2 4 r
0 4π 10
H/m
17
真空中的磁导率
电流元 在场点的磁感应强度
r
dr
B
l
d BdS
2
0
R
2 r2 x
r 3
2 3/ 2
dr
B dB
I
o
0
2 r2 x
r
3
2 3/ 2
dr
0 R 2 2 x 2
2 2 2 R x
1/ 2
2 x
31
ˆ 方向：x
§12.4 安培环路定理及其应用 一、定理表述
2
Idl
o Idl sin dB 2 4 r
r
L
l
o
1
r
P
o Idl sin B dB 2 4r
方向
19
2
由图可知
r
r r sin
rd dl sin 2
Idl
l rctg
I z o
r
x
dB
.
P
x
dBx dB sin
0 Idl R
4πr
2
r
27
dByz dB cos
第四步：考虑所有电流元在 P 点的贡献 由对称性可知，每一对对称的电流元在P点的 磁场垂直分量相互抵消，所以
Bx dB sin
I
4 πr
r
1
P
B
21
3)长直载流导线 中垂线上一点
＊各电流元产生的磁感强度方向相同 ＊中垂线上半部分电流与中垂线下半部分
电流各提供1/2的磁感强度
＊无限长和半无限长载流导线
则有必然结果
l
B
B半无限
1 B无限 2
P
B无限
0 I 2r
22
例题2
圆电流中心的磁感应强度
dB
0 Idl dB 4R 2
1G 10 T
11
4
3、磁力线 典型电流的磁力线
I B
I
直线电流的磁力线
12
圆电流的磁力线
通电螺线管的磁力线
I I
磁力线的性质
I
1）无头无尾闭合曲线
2）与电流套连 3）与电流成右手螺旋关系 B
I
13
一些磁场的大小：
人体磁场极弱， 如心电激发磁场 约3×10-10T。测 人体内磁场分布 可诊断疾病，图 示磁共振图象。
Fe
Fm
Fm
+
+
Fm Fe
静电荷 运动电荷
电场
静电荷
磁场
运动电荷
7
§12.2 磁场与磁感应强度
电流 或运动电荷周围既有电场 又有磁场
1. 磁场: 由运动电荷(或电流)产生在空间 连续分布的一种物质 2.磁场的宏观性质 1）对运动电荷(或电流)有力的作用 2）磁场有能量
8
一、磁感应强度 B
I
o R
Id l
0 Idl 0 I B 2 2 4R I 4R
0I B 2R
dl
I
0I
2R
B
BN
0 I
2R
N---分数和整数
原因：各电流元在中心产生的磁场方向相同
23
例题3
圆电流轴线上任一点的磁场 半径为R 设圆电流在yz平面内
圆电流的电流强度为I 建如图所示的坐标系
地球磁场约 5×10-5T。 超导磁体能激 发高达25T磁 场；原子核附 近可达104T； 脉冲星表面高 达 108T
大型电磁铁磁 场可大于2T。
14
二、磁场叠加原理 磁场源：运动电荷、电流 等 有若干个磁场源时，磁场满足叠加原理：
B Bi
i
磁场叠加原理
en
B
dS
三、磁通量
dm B dS
L
说明磁场为非保守场（涡旋场）
33
B dl 0 Ii内
L i
B 空间所有电流共同产生 L 在场中任取的一闭合线 dl L绕行方向上的任一线元 I内 与L套连的电流
如图示的 I 1 I2
3）正确理解定理中各量的含义
I3
I1
dl
I2
L
电流分布
34
I
38
例题1
密绕长直螺线管内部的磁感应强度 N 总匝数为N 总长为l （ n 单位长度上匝数 ） l 通过稳恒电流 电流强度为I 解：分析对称性 知内部场沿轴向
方向与电流成右手螺旋关系 由磁通连续原理可得
l B
I
39
B内>> B外
取过场点的每个边都相当小的矩形环路abcda
B内 dl B dl B外 dl B dl B d l
I
42
l
例题2 无限长导体柱沿轴向通过电流I，截面上 各处电流均匀分布，柱半径为R。求柱内外磁场分 布。在长为l的一段圆柱内环绕中心轴线的磁通量 是多少？ 解：电流均匀分布，则电流密度为
I I J 2 S πR
根据电流分布的柱对称，取过场点的圆 环作为环流的积分路径。 由安培环路定理有
I
J
i
i内
电流代数和
I3
I1
电流正负的规定：
与L绕行方向成右手螺旋的 电流取正值
如图示的电流 I 1取正 电流 I2 取负 I 值采样的面积：
dl
I2
L
电流分布
以L为边界的任意面积的电流强度值
35
如何理解I 值采样的面积：
电流强度的定义是：
单位时间通过某个面积的电量
所以 谈论电流强度必须指明面积
大小： dB 2 4 πr 方向： Idl r 如图所示 既垂直电流元
0 Idl er dB 2 4 r 0 Idl sin
Idl r P
又垂直矢径
I
B dB
L
dB
电流 在场点的磁感应强度
磁场叠加原理
18
二、毕奥－萨伐尔定律的应用
R
r
B
2πrB 0 I i
i
43
2πrB 0 I i
i
解得
B
0 I i
i
I J S
2 πr
r<R
I
J
R
2 I J π r i i
若场点在圆柱内，即 包围的电流为
0 Jπr 2 0 J 则磁感强度为 B r 2πr 2 0 若写成矢量式为 B J r 2
在磁感应强度为B的恒定磁场中
磁感应强度沿任一闭合环路的线积分等 于穿过该环路的所有电流的代数和的0倍。
表达式为：
B d l I 0 i内
L i
32
讨论
B dl 0 Ii内
L i
1）安培环路定理是稳恒电流磁场的性质方程 （稳恒电流的回路必须闭合或伸展到） 2） B d l 0
r
0 NI B 2 r
无限大均匀载流平面
B
0 J
2
电流密度
O R1 r R2
41
电流密度
•（体）电流 (面)密度
如图 电流强度为I 的电流通过截面S
若均匀通过
I 电流密度为 J S
I
S
•(面) 电流 (线)密度
如图 电流强度为I的电流通过截线 l
I 若均匀通过 电流密度为 J l
在稳恒电流的情况下
因为电流强度处处相等 所以在哪个面积处取值都相同
36
练习
I1
I2
l1
B d l
l1
I
l2
B dl
l2
37
二、安培环路定理在解场方面的应用 对于一些对称分布的电流
可以通过取合适的环路L
利用磁场的环路定理比较方便地求解场量 (类似于电场强度的高斯定理的解题) 以例题说明解题过程
1、实验: 运动电荷在磁场中受力
（ 1） f f B
（2） f sin = 0° 时 , f = 0 = 90°时, f 最大
q
B
f
（3） f max q
9
固定 q , v ,
实验发现: 同一点, 不同点, 结论:
q
L
ab bc cd da
B内 ab
由安培环路定理有
每项均为零
N B ab 0 I ab l
均匀场
B 0nI
N n l
c d
40
b
B内
a
由安培环路定理可解一些典型的场
无限长载流直导线 密绕螺绕环
匝数
0I B 2 r I
解: 取半径为 r, 宽度为 dr 的均匀带电圆环。
R
dq dI dt
or
dr
P
所以
x
dq dS 2rdr
dt T 2 /
dI rdr
30
R
or
dr
P
作业 12.1 12.2 12.4 12.5
x
0 r dI dB 2 r 2 x 2 3 / 2
B
f
f max q
f max q f max q
与 q , v ,无关
不同 只与磁场的性质有关
10
2、 (定义)磁感应强度 B f max 大小: B q
磁场中一点的 B 的大小等于单位正电荷以 单位速度在该点运动时所受的最大磁场力 方向:
小磁针静止时 N 极的指向
单位：特斯拉 (T) 高斯（G）
P
L
l
o
1
r
B
2
1
o I sin d 4r
直线电流的磁场 无限长直线电流的磁场
o I cos1 cos 2 B 4r
o I B 2r
20
直电流磁场的特点
1)场点在直电流延长线上
I
P
ˆ 0 Idl r
B0
2
I
2）场点在距直电流r处的P点
0 I cos1 cos 2 B 4r
r
B
44
解得
B
0 I i
i
2 πr
r> R
I
J
R
若场点在圆柱外，即 包围的电流为
I
i
i
I
r
则磁感强度为
B
0 I
2πr
45
B
场的分布为
r<R
r> R
0 B J r 2
B
0 I
2πr
I
J
R
求长为l的一段通过的磁通量:
建坐标如图。
在任意坐标r处，宽为dr的面积元的 磁通量为 0 Jr
y
Idl r 组成的平面
r Id l ˆ
I
z o
r
x
dB
.
P
x
ˆ 相互垂直 所以 Idl r 2 dB 垂直 Idl r 组成的平面
由此可知
dB
0 Idl
4πr 2
26
第三步：根据坐标
y
写分量式
Idl r 组成的平面
r Id l ˆ
I
0 Idl R
2
r
0 IR
4 πr
3
dl
I
0 IR
2r
3
2
结论：在P点的磁感强度
B Bx
0 IR
2r
3
2
2 x R
2
0 IR
2 2 3/ 2
方向：沿轴向,与电流成右手螺旋关系。
28
B Bx
讨论
0 IR
2r
3
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x R
2
0 IR
场点P坐标为x
y
I
z
R o
P . x
x
24
y
r Id l ˆ
I
z o
Idl r 组成的平面
r
x
dB
.
P
x
解：第一步：在圆电流上任取一电流元 Idl
由毕－萨定律得在场点 P 产生的磁感应强度
0 Idl r ˆ dB 2 4πr
25
第二步：分析各量关系 明确 dB 的方向和大小
《大学物理学》电磁学
第12章
磁场和它的源
1
第12章
磁场和它的源
§12.1 磁力与电荷的运动
§12.2 磁场与磁感应强度
§12.3 毕奥 – 萨伐尔定律及其应用 §12.4 安培环路定理及其应用 注（与变化的电场相联系的磁场在第16章讲）
2
§12.1 磁力与电荷的运动
基本磁现象 磁铁间的相互作用
S
2 2 3/ 2
1）圆电流中心的场 2）若x >> R
x0 B
0 I
2R
即场点离圆电流很远
B
0 IR
2x
3
2
0 IR
2r
3
2
29
例题4 半径为R的圆片均匀带电，面电荷密度为 ， 令该圆片以角速度 绕通过中心且垂直于圆平面的轴 旋转。求轴线上距圆片中心为x的P点处的磁感应强度。
m B dS
S
单位：韦伯(Wb)
15
四、磁场的高斯定理 B dS 0 磁场是无源场
S
§12.3
毕奥－萨伐尔定律及其应用
要解决的问题是：
其磁感应强度的计算 方法：将电流分割成许多电流元 Idl
16
已知任一电流分布
一、毕奥－萨伐尔定律
将电流分割成许多电流元 Idl
N
S
N
同性磁极相互排斥,异性磁极相互吸引
3
电流对磁铁的作用
I
S
N
1820年 奥斯特
磁针的一跳
电流的磁效应
电流能够产生磁场
4
电流与电流之间的相互作用
I
F F
I
电流产生磁场，磁场对电流有力的作用
5
磁场对运动电荷的作用
电子束
S N +
磁场对运动电荷有力的作用
6
运动电荷与运动电荷的相互作用 Fe
dq dE 2 r
实验表明
Idl dB 2 r
Idl r
dB
P
Idl sin dB 2 r
Idl , r
7
I
每个电流元在场点的磁感应强度为
0 Idl sin dB 2 4 r
0 4π 10
H/m
17
真空中的磁导率
电流元 在场点的磁感应强度
r
dr
B
l
d BdS
2
0
R
2 r2 x
r 3
2 3/ 2
dr
B dB
I
o
0
2 r2 x
r
3
2 3/ 2
dr
0 R 2 2 x 2
2 2 2 R x
1/ 2
2 x
31
ˆ 方向：x
§12.4 安培环路定理及其应用 一、定理表述