湖南中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练二次函数的图象和性质二

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中考数学复习函数及其图象二次函数的图象和性质二课件

图15-2
解:(1)令 y=0,则-12x2+2x+6=0, ∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0). 由函数图象得,当 y≥0 时,x 的取值范围为-2≤x≤6.
2.[2019·温州]如图 15-2,在平面直角坐标系中,二次函数 y=-12x2+2x+6 的图象交 x 轴于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧). (2)把点 B 向上平移 m 个单位得点 B1.若点 B1 向左平移 n 个单位,将与该二次函数图象上的点 B2 重合;若点 B1 向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点 B3 重合.已知 m>0,n>0,求 m,n 的值.
方法二:∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,
��-�� + �� = 0,
�� = -1,
∴ 9�� + 3�� + �� = 0,解得 �� = 2,
�� = 3,
�� = 3,
m<2.
例2 (2)已知二次函数y=2x2-mx-m2. ①求证:对于任意实数m,二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有公共点; ②若这个二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且B点坐标为(1,0),求点A的坐标. (2)解:①证明:Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=m2+8m2=9m2≥0,
| 考向精练 | 1.[2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个公共点,则m的值为
-1 .
2.[2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图 [答案] x1=2,x2=4 象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程 [解析]∵二次函数 y=x2+bx-5 图象的

(湖南专版)中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练15二次函数的图象和性质(二)

2课时训练(十五) 二次函数的图象和性质(二)(限时:50 分钟)|夯实基础|1.[2018·毕节]将抛物线 y=x 2 向左平移 2 个单位,再向下平移 5 个单位,平移后所得新抛物线的表达式为( )A .y=(x+2)2-5C .y=(x-2)2-5B .y=(x+2)2+5D .y=(x-2)2+52.[2019·荆门]抛物线 y=-x +4x-4 与坐标轴的交点个数为 ( )A .0B .1C .2D .33.若抛物线 y=x 2+2x-m+1 与 x 轴没有交点,则 m 的取值范围是( )A .m ≤0C .m>0B .m<0D .0<m ≤24.若二次函数 y=x 2+mx 图象的对称轴是直线 x=2,则关于 x 的方程 x 2+mx=5 的解为()A .x 1=1,x 2=5 C .x 1=1,x 2=-5B .x 1=1,x 2=3 D .x 1=-1,x 2=55.二次函数 y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表:x… -2 -1 0 1 2 …y=ax 2+bx+c … t m -2 -2 n …且当 x=-1时,与其对应的函数值 y>0,有下列结论:2①abc>0;②-2 和 3 是关于 x 的方程 ax 2+bx+c=t 的两个根;③0<m+n<20.其中,正确结论的个数3是 ()A .0C .2B .1D .36.[2019·杭州]在平面直角坐标系中,已知 a ≠b ,设函数 y=(x+a )(x+b )的图象与 x 轴有 M 个交点,函数 y=(ax+1)(bx+1)的图象与 x 轴有 N 个交点,则A .M=N-1 或 M=N+1B .M=N-1 或 M=N+2C .M=N 或 M=N+1( )8.[2019·雅安]已知函数y={的图象如图K15-1所示,若直线y=x+m与该图D.M=N或M=N-17.[2019·宜宾]将抛物线y=2x2的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为.-x2+2x(x>0),x(x≤0)象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为.图K15-19.[2019·衡阳]在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图K15-2所示.已知点A坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2019的坐标为.图K15-210.[2019·云南]已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.(1)求k的值;(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.(3)在(1)的条件下,存在正实数m,n(m<n),当m≤x≤n时,恰好有2n1,求m,n的2m1≤y2≤|拓展提升|11.[2019·新疆]如图K15-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)将(1)中的抛物线向下平移15个单位长度,再向左平移h(h>0)个单位长度,得到新抛物线.4若新抛物线的顶点△D'在ABC内,求h的取值范围;(3)点P为线段BC上一动点(点P不与点B,C重合),过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点△Q,当PQC与△ABC相似时,求△PQC的面积.图K15-312.[2019·长沙]已知抛物线y=-2x2+(b-2)x+(c-2020)(b,c为常数).(1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b,c的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c的取值范围;m1n2 值.【参考答案】1.A2.C [解析]当 x=0 时,y=-x 2+4x -4=-4,则抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,-4),当 y=0 时,-x 2+4x -4=0,解得 x 1=x 2=2,抛物线与 x 轴的交点坐标为(2,0),所以抛物线与坐标轴有 2 个交点.3.B4.D [解析]∵二次函数 y=x 2+mx 图象的对称轴是直线 x=2,∴-m =2,解得 m=-4,∴关于 x 的方2程 x 2+mx=5 可化为 x 2-4x -5=0,即(x +1)(x -5)=0,解得 x 1=-1,x 2=5.5.C [ 解析 ] 由表格可知 , 抛物线 y=ax 2+bx +c 过点 (0,-2),(1,-2),∴ c =-2,a +b -2=-2, ∴a +b=0,∵a ≠0,∴ab<0,从而可得 abc>0,∴①正确;∵a +b=0,∴b=-a ,∴抛物线为 y=ax 2-ax -2,直线 x=1是对称轴,2∵x=-2 时 y=t ,由抛物线的轴对称性可知当 x=3 时,y=t ,∴-2 和 3 是关于 x 的方程 ax 2+bx +c=t的两个根,故②正确;将(-1,m ),(2,n )代入解析式 y=ax 2-ax -2 得 m=a ×(-1)2-a ×(-1)-2=2a -2,n=a ×22-2a -2=2a -2,∴m=n=2a -2,∴m +n=4a -4,∵当 x=-1时,y>0,∴1a +1a -2>0,∴a>8,24 2 3∴m +n>20,故③错误.因此本题选 C .36.C [解析]∵y=(x +a )(x +b )=x 2+(a +b )x +ab ,∴(a +b )2-4ab=(a -b )2,∵a ≠b ,∴(a -b )2>0,∴函数 y=(x +a )(x +b )的图象与 x 轴有 2 个交点,∴M=2,∵函数 y=(ax +1)(bx +1)=abx +(a +b )x +1,∴当 ab ≠0 时,(a +b )2-4ab=(a -b )2>0,函数 y=(ax +1)(bx +1)的图象与 x 轴有 2 个交点,即 N=2,此时 M=N ;时,b 2-4ac=(-1)2-4m>0,解得 m<1.当直线 y=x +m 经过原点时与函数 y={的图象2 =0,当 ab=0 时,不妨令 a=0,∵a ≠b ,∴b ≠0,函数 y=(ax +1)(bx +1)=bx +1 为一次函数,与 x 轴有一个交点,即 N=1,此时M=N +1.综上可知,M=N 或 M=N +1.故选 C .7.y=2(x +1)2-28.0<m<1 4[解析 ]由 y=x +m 与 y=-x 2+2x 得 x +m=-x 2+2x ,整理得 x 2-x +m=0,当有两个交点-x2 + 2x(x > 0), 4x(x ≤ 0)有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴m>0,∴m 的取值范围为 0<m<1,故答案为 0<m<1.449.(-1010,10102)[解析]A (1,1),A 1(-1,1),A 2(2,4),A 3(-2,4),A 4(3,9),A 5(-3,9),…,A 2019(-1010,10102).10.解:(1)∵抛物线 y=x 2+(k 2+k -6)x +3k 的对称轴是 y 轴,∴x=-k 2+k -6即 k 2+k -6=0,解得 k=-3 或 k=2.当 k=2 时,抛物线解析式为 y=x 2+6,与 x 轴无交点,不满足题意,舍去;当 k=-3 时,抛物线解析式为 y=x 2-9,与 x 轴有两个交点,满足题意,∴k=-3.(2)∵点 P 到 y 轴的距离为 2,∴点 P 的横坐标为-2 或 2.当 x=2 时,y=-5;当 x=-2 时,y=-5.∴点 P 的坐标为(2,-5)或(-2,-5).11.[解析](1)直接将三点坐标代入抛物线解析式并化为顶点式即可;(2)用含有字母 h 的式子表示出平移后顶点 D '的坐标,然后求出直线 AC 和 BC 的解析式,只要点 D'在直线 AC 的右边,直线 BC 的左边即符合题意,从而可以求出 h 的取值范围;(3)易得∠CPQ=∠ABC=45°,设点 P的坐标,利用两组对应边成比例,分两种情况讨论,从而求出△PQC 的面积.2 4, .解:将 A (-1,0),B (4,0),C (0,4)三点坐标代入抛物线解析式 y=ax 2+bx +c ,a -b +c = 0,得:{16a + 4b + c = 0,c = 4,a = -1,解得:{b = 3,c = 4,∴抛物线的解析式为 y=-x 2+3x +4.化为顶点式为:y=- x -3 2+25.24∴顶点 D 的坐标为3 25(2)∵25 − 15=5,44 2∴D' 3-h ,5 .22设直线 AC 的解析式为:y=kx +4,则:-k +4=0.解得:k=4,∴直线 AC 的解析式为 y=4x +4.把 y=5代入,得:4x +4=5.22解得 x=-3.8要使平移后点 △D '在 ABC 内,则3-h>-3,28∴h<15.8易得直线 BC 的解析式为 y=-x +4,将 y=5代入,得-x +4=5,解得 x=3.22 2∴3-h<3,∴h>0,22∴h 的取值范围为 0<h<15.8(3)∵OB=OC=4,∴∠OBC=∠OCB=45°.∵PQ ∥OC ,∴∠CPQ=∠OCB=45°.∴∠CPQ=∠OBC=45°.△S PCQ=1m(-m2+4m)=1m2(4-m).即√2m=-m4√2,解得m1=12,m2=0(舍去),此时△SPCQ=1×5,解得m1=11,m2=0(舍去),此时△SPCQ=1×∴{c-2020=-1,解得{∴要使△PQC与△ABC相似,只需两组对应边成比例即可.设P(m,-m+4),则Q(m,-m2+3m+4),PQ=(-m2+3m+4)-(-m+4)=-m2+4m,22过点P作PM⊥y轴于M,则PM=CM=m,PC=√2m,AB=4-(-1)=5,BC=4√2.①△若CPQ∽△ABC,则有CP=PQ,AB BC24m5521252×4-12=576.5125②若△CPQ∽△CBA,则有CP=PQ,BC AB即√2m=-m24m4√2421142×4-11=605.4128∴当△PQC与△ABC相似时,△PQC的面积为576或605.12512812.解:(1)由题意,可设y=-2(x-1)2+1,去括号得:y=-2x2+4x-1,b-2=4,b=6,c=2019.(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x,y),(-x,-y),2 22n+1,∴1≤y ≤ 1 , ∵0<m<n ,当 m ≤x ≤n 时,恰好有 2m+1≤y+2 ≤又∵≤y ≤ ,∴{ m ,②-2m 2 + 4m -1 =nm∴n 1=1-√3(舍去),n 2=1+√3, ∴m 1=1,m 2=1-√3(舍去),m 3=1+√3(舍去).2 2代入解析式可得:{y 0 = -2x 0 + (b -2)x 0 + (c -2020),-y 0 = -2x 0 -(b -2)x 0 + (c -2020),∴两式相加可得:-4x 0 +2(c -2020)=0, ∴c=2x 0 +2020,∴c ≥2020. (3)由(1)可知抛物线 y=-2x 2+4x -1=-2(x -1)2+1,∴y ≤1,m1nn m∴ 1 ≤1,即 m ≥1,∴1≤m<n ,m∵抛物线对称轴为直线 x=1,开口向下,∴当 m ≤x ≤n 时,y 随 x 的增大而减小,∴当 x=m 时,y max =-2m 2+4m -1,当 x=n 时,y min =-2n 2+4n -1,-2n 2 + 4n -1 = 1 ,① 1 1 n1将①整理得:2n 3-4n 2+n +1=0,∴变形得:(2n 3-2n 2)-(2n 2-n -1)=0,∴2n 2(n -1)-(2n +1)(n -1)=0,∴(n -1)(2n 2-2n -1)=0,∵n>1,∴2n 2-2n -1=0,22同理整理②得:(m -1)(2m 2-2m -1)=0,∵1≤m<n ,22综上所述:m=1,n=1+√3.2。

(湖南专版)中考数学复习第三单元函数及其图象第15课时二次函数的应用课件

超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.
若周销售最大利润是1400元,求m的值.
解:(1)①设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b(k≠0),
依题意,有
50�� 60��
+ +
��
= =
18000, ,解得
��
图15-2
(2 6-4)m.
5.[九上P52习题22.3第7题改编]如图 15-3,点 [答案] AB的中点
E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上.四 [解析]设正方形 ABCD 的边长为 a,由
边形EFGH也是正方形,当点E位于方形EFGH的面积最小.
时,正
四边形 EFGH 也为正方形,易证△ AEH ≌△BFE≌△CGF≌△DHG. 设 DH=x,则 DG=CD-CG=a-x.
2.[2018·长沙12题]若对于任意非 [答案] B
零实数a,抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P(x0-3, x02-16),则符合条件的点P ( ) A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无穷多个
[解析]由题意得 y=a(x+2)(x-1),总不经过点 P(x0-3,��02-16),将点 P 坐标代入抛物线的解析式, 得 a(x0-1)(x0-4)≠(x0+4)(x0-4)恒成立.①当 x0=1 时, 得 0≠-15,恒成立,此时点 P 的坐标为(-2,-15);② 当 x0=4 时,左边=右边=0,不符合题意;③当 x0=-4 时,得 40a≠0,因为 a≠0,所以不等式恒成立, 此时点 P 的坐标为(-7,0);④当 x0≠1 且 x0≠4 且 x0≠-4 时,a≠��00+-14=1+��05-1不恒成立.综上所述,符合

中考数学复习第三单元函数及其图象第14课时二次函数的图象与性质(二)课件0

∴5a-2b+c=-a+c>0,∴结论③正确;
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与 x 轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两
1
4
点),∴当 x=1 时,y=a+b+c<0.∵a=3b,∴3b+c<0,∴4b+3c<0,∴结论④错误.
故选 A.
2. [2019·鄂州]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-7所示,对称轴是直线x=1.下
∴b2-4ac>0,∴①正确;
∵抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点的坐标为(3,0),
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1,x2=3,∴②正确;

∵对称轴 x=- =1,即 b=-2a,而 x=-1 时,y=0,即 a-b+c=0,∴a+2a+c=0,
A.1
B.2
C.3
图14-6D.4)源自[答案] A3
[解析]根据对称轴-2 =-2得 b=3a,故可得 3a-b=0,∴结论①正确;
∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴结论②正确;
根据结论①可知 b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知 a<0,c>0,
特殊关系
当x=-1时,y=⑩ a-b+c
若a+b+c>0,则当x=1时,y>0
若a-b+c>0,则当x=⑪ -1 时,y>0
图象的特征
对点演练
题组一
必会题
1.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线

中考数学(湘教版全国通用)复习课件：第15课时二次函数的图象和性质二(共23张PPT)

项目字母 a 字母的符号 a>0 a<0 b＝ 0 b 图象的特征开口向上开口向下对称轴为 y 轴
ab>0(b 与 a 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0(b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴右侧
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
c
b2－4ac
特殊关系
经过原点与 y 轴正半轴相交与 y 轴负半轴相交与 x 轴有唯一的交点 b2－4ac＝0 (顶点) 与 x 轴有两个不 2 b －4ac>0 同的交点 b2－4ac<0 与 x 轴没有交点当 x＝1 时，y＝a＋b＋c 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c 若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0 若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0
考点聚焦归类探究回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
探究二
二次函数的图象的平移
命题角度： 1. 二次函数的图象的平移规律； 2. 利用平移求二次函数的图象的表达式．
例2 [2014· 丽水] 在同一平面直角坐标系内，将函数y＝ 2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是( C ) A. (－3，－6) C. (1，－6) B. (1，－4) D. (－3，－4)
考点聚焦
关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 的实数根的个数
2
不相等的实两个 __________ 数根
相等的实数两个________ 根
2
没有实数根 __________
回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)

中考数学复习第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象与性质课件

点A(1,0),
∴ b=-4,∴ 该抛物线的函数解析
式为y=x2-4x+3.
(2)点P的坐标为(5,8)或(-1,8).
【方法点析】在求二次函数的解析式时,经常利用待定系数法.
(1)已知任意三点的坐标选用一般式y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,常选用顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0);
条件
设法
顶点在原点
y=ax2(a≠0)
顶点在y轴上
y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)
顶点在x轴上
y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)
抛物线过原点
y=ax2+bx(a≠0)
顶点(h,k)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
考点五二次函数图象的平移
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线
y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图13-1所示
(假设h,k均为正数):
图13-1
【温馨提示】平移规则为“上加下减,左加右减”.

④点 -2 ,0 一定在此抛物线上.其中正确结论的序号是 (
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
图13-4
)
[答案] C
[解析]∵ 抛物线开口向下,∴ a<0.∵ 抛物线与 y 轴的正半轴相交,
∴ c>0,∴ ac<0,故①错误;∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-2,0)关于直线

2019年中考数学总复习第三单元函数第15课时二次函数的图象和性质(二)课件湘教版

课前双基巩固
4.[九下 P28A 组第 3 题改编] 抛物线 y=2x2-2x+5,当 x= -1或2 时,y=9. 5.[九下 P28B 组第 4 题改编] 当 t= ± 5 时,抛物线 y=5x2+4tx+t2-1 与 x 轴只有一个交点.
课前双基巩固
题组二易错题【失分点】
忽略了二次函数 y=ax2+bx+c 的隐含条件 a≠0;求平移后的抛物线的表达式时,弄错符号;当函数类型
D.k≤4
课前双基巩固
7.把抛物线 y=-2x2 先向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位后,所得抛物线的表达式为 ( C )
A.y=-2(x+1)2+2
B.y=-2(x+1)2-2
C.y=-2(x-1)2+2
D.y=-2(x-1)2-2
8.二次函数 y=x2-3x+4 的图象与坐标轴的交点个数是 ( B )
没有明确指出时,其图象与 x 轴的交点要分情况讨论,因为一次函数、二次函数的图象均与 x 轴有交点;与
坐标轴的交点和与 x 轴的交点的区别. 6.已知二次函数 y=(k-3)x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是 ( A )
A.k≤4 且 k≠3
B.k<4 且 k≠3
C.k<4
开口向上开口向下对称轴为 y 轴对称轴在 y 轴左侧对称轴在 y 轴右侧
课前双基巩固
c b2-4ac
c=0 c>0 c<0 b2-4ac=0 b2-4ac>0 b2-4ac<0
特殊关系
经过原点与 y 轴正半轴相交与 y 轴负半轴相交与 x 轴有唯一的交点(顶点) 与 x 轴有两个不同的交点与 x 轴没有交点当 x=1 时,y=a+b+c 当 x=-1 时,y=a-b+c 若 a+b+c>0,则当 x=1 时,y>0 若 a-b+c>0,则当 x=-1 时,y>0

【湘教版】2019年中考数学复习第3单元函数及其图象第15课时二次函数的图象和性质二

课时训练(十五)二次函数的图象和性质(二)|夯实基础|一、选择题1．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位、那么所得新抛物线的解析式是( )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋32．[2017·衡阳模拟]已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m、0)、则代数式m2－m＋2017的值为( ) A．2014 B．2015C．2016 D．20183．[2017·枣庄]已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数、a≠0)、下列结论正确的是( )A．当a＝1时、函数图象经过点(－1、1)B．当a＝－2时、函数图象与x轴没有交点C．若a＜0、函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0、则当x≥1时、y随x的增大而增大4．[2017·长郡模拟]抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有交点、则m的取值范围是( )A．m≤2 B．m＜－2C．m＞2 D．0＜m≤25．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图K15－1、若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根、则m的最大值为( ) A．－3 B．3C．－6 D．9K15－1K15－26．若二次函数y＝x2＋mx图象的对称轴是直线x＝2、则关于x的方程x2＋mx＝5的解为( )A．x1＝1、x2＝5 B．x1＝1、x2＝3C．x1＝1、x2＝－5 D．x1＝－1、x2＝57．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K15－2所示、则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝( )A．a＋b B．a－2bC．a－b D．3a图K15－38．[2016·枣庄]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图K15－3所示、给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b ＋c>0；③a>b；④4ac－b 2<0.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．若二次函数y ＝x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴没有公共点、则m 的取值范围是________．10．[2016·泰安]将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位、再向下平移4个单位、那么得到的抛物线的解析式为____________．图K15－4 11．[2017·株洲]如图K15－4、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴在y 轴的右侧、其图象与x 轴交于点A(－1、0)、点C(x 2、0)、且与y 轴交于点B(0、－2)、小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时、x 2＞5－1.以上结论中、正确的结论序号是________．三、解答题12．已知抛物线y ＝(x －m)2－(x －m)、其中m 是常数．(1)求证：不论m 为何值、该抛物线与x 轴一定有两个公共点． (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝52.①求该抛物线所对应的函数表达式；②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位后、得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．|拓展提升|13．[2017·邵阳]如图K15－5、顶点为(12、－94)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点M(2、0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点A 是抛物线与x 轴的交点(不与点M 重合)、点B 是抛物线与y 轴的交点、点C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x 轴下方)、点D 是反比例函数y ＝kx(k>0)图象上一点．若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形、求k 的值．图K15－514．[2017·益阳]如图K15－6①、直线y＝x＋1与抛物线y＝2x2相交于A、B两点、与y轴交于点M、M、N关于x 轴对称、连接AN、BN.(1)①求A、B的坐标；②求证：∠ANM＝∠BNM；(2)如图②、将题中直线y＝x＋1变为y＝kx＋b(b>0)、抛物线y＝2x2变为y＝ax2(a>0)、其他条件不变、那么∠ANM＝∠BNM是否仍然成立？请说明理由．图K15－6参考答案1．C [解析] 将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位、得到抛物线y ＝x 2＋2－1＝x 2＋1.2．D [解析] ∵抛物线y ＝x 2－x －1与x 轴的一个交点为(m 、0)、∴m 2－m －1＝0、∴m 2－m ＝1、∴m 2－m ＋2017＝1＋2017＝20183．D [解析] 将a ＝1代入原函数解析式、令x ＝－1求出y 值、由此得出A 选项不符合题意；B.将a ＝－2代入原函数解析式、令y ＝0、根据根的判别式Δ＝8＞0、可得出当a ＝－2时、函数图象与x 轴有两个不同的交点、即B 选项不符合题意；C.利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标、令其纵坐标小于零、可得出a 的取值范围、由此可得出C 选项不符合题意；D.利用配方法找出二次函数图象的对称轴、结合二次函数的性质、即可得出D 选项符合题意．4．A [解析] 由题意可知：Δ＝4－4(m －1)≥0、∴m ≤2、故选A. 5．B [解析] ∵抛物线的开口向上、顶点的纵坐标为－3、∴a ＞0、－b 24a＝－3、即b 2＝12a.∵关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根、∴Δ＝b 2－4am≥0、即12a －4am≥0、即12－4m≥0、解得m≤3、 ∴m 的最大值为3.6．D [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋mx 图象的对称轴是直线x ＝2、∴－m 2＝2、解得m ＝－4、∴关于x 的方程x 2＋mx＝5可化为x 2－4x －5＝0、即(x ＋1)(x －5)＝0、解得x 1＝－1、x 2＝5.7．D [解析] 根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知、a ＞0、又抛物线过坐标原点、∴c ＝0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a 、∴0＜－b2a＜1、解得－2a ＜b ＜0、∴|a －b ＋c|＝a －b 、|2a ＋b|＝2a ＋b 、∴|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝a －b ＋2a ＋b ＝3a.8．C [解析] 由图可知、图象经过原点、则c ＝0、 ∴abc ＝0、结论①正确；当x ＝1时、对应的图象上的点在第四象限、∴a ＋b ＋c<0、结论②错误；∵－b 2a ＝－32、∴b ＝3a 、∵a<0、∴b<0、∴a>b 、结论③正确；抛物线与x 轴有两个交点、则b 2－4ac>0、∴4ac －b 2<0、结论④正确．故答案为C.9．m ＞1 [解析] 根据抛物线y ＝x 2＋2x ＋m 与x 轴没有公共点可知、方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根、∴判别式Δ＝22－4×1×m＜0、∴m ＞1.10．y ＝2(x ＋2)2－211．①④ [解析] 由图象可知抛物线开口向上、∴a ＞0、由抛物线经过A(－1、0)、B(0、－2)、对称轴在y 轴的右侧可得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b2a>0，由此可得：a －b ＝2、b ＜0.故a ＝2＋b ＜2、综合可知0＜a ＜2；将a ＝b ＋2代入0＜a ＜2中得：0＜b ＋2＜2、可得－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时、因为a ＞0、b ＜0、故有a ＝－b.又a －b ＝2、可得a ＝1、b ＝－1.故原函数为y ＝x 2－x －2、当y ＝0时、即有x 2－x －2＝0、解得x 1＝－1、x 2＝2、 x 2＝2＞5－1.故答案为：①④.12．解：(1)证明：y ＝(x －m)2－(x －m)＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m 、∵Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2＋m)＝1>0、∴不论m 为何值、该抛物线与x 轴一定有两个公共点．(2)①∵x＝－－（2m ＋1）2＝52、∴m ＝2、∴抛物线所对应的函数表达式为y ＝x 2－5x ＋6.②设抛物线沿y 轴向上平移k 个单位后、得到的抛物线与x 轴只有一个公共点、则平移后抛物线所对应的函数表达式为y ＝x 2－5x ＋6＋k.∵抛物线y ＝x 2－5x ＋6＋k 与x 轴只有一个公共点、∴Δ＝52－4(6＋k)＝0、∴k ＝14、即把该抛物线沿y 轴向上平移14个单位后、得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．13．解：(1)依题意可设抛物线为y ＝a(x －12)2－94、将M(2、0)代入可得a ＝1、则抛物线的解析式为y ＝(x －12)2－94＝x 2－x －2. (2)当y ＝0时、x 2－x －2＝0、解得x 1＝－1、x 2＝2、所以A(－1、0)、当x ＝0时、y ＝－2、所以B(0、－2)．在Rt △OAB 中、OA ＝1、OB ＝2、∴AB ＝ 5.设直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为点G 、易求G(0、1)、 ∴Rt △AOG 为等腰直角三角形、∴∠AGO ＝45°. ∵点C 在直线y ＝x ＋1上且在x 轴下方、而k>0、∴y ＝kx的图象位于第一、三象限、故点D 只能在第一、三象限、因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：①此菱形以AB 为边且AC 也为边、如图①所示、过点D 作DN⊥y 轴于点N 、在Rt △BDN 中、∵∠DBN ＝∠AGO＝45°、∴DN ＝BN ＝52＝102、∴D(－102、－102－2)、 ∵点D 在y ＝kx 的图象上、∴k ＝－102·(－102－2)＝52＋10.②此菱形以AB 为对角线、如图②所示、作AB 的垂直平分线CD 交直线y ＝x ＋1于点C 、交y ＝kx的图象于点D.再分别过点D 、B 作DE⊥x 轴于点F 、BE ⊥y 轴、DE 与在Rt △BDE 中、同①可证∠AGO＝∠DBO＝∠BDE＝45BE ＝DE. 可设点D 的坐标为(x 、x －2)．∵BE 2＋DE 2＝BD 2、∴BD ＝2BE ＝2x. ∵四边形ACBD 是菱形、∴AD ＝BD ＝2x.∴在Rt △ADF 中、AD 2＝AF 2＋DF 2、即(2x)2＝(x ＋1)2＋(x －2)2、解得x ＝52、∴点D 的坐标为(52、12)、∵点D 在y ＝k x (k>0)的图象上、∴k ＝54.综上所述、k 的值为52＋10或54.14．解：(1)①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x 2，化简得2x 2＝x ＋1、解得：x ＝－12或x ＝1. 当x ＝－12时、y ＝12；当x ＝1时、y ＝2.∴A 、B 两点的坐标分别为(－12、12)、(1、2)．②证明：如图①、过A 作AC⊥y 轴于C 、过B 作BD⊥y 轴于D.由①及已知有A(－12、12)、B(1、2)、OM ＝ON ＝1、∴tan ∠ANM ＝AC CN ＝121＋12＝13、tan ∠BNM ＝BD DN ＝11＋2＝13、∴tan ∠ANM ＝tan ∠BNM 、∴∠ANM ＝∠BNM. (2)∠ANM＝∠BNM 成立．①当k ＝0时、△ABN 是关于y 轴对称的轴对称图形、 ∴∠ANM ＝∠BNM.②当k≠0时、根据题意得：OM ＝ON ＝b 、设A(x 1、ax 12)、B(x 2、ax 22)．如图②、过A 作AE⊥y 轴于E 、过B 作BF⊥y 轴于F.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝ax 2，消y 得ax 2＝kx ＋b 、即ax 2－kx －b ＝0、∴x 1＋x 2＝k a 、x 1x 2＝－ba.∵NF BF －NE AE ＝b ＋ax 22x 2－b ＋ax 12－x 1＝bx 1＋ax 1x 22＋bx 2＋ax 2x 12x 1x 2＝（x 1＋x 2）（ax 1x 2＋b ）x 1x 2＝k a [a·（－ba ）＋b]－b a＝0.∴NF BF ＝NE AE. 又∵∠AEN＝∠BFN＝90°、 ∴Rt △AEN∽Rt △BFN 、 ∴∠ANM ＝∠BNM.。

(湖南专版)中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练14 二次函数的图象与性质(二)-人教版初

课时训练(十四)二次函数的图象与性质(二)(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2019·某某]将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为()A.y=2(x+2)2+3B.y=2(x-2)2+3C.y=2(x-2)2-3D.y=2(x+2)2-32.[2018·某某]抛物线y=(x-2)2-1可以由抛物线y=x2平移而得到,下列平移正确的是()A.先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图K14-1所示,则下列结论中正确的是 ()图K14-1A.a>0B.当-1<x<3时,y>0C.c<0D.当x≥1时,y随x的增大而增大4.[2019·某某]如图K14-2是二次函数y=ax2+bx+c的图象,对于下列说法:①ac>0,② 2a+b>0,③4ac<b2,④a+b+c<0,⑤当x>0时,y随x的增大而减小,其中正确的是()图K14-2A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤5.[2019·某某]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图K14-3所示,下列结论:①b2>4ac,②abc<0,③2a+b-c>0,④a+b+c<0,其中正确的是 ()图K14-3A.①④B.②④C.②③D.①②③④6.[2018·某某]如图K14-4,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).下列结论:① 2a-b=0;② (a+c)2<b2;③当-1<x<3时,y<0;④当a=1时,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线y=(x-2)2-2.其中正确的是()图K14-4A.①③B.②③C.②④D.③④7.[2019·某某]将抛物线y=2x2的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为.8.[2019·某某]如图K14-5,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(-1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M=4a+2b+c,则M的取值X围是.图K14-5|拓展提升|9.[2019·某某]抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的顶点为P,且抛物线经过点A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)(1<m<3,n<0),下列结论:①abc>0;② 3a+c<0;③a(m-1)+2b>0;④a=-1时,存在点P使△PAB为直角三角形.其中正确结论的序号为.【参考答案】1.B2.D[解析]根据“左加右减,上加下减”的规律,将抛物线y=x 2向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度得到抛物线y=(x -2)2-1. 3.B4.C[解析]①由图象可知:a>0,c<0,∴ac<0,故①错误;②由图象可知:-b2b<1,∴2a +b>0,故②正确;③∵抛物线与x 轴有两个交点,∴Δ=b 2-4ac>0,故③正确;④由图象可知:x=1时,y=a +b +c<0,故④正确;⑤当x>-b2b时,y 随x 的增大而增大,故⑤错误.5.A[解析]因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2-4ac>0,即b 2>4ac ,故①正确;图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为直线x=-1,所以-b2b=-1,所以2a=b ,故b<0,所以abc>0,②错误;因为a<0,b<0,c>0,所以2a +b -c<0,③错误;当x=1时,y=a +b +c ,由图可得,当x=-3时,y<0,由对称性可知,当x=1时,y<0,即a +b +c<0,故④正确.综上所述,①④正确.故选A . 6.D[解析]①∵A (-1,0),B (3,0),∴对称轴是直线x=-b 2b=-1+32=1,∴2a +b=0,又∵a ≠0,b ≠0,∴①错误;②∵x=-1时,y=a -b +c=0,∴a +c=b ,∴(a +c )2=b 2,∴②错误;③当-1<x<3时,抛物线在x 轴下方,y<0,∴③正确;④当a=1时,抛物线y=(x +1)(x -3)=x 2-2x -3=(x -1)2-4,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得抛物线y=(x -1-1)2-4+2=(x -2)2-2,∴④正确.故选D . 7.y=2(x +1)2-28.-6<M<6[解析]∵抛物线y=ax 2+bx +c (a ≠0)过点(-1,0),(0,2),∴c=2,a -b +2=0,∴b=a +2.∵顶点在第一象限,∴-b2b >0,∴a<0,b>0,∴a +2>0,∴a>-2,∴-2<a<0.M=4a +2b +c=4a +2(a +2)+2=6a +6,∴-6<M<6. 9.②③[解析]∵抛物线过点A (-1,0),B (m ,0),C (-2,n ), ∴对称轴为直线x=b -12=-b 2b ,∴-bb =m -1.∵1<m<3,∴ab<0. ∵n<0,∴a<0,∴b>0. ∵a -b +c=0,∴c=b -a>0. ①abc<0,错误;②当x=3时,y<0,∴9a+3b+c=9a+3(a+c)+c=12a+4c=4(3a+c)<0,②正确;③a(m-1)+2b=-b+2b=b>0,③正确;④a=-1时,y=-x2+bx+c,∴P b2,b+1+b24,若△PAB为直角三角形,则△PAB为等腰直角三角形,∴b+1+b24=b2+1,∴b=-2或b=0.∵b>0,∴不存在点P使△PAB为直角三角形.④错误.故答案为②③.。

湖南省2021年中考数学总复习第三单元函数及其图象课时训练14二次函数的图象和性质练习

二次函数的图象和性质14二次函数的图象和性质限时:30分钟夯实根底1.[2021·株洲] 二次函数y=ax 2的图象如图K14-1所示,那么以下各点有可能在反比例函数y=aa 的图象上的是 ( )图K14-1A .(-1,2)B .(1,-2)C .(2,3)D .(2,-3)2.[2021·青岛] 一次函数y=aa x+c 的图象如图K14-2,那么二次函数y=ax 2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是图K14-3中的 ( )图K14-2图K14-33.在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x 2+4x-3的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的图象的顶点坐标是 ()A .(-3,-6)B .(1,-4)C .(1,-6)D .(-3,-4)4.[2021·山西] 用配方法将二次函数y=x 2-8x-9化为y=a (x-h )2+k 的形式为 ( ) A .y=(x-4)2+7 B .y=(x-4)2-25 C .y=(x+4)2+7D .y=(x+4)2-255.[2021·阜新] 如图K14-4,抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于点(-1,0)和(4,0),那么以下说法正确的选项是 ( )图K14-4A .ac>0B .b 2-4ac<0C .对称轴是直线x=2.5D .b>06.[2021·广州] 二次函数y=x 2,当x>0时,y 随x 的增大而 (填“增大〞或“减小〞). 7.假设二次函数图象的顶点坐标为(4,-2),且经过点(3,-1),那么二次函数的表达式为 . 8.设A ,B ,C 三点分别是抛物线y=x 2-4x-5与y 轴以及与x 轴的交点,那么△ABC 的面积是 . 9.二次函数y=-12x 2-x+32.(1)在如图K14-5所示的直角坐标系中,画出这个函数的图象; (2)根据图象,写出当y<0时x 的取值范围;(3)假设将此图象沿x 轴向右平移3个单位长度,请写出平移后图象所对应的函数表达式.图K14-510.[2021·苏州] 如图K14-6,抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.(1)求线段AD的长;(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C'.假设新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.图K14-6能力提升11.[2021·义乌] 假设抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,那么称此抛物线为定弦抛物线.某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线过点()A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)12.[2021·泸州] 二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3(其中x 是自变量),当x ≥2时,y 随x 的增大而增大,且-2≤x ≤1时,y 的最大值为9,那么a 的值为 ( )A .1或-2B .-√2或√2C .√2D .113.如图K14-7,抛物线y=-x 2+2x+3与y 轴交于点C ,点D (0,1),点P 是抛物线上的动点.假设△PCD 是以CD 为底的等腰三角形,那么点P 的坐标为 .图K14-7拓展练习14.[2021·湘潭] 如图K14-8,点P 为抛物线y=14x 2上一动点.(1)假设抛物线y=14x 2是由抛物线y=14(x+2)2-1平移得到的,请写出平移的过程.(2)假设直线l 经过y 轴上一点N ,且平行于x 轴,点N 的坐标为(0,-1),过点P 作PM ⊥l 于点M.①问题探究:如图①,在对称轴上是否存在一定点F ,使得PM=PF 恒成立?假设存在,求出点F 的坐标;假设不存在,请说明理由.②问题解决:如图②,假设点Q 的坐标为(1,5),求QP+PF 的最小值.图K14-8参考答案1.C[解析] ∵抛物线的开口向上,∴a>0.∴点(2,3)可能在反比例函数y=aa的图象上.应选C.2.A[解析] 由一次函数y=aa x+c的图象可知aa<0,c>0.∵aa<0,∴-a2a>0.∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴右侧.∵c>0,∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴,观察可知选项A中图象符合描述.应选A.3.C4.B[解析] y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25.5.D6.增大7.y=(x-4)2-28.159.解:(1)∵y=-12x 2-x+32=-12(x+1)2+2, 当y=0时,x=-3或x=1.∴这个函数图象的顶点是(-1,2),对称轴是直线x=-1,与x 轴的两个交点是(-3,0),(1,0),据此可画出这个函数的图象,如图.(2)当y<0时,图象在x 轴下方,此时对应的x 的取值范围是x<-3或x>1.(3)假设将此图象沿x 轴向右平移3个单位长度,那么图象的顶点(-1,2)向右平移3个单位长度,得到点(2,2),从而函数表达式由y=-12(x+1)2+2变为y=-12(x-2)2+2,即y=-12x 2+2x.10.解:(1)由x 2-4=0,解得x 1=2,x 2=-2. ∵点A 位于点B 的左侧,∴A (-2,0). ∵直线y=x+m 经过点A ,∴-2+m=0. ∴m=2.∴D (0,2).∴AD=√aa 2+aa 2=2√2. (2)∵新抛物线经过点D (0,2),∴设新抛物线对应的函数表达式为y=x 2+bx+2.∴y=x 2+bx+2=x+a 22+2-a 24.∵直线CC'平行于直线AD ,并且经过点C (0,-4), ∴直线CC'的函数表达式为y=x-4.∴2-a 24=-a2-4.整理得b 2-2b-24=0.解得b 1=-4,b 2=6.∴新抛物线对应的函数表达式为y=x 2-4x+2或y=x 2+6x+2.11.B [解析] ∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,∴该定弦抛物线过点(0,0),(2,0),∴该抛物线的表达式为y=x (x-2)=x 2-2x=(x-1)2-1.将此抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为y=(x-1+2)2-1-3=(x+1)2-4.当x=-3时,y=(x+1)2-4=0,∴得到的新抛物线过点(-3,0).应选B .12.D [解析] ∵二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3(其中x 是自变量),∴对称轴是直线x=-2a2a =-1.∵当x ≥2时,y 随x 的增大而增大,∴a>0.∵-2≤x ≤1时,y 的最大值为9,∴x=1时,y=a+2a+3a 2+3=9.∴3a 2+3a-6=0.∴a=1或a=-2(不合题意,舍去). 13.(1+√2,2)或(1-√2,2)14.解:(1)∵抛物线y=14(x+2)2-1的顶点为(-2,-1),抛物线y=14x 2的顶点为(0,0),∴抛物线y=14(x+2)2-1向上平移1个单位,再向右平移2个单位得到抛物线y=14x 2. (2)①存在.假设存在一定点F ,使得PM=PF 恒成立. 如图,过点P 作PB ⊥y 轴于点B ,设点P 的坐标为a ,14a 2,那么PM=PF=14a 2+1,PB=a ,OB=14a 2.在Rt △PBF 中,BF=√aa 2-aa 2=√(14a 2+1)2-a 2=|14a 2-1|,∵BO=14a 2,∴OF=OB-BF=1或12a 2-1(非定值,舍去). ∴存在符合题意的点F 的坐标为(0,1). ②由①可知,PM=PF ,∴QP+PF 的最小值为QP+PM 的最小值,即当Q ,P ,M 三点共线时,QP+PM 有最小值,最小值为点Q (1,5)到直线l :y=-1的距离. ∴QP+PF 的最小值为6.。

湖南中考数学一轮复习课件：第16课时二次函数的图象

选 C. 方法模型解决二次函数图象与几何变换问题，最好将二次函数化为
y＝(x＋h)2＋k 的形式，再按照点的平移或变换规律变化，
一般是“上加下减，左减右加”对点进行变化．
考情分析
考点聚焦
考向探究
第三单元┃ 函数及其图像
变式题 (1)[2015·临沂] 要将抛物线 y＝x2＋2x＋3 平移后得到抛物线 y＝x2，下列平移方法正确的是( D )
考情分析
考点聚焦
考向探究
第三单元┃ 函数及其图像
考点聚焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2＋ bx＋c(a≠0)与 x轴的交点个数
2个
1个
没有
判别式b2－ 4ac的符号
b2－4ac>0 b2－4ac＝0 b2－4ac<0
关于x的方程ax2＋bx＋ c＝0(a≠0)的实数根的
个数
两个_不__相_等____的实数根
考情分析
考点聚焦
考向探究
第三单元┃ 函数及其图像
例 1 [2013·株洲] 二次函数 y＝2x2＋mx＋8 的
图象如图 16－3 所示，则 m 的值是( B )
A．－8
B．8
C．±8
D．6
[解析] 由图象可知，抛物线与 x 轴只有
一个交点，
所以Δ ＝m2－4×2×8＝0，解得 m＝±8. ∵对称轴为直线 x＝－2×m 2＜0，
确的是___③_④____．(写出所有正确结论的序号)
①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为 4；④若 c＝－1，则 b2＝4a.
考情分析
图16－4
考点聚焦
第三单元函数及其图像
第16课时二次函数的图象和性质(二)

湖南专版2020年中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练13二次函数的图象与性质2019111118

课时训练(十三) 二次函数的图象与性质(一)(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2019·衢州]二次函数y=(x -1)2+3的图象的顶点坐标是 ( ) A .(1,3) B .(1,-3)C .(-1,3)D .(-1,-3)2.[2019·重庆B 卷]抛物线y=-3x 2+6x +2的对称轴是 ( ) A .直线x=2 B .直线x=-2 C .直线x=1D .直线x=-13.关于抛物线y=x 2-4x +1,下列说法错误的是 ( ) A .开口向上B .与x 轴有两个不同的交点C .对称轴是直线x=2D .当x>2时,y 随x 的增大而减小4.[2019·攀枝花]在同一坐标系中,二次函数y=ax 2+bx 与一次函数y=bx -a 的图象可能是( )图K13-15.[2019·河南]已知抛物线y=-x 2+bx +4经过(-2,n )和(4,n )两点,则n 的值为 ( ) A .-2B .-4C .2D .46.[2019·陕西]在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x 2+(2m -1)x +2m -4与y=x 2-(3m +n )x +n 关于y 轴对称,则符合条件的m ,n 的值为 ( ) A .m=57,n=-187B .m=5,n=-6C .m=-1,n=6D .m=1,n=-27.[2019·烟台]已知二次函数y=ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表:x -1 0 2 3 4 y 5 0 -4 -3 0下列结论:① 抛物线的开口向上;② 抛物线的对称轴为直线x=2;③当0<x<4时,y>0;④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4;⑤若A (x 1,2),B (x 2,3)是抛物线上两点,则x 1<x 2. 其中正确的个数是 ( )A .2B .3C .4D .58.[2019·株洲]若二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下,则a 0(填“=”或“>”或“<”). 9.[2019·武威]将二次函数y=x 2-4x +5化成y=a (x -h )2+k 的形式为 .10.[2019·无锡]某个函数具有性质:当x>0时,y 随x 的增大而增大,这个函数的表达式可以是 (只要写出一个符合题意的答案即可).11.已知A (0,3),B (2,3)是抛物线y=-x 2+bx +c 上两点,该抛物线的顶点坐标是 .12.[2018·武汉]飞机着陆后滑行的距离y (单位:m)关于滑行时间t (单位:s)的函数解析式是y=60t -32t 2.在飞机着陆滑行中,最后4 s 滑行的距离是 m . 13.[2018·宁波]已知抛物线y=-12x 2+bx +c 经过点(1,0),0,32.(1)求抛物线的函数表达式;(2)将抛物线y=-12x 2+bx +c 平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.14.[2019·威海]在画二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:x … -1 0 1 2 3 … y 甲…63236…乙写错了常数项,列表如下:x … -1 0 1 2 3 … y 乙…-2-12714…通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0),当x 时,y 的值随x 值的增大而增大; (3)若关于x 的方程ax 2+bx +c=k (a ≠0)有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.|拓展提升|15.[2019·遂宁]如图K13-2,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,点A,点C分别在x轴,y的轴的正半轴上,G为线段OA上一点,将△OCG沿CG翻折,点O恰好落在对角线AC上的点P处,反比例函数y=12x 图象经过点B,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C(0,3),G,A三点,则该二次函数的解析式为(填一般式).图K13-216.[2019·淮安]如图K13-3,已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,D为顶点,其中点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(1,3).(1)求该二次函数的表达式;(2)点E是线段BD上的一点,过点E作x轴的垂线,垂足为F,且ED=EF,求点E的坐标;?若存在,求出点G的坐标;若(3)试问在该二次函数图象上是否存在点G,使得△ADG的面积是△BDG的面积的35不存在,请说明理由.图K13-3【参考答案】1.A2.C3.D4.C5.B6.D [解析]∵抛物线y=x 2+(2m -1)x +2m -4与y=x 2-(3m +n )x +n 关于y 轴对称, ∴{2x -1=3x +x ,2x -4=x ,解得{x =1,x =-2.故选D . 7.B [解析]先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论①正确,由图象(或表格)可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的对称轴为直线x=2且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4,所以结论②和④正确,由图象可以看出当0<x<4时,y<0,所以结论③错误,由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对应的点均有两个,若A (x 1,2),B (x 2,3)是抛物线上两点,既有可能x 1<x 2,也有可能x 1>x 2,所以结论⑤错误. 8.<9.y=(x -2)2+1 10.y=x 2(答案不唯一)11.(1,4) [解析]∵A (0,3),B (2,3)是抛物线y=-x 2+bx +c 上两点,∴{x =3,-4+2x +x =3,解得{x =2,x =3,∴y=-x 2+2x +3=-(x -1)2+4,顶点坐标为(1,4).12.24 [解析]∵y=60t -32t 2=-32(t -20)2+600,∴当t=20时,滑行到最大距离600 m 时停止;当t=16时,y=576,∴最后4 s 滑行的距离是24 m . 13.解:(1)把(1,0)和0,32代入y=-12x 2+bx +c ,得{-12+x +x =0,x =32,解得{x =-1,x =32, ∴抛物线的函数表达式为y=-12x 2-x +32. (2)∵y=-12x 2-x +32=-12(x +1)2+2, ∴顶点坐标为(-1,2),∴将抛物线y=-12x 2-x +32平移,使其顶点恰好落在原点的一种平移方法:先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度(答案不唯一), 平移后的函数表达式为y=-12x 2.14.解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的, 由甲同学提供的数据,选择x=-1,y=6;x=1,y=2代入y=ax 2+bx +3,得{x -x +3=6,x +x +3=2,解得a=1是正确的.根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x 2+bx +c ,得{1-x +x =-2,1+x +x =2,解得b=2是正确的, ∴y=x 2+2x +3.(2)抛物线y=x 2+2x +3的对称轴为直线x=-1,∵二次项系数为1,∴抛物线开口向上, ∴当x ≥-1时,y 的值随x 值的增大而增大. 故答案为≥-1.(3)∵方程ax 2+bx +c=k (a ≠0)有两个不相等的实数根,即x 2+2x +3-k=0有两个不相等的实数根,∴Δ=4-4(3-k )>0,解得k>2.15.y=12x 2-114x +3 [解析]∵矩形OABC 中,C (0,3),∴点B 的纵坐标为3.∵反比例函数y=12x 的图象经过点B ,∴B (4,3),A (4,0),∴OA=4.∵C (0,3),∴OC=3,∴Rt △ACO 中,AC=5.设G (m ,0),则OG=m ,∴GP=OG=m ,CP=OC=3,∴AP=2,AG=4-m ,∴Rt △AGP 中,m 2+22=(4-m )2,∴m=32,∴G 32,0.∵A (4,0),C (0,3),G32,0,∴解析式为y=12x 2-114x +3.16.[解析](1)利用顶点式求二次函数表达式;(2)设对称轴与x 轴的交点为C ,利用DC ⊥x 轴,EF ⊥x 轴证明△BEF ∽△BDC ,利用对应边成比例求出BF ,EF 的长度,进而确定点E 的坐标; (3)分两种情况求交点坐标.解:(1)∵二次函数图象的顶点D 的坐标为(1,3),∴设二次函数的表达式为y=a (x -1)2+3. ∵函数图象过点B (5,0), ∴a (5-1)2+3=0,∴a=-316,∴该二次函数的表达式为y=-316(x -1)2+3,即y=-316x 2+38x +4516. (2)设对称轴与x 轴的交点为C ,如图①所示. ∵D (1,3),B (5,0), ∴DC=3,BC=4,BD=5.∵DC ⊥x 轴,EF ⊥x 轴, ∴△BEF ∽△BDC ,∴xx xx =xx xx =xxxx. 设EF=ED=m ,则5-x 5=x 3=xx 4,∴m=158,BF=43×158=52,∴OF=5-52=52,∴E52,158.(3)存在.根据题意知A (-3,0),A ,B 两点到直线DG 的距离之比为3∶5,分两种情形:①A ,B 两点在直线DG 的同旁,如图②,直线DG 与x 轴交于点H ,过点A 作AN ⊥DG 于点N ,过点B 作BM ⊥DG 于点M ,则有AN ∥BM ,xx xx =35,∴△HAN ∽△HBM , ∴xx xx =xxxx, ∴AH=12, ∴H (-15,0).设直线DG 的表达式为y=kx +b , 则{-15x +x =0,x +x =3,解得{x =316,x =4516,∴直线DG 的表达式为y=316x +4516.∵点G 为直线DG 与抛物线y=-316x 2+38x +4516的另一个交点, ∴{x =316x +4516,x =-316x 2+38x +4516,解得{x =0,x =4516或{x =1,x =3.∴G 0,4516.②A ,B 两点在直线DG 的两旁,如图③,过点A 作AN ⊥DG 于点N ,过点B 作BM ⊥DG 于点M ,则有AN ∥BM ,xx xx =35.∵xx xx =35, ∴直线DG 经过点O ,其表达式为y=3x.∵点G 为直线DG 与抛物线y=-316x 2+38x +4516的另一个交点,∴{x =3x ,x =-316x 2+38x +4516,解得{x =-15,x =-45或{x =1,x =3.∴G (-15,-45).综上所述,点G 的坐标为0,4516或(-15,-45).。

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课时训练(十四)二次函数的图象和性质(一)(限时:45分钟)|夯实基础|1.y=(a-1)x a2+1+x-3是二次函数时,a的值是 ()A.1B.-1C.±1D.02.[2018·山西]用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为()A.y=(x-4)2+7B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2-253.[2019·雅安]在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到4.[2019·呼和浩特]二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是()图K14-15.[2019·兰州]已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是()A.2>y1>y2B.2>y2>y1C.y1>y2>2D.y2>y1>26.[2019·河南]已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为()A.-2B.-4C.2D.47.[2019·益阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K14-2所示,下列结论:①ac<0;②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是()图K14-2A.①②B.①④C.②③D.②④8.[2019·武威]将二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式为.9.[2019·荆州]二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是.10.[2017·兰州]若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则Q点的坐标为.11.经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线的表达式是.12.已知a,b,c是实数,点A(a+1,b),B(a+2,c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上,则b,c的大小关系是b c(用“>”或“<”填空).13.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x…-2 -1 0 1 2 …y…0 4 6 6 4 …从上表可知,下列说法中正确的是(填写序号).①抛物线与x轴的一个交点为点(3,0);②函数y=ax2+bx+c的最大值为6;;③抛物线的对称轴是直线x=12④在对称轴左侧,y随x的增大而增大.x2+bx+c经过A(-√3,0),B(0,-3)两点,此抛物线的对称轴为直线14.如图K14-3,抛物线y=13l,顶点为C,且l与直线AB交于点D.(1)求此抛物线的表达式;(2)直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标;(3)求证:BC=CD.图K14-3 15.[2019·宁波]如图K14-4,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).(1)求a的值和图象的顶点坐标.(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.①当m=2时,求n的值;②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.图K14-4|拓展提升|16.[2019·广元]如图K14-5,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(-1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M=4a+2b+c,则M的取值范围是.图K14-5x的图象如图K14-6所示,它与二次函数y=ax2-4ax+c的图象交于A,B两点17.一次函数y=34(其中点A在点B的左侧),与这个二次函数图象的对称轴交于点C.(1)求点C的坐标.(2)设二次函数图象的顶点为D.①若点D与点C关于x轴对称,且△ACD的面积等于3,求此二次函数的表达式;②若CD=AC,且△ACD的面积等于10,求此二次函数的表达式.图K14-6【参考答案】1.B2.B3.C4.D5.A[解析]根据题意可得,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,∴在对称轴的右侧,y随x 的增大而减小,∵-1<1<2,∴2>y1>y2,故选A.6.B[解析]由抛物线过(-2,n)和(4,n)两点,说明这两个点关于对称轴对称,即对称轴为直=1,又因为a=-1,所以可得b=2,即抛物线的解析式为y=-x2+2x+4,把x=-2代线x=1,所以-b2a入解得n=-4.7.A[解析]∵抛物线开口向下,且与y轴的正半轴相交,∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;<-1,由图象知,-2<-b2a∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac>0,∴③错误;∵当x=-1时,y=a-b+c>0,∴④错误.∴正确的说法是①②.故选A.8.y=(x-2)2+19.7[解析]y=-2x2-4x+5=-2(x+1)2+7,即二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是7.10.(-2,0)[解析]P,Q两点关于对称轴对称,则P,Q两点到对称轴:直线x=1的距离相等, ∴Q点的坐标为(-2,0).(x-4)(x+2)[解析]设抛物线的表达式为y=a(x-4)(x+2),把C(0,3)的坐标代入上11.y=-38式得3=a(0-4)(0+2),解得a=-3,8(x-4)(x+2).故y=-38=a,在对称轴右侧,y随x的增大而12.< [解析]易知抛物线开口向上,对称轴为直线x=--2a2增大,又a<a+1<a+2,所以b<c.13.①③④x2+bx+c经过A(-√3,0),B(0,-3)两点,14.解:(1)∵抛物线y=13∴{13×(-√3)2-√3b +c =0,c =-3,解得{b =-2√33,c =-3,∴此抛物线的表达式为y=13x 2-2√33x -3. (2)由(1)可得此抛物线的对称轴l 为直线x=√3,顶点C 的坐标为(√3,-4). (3)证明:易得过A ,B 两点的直线的表达式为y=-√3x -3,∴当x=√3时,y=-6, ∴点D 的纵坐标为-6,∴CD=|-6|-|-4|=2, 作BE ⊥l 于点E ,则BE=√3,∴CE=|-4|-|-3|=1,由勾股定理得BC=√(√3)2+12=2,∴BC=DC. 15.解:(1)把P (-2,3)代入y=x 2+ax +3, 得3=(-2)2-2a +3,解得a=2, ∴y=x 2+2x +3=(x +1)2+2, ∴顶点坐标为(-1,2).(2)①把x=2代入y=x 2+2x +3,得y=11, ∴当m=2时,n=11.②n 的取值范围为2≤n<11. [解析]当点Q 到y 轴的距离小于2时,即-2<m<2,函数可以取得最小值2,当x=-2时,y=3,当x=2时,y=11,∴n 的取值范围为2≤n<11. 16.-6<M<6 [解析]∵y=ax 2+bx +c 过点(-1,0),(0,2),∴c=2,a -b=-2,∴b=a +2, ∵顶点在第一象限,∴-b2a >0, ∵a<0,∴b>0,a +2>0,a>-2,∴-2<a<0,M=4a +2b +c=4a +2(a +2)+2=6a +6,∴-6<M<6. 17.解:(1)y=ax 2-4ax +c=a (x -2)2+c -4a , ∴二次函数图象的对称轴为直线x=2. 当x=2时,y=34×2=32,∴C 点坐标为2,32.(2)①若点D 和点C 关于x 轴对称,则点D 坐标为2,-32,CD=3.∵△ACD 的面积等于3, ∴点A 到CD 的距离为2, ∴点A 的横坐标为0.∵点A 在直线y=34x 上,∴点A 的坐标为(0,0).将点A ,点D 坐标代入二次函数表达式可求得{a =38,c =0, ∴二次函数表达式为y=38x 2-32x.②若CD=AC ,如图,设CD=AC=m (m>0).过A 点作AH ⊥CD 于H ,易得AH=45AC=45m ,∴S △ACD =12×CD ×AH=12m ·45m=10.∵m>0,∴m=5,∴D 点坐标为2,132或2,-72,A 点坐标为-2,-32. 将A -2,-32,D 12,-72的坐标代入二次函数y=ax 2-4ax +c ,可求得{a =18,c =-3,∴二次函数表达式为y=18x 2-12x -3; 将A -2,-32,D 22,132的坐标代入二次函数y=ax 2-4ax +c ,求得{a =-12,c =92,∴二次函数表达式为y=-12x 2+2x +92.综上可得,二次函数表达式为y=18x 2-12x -3或y=-12x 2+2x +92.。

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