第12章恒定磁场讲解

霍耳效应
例 把一宽为2.0cm，厚1.0cm的铜片，放在B=1.5T的 磁场中，磁场垂直通过铜片。如果铜片载有电流 200A ，求呈现在铜片上下两侧间的霍耳电势差有多 大？
解 单位体积内的自由电子数n即等于单位体积内的 原子数。1 mol铜（ 0.064kg）有6.0×1023个原子， 铜的密度为9.0×103 kg/m3，所以铜片中自由电子的 密度 3 9 . 0 10 n 6.0 10 23 m－3 8.4 10 28 m－3 0.064 霍耳电势差
3、磁感应线（ B线）：
磁感应线的切线方向指向磁场方向。 通过单位垂直面积的磁感应线数等于 磁感应强度的大小。 dN B 或 dN B dS dS B 线性质： 任何两条磁感应线不相交；
磁感应线都是围绕电流的闭合曲线。
B
I
B
I
（图12-2）
§12-2 带电粒子在磁场中的运动
例
例：一半圆形平面载流线圈垂直于均匀磁场，求该 载流线圈所受的安培力。 直线段受力：
F1 2 RIB
方向向下
× × F2 × × B × y F2 2y d× × × dF ×
× × × × × dF × 2x d θ × R × × × θ × × × × o x × × × × × × × F× × 1 × × × × ×
霍耳效应
IB 200 1.5 V1 －V2 － V 28 19 ned 8.4 10 1.6 10 0.001 2.2 10 5V 22V
铜片中电流为200A时，霍耳电势差只有22μ V， 可见在通常情况下铜片中的霍尔效应是很弱的。 在半导体中，载流子浓度n远小于单位金属中自 由电子的浓度，因此可得到较大的霍耳电势差。 在这些材料中能产生电流的数量级约为1mA，如 果选用和例中铜片大小相同的材料，取I=0.1mA， n=1020 m-3 ，则可算出其霍耳电势差约为9.4mV， 用一般的毫伏表就能测量出来。

圆弧段受力：
dF2 Idl B IBR dθ
I
×
×
由对称性： F2 x dF2 x 0
π
F2 dF2 y IBR sin θdθ 2IBR 方向向上
线圈所受合力：F F1 F2 0
0
2、均匀磁场对平面载流线圈的作用：
π F3 IBl 2 sin( θ ) 2 π F4 IBl 2 sin( θ ) 2
同名磁极相斥，异名磁极相吸。
地磁： 地磁北极在地理南极附近； 地磁南极在地理北极附近。
以小磁针北极（N极）的指向定义为磁场的方向。 通电螺线管与磁铁棒有相似的磁性。
安培分子电流假设： 组成磁铁棒的最小单元（基元磁体）为分子环形电 流，当它们定向排列时，在磁铁棒表面产生束缚电 流，与螺线管导线内电流相似。
1 Ek mv 2 eU 2
×
20000V ×
×
× ×B × × ×v × × × × × × × × × × × × × × × ×
×
×
y
电子速率： v
2eU m 2 mU 9.54 m 2 eB
d
mv 回旋半径： R eB
偏转距离： y R R 2 d 2 8.3 10 3 m 8.3mm
带电粒子作垂直于磁场的 匀速圆周运动和平行于磁 场的匀速直线运动。 运动轨迹为等距螺旋线。
v0 y
+
v0 v0 x
h
θ
B
R
mv 0 sin θ 螺旋线半径： R qB qB
mv 0 y
回旋周期： T 螺距：
2 πR 2 πm v0 sin θ qB
2 πmv 0 cos θ h v 0 xT qB
U H duB ,
I du qnb
1 IB IB k 霍耳电势差： U H nq b b 1 k nq
称为霍耳系数，由材料性质决定。
b 越小，则UH 越大； n越小，则UH 越大。由半导体材料的霍耳效应 明显大于金属材料；
若载流子为负电荷，则UH 极性相反，霍耳系数 为负。因此，可由UH 的极性判断载流子的类型。
N
S
N
S
结论：一切磁现象的本源是运动电 荷（电流）。
电流
磁场
电流
2、磁感应强度 B ： v F max +q
+
F
+
磁场方向
S
F 0
N
v F Fmax
+q
+q +
v F sin θ
θ
结果：(1) F v , 磁针北极指向; (2) F q , v , sin θ Fmax 定义： (1) B 的大小：B qv (2) B 的方向： 与小磁针北极指向相同。 F qvB sin θ F qv B N 4 1 T 1 10 G 高斯 B 的单位：特斯拉 A m
磁聚焦、磁透镜
从电子枪中射出 的电子束有一定 的散射角，会增 大屏幕上的像斑 直径。但在匀强 磁场的作用下， 经过整数倍螺距 时，电子又会聚 焦到同一点。
匀强磁场的作用就好象会聚光线的透镜一样。
3、回旋加速器：
交变电场频率 ~ 106 Hz B~1T, R~1m 加速到最大能量： 质子：~ 30 MeV 氦核：~ 100 MeV 回旋加速器受相对论 效应的限制。
例12-3
例12-3：半径为R的导体圆环，载有电流I，将此圆环 放在磁感强度为B的均匀磁场中，环面与磁场垂直。 求圆环导线所受的张力为多大？ 左、右半圆环受力相等，左半圆环受力 × × × B 水平向左，并等于导线内张力的2倍。 × × × ×
× × R× I 设想左半环与导线ab组成一个线圈，则F × ×o × ×
F qvB sin 1.6 10
19
1.0 10 0.3 10
7
4
sin 90 N
0
4.8 10 17 N
这个力约是质子重量(mg=1.6×10-26N）的109倍，因 此当讨论微观带电粒子在磁场中的运动时，一般可以忽 略重力的影响。
习题12-6
习题12-6：估算地磁场对电视机显象管中电子束的影响。 设加速电压为20000V，电子枪到屏幕的距离为0.4m，地 磁场大小为0.5×10-4T，计算电子束的偏转距离。 电子从电子枪出射时的动能：
Idl
1、安培定律：
电流元在磁场中所受的磁场力 （安培力）为：
dF Idl B dF Idl
B
θ
称为安培定律。
任意载流导线（或导线回路）在磁场中所受的安 培力为：
F Idl B
上式取环路积分是因为直流电路都是闭合的，若 只需知道回路的一部分所受的磁力，则只对该部分 积分即可。
4、霍耳效应：
设导体（半导体）片 中载流子为正电荷。 洛仑兹力： Fm quB 电场力：
Fe qE
d
u b
当 Fm = Fe 时： 霍耳电场： E H uB 霍耳电势差： U H dE H duB
设导体（半导体）内载流子密度为n，则：
I q n bd u
I du qnb
即： M IBS sin θ
n
若线圈N由匝组成，则：
M NIBS sin θ
定义：平面载流线圈的磁矩
m NIS n
单位：A m 2
所以，平面载流线圈在均匀磁场中所受的磁力矩为：
M m B
任意平面载流线圈在均匀磁场中所受的合磁力为 零，但合磁力矩一般不为零。 磁力矩总是力图使线圈的磁矩转向磁场的方向。
§12-3 磁场对电流的作用
安培力
金属导体中自由电子在磁场中运动时受洛仑兹力作 用而获得动能，自由电子与导体晶格点阵碰撞将动 能传递给导体。 所以，载流导线载磁场中所受的磁场力（安培力） 是大量自由电子所受洛仑兹力的宏观表现。 与点电荷概念相似，引入“电流元”的概念： 定义：电流元
Idl
I
电流元的方向为电流元内电流的方向。 任一载流导线可看作由无穷多电流元组成。
与导线ab受力大小相等、方向相反。
F IB 2 R 2T
× ×
× ×
× ×
×
×
×
×
b
圆环导线内的张力为：
F T IBR 2
F
T T
R
a
习题12-17
习题12-17：半径为R的带电塑料圆盘，面电荷密度σ 为常量。设圆盘绕轴以ω 旋转，磁场方向垂直于转轴。 求圆盘所受的磁力矩。 在圆盘上取同心细圆环。 电量： 电流：
B θ v B θ v
洛仑兹力垂直于电荷运动速度，它对运动电荷不 作功。即洛仑兹力只改变电荷运动的方向，而不改 变速度的大小。
1、洛仑兹力：
一个运动电荷q在其它运动电荷（或电 流）周围运动时，会受到电场力和磁 场力的作用。
Fm
+q +
-q F Fe Fm F 其中： Fe qE （与q的运动无关） m Fm qv B （与q的运动有关） Fm qv B 称为洛仑兹力公式
主要内容：
(1) 磁感应强度矢量； (2) 磁场对运动电荷和电流的作用； (3) 磁场的计算、毕奥—萨伐尔定律； (4) 磁场的高斯定理； (5) 磁场的安培环路定理。
§12-1 磁感强度 1、基本磁现象：
磁性：磁体可吸引铁、镍、钴等物质的性质。 磁极：磁体上磁性最强处（N极、S极）。 磁极不可分，总是成对出现。
洛伦兹力
例1 宇宙射线中的一个质子以速率v= 1.0×107m/s竖直进 入地球磁场内，估算作用在这个质子上的磁力有多大？
解 : 在地球赤道附近的地磁场沿水平方向，靠近地面处的 磁感应强度约为 B= 0.3×10-4T ，已知质子所带电荷量为 q=1.6×10-19C ，按洛仑兹力公式，可算出场强对质子的作 用力为
例
例：求载流直导线在均匀磁场中所受的安培力。 在载流直导线上任取电流元， 电流元所受的安培力：
dF BIdl sin θ
F
l Idl θ
I
B
整个载流直导线受的安培力：
F BI sin θ dl BIl sin θ
l


θ 0 时，Idl || B F 0 π θ 时，Idl B F Fmax BIl 2
F4
a
F1
I
θ
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F2
F3、F4作用在线框上的合力及合力 矩均为零。
F1 F2 IBl1
l1 b
n
B
c
F3
l2
F2

F1、F2作用在线框上的合力为零但 合力矩不为零。
1 M 2 F1 l 2 sin θ IBl1 l 2 sin θ 2
θ
I
θ
d
a
F1
B θ v B θ v
洛仑兹力垂直于电荷运动速度，它对运动电荷不 作功。即洛仑兹力只改变电荷运动的方向，而不改 变速度的大小。
洛仑兹力
2、带电粒子在均匀磁场中的运动：
v0 进 设电量为q ，质量为 m 的带电粒子以初速度 入均匀磁场 B中。
( 1 ) v0 || B 或 v0 || B ：
1、洛仑兹力：
一个运动电荷q在其它运动电荷（或电 流）周围运动时，会受到电场力和磁 场力的作用。
Fm
+q +
-q F Fe Fm F 其中： Fe qE （与q的运动无关） m Fm qv B （与q的运动有关） Fm qv B 称为洛仑兹力公式
q
由洛仑兹力公式：
+
v0
F qv B 0
B
即带电粒子作匀速直线运动。
( 2 ) v0 B ： F v0 , 带电粒子在垂直于磁场平面
内作匀速圆周运动。
× × × × × × ×
× × × ×
× × × R ×
2 v0 F qv0 B m R
×B
×
× ×
mv 0 回旋半径： R qB 2 πR 2 πm 回旋周期： T v0 qB
× × × × × F× × × × × × × × × × × v0 + × × q × ×
1 qB 回旋共振频率：f T 2 πm
与 R，v0 无关！
( 3 ) v0 , B θ ：