高中数学北师大版必修4《余弦函数的图像与性质》word导学案

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(北师大版)高中数学必修四：1.6《余弦函数的图像与性质》教案(2)

§6余弦函数的图像与性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】在上一次课中，我们知道正弦函数y ＝sinx 的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到。

那么，对于余弦函数y ＝cosx 的图像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？【探究新知】1．余弦函数y ＝cosx 的图像由诱导公式有：与正弦函数关系 ∵y＝cosx ＝cos(－x)＝sin[2π－(－x)]＝sin(x ＋2π) 结论：（1）y ＝与函数y ＝sin(x ＋2π的图象相同（2）将y ＝sinx 的图象向左平移2π即得y ＝cosx 的图象（3）也同样可用五点法作图：y ＝的五个点关键是(0,1) (2π-1) (23π,0)（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y ＝的图像与 y ＝cosx2．余弦函数y ＝cosx 的性质观察上图可以得到余弦函数y ＝cosx 有以下性质：（1）定义域：y=cosx 的定义域为R（2）值域： y=cosx 的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）－1(3)最值：对于y ＝cosx 当且仅当x ＝时 y max ＝1 当且仅当时x ＝＋π时 y min ＝－1 当-2π2π 时 y=cosx>0 当2π23π 时 y=cosx<0(4)周期性：y ＝cosx 的最小正周期为(5)奇偶性cos(－x)(6)单调性增区间为[（2k －1）π， 2k π]（k∈Z），其值从－1增至1；减区间为[2k π，（2k ＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】1．例题讲评例1．请画出函数y ＝cosx －1的简图，并根据图像讨论函数的性质。

解：（略，见教材P31-32）2．课堂练习二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

高中数学北师大版必修4第1章6《余弦函数的图像和性质》word导学案

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》6余弦函数的图像和性质导学案北师大版必修4【学习目标】1. 会通过平移正弦曲线得到余弦函数的图像，并会用五点法画出余弦函数的图像.2. 通过余弦函数的图像理解余弦函数的性质.3. 通过对余弦函数的图像和性质的研究过程，体会数形结合和类比的思想方法.【重点难点】重点：余弦函数的图像和性质.难点：余弦函数性质的灵活应用.五点法：五点法作余弦函数图像的五个关键点是_________、__________、_________、___________、____________.2. 余弦函数的图像（余弦曲线）3.余弦函数的性质单调性【合作探究】 1. 画出函数x y cos 1+=的简图，根据图像讨论函数的性质.2. 求下列函数的定义域：（1）1cos 1-=x y ；（2）21cos -=x y .3. 已知]43,4[ππ∈x ，求函数1cos cos 2++-=x x y 的值域.【课堂检测】1.函数x y cos 2=，当],[ππ-∈x 时，在区间_____________上是增加的，在区间 ___________上是减少的；当=x ________时，y 取最大值_____；当=x ______ 时，y 取最小值_______.2.求函数1cos 32+-=x y 的单调区间，并判断其奇偶性.3.在同一直角坐标系内画函数x y sin =和余弦函数x y cos =在区间]2,0[π上的图像，并回答下列问题：（1）写出满足x x cos sin =的x 的值；（2）写出满足x x cos sin >的x 的取值范围；（3）写出满足x x cos sin <的x 的取值范围；（4）当R x ∈时，分别写出满足x x cos sin =，x x cos sin >，x x cos sin <的x 的集合.【课堂小结】【课后训练】。

数学北师大版高中必修4余弦函数的图像和性质学案

余弦函数的图像和性质学案
学习目标
1. 理解并掌握余弦函数的图象和性质，会用“五点法”画出余弦函数的简图．
2. 通过教学，使学生进一步掌握数形结合研究函数的方法．
课前导学
1.用五点法作正弦函数图象的点是、、、、。

五点法作余弦函数图象的点是、、、、。

2.正弦函数y=sinx 的图像
课堂探究
1.余弦函数的图像的画法
图像变换法：由y=sinx 的图像怎么变换可得到y=cosx 的图像？
诱导公式⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=2sin cos πx x 对你有什么启示？
2．余弦函数的图像（余弦曲线）
3余弦函数的性质函数 y=sinx
y=cosx
定义域值域最值
单调性奇偶性周期
对称轴
合作探究
1. 观察余弦曲线，写出满足2
1
cos ≥
x 的x 的区间
2.画出下列函数的简图，根据图像讨论函数的性质
()1cos 1+=x y (x ∈R) ()2cos 2+-=x y (x ∈R)
函数 y=cosx+1 (x ∈R)
y=-cosx+2 (x ∈R)
定义域值域最值
单调性奇偶性周期
对称轴
3.球下列函数的定义域
（1）x
y cos 11
-= (2)x y cos -=
：判断下列函数的奇偶性.4
()2cos 1+=x y ()x x y cos sin 2=
小结：1.“五点法”作图．
2. 余弦函数的图象．
3. 余弦函数的性质．。

高一数学北师大版必修4《1.6余弦函数的图像与性质》教案

[答案](－π，0]
[解析]∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π<a≤0时，满足已知条件，∴a∈(－π，0]．
8．比较大小：cos ________cos(－ π)．
[答案]>
[解析]cos ＝cos ＝－cos π，cos ＝cos ＝－cos ，由y＝cosx在[0，π]上是单调递减的，所以cos π<cos ，所以cos >cos .
解：(1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°，
cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°.
∵180°>139°>136°>0°，
∴cos 139°<cos 136°，即－sin 46°>cos 221°.
(2)cos ＝cos π＝cos ＝cos π，
cos ＝cos π＝cos ＝cos .
∴函数y＝－cos2x＋cosx的值域是 .
(2)y＝＝－1.
∵－1≤sinx≤1，∴1≤2＋sinx≤3，
∴ ≤ ≤1，
∴ ≤ ≤4，
∴ ≤ －1≤3，即 ≤y≤3.
∴函数y＝的值域为 .
规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：
①sinx，cosx的有界性；②sinx，cosx的单调性；③化为sinx＝f(y)或cosx＝f(y)
2．函数f(x)＝－xcosx的部分图像是()
[答案]D
[解析]由f(x)＝－xcosx是奇函数，可排除A，C.令x＝，则f( )＝－ cos ＝－ <0.故答案选D.
二、填空题
3．若cosx＝，且x∈R，则m的取值范围是________．
[答案](－∞，－3]∪

经典文档6.1余弦函数图像说课稿

6.1《余弦函数图像》说课稿各位专家，评委，各位老师：大家下午好！我是来自数学组的李善斌。

很高兴能在这里和大家进行交流。

我今天说课的题目是《余弦函数图像》，该内容选自于普通高中课程标准试验教科书《数学》北师大版必修4第一章第六节第一课时，余弦函数的图像与性质的部分内容，余弦函数的图像与性质课时安排为两课时，本课为其中的第一课时。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标分析、教法分析、学法分析、教学设计、板书设计等方面来阐述我的教学设想。

一、教材分析、学情分析、教学目标分析教材分析1、地位和作用作为<<余弦函数的图像与性质>>的起始课，这节课的成功与否对于余弦函数的性质的学习、甚至对于整个三角函数的图像与性质的学习都有着重要的作用。

如何遵循教育规律，依照新课程标准的要求，体现新的数学教育理念，是设计本节课的根本原则。

本节课是在学生掌握了正弦函数的图象和性质的基础上进行的，因此，在这一节课中，要让学生对余弦函数的概念、图像有更加充分的认识，这样对整个三角函数的图像与性质的教学将起着承上启下的作用。

2、重、难点分析作为<<余弦函数的图像与性质>>的起始课，是接下来利用余弦函数的图像分析其性质的基础。

根据教材的要求、特点以及学生的实际确定重、难点分别如下：（1）重点：用“五点作图法”作出余弦函数在[0，2π]上的图像；掌握余弦函数y=cos x在(-,+)上的图像。

（2）难点：理解正弦函数与余弦函数的图像之间的关系。

学情分析学生已掌握了一些基础函数的从定义到图像再到性质的分析方法，并掌握了五点作图法作出正弦函数y=sin x在[0，2π]上的图象，学会利用“数形结合”的方法由函数图象分析函数的性质。

我所任教的一文一理班是，学生入学成绩较差、综合素质不太高；学生对函数有了初步认识，有较强的分析、判断、理解、探索能力。

教学目标分析根据新课程标准对知识技能传授、过程与方法、情感教育三者统一的要求和教材的特点，结合学生的认知规律和实际情况，确定本节课的教学目标为：1、知识与技能目标：能利用五点作图法作出余弦函数在[0 ，2π] 上的图象；掌握余弦函数y=cos x 在(- ,+ ) 上的图像。

高中数学第一章三角函数6余弦函数的图像与性质学案北师大版必修4

§6 余弦函数的图像与性质内容要求 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像( 重点 ).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用( 难点 )、知识点1 余弦函数的图像余弦函数y ＝cos x ( x ∈R )的图像叫余弦曲线、根据诱导公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ,x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ,x ∈R 的图像向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图像( 如图 )、要画出y ＝cos x ,x ∈[0,2π]的图像,可以通过描出( 0,1 ),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0,( π,－1 ),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0,( 2π,1 )五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可以得到余弦函数y＝cos x ,x ∈[0,2π]的图像、【预习评价】( 正确的打“√”,错误的打“×” )( 1 )余弦函数y ＝cos x 的图像可以向左、向右无限伸展、( √ ) ( 2 )y ＝cos x 的图像与y ＝sin x 的形状完全一样,只是位置不同( √ ) ( 3 )y ＝cos x 的图像与x 轴有无数个交点( √ ) ( 4 )y ＝cos x 的图像关于y 轴对称( √ ) 知识点2 余弦函数的性质函数 y ＝cos x定义域 R 值域 [－1,1] 奇偶性偶函数周期性 2π为最小正周期单调性当x ∈[2k π－π,2k π]( k ∈Z )时,递增；当x ∈[2k π,2k π＋π]( k ∈Z )时,递减最大值与最小值当x ＝2k π( k ∈Z )时,最大值为1；当x ＝2k π＋π( k ∈Z )时,最小值为－1( 1 )y ＝－cos x 的最小正周期为2π.( √ )( 2 )函数y ＝－cos x 在区间[0,π2]上是增函数、( √ )( 3 )函数y ＝sin( x －π2 )的图像关于x ＝0对称、( √ )( 4 )函数y ＝sin( π2－x )是奇函数、( × )题型一余弦函数的图像及应用【例1】画出y ＝cos x ( x ∈R )的简图,并根据图像写出： ( 1 )y ≥12时x 的集合；( 2 )－12≤y ≤32时x 的集合、解用“五点法”作出y ＝cos x 的简图、( 1 )过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12点作x 轴的平行线,从图像中看出：在[－π,π]区间与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12,⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12点,在[－π,π]区间内,y ≥12时,x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π3≤x ≤π3. 当x ∈R 时,若y ≥12,则x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z. ( 2 )过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12,⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32点分别作x 轴的平行线,从图像中看出它们分别与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，－12,k ∈Z ,⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2k π，－12,k ∈Z 点和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π，32,k ∈Z ,⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π，32,k ∈Z 点,那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求,即当－12≤y ≤32时x 的集合为：⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ －2π3＋2k π≤x ≤－π6＋2k π或⎭⎬⎫π6＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .规律方法 “五点法”画函数图像的三个步骤【训练1】 ( 1 )函数y ＝cos 2x ,x ∈[0,2π]的简图是( )详细解析由2x ＝0,π2,π,3π2,2π可得五点,描图知,A 为x ∈[0,π]上的简图；D 为x ∈[0,2π]上的简图、正确答案 D( 2 )作出函数y ＝1－13cos x 在[－2π,2π]上的图像、解 ①列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝cos x 1 0 －1 0 1 y ＝1－13cos x23143123②作出y ＝1－3cos x 在x ∈[0,2π]上的图像、由于该函数为偶函数,作关于y 轴对称的图像、从而得出y ＝1－13cos x 在x ∈[－2π,2π]上的图像、题型二余弦函数的性质【例2】已知f ( x )＝2＋cos x . ( 1 )判断函数的奇偶性； ( 2 )求函数的单调区间； ( 3 )求函数的最小正周期、解 ( 1 )∵f ( x )＝2＋cos x 的定义域为R 且f ( －x )＝f ( x ), ∴函数f ( x )＝2＋cos x 为偶函数、( 2 )∵y ＝cos x 在[2k π－π,2k π]( k ∈Z )上是增加的,在[2k π,2k π＋π]( k ∈Z )上是减少的,∴y ＝2＋cos x 的单调递增区间为[2k π－π,2k π]( k ∈Z ),单调递减区间为[2 kπ,2 kπ＋π]( k ∈Z )、( 3 )由cos x 的周期性知y ＝2＋cos x 的最小正周期为2π.规律方法对于余弦函数的性质,要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆,其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致、【训练2】 ( 1 )求函数y ＝1－12cos x 的单调区间；( 2 )比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7与cos 18π7的大小、解 ( 1 )∵－12＜0,∴y ＝1－12cos x 的单调性与y ＝cos x 的单调性相反、∵y ＝cos x 的单调增区间是[2k π－π,2k π]( k ∈Z ),减区间是[2k π,2k π＋π]( k ∈Z )、 ∴y ＝1－12cos x 的单调减区间是[2k π－π,2k π]( k ∈Z ),增区间是[2k π,2k π＋π]( k∈Z )、( 2 )cos 18π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π7＝cos 4π7. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝cos π7.又0＜π7＜4π7＜π,且函数y ＝cos x 在[0,π]上是减少的,∴cos π7＞cos 4π7,即cos 18π7＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7.【例3】函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域为________、详细解析 y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋14.因为－1≤cos x ≤1, 所以当cos x ＝12时,y max ＝14.当cos x ＝－1时,y min ＝－2.所以函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.正确答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14【迁移1】求本例中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时函数的值域、解 ∵y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋14,因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3,所以12≤cos x ≤1.所以当cos x ＝12时y max ＝14,cos x ＝1时y min ＝0, ∴原函数的值域为[0,14]、【迁移2】求本例中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3时函数的值域、解由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3,所以0≤cos x ≤1, 此时函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域也为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.【迁移3】若将本例改为已知函数y ＝a －b cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32,求ab 的值、解 ∵函数y ＝a －b cos x 的最大值是32,最小值是－12.当b ＞0时,由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝32，a －b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1，ab ＝12.当b ＜0时,由题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，ab ＝－12.综上所述,ab ＝±12.规律方法与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法 ( 1 )利用sin x ,cos x 的有界性、 ( 2 )利用sin x ,cos x 的单调性、( 3 )化为sin x ＝f ( x )或cos x ＝f ( x ),利用|f ( y )|≤1来确定、 ( 4 )通过换元转化为二次函数.课堂达标1、下列函数中,不是周期函数的是( ) A 、y ＝|cos x | B 、y ＝cos|x | C 、y ＝|sin x |D 、y ＝sin|x |详细解析画出y ＝sin|x |的图像( 图略 ),易知D 选项不是周期函数、正确答案 D2、设函数f ( x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2,x ∈R ,则f ( x )是( ) A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为π的偶函数 C 、最小正周期为π2的奇函数D 、最小正周期为π2的偶函数详细解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x , ∴f ( x )＝－cos 2x .又f ( －x )＝－cos( －2x )＝－cos 2x ＝f ( x ), ∴f ( x )是最小正周期为π的偶函数、正确答案 B3、函数y ＝cos x ,x ∈[0,2π]的图像和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形,这个封闭图形的面积是________、详细解析如图,可把x 轴下方图形补到x 轴上方阴影部分,此时所围面积可变成一个矩形、正确答案 2π4、使cos x ＝1＋m1－m有意义的实数m 的取值范围是________、详细解析－1≤1＋m 1－m ≤1；即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋m 1－m ≤1；|1＋m |≤|1－m |且m ≠1,得m ≤0.正确答案 {m |m ≤0}5、( 1 )已知函数y ＝lg( 2cos x ＋1 ),求它的定义域和值域； ( 2 )求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－3的值域、解 ( 1 )2cos x ＋1＞0,即cos x ＞－12.∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－2π3＜x ＜2k π＋2π3，k ∈Z. 令y ＝lg t ,t ＝2cos x ＋1,则0＜t ≤3. ∴y ≤lg 3,即值域为( －∞,lg 3]、 ( 2 )设t ＝cos x ,则－1≤t ≤1.原函数可转化为：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－3.∴当t ＝12时,y min ＝－3；当t ＝－1时,y max ＝－34.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－34.课堂小结1、比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出判断、2、求三角函数值域或最值的常用求法( 1 )将y 表示成以sin x ( 或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方,或利用函数的单调性等来确定y 的范围、( 2 )将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示,如sin x ＝f ( y ),再由|sin x |≤1,构建关于y 的不等式|f ( y )|≤1,从而求得y 的取值范围.基础过关1、函数y ＝cos x ＋|cos x |,x ∈[0,2π]的大致图像为( )详细解析由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，0，π2<x <32π.显然只有D 合适、正确答案 D2、若f ( x )＝cos x 在[－b ,－a ]上是增函数,则f ( x )在[a ,b ]上是( ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、减函数D 、增函数详细解析因为y ＝cos x 为偶函数并且在[－b ,－a ]上是增函数,所以y ＝cos x 在[a ,b ]上递减,故选C. 正确答案 C3、函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1详细解析 ∵0≤x ≤π2,∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6, ∴－12≤y ≤32.故选B.正确答案 B4、函数y ＝－3cos x －1的单调递减区间是________、详细解析 ∵函数y ＝cos x 的单调递增区间是[－π＋2k π,2k π]( k ∈Z )、 ∴函数y ＝－3cos x －1的单调递减区间是[－π＋2k π,2k π]( k ∈Z )、正确答案 [－π＋2k π,2k π]( k ∈Z ) 5、比较大小：cos 158π________cos 149π.详细解析 ∵cos 158π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8,cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9,而0＜π8＜4π9＜π2,∴cos π8＞cos 4π9,即cos 15π8＞cos 14π9.正确答案＞6、比较下列各组数的大小、( 1 )－sin 46°与cos 221°；( 2 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.解 ( 1 )－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°, cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°. ∵180°>139°>136°>0°,∴cos 139°<cos 136°,即－sin 46°>cos 221°. ( 2 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π, cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π,且y ＝cos x 在[0,π]上递减,∴cos 35π<cos π4,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 7、求函数y ＝2－cos x 2＋cos x 的值域、解 y ＝4－2＋cos x 2＋cos x ＝42＋cos x －1.∵－1≤cos x ≤1,∴1≤2＋cos x ≤3, ∴13≤12＋cos x≤1, ∴43≤42＋cos x ≤4,∴13≤42＋cos x －1≤3,即13≤y ≤3. ∴函数y ＝2－cos x 2＋cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.能力提升8、下列函数中,周期为π,且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A 、y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B 、y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C 、y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D 、y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2详细解析因为函数周期为π,所以排除C 、D.又因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数,故B 不符合、故选A. 正确答案 A9、下列关系式中正确的是( ) A 、sin 11°<cos 10°<sin 168° B 、sin 168°<sin 11°<cos 10° C 、sin 11°<sin 168°<cos 10° D 、sin 168°<cos 10°<sin 11°详细解析 ∵sin 168°＝sin( 180°－12° )＝sin 12°, cos 10°＝sin( 90°－10° )＝sin 80°.由正弦函数的单调性得sin 11°<sin 12°<sin 80°, 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 正确答案 C10、函数y ＝lg( sin x )＋ cos x －12的定义域为__________________________、详细解析要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π( k ∈Z ),∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .正确答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z11、函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为________、详细解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322－14,∴当cos x ＝1时,y 最小值为0.正确答案 012、已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.( 1 )画出函数的简图；( 2 )这个函数是周期函数吗？如果是,求出它的最小正周期；( 3 )指出这个函数的单调增区间、解 ( 1 )y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2k ∈Z，0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2k ∈Z .函数图像如图所示、( 2 )由图像知函数的周期是2π.( 3 )由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π( k ∈Z )、13、( 选做题 )求函数f ( x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值、解 f ( x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,令cos x ＝t 且t ∈[0,1],则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋1,则当t ＝32时,f ( x )取最大值1.。

1.6余弦函数的图像与性质教案高中数学必修四北师大版

§6余弦函数的图像与性质6．1余弦函数的图像6．2余弦函数的性质●三维目标1．知识与技能(1)掌握余弦函数的性质．(2)能正确使用“五点法”“几何法”“图像变换法”画出余弦函数的简图．2．过程与方法通过图像的做法，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．●重点难点重点：五点法作出余弦函数的图像，并理解图像性质．难点：余弦函数的对称性．(教师用书独具)●教学建议关于余弦函数y＝cos x的性质，教科书写得比较简明，这是因为学生已经有了研究正弦函数y＝sin x性质的经验．对于余弦函数的性质很容易理解，讲课时，让学生观察余弦线或余弦曲线，逐一说出余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值以及何时取得最大值和最小值，奇偶性，单调区间．其中单调区间不必死记硬背，只要观察[0,2π]上的图像，可知[0，π]是余弦函数的一个减区间，[π，2π]是余弦函数的一个增区间，然后根据余弦函数的周期为2π的整数倍，就可得到一般结果．●教学流程创设情境：如何由正弦函数的图像得到余弦函数的图像？⇒引导学生利用图像变换法和五点法得到余弦函数的图像．⇒对比正弦函数的性质让学生结合图像得到余弦函数的性质．⇒通过例1及互动探究，使学生掌握与余弦函数有关的图像的画法．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握余弦型函数定义域的求法．⇒通过例3例4及变式训练，使学生掌握与余弦函数有关的函数单调性应用及值域的求法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．如何由y ＝sin x 的图像得到y ＝sin(x ＋π2)＝cos x 的图像呢？【提示】 y ＝sin x 图像向左平移π2个单位即得y ＝cos x 的图像．余弦函数y ＝cos x 的图像可以通过将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位长度得到．如图是余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图像，叫作余弦曲线．图1－6－1用五点法可以作出正弦函数的图像，利用这个方法作出余弦函数的图像吗？五个关键点是什么？【提示】能．五个关键点分别为(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y ＝cos x (x ∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(32π，0)，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y＝cos x，x∈R的简图(如图)．图1－6－2研究正弦函数y＝sin x的性质时，主要研究了它的哪些性质？类比正弦函数的性质，能得到余弦函数y＝cos x的性质吗？【提示】主要研究了y＝sin x的定义域、值域、周期、单调性、对称轴、对称中心等．可以类比得到y＝cos x的性质．对于函数y ＝3＋2cos x(1)用五点法作出此函数的简图．(2)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合并分别写出最大值、最小值； (3)讨论此函数的单调性．【思路探究】由五点法画简图，根据图像求最值及讨论单调性．【自主解答】 (1)按五个关键点列表如下，描点画出图像(如图)．(2)当cos x ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时， y max ＝3＋2＝5；当cos x ＝－1，即x ∈{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }时，y min ＝3－2＝1. (3)y ＝3＋2cos x 的增减区间就是y ＝cos x 的增减区间．所以当x ∈[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是增加的，y ＝3＋2cos x 也是增加的；当x ∈[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是减少的，y ＝3＋2cos x 也是减少的．1．本题(3)讨论单调性的关键是把y ＝3＋2cos x 的单调性转化为cos x 的单调性． 2．作函数y ＝a cos x ＋b 的图像的步骤：(1)列表：由x ＝0，π2，π，3π2，2π时，cos x ＝1,0，－1，0,1，求出y 值；(2)描点：在同一坐标系中描五个关键点； (3)连线：用平滑曲线．将本例中的函数改为y＝2cos x，画出简图，并观察其图像与例中函数图像的关系．【解】按五个关键点列表如下：由图像可知，曲线y＝3＋2cos x可看作是曲线y＝2cos x向上平移3个单位得到的.求下列函数的定义域：(1)y＝2cos x－2；(2)y＝1－2cos x＋lg(2sin x－1)．【思路探究】解题流程写出满足条件的三角不等式(组)解三角不等式(组)利用图像写出不等式。

北师大版高考数学总复习三角函数-余弦函数的图像与性质名师点悟+易错盘点

时作
要
业
点
导
学
第18页
第一章 §6 6.1、2
北师大版 ·数学 ·必修4
自主
(1)求函数 f(x)＝ 2cos x－ 2的定义域；
预
习
(2) 已知 x ∈ －π3，23π ，则 y ＝ cos x 的值域为课
时
要 __________________；
作业
点导
(3)求函数 y＝3cos2x－4cos x＋1 的最大值和最小值．
自主
点？
预
习
提示：余弦曲线的对称中心是余弦曲线与 x 轴的交点，即
要
kπ＋π2，0，余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低
课时作业
点
导学
点，方程为 x＝kπ，k∈Z，此时余弦值取得最大或最小.
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第一章 §6 6.1、2
自主预习要点导学
第11页
北师大版 ·数学 ·必修4
课时作
要
点导
所以当 x＝0 时，y＝cos x 取得最大值 1.
业
学
当 x＝23π时，y＝cos x 取得最小值－12.
所以值域为－12，1.
第22页
第一章 §6 6.1、2
北师大版 ·数学 ·必修4
(3)令 t＝cos x，则－1≤t≤1，问题转化为求函数 y＝3t2－4t
自主
＋1(－1≤t≤1)的最大值和最小值．
作业
32π，0，(2π，1)．
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第一章 §6 6.1、2
北师大版 ·数学 ·必修4
问题探究 1：余弦函数的图像还有什么画法？
自主

高中数学_余弦函数的图像与性质教学设计学情分析教材分析课后反思

1.3.2余弦函数的图象与性质教学设计一、教学内容分析:“余弦函数的图象与性质”是高中人教B 版《数学》必修4第一章基本初等函数（Ⅱ）第三节的内容。

是在学习了三角函数定义、诱导公式及正弦函数的图象与性质的基础上引入的，是对学习了正弦函数图象与性质后的一个很好的方法的应用,又是对后面正切函数的图象与性质的学习,起了更进一步的知识基础和方法储备.这使得余弦函数的图象与性质的教学起到了呈上启下的作用.它与正弦函数一样也是数学中重要的数学模型之一,是研究度量几何的基础,又是研究自然界周期变化规律的最强有力的数学工具.二、学生学习情况分析：本部分内容是在学生学习了三角函数定义，诱导公式及正弦函数的图象和性质的基础上引入的。

学生可类比正弦函数来学习本节内容。

整体说来，学生学起来会比较轻松。

但学生在探究出了余弦函数的图象和性质之后,会暂时出现混淆的状态,所以需要在授课中引导学生时刻和正弦函数作对比,区分记忆.对余弦函数的性质的应用，学生需要在练习中时刻与正弦函数类比，有个逐步熟练的过程。

三、设计思想本节课的设计遵循从已知到未知的原则，时刻抓住正弦与余弦间的联系,由问题引入新课题。

运用类比的数学方法,适当运用多媒体辅助教学手段，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，掌握余弦函数的图象及性质，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的分析问题、解决问题的能力。

四、教学目标1.会利用"图象变换法"和”五点法”作余弦函数的图象；掌握余弦函数的主要性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）。

并掌握性质的应用；2.培养学生自主探索与合作学习的能力，同时也培养学生应用类比、化归以及数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；3. 让学生亲身经历数学的研究过程，使学生在学习活动中获得成功感，感受数学的魅力；体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度；从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。

北师版高中数学高一北师大版必修4课件 1.6 余弦函数的图像与性质

明目标、知重点
明目标、知重点
x∈[0,2π]的图像上起关键作用的五个点为 (0,1) ,
π (2,0) ,
(π,－1),
3 (2π,0) ,
(2π,1) .
2.余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
明目标、知重点
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性单调性最大值与最小值
2π为最小正周期当x∈ [2kπ－π,2时kπ],递(k∈增Z；)
观察图像知 x∈π4，54π.
明目标、知重点
4.(1)已知f(x)的定义域为[0,1),求f(cos x)的定义域； 1 2 3 4 解 (1)0≤cos x<1⇒2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2,且 x≠2kπ(k∈Z). ∴所求函数的定义域为 x∈[2kπ－π2,2kπ)∪(2kπ,2kπ＋π2),k∈Z. (2)求函数y＝lg sin(cos x)的定义域.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1.设函数 f(x)＝sin2x－π2,x∈R,则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的奇函数
B.最小正周期为 π 的偶函数 C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数
1234
)
明目标、知重点
1234
解析 ∵sin2x－π2＝－sinπ2－2x＝－cos 2x, ∴f(x)＝－cos 2x. 又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x), ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数. 答案 B
明目标、知重点
(2)－21≤y≤ 23时 x 的集合. 解过(0,－12)、(0, 23)点分别作 x 轴的平行线,从图像中看出它们分别与余弦曲线交于(－23π＋2kπ,－12),k∈Z,(23π＋2kπ,－12),k∈Z 点和

高中数学第一章三角函数 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学案北师大版必修4

4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题.知识点正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？答案设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是增加的？答案不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增加的. 梳理正弦、余弦函数的性质1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × )提示正弦函数不是定义域上的单调函数. 2.正弦函数在第一象限是增函数.( × )提示正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3>sin π6.3.存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示余弦函数最大值为1.4.余弦函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数.( √ ) 提示由余弦函数的单调性可知正确.类型一正弦、余弦函数的定义域例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22＋1－2cos x . 考点正弦函数、余弦函数的定义域题点正弦函数、余弦函数的定义域解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z. 反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.跟踪训练1 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为 . 考点正弦函数、余弦函数的定义域题点正弦函数、余弦函数的定义域答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π，k ∈Z解析要使2sin x ＋1有意义，则必须满足2sin x ＋1≥0，即sin x ≥－12，结合单位圆，知x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π，k ∈Z . 类型二正弦、余弦函数的值域与最值例2 (1)求函数y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤5π6的值域.题点正、余弦函数的值域解 ∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6上是减少的，∴当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝5π6时，y min ＝cos 5π6＝－32，∴y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤5π6的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.(2)已知函数y ＝a sin x ＋1的最大值为3，求它的最小值. 考点正、余弦函数的最值题点含参正、余弦函数的最值解当a >0时，y max ＝a ×1＋1＝3，得a ＝2， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝2×(－1)＋1＝－1；当a <0时，y max ＝a ×(－1)＋1＝3，得a ＝－2， ∴当sin x ＝1时，y min ＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1.反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析.(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论.跟踪训练2 函数y ＝2＋cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3的值域为 .考点正、余弦函数的值域题点正、余弦函数的值域答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3解析由单位圆，可知当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－π3，2π3时，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以2＋cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，所以函数y ＝2＋cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.类型三正弦、余弦函数的单调性例3 函数y ＝cos x 的一个递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2B.(0，π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 D.(π，2π)题点求正、余弦函数的单调区间答案 D解析 ∵y ＝cos x 的递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，令k ＝1得[π，2π]，即为y ＝cos x 的一个递增区间，而(π，2π)⊆[π，2π]，故选D. 反思与感悟利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并.跟踪训练3 求下列函数的单调区间.(1)y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]. 考点正、余弦函数的单调性题点求正、余弦函数的单调区间解 (1)y ＝sin x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.(2)y ＝cos x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π].1.函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A.0 B.1 C.－2 D.－1考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点余弦函数的最大值与最小值答案 C解析 cos x ∈[－1，1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2.2.不等式2sin x －1≥0的解集为 . 考点解三角不等式题点解三角不等式答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z解析由2sin x －1≥0得，sin x ≥22. 由单位圆可得π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .3.函数f (x )＝－2sin x ＋1的最大值为 .答案 3解析因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )取最大值2＋1＝3.4.求y ＝－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π的值域. 考点正、余弦函数的值域题点正、余弦函数的值域解由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π，得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y ∈[－2，1]，∴y ＝－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π的值域为[－2，1].利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识.一、选择题1.函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A.[k π，(k ＋1)π](k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，(2k ＋1)π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，(k ＋1)π(k ∈Z )D.[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z ) 考点正弦函数、余弦函数的定义域题点正弦函数、余弦函数的定义域答案 B解析由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z ).2.函数y ＝sin 2x 的递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[π＋2k π，3π＋2k π](k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 B解析由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，∴y ＝sin 2x 的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).3.函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D.R考点正弦函数、余弦函数的定义域题点正弦函数、余弦函数的定义域答案 C解析 ∵cos x －12>0，∴cos x >12，∴2k π－π3<x <2k π＋π3，k ∈Z .∴函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z .4.函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 考点正、余弦函数的单调性题点求正、余弦函数的单调区间答案 B解析 y ＝sin x 的递增区间就是y ＝4sin x ＋3的递增区间.5.y ＝3cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，4π3的最大值与最小值分别为( )A.3，－3B.3，－332C.3，32D.3，－32考点正、余弦函数的最值题点求正、余弦函数的最值答案 A6.在[0，2π]内，使sin x ≥12成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π考点解三角不等式题点解三角不等式答案 B7.已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3，x ∈Z ，则f (x )的值域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－32，32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－12，12，－32，32D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，32考点余弦函数的值域题点余弦函数的值域答案 A 二、填空题8.y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，5π3的递增区间为 .考点正、余弦函数的单调性题点求正、余弦函数的单调区间答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3 9.满足sin α－cos α>0的α的取值范围是 . 考点解三角不等式题点解三角不等式答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4＋2k π<α<5π4＋2k π，k ∈Z 解析由图可解.10.y ＝3sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3的值域为 .考点正、余弦函数的值域题点正、余弦函数的值域答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析借助单位圆可知，函数f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3在x ＝π2处取最大值1，在x ＝－π3和x ＝4π3处同时取得最小值－32，即－32≤sin x ≤1，所以－332≤3sin x ≤3. 11.下列说法正确的是 .(只填序号) ①y ＝|sin x |的定义域为R ； ②y ＝3sin x ＋1的最小值为1； ③y ＝－sin x 为周期函数；④y ＝sin x －1的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈R ).考点正、余弦函数的基本性质题点正、余弦函数的基本性质综合答案 ①③解析对于②，y ＝3sin x ＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于④，y ＝sin x －1的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，故②④错，填①③.三、解答题12.已知函数y ＝a cos x ＋b 的最大值是0，最小值是－4，求a ，b 的值. 考点正、余弦函数的最值题点含参正、余弦函数的最值解当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝b ＝－2. 13.已知函数f (x )＝12－sin x.(1)判定函数f (x )是否为周期函数； (2)求函数f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，5π6时，求f (x )的值域. 考点正、余弦函数的基本性质题点正、余弦函数的基本性质综合解 (1)函数f (x )的定义域是R .因为f (x ＋2π)＝12－sin (2π＋x )＝12－sin x＝f (x )，所以f (x )是周期函数.(2)由正弦函数的基本性质，可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上，函数y ＝sin x 是增加的，而此时函数h (x )＝2－sin x 是减函数，从而可知此时函数f (x )是增函数，故可知函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ).(3)设t ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，5π6，则t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，所以1≤2－t <52，则25<12－t≤1.故f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤25，1. 四、探究与拓展14.函数y ＝－23cos x ，x ∈(0，2π)，其单调性是( )A.在(0，π)上是增加的，在[π，2π)上是减少的B.在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π上是增加的，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的C.在[π，2π)上是增加的，在(0，π)上是减少的D.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是增加的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π上是减少的考点正、余弦函数的单调性题点正、余弦函数的单调性答案 A15.已知f (x )＝－sin x .(1)试写出f (x )的单调区间；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，a 上是减少的，求实数a 的取值范围. 考点正弦函数的单调性题点正弦函数的单调性综合解 (1)∵f (x )＝－sin x ，根据正弦函数y ＝sin x 的单调性可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是减少的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是增加的. (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，a ⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即－π2<a ≤π2. ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，π2.。

【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页附答案)

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间．答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________．解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．答案一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．答案 C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．【探究4】已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________．答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确．答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数．答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上．答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限．解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度．【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________．答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一角度与弧度的互化【例1】将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【训练1】将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析－23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错．答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

高中数学北师大版必修4教案-4_正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标、知道解斜三角形的意义2、掌握三角形面积公式、正余弦定理，3、理解三角形面积公式、正余弦定理的推导过程4、初步了解根据已知条件，选择正余弦定理解斜三角形的方法2. 教学重点/难点【教学重点】1、掌握三角形面积公式、正余弦定理2、理解三角形面积公式、正余弦定理的推导过程【教学难点】初步了解根据已知条件，选择正余弦定理解斜三角形的方法3. 教学用具4. 标签教学过程【教学过程】一、新课引入[引例]为在一条河上建造一座桥，需要测量河两岸两桥桩之间的距离，无渡河工具，不能直接测得两岸的距离。

可利用的工具有测角仪与皮尺（能测得本岸任意两点的距离，也能测得以本岸任意一点为顶点的角的大小）。

请设计一个测量两桥桩之间距离的方案。

这就是直角三角形中的边角正弦关系，因此，正弦定理就是这种关系在一般三角形中的推广[应用] 正弦定理本质为三个等式根据“知三求一”的原则，正弦定理可用于解决以下问题:1、已知两角一边，求其它角和边•两角一对边•两角一夹边( 三角形内角和定理)2、已知两边一对角，求其它角和边练习：解决引例（三) 余弦定理由坐标系中两点之间距离公式得：[三角形的一边的平方等于其他两边的平方减去这两边与他们夹角的余弦值乘积的两倍]直角三角形中的勾股定理是特殊情况，因此，余弦定理就是勾股定理在一般三角形中的推广[应用] 余弦定理本质为三个等式根据“知三求一”的原则，余弦定理可用于解决以下问题:1、已知两边一角，求其它角和边2、已知三边，求其它各角练习：书53 练习5、7（1）第一题——体会正余弦定理适用的情况一、课时小结：正余弦定理及其适用范围二、家庭作业：书53练习5、7（1）【教学后记】。

2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：1.6 余弦函数的图像与性质 Word版

§6　余弦函数的图像与性质6.1　余弦函数的图像6.2　余弦函数的性质1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点)3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理　余弦函数的图像与性质阅读教材P 31～P 33“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．利用图像变换作余弦函数的图像余弦函数y ＝cos x 的图像可以通过将正弦曲线y ＝sin x 向左平移个单位长π2度得到．如图1－6－1是余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图像，叫作余弦曲线．图1－6－12．利用五点法作余弦函数的图像画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y ＝cos x (x ∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，可利用此五点画(π2，0)(32π，0)出余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的简图(如图1－6－2)．图1－6－23．余弦函数的性质图像定义域R 值域[－1,1]最大值，最小值当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性周期函数，T ＝2π单调性在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增加的；在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是减少的奇偶性偶函数，图像关于y 轴对称判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的定义域为R .( )(2)余弦函数y ＝cos x 的图像可由y ＝sin x 的图像向右平移个单位得到．( )π2(3)在同一坐标系内，余弦函数y ＝cos x 与y ＝sin x 的图像形状完全相同，只是位置不同．( )(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间．( )【解析】　(1)(3)正确；余弦函数y ＝cosx ＝sin ，即可看作是y ＝sin(π2＋x )x 向左平移个单位得到的，因而(2)错；正、余弦函数有相同的周期(都是2π)，π2相同的最大值(都是1)，相同的最小值(都是－1)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而(4)错．【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]五点法作图　用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图．【精彩点拨】　利用“五点法”：列表―→描点―→连线【自主解答】　列表：xπ2π3π22πcos x10－1011－cos x121描点并用光滑的曲线连接起来，如图．作函数y ＝a cos x ＋b 的图像的步骤1．列表：由x ＝0，，π，，2π时，cos x ＝1,0，－1，0,1，求出y 值．π23π22．描点：在同一坐标系中描五个关键点．3．连线：用平滑曲线．[再练一题]1．作出函数y ＝1－cos x 在[－2π，2π]上的图像．13【解】　①列表：x 0π2π3π22πy ＝cos x10－101y ＝1－cos x 1323143123②作出y ＝1－cos x 在x ∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于13y 轴对称的图像，从而得出y ＝1－cos x 在x ∈[－2π，2π]上的图像．13如图所示：与余弦函数有关的定义域问题　求下列函数的定义域．(1)f (x )＝；2cos x ＋1(2)f (x )＝log 2(－1＋2cos x )＋.9－x 2【精彩点拨】　写出使得函数有意义时所满足的条件，结合三角函数的定义域，求若干个不等式的交集即可．【自主解答】　(1)要使y ＝有意义，则必须满足2cos x ＋1≥0，2cos x ＋1即cos x ≥－.12结合余弦函数的图像得y ＝的定义域为Error!.2cos x ＋1(2)要使函数有意义，则Error!即Error!cos x >的解集为12Error!，x 2≤9的解集为{x |－3≤x ≤3}，取交集得Error!.∴原函数的定义域为.(－π3，π3)1．求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三角函数的图像，关键有两点：(1)选取一个合适的周期；(2)确定边界值．2．当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x 取值范围的公共范围，即取它们的交集．3．当三角不等式与代数不等式在一起时，在取交集时，应注意对三角不等式解集中的k进行讨论．[再练一题]2．求下列函数的定义域．(1)y ＝；(2)y ＝log (2cos x －)．32－cos x122【解】　(1)要使函数有意义，则有－cos x ≥0，32∴cos x ≤，可得2k π＋≤x ≤2k π＋，k ∈Z .32π611π6故所求函数的定义域为Error!.(2)要使函数有意义，则有2cos x－>0，2∴cos x >，故所求定义域为22Error!.余弦函数的单调性及应用　(1)函数y ＝1－2cos x 的单调增区间是________；(2)比较大小cos π________cos.263(－133π)【精彩点拨】　(1)y ＝1－2cos x 的单调性与y ＝－cos x 的单调性相同，与y ＝cos x 的单调性相反．(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．【自主解答】　(1)由于y ＝cos x 的单调减区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，所以函数y ＝1－2cos x 的增区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．(2)由于cos π＝cos＝cos ，263(8π＋2π3)2π3cos ＝cos ＝cos ＝cos ，(－13π3)(13π3)(4π＋π3)π3y ＝cos x 在[0，π]上是减少的．由<知cos >cos ，π32π3π32π3即cos π<cos.263(－13π3)【答案】　(1)[2k π，2k π＋π]　(2)<1．形如y ＝a cos x ＋b (a ≠0)函数的单调区间(1)当a >0时，其单调性同y ＝cos x 的单调性一致；(2)当a <0时，其单调性同y ＝cos x 的单调性恰好相反．2．比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．[再练一题]3．(1)比较大小：cos与cos ；(－235π)(－174π)(2)求函数y ＝log (cos 2x )的增区间．12【解】　(1)cos ＝cos ＝cos＝cos ，(－235π)23π5(4π＋3π5)3π5cos ＝cos ＝cos＝cos .(－174π)17π4(4π＋π4)π4∵0<<<π，且y ＝cos x 在[0，π]上递减，π43π5∴cos <cos ，3π5π4即cos<cos .(－235π)(－174π)(2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋，k ∈Z ，π2∴k π<x <k π＋，k ∈Z ，π4∴y ＝log (cos 2x )的增区间为，k ∈Z .12(k π，k π＋π4)[探究共研型]与余弦函数有关的最值问题探究1　余弦函数在第一象限内是减函数吗？【提示】　不是．余弦函数y ＝cos x 在内是减函数，但不能说在第一[0，π2]象限是减函数．如390°和60°都是第一象限角，虽然有390°>60°，却有cos 60°<cos 390°.探究2　求与余弦函数相关的最值问题时应注意什么？【提示】　首先看函数的定义域，一定注意在定义域内求最值．探究3　对于y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型的函数如何求最值？【提示】　利用换元法转化为在固定区间上的二次函数求最值．　求下列函数的最值．(1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；(2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈.[π3，2π3]【精彩点拨】　本题中的函数可以看作是关于cos x 的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解．【自主解答】　(1)y ＝－2＋.(cos x －12)14∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝时，y max ＝.1214当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的最大值为，最小值为－2.14(2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝32－.(cos x －23)13∵x ∈，cos x ∈，[π3，2π3][－12，12]从而当cos x ＝－，即x ＝时，y max ＝；122π3154当cos x ＝，即x ＝时，y min ＝－.12π314∴函数在区间上的最大值为，最小值为－.[π3，2π3]15414求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：(1)sin x ，cos x 的有界性；(2)sin x ，cos x 的单调性；(3)化为sin x ＝f (x )或cos x ＝f (x )，利用|f (x )|≤1来确定；(4)通过换元转化为二次函数．[再练一题]4．已知函数y ＝－cos 2x ＋a cos x －a －的最大值为1，求a 的值.1212【导学号：66470018】【解】　y ＝－cos 2 x ＋a cos x －a －1212＝－2＋－－.(cos x －a 2)a 24a 212∵－1≤cos x ≤1，于是①当<－1，即a <－2时，当cos x ＝－1时，a2y max ＝－a －.3232由－a －＝1，得a ＝－>－2(舍去)；323253②当－1≤≤1，即－2≤a ≤2时，当cos x ＝时，y max ＝－－.a2a2a 24a 212由－－＝1，得a ＝1－或a ＝1＋(舍去)；a 24a 21277③当>1，即a >2时，当cos x ＝1时，y max ＝－.a2a 232由－＝1，得a ＝5.a 232综上可知，a ＝1或a ＝5.7[构建·体系]1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( )A ．2，－2 B ．1，－3C ．1，－1D ．2，－1【解析】　∵－1≤cos x ≤1，∴－2≤2cos x ≤2，∴－3≤2cos x －1≤1，∴最大值为1，最小值为－3.【答案】　B2．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( )A ．(k ∈Z )[2k π－π2，2k π]B.(k ∈Z )[2k π－π，2k π－π2]C.(k ∈Z )[2k π＋π2，2k π＋π]D.(k ∈Z )[2k π，2k π＋π2]【解析】　结合函数y ＝sinx 和y ＝cos x 的图像知都减少的区间为(k ∈Z )．[2k π＋π2，2k π＋π]【答案】　C3．函数y ＝的定义域是________.cos x1＋cos x 【导学号：66470019】【解析】　由题意知1＋cos x ≠0，即cos x ≠－1，结合函数图像知Error!.【答案】　Error!4＋2cos x ≥0(x ∈R )的x 的集合是________．2【解析】　∵＋2cos x ≥0，2∴cos x ≥－，结合图像(略)知：22－π＋2k π≤x ≤＋2k π(k ∈Z )．343π4【答案】　Error!5．画出y ＝1－3cos x 在[0,2π]上的简图，并指出其最值和单调区间．【解】　列表：x0π2ππ322πcos x 10－1011－3cos x－2141－2图像如下：由图像可知，函数y ＝1－3cos x 在[0,2π]上的最大值为4，最小值为－2，单调增区间为[0，π]，减区间为[π，2π]．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。

北师大版高中数学必修四余弦函数的图像与性质教案

那么，对于余弦函数y ＝cosx 的图像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？【探究新知】1．余弦函数y ＝cosx 的图像由诱导公式有：与正弦函数关系 ∵y ＝cosx ＝cos(－x)＝sin[2π－(－x)]＝sin(x ＋2π) 结论：（1）y ＝cosx, x ∈R 与函数y ＝sin(x ＋2π) x ∈R 的图象相同（2）将y ＝sinx 的图象向左平移2π即得y ＝cosx 的图象（3）也同样可用五点法作图：y ＝cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) （4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y ＝cosx x ∈[2k π,2(k+1)π] k ∈Z,k ≠0的图像与 y ＝cosx x ∈[0,2π] 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长2．余弦函数y ＝cosx 的性质观察上图可以得到余弦函数y ＝cosx 有以下性质：（1）定义域：y=cosx 的定义域为R（2）值域： y=cosx 的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）(3)最值：1︒对于y ＝cosx 当且仅当x ＝2k π,k ∈Z 时 y max ＝1当且仅当时x ＝2k π＋π, k ∈Z 时 y min ＝－12︒当2k π-2π<x<2k π+2π (k ∈Z)时 y=cosx>0当2k π+2π<x<2k π+23π (k ∈Z)时 y=cosx<0 (4)周期性：y ＝cosx 的最小正周期为2π(5)奇偶性cos(－x)R)是偶函数(6)单调性增区间为[（2k －1）π， 2k π]（k∈Z），其值从－1增至1；减区间为[2k π，（2k ＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。

高中数学北师大版必修四学案：第一章 6 余弦函数的图像与性质

学习目标1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求y＝A cos x＋B的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式．知识点一余弦函数的图像思考1根据y＝sin x和y＝cos x的关系，你能利用y＝sin x，x∈R的图像得到y＝cos x，x∈R 的图像吗？思考2类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能，y ＝cos x，x∈[0,2π]五个关键点分别是什么？梳理余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作____________．知识点二余弦函数的性质思考1余弦函数的最值是多少？取得最值时的x值是多少？思考2余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？梳理类型一用“五点法”作余弦函数的图像例1用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图．反思与感悟作形如y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0,2π]的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：①列表，取x ＝0，π2，π，3π2，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图．跟踪训练1 用“五点法”作函数y ＝2cos x ＋1，x ∈[0,2π]的简图．类型二余弦函数单调性的应用例2(1)函数y ＝3－2cos x 的递增区间为________． (2)比较cos(－235π)与cos(－174π)的大小．反思与感悟单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小．跟踪训练2比较大小．(1)cos(－7π8)与cos 7π6；(2)sin 378°与cos(－641°)．类型三余弦函数的定义域和值域例3(1)求f (x )＝2cos x －1的定义域．(2)求下列函数的值域． ①y ＝－cos 2x ＋cos x ；②y ＝2－cos x 2＋cos x.反思与感悟求值域或最大值、最小值问题的依据 (1)sin x ，cos x 的有界性． (2)sin x ，cos x 的单调性．(3)化为sin x ＝f (y )或cos x ＝f (y )，利用|f (y )|≤1来确定． (4)通过换元转化为二次函数．跟踪训练3函数y ＝－cos 2x ＋cos x ＋1(－π4≤x ≤π4)的值域是________．1．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是()A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,12．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数的是() A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 3．函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________________． 4．比较大小：(1)cos 15°________cos 35°；(2)cos(－π3)________cos(－π4)．5．函数y ＝cos(－x )，x ∈[0,2π]的递减区间是________．1．对于y ＝a cos x ＋b 的图像可用“五点法”作出其图像，其五个关键点是最高点、最低点与x 轴相交的点．2．通过观察y ＝cos x ，x ∈R 的图像，可以总结出余弦函数的性质． 3．利用余弦函数的性质可以比较三角函数值的大小及求最值．答案精析问题导学知识点一思考1能，根据cos x ＝sin(x ＋π2)，只需把y ＝sin x ，x ∈R 的图像向左平移π2个单位长度，即可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图像．思考2能，五个关键点分别是(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．梳理余弦曲线知识点二思考1对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1；观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图像：函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图像如图所示．思考2观察图像可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1；当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 题型探究例1 解列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示．跟踪训练1 解 ∵x ∈[0,2π]， ∴令x ＝0，π2，π，3π2，2π，列表得：描点，连线得：例2(1)[2k π，π＋2k π](k ∈Z )(2)解 cos(－235π)＝cos(－6π＋75π)＝cos 75π，cos(－174π)＝cos(－6π＋74π)＝cos 74π，∵π<75π<74π<2π，∴cos 75π<cos 74π，即cos(－235π)<cos(－174π)．跟踪训练2 解 (1)cos(－7π8)＝cos 7π8＝cos(π－π8)＝－cos π8，而cos 7π6＝－cos π6.∵0<π8<π6<π2，∴cos π8>cos π6，∴－cos π8<－cos π6，即cos(－7π8)<cos 7π6.(2)sin 378°＝sin(360°＋18°)＝sin 18° ＝sin(90°－72°)＝cos 72°，cos(－641°)＝cos(720°－641°)＝cos 79°，又cos 72°>cos 79°， ∴sin 378°>cos(－641°)．例3 解 (1)要使函数有意义，则2cos x －1≥0，∴cos x ≥12，∴－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，∴定义域为[－π3＋2k π，π3＋2k π]，k ∈Z .(2)①y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋14. ∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，y max ＝14.当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－2，14. ②y ＝4－(2＋cos x )2＋cos x ＝42＋cos x －1.∵－1≤cos x ≤1，∴1≤2＋cos x ≤3， ∴13≤12＋cos x≤1， ∴43≤42＋cos x ≤4，∴13≤42＋cos x －1≤3，即13≤y ≤3. ∴函数y ＝2－cos x 2＋cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤13，3. 跟踪训练3[1，1＋22]当堂训练1．A2.B3.⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5 4．(1)>(2)<5.[0，π]。

高中数学第一章三角函数 6 余弦函数的图像与性质教学案北师大版必修4

6 余弦函数的图像与性质[核心必知]余弦函数的图像与性质函数y ＝cos x图像定义域 R 值域 [－1,1]最值当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性周期函数，T ＝2π 奇偶性偶函数，图像关于y 轴对称单调性在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增加的；在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是减少的[问题思考]1．如何由y ＝cos x ，x ∈R 的图像得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像？提示：只需将y ＝cos x ，x ∈R 的图像向右平移π2个单位即可得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像，并且方法不唯一．2．余弦函数在第一象限内是减函数吗？提示：不是．余弦函数y ＝cos x 在[0，π2]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如390°和60°都是第一象限的角，虽然390°>60°，但cos 60°＝12，cos 390°＝32.却有cos 60°<cos 390°.所以函数y ＝cos x 在第一象限内不是减函数．3．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x ＝k π(k ∈Z )；它的对称中心有无数个，其坐标为(k π＋π2，0)(k ∈Z )．讲一讲1．画出函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图像． [尝试解答] 按五个关键点列表：x 0 π2 π 3π2 2π y121描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示：1．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标是(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．形如y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0，2π]的函数，也可由五点法画图像．练一练1．用“五点法”画出y ＝3＋2cos x (x ∈[0，2π])的图像．解：(1)列表x 0 π2 π 3π2 2π y ＝cos x 1 0 －1 0 1 y ＝3＋2cos x53135(2)描点，连线，如图所示：讲一讲2．(1)求下列函数的定义域． ①y ＝32－cos x ； ②y ＝log 12(2cos x －2)．(2)求函数y ＝3－2cos(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2的值域． [尝试解答] (1)①要使函数有意义，则有32－cos x ≥0， ∴cos x ≤32.可得2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z . 故所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .②要使函数有意义，则有2cos x －2>0， ∴cos x >22，故所求定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)∵π6≤x ≤π2，∴0≤2x －π3≤2π3.∵y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， ∴－12≤cos(2x －π3)≤1，∴1≤3－2cos(2x －π3)≤4，故函数的值域为[1，4]．1．求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，其关键就是建立使函数有意义的不等式(组)，利用三角函数的图像直观地求得解集．2．求三角函数的值域，要充分利用sin x 和cos x 的有界性，对于x 有限制范围的，可结合图像求值域．练一练2. 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最值．解：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3(cos x －23)2－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14.讲一讲3．(1)判断函数f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )的奇偶性．(2)求函数y ＝cos(π6－x )的单调减区间．[尝试解答] (1)∵f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )＝－cos x －x sin x ，∴f (－x )＝－cos(－x )－(－x )sin(－x ) ＝－cos x －x sin x ＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．(2)y ＝cos(π6－x )＝cos(x －π6)，令2k π≤x －π6≤π＋2k π(k ∈Z )，得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π(k ∈Z )． ∴函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，7π6＋2k πk ∈Z .1．判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f (－x )与f (x )的关系确定奇偶性．2．确定三角函数的单调区间，在理解基本三角函数的单调性的前提下，运用整体代换的思想求解．练一练3．比较下列各组值的大小． (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8与cos 7π6；(2)sin 194°与cos 160°.解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π8 ＝－cos π8.而cos 7π6＝－cos π6∵0<π8<π6<π2.∴cos π8>cos π6.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8<cos 7π6.(2)∵sin 194°＝sin(180°＋14°) ＝－sin 14°＝－cos 76°， cos 160°＝cos(180°－20°) ＝－cos 20°.∵0°<20°<76°<90°，∴cos 20°>cos 76°，∴－cos 20°<－cos 76°，∴sin 194°>cos 160°.函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A．4 B．8C．2π D．4π[解析] 法一：作出函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图像，函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形，如图(1)所示的阴影部分．利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.法二：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于三角形ABC的面积(如图(2))．∵|AC|＝2π，B到AC距离等于4.∴S平面图形＝S△ABC＝1×2π×4＝4π.2法三：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于矩形ABCD 的面积(如图(3)) ∵|AB |＝π，|AD |＝4. ∴S 平面图形＝S 矩形ABCD ＝4π. [答案] D1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1 D ．2，－1解析：选B ∵－1≤cos x ≤1∴－2≤2cos x ≤2， ∴－3≤2cos x －1≤1， ∴最大值为1，最小值为－3.2．函数y ＝－cos x 在区间[－π，π]上是( ) A ．增加的 B ．减少的C ．先增加后减少D ．先减少后增加解析：选D 作出y ＝－cos x 的图像可得选项D 正确． 3．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π，2k π－π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )解析：选 C 在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，由图像可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π上，y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的．4．函数y ＝cos x1＋cos x 的定义域是________．解析：由1＋cos x ≠0得cos x ≠－1 ∴x ≠π＋2k π，k ∈Z∴ 定义域是{}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z . 答案： {}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z5．当x ∈[0，2π]时，方程sin x ＝cos x 的解集是________．解析：在同一坐标系内画出y ＝sin x 和y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像，如图，可得x ＝π4或x ＝5π4.答案： {π4，5π4}6．比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的大小．解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos 3π5. cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减少的．所以cos π4>cos 3π5即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.一、选择题1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点答案：C2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间． 3．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．(－32，12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32.4．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为( ) A ．MP B ．M PC ．M ＝PD ．M ∩P ＝∅解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π4(k ∈Z )．∴MP .二、填空题5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________．解析：∵f (－x )＝－x ×cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴此函数是奇函数．答案：奇函数6．比较大小：sin 3π5________cos π5.解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π10，0<π10<π5<π2. ∴cos π10>cos π5，即sin 3π5>cos π5.答案：>7．方程x 2＝cos x 的解的个数是________．解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像(如图)，可知有两个交点．答案：28．函数y ＝11－cos x 的值域是________．解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴11－cos x ≥12.∴ 函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞三、解答题9．求函数y ＝cos(3x －π4)的单调减区间．解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z .- 11 - ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．10．求函数y ＝cos 2x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合．解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]．∴y ＝t 2＋t ＋1，对称轴t ＝－12.①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝34.②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3.。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 6 余弦函数的图像和性质》9

余弦函数的图像与性质【教学目标】1能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像2能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质3能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义4会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间【知识梳理】问题1:余弦函数的图像的作法1平移法:余弦函数=co 的图像可以通过将正弦曲线=in 的图像向平移个单位长度得到如图2五点法:余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间1定义域为;2值域为;3单调增区间为,减区间为问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心1周期T= ;2偶函数;3对称轴为4对称中心为问题4:余弦函数的复合函数f=A coωφA>0,ω>0的对称轴、对称中心和单调区间1当ωφ=π时,即为对称中心;2当ωφ=π时,即为对称轴;3当ωφ∈[-π2π,2π]时,求得属于的区间为区间;当ωφ∈[2π,π2π]时,求得属于的区间为区间注:以上∈Z【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例1画出＝co ∈R的简图，并根据图像写出：1≥错误!时的集合；2－错误!≤≤错误!时的集合．解：用“五点法”作出＝co 的简图例2跟踪演练3求函数＝co2＋4in 的最值及取到最大值和最小值时的的集合．提示：in2α＋co2α＝1解：＝co2＋4in ＝1－in2＋4in ＝－in2＋4in ＋1＝－in －22＋5∴当in ＝1，即＝2π＋错误!，∈Z时，ma＝4；当in ＝－1时，即＝2π－错误!，∈Z时，min＝－4例3利用余弦函数的单调性，比较co－错误!与co－错误!的大小．[分析]利用诱导公式化为[0，π]上的余弦值，再比较大小．[解析]co－错误!＝co错误!＝co错误!，co－错误!＝co错误!＝co错误!因为0co错误!，即co－错误!<co－错误!．6．求下列函数的定义域．1＝错误!；三练习优化设计四,反思。