高等数学试卷与答案第一学期期末考试上海海事大学高等数学A船(A)

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大一(第一学期)高数期末考试题及答案

页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

高数必不挂-高等数学A(一)2010-2011(B)船解答

第 1 页共 6 页上海海事大学试卷2010 — 2011 学年第一学期期末考试《高等数学A （一）》（B 卷）船（解答）一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分3小题, 每小题4分, 共12分)()的驻点但不是极值点　是的驻点不是的极小值点　是的极大值点是则点且的某邻域内连续在、设)()()()()()()()(0 , 2cos 1)(lim,0)0(,0)(10x f D x f C •••x f B x f A •••••B••••••x xx f f x x f x ==-==→ ().)( ;1)(; 1)( ; 1)(2121lim211不存在　等于等于等于的值、D C ••B A ••••D••••••••xx x ±-+-→ ()21)( 1)(21)( 1)()0(d )()()(0320--==→⎰ 是等价无穷小，则与连续，时，、若已知D C •••••••B A •••••B••f x t••t tf x F x f x •x•二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分2小题, 每小题4分, 共8分)1、已知{}{}3,5,1,1,2,3a b ==，则)3()2(b a⋅ 等于 962、_______________3_________11arcsin 212122π=-+⎰-••dx x x x三计算题（必须有解题过程，否则不给分）（本大题分10小题，每题6分，共 60分） 1、x x x cot 20)sin 21(lim -→4)cos 4(sin 21)sin 21(lim --⋅-→=-=e x x xx 原式 6分--------------------------------------------------------------------------------------装订线第 2 页共 6 页2、923,1)(=⎪⎩⎪⎨⎧=+==x tdx dy ey tx x y y 试求所确定由方程设　解：2232t e dx dy t=， 4分 649e dxdy x == 6分 3、．求的确定由方程设y x y y y x y x '=++=+,2122)( 解： )1(2ln 22ln 22ln 2y y y x y x '+⋅='++， 4分2ln )22(2ln 22ln 2yx y x y x y ++--=' 6分 4、．计算⎰++10254••x x dx解：原式=++⎰dxx 12201() 2分10)2arctan(+=x 4分 2arctan 3arctan -= 6分5、．，处连续，求常数　在，，　，设函数b a x x bx dtt x a x x x x f •x ••00cos 00cos 1)(20222=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰解要使在处连续则须:(),lim ()()f x x f x f x ===→00302分即又因时则limsin cos sin ,sin lim(sin cos )x x ax x b x xx x ax x b x →→++=→→++=022021300210则b =-1 3分第 3 页共 6 页]00[sin 12cos sin lim20 又xx x ax x +-→ 4分 3222sin 2cos sin lim 0=+=++=→a xx x ax x a x 5分则故当时在处连续a a b f x x ===-=1110,,() 6分6、.d cos 2sin 3x xx⎰+求解：sin cos 32x x dx +⎰=-+⎰cos cos (cos )212x x d x 2分 =-++⎰cos cos (cos )2432x xd x=-++⎰⎰(cos )cos cos cos x d x xd x 232 4分=-+++122322cos cos ln(cos ).x x x c 6分7、求函数的极值y x x =ln 。

高数上册期末试卷(含答案)

一、填空题(每小题2分，共20分)1. 0，2.21，3. t −，4. 4，5. )41 0(]41 0[，或，，6. (0, 2)， 6. C x x ++arctan 3)1(分给缺C ，8. 0，9. 34−，10. 23.二、试解下列各题(每小题6分，共24分)1. xx x x x x 4sin 3553lim 22++=∞→原式 2分 444sin 3553lim20⋅⋅++=→xx x x x 4分 5124153=⋅⋅=6分 2. )1(sin )]1sin(sin ['⋅−='xx y 2分)1(1cos )]1sin(sin ['⋅−=xx x 3分x x x 1cos )1sin(sin 12=4分dx x x x dx y dy 1cos )1sin(sin 12='= 6分3. x x x d )111(22+−=⎰原式 1分 dx x dx x dx x ⎰⎰⎰+−++=21)1111(21 3分 .111ln 21C xx x +−−+= 6分 dx xx⎰+=422cos 2cos 1 4.π原式 2分⎰+=42)1(sec 21πdx x 3分40)(tan 21πx x += 5分 821π+= 6分三、试解下列各题(每小题7分，共28分)42021lim 1.x e x x x −→−−=原式 2分30422lim 2x xe x x x −→+−= 4分 22012422lim 22x e x e x x x −−→−+−= 5分x e x xe x x x 24812lim 2230−−→+−= 6分21−= 7分)(02/1 4422x x x e x ++−=−或用泰勒公式3分，答案2分2. )(x df x ⎰=原式 1分dx x f x xf ⎰−=)()( 3分C xxx x x +−'=ln )ln ( 5分 C xx+−=ln 21 7分分给求出注：2 ln 1)ln ()( xxx x x f −='= 1 2 1 0 1 3.==−====−t x t x dt dx t x 时，，时，且，则，令 1分 dt t f ⎰−=11 )(原式 2分dt tdt e t ⎰⎰+++=−1 0 01 11 114分 1001)1ln()]1ln([t e t t +++−=− 6分)1ln(e += 7分⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=−−1 111 1)1(1x e x x x f x ，，或 2分 dx xdx e x ⎰⎰−+=2 1 10 1111＋原式 4分下面同上}2 1 2{ }1 1 1{ 4.21−=−=，，，，，两平面的法向量为n n 1分所求直线的方向向量2111−−=kj s 2分}3 4 1{，，= 4分334112−=+=−z y x 对称式方程为6分 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+−=+= 3341 2t z t y t x 参数方程为 7分四、应用题(每小题7，共21分)分其体积为　则圆柱体的底面半径，设内接圆柱体的高为3 20)4()2( 1.2222R h h R h V hR r h <<−=−=π分4 )43(22h R V −='πR h V 3320=='得：唯一驻点　令 5分 023<−=''h V π又，圆柱体体积最大时故当,332R h = 7分dx x x dx x x V ⎰⎰−+−=2422422)cos (sin )sin (cos 2.πππππ3分dx x dx x ⎰⎰−=2442cos 2cos πππππ4分2442sin 22sin 2πππππxx−=5分π= 7分)1(3d 3.12 C x x y y +=''='⎰1分232632−==−x y y x 得又由 2分得代入)1(32)2,0(='∴−y 3分 '=+y x 332 4分23232d )323(C x x x x y ++=+=∴⎰5分.2322)2,0(31−+=∴−=−x x y C ，代入得再将 7分。

《高等数学》期末考试A卷(附答案)

《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设是正整数，为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。

【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。

【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137．函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3．当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

（2010至2011学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷)考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项：1、满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

大学第一学期高等数学期末考试A(含答案)打印

第一学期期末考试机电一体化专业《高等数学》试卷( A )1．函数()314ln 2-+-=x x y 的定义域是（),2[]2,(∞+--∞Y ）。

2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)1(f （ -5 ）。

3．=→xx x 20lim （ 0 ） 4．函数xxx f -=)(的间断点是x =（ 0 ）。

5．设735223-+-=x x x y 则y '＝（ 31062+-x x ）。

1、设()00=f , 且()00='f 存在, 则()=→xx f x 0lim ( C )；Ａ. ()x f ' Ｂ. ()0f ' Ｃ. ()0f Ｄ. ()021f 2、17下列变量中是无穷小量的有 ( C )；Ａ. )1ln(1lim0+→x x Ｂ. )1)((2()1)(1(lim 1-++-→x x x x x Ｃ. x x x 1cos 1lim ∞→ Ｄ. xx x 1sin cos lim 0→3、下列各组函数为同一函数的原函数的是 ( C )；Ａ. 31)(x x F =与324)(x x F -= Ｂ. 31)(x x F =与32214)(x x F -=Ｃ. C x x F +=21sin 21)(与x C x F 2cos 41)(2-=Ｄ.x x F ln )(1=与22ln )(x x F =4、在函数()x f 连续的条件下, 下列各式中正确的是 ( C )；Ａ. ()()x f dx x f dx d b a =⎰ Ｂ. ()()x f dx x f dx d ab =⎰Ｃ. ()()x f dt t f dx d x a =⎰ Ｄ. ()()x f dt t f dxd ax =⎰ 5、下列说法正确的是 ( D )；Ａ. 导数不存在的点一定不是极值点Ｂ. 驻点肯定是极值点Ｃ. 导数不存在的点处切线一定不存在Ｄ. ()00='x f 是可微函数()x f 在0x 点处取得极值的必要条件1、函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )2、函数)(x f 在区间[]b a ,上连续是)(x f 在区间[]b a ,上可积的充分条件。

上海海事大学高等数学2012-2013(期中)解答

上海海事大学试卷2012 — 2013 学年第一学期期中测试《高等数学》解答一、选择题1、D2、B3、C4、C5、A6、B7、B 二、填空题：1、21-2、63、34、dx xee dy yy-=1 5、3 三、计算题1、解：原式=1221)121ln(lim )11ln(lim -⋅-+∞→+∞→-+=-+n nn n n n n n n 4分=2ln 2=e 8分2、解：22121)1(212121x x x x x y -=-⋅+-⋅-=' 5分 21)0(='y 8分（若2cos )2(sin ='，扣4分）3、解：原式=xeexx x -+→)1ln(0lim2分=20)1ln(0))1(ln(lim)1(limx x x e xe e x xxx x -+=-→-+→ 4分=22)111(lim 0e x x e x -=-+→ 8分4、解：)1ln(11)1ln(2222x x x x x x x x y ++=+-++++=' 6分dx x x dy )1ln(2++= 8分5、解：)21(22x e y x +=' 4分 )23(222x xe y x +='' 8分--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------分分、解：原式81)21()1(621)sin ()(cos lim 60 =-⋅'=⋅-⋅'=+→f xx x f x7、解：t t t t t dxdy =++=22211 4分t t t t dxy d 222211+=+⋅= 8分 8、解：由可导得到连续所以1;)0(,1)0(===+-b b f f 4分11)1(lim )0(,1lim )0(00-=--='=-='-→+-→-x x b f a x e f x ax x1-=a 8分四、应用与证明1、33131,03232xyy y y x -='∴='+--， 4分设切点为（x,y ）则切线方程为分为常数。

高数a上册期末试题及答案

高数a上册期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20题）1. 设函数 $f(x) = \sqrt{3x-2}$，则其定义域为A. $(-\infty, \frac{2}{3}]$B. $\left[ \frac{2}{3}, \infty \right)$C. $[\frac{2}{3}, \infty)$D. $(-\infty, \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}, \infty)$答案：C2. 函数 $y = \sin^2 x + \cos^2 x$ 的值域为A. $(-\infty, 1]$B. $[0, 1]$C. $[1, \infty)$D. $[\frac{1}{2}, 1]$答案：B3. 设函数 $f(x) = e^x \ln x$，则 $f'(x) = $A. $e^x \ln x$B. $e^x \left( \frac{1}{x} + \ln x \right)$C. $e^x \left( \ln x - \frac{1}{x} \right)$D. $e^x \left( \frac{1}{x} - \ln x \right)$答案：B4. 若直线 $y = 3x + b$ 与抛物线 $y = ax^2 + bx + 1$ 相切，则 $a + b = $A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D5. 函数 $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的渐近线为A. $y = x - 1$B. $y = x + 1$C. $y = -x + 1$D. $y = -x - 1$答案：A6. 函数 $f(x) = \ln(1 + e^{2x})$ 的反函数为A. $f^{-1}(x) = \ln(x) - \ln(1 - x^2)$B. $f^{-1}(x) = \ln(x^2 - 1)$C. $f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}$D. $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x) + \ln(1 - x)$答案：D7. 设函数 $f(x) = \arcsin (\sin x)$，则当 $x = \frac{5\pi}{6}$ 时，$f(x) =$A. $\frac{5\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{6}$C. $\frac{\pi}{3}$D. $\frac{2\pi}{3}$答案：C8. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ 的最大值为A. 1B. $\sqrt{3}$C. 2D. $2\sqrt{3}$答案：D9. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值为A. 0B. 1C. 2答案：D10. 函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ 的图像关于直线 $x = a$ 对称，则 $a = $A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B11. 设 $\sin \alpha = \frac{1}{4}$，$\cos \beta = \frac{4}{5}$，且$\alpha$ 和 $\beta$ 都是第二象限角，则下列四个式子中成立的是A. $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{3}{4}$B. $\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{8}$C. $\cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$D. $\cos (\alpha + \beta) = \frac{2}{5}$答案：C12. 如果点 $A(1, 2)$ 在抛物线 $y = -x^2 + 3x + k$ 上，那么 $k = $A. -3B. -5D. -9答案：B13. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$，则 $f'(x)$ 的零点有A. -2, 2B. -1, 3C. -4, 3D. -1, 4答案：A14. 设点 $P(x, y)$ 满足 $y^2 = px$，其中 $p > 0$ 是常数，则焦点所在的直线方程为A. $y = -\frac{p}{2}$B. $x = -\frac{p}{2}$C. $y = \frac{p}{2}$D. $x = \frac{p}{2}$答案：B15. 函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值为A. -1B. 0D. 2答案：A16. 设直线 $y = 2x + 1$ 与曲线 $y = x^2 + bx + c$ 相切，则 $b + c = $A. 0B. $\frac{1}{2}$C. 1D. 2答案：C17. 设函数 $f(x) = (1 - x^2) \cos x$，则 $f''(x)$ 的一个零点在A. $(0, \frac{\pi}{2})$B. $(0, \pi)$C. $(\pi, 2\pi)$D. $(\pi, 3\pi)$答案：B18. 设函数 $f(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x$，则$f(x)$ 的最大值为A. 2B. $2\sqrt{2}$C. 3D. $2 + \sqrt{3}$答案：C19. 设函数 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$，则 $f(x) \cdot g(x) = $A. $e^{x^2}$B. $x^2 e^x$C. $x^2 e^{x^2}$D. $x^2 + e^x$答案：B20. 设 $a > 0$，则 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^x}$ 的值为A. 0B. $\frac{1}{e}$C. 1D. $+\infty$答案：A二、计算题（每题10分，共4题）1. 求函数 $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$.解：使用“分子分母可约”的性质，可将函数 $f(x)$ 化简为 $f(x) = 2x - 1$，则 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.答案：12. 求曲线 $y = e^x$ 与直线 $y = kx$ 相交的两个点的坐标，其中 $k > 0$ 是常数.解：将曲线 $y = e^x$ 和直线 $y = kx$ 代入方程中，得到 $e^x = kx$，然后可以使用迭代法或图像法求得相交点的坐标.答案：相交点的坐标为 $(x_1, e^{x_1})$ 和 $(x_2, e^{x_2})$，其中$x_1$ 和 $x_2$ 是满足方程 $e^x = kx$ 的两个解.3. 求曲线 $y = \sin x$ 与直线 $y = x$ 相交的点的个数，并说明理由.解：将曲线 $y = \sin x$ 和直线 $y = x$ 代入方程中，得到 $\sin x = x$，然后可以通过分析函数的周期性和图像来确定相交点的个数.答案：方程 $\sin x = x$ 的解存在无穷个，但相交点的个数取决于给定的区间. 在区间 $[0, \pi]$ 上，方程有一个解；在区间 $[2\pi, 3\pi]$ 上，方程又有一个解. 因此，相交点的个数是不确定的.4. 求函数 $y = x^2 + x$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点.解：首先求导数 $y' = 2x + 1$，然后令 $y' = 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$，将 $x = -2, -\frac{1}{2}, 2$ 代入函数 $y = x^2 + x$，得到对应的 $y$ 值. 最大值为 $y = y_{\text{max}}$ 对应的点为 $(-\frac{1}{2},y_{\text{max}})$，最小值为 $y = y_{\text{min}}$ 对应的点为 $(-2,y_{\text{min}})$ 和 $(2, y_{\text{min}})$.答案：最大值为 $y_{\text{max}} = \frac{5}{4}$，取得最大值的点为 $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$；最小值为 $y_{\text{min}} = -2$，取得最小值的点为 $(-2, -2)$ 和 $(2, -2)$.三、证明题（每题20分，共2题）1. 证明函数 $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$ 的导数 $f'(x)$ 恒大于零.证明：求导数 $f'(x) = x^2 - 2x + 2$，我们可以通过判别式来判断 $f'(x)$ 的正负性.判别式为 $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$，由于 $\Delta < 0$，所以判别式小于零，即 $f'(x)$ 的二次项系数小于零，说明二次项的系数是正的，从而导数 $f'(x)$ 恒大于零.证毕.2. 证明函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证明：要证明函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称，需证明对于任意$x$ 值，函数 $f(x)$ 和 $f(2 - x)$ 的函数值相等.将 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 代入 $f(2 - x)$，得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 -3(2 - x)^2 + 3$，对其进行展开和化简得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 -x)^2 + 3 = x^3 - 3x^2 + 3 = f(x)$，即 $f(x) = f(2 - x)$，证明了函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证毕.四、应用题（每题50分，共1题）1. 求函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值.解：求导函数 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3$，令 $f'(x) = 0$，求得驻点的 $x$ 坐标，然后将其代入原函数求得对应的 $y$ 坐标.求导的一阶导数方程为 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3 = 0$，通过求根公式求得 $x = -1$ 和 $x = \frac{1}{3}$，将其代入原函数 $f(x)$ 得到对应的$y$ 坐标.将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) = -1 + 1+ 3 = 3$，将 $x = \frac{1}{3}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(\frac{1}{3}) =(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} +\frac{1}{9} - 1 = 0$.因此，函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$.答案：驻点为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$，分别对应极大值和极小值.。

高等数学试卷与答案第一学期期末考试上海海事大学高等数学A船(A)

上海海事大学试卷2009 — 2010 学年第一学期期末考试《高等数学A （船）》（A 卷）班级学号姓名总分(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)或不存在且处必有在处连续且取得极大值则在点、函数0)()(0)(0)()(0)()(0)()()()()(10000000='<''='<''='==x f D x f x f C •••x f B x f A •••••x x f x x x f y 2、设F (x)=⎰-x adt t f a x x )(2，其中)(x f 为连续函数，则)(lim x F a x →等于（）（A ）、2a (B)、 )(2a f a (C)、 0 (D)、不存在3、已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则 =--→xf x f x 2)1()31(lim0 （）（A ）3 (B) -3 （C ）-6 （D ）64、xx x ee 1011lim+-→的极限为（）（A ）1 (B) -1 (C) 1或 -1 （D ）不存在二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、____________2lim 20的值等于-+-→x xx e e x 2、__________________)sin (cos 2 •232⎰=+ππ－•dx x x --------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------23、=-+∞→xx x x )1212(lim 4、已知当x x x sin 0-→时，与3ax 是等价无穷小，则=a 三计算题（必须有解题过程）（本大题分11小题，每小题5分，共55分） 1、(本小题5分))2(lim 2x x x x -++∞→　计算极限2、(本小题5分)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=10111arctan )1()(2x x x x x f 研究f （x ）的连续性。

高等数学A(一)2011-2012(B)

第 1 页共 6 页上海海事大学试卷2011 — 2012 学年第一学期期末考试《高等数学A （一）》（B 卷）（本次考试不能使用计算器）班级学号姓名总分(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、()2n121)()()(1)(lim 1e D ••••e C •••e B •••A •••••••e ee e nn n n n 、=⋅⋅-∞→2、当0→x 时，x x -tan 为阶无穷小，的k x 则k 为（）（A ）2 （B ）1 (C)4 (D)3()eD e C ••e B e A •••••••••x x f x e x x x f x +-+-=⎩⎨⎧<≥=---⎰3)(3)(3)(3)(d )(0)(31121．．　．．则，，、若 4、设(),()f x g x 在点0x =某邻域内连续，且()f x 具有连续的一阶导数，满足1200ln(1())lim2,()2ln(1)()x g x f x x x g xt dt x→+'==-++⎰，则（）（A ）0x =为()f x 极大值点（B ）0x =为()f x 极小值点（C ）(0,(0))f 为()y f x =曲线拐点（D ）0x =不是()f x 的极值点，(0,(0))f 也不是曲线拐点--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页共 6 页二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)=∑=+∞→ni n in e n i 1)(22lim 1、 2、_____________20cos 2上的最大值为，在区间函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+=x x y 3、设()f x 在1x =可导，(1)1f '=，则(1)(12sin )2(13tan )limx f x f x f x x→+++--=________.4、设{}{}3,1,2,2,1,1==b a ，则)7()3(b a b a-⨯-= _____ 三计算题（必须有解题过程，否则不给分）（本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、求极限xx x xx 12)2123(lim +∞→++2、讨论x x x f cos )2()(π-=，在2π=x 处的可导性。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)SH

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求数列的最大的项.解：令y =y '===令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<, 所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为1000a =.2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域： (1)x +2x 2+3x 3+…+nx n+…；(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑；(4)()2112nn x n n ∞=-⋅∑；解：(1)因为11lim lim 1n n n na n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n ∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11n n n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e n n n n n∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2x x x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212n n t n n ∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n na n na n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]3．（1）解：112xn n =∞相当于P 级数中P x = 当1P >时112p n n =∞收敛，1P ≤时，112pn n =∞发散. 从而当1x >时，112x n n =∞收敛，1x ≤时，112xn n =∞发散. 从而112xn n=∞的收敛域为(1,)+∞ 从而111(1)2n x n n+=∞-的收敛域为(0,1)(1,)+∞. （2）解：当1x >时，112x n n =∞收敛，则111(1)2n xn n+=∞-收敛. 当0x ≤时，111(1)2n x n n+=∞-发散，(0)n U当01x <<时，111(1)2n x n n+=∞-收敛.（莱布尼兹型级数）4．判定下列级数的敛散性：(1) 1n ∞=∑；(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+；(3) ()23133222213333nn n--+-++-；(4)155n +++++；解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵nU =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．5．写出下列级数的一般项： (1)1111357++++；2242468x x ++⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+；解：(1)121n U n =-； (2)()2!!2n n xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+；6．已知电压u (t )=3sin2t ，求 (1) u (t )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均值；解： π2026()3sin 2d .ππu t t t ==⎰(2) 电压的均方根值.解：均方根公式为()f x =故()u t =====7．求下列各曲线所围图形的面积：（1）y =12x 2 与x 2+y 2=8(两部分都要计算)；解：如图D 1=D 2解方程组⎩⎨⎧y =12x 2x 2+y 2=8得交点A (2，2)(1)D 1=⎠⎛02⎝⎛⎭⎫8-x 2-12x 2d x =π+23∴ D 1+D 2=2π+43,D 3+D 4=8π-⎝⎛⎭⎫2π+43=6π-43．（2）y =1x与直线y =x 及x =2；解： D 1=⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x -1x d x =⎣⎡⎦⎤12x 2-ln x 21=32-ln2.(2)（3）y =e x ，y =e -x 与直线x =1；解：D =⎠⎛01()e x -e -xd x =e+1e-2．(3)（4） y =ln x ，y 轴与直线y =ln a ，y =ln b ．(b>a>0)；解：D =⎠⎛l n al n b e y d y =b -a ．(4)（5）抛物线y =x 2和y =-x 2+2；解：解方程组⎩⎨⎧y =x 2y =-x 2+2得交点 (1，1)，(-1，1) D =⎠⎛-11()-x 2+2-x 2d x =4⎠⎛01()-x 2+1d x =83．(5)（6）y =sin x ，y =cos x 及直线x =π4，x =94π；解：D =2⎠⎜⎜⎛π45π4(sin x -cos x )d x=2[]-cos x -sin x 5π4π4=42．(6)（7）抛物线y =-x 2+4x -3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线；解：y′=-2x +4． ∴y ′(0)=4，y ′(3)=-2．∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y =4x -3 在(3，0)处的切线是y =-2x +6 两切线交点是(32，3)．故所求面积为(7)()()()()()33222302332223024343d 2643d d 69d 9.4D x x x x x x x x x x x x x⎡⎤⎡⎤=---+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦=+-+=⎰⎰⎰⎰（8）摆线x =a (t -sin t )，y =a (1-cos t )的一拱 (0≤t ≤2π)与x 轴；解：当t =0时，x =0, 当t =2π时，x =2πa ．所以()()()2π2π2π2202d 1cos d sin 1cos d 3π.aS y x a t a t t a t ta ==--=-=⎰⎰⎰(8)（9）极坐标曲线 ρ=a sin3φ；解：D =3D 1=3·a 22⎠⎜⎛0π3sin 23φd φ=3a 22 ·⎠⎜⎛0π3 1-cos6φ2d φ =3a 24 ·⎣⎡⎦⎤φ-16sin6φπ3=πa 24． (9)（10）ρ=2a cos φ；解：D =2D 1=2⎠⎜⎛0π212·4a 2·cos 2φd φ=4a 2⎠⎜⎛0π21+cos2φ2d φ =4a 2·12⎣⎡⎦⎤φ+12sin2φπ2=4a 2·12·π2=πa 2．(10)8．计算下列积分（n 为正整数）：（1）1;n x ⎰解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数.(2)π240tan d .n x x ⎰解：πππ2(1)22(1)22(1)44400π2(1)411tantan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+-9．利用习题22(2)证明：ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算a⎰(a 为正常数)证明：由习题22(2)可知ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x xx x =++⎰⎰又πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令10．求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：d (1)1exx+⎰; 解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证：e 1(ln(1e ))1.1e 1e x xx xx c '-++=-=++ 所以，结论成立.(2)ln(x x ⎰;解：原式=ln(ln(.x x x x x c -=-验证：ln(ln(x x x x c '⎡⎤=++⎣⎦ln(x =所以，结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证：2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以，结论正确.(4)x ;解：原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证：921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =++==所以，结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;解： 1sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰所以，原式=().sin(ln )cos(ln )2xc x x +- 验证： ()sin(ln )cos(ln )2x c x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭= 故结论成立.2e (6)d (e 1)xx x x +⎰;解：原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x xx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1xxx c --=-+++ 验证：22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x x xx xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰; 解：原式=1ln d d ln(.x x x c x =-=-++⎰ 验证：ln(x c '⎤-+⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x xx x++⎰;解：原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证：2221sin sin (tan )tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1，且为正整数).解：1sin d sin dcos n n n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.11．求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰;解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰; 解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+ ⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =+. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰; 解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin x x x+⎰; 解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x -=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1x x x x ++⎰; 解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ; 解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 21x x x x x ⎛=+-+⎝⎰又 2x 2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln 1t t c c t -''=++=++故原式=1)x c -+.12．用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(2)e d x x x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x=-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+ (7)e cos d x x x -⎰;解：e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2x x x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++. 32(ln )(9)d x x x⎰; 解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x . 解：原式tan 23sec d .x a t a t t =⎰又 32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰故 11ln .22x c x =+13．证明下列不等式：2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰；证明：当2e e x ≤≤时，2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤ 由积分的保序性知：222e e e e e ed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰ 即 2e 22e e e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰ (2) 2101e d e.x x ≤≤⎰证明：当0 1.x ≤≤时，21e e,x ≤≤由积分的保序性知：2111000d e d ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰ 即2101e d e.x x ≤≤⎰14．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩ (2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cos ππ2=-≤≤xf x x .解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰ 于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑ (x ≠n π) (2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰，()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππn n a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3n n f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞) (3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n n b f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos 2x f x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π01212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x x a nx x nx x n x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰ 所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nx f x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]15．在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a xV x ax a=-⋅=-+'=-+ 令0V '=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =.即小正方形边长为6a 时方盒容积最大.16．设()2,()ln x f x g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x .解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).x f x f f x g g x g x g x x x x x ====17．设()f x 二阶可导，求20()2()()lim h f x h f x f x h h→+-+-. 解：2000()2()()()()lim lim 21()()()() lim []21 [li 2h h h f x h f x f x h f x h f x h h hf x h f x f x h f x h h→→→''+-+-+--=''''+---=+-=00()()()()m lim ]1 [()()]2().h h f x h f x f x h f x h hf x f x f x →→''''+---+-''''=+''=18．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.⑴ 201sinlim sin x x x x →； ⑵ lim (1)x x k x →+∞+； ⑶ sin lim sin x x x x x→∞-+； ⑷ e e lim .e e x x x x x --→+∞-+ 解：⑴ ∵200111sin2sin cos lim lim sin cos x x x x x x x x x →→-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数）又2001sin1lim lim sin 0sin x x x x x x x →→==, 故不能使用洛必达法则.⑶ ∵sin 1cos lim lim sin 1cos x x x x x x x x→∞→∞--=++不存在,而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x xx x x x x x x →∞→∞--==++ 故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xx x x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+ 利用洛必达法则无法求得其极限. 而22e e 1e lim lim 1e e 1e x x xx x xx x ----→+∞→+∞--==++. 故答案选（2）.19．设()f x 在[,]a b 上有(1)n -阶连续导数，在(,)a b 内有n 阶导数，且(1)()()()()0.n f b f a f a f a -'=====试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()0n f ξ=. 证明：首先，对()f x 在[,]a b 上应用罗尔定理，有1(,)a a b ∈，即1a a b <<，使得1()0f a '=；其次，对()f x '在[,]a b 上应用罗尔定理，有21(,)a a b ∈，即12a a a b <<<，使得2()0;,f a ''=一般地，设在(,)a b 内已找到1n -个点121,,,,n a a a -其中121,n a a a a b -<<<<<使得(1)1()0n n f a --=，则对(1)()0n f x -=在1[,]n a b -上应用罗尔定理有1(,)(,),n a b a b ξ-∈⊂使得()()0n f ξ=.20．一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=21．利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差. 解：23455ln(1) (01)2345(1)x x x x x x x θθ+=--+-<<+ 234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++= 5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5n R θ-=<≈⨯+22．求下列函数在指定点的高阶导数：⑴()f x =求(0)f ''；⑵ 21()e ,x f x -=求(0)f ''，(0)f '''；⑶ 6()(10),f x x =+求(5)(0)f ，(6)(0)f .解： ⑴322()(1)f x x -'==- 5223()(1)22f x x x -''=--⋅ 故(0)0f ''=.⑵ 21()2e x f x -'=2121()4e ()8ex x f x f x --''='''= 故4(0)e f ''=，8(0)ef '''=. ⑶ 5()6(10)f x x '=+43(4)2(5)(6)()30(10)()120(10)()360(10)()720(10)()720f x x f x x f x x f x x f x ''=+'''=+=+=+=故(5)(0)720107200f =⨯=，(6)(0)720f =23．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a .证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y 则2220220, , x a a a y y y x x x =''==-=-，则过M 点的切线方程为：20020()a y y x x x -=-- 令220000002202x y x a y x x x x a a=⇒=+=+= 得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ，令2000000002x y a x y y y y x x =⇒=+=+= 得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ，故 2000012222.2S x y x y a ===24．如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明：(0)0.f '= 证明：000()(0)()(0)(0)limlim ()(0)lim (0),x x x f x f f x f f x x f x f f x∆→∆→∆→∆--∆-'==∆∆-∆-'=-=--∆ 故(0)0.f '=25．当1x →时，无穷小量1x -与221(1)1,(2)(1)2x x --是否同阶？是否等价？解：211111(1)lim lim 112x x x x x →→-==-+ ∴当1x →时，1x -是与21x -同阶的无穷小.2111(1)12(2)lim lim 112x x x x x →→-+==- ∴当1x →时，1x -是与21(1)2x -等价的无穷小.26．当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200lim lim 022x x x x x x x x x→→--==-- ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.27．用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+ 证：(1)0ε∀>,要使 1sin sin 0x x x x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0x xε<-,故sin lim 0x x x→+∞=. (2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+, 故224lim 42x x x →--=-+. (4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++, 只须122x ε<+，取2εδ=，则当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+ 故21214lim 221x x x →--=+. (5) 0ε∀>,要使11sin0sin x x x x x ε=≤<-, 只要取δε=，则当00x δ<<-时，必有1sin 0x x ε<-, 故01lim sin 0x x x→=.28．已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+ 从而 0cot S BC h hϕ=-. 000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h h BC h hS S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为.29．求下列函数的反函数及其定义域:2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x x y y x x y y x x +-==+++==+∈解: (1)由11x y x -=+解得11y x y -=+, 所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1x y x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-, 所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e2()x y x -=-∈ R . (3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =- 所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> . (4)由31cos y x =+得cos x =,又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤, 即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数为(02)y x =≤≤.30．试证明：曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上. 证明：22221(1)x x y x -++'=+，232(1)(22(1)x x x y x +--''=+ 令0y ''=，得1,22x x x =-=+=当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；当(1,2x ∈--时0y ''>；当(22x ∈-时0y ''<；当(2)x ∈++∞时0y ''>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2-+. 因为111212--+因此三个拐点在一条直线上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．无2．无3．无4．无5．无6．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无29．无30．无。

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