湖南中考数学复习第三单元函数及其图象 课时训练二次函数的图象和性质二
中考数学复习 函数及其图象二次函数的图象和性质二课件
解:(1)令 y=0,则-12x2+2x+6=0, ∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0). 由函数图象得,当 y≥0 时,x 的取值范围为-2≤x≤6.
2.[2019·温州]如图 15-2,在平面直角坐标系中,二次函数 y=-12x2+2x+6 的图象交 x 轴于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧). (2)把点 B 向上平移 m 个单位得点 B1.若点 B1 向左平移 n 个单位,将与该二次函数 图象上的点 B2 重合;若点 B1 向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点 B3 重合.已知 m>0,n>0,求 m,n 的值.
方法二:∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,
������-������ + ������ = 0,
������ = -1,
∴ 9������ + 3������ + ������ = 0,解得 ������ = 2,
������ = 3,
������ = 3,
m<2.
例2 (2)已知二次函数y=2x2-mx-m2. ①求证:对于任意实数m,二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有公共点; ②若这个二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且B点坐标为(1,0),求点A的坐 标. (2)解:①证明:Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=m2+8m2=9m2≥0,
| 考向精练 | 1.[2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个公共点,则m的值为
-1 .
2.[2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图 [答案] x1=2,x2=4 象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程 [解析]∵二次函数 y=x2+bx-5 图象的
(湖南专版)中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练15二次函数的图象和性质(二)
2课时训练(十五) 二次函数的图象和性质(二)(限时:50 分钟)|夯实基础|1.[2018·毕节]将抛物线 y=x 2 向左平移 2 个单位,再向下平移 5 个单位,平移后所得新抛物线的表达式为( )A .y=(x+2)2-5C .y=(x-2)2-5B .y=(x+2)2+5D .y=(x-2)2+52.[2019·荆门]抛物线 y=-x +4x-4 与坐标轴的交点个数为 ( )A .0B .1C .2D .33.若抛物线 y=x 2+2x-m+1 与 x 轴没有交点,则 m 的取值范围是( )A .m ≤0C .m>0B .m<0D .0<m ≤24.若二次函数 y=x 2+mx 图象的对称轴是直线 x=2,则关于 x 的方程 x 2+mx=5 的解为()A .x 1=1,x 2=5 C .x 1=1,x 2=-5B .x 1=1,x 2=3 D .x 1=-1,x 2=55.二次函数 y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表:x… -2 -1 0 1 2 …y=ax 2+bx+c … t m -2 -2 n …且当 x=-1时,与其对应的函数值 y>0,有下列结论:2①abc>0;②-2 和 3 是关于 x 的方程 ax 2+bx+c=t 的两个根;③0<m+n<20.其中,正确结论的个数3是 ()A .0C .2B .1D .36.[2019·杭州]在平面直角坐标系中,已知 a ≠b ,设函数 y=(x+a )(x+b )的图象与 x 轴有 M 个交点,函数 y=(ax+1)(bx+1)的图象与 x 轴有 N 个交点,则A .M=N-1 或 M=N+1B .M=N-1 或 M=N+2C .M=N 或 M=N+1( )8.[2019·雅安]已知函数y={的图象如图K15-1所示,若直线y=x+m与该图D.M=N或M=N-17.[2019·宜宾]将抛物线y=2x2的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为.-x2+2x(x>0),x(x≤0)象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为.图K15-19.[2019·衡阳]在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图K15-2所示.已知点A坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2019的坐标为.图K15-210.[2019·云南]已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.(1)求k的值;(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.(3)在(1)的条件下,存在正实数m,n(m<n),当m≤x≤n时,恰好有2n1,求m,n的2m1≤y2≤|拓展提升|11.[2019·新疆]如图K15-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)将(1)中的抛物线向下平移15个单位长度,再向左平移h(h>0)个单位长度,得到新抛物线.4若新抛物线的顶点△D'在ABC内,求h的取值范围;(3)点P为线段BC上一动点(点P不与点B,C重合),过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点△Q,当PQC与△ABC相似时,求△PQC的面积.图K15-312.[2019·长沙]已知抛物线y=-2x2+(b-2)x+(c-2020)(b,c为常数).(1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b,c的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c的取值范围;m1n2 值.【参考答案】1.A2.C [解析]当 x=0 时,y=-x 2+4x -4=-4,则抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,-4),当 y=0 时,-x 2+4x -4=0,解得 x 1=x 2=2,抛物线与 x 轴的交点坐标为(2,0),所以抛物线与坐标轴有 2 个交点.3.B4.D [解析]∵二次函数 y=x 2+mx 图象的对称轴是直线 x=2,∴-m =2,解得 m=-4,∴关于 x 的方2程 x 2+mx=5 可化为 x 2-4x -5=0,即(x +1)(x -5)=0,解得 x 1=-1,x 2=5.5.C [ 解析 ] 由表格可知 , 抛物线 y=ax 2+bx +c 过点 (0,-2),(1,-2),∴ c =-2,a +b -2=-2, ∴a +b=0,∵a ≠0,∴ab<0,从而可得 abc>0,∴①正确;∵a +b=0,∴b=-a ,∴抛物线为 y=ax 2-ax -2,直线 x=1是对称轴,2∵x=-2 时 y=t ,由抛物线的轴对称性可知当 x=3 时,y=t ,∴-2 和 3 是关于 x 的方程 ax 2+bx +c=t的两个根,故②正确;将(-1,m ),(2,n )代入解析式 y=ax 2-ax -2 得 m=a ×(-1)2-a ×(-1)-2=2a -2,n=a ×22-2a -2=2a -2,∴m=n=2a -2,∴m +n=4a -4,∵当 x=-1时,y>0,∴1a +1a -2>0,∴a>8,24 2 3∴m +n>20,故③错误.因此本题选 C .36.C [解析]∵y=(x +a )(x +b )=x 2+(a +b )x +ab ,∴(a +b )2-4ab=(a -b )2,∵a ≠b ,∴(a -b )2>0,∴函数 y=(x +a )(x +b )的图象与 x 轴有 2 个交点,∴M=2,∵函数 y=(ax +1)(bx +1)=abx +(a +b )x +1,∴当 ab ≠0 时,(a +b )2-4ab=(a -b )2>0,函数 y=(ax +1)(bx +1)的图象与 x 轴有 2 个交点,即 N=2,此时 M=N ;时,b 2-4ac=(-1)2-4m>0,解得 m<1.当直线 y=x +m 经过原点时与函数 y={的图象2 =0,当 ab=0 时,不妨令 a=0,∵a ≠b ,∴b ≠0,函数 y=(ax +1)(bx +1)=bx +1 为一次函数,与 x 轴有一个交点,即 N=1,此时M=N +1.综上可知,M=N 或 M=N +1.故选 C .7.y=2(x +1)2-28.0<m<1 4[解析 ]由 y=x +m 与 y=-x 2+2x 得 x +m=-x 2+2x ,整理得 x 2-x +m=0,当有两个交点-x2 + 2x(x > 0), 4x(x ≤ 0)有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴m>0,∴m 的取值范围为 0<m<1,故答案为 0<m<1.449.(-1010,10102)[解析]A (1,1),A 1(-1,1),A 2(2,4),A 3(-2,4),A 4(3,9),A 5(-3,9),…,A 2019(-1010,10102).10.解:(1)∵抛物线 y=x 2+(k 2+k -6)x +3k 的对称轴是 y 轴,∴x=-k 2+k -6即 k 2+k -6=0,解得 k=-3 或 k=2.当 k=2 时,抛物线解析式为 y=x 2+6,与 x 轴无交点,不满足题意,舍去;当 k=-3 时,抛物线解析式为 y=x 2-9,与 x 轴有两个交点,满足题意,∴k=-3.(2)∵点 P 到 y 轴的距离为 2,∴点 P 的横坐标为-2 或 2.当 x=2 时,y=-5;当 x=-2 时,y=-5.∴点 P 的坐标为(2,-5)或(-2,-5).11.[解析](1)直接将三点坐标代入抛物线解析式并化为顶点式即可;(2)用含有字母 h 的式子表示出平移后顶点 D '的坐标,然后求出直线 AC 和 BC 的解析式,只要点 D'在直线 AC 的右边,直线 BC 的左边即符合题意,从而可以求出 h 的取值范围;(3)易得∠CPQ=∠ABC=45°,设点 P的坐标,利用两组对应边成比例,分两种情况讨论,从而求出△PQC 的面积.2 4, .解:将 A (-1,0),B (4,0),C (0,4)三点坐标代入抛物线解析式 y=ax 2+bx +c ,a -b +c = 0,得:{16a + 4b + c = 0,c = 4,a = -1,解得:{b = 3,c = 4,∴抛物线的解析式为 y=-x 2+3x +4.化为顶点式为:y=- x -3 2+25.24∴顶点 D 的坐标为3 25(2)∵25 − 15=5,44 2∴D' 3-h ,5 .22设直线 AC 的解析式为:y=kx +4,则:-k +4=0.解得:k=4,∴直线 AC 的解析式为 y=4x +4.把 y=5代入,得:4x +4=5.22解得 x=-3.8要使平移后点 △D '在 ABC 内,则3-h>-3,28∴h<15.8易得直线 BC 的解析式为 y=-x +4,将 y=5代入,得-x +4=5,解得 x=3.22 2∴3-h<3,∴h>0,22∴h 的取值范围为 0<h<15.8(3)∵OB=OC=4,∴∠OBC=∠OCB=45°.∵PQ ∥OC ,∴∠CPQ=∠OCB=45°.∴∠CPQ=∠OBC=45°.△S PCQ=1m(-m2+4m)=1m2(4-m).即√2m=-m4√2,解得m1=12,m2=0(舍去),此时△SPCQ=1×5,解得m1=11,m2=0(舍去),此时△SPCQ=1×∴{c-2020=-1,解得{∴要使△PQC与△ABC相似,只需两组对应边成比例即可.设P(m,-m+4),则Q(m,-m2+3m+4),PQ=(-m2+3m+4)-(-m+4)=-m2+4m,22过点P作PM⊥y轴于M,则PM=CM=m,PC=√2m,AB=4-(-1)=5,BC=4√2.①△若CPQ∽△ABC,则有CP=PQ,AB BC24m5521252×4-12=576.5125②若△CPQ∽△CBA,则有CP=PQ,BC AB即√2m=-m24m4√2421142×4-11=605.4128∴当△PQC与△ABC相似时,△PQC的面积为576或605.12512812.解:(1)由题意,可设y=-2(x-1)2+1,去括号得:y=-2x2+4x-1,b-2=4,b=6,c=2019.(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x,y),(-x,-y),2 22n+1,∴1≤y ≤ 1 , ∵0<m<n ,当 m ≤x ≤n 时,恰好有 2m+1≤y+2 ≤又∵≤y ≤ ,∴{ m ,②-2m 2 + 4m -1 =nm∴n 1=1-√3(舍去),n 2=1+√3, ∴m 1=1,m 2=1-√3(舍去),m 3=1+√3(舍去).2 2代入解析式可得:{y 0 = -2x 0 + (b -2)x 0 + (c -2020),-y 0 = -2x 0 -(b -2)x 0 + (c -2020),∴两式相加可得:-4x 0 +2(c -2020)=0, ∴c=2x 0 +2020,∴c ≥2020. (3)由(1)可知抛物线 y=-2x 2+4x -1=-2(x -1)2+1,∴y ≤1,m1nn m∴ 1 ≤1,即 m ≥1,∴1≤m<n ,m∵抛物线对称轴为直线 x=1,开口向下,∴当 m ≤x ≤n 时,y 随 x 的增大而减小,∴当 x=m 时,y max =-2m 2+4m -1,当 x=n 时,y min =-2n 2+4n -1,-2n 2 + 4n -1 = 1 ,① 1 1 n1将①整理得:2n 3-4n 2+n +1=0,∴变形得:(2n 3-2n 2)-(2n 2-n -1)=0,∴2n 2(n -1)-(2n +1)(n -1)=0,∴(n -1)(2n 2-2n -1)=0,∵n>1,∴2n 2-2n -1=0,22同理整理②得:(m -1)(2m 2-2m -1)=0,∵1≤m<n ,22综上所述:m=1,n=1+√3.2。
(湖南专版)中考数学复习第三单元函数及其图象第15课时二次函数的应用课件
超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.
若周销售最大利润是1400元,求m的值.
解:(1)①设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b(k≠0),
依题意,有
50������ 60������
+ +
������ ������
= =
18000, ,解得
������ ������
图15-2
(2 6-4)m.
5.[九上P52习题22.3第7题改编]如图 15-3,点 [答案] AB的中点
E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上.四 [解析]设正方形 ABCD 的边长为 a,由
边形EFGH也是正方形,当点E位于 方形EFGH的面积最小.
时,正
四边形 EFGH 也为正方形,易证△ AEH ≌△BFE≌△CGF≌△DHG. 设 DH=x,则 DG=CD-CG=a-x.
2.[2018·长沙12题]若对于任意非 [答案] B
零实数a,抛物线y=ax2+ax-2a总不 经过点P(x0-3, x02-16),则符合条件 的点P ( ) A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无穷多个
[解析]由题意得 y=a(x+2)(x-1),总不经过点 P(x0-3,������02-16),将点 P 坐标代入抛物线的解析式, 得 a(x0-1)(x0-4)≠(x0+4)(x0-4)恒成立.①当 x0=1 时, 得 0≠-15,恒成立,此时点 P 的坐标为(-2,-15);② 当 x0=4 时,左边=右边=0,不符合题意;③当 x0=-4 时,得 40a≠0,因为 a≠0,所以不等式恒成立, 此时点 P 的坐标为(-7,0);④当 x0≠1 且 x0≠4 且 x0≠-4 时,a≠������������00+-14=1+������05-1不恒成立.综上所述,符合
中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第14课时 二次函数的图象与性质(二)课件0
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与 x 轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两
1
4
点),∴当 x=1 时,y=a+b+c<0.∵a=3b,∴3b+c<0,∴4b+3c<0,∴结论④错误.
故选 A.
2. [2019·鄂州]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-7所示,对称轴是直线x=1.下
∴b2-4ac>0,∴①正确;
∵抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点的坐标为(3,0),
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1,x2=3,∴②正确;
∵对称轴 x=- =1,即 b=-2a,而 x=-1 时,y=0,即 a-b+c=0,∴a+2a+c=0,
A.1
B.2
C.3
图14-6D.4)源自[答案] A3
[解析]根据对称轴-2 =-2得 b=3a,故可得 3a-b=0,∴结论①正确;
∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴结论②正确;
根据结论①可知 b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知 a<0,c>0,
特殊关系
当x=-1时,y=⑩ a-b+c
若a+b+c>0,则当x=1时,y>0
若a-b+c>0,则当x=⑪ -1 时,y>0
图象的特征
对点演练
题组一
必会题
1.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线
中考数学(湘教版 全国通用)复习课件：第15课时 二次函数的图象和性质二(共23张PPT)
ab>0(b 与 a 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0(b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴右侧
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
c
b2－4ac
特殊 关系
经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一的交点 b2－4ac＝0 (顶点) 与 x 轴有两个不 2 b －4ac>0 同的交点 b2－4ac<0 与 x 轴没有交点 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c 若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0 若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
探究二
二次函数的图象的平移
命题角度： 1. 二次函数的图象的平移规律； 2. 利用平移求二次函数的图象的表达式．
例2 [2014· 丽水] 在同一平面直角坐标系内，将函数y＝ 2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到 图象的顶点坐标是( C ) A. (－3，－6) C. (1，－6) B. (1，－4) D. (－3，－4)
考点聚焦
关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 的实 数根的个数
2
不相等 的实 两个 __________ 数根
相等 的实数 两个________ 根
2
没有 实数根 __________
回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的图象与性质课件
点A(1,0),
∴ b=-4,∴ 该抛物线的函数解析
式为y=x2-4x+3.
(2)点P的坐标为(5,8)或(-1,8).
【方法点析】在求二次函数的解析式时,经常利用待定系数法.
(1)已知任意三点的坐标选用一般式y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,常选用顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0);
条件
设法
顶点在原点
y=ax2(a≠0)
顶点在y轴上
y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)
顶点在x轴上
y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)
抛物线过原点
y=ax2+bx(a≠0)
顶点(h,k)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
考点五 二次函数图象的平移
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线
y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图13-1所示
(假设h,k均为正数):
图13-1
【温馨提示】平移规则为“上加下减,左加右减”.
④点 -2 ,0 一定在此抛物线上.其中正确结论的序号是 (
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
图13-4
)
[答案] C
[解析]∵ 抛物线开口向下,∴ a<0.∵ 抛物线与 y 轴的正半轴相交,
∴ c>0,∴ ac<0,故①错误;∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-2,0)关于直线
2019年中考数学总复习第三单元函数第15课时二次函数的图象和性质(二)课件湘教版
课前双基巩固
4.[九下 P28A 组第 3 题改编] 抛物线 y=2x2-2x+5,当 x= -1或2 时,y=9. 5.[九下 P28B 组第 4 题改编] 当 t= ± 5 时,抛物线 y=5x2+4tx+t2-1 与 x 轴只有一个交点.
课前双基巩固
题组二 易错题 【失分点】
忽略了二次函数 y=ax2+bx+c 的隐含条件 a≠0;求平移后的抛物线的表达式时,弄错符号;当函数类型
D.k≤4
课前双基巩固
7.把抛物线 y=-2x2 先向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位后,所得抛物线的表达式为 ( C )
A.y=-2(x+1)2+2
B.y=-2(x+1)2-2
C.y=-2(x-1)2+2
D.y=-2(x-1)2-2
8.二次函数 y=x2-3x+4 的图象与坐标轴的交点个数是 ( B )
没有明确指出时,其图象与 x 轴的交点要分情况讨论,因为一次函数、二次函数的图象均与 x 轴有交点;与
坐标轴的交点和与 x 轴的交点的区别. 6.已知二次函数 y=(k-3)x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是 ( A )
A.k≤4 且 k≠3
B.k<4 且 k≠3
C.k<4
开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧
课前双基巩固
c b2-4ac
c=0 c>0 c<0 b2-4ac=0 b2-4ac>0 b2-4ac<0
特殊 关系
经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一的交点(顶点) 与 x 轴有两个不同的交点 与 x 轴没有交点 当 x=1 时,y=a+b+c 当 x=-1 时,y=a-b+c 若 a+b+c>0,则当 x=1 时,y>0 若 a-b+c>0,则当 x=-1 时,y>0
【湘教版】2019年中考数学复习 第3单元函数及其图象第15课时二次函数的图象和性质二
课时训练(十五)二次函数的图象和性质(二)|夯实基础|一、选择题1．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位、那么所得新抛物线的解析式是( )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋32．[2017·衡阳模拟]已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m、0)、则代数式m2－m＋2017的值为( ) A．2014 B．2015C．2016 D．20183．[2017·枣庄]已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数、a≠0)、下列结论正确的是( )A．当a＝1时、函数图象经过点(－1、1)B．当a＝－2时、函数图象与x轴没有交点C．若a＜0、函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0、则当x≥1时、y随x的增大而增大4．[2017·长郡模拟]抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有交点、则m的取值范围是( )A．m≤2 B．m＜－2C．m＞2 D．0＜m≤25．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图K15－1、若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根、则m的最大值为( ) A．－3 B．3C．－6 D．9K15－1K15－26．若二次函数y＝x2＋mx图象的对称轴是直线x＝2、则关于x的方程x2＋mx＝5的解为( )A．x1＝1、x2＝5 B．x1＝1、x2＝3C．x1＝1、x2＝－5 D．x1＝－1、x2＝57．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K15－2所示、则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝( )A．a＋b B．a－2bC．a－b D．3a图K15－38．[2016·枣庄]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图K15－3所示、给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b ＋c>0；③a>b；④4ac－b 2<0.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．若二次函数y ＝x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴没有公共点、则m 的取值范围是________．10．[2016·泰安]将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位、再向下平移4个单位、那么得到的抛物线的解析式为____________．图K15－4 11．[2017·株洲]如图K15－4、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴在y 轴的右侧、其图象与x 轴交于点A(－1、0)、点C(x 2、0)、且与y 轴交于点B(0、－2)、小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时、x 2＞5－1.以上结论中、正确的结论序号是________．三、解答题12．已知抛物线y ＝(x －m)2－(x －m)、其中m 是常数．(1)求证：不论m 为何值、该抛物线与x 轴一定有两个公共点． (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝52.①求该抛物线所对应的函数表达式；②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位后、得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．|拓 展 提 升|13．[2017·邵阳]如图K15－5、顶点为(12、－94)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点M(2、0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点A 是抛物线与x 轴的交点(不与点M 重合)、点B 是抛物线与y 轴的交点、点C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x 轴下方)、点D 是反比例函数y ＝kx(k>0)图象上一点．若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形、求k 的值．图K15－514．[2017·益阳]如图K15－6①、直线y＝x＋1与抛物线y＝2x2相交于A、B两点、与y轴交于点M、M、N关于x 轴对称、连接AN、BN.(1)①求A、B的坐标；②求证：∠ANM＝∠BNM；(2)如图②、将题中直线y＝x＋1变为y＝kx＋b(b>0)、抛物线y＝2x2变为y＝ax2(a>0)、其他条件不变、那么∠ANM＝∠BNM是否仍然成立？请说明理由．图K15－6参考答案1．C [解析] 将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位、得到抛物线y ＝x 2＋2－1＝x 2＋1.2．D [解析] ∵抛物线y ＝x 2－x －1与x 轴的一个交点为(m 、0)、∴m 2－m －1＝0、∴m 2－m ＝1、∴m 2－m ＋2017＝1＋2017＝20183．D [解析] 将a ＝1代入原函数解析式、令x ＝－1求出y 值、由此得出A 选项不符合题意；B.将a ＝－2代入原函数解析式、令y ＝0、根据根的判别式Δ＝8＞0、可得出当a ＝－2时、函数图象与x 轴有两个不同的交点、即B 选项不符合题意；C.利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标、令其纵坐标小于零、可得出a 的取值范围、由此可得出C 选项不符合题意；D.利用配方法找出二次函数图象的对称轴、结合二次函数的性质、即可得出D 选项符合题意．4．A [解析] 由题意可知：Δ＝4－4(m －1)≥0、∴m ≤2、故选A. 5．B [解析] ∵抛物线的开口向上、顶点的纵坐标为－3、∴a ＞0、－b 24a＝－3、即b 2＝12a.∵关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根、∴Δ＝b 2－4am≥0、即12a －4am≥0、 即12－4m≥0、解得m≤3、 ∴m 的最大值为3.6．D [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋mx 图象的对称轴是直线x ＝2、∴－m 2＝2、解得m ＝－4、∴关于x 的方程x 2＋mx＝5可化为x 2－4x －5＝0、即(x ＋1)(x －5)＝0、解得x 1＝－1、x 2＝5.7．D [解析] 根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知、a ＞0、又抛物线过坐标原点、∴c ＝0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a 、∴0＜－b2a＜1、解得－2a ＜b ＜0、∴|a －b ＋c|＝a －b 、|2a ＋b|＝2a ＋b 、∴|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝a －b ＋2a ＋b ＝3a.8．C [解析] 由图可知、图象经过原点、则c ＝0、 ∴abc ＝0、结论①正确；当x ＝1时、对应的图象上的点在第四象限、∴a ＋b ＋c<0、结论②错误；∵－b 2a ＝－32、∴b ＝3a 、∵a<0、∴b<0、∴a>b 、结论③正确；抛物线与x 轴有两个交点、则b 2－4ac>0、∴4ac －b 2<0、结论④正确．故答案为C.9．m ＞1 [解析] 根据抛物线y ＝x 2＋2x ＋m 与x 轴没有公共点可知、方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根、∴判别式Δ＝22－4×1×m＜0、∴m ＞1.10．y ＝2(x ＋2)2－211．①④ [解析] 由图象可知抛物线开口向上、∴a ＞0、由抛物线经过A(－1、0)、B(0、－2)、对称轴在y 轴的右侧可得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b2a>0，由此可得：a －b ＝2、b ＜0.故a ＝2＋b ＜2、综合可知0＜a ＜2；将a ＝b ＋2代入0＜a ＜2中得：0＜b ＋2＜2、可得－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时、因为a ＞0、b ＜0、故有a ＝－b.又a －b ＝2、可得a ＝1、b ＝－1.故原函数为y ＝x 2－x －2、当y ＝0时、即有x 2－x －2＝0、解得x 1＝－1、x 2＝2、 x 2＝2＞5－1.故答案为：①④.12．解：(1)证明：y ＝(x －m)2－(x －m)＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m 、∵Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2＋m)＝1>0、∴不论m 为何值、该抛物线与x 轴一定有两个公共点．(2)①∵x＝－－（2m ＋1）2＝52、∴m ＝2、∴抛物线所对应的函数表达式为y ＝x 2－5x ＋6.②设抛物线沿y 轴向上平移k 个单位后、得到的抛物线与x 轴只有一个公共点、则平移后抛物线所对应的函数表达式为y ＝x 2－5x ＋6＋k.∵抛物线y ＝x 2－5x ＋6＋k 与x 轴只有一个公共点、∴Δ＝52－4(6＋k)＝0、∴k ＝14、即把该抛物线沿y 轴向上平移14个单位后、得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．13．解：(1)依题意可设抛物线为y ＝a(x －12)2－94、将M(2、0)代入可得a ＝1、则抛物线的解析式为y ＝(x －12)2－94＝x 2－x －2. (2)当y ＝0时、x 2－x －2＝0、解得x 1＝－1、x 2＝2、所以A(－1、0)、 当x ＝0时、y ＝－2、所以B(0、－2)． 在Rt △OAB 中、OA ＝1、OB ＝2、∴AB ＝ 5.设直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为点G 、易求G(0、1)、 ∴Rt △AOG 为等腰直角三角形、∴∠AGO ＝45°. ∵点C 在直线y ＝x ＋1上且在x 轴下方、而k>0、∴y ＝kx的图象位于第一、三象限、故点D 只能在第一、三象限、因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：①此菱形以AB 为边且AC 也为边、如图①所示、过点D 作DN⊥y 轴于点N 、 在Rt △BDN 中、∵∠DBN ＝∠AGO＝45°、∴DN ＝BN ＝52＝102、∴D(－102、－102－2)、 ∵点D 在y ＝kx 的图象上、∴k ＝－102·(－102－2)＝52＋10.②此菱形以AB 为对角线、如图②所示、作AB 的垂直平分线CD 交直线y ＝x ＋1于点C 、交y ＝kx的图象于点D.再分别过点D 、B 作DE⊥x 轴于点F 、BE ⊥y 轴、DE 与在Rt △BDE 中、同①可证∠AGO＝∠DBO＝∠BDE＝45BE ＝DE. 可设点D 的坐标为(x 、x －2)．∵BE 2＋DE 2＝BD 2、∴BD ＝2BE ＝2x. ∵四边形ACBD 是菱形、∴AD ＝BD ＝2x.∴在Rt △ADF 中、AD 2＝AF 2＋DF 2、即(2x)2＝(x ＋1)2＋(x －2)2、解得x ＝52、∴点D 的坐标为(52、12)、∵点D 在y ＝k x (k>0)的图象上、∴k ＝54.综上所述、k 的值为52＋10或54.14．解：(1)①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x 2，化简得2x 2＝x ＋1、解得：x ＝－12或x ＝1. 当x ＝－12时、y ＝12；当x ＝1时、y ＝2.∴A 、B 两点的坐标分别为(－12、12)、(1、2)．②证明：如图①、过A 作AC⊥y 轴于C 、过B 作BD⊥y 轴于D.由①及已知有A(－12、12)、B(1、2)、OM ＝ON ＝1、∴tan ∠ANM ＝AC CN ＝121＋12＝13、tan ∠BNM ＝BD DN ＝11＋2＝13、∴tan ∠ANM ＝tan ∠BNM 、∴∠ANM ＝∠BNM. (2)∠ANM＝∠BNM 成立．①当k ＝0时、△ABN 是关于y 轴对称的轴对称图形、 ∴∠ANM ＝∠BNM.②当k≠0时、根据题意得：OM ＝ON ＝b 、设A(x 1、ax 12)、B(x 2、ax 22)． 如图②、过A 作AE⊥y 轴于E 、过B 作BF⊥y 轴于F.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝ax 2，消y 得ax 2＝kx ＋b 、 即ax 2－kx －b ＝0、∴x 1＋x 2＝k a 、x 1x 2＝－ba.∵NF BF －NE AE ＝b ＋ax 22x 2－b ＋ax 12－x 1＝bx 1＋ax 1x 22＋bx 2＋ax 2x 12x 1x 2＝（x 1＋x 2）（ax 1x 2＋b ）x 1x 2＝k a [a·（－ba ）＋b]－b a＝0.∴NF BF ＝NE AE. 又∵∠AEN＝∠BFN＝90°、 ∴Rt △AEN∽Rt △BFN 、 ∴∠ANM ＝∠BNM.。
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课时训练(十五)二次函数的图象和性质(二)(限时:50分钟)|夯实基础|1.[2018·毕节]将抛物线y=x2向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为()A.y=(x+2)2-5B.y=(x+2)2+5C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+52.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为()A.0B.1C.2D.33.若抛物线y=x2+2x-m+1与x轴没有交点,则m的取值范围是()A.m≤0B.m<0C.m>0D.0<m≤24.若二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的解为()A.x1=1,x2=5B.x1=1,x2=3C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=55.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:且当x=-时,与其对应的函数值y>0,有下列结论:①abc>0;②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;③0<m+n<.其中,正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.36.[2019·杭州]在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则()A.M=N-1或M=N+1B.M=N-1或M=N+2C.M=N或M=N+1D.M=N或M=N-17.[2019·宜宾]将抛物线y=2x2的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为.8.[2019·雅安]已知函数y=-的图象如图K15-1所示,若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为.图K15-19.[2019·衡阳]在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图K15-2所示.已知点A坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2019的坐标为.图K15-210.[2019·云南]已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.(1)求k的值;(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.|拓展提升|11.[2019·新疆]如图K15-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)将(1)中的抛物线向下平移个单位长度,再向左平移h(h>0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点D'在△ABC内,求h的取值范围;(3)点P为线段BC上一动点(点P不与点B,C重合),过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q,当△PQC与△ABC相似时,求△PQC的面积.图K15-312.[2019·长沙]已知抛物线y=-2x2+(b-2)x+(c-2020)(b,c为常数).(1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b,c的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c的取值范围;(3)在(1)的条件下,存在正实数m,n(m<n),当m≤x≤n时,恰好有≤≤,求m,n的值.【参考答案】1.A2.C[解析]当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4),当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),所以抛物线与坐标轴有2个交点.3.B4.D[解析]∵二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,∴-=2,解得m=-4,∴关于x的方程x2+mx=5可化为x2-4x-5=0,即(x+1)(x-5)=0,解得x1=-1,x2=5.5.C[解析]由表格可知,抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-2),(1,-2),∴c=-2,a+b-2=-2,∴a+b=0,∵a≠0,∴ab<0,从而可得abc>0,∴①正确;∵a+b=0,∴b=-a,∴抛物线为y=ax2-ax-2,直线x=是对称轴,∵x=-2时y=t,由抛物线的轴对称性可知当x=3时,y=t,∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t 的两个根,故②正确;将(-1,m),(2,n)代入解析式y=ax2-ax-2得m=a×(-1)2-a×(-1)-2=2a-2,n=a×22-2a-2=2a-2,∴m=n=2a-2,∴m+n=4a-4,∵当x=-时,y>0,∴a+a-2>0,∴a>,∴m+n>,故③错误.因此本题选C.6.C[解析]∵y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,∴(a+b)2-4ab=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0,∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点,∴M=2,∵函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1,∴当ab≠0时,(a+b)2-4ab=(a-b)2>0,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点,即N=2,此时M=N;当ab=0时,不妨令a=0,∵a≠b,∴b≠0,函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数,与x轴有一个交点,即N=1,此时M=N+1.综上可知,M=N或M=N+1.故选C.7.y=2(x+1)2-28.0<m<[解析]由y=x+m与y=-x2+2x得x+m=-x2+2x,整理得x2-x+m=0,当有两个交点时,b2-4ac=(-1)2-4m>0,解得m<.当直线y=x+m经过原点时与函数y=-的图象有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴m>0,∴m的取值范围为0<m<,故答案为0<m<.9.(-1010,10102)[解析]A(1,1),A1(-1,1),A2(2,4),A3(-2,4),A4(3,9),A5(-3,9),…,A2019(-1010,10102).10.解:(1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,∴x=--=0,即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.当k=2时,抛物线解析式为y=x2+6,与x轴无交点,不满足题意,舍去;当k=-3时,抛物线解析式为y=x2-9,与x轴有两个交点,满足题意,∴k=-3.(2)∵点P到y轴的距离为2,∴点P的横坐标为-2或2.当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).11.[解析](1)直接将三点坐标代入抛物线解析式并化为顶点式即可;(2)用含有字母h的式子表示出平移后顶点D'的坐标,然后求出直线AC和BC的解析式,只要点D'在直线AC的右边,直线BC的左边即符合题意,从而可以求出h的取值范围;(3)易得∠CPQ=∠ABC=45°,设点P 的坐标,利用两组对应边成比例,分两种情况讨论,从而求出△PQC的面积.解:将A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点坐标代入抛物线解析式y=ax2+bx+c, -得:-解得:∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.化为顶点式为:y=-x-2+.∴顶点D的坐标为,.(2)∵=,∴D'-h,.设直线AC的解析式为:y=kx+4,则:-k+4=0.解得:k=4,∴直线AC的解析式为y=4x+4.把y=代入,得:4x+4=.解得x=-.要使平移后点D'在△ABC内,则-h>-,∴h<.易得直线BC的解析式为y=-x+4,将y=代入,得-x+4=,解得x=.∴-h<,∴h>0,∴h的取值范围为0<h<.(3)∵OB=OC=4,∴∠OBC=∠OCB=45°.∵PQ∥OC,∴∠CPQ=∠OCB=45°.∴∠CPQ=∠OBC=45°.∴要使△PQC与△ABC相似,只需两组对应边成比例即可.设P(m,-m+4),则Q(m,-m2+3m+4),PQ=(-m2+3m+4)-(-m+4)=-m2+4m,S△PCQ=m(-m2+4m)=m2(4-m).过点P作PM⊥y轴于M,则PM=CM=m,PC=m,AB=4-(-1)=5,BC=4.①若△CPQ∽△ABC,则有=,即=,解得m1=,m2=0(舍去),此时S△PCQ=×2×4-=.②若△CPQ∽△CBA,则有=,即=-,解得m1=,m2=0(舍去),此时S△PCQ=×2×4-=.∴当△PQC与△ABC相似时,△PQC的面积为或.12.解:(1)由题意,可设y=-2(x-1)2+1,去括号得:y=-2x2+4x-1,∴---解得(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x0,y0),(-x0,-y0),代入解析式可得:--------∴两式相加可得:-4+2(c-2020)=0,∴c=2+2020,∴c≥2020.(3)由(1)可知抛物线y=-2x2+4x-1=-2(x-1)2+1,∴y≤1,∵0<m<n,当m≤x≤n时,恰好有≤≤,∴≤y≤, ∴≤1,即m≥1,∴1≤m<n,∵抛物线对称轴为直线x=1,开口向下,∴当m≤x≤n时,y随x的增大而减小,∴当x=m时,y max=-2m2+4m-1,当x=n时,y min=-2n2+4n-1,又∵≤y≤,∴--①--②将①整理得:2n3-4n2+n+1=0,∴变形得:(2n3-2n2)-(2n2-n-1)=0, ∴2n2(n-1)-(2n+1)(n-1)=0,∴(n-1)(2n2-2n-1)=0,∵n>1,∴2n2-2n-1=0,∴n1=-(舍去),n2=,同理整理②得:(m-1)(2m2-2m-1)=0, ∵1≤m<n,∴m1=1,m2=-(舍去),m3=(舍去).综上所述:m=1,n=.。