薛定谔方程的U(1)对称性与连续方程

合集下载

大学物理薛定谔方程(老师课件)

2 2 2 2 2 推广到三维： x 2 x 2 y 2 z 2
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观测固体表面的微观结构. 探针头还可吸附并搬动原子，形成人工微结构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电控制隧道电流
加电压反馈传感器参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶表面直接提走硅原子形成2 纳米的线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx

薛定谔方程

薛定谔方程薛定谔方程推导薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。

是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

目录薛定谔方程在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。

力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。

这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。

薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。

简介量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。

薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。

当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

.薛定谔提出的量子力学基本方程。

建立于 1926年。

它是一个非相对论的波动方程。

它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。

设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。

在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。

由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。

《薛定谔方程》课件

波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影到能量本征态上，得到粒子的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质，如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是位置向量，t是时间。
02
波函数的性质

薛定谔方程的含义和求解方法

薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。

本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。

一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。

该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。

薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。

Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。

薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。

通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。

二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。

但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。

1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。

例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。

对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。

然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。

因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。

2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。

变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。

微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。

3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。

这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。

数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。

但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。

总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。

通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。

schrodinger方程

Schrödinger方程简介Schrödinger方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了量子系统的演化和波函数的行为。

由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，因此也被称为薛定谔方程。

Schrödinger方程是一个偏微分方程，用于描述粒子在势场中的运动。

它以波函数（或称为量子态）作为基本变量，并通过该波函数来计算粒子在不同位置和时间的概率分布。

通过解析或数值方法求解Schrödinger方程，我们可以得到粒子在不同状态下的能量、位置以及其他物理性质。

方程形式Schrödinger方程可以根据系统的性质和假设而有所不同。

下面是一般形式的时间依赖Schrödinger方程：其中，•ψ是波函数，表示粒子在空间中的状态；•i是虚数单位；•ℏ是约化普朗克常数；•∂ψ/∂t表示波函数随时间的变化；•H是哈密顿算符，描述了系统的总能量。

这个方程可以看作是对经典力学中的哈密顿-雅可比方程的量子化。

波函数解释波函数ψ是Schrödinger方程的解，它包含了关于粒子位置和动量的所有信息。

根据波函数的模值平方|ψ|^2，我们可以计算出粒子在不同位置上的概率分布。

这意味着波函数并不直接表示粒子的位置，而是给出了可能找到粒子在某个位置上的概率。

由于波函数是复数，我们无法直接观测到它。

但是通过测量物理量（如能量、动量等），我们可以得到与波函数相关的实际结果。

哈密顿算符哈密顿算符H在Schrödinger方程中起着关键作用。

它描述了系统的总能量，并且根据系统性质和假设有不同形式。

例如，在自由粒子情况下，哈密顿算符可以写为动能项和势能项之和：其中，•T表示动能算符；•V表示势能。

通过将哈密顿算符应用于波函数，我们可以得到Schrödinger方程的具体形式，并进一步求解波函数。

解Schrödinger方程求解Schrödinger方程是理解量子力学中物理系统行为的关键。

薛定谔方程

在1925年，瑞士苏黎世每两周会举办一场物理学术研讨会。有一次，主办者彼得·德拜邀请薛定谔讲述关于德布罗意的波粒二象性博士论文。那段时期，薛定谔正在研究气体理论，他从阅读爱因斯坦关于玻色-爱因斯坦统计的论述中，接触德布罗意的博士论文，在这方面有很精深的理解。在研讨会里，他将波粒二象性阐述的淋漓尽致，大家都听的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波动性，应该有一种能够正确描述这种量子性质的波动方程。他的意见给予薛定谔极大的启发与鼓舞，他开始寻找这波动方程。
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这种形式下的薛定谔方程为

薛定谔方程名词解释

薛定谔方程名词解释
薛定谔方程是一个重要的理论模型，它使物理学家们能够更进一步地了解和解释量子力学中的现象。

它于1926年被提出，由荷兰物理学家薛定谔提出。

薛定谔方程描述了量子力学中描述双原子共振和双原子退相干特性时所需的方程，从而解释普朗克定律中自由粒子的行为。

薛定谔方程是一个基于能量的矩阵方程，它是由薛定谔推导出来的。

它的公式是：
HΨ = EΨ
其中，H是原子的能级矩阵，Ψ是量子态的矢量，E是能量的标量。

薛定谔方程有三个重要的功能：
首先，它可以用来描述量子力学中的双原子共振，它可以用来解释双原子间的能量级和轨道混合情况，从而解释量子力学中双原子结构的概念。

其次，它可以用来解释双原子退相干特性。

双原子退相干指的是，在两个原子相互作用时，他们的总能量会减少，这一特性由薛定谔方程可以解释。

最后，薛定谔方程还可以应用于电子结构性质的计算，用来计算杂化理论中的电子结构性质。

薛定谔方程对于量子力学的研究有重要意义，它为物理学家们提供了量子力学中最基本的模型，使他们能够更深入地了解和研究相关
现象。

薛定谔方程也为建立一个现实世界中可行的量子力学模型打下了基础，从而为量子力学的研究提供了一条新的发展道路。

总之，薛定谔方程是一个重要的理论模型，它可以用来描述量子力学中的双原子共振和双原子退相干特性，并且可以用来计算杂化理论中的电子结构性质。

它的出现，是量子力学研究的一个重大突破，也为量子力学的未来发展提供了指引。

薛定谔方程课件.ppt

(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：
一个是变量为t 的方程 i d f E d t
f 可以把它先解出来：
其解为
f
A
e
i
Et
……（★）
（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）
一个是变量为x 的方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub ，电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
硅晶体表面的STM扫描图象
能量连续，量子经典。
En
n2
22 2ma 2
,
3.最低能量不为零（称零点能）
22
———符合不确定关系。
E1 2ma 2 0
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布与经典粒子不同。
但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现的
概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节点）。
n 2
En
在大量子数的极限情况下，量子体系行为将趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。
其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。
由上面可以看出:
(x,t) 2
(
x
)
e
i
t
2
(x) 2
即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数，上面（★）式是 (x)满足的方程，

2-薛定谔方程

二、薛定鄂方程的性质与求解方法对给定的体系（给定势能函数），如何得到体系的波函数是量子力学的另一个基本内容。

体系状态波函数随时间的演化满足薛定鄂方程（相当于经典力学中的牛顿运动方程）：ˆiH t∂ψ=ψ∂ 其中哈密顿算苻（能量算苻）222ˆˆ22p H V V m m=+=-∇+ 2222222x y z∂∂∂∇=++∂∂∂（直角系）2222222211111sin .sin sin r r r r r r θθθθθθφ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（球坐标系）薛定鄂方程的性质与特点：1. 方程是线性的，满足态叠加原理，如果1ψ和2ψ都是方程的解，那么它们的线性叠加21ψ+ψb a 也是方程的解。

2. 方程是非相对论的，时间t 和坐标xyz 地位不等价，t 是作为一个参数，而坐标是算符。

3. 如果定义几率流密度()ψ∇ψ-ψ∇ψ=**2mi J 可以得到连续性方程0J =⋅∇+∂ψ∂t2这表明空间一体积内几率密度随时间的变化等于从包围这体积面积流入（出）的几率流密度量值。

4.波函数的归一化性质不随时间改变。

（这一点非常关键，如果波函数在0t时刻是归一化的，而随时间的演化(波函数按薛定鄂=方程演化)，它不再是归一化的，整个量子力学体系将崩溃）5. 如果两个波函数ψ1和ψ2在0t时刻是正交的，则在以后任意时=刻也是正交的。

求解薛定鄂方程的一般方法：如果势能函数不显含时间（绝大多数是这种情况），通过分离变量，得到定态薛定鄂方程（能量本征值方程）ˆH E ψ=ψ 由此解出一组能量本征函数{}n ψ和能量本征值{}n E ，能量本征函数组成正交归一系。

*mn mn d ψψτ=δ⎰ 分立谱*'(')d λλψψτ=δλ-λ⎰ 连续谱分立谱是物理上可实现的态，而连续谱不是，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。

定态解为/(,)()n iE t n ne -ψ=ψr tr 薛定鄂方程的一般解为)/ex p()(),( t iE c n n n -=ψ∑r t r nψ （分立谱）dE iEt c E E )/exp(),( -=ψ⎰ψt r （连续谱）叠加系数由t=0时刻的初始条件定。

薛定谔方程的基本概念

薛定谔方程的基本概念薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一，它的提出是量子力学的重要里程碑。

本文将介绍薛定谔方程的基本概念，包括方程的起源、数学形式以及其在量子力学中的应用。

1. 薛定谔方程的起源量子力学是研究微观世界的物理学分支，旨在解释微观粒子的行为和性质。

20世纪初，量子力学的奠基人之一薛定谔（ErwinSchrödinger）提出了薛定谔方程，以描述微观粒子的运动和状态演化。

2. 薛定谔方程的数学形式薛定谔方程是一个偏微分方程，它用于描述微观粒子的波函数随时间和空间的演化。

薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∇²ψ + Vψ其中，ψ是微观粒子的波函数，t代表时间，m代表粒子的质量，V代表势能。

方程右边第一项描述了粒子的动能，第二项描述了势能对波函数的影响。

3. 波函数和可观测量波函数是薛定谔方程的解，它包含了微观粒子的全部信息。

通过波函数，我们可以计算得到粒子的各种可观测量，如位置、动量、能量等。

这些可观测量是通过对波函数进行数学操作得到的。

4. 薛定谔方程的解和物理意义薛定谔方程的解即波函数可以用于描述微观粒子的各种性质和行为。

波函数的平方的模的绝对值的平方表示了粒子在不同位置出现的概率密度。

因此，薛定谔方程不仅提供了描述微观世界的工具，也提供了一种概率解释。

5. 应用举例：粒子在势阱中的行为薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。

一个典型的例子是研究粒子在势阱中的行为。

势阱是一个具有一定势能的区域，它可以代表原子、分子等微观体系。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在势阱中的能级、波函数的形状等信息。

结语：薛定谔方程作为量子力学的基本方程，为我们理解微观世界提供了重要的工具。

它的提出使得我们能够描述和预测微观粒子的行为，并且在研究原子、分子等微观体系时有着广泛的应用。

通过深入研究薛定谔方程，我们可以更好地理解和探索量子世界的奥秘。

（注：本文参考了量子力学和薛定谔方程的基本概念，并根据题目要求进行了适当的调整和结构化。

薛定谔方程名词解释

薛定谔方程名词解释薛定谔方程，又称“薛定谔等式”，是量子力学中最重要的基本方程之一。

由俄国物理学家薛定谔于1925年创立，一直是量子力学理论的基础，被称为“量子力学的常律”，也是现代量子物理学理论最重要的基础方程之一。

薛定谔方程是一个展示量子物质的发展过程的有效的数学描述式。

它是对微观客观世界的细节描述，描述客观世界的力学原理以及微观系统的运行机制，它包括了量子力学重要的基本原理，如不确定性原理，相互作用原理和简并原理等，它也是物理学家理解量子物质及其运动的基础。

薛定谔方程的最多的格式有能量与动量的关系式，二阶偏微分方程，它可以用来描述量子系统的行为，如量子对的结构以及相互作用的结果。

因此，薛定谔方程在量子物理学的研究中起着非常重要的作用。

薛定谔方程以简洁的数学模型描述了量子物质的发展历程，主要由五个特征组成：首先，量子物质属于自身不可观测的状态，即量子力学中描述的状态称为量子态；其次，量子物质在空间中的分布的发展是随机的，因此，它的行为是概率的；第三，量子物质的发展过程受到它本身和外部环境的交互影响；第四，量子物质在空间中受物理场（如实验室电场、磁场、重力场等）的影响；第五，量子物质的发展过程由多个因素构成，其结果是态对态的转化，这也是薛定谔方程最重要的特点之一。

薛定谔方程由两个重要的部分组成：等号左边是波函数，它描述了物体的状态，而等号右边代表了物体的能量，以及外部环境对物体的影响。

由此可见，薛定谔方程展示了复杂的量子系统和它们之间的相互作用，有助于我们对量子物质的本质有更深入的理解。

薛定谔方程的建立不仅为物理学研究奠定了重要的理论基础，而且在应用领域也起着至关重要的作用。

目前，薛定谔方程已经广泛应用于电子显微镜量子计算、量子通信、量子计算机等领域，其结果也可以用于激光和太赫兹技术、核聚变、太空探测等。

总之，薛定谔方程是量子物理学和量子技术研究领域中最重要的基础方程之一。

它描述了不可观测的量子物质及其相互作用的动态发展，并为我们揭示了复杂的量子系统及其相互作用的本质。

量子力学中的薛定谔方程解析

量子力学中的薛定谔方程解析量子力学是研究微观世界中的粒子行为和现象的重要分支学科。

其中，薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了粒子的波函数演化规律。

本文将介绍薛定谔方程的基本原理和解析方法。

一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，用于描述微观粒子的行为。

薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是粒子的波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。

该方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的变化。

二、薛定谔方程的解析方法在实际应用中，我们通常采用特定形式的波函数来解析求解薛定谔方程。

下面介绍几种常见的薛定谔方程解析方法。

1. 分离变量法分离变量法是一种常用的薛定谔方程解析方法。

它的基本思想是将多变量波函数分解为若干个单变量的乘积形式，然后将其代入薛定谔方程进行求解。

2. 平面波方法平面波方法是一种常见的简化模型，适用于特定情况下的薛定谔方程。

该方法假设波函数可以用平面波的线性叠加表示，然后通过代入薛定谔方程得到对应的能量本征值和本征函数。

3. 变分法变分法是薛定谔方程求解的一种非常灵活的方法。

该方法通过引入一组试探波函数，利用变分原理寻找使波函数能量达到最小值的解。

4. 系统对称性方法系统对称性方法适用于具有特殊对称性的系统。

通过利用系统的对称性，可以简化薛定谔方程的求解过程，并得到更加精确的解析解。

三、薛定谔方程的应用与发展薛定谔方程不仅在量子力学的基础研究中发挥着重要作用，也广泛应用于各个实际领域。

在原子物理学中，薛定谔方程用于描述电子在原子中的运动轨迹和能级结构，揭示了量子力学的基本规律，对原子光谱和分子结构的解释有重要贡献。

在固体物理学中，薛定谔方程应用于研究电子在晶体中的行为，解释了导电性等晶体性质，为材料科学和电子器件的发展提供理论基础。

在量子信息科学中，薛定谔方程被用于研究量子态的演化和测量，为量子计算和量子通信等领域的发展带来了新的可能性。

薛定谔方程名词解释

薛定谔方程名词解释薛定谔方程，又被称为神奇的薛定谔方程，是一种有着深刻历史意义的重要数学方程。

它最早是由俄国物理学家沙洛斯拉夫薛定谔提出，他是如今量子力学领域中最重要的人物之一，也是其中最有创造力的科学家之一。

薛定谔方程描述的是一个粒子系统的行为，这个“系统”可以是原子、分子、原子团等。

它可以准确地解释物理系统中粒子的性质和运动规律，并被用来描述关于这些系统的量子性态变化。

薛定谔方程的最大特点在于它能建立时空的关系，而典型的物理方程只表达物理量的关系。

在解决难题的时候，由于薛定谔方程考虑了同时空的因素，它的精准度要远高于以往的方法，因此它成为研究中子和原子能量水平的有力工具，也成为量子力学研究的重要基础。

除了用于研究物质粒子运动规律，薛定谔方程还被用于研究其他领域，例如量子电动力学、量子机器人设计等，以及量子纠缠等。

由于薛定谔方程的普适性，在未来的研究中，它也将发挥重要作用。

薛定谔方程的构成如下：它是一个带有时间变量t的复变函数，由一个称为沙米科（Schrdinger）方程的非线性泛函微分方程保证，它具有解析性质，它具有量子算符表达式的形式，包括质量、动能和势能等。

准确地说，薛定谔方程只是一种物理方程，但它可以提供一个精准的量子力学系统的模型，这一点非常重要。

这些数学方程可以用来描述这些系统的性质，它提供的信息非常有用，可用来研究物质的性质。

它也可以用来描述一个系统受外力影响时的状态，研究这些系统的变化规律，从而推断出特定系统的性质。

薛定谔方程涉及到的领域非常广泛，从原子物理研究，化学研究，到生物科学研究，都可以从薛定谔方程中获得有用的信息，这些信息可以用来提高我们对物质性质的认识。

此外，它还可以用来模拟物质的行为，从而更好地理解物理现象，帮助我们更好地利用物理现象的能量。

因此，薛定谔方程是一种具有重要意义的数学方程，其应用非常广泛，可以被应用于多个领域，是量子力学研究和科学实验研究的重要支柱。

第一章薛定谔方程

第一章薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的基础方程之一，描述了微观粒子的运动状态和演化规律。

它的提出对于量子力学的发展产生了深远的影响，并深刻改变了人们对世界的认识。

本文将围绕着展开讨论，探究其背后所蕴含的深刻物理学原理。

首先，我们来回顾一下薛定谔方程的提出背景。

20世纪初，物理学家们在研究微观粒子的运动规律时，遇到了经典物理学无法解释的种种难题。

经典力学在描述微观粒子的行为时无法给出合理的解释，因此人们渐渐意识到需要一种全新的理论来描述这些微小世界中的规律。

正是在这样的背景下，薛定谔方程应运而生。

薛定谔方程的提出，标志着量子力学的诞生。

薛定谔方程不同于经典物理学中的牛顿力学方程，它描述的是微观粒子的波函数随时间的演化，而非粒子的轨迹和速度。

通过对波函数的求解，我们可以得到微观粒子在不同时刻的位置、动量以及其他物理量的概率分布。

这种概率性描述方式，颠覆了人们对于物质世界运动规律的传统认识，揭示了微观粒子背后隐藏的深奥规律。

薛定谔方程的提出，引发了人们对于量子力学本质的讨论。

在量子力学中，波函数的叠加原理和不确定性原理等概念颠覆了人们对于经典物理学中确定性原理的理解。

薛定谔方程的波函数解释了微观粒子的波粒二象性，即微粒既具有粒子的离散性，又具有波的波动性。

这种全新的物理学范式挑战了人们对世界的认知，促使人们重新审视自然界中的种种现象。

薛定谔方程在理论物理学中有着广泛的应用。

量子力学作为现代物理学的核心理论，已经在众多领域展现了其强大的解释和预测能力。

薛定谔方程在固体物理、量子化学、粒子物理等领域都有着重要的应用，为人们深入理解微观世界提供了有效的工具和方法。

薛定谔方程的解析、数值求解和近似方法已经成为当今物理学研究中不可或缺的一部分。

除了在理论物理学中的应用，薛定谔方程还对实验物理学的发展产生了深远的影响。

量子力学中的许多理论预言已经得到了实验证实，如双缝实验、量子隧穿现象等。

这些实验证实不仅证明了薛定谔方程的正确性，也进一步深化了人们对量子力学的理解。

2薛定谔方程

2 2 2 2
2 U ( r ) ( r ) E ( r )....( 21) 2m
2
数学上：E 不论取何值，方程都有解。物理上： E 只有取一些特定值，方程的解才能满足波函数的条件（单值、有限、连续）。满足方程的特定的E 值，称为能量本征值。 ψE称为与E对应的本征波函数。定态：
而在经典力学中，改变宏观粒子运动状态的原因是作用在粒子上的力。练习二十五(3,4)
哈密顿（Hamilton）量
2 ˆ2 p 2 ˆ H U (r , t ) U (r , t ) 2m 2m
若U不显含时间，则H 称为能量算符。
ˆ i H t
2 x
将（5）式看成一般情况下的特例：
[ E U ( x . t )] ( 9 ) 2 i E ( 4 ) 2m x t
由（4）式：
2 2 i U ( x.t ) (10) 2 2m x t 2 2 i U ( x.t ) (11) 2 t 2m x
同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。
波函数的引入
运动状态的描述：运动规律的描述：
宏观物体
r , mv F ma
微观物体(具有波粒二象性粒子)：
运动状态的描述：波函数运动规律的描述：薛定谔方程
由经典物理知：频率为、波长为、沿 X 方向传播的平面余弦波可表示为:
2 2 x 2
(3)式 ( / 2m) 2 2 2 Px (5) 2 2m x 2m
2
（1）式对x求二阶偏导数：

张丹海《简明大学物理》11-7 薛定谔方程

得
f (t ) 2 i (r ) f (t )( V ) (r ) t 2m
2
两边同除以 Ψ ( r , t ) Ψ ( r ) f ( t ) 得
i f (t ) f (t ) t 1 2 (r ) V ( r ) 2m
上页
下页
返回
帮助
11-7 薛定谔方程
第十一章量子物理基础
扫描遂穿显微镜 ( STM )原理图
上页
下页
返回
帮助
11-7 薛定谔方程
第十一章量子物理基础
扫描隧道显微镜中的原子形象
量子围栏照片
上页
下页
返回
帮助
0 xa
2
d (x) dx
2m E
2
E ( x )
2m
令 k
d
2
dx
2
k 0
2
上式的通解为
( x ) A sin kx B cos kx
上页下页返回帮助
11-7 薛定谔方程
第十一章量子物理基础
( x ) A sin kx B cos kx
粒子的能量虽不足以超越势垒 , 但在势垒中似乎有一个隧道, 入能使少量粒子穿过而进的区域 , 所以人
(x)

1

2

3
x a
o
a
x
们形象地称之为隧道效应。
隧道效应的本质：来源于微观粒子的波粒二相。
上页
下页
返回
帮助
11-7 薛定谔方程
应用
第十一章量子物理基础
1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面原子排列的状况。1986年宾尼希又研制了原子力显微镜。

薛定谔方程

薛定谔方程
奥地利著名物理学家埃尔温·薛定谔是著名的量子力学奠基者之一，前两年，他因为“薛定谔的猫”大火了一把。

但必须说明的是，首先薛定谔不姓薛，他是奥地利物理学家，其次“薛定谔的猫”说的也不是猫的事。

事实上，压根儿就没有这么一只“猫”，这里的猫是代指，指的是一个理论实验。

好了，下面我们来说说正题——薛定谔方程。

薛定谔方程是薛定谔于1926年提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。

它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动。

每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

这样的解释同学们能接受吗？接受不了就先了解一下吧！总而言之，薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式之一。

意义：薛定谔方程在量子力学中的意义与牛顿第二定律在经典力学中的意义一样，它揭示了微观物理世界物质运动的基本規律。

由于对量子力学做出了杰出贡献，薛定谔获得了1933年诺贝尔物理学奖。

知识点：什么是薛定谔的猫？
相比薛定谔和薛定谔方程，可能同学们更熟悉“薛定谔的猫”，可大家真的知道“薛定谔的猫”指的是什么吗？
“薛定谔的猫”的官方称呼应该是——薛定谔猫佯谬，是薛定谔为了反驳哥本哈根学派（一个科学流派）的一种科学理论而设计的一个理论实验。

也就是说，“薛定谔的猫”是理论上的，这个实验实际上没有完成，所以也不存在这只猫。

薛定谔方程的推导过程

薛定谔方程的推导过程
《薛定谔方程的推导过程》
薛定谔方程是一个重要的量子力学方程，它是由德国物理学家薛定谔于1925年提出的。

它可以用来描述物质的量子性质，并且推导出物质的能量状态。

首先，薛定谔方程的推导过程是基于原子模型，即原子由电子、质子和中子组成，而电子又是由电子云组成的。

这个模型认为，电子在原子内部以某种规律运动，并且电子的运动受到原子内部的电场和磁场的影响。

其次，薛定谔方程的推导过程是基于量子力学的原理，即电子的运动是有限的，而且它的能量只能处于一定的能量状态。

这意味着，电子在原子内部的运动受到原子内部的电场和磁场的限制，因此，电子的能量也只能处于一定的能量状态。

最后，薛定谔方程的推导过程是基于量子力学的假设，即电子在原子内部的运动受到原子内部的电场和磁场的影响，而这些电场和磁场可以用一个偏微分方程来描述，这就是薛定谔方程。

薛定谔方程是基于原子模型、量子力学和偏微分方程推导出来的，它可以用来描述物质的量子性质，并且推导出物质的能量状态。