2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第九节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系含解析

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2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第一节直线的方程含解析

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第一节直线的方程含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．直线 x ＋ 3y ＋ a ＝ 0(a 为实常数 )的倾斜角的大小是 ()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°分析：直线 x ＋ 3y ＋a ＝0(a 为实常数 )的斜率为－ 33 ，令其倾斜角为 θ，则 tan θ3＝－ 3 ，解得 θ＝ 150°，应选 D.答案： D2．假如 AB<0，且 BC<0，那么直线 Ax ＋ By ＋C ＝ 0 不经过 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限AC分析：直线 Ax ＋By ＋ C ＝ 0 可化为 y ＝－ B x － B ，A C∵AB<0，BC<0，∴－ >0，－ >0.∴直线过第一、二、三象限，可是第四象限，故BB选 D.答案： D．直线2＋1)y ＋1＝0 的倾斜角的取值范围是 ( )3 x ＋(aπ 3πA ．[0，4]B ．[ 4 ，π)π π π π 3πC ．[0 ，4] ∪(2， π)D ．[4，2)∪[ 4 ，π)分析：由直线方程可得该直线的斜率为－21，又－ 1≤－21<0，因此倾斜a ＋ 1a＋13π角的取值范围是 [ 4 ，π)．答案： B4．若方程 (2m 2＋ m －3)x ＋(m 2－m)y －4m ＋1＝0 表示一条直线，则参数 m 知足的条件是()。

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系含解析

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．圆心为 (4,0)且与直线 3x －y ＝0 相切的圆的方程为 () A ． (x －4)2＋ y 2＝1 B ．(x －4)2 ＋y 2＝ 12C ．－ 4) 2＋ y 2＝6D ．(x ＋4)2＋y 2＝ 9(x分析：由题意，知圆的半径为圆心到直线3x －y ＝ 0 的距离，即 r ＝ | 3×4－0|＝3＋ 12 3，联合圆心坐标可知，圆的方程为 (x －4)2＋y 2＝ 12，应选 B.答案： B． ·石家庄质检，是正数，直线 2ax ＋ by －2＝0 被圆 x 2＋ y 2 ＝4 截得 2 (2018 )若 a b的弦长为 2 3，则 t ＝ a 1＋2b 2获得最大值时 a 的值为 ()133 3 A. 2B. 2C. 4D.4分析：由于圆心到直线的距离 d ＝2，则直线被圆截得的弦长 L ＝2r 2－ d 24a 2 ＋b 2＝ 24－ 4＝ 2 3，因此 4a 2＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2 ＝ 1 ·(2 2a)1＋2b 24a 2＋b 22 2≤112a) 2＋ (2 212＋ 1＋2(4－ 29 ，当且仅当··[(21＋2b ) ] ＝[8a 4a )] ＝2 224 24 22238a ＝1＋2b 22时等号建立，此时a ＝ 4，应选 D.4a ＋b ＝4答案： D3．(2018 ·惠州模拟 )已知圆 O ：x 2＋y 2＝4 上到直线 l ：x ＋y ＝a 的距离等于 1 的点恰有 3 个，则实数 a 的值为 ()A ．2 2 B. 2C ．－ 2或 2D ．－2 2或 2 2分析：由于圆上到直线 l 的距离等于 1 的点恰巧有 3 个，因此圆心到直线 l 的距。

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第三节圆的方程含解析

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第三节圆的方程含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练．方程 x 2＋ y 2＋2x －4y －6＝0 表示的图形是 () 1A ．以 (1，－ 2)为圆心， 11为半径的圆B ．以 (1,2)为圆心， 11为半径的圆C ．以 (－1，－ 2)为圆心， 11为半径的圆D ．以 (－ 1,2)为圆心， 11为半径的圆分析：由 x 2＋y 2＋2x －4y － 6＝ 0 得(x ＋1)2＋(y －2)2＝11，故圆心为 (－ 1,2)，半径为 11. 答案： D2．若圆 C 的半径为 1，圆心 C 与点 (2,0)对于点 (1,0)对称，则圆 C 的标准方程为()A ． x 2＋y 2＝1B ．(x －3)2 ＋y 2＝ 1C ．(x － 1)2＋ y 2＝1D ．x 2＋(y － 3)2＝ 1分析：由于圆心 C 与点 (2,0)对于点 (1,0)对称，故由中点坐标公式可得 C(0,0)，因此所求圆的标准方程为 x 2＋y 2＝ 1.答案： A3．圆 (x ＋2)2＋ y 2＝5 对于原点 (0,0)对称的圆的方程为 ( )A ． x 2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋y 2＝ 5C ．x 2＋ (y ＋2)2＝5D ．(x －1)2＋y 2＝ 5 分析：由于所求圆的圆心与圆 (x ＋ 2)2＋ y 2＝ 5 的圆心－， 0) 对于原点对称，( 2(0,0) 因此所求圆的圆心为 (2,0)，半径为 5，故所求圆的方程为 (x － 2)2＋y 2＝ 5. 答案： B4．设 P 是圆 (x －3) 2＋ (y ＋1)2＝4 上的动点， Q 是直线 x ＝－ 3 上的动点，则 |PQ|的最小值为．分析：如下图，圆心 M(3，－1)到定直线 x ＝－ 3 上点的最短距离为 |MQ|＝ 3－ (－3)＝6，又圆的半径为 2，故所求最短距离为 6－ 2＝ 4.。

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第八节曲线与方程含答案解析

x＋ 3a 2 y2
即
2
12a
－4a2＝1.
∴点 P 的轨迹为双曲线．故选 D.
答案： D
4．已知动点 P(x， y)与两定点 M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数 λ(λ≠0)．则动点 P 的轨
迹 C 的方程为
．
解析：由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零，所以
整理得 x2－yλ2＝ 1(λ≠ 0， x≠ ±1)．即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2－ yλ2＝1(λ≠0，x≠ ±1) 答案： x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)
2，所以
mn＝ 4，又直线
AC 与 BD 的交点
为 M，
所以
y y－m x＋2＝ x－2 ，
y y－n x－2＝x＋2，
所以
4y m＝x＋2，
－4y n＝x－2，
16y2 所以－ x2－4＝4，所以点
M
的轨迹方程为
x2 4＋
y2＝
1(y≠0)．答案： x42＋y2＝1(y≠0)
x2 y2 4．过椭圆 a2＋b2＝ 1(a＞ b＞ 0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，则线段 MN 中点的轨迹方
∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，
∴(0， y＋1) ·(－ x,2)＝(x，y－1) ·(x，－ 2)，即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝ 4y.
答案： A
2．已知两定点 A(－2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足 |PA|＝2|PB|，则动点 P 的轨迹是 ( )
x－2 2＋y2－3，
故曲线 E 的方程为 y2＝6x.
(2)设直线 AB 的方程为 my＝x－2，

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第九节第二课时最值、范围、证明问题

课时作业 A 组——基础对点练1、已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值、解析：(1)由题意，得⎩⎨⎧b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t . 直线MN 的方程为： y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得 4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③ 由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立、所以，h 的最小值为1.2、已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点、 (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程、解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 3.如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|AD |＝2，O 为AB 的中点，P ，Q 分别是AD 和CD 上的点，且满足①|AP ||AD |＝|DQ ||DC |，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上、 (1)求椭圆E 的方程；(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值、解析：(1)设AQ 与BP 的交点为G (x ，y )，P (－2，y 1)，Q (x 1,2)，由题可知， y 12＝x 1＋24，y x ＋2＝2x 1＋2，y 2－x＝y 14，从而有4y 2－x ＝x ＋2y ，整理得x 24＋y 2＝1，即为椭圆E 的方程、(2)由(1)知R (2,0)，设M (x 0，y 0)，则y 0＝124－x 20，从而梯形ORMN 的面积S ＝12(2＋x 0)y 0＝14(4－x 20)(2＋x 0)2，令t ＝2＋x 0，则2<t <4，S ＝144t 3－t 4，令u ＝4t 3－t 4，则u ′＝12t 2－4t 3＝4t 2(3－t )，当t ∈(2,3)时，u ′>0，u ＝4t 3－t 4单调递增，当t ∈(3,4)时，u ′<0，u ＝4t 3－t 4单调递减，所以当t ＝3时，u 取得最大值，则S 也取得最大值，最大值为334.4、(2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围、解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎨⎧c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1，故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点、设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k2， |AB |＝1＋k 212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>0，63＋k2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.B 组——能力提升练1、(2018·武汉市模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线x ＝4与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于B ，C 两点(A ，B 两点相邻)，过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值、解析：(1)由已知得F (0，p 2)，P (4,0)，Q (4，8p )，|QF |＝8p ＋p 2，|PQ |＝8p ，因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p ，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 由y ＝x 24，得y ′＝x2.所以直线MA ：y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214. 同理可求得直线MD ：y ＝x 22x －x 224. 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1x 2－x 214，y ＝x 2x 2－x 224，解得M (2k ，－1)、所以点M 到l 的距离d ＝2k 2＋21＋k 2＝21＋k 2.所以S △ABM ·S △CDM ＝14|AB |·|CD |·d 2 ＝14(|AF |－1)(|DF |－1)d 2＝14y 1y 2d 2＝14·x 21x 2216d 2＝1＋k 2≥1，当且仅当k ＝0时取等号、所以当k ＝0时，△ABM 与△CDM 面积之积的最小值为1.2、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)、 (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围、解析：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)、由已知得：a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k 2， ∴y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)、整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14.∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)、3、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围、解析：(1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k >0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )、由已知，有(kck 2＋1)2＋(c 2)2＝(b 2)2，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为(c ，233c )、由|FM |＝(c ＋c )2＋(233c －0)2＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝yx＋1，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y＝t(x＋1)，x23＋y22＝1，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝6－2x23(x＋1)2>2，解得－32<x<－1，或－1<x<0.设直线OP的斜率为m，得m＝yx，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝2x2－2 3.①当x∈(－32，－1)时，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝2x2－23，得m∈(23，233)、②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)>0.因此m<0，于是m＝－2x2－2 3，得m∈(－∞，－233)、综上，直线OP的斜率的取值范围是(－∞，－233)∪(23，233)、4、已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>1)，设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A 作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上、(1)求点M的轨迹E的方程；(2)延长MC交曲线E于另一点N，曲线E在点N处的切线与直线AM交于点B，试判断以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论、解析：(1)设M (x ，y )，x >0，由题意可知，A (1－r,0)，记AM 的中点为D ，则D (0，y2)，因为C (1,0)，DC →＝(1，－y 2)，DM →＝(x ，y 2)、在⊙C 中，易知CD ⊥DM ，所以DC →·DM →＝0，所以x －y 24＝0，即y 2＝4x (x >0)，所以点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x (x >0)、 (2)⊙B 与直线MN 相切、证明如下：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线BN 的方程为y ＝k (x －y 224)＋y 2.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.r －1＝x 1，则点A (－x 1,0)，所以直线AM 的方程为y ＝2y 1x ＋y 12.联立，得⎩⎨⎧y ＝k (x －y 224)＋y 2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4y 2－ky 22＝0，由Δ＝0，可得k ＝2y 2，所以直线BN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22.【北师大版】2019版同步优化探究理数练习11 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得x B ＝－1，y B ＝y 21－42y 1＝y 21＋y 1y 22y 1＝y 1(y 1＋y 2)2y 1＝4my 12y 1＝2m ，所以点B (－1,2m )，|BC |＝4＋4m 2，点B 到直线MN 的距离d ＝|2＋2m 2|m 2＋1＝4m 2＋4＝|BC |，所以⊙B 与直线MN 相切、。

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习第九章第二节统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体 Word版

课时作业组——基础对点练．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[)内的频数为，则的值为()．．．．解析：根据频率分布直方图，知组距为，所以活动时间在[)内的频率为.因为活动时间在[)内的频数为，所以＝＝.答案：．为了了解某校九年级名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是( )．该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数的中位数估计值为次．该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数的众数估计值为次．该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人．该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约有人解析：由题图可知中位数是次，众数是次，分钟仰卧起坐的次数超过次的频率为，所以估计该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人；分钟仰卧起坐的次数少于次的频率为，所以该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约有人．故是错误的，选.答案：.(·西安检测)已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )．．．．解析：由茎叶图知，乙组数据的中位数为＝，所以＝，所以甲组数据的平均数为＝，故选.答案：．(·湖南五市十校联考)某中学奥数培训班共有人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是，乙组学生成绩的中位数是，则－的值是( )．．．．解析：由甲组学生成绩的平均数是，可得＝，解得＝.由乙组学生成绩的中位数是，可得＝，所以－＝，故选.答案：.为了解某校高三学生数学调研测试的情况，学校决定从甲、乙两个班中各抽取名学生的数学成绩(满分分)进行深入分析，得到如图所示的茎叶图，茎叶图中某学生的成绩因特殊原因被污染了，如果甲、乙两个班被抽取的学生的平均成绩相同，则被污染处的数值为( )．．．．解析：由茎叶图可知，乙班的名学生的成绩同时减去，分别为－，－，－，－，＝＋＝，对于甲班，设被污染处的数值为，甲班的名学生的成绩同时减去，所以乙分别为－，－，－，－，－＋，所以＝＋＝，所以＝，即被污染处的数值为.甲答案：．(·广州检测)在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形的面积和的，且样本容量为，则中间一组的频数为．解析：依题意，设中间小长方形的面积为，则其余小长方形的面积和为，所以＝，＝，中间一组的频数为×＝.。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章第八节第三课时定点、定值、探索性问题 Word版含解析

课时作业 A 组——基础对点练1．已知动点C 到点F (1,0)的距离比到直线x ＝－2的距离小1，动点C 的轨迹为E . (1)求曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km <0)与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且OA →·OB →＝5，证明：直线l 经过一个定点．解析：(1)由题意可得动点C 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离， ∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴p2＝1，∴p ＝2，∴动点C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1·x 2＝m 2k2.∵OA →·OB →＝5，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2＋4km k 2＝5，∴m 2＋4km －5k 2＝0，∴m ＝k 或m ＝－5k .∵km <0，∴m ＝k 舍去，∴m ＝－5k ，满足Δ＝16(1－km )>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －5)， ∴直线l 必经过定点(5,0)．2．(2018·昆明市检测)已知点A ，B 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是－12，点M 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过点F (1,0)作直线l 交曲线E 于P ，Q 两点，交y 轴于R 点，若RP →＝λ1PF →，RQ →＝λ2QF →，证明：λ1＋λ2为定值．解析：(1)设点M (x ，y )，由已知得y x ＋2·y x －2＝－12(x ≠±2)，化简得曲线E 的方程：x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)证明：设点P ，Q ，R 的坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (0，y 0)．由RP →＝λ1PF →，得(x 1，y 1－y 0)＝λ1(1－x 1，－y 1)，所以x 1＝λ11＋λ1，y 1＝y 01＋λ1，因为点P 在曲线E 上，所以12(λ11＋λ1)2＋(y 01＋λ1)2＝1，化简得λ21＋4λ1＋2－2y 20＝0 ①，同理，由RQ →＝λ2QF →，可得x 2＝λ21＋λ2，y 2＝y 01＋λ2，代入曲线E 的方程化简得λ22＋4λ2＋2－2y 20＝0 ②，由①②可知λ1，λ2是方程x 2＋4x ＋2－2y 20＝0的两个实数根(Δ>0)，所以λ1＋λ2＝－4，即λ1＋λ2为定值．3．在平面直角坐标系中，已知点A (－3，0)，B (3，0)，直线MA ，MB 交于点M ，它们的斜率之积为常数m (m ≠0)，且△MAB 的面积最大值为3，设动点M 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)过曲线E 外一点Q 作E 的两条切线l 1，l 2，若它们的斜率之积为－1，那么QA →·QB →是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．解析：(1)设M (x ，y )，则由已知得 y x ＋3·yx －3＝m ，即y 2＝m (x 2－3)，即x 23－y 23m＝1(x ≠±3)．(*) ①当m >0时，方程(*)表示双曲线，此时△MAB 面积不存在最大值(不符合)； ②当m ＝－1时，方程(*)表示圆，此时△MAB 的面积最大值为3(不符合)；③当m <0且m ≠－1时，方程(*)为椭圆，此时△MAB 的面积最大值为3，所以m ＝－13.此时所求的方程为x 23＋y 2＝1(x ≠±3)．(2)设Q (x 0，y 0)，过点Q 的切线l 为y ＝k (x －x 0)＋y 0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 23＋y 2＝1，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3(y 0－kx 0)2－3＝0，则Δ＝36k 2(y 0－kx 0)2－4(1＋3k )2·3[(y －kx 0)2－1]＝0，化简得(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0，于是k 1·k 2＝1－y 203－x 20，由已知斜率之积为－1，则1－y 203－x 20＝－1，则x 20＋y 20＝4(x 0≠±3)，所以|OQ |＝2，于是QA →·QB →＝14[(2QO →)2－AB →2]＝1.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，离心率为12，点P 为其上一动点，且三角形PF 1F 2的面积最大值为3，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ，N 为C 上的两个动点，求常数m ，使OM →·ON →＝m 时，点O 到直线MN 的距离为定值，求这个定值．解析：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，bc ＝3，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝m ，当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋n ，则点O 到直线MN 的距离d ＝|n |k 2＋1＝n 2k 2＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋n ，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0，由Δ>0得4k 2－n 2＋3>0，则 x 1＋x 2＝－8kn4k 2＋3，x 1x 2＝4n 2－124k 2＋3，所以x 1x 2＋(kx 1＋n )( kx 2＋n )＝(k 2＋1)x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝m ，整理得7n 2k 2＋1＝12＋m (4k 2＋3)k 2＋1.因为d ＝n 2k 2＋1为常数，则m ＝0，d ＝ 127＝2217，此时7n 2k 2＋1＝12满足Δ>0.当MN ⊥x 轴时，由m ＝0得k OM ＝±1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝±x ，消去y ，得x 2＝127，点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝2217亦成立．综上，当 m ＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值，这个定值是2217.B 组——能力提升练1.如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ， M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1. (1)求k ·k 1的值；(2)当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．解析：(1)设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)，直线l 与直线l 1的交点为(0,1)， ∴l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1， k ＝y －1x ，k 1＝y 0－1x 0，由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2 ①，由y －y 0x －x 0＝－1，得y －y 0＝x 0－x ②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，kk 1＝yy 0－(y ＋y 0)＋1xx 0＝(x ＋1)(x 0＋1)－(x ＋x 0＋2)＋1xx 0＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， ∴x M ＝－8k4k 2＋1，∴y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k 2.k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k 4＋k 2＝8－8k 48k (3k 2－3)＝－k 2＋13k，直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k (x －－8k 4k 2＋1)，即y ＝－k 2＋13k x －8(k 2＋1)3(4k 2＋1)＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53.∴当k 变化时，直线MN 过定点(0，－53)．2.(2018·合肥市质检)如图，在平面直角坐标系中，点F (－1,0)，过直线l ：x ＝－2右侧的动点P 作P A ⊥l 于点A ，∠APF 的平分线交x 轴于点B，|P A |＝2|BF |.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线q 交曲线C 于M ，N ，试问：x 轴正半轴上是否存在点E ，直线EM ，EN 分别交直线l 于R ，S 两点，使∠RFS 为直角？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)设P (x ，y )，由平面几何知识得|PF ||P A |＝22，即(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22，化简得x 2＋2y 2＝2，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋2y 2＝2(x ≠2)．(2)假设满足条件的点E (n,0)(n >0)存在，设直线q 的方程为x ＝my －1， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，R (－2，y 3)，S (－2，y 4)．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，x ＝my －1，消去x ，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0， y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－m 2m 2＋2－2m 2m 2＋2＋1＝2－2m 2m 2＋2，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2m 2＋2－2＝－4m 2＋2，由条件知y 1x 1－n ＝y 3－2－n ，y 3＝－(2＋n )y 1x 1－n ，同理y 4＝－(2＋n )y 2x 2－n ，k RF ＝y 3－2＋1＝－y 3，k SF ＝－y 4.因为∠RFS 为直角，所以y 3y 4＝－1，所以(2＋n )2y 1y 2＝－[x 1x 2－n (x 1＋x 2)＋n 2]，(2＋n )21m 2＋2＝2－2m 2m 2＋2＋4nm 2＋2＋n 2，所以(n 2－2)(m 2＋1)＝0，n ＝2，故满足条件的点E 存在，其坐标为(2，0)．3．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点(m3，m )，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解析：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的积是定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(m3，m )，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9.将点(m3，m )的坐标代入l 的方程得b ＝m (3－k )3，因此x M ＝km (k －3)3(k 2＋9).四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．4．(2018·长沙市模拟)已知P (3，12)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，F 为右焦点，PF 垂直于x 轴．A ，B ，C ，D 为椭圆上四个动点，且AC ，BD 交于原点O . (1)求椭圆C 的方程；(2)判断动直线l ：m ＋n 2x ＋(m －n )y ＝3＋12m ＋3－12n (m ，n ∈R)与椭圆C 的位置关系；(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足y 1y 2OA →·OB →＝15，判断k AB ＋k BC 的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD 面积的最大值，否则请说明理由．解析：(1)∵P (3，12)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，∴3a 2＋14b 2＝1.①又F 为右焦点，PF 垂直于x 轴，∴a 2－b 2＝ 3.②由①②，解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)将动直线l 的方程m ＋n 2x ＋(m －n )y ＝3＋12m ＋3－12n (m ，n ∈R)，化为(x 2＋y －3＋12)m ＋(x2－y －3－12)n ＝0.∵m ，n ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝3＋12，x 2－y ＝3－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝12，∴动直线l 恒过点P ，∵P 在椭圆C 上，∴动直线l 与椭圆C 的位置关系是相切或相交．(3)∵y 1y 2OA →·OB →＝15，∴4y 1y 2＝x 1x 2.当直线AB 的斜率不存在或斜率为0时，不满足4y 1y 2＝x 1x 2.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y ＝kx ＋m ，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，∴Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)·4(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0(*)⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.∵4y 1y 2＝x 1x 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， ∴(4k 2－1)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0， ∴(4k 2－1)4(m 2－1)1＋4k 2＋4km －8km 1＋4k 2＋4m 2＝0，整理得4k 2＝1，∴k ＝±12.∵A ，B ，C ，D 的位置可轮换，∴直线AB ，BC 的斜率是12或－12，∴k AB ＋k BC ＝12＋(－12)＝0，为定值．不妨设k AB ＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝2(m 2－1). 设原点到直线AB 的距离为d ，则 S △AOB ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·|x 2－x 1|·|m |1＋k 2＝|m |2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|m |24m 2－4·2(m 2－1)＝m 2(2－m 2)≤m 2＋2－m22＝1.当m 2＝1时(满足(*))，S △AOB ＝1，∴S 四边形ABCD ＝4S △AOB ≤4，即四边形ABCD 面积的最大值为4.。

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第九节第三课时定点、定值、探索性问题解析

课时作业 A 组——基础对点练1、已知动点C 到点F (1,0)的距离比到直线x ＝－2的距离小1,动点C 的轨迹为E . (1)求曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km <0)与曲线E 相交于A ,B 两个不同点,且OA →·OB →＝5,证明：直线l 经过一个定点、解析：(1)由题意可得动点C 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离, ∴曲线E 是以点(1,0)为焦点,直线x ＝－1为准线的抛物线, 设其方程为y 2＝2px (p >0),∴p2＝1,∴p ＝2,∴动点C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0, ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2,x 1·x 2＝m 2k 2.∵OA →·OB →＝5,∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2＋4km k 2＝5,∴m 2＋4km －5k 2＝0,∴m ＝k 或m ＝－5k .∵km <0,∴m ＝k 舍去,∴m ＝－5k ,满足Δ＝16(1－km )>0, ∴直线l 的方程为y ＝k (x －5), ∴直线l 必经过定点(5,0)、2、(2018·昆明市检测)已知点A ,B 的坐标分别为(－2,0),(2,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是－12,点M 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)过点F (1,0)作直线l 交曲线E 于P ,Q 两点,交y 轴于R 点,若RP →＝λ1PF →,RQ →＝λ2QF →,证明：λ1＋λ2为定值、解析：(1)设点M (x ,y ),由已知得y x ＋2·y x －2＝－12(x ≠±2),化简得曲线E 的方程：x 22＋y 2＝1(x ≠±2)、(2)证明：设点P ,Q ,R 的坐标分别为P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),R (0,y 0)、由RP →＝λ1PF →,得(x 1,y 1－y 0)＝λ1(1－x 1,－y 1), 所以x 1＝λ11＋λ1,y 1＝y 01＋λ1,因为点P 在曲线E 上,所以12(λ11＋λ1)2＋(y 01＋λ1)2＝1,化简得λ21＋4λ1＋2－2y 20＝0 ①,同理,由RQ →＝λ2QF →,可得x 2＝λ21＋λ2,y 2＝y 01＋λ2,代入曲线E 的方程化简得λ22＋4λ2＋2－2y 20＝0 ②,由①②可知λ1,λ2是方程x 2＋4x ＋2－2y 20＝0的两个实数根(Δ>0), 所以λ1＋λ2＝－4,即λ1＋λ2为定值、3、在平面直角坐标系中,已知点A (－3,0),B (3,0),直线MA ,MB 交于点M ,它们的斜率之积为常数m (m ≠0),且△MAB 的面积最大值为3,设动点M 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)过曲线E 外一点Q 作E 的两条切线l 1,l 2,若它们的斜率之积为－1,那么QA →·QB →是否为定值？若是,请求出该值；若不是,请说明理由、解析：(1)设M (x ,y ),则由已知得 y x ＋3·yx －3＝m ,即y 2＝m (x 2－3), 即x 23－y 23m ＝1(x ≠±3)、(*)①当m >0时,方程(*)表示双曲线,此时△MAB 面积不存在最大值(不符合)； ②当m ＝－1时,方程(*)表示圆,此时△MAB 的面积最大值为3(不符合)；③当m <0且m ≠－1时,方程(*)为椭圆,此时△MAB 的面积最大值为3,所以m ＝－13. 此时所求的方程为x 23＋y 2＝1(x ≠±3)、(2)设Q (x 0,y 0),过点Q 的切线l 为y ＝k (x －x 0)＋y 0, 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 23＋y 2＝1，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3(y 0－kx 0)2－3＝0, 则Δ＝36k 2(y 0－kx 0)2－4(1＋3k )2·3[(y －kx 0)2－1]＝0,化简得(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0,于是k 1·k 2＝1－y 203－x 20,由已知斜率之积为－1, 则1－y 203－x 20＝－1,则x 20＋y 20＝4(x 0≠±3), 所以|OQ |＝2,于是QA →·QB →＝14[(2QO →)2－AB →2]＝1.4、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1,F 2,离心率为12,点P 为其上一动点,且三角形PF 1F 2的面积最大值为3,O 为坐标原点、 (1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ,N 为C 上的两个动点,求常数m ,使OM →·ON →＝m 时,点O 到直线MN 的距离为定值,求这个定值、解析：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，bc ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1x 2＋y 1y 2＝m ,当直线MN 的斜率存在时,设其方程为y ＝kx ＋n ,则点O 到直线MN 的距离d ＝|n |k 2＋1＝n 2k 2＋1, 联立,得⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋n ，消去y ,得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0, 由Δ>0得4k 2－n 2＋3>0,则 x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋3,x 1x 2＝4n 2－124k 2＋3,所以x 1x 2＋(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝(k 2＋1)x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝m , 整理得7n 2k 2＋1＝12＋m (4k 2＋3)k 2＋1.因为d ＝n 2k 2＋1为常数,则m ＝0,d ＝ 127＝2217,此时7n2k 2＋1＝12满足Δ>0. 当MN ⊥x 轴时,由m ＝0得k OM ＝±1,联立,得⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝±x ，消去y ,得x 2＝127,点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝2217亦成立、综上,当m ＝0时,点O 到直线MN 的距离为定值,这个定值是2217.B 组——能力提升练1、如图,已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1,直线l ,l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ,M 和A ,N ,记直线l 1的斜率为k 1.(1)求k ·k 1的值；(2)当k 变化时,试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点,求出该定点坐标；若不恒过定点,请说明理由、解析：(1)设直线l 上任意一点P (x ,y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0,y 0), 直线l 与直线l 1的交点为(0,1), ∴l ：y ＝kx ＋1,l 1：y ＝k 1x ＋1, k ＝y －1x ,k 1＝y 0－1x 0,由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1, 得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2 ①, 由y －y 0x －x 0＝－1,得y －y 0＝x 0－x ②, 由①②得⎩⎨⎧y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，kk 1＝yy 0－(y ＋y 0)＋1xx 0＝(x ＋1)(x 0＋1)－(x ＋x 0＋2)＋1xx 0＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0,设M (x M ,y M ),N (x N ,y N ), ∴x M ＝－8k 4k 2＋1,∴y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k 4＋k 2,y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k2. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k 4＋k 2＝8－8k 48k (3k 2－3)＝－k 2＋13k ,直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M ), 即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k (x －－8k 4k 2＋1),即y ＝－k 2＋13k x －8(k 2＋1)3(4k 2＋1)＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53.∴当k 变化时,直线MN 过定点(0,－53)、2、(2018·合肥市质检)如图,在平面直角坐标系中,点F (－1,0),过直线l ：x ＝－2右侧的动点P 作P A ⊥l 于点A ,∠APF 的平分线交x 轴于点B ,|P A |＝2|BF |.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线q 交曲线C 于M ,N ,试问：x 轴正半轴上是否存在点E ,直线EM ,EN 分别交直线l 于R ,S 两点,使∠RFS 为直角？若存在,求出点E 的坐标,若不存在,请说明理由、解析：(1)设P (x ,y ),由平面几何知识得|PF ||P A |＝22, 即(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22,化简得x 2＋2y 2＝2,22(2)假设满足条件的点E (n,0)(n >0)存在,设直线q 的方程为x ＝my －1, M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),R (－2,y 3),S (－2,y 4)、联立,得⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2，x ＝my －1，消去x ,得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0, y 1＋y 2＝2m m 2＋2,y 1y 2＝－1m 2＋2,x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－m 2m 2＋2－2m 2m 2＋2＋1＝2－2m 2m 2＋2,x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2m 2＋2－2＝－4m 2＋2,由条件知y 1x 1－n ＝y 3－2－n ,y 3＝－(2＋n )y 1x 1－n, 同理y 4＝－(2＋n )y 2x 2－n ,k RF ＝y 3－2＋1＝－y 3,k SF ＝－y 4.因为∠RFS 为直角,所以y 3y 4＝－1, 所以(2＋n )2y 1y 2＝－[x 1x 2－n (x 1＋x 2)＋n 2], (2＋n )21m 2＋2＝2－2m 2m 2＋2＋4nm 2＋2＋n 2,所以(n 2－2)(m 2＋1)＝0,n ＝2,故满足条件的点E 存在,其坐标为(2,0)、3、已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点(m3,m ),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形？若能,求此时l 的斜率；若不能,说明理由、解析：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M )、将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0, 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9,y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k ,即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的积是定值、 (2)四边形OAPB 能为平行四边形、因为直线l 过点(m3,m ),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0,k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x . 设点P 的横坐标为x P ,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81,即x P ＝±km3k 2＋9.将点(m3,m )的坐标代入l 的方程得b ＝m (3－k )3, 因此x M ＝km (k －3)3(k 2＋9).四边形OAPB 为平行四边形,当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P ＝2x M . 于是±km3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9),解得k 1＝4－7,k 2＝4＋7.因为k i >0,k i ≠3,i ＝1,2,所以当l 的斜率为4－7或4＋7时,四边形OAPB 为平行四边形、4、(2018·长沙市模拟)已知P (3,12)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上,F 为右焦点,PF 垂直于x 轴、A ,B ,C ,D 为椭圆上四个动点,且AC ,BD 交于原点O . (1)求椭圆C 的方程；(2)判断动直线l ：m ＋n 2x ＋(m －n )y ＝3＋12m ＋3－12n (m ,n ∈R)与椭圆C 的位置关系； (3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)满足y 1y 2OA →·OB→＝15,判断k AB ＋k BC 的值是否为定值,若是,请求出此定值,并求出四边形ABCD 面积的最大值,否则请说明理由、解析：(1)∵P (3,12)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上,∴3a 2＋14b 2＝1.①22由①②,解得a ＝2,b ＝1,∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)将动直线l 的方程m ＋n 2x ＋(m －n )y ＝3＋12m ＋3－12n (m ,n ∈R), 化为(x 2＋y －3＋12)m ＋(x2－y －3－12)n ＝0. ∵m ,n ∈R,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝3＋12，x 2－y ＝3－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝12，∴动直线l 恒过点P ,∵P 在椭圆C 上,∴动直线l 与椭圆C 的位置关系是相切或相交、 (3)∵y 1y 2OA →·OB→＝15,∴4y 1y 2＝x 1x 2.当直线AB 的斜率不存在或斜率为0时,不满足4y 1y 2＝x 1x 2. 当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为 y ＝kx ＋m ,联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0,∴Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)·4(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0(*) ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.∵4y 1y 2＝x 1x 2,y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2, ∴(4k 2－1)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0, ∴(4k 2－1)4(m 2－1)1＋4k 2＋4km －8km 1＋4k2＋4m 2＝0, 整理得4k 2＝1,∴k ＝±12.∵A ,B ,C ,D 的位置可轮换,∴直线AB ,BC 的斜率是12或－12,∴k AB ＋k BC ＝12＋(－12)＝0,为定值、不妨设k AB ＝－12,则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝2(m 2－1). 设原点到直线AB 的距离为d ,则 S △AOB ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·|x 2－x 1|·|m |1＋k 2＝|m |2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|m |24m 2－4·2(m 2－1)＝m 2(2－m 2)≤m 2＋2－m22＝1.当m 2＝1时(满足(*)),S △AOB ＝1,∴S 四边形ABCD ＝4S △AOB ≤4,即四边形ABCD 面积的最大值为4.。

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第九节第二课时最值、范围、证明问题

课时作业 A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解析：(1)由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2·b 2a＝1.从而⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t . 直线MN 的方程为： y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得 4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③ 由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 3.如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|AD |＝2，O 为AB 的中点，P ，Q 分别是AD 和CD 上的点，且满足①|AP ||AD |＝|DQ ||DC |，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值．解析：(1)设AQ 与BP 的交点为G (x ，y )，P (－2，y 1)，Q (x 1,2)，由题可知， y 12＝x 1＋24，y x ＋2＝2x 1＋2，y 2－x ＝y 14，从而有4y 2－x ＝x ＋2y ，整理得x 24＋y 2＝1，即为椭圆E 的方程．(2)由(1)知R (2,0)，设M (x 0，y 0)，则y 0＝124－x 20，从而梯形ORMN 的面积S ＝12(2＋x 0)y 0＝14(4－x 20)(2＋x 0)2，令t ＝2＋x 0，则2<t <4，S ＝144t 3－t 4，令u ＝4t 3－t 4，则u ′＝12t 2－4t 3＝4t 2(3－t )，当t ∈(2,3)时，u ′>0，u ＝4t 3－t 4单调递增，当t ∈(3,4)时，u ′<0，u ＝4t 3－t 4单调递减，所以当t ＝3时，u 取得最大值，则S 也取得最大值，最大值为334.4．(2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎨⎧c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1，故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>0，63＋k 2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.B 组——能力提升练1．(2018·武汉市模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线x ＝4与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于B ，C 两点(A ，B 两点相邻)，过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值．解析：(1)由已知得F (0，p 2)，P (4,0)，Q (4，8p )，|QF |＝8p ＋p 2，|PQ |＝8p ，因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p ，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 由y ＝x 24，得y ′＝x 2.所以直线MA ：y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214. 同理可求得直线MD ：y ＝x 22x －x 224. 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1x 2－x 214，y ＝x 2x 2－x 224，解得M (2k ，－1)．所以点M 到l 的距离d ＝2k 2＋21＋k 2＝21＋k 2. 所以S △ABM ·S △CDM ＝14|AB |·|CD |·d 2 ＝14(|AF |－1)(|DF |－1)d 2＝14y 1y 2d 2＝14·x 21x 2216d 2＝1＋k 2≥1，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，△ABM 与△CDM 面积之积的最小值为1.2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解析：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k 2， ∴y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)．整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14.∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解析：(1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k >0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有(kc k 2＋1)2＋(c 2)2＝(b 2)2，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为(c ，233c )．由|FM |＝(c ＋c )2＋(233c －0)2＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2>2，解得－32<x <－1，或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝yx ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈(－32，－1)时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈(23，233)．②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0. 因此m <0，于是m ＝－ 2x 2－23，得m ∈(－∞，－233)．综上，直线OP 的斜率的取值范围是 (－∞，－233)∪(23，233)．4．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >1)，设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上． (1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)延长MC 交曲线E 于另一点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论．解析：(1)设M (x ，y )，x >0，由题意可知，A (1－r,0)，记AM 的中点为D ，则D (0，y2)，因为C (1,0)，DC →＝(1，－y 2)，DM →＝(x ，y 2)．在⊙C 中，易知CD ⊥DM ，所以DC →·DM →＝0，所以x －y 24＝0，即y 2＝4x (x >0)，所以点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x (x >0)． (2)⊙B 与直线MN 相切．证明如下：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线BN 的方程为y ＝k (x －y 224)＋y 2. 联立，得⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.r －1＝x 1，则点A (－x 1,0)，所以直线AM 的方程为y ＝2y 1x ＋y 12.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －y 224)＋y 2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4y 2－ky 22＝0，由Δ＝0，可得k ＝2y 2，所以直线BN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得x B ＝－1，y B ＝y 21－42y 1＝y 21＋y 1y 22y 1＝y 1(y 1＋y 2)2y 1＝4my 12y 1＝2m ，所以点B (－1,2m )，|BC |＝4＋4m 2，点B 到直线MN 的距离d ＝|2＋2m 2|m 2＋1＝4m 2＋4＝|BC |，所以⊙B 与直线MN 相切．。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章第一节直线的方程

课时作业 A 组——基础对点练1．直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的倾斜角的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的斜率为－33，令其倾斜角为θ，则tan θ＝－33，解得θ＝150°，故选D. 答案：D2．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －CB，∵AB <0，BC <0，∴－A B >0，－CB >0.∴直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D.答案：D3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)．答案：B4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．答案：D5．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C. 答案：C6．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎝⎛⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ.因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4，综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4. 答案：C7．(2018·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．4x ＋3y ＋6＝0C ．3x ＋y ＋6＝0D ．3x －4y ＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.答案：A8．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(2,3)解析：2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.则直线过定点(3,1)，故选C. 答案：C9．(2018·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0≤α≤π4B.π2<α<π C.π4≤α<π2D.π2<α≤3π4解析：直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α<π2.答案：C10．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0 B ．2 C. 2D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D11．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝(x 0＋1)＋1x 0＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，∴k MN ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B. 答案：B12．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)13．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 解析：令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－214．(2018·武汉市模拟)若直线2x ＋y ＋m ＝0过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，则m 的值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x ＋y ＋m ＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m ＝0，m ＝0. 答案：015．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，求b 的取值范围．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．B 组——能力提升练1．已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π3 B.π6 C.π4D.3π4解析：令x ＝π4，则f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝ab ＝－1，其倾斜角为3π4.故选D.答案：D2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0. 答案：A3．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，而这两点连线所在直线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2，故选A.答案：A4．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1－22，12) C ．(1－22，13] D ．[13，12)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a >0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点(－ba ，0)，结合图形(图略)知12×a ＋b a ＋1×(1＋b a )＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a >0，∴b 21－2b >0，解得b <12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故选B.答案：B5．已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当π2<α≤π时，tan α≤0，即k ≤0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π2，所以p 是q的必要不充分条件，故选B.答案：B6．若经过点(1,0)的直线l 的倾斜角是直线x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －4＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x ＋4y －3＝0D ．4x ＋3y －4＝0解析：设直线x －2y －2＝0的倾斜角为α，则其斜率tan α＝12，直线l 的斜率tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.又因为l 经过点(1,0)，所以其方程为4x －3y －4＝0，故选A.答案：A7．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：由题知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.答案：D8．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103 B ．－103C.1013D ．－1013解析：依题意，tan θ＝－3(θ∈[0，π))，所以23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1＝1013，故选C.答案：C9．(2018·天津模拟)已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为( ) A ．7B ．9C ．11D ．16解析：∵直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，∴2n ＝m (n －1)，∴m ＋2n ＝mn ，两边同除以mn 可得2m ＋1n ＝1，∵m ，n 为正整数，∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2mn ≥5＋22n m ·2m n ＝9.当且仅当2n m ＝2mn时取等号．故选B. 答案：B10．直线x cos θ－y －1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围为________．解析：直线的斜率为k ＝cos θ∈[－1,1]，即tan α∈[－1,1]，所以α∈[0，π4]∪[34π，π)．答案：[0，π4]∪[34π，π)11．过点A (1,2)且与直线x －2y ＋3＝0垂直的直线方程为________．解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0. 答案：2x ＋y －4＝012．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5.答案：513．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)图像的一条对称轴，求直线ax ＋by ＋c＝0的倾斜角．解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z.所以tan φ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π4＝－1＝ba ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－ab ＝1，故倾斜角为π4.。

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第九节第二课时最值、范围、证明问题 Word版含解析

课时作业 A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解析：(1)由题意，得⎩⎨⎧b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t . 直线MN 的方程为： y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得 4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③ 由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 3.如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|AD |＝2，O 为AB 的中点，P ，Q 分别是AD 和CD 上的点，且满足①|AP ||AD |＝|DQ ||DC |，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值．解析：(1)设AQ 与BP 的交点为G (x ，y )，P (－2，y 1)，Q (x 1,2)，由题可知， y 12＝x 1＋24，y x ＋2＝2x 1＋2，y 2－x＝y 14，从而有4y 2－x ＝x ＋2y ，整理得x 24＋y 2＝1，即为椭圆E 的方程．(2)由(1)知R (2,0)，设M (x 0，y 0)，则y 0＝124－x 20，从而梯形ORMN 的面积S ＝12(2＋x 0)y 0＝14(4－x 20)(2＋x 0)2，令t ＝2＋x 0，则2<t <4，S ＝144t 3－t 4，令u ＝4t 3－t 4，则u ′＝12t 2－4t 3＝4t 2(3－t )，当t ∈(2,3)时，u ′>0，u ＝4t 3－t 4单调递增，当t ∈(3,4)时，u ′<0，u ＝4t 3－t 4单调递减，所以当t ＝3时，u 取得最大值，则S 也取得最大值，最大值为334.4．(2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎨⎧c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1，故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k2， |AB |＝1＋k 212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>0，63＋k2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.B 组——能力提升练1．(2018·武汉市模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线x ＝4与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于B ，C 两点(A ，B 两点相邻)，过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值．解析：(1)由已知得F (0，p 2)，P (4,0)，Q (4，8p )，|QF |＝8p ＋p 2，|PQ |＝8p ，因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p ，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 由y ＝x 24，得y ′＝x2.所以直线MA ：y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214. 同理可求得直线MD ：y ＝x 22x －x 224. 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1x 2－x 214，y ＝x 2x 2－x 224，解得M (2k ，－1)．所以点M 到l 的距离d ＝2k 2＋21＋k 2＝21＋k 2.所以S △ABM ·S △CDM ＝14|AB |·|CD |·d 2 ＝14(|AF |－1)(|DF |－1)d 2＝14y 1y 2d 2＝14·x 21x 2216d 2＝1＋k 2≥1，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，△ABM 与△CDM 面积之积的最小值为1.2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解析：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k 2， ∴y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)．整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14.∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解析：(1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k >0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有(kck 2＋1)2＋(c 2)2＝(b 2)2，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为(c ，233c )．由|FM |＝(c ＋c )2＋(233c －0)2＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝yx＋1，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y＝t(x＋1)，x23＋y22＝1，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝6－2x23(x＋1)2>2，解得－32<x<－1，或－1<x<0.设直线OP的斜率为m，得m＝yx，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝2x2－2 3.①当x∈(－32，－1)时，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝2x2－23，得m∈(23，233)．②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)>0.因此m<0，于是m＝－2x2－2 3，得m∈(－∞，－233)．综上，直线OP的斜率的取值范围是(－∞，－233)∪(23，233)．4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>1)，设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A 作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上．(1)求点M的轨迹E的方程；(2)延长MC交曲线E于另一点N，曲线E在点N处的切线与直线AM交于点B，试判断以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论．解析：(1)设M (x ，y )，x >0，由题意可知，A (1－r,0)，记AM 的中点为D ，则D (0，y2)，因为C (1,0)，DC →＝(1，－y 2)，DM →＝(x ，y 2)．在⊙C 中，易知CD ⊥DM ，所以DC →·DM →＝0，所以x －y 24＝0，即y 2＝4x (x >0)，所以点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x (x >0)． (2)⊙B 与直线MN 相切．证明如下：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线BN 的方程为y ＝k (x －y 224)＋y 2.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.r －1＝x 1，则点A (－x 1,0)，所以直线AM 的方程为y ＝2y 1x ＋y 12.联立，得⎩⎨⎧y ＝k (x －y 224)＋y 2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4y 2－ky 22＝0，由Δ＝0，可得k ＝2y 2，所以直线BN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得x B ＝－1，y B ＝y 21－42y 1＝y 21＋y 1y 22y 1＝y 1(y 1＋y 2)2y 1＝4my 12y 1＝2m ，所以点B (－1,2m )， |BC |＝4＋4m 2，点B 到直线MN 的距离d ＝|2＋2m 2|m 2＋1＝4m 2＋4＝|BC |，所以⊙B 与直线MN 相切．。

2020年同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第九节第三课时定点、定值、探索性问题Word版含解

解析: (1)设点M(x , y),由已知得课时作业 A 组一一基础对点练1 •已知动点C 到点F(1,0)的距离比到直线x = — 2的距离小1,动点C 的轨迹为 E.(1)求曲线E 的方程;⑵若直线I : y = kx + m(km<0)与曲线E 相交于A , B 两个不同点，且OA OB = 5, 证明：直线I 经过一个定点.解析：⑴由题意可得动点C 到点F(1,0)的距离等于到直线x =— 1的距离, •••曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线x = —1为准线的抛物线，设其方程为 y 2= 2px(p>0),「. 2= 1，- p =2, •••动点C 的轨迹E 的方程为y 2 = 4x. ⑵证明：设 A(X 1, y”，B(X 2, y 2),y = kx + m , 2 2 2 由 f 2 得 k 2x 2 + (2km — 4)x + m 2= 0,y = 4x ,—— 2 2 m 2+ 4km T OA OB = 5,二 X 1X 2+ y 1y 2= (1 + k )x 1x 2 + km(x 〔 + X 2) + m = k = 5,• m 2 + 4km — 5k 2 = 0,二 m = k 或 m = — 5k.■/ km<0,「. m = k 舍去，• m = — 5k ,满足 △= 16(1 — km)>0, •直线I 的方程为y = k(x — 5), •直线I 必经过定点(5,0).2. (2018昆明市检测)已知点A , B 的坐标分别为(一.2, 0), ( 2, 0),直线AM , 1BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是一2,点M 的轨迹为曲线E. (1)求曲线E 的方程;⑵过点F(1,0)作直线l 交曲线E 于P , Q 两点，交y 轴于R 点, =为QF ,证明：入+乃为定值.X 1 + x 2 = 4 — 2km k 2X 1 X 2=2m2化简得曲线E的方程：号+ —1(X M土. 2).(2)证明：设点P, Q, R 的坐标分别为P(x1, y1), Q(X2, y2), R(0, y。

2019北师大版同步优化探究理数练习：第九章第二节统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体含解析

课时作业A 组——基础对点练1．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n 名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10,110]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[10,35)内的频数为80，则n 的值为( )A ．700B ．800C ．850D ．900解析：根据频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10,35)内的频率为0.1.因为活动时间在[10,35)内的频数为80，所以n ＝＝800.800.1答案：B2．为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是( )A ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数估计值为26.25次B ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数估计值为27.5次C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人解析：由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有160人．故D是错误的，选D.答案：D3.(2018·西安检测)已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )A ．32 B ．33C ．34D ．35解析：由茎叶图知，乙组数据的中位数为＝33，所以m ＝3，所以甲组数32＋342据的平均数为＝32，故选A.27＋33＋363答案：A4．(2018·湖南五市十校联考)某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n －m 的值是( )A ．5 B ．6C ．7D ．8解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得＝88，解得m ＝3.由乙组学生70＋80×3＋90×3＋(8＋4＋6＋8＋2＋m ＋5)7成绩的中位数是89，可得n ＝9，所以n －m ＝6，故选B.答案：B5.为了解某校高三学生数学调研测试的情况，学校决定从甲、乙两个班中各抽取10名学生的数学成绩(满分150分)进行深入分析，得到如图所示的茎叶图，茎叶图中某学生的成绩因特殊原因被污染了，如果甲、乙两个班被抽取的学生的平均成绩相同，则被污染处的数值为( )A ．6 B ．7C ．8D ．9解析：由茎叶图可知，乙班的10名学生的成绩同时减去100，分别为－12，－4，－3，－2,1,2,3,5,11,29，所以乙＝100＋x ＝103，对于甲班，设被污染处的数值为－12－4－3－2＋1＋2＋3＋5＋11＋2910x ，甲班的10名学生的成绩同时减去100，分别为－15，－13，－6，－3，－2,5,8,16,10＋x,22，所以甲＝100＋x ＝103，所以x ＝8，即被污染处的－15－13－6－3－2＋5＋8＋16＋10＋x ＋2210数值为8.答案：C6．(2018·广州检测)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的，且样本容量为14160，则中间一组的频数为．解析：依题意，设中间小长方形的面积为x ，则其余小长方形的面积和为4x ，所以5x ＝1，x ＝0.2，中间一组的频数为160×0.2＝32.答案：327．两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7由此估计的射击成绩更稳定．解析：因为甲＝7，乙＝7，s ＝4，s ＝1.2，所以s <s ，所以乙的射击成x x 2甲2乙2乙2甲绩更稳定．答案：乙8．为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每名学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图．若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示选到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望.解析：(1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75.(2)记“至少有2人是‘好视力’”为事件A ，则事件A 包含的基本事件个数为C ·C ＋C ，总的基本事件个数为C ，2411234316故P (A )＝＝.C24·C 112＋C34C 31619140(3)X 的所有可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B .(3，14)P (X ＝0)＝3＝，P (X ＝1)＝C ××2＝，(34)27641314(34)2764P (X ＝2)＝C ×2×＝，P (X ＝3)＝3＝，23(14)34964(14)164则X 的分布列为X 0123P 27642764964164X 的数学期望E (X )＝3×＝.1434B 组——能力提升练1.为了全面推进素质教育，教育部门对某省500所中小学进行调研考评，考评分数在80以上(包括80分)的授予“素质教育先进学校”称号，考评统计结果按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]绘制成如图所示的频率分布直方图，则应授予“素质教育先进学校”称号的学校的个数为( )A．175 B．145C．180 D．240解析：由频率和为1可知x＝0.1－(0.040＋0.020＋0.010＋0.005)＝0.025，故应授予“素质教育先进学校”称号的学校的个数为(0.025＋0.010)×10×500＝175.答案：A2．(2018·云南五市联考)如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是( )①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；④2016年同期A省的GDP总量也是第三位．A．①②B．②③④C．②④D．①③④解析：①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个，B省和C 省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算2016年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知2016年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确．故选B.答案：B3．(2018·成都市模拟)AQI是表示空气质量的指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 为201.则下列叙述不正确的是( )A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好解析：这12天中，空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92，共6天，故A 正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 为67，故B 正确；这12天的AQI 的中位数是＝99.5，故C 不正确；从4日到9日，AQI 越来越95＋1042小，空气质量越来越好，D 正确．答案：C4．(2018·成都模拟)在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9,10,11,1，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是．解析：由题意可设两个被污损的数据分别为10＋a ，b ，(a ，b ∈Z,0≤a ≤9)，则10＋a ＋b ＋9＋10＋11＝50，即a ＋b ＝10，a ＝10－b ，所以s 2＝[(9－10)152＋(10－10)2＋(11－10)2＋(10＋a －10)2＋(b －10)2]＝[2＋a 2＋(b －10)2]15＝(1＋a 2)≤×(1＋92)＝32.8.2525答案：32.85．(2018·西安质检)已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝(x ＋x ＋x ＋x －16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为 142122324．解析：由方差公式s 2＝[(x 1－)2＋(x 2－)2＋(x 3－)2＋(x 4－)2]，得s 2＝(x ＋x 14x x x x 1421＋x ＋x )－2，又已知s 2＝(x ＋x ＋x ＋x －16)＝(x ＋x ＋x ＋x )－4，22324x 142122324142122324所以2＝4，所以＝2，故[(x 1＋2)＋(x 2＋2)＋(x 3＋2)＋(x 4＋2)]＝＋2＝4.x x 14x 答案：46．(2018·皖南八校第三次联考)第47届联合国大会于1993年1月18日通过193号决议，确定自1993年起，每年的3月22日为“世界水日”，以此推动对水资源进行综合性统筹规划和管理，加强水资源保护，解决日益严重的水问题．某研究机构为了了解各年龄层的居民对“世界水日”的了解程度，随机抽取了300名年龄在[10,60]内的公民进行调查，所得结果统计为如下的频率分布直方图．(1)求抽取的年龄在[30,40)内的居民人数；(2)若按照分层抽样的方法从年龄在[10,20)、[50,60]内的居民中抽取6人进行知识普及，并在知识普及后再抽取2人进行测试，求进行测试的居民中至少有1人的年龄在[50,60]内的概率．解析：(1)依题意，知年龄在[30,40)内的频率P ＝1－(0.02＋0.025＋0.015＋0.01)×10＝0.3，故所求居民人数为300×0.3＝90.(2)依题意，从年龄在[10,20)、[50,60]内的居民中分别抽取4人和2人，记年龄在[10,20)内的4人为A ，B ，C ，D ，年龄在[50,60]内的2人为1,2，故抽取2人进行测试的所有情况为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A,1)，(A,2)，(B ，C )，(B ，D )，(B,1)，(B,2)，(C ，D )，(C,1)，(C,2)，(D,1)，(D,2)，(1,2)，共15种，其中满足条件的情况为(A,1)，(A,2)，(B,1)，(B,2)，(C,1)，(C,2)，(D,1)，(D,2)，(1,2)，共9种，故所求概率P ＝.357．为了解游客对“十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄在[22,52]内的游客中随机抽取了1 000人，并且作出了各个年龄段的频率分布直方图(如图所示)，同时对这1 000人的旅游结果满意情况进行统计得到下表：分组满意的人数占本组的频率[22,27)300.6[27,32)n 0.95[32,37)1200.8[37,42)432m [42,47)1440.96[47,52]960.96(1)求统计表中m 和n 的值；(2)从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47,52]内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．解析：(1)年龄在[37,42)内的频率为1－(0.01＋0.02×2＋0.03×2)×5＝0.45，故年龄在[37,42)内的人数为450，则m ＝＝0.96，年龄在[27,32)内的人数为1 432450000×0.02×5＝100，n ＝100×0.95＝95.(2)因为年龄在[42,47)内且满意的人数为144，年龄在[47,52]内且满意的人数为96，因此采用分层抽样的方法抽取的10人中，年龄在[42,47)内且满意的人数与年龄在[47,52]内且满意的人数分别为6,4.依题意可得X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝＝＝，C46C04C 41015210114P (X ＝1)＝＝＝，C36C14C 41080210821P (X ＝2)＝＝＝，C26C24C 4109021037P (X ＝3)＝＝＝，C16C34C 41024210435P (X ＝4)＝＝，C06C44C 4101210则X 的分布列为X 01234P114821374351210E (X )＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.11482137435121085。

2019北师大版同步优化探究理数练习：第九章第二节统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体含解析

课时作业A 组——基础对点练1．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n 名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10,110]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[10,35)内的频数为80，则n 的值为( )A ．700B ．800C ．850D ．900解析：根据频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10,35)内的频率为0.1.因为活动时间在[10,35)内的频数为80，所以n ＝800.1＝800.答案：B2．为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是( )A ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数估计值为26.25次B ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数估计值为27.5次C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人解析：由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有160人．故D 是错误的，选D.答案：D3.(2018·西安检测)已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )A ．32B ．33C ．34D ．35解析：由茎叶图知，乙组数据的中位数为32＋342＝33，所以m ＝3，所以甲组数据的平均数为27＋33＋363＝32，故选A. 答案：A4．(2018·湖南五市十校联考)某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n －m 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得70＋80×3＋90×3＋(8＋4＋6＋8＋2＋m ＋5)7＝88，解得m ＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n ＝9，所以n －m ＝6，故选B.答案：B5.为了解某校高三学生数学调研测试的情况，学校决定从甲、乙两个班中各抽取10名学生的数学成绩(满分150分)进行深入分析，得到如图所示的茎叶图，茎叶图中某学生的成绩因特殊原因被污染了，如果甲、乙两个班被抽取的学生的平均成绩相同，则被污染处的数值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由茎叶图可知，乙班的10名学生的成绩同时减去100，分别为－12，－4，－3，－2,1,2,3,5,11,29，所以x乙＝100＋－12－4－3－2＋1＋2＋3＋5＋11＋2910＝103，对于甲班，设被污染处的数值为x，甲班的10名学生的成绩同时减去100，分别为－15，－13，－6，－3，－2,5,8,16,10＋x,22，所以x甲＝100＋－15－13－6－3－2＋5＋8＋16＋10＋x＋2210＝103，所以x＝8，即被污染处的数值为8.答案：C6．(2018·广州检测)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为．解析：依题意，设中间小长方形的面积为x，则其余小长方形的面积和为4x，所以5x＝1，x＝0.2，中间一组的频数为160×0.2＝32.答案：327．两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7879549107 4乙：9578768677由此估计的射击成绩更稳定．解析：因为x甲＝7，x乙＝7，s2甲＝4，s2乙＝1.2，所以s2乙<s2甲，所以乙的射击成绩更稳定．答案：乙8．为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每名学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图．若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示选到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望.解析：(1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75.(2)记“至少有2人是‘好视力’”为事件A ，则事件A 包含的基本事件个数为C 24·C 112＋C 34，总的基本事件个数为C 316，故P (A )＝C 24·C 112＋C 34C 316＝19140. (3)X 的所有可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，则X 的分布列为 X 的数学期望E (X )＝3×14＝34.B 组——能力提升练1.为了全面推进素质教育，教育部门对某省500所中小学进行调研考评，考评分数在80以上(包括80分)的授予“素质教育先进学校”称号，考评统计结果按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]绘制成如图所示的频率分布直方图，则应授予“素质教育先进学校”称号的学校的个数为()A．175 B．145C．180 D．240解析：由频率和为1可知x＝0.1－(0.040＋0.020＋0.010＋0.005)＝0.025，故应授予“素质教育先进学校”称号的学校的个数为(0.025＋0.010)×10×500＝175.答案：A2．(2018·云南五市联考)如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是()①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；④2016年同期A省的GDP总量也是第三位．A．①②B．②③④C．②④D．①③④解析：①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个，B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算2016年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知2016年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确．故选B.答案：B3．(2018·成都市模拟)AQI是表示空气质量的指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI为201.则下列叙述不正确的是( )A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好解析：这12天中，空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92，共6天，故A 正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 为67，故B 正确；这12天的AQI 的中位数是95＋1042＝99.5，故C 不正确；从4日到9日，AQI 越来越小，空气质量越来越好，D 正确．答案：C4．(2018·成都模拟)在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9,10,11,1，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是．解析：由题意可设两个被污损的数据分别为10＋a ，b ，(a ，b ∈Z,0≤a ≤9)，则10＋a ＋b ＋9＋10＋11＝50，即a ＋b ＝10，a ＝10－b ，所以s 2＝15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(10＋a －10)2＋(b －10)2]＝15[2＋a 2＋(b －10)2]＝25(1＋a 2)≤25×(1＋92)＝32.8.答案：32.85．(2018·西安质检)已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为．解析：由方差公式s2＝14[(x1－x)2＋(x2－x)2＋(x3－x)2＋(x4－x)2]，得s2＝14(x21＋x22＋x23＋x24)－x2，又已知s2＝14(x 21＋x22＋x23＋x24－16)＝14(x21＋x22＋x23＋x24)－4，所以x2＝4，所以x＝2，故14[(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＋(x4＋2)]＝x＋2＝4. 答案：46．(2018·皖南八校第三次联考)第47届联合国大会于1993年1月18日通过193号决议，确定自1993年起，每年的3月22日为“世界水日”，以此推动对水资源进行综合性统筹规划和管理，加强水资源保护，解决日益严重的水问题．某研究机构为了了解各年龄层的居民对“世界水日”的了解程度，随机抽取了300名年龄在[10,60]内的公民进行调查，所得结果统计为如下的频率分布直方图．(1)求抽取的年龄在[30,40)内的居民人数；(2)若按照分层抽样的方法从年龄在[10,20)、[50,60]内的居民中抽取6人进行知识普及，并在知识普及后再抽取2人进行测试，求进行测试的居民中至少有1人的年龄在[50,60]内的概率．解析：(1)依题意，知年龄在[30,40)内的频率P＝1－(0.02＋0.025＋0.015＋0.01)×10＝0.3，故所求居民人数为300×0.3＝90.(2)依题意，从年龄在[10,20)、[50,60]内的居民中分别抽取4人和2人，记年龄在[10,20)内的4人为A，B，C，D，年龄在[50,60]内的2人为1,2，故抽取2人进行测试的所有情况为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A,1)，(A,2)，(B，C)，(B，D)，(B,1)，(B,2)，(C，D)，(C,1)，(C,2)，(D,1)，(D,2)，(1,2)，共15种，其中满足条件的情况为(A,1)，(A,2)，(B,1)，(B,2)，(C,1)，(C,2)，(D,1)，(D,2)，(1,2)，共9种，故所求概率P＝35.7．为了解游客对“十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄在[22,52]内的游客中随机抽取了1 000人，并且作出了各个年龄段的频率分布直方图(如图所示)，同时对这1 000人的旅游结果满意情况进行统计得到下表：(1)求统计表中m(2)从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47,52]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．解析：(1)年龄在[37,42)内的频率为1－(0.01＋0.02×2＋0.03×2)×5＝0.45，故年龄在[37,42)内的人数为450，则m＝432＝0.96，年龄在[27,32)内的人数为1450000×0.02×5＝100，n＝100×0.95＝95.(2)因为年龄在[42,47)内且满意的人数为144，年龄在[47,52]内且满意的人数为96，因此采用分层抽样的方法抽取的10人中，年龄在[42,47)内且满意的人数与年龄在[47,52]内且满意的人数分别为6,4.依题意可得X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝C46C04C410＝15210＝114，P(X＝1)＝C36C14C410＝80210＝821，P(X＝2)＝C26C24C410＝90210＝37，P(X＝3)＝C16C34C410＝24210＝435，P(X＝4)＝C06C44C410＝1210，则X的分布列为E(X)＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝85.。

2019版理数(北师大版)练习：第八章第二节两直线的位置关系

课时作业 A 组——基础对点练1．已知直线(b ＋2)x －ay ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相平行，则点(a ，b )在( )A ．圆a 2＋b 2＝1上B ．圆a 2＋b 2＝2上C ．圆a 2＋b 2＝4上D ．圆a 2＋b 2＝8上解析：∵直线(b ＋2)x －ay ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相平行， ∴(b ＋2)(b －2)＝－a 2，即a 2＋b 2＝4.故选C. 答案：C2．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)、斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为( ) A ．－23 B ．－32 C.23D.32 解析：由题意得，直线l 的斜率为k ＝2－a －2－a ＋2＝－1a (a ≠0)，所以－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，所以a ＝－23，故选A. 答案：A3．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－12 B ．1 C ．2D.12解析：由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2.答案：C4．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是() A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0解析：由题意可设圆的切线方程为y＝－x＋m，因为与圆相切于第一象限，所以m>0且d＝|m|2＝1，故m＝2，所以切线方程为x＋y－2＝0，故选A.答案：A5．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A．1B．2C. 2 D．2 2解析：由圆的标准方程(x＋1)2＋y2＝2，知圆心为(－1,0)，故圆心到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离d＝|－1－0＋3|2＝ 2.答案：C6．直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝0解析：由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．因为直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.故选C.答案：C7．(2018·北京顺义区检测)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是()A．－6<k<－2 B．－5<k<－3C．k<－6 D．k>－2解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋3k ＋14x －4y ＝－3k －2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2.故选A. 答案：A8．(2018·哈尔滨模拟)已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( ) A ．4 B.132 C.21313D.71326解析：由直线3x ＋2y －3＝0与6x ＋my ＋7＝0互相平行，得m ＝4，所以直线分别为3x ＋2y －3＝0与3x ＋2y ＋72＝0.它们之间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪72＋332＋22＝132，故选B. 答案：B9．已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 5D ．27解析：设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝(2＋2)2＋(－1－1)2＝2 5.故选C.答案：C10．圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线l：x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()A．36 B．18C．6 2 D．5 2解析：将圆C的方程x2＋y2－4x－4y－10＝0变形为(x－2)2＋(y－2)2＝18，可知圆心C(2,2)，半径r＝3 2.圆心C(2,2)到直线l：x＋y－14＝0的距离d＝|2＋2－14|12＋12＝5 2.所以圆C上的点到直线l的最大距离与最小距离的差为(d＋r)－(d－r)＝2r＝62，故选C.答案：C11．若在平面直角坐标系内过点P(1，3)且与原点的距离为d的直线有两条，则d的取值范围为．解析：|OP|＝2，当直线l过点P(1，3)且与直线OP垂直时，有d＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l与直线OP重合时，有d＝0，且直线l有且只有一条；当0<d<2时，有两条．答案：0<d<212．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为．解析：设所求直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|－2k－2＋4－3k|1＋k2＝|4k＋2＋4－3k|1＋k2，解得k＝2或k＝－23，即所求直线的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.答案：2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝013．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB 上，则ab 的最大值为．解析：由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12.由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12. 答案：1214．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，求直线l 1的方程．解析：圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.由已知可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×(－1)＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.即直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0.B 组——能力提升练1．已知直线l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( ) A ．－16 B ．6 C ．0D ．0或－16解析：由l 1∥l 2，得－3a －2a (3a －1)＝0，即6a 2＋a ＝0，所以a ＝0或a ＝－16，经检验都成立．故选D. 答案：D2．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－14 C ．10D ．8解析：由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0，解得n ＝－12.故选A. 答案：A3．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析：如图，以C 为原点，CB ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D (b 2，a 2)，P (b4，a 4)，由两点间的距离公式可得|P A |2＝b 216＋9a 216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a216.所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝1016(a 2＋b 2)a 2＋b 216＝10.答案：D4．设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎨⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)，由于l 1⊥l 2，所以1x 1×(－1x 2)＝－1，则x 1＝1x 2.又切线l 1：y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A (0，lnx 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，解得x P ＝2x 1＋1x1.所以S △P AB ＝12×2×x P ＝2x 1＋1x1，因为x 1>1，所以x 1＋1x 1>2，所以S △P AB 的取值范围是(0,1)，故选A. 答案：A5．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( ) A ．4 B ．6 C.345D.365解析：由题意可知纸的拆痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3，即为点(7,3)与点(m ，n )连线的垂直平分线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.故选C.答案：C6．直线2x ＋3y －6＝0分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，P 是直线y ＝－x 上的一点，要使|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(0,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12 解析：由已知可得B (0,2)，A (3,0)，A (3,0)关于直线y ＝－x 的对称点为A ′(0，－3)，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |，由几何意义知，当B ，P ，A ′共线时|P A ′|＋|PB |最小，即|P A |＋|PB |最小，此时直线BA ′与直线y ＝－x 的交点为(0,0)，即使|P A |＋|PB |取得最小值的点P 的坐标为(0,0)．故选C. 答案：C7．(2018·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A.102B.10 C ．5D ．10解析：由题意可知，P (0,1)，Q (－3,0)，且l ⊥m ， ∴M 在以PQ 为直径的圆上． ∵|PQ |＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D. 答案：D8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：由题知直线l 1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l 2所过定点为(0,2)，故选B. 答案：B9．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点是(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．4 B.13 C.15D.17解析：根据中点坐标公式得⎩⎨⎧x －22＝1，5－32＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4,1)，所以点P (x ，y )到原点的距离d ＝(4－0)2＋(1－0)2＝17，故选D.答案：D10．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B.823C. 3D.833 解析：因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝32a 2≠18a ≠2a ≠0，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝|6－23|2＝823，故选B. 答案：B11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( ) A ．－ 6 B ．±6 C ．－ 5D ．±5解析：因为圆心C 到y 轴的距离为1，所以圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是有|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5，选D.答案：D12．平面上有相异两点A (cos θ，sin 2θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角的取值范围是．解析：k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ，又因为A ，B 两点相异，则cos θ≠0，sin 2θ≠1，所以k ＝tan α＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，那么直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π13．(2017·晋中模拟)直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是．解析：直线y ＝k (x －1)恒过点P (1,0)，且与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，画出图形(如图所示)，则直线落在阴影区域内．∵k P A ＝2－03－1＝1，k PB ＝3－02－1＝3，∴k 的取值范围是[1,3]．答案：[1,3]14．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝ .解析：因为曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为|0－(－4)|2－2＝22－2＝2，则曲线C 1与直线l 不能相交，即x 2＋a >x ，所以x 2＋a －x >0.设C 1：y ＝x 2＋a 上一点(x 0，y 0)，则点(x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0|2＝－x 0＋x 20＋a 2＝(x 0－12)2＋a －142≥4a －142＝2，所以a ＝94.答案：9415．在平面直角坐标系内，求到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标．解析：由已知得k AC ＝6－23－1＝2，k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，①BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4.所以直线AC 与直线BD 的交点为P (2,4)，此点即为所求点．因为|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AC |＋|BD |，取异于P 点的任一点P ′.则|P ′A |＋|P ′B |＋|P ′C |＋|P ′D |＝(|P ′A |＋|P ′C |)＋(|P ′B |＋|P ′D |)>|AC |＋|BD |＝|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |.故P 点就是到A 、B 、C 、D 的距离之和最小的点．。

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