人教版九年级下册相似三角形之相似模型(一)学案

相似模型（一）（讲义）

➢∙课前预习

1. 请证明以下结论：

①如图1，在△ABC中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC．

②如图2，在△ABC中，∠B=∠AED，求证：△AED∽△ABC．

③如图3，在△ABC中，∠B=∠ACD，求证：△ACD∽△ABC．

④如图4，直线AB，CD相交于点O，连接AC，BD，且

AC∥BD，求证：△AOC∽△BOD．

⑤如图5，直线AB，CD相交于点O，连接AC，BD，∠B=∠C，求证：△AOC∽△DOB．

⑥如图6，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，求证：△ADB∽△CDA，△

ADB∽△CAB．

图1 图2 图3

图4 图5 图6

➢∙知识点睛

1. 六种相似基本模型：

DE∥BC∠B=∠AED∠B=∠ACD

A型

A C∥BD∠B=∠C AD是Rt△ABC斜边上的高

X型母子型

2. 相似、角相等、比例线段间的关系：

相似往往与_______________等信息组合搭配起来使用．多个相似之间一般会通过

___________________来转移条件．一般碰到不熟悉的线段间关系（线段乘积等）时，常需要还原成____________来观察和分析．

3. 平行特征——作平行，得相似（构造X型、A型）

➢ 精讲精练

1. 如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC

的长为（）

A．2 B．4 C．6 D．8

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，C D=4，AD=8，则AC=________，

BD=_________，BC=________．

3. 如图，在△ABC中，EF∥DC，∠AFE=∠B，AE=6，ED=3，AF=8，则AC=_________，

_________．

4. 如图，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，

其中AF=6，DF=3，CF=2，则AE=_________．

5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，

BC=4，则EF=__________．

6. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中

容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是___________步．

7. 如图，在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接BC交AD于点E，过点E作EF

⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，则BF:F D=_____________．

8. 如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，则

BM:DN=_____________．

9. 如图1，在△ABC中，AE=CE，BC=CD．则

______．

10. 如图1，直线l与△ABC三边所在直线分别交于点E，F，D，且BF:AF=2:3，EF:FD=5:4，

求AD:CD的值．

图1

11. 如图，AG:GD=4:1，BD:DC=2:3，则AE:EC的值是（）

A．3:2 B．4:3 C．6:5 D．8:5

12. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，

DF=CF，则的值是（）

A． B． C． D．

13. 如图，在□ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．则下

列结论：①；②；③；④．其中正确的是_________．

14. 如图所示，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：

①△EF D∽△ABD；

②；③；④．其中正确的有

___________．

15. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上．求

证：．

16. 如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共

顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，

A F，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．

①请写出图中所有的相似三角形___________________；②若BD，则CE=________.

17. 如图，M为线段AB上一点，AE与BD相交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AE于点F，

ME交BD于点G．

（1）写出图中的三对相似三角形；

（2）连接FG，当AM=MB时，求证：△MFG∽△BMG．

相似模型（一）（习题）

➢ 复习巩固

1. 如图，在锐角三角形ABC中，高CD，BE相交于点H，则图中与△CEH相似（除△CEH自身

外）的三角形有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

第1题图第2题图

2. 如图，E是□ABCD的边CD上一点，连接AC，BE交于点F．

若DE:EC=1:2，则BF:E F=________．

3. 如图，某树高为4 m，小明在A时刻测得某树的影长为2m，B时刻又测得该树的影长

为x m，若两次日照的光线互相垂直，则x=________．

4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD:A D=3:，则AC:AB=（）

A．B．C．D．

第4题图第5题图