薛定谔方程一维情况
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d 2 2m 2 E 0 (0 x a ) 2 dx
O
a
x
d 2 2m 2 E 0 ( x 0, x a ) 2 dx
第5页 共30页
2. 求解波函数 d 2 2m 2 E 0 (0 x a ) 2 dx
d 2 2m 2 E 0 ( x 0, x a ) 2 dx
电子云重叠，由于隧 道效应逸出的电子
面间距异常敏感 I U e A / s 通过探测物质表面的隧道电流来分辨其表面特征
扫描隧道显微镜的两种工作模式： 恒电流模式 恒高度模式
第24页 共30页
大学物理
I U e
A/ s
STM特点： 具有原子级高分辨率。
分辨率
xy方向
0.2nm
O
a
x
1 ( 0) 2 ( 0) d 1 d 2
dx dx 2 (a ) 3 (a ) ( 0)
可解得
( 0)
A2 , A3 B1 , B2
第20页 共30页
d 2 d 3 (a ) (a ) dx dx
大学物理
U
入射波+反射波
U0
透射波
O 经典
E U0
E3 9E1
E2 4E1
E1
n =2
n =1
O
a
x
O
a
x
第12页 共30页
大学物理
Ψ x, t
E4 16E1
x
2
n =4 n =3
n =4
E3 9E1
n =3
n =2 n =1
E2 4E1
E1
O
n =2 n =1 a x
O
a
x
两端为波节， |2 0， 粒子不能逸出势阱。 |Ψ
ik1x
ik1x
ik2 x
1
( x 0)
大学物理
U
通解:
Baidu Nhomakorabea
2 A2 e
ik2 x
1
B2 e
(0 x a)
U0
3 A3 eik x B3 eik x ( x a)
由 x a 处无反射波： B3 0
令 A 1 （以入射波强度为标准） 1
由波函数的 标准条件得
2
大学物理
d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0 2 dx
2 1
2m 2mE 2 令 k 2 k2 2 ( E U 0 ) 1 A1 eik1x B1 eik1x ( x 0)
通解:
2 2
d2 2 k2 0 2 dx
2 A2 eik x B2 eik x (0 x a)
U U
o
U
a
o
a
第4页 共30页
求解步骤： 1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。 设粒子在一维无限深势阱运动 U 0 (0 < x < a) 势函数 U(x) =
大学物理
x 0, x a
代入一维定态薛定谔方程的 d 2 2m 一般形式 2 ( E U ) 0 2 dx
量子：
2 n πx sin 振幅函数 ( x) a a
i 2 n π x Et (n 1,2,3,) 波函数 Ψ ( x, t ) sin e a a 2 2 nπx 2 2 概率密度 | Ψ ( x, t ) | | ( x ) | sin a a 波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒子 出现的概率不相同。
2
d 2 3) 令： x 0 dx
得：
x0
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
第17页 共30页
二、势垒 隧道效应 模型：金属表面的势能墙不是 无限高，而是有限值。
大学物理
U
U0
势函数：
U (x )
0
x < 0,
x>a
U0
代入 得
0 xa
d 2 2m 2 ( E U ) 0 2 dx
2 2x P | | d x sin dx a a 0 0
4 4 2 a a
2 a 2 π x πx sin d( ) aπ a a 0
4
a
1 2 2πx 1 2 πx ( sin ) π a 4 a
a
4
9.08%
0
第14页 共30页
大学物理
练习
已知：一粒子分布函数为 cx( L x) 其中L为无限深势阱宽度，c 待定。 求：0 ~ L 区 间 发 现 粒 子 的 概 率 。 3 由归一化条件
z 方向
0.005nm
在原子尺度探测
在大气压下或真空中均能工作。
无损探测 ，可获取物质表面的三维图像。
可进行表面结构研究, 实现表面纳米( 109 m) 级加工。
第25页 共30页
大学物理
1959年：费曼演讲《在底部还有很大的空间》
从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有 用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子 甚至原子出发组装制造物品的可能性……如果有一天可以按 人的意志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？
第11页 共30页
大学物理
i 2 n π x Et 2 2 2 2 nπx | Ψ ( x, t ) | | ( x ) | sin Ψ ( x, t ) sin e a a a a
Ψ x, t
E4 16E1
x
n =4 n =3 n =2 n =1
2
n =4 n =3
2
2 A a
于是： ( x )
2 n πx sin a a
(n 1,2,3,)
i Et
2 nπ x Ψ ( x, t ) sin e a a
注意： 解为驻波形式
(n 1,2,3,)
第8页 共30页
大学物理
4.讨论解的物理意义 1) 无限深势阱中粒子的能量量子化 2mE n 2 由 k 2 ,k a k 22 n 2 π 2 2 得 E n 2 E1 (n 1,2,3,) 2m 2m a2
2 2
π E En 1 En 2n 1 2 2m a
E n=4
n E a E
n=3 n=2 n=1
ma E 0
2 2
回到经典情况，能量连续。
O
a
x
第10页 共30页
大学物理
2) 粒子在势阱中的概率分布 经典： 势阱中U = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等
大学物理
U
O
a
x
粒子不能逸出势阱, (x0, xa) 区域 0
d 2 2m E 由 2 0 2 dx
0 x a
2mE 令k 2
2
d 2 得 k 2 0 dx 2
通解: ( x) Asin kx B coskx
积分常数
第6页 共30页
阱内各位置粒子出现概率不同， |Ψ |2峰值处较大。
能级越高，驻波波长越短，峰值数增多。
|Ψ |2 相同，量子 经典 归一化条件，曲线下面积相等。
第13页 共30页
大学物理
练习
粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，处于 a n=1状态， 求在0 ~ 区间发现该粒子的概率 。 4 2 2 πx 2 解： | | sin a a
第15页 共30页
A 练习 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 x 1 ix 1) 将此波函数归一化。
大学物理
2) 求出粒子按坐标的概率分布函数和概率密度。 3) 在何处找到粒子的概率密度最大？
解： 1) 由归一化条件
A A2 2 dx dx A arctg x A2 π 1 1 ix 1 x2
解：
1 2 5 | | dx c x ( L x) dx 30 c L 1 0 0
2 2 2 2
L
L
得
30 c 5 L
L 3 2
30 5 x( L x ) L
L 3
30 2 17 2 P | | dx 5 x ( L x ) dx 0.21 L 81 0 0
3 A3 e B3 e
ik1x ik1x
( x a)
E i ( k1x t )
乘e
i Et
第一项：向x方向传播的波 [例 A1 e
]
第二项：向-x方向传播的波 [例 B1 e
E i ( k1 x t )
]
第19页 共30页
1 A1 e B1 e
nπ k (n 1,2,3,) a
nπ ( x ) A sin x (n 1,2,3,) a
第7页 共30页
nπ ( x ) A sin x (n 1,2,3,) a
大学物理
由归一化条件
a *
| |2dx 1
2
n πx d x A sin a d x 1 0
a 量子
x
越过势垒，只透 射，不反射
既透射，也反射
( B1 0)
E U0
不能越过势垒， 只反射，不透射
既透射，也反射
( A3 0)
第21页 共30页
大学物理
U
入射波+反射波
U0 透射波
x O a 隧道效应： 总能量E小于势垒高度U0的粒子也 有可能贯穿势垒，到达另侧 贯穿系数：
| | T | |
同学们好！
上讲内容： 1) 微观粒子的波函数描述。 2) 波函数的统计解释。
大学物理
t 时刻，出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 t 时刻，粒子出现在空间(x,y,z)点附近单位体积 内的概率
t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
第2页 共30页
大学物理
3. 一维定态薛定谔方程
第3页 共30页
大学物理
第四节 薛定谔方程应用举例(一维问题) 一、一维无限深势阱 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题简化模型。 例如： 金属中自由电子 受规则排列的晶格点阵作用 简 相互碰撞(简化：交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势 能墙的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表面 ——无限深势阱 可解释金属导热、导电、顺磁性…...
d 2 ( x ) 2m 2 ( E U ) ( x ) 0 2 dx
三维定态薛定谔方程
2m ( x, y , z ) 2 ( E U ) ( x, y , z ) 0
2
一般形式薛定谔方程
ˆ Ψ i Ψ H t
2 2 ˆ H U (r ) 2m
2 3 x a 2 1 x 0
e
2 a
2 m (U0 E )
a T U0
第22页 共30页
应用举例
大学物理
扫描隧穿显微镜 (STM) (获1986年诺贝尔物理奖)
CSTM——9000型扫描隧道显微镜
第23页 共30页
样品表面
大学物理
探针表面 加电压形成隧穿电流 —— 对表
1 得： A π 1 x π 1 ix
第16页 共30页
2
2) 概率分布函数为
大学物理
A 2 A2 P( x ) ( x ) 2d x dx dx 2 1 ix 1 x
概率密度为
x
2
1 1 π 1 x 2 π 1 ix
E
E只能取一系列分离值 2 E1 n
π2 2 式中 E1 2m a2
O 粒子不可能静止不动，满足不确定关系
n=4 n=3 n=2 n=1
最小能量E1即零点能,
a
x
第9页 共30页
大学物理
由
k 22 n 2 π 2 2 E n 2 E1 (n 1,2,3,) 2m 2m a2
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数A、B ( x) Asin kx B coskx 由波函数标准条件(单值、有限、 连续)得边界条件：
U
大学物理
(0) (a ) 0
由（0） 0
得 B=0
( x) Asin kx
O
a
x
由 (a) 0
得 A sin ka 0
d 2 2m E 2 0 2 dx
d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0 2 dx
O
a
x
(x<0
x > a)
(0 x a )
第18页 共30页
d 2m E 2 0 2 dx
2
( x < 0, x > a)
(0 x a )
d k12 0 2 dx
O
a
x
d 2 2m 2 E 0 ( x 0, x a ) 2 dx
第5页 共30页
2. 求解波函数 d 2 2m 2 E 0 (0 x a ) 2 dx
d 2 2m 2 E 0 ( x 0, x a ) 2 dx
电子云重叠，由于隧 道效应逸出的电子
面间距异常敏感 I U e A / s 通过探测物质表面的隧道电流来分辨其表面特征
扫描隧道显微镜的两种工作模式： 恒电流模式 恒高度模式
第24页 共30页
大学物理
I U e
A/ s
STM特点： 具有原子级高分辨率。
分辨率
xy方向
0.2nm
O
a
x
1 ( 0) 2 ( 0) d 1 d 2
dx dx 2 (a ) 3 (a ) ( 0)
可解得
( 0)
A2 , A3 B1 , B2
第20页 共30页
d 2 d 3 (a ) (a ) dx dx
大学物理
U
入射波+反射波
U0
透射波
O 经典
E U0
E3 9E1
E2 4E1
E1
n =2
n =1
O
a
x
O
a
x
第12页 共30页
大学物理
Ψ x, t
E4 16E1
x
2
n =4 n =3
n =4
E3 9E1
n =3
n =2 n =1
E2 4E1
E1
O
n =2 n =1 a x
O
a
x
两端为波节， |2 0， 粒子不能逸出势阱。 |Ψ
ik1x
ik1x
ik2 x
1
( x 0)
大学物理
U
通解:
Baidu Nhomakorabea
2 A2 e
ik2 x
1
B2 e
(0 x a)
U0
3 A3 eik x B3 eik x ( x a)
由 x a 处无反射波： B3 0
令 A 1 （以入射波强度为标准） 1
由波函数的 标准条件得
2
大学物理
d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0 2 dx
2 1
2m 2mE 2 令 k 2 k2 2 ( E U 0 ) 1 A1 eik1x B1 eik1x ( x 0)
通解:
2 2
d2 2 k2 0 2 dx
2 A2 eik x B2 eik x (0 x a)
U U
o
U
a
o
a
第4页 共30页
求解步骤： 1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。 设粒子在一维无限深势阱运动 U 0 (0 < x < a) 势函数 U(x) =
大学物理
x 0, x a
代入一维定态薛定谔方程的 d 2 2m 一般形式 2 ( E U ) 0 2 dx
量子：
2 n πx sin 振幅函数 ( x) a a
i 2 n π x Et (n 1,2,3,) 波函数 Ψ ( x, t ) sin e a a 2 2 nπx 2 2 概率密度 | Ψ ( x, t ) | | ( x ) | sin a a 波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒子 出现的概率不相同。
2
d 2 3) 令： x 0 dx
得：
x0
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
第17页 共30页
二、势垒 隧道效应 模型：金属表面的势能墙不是 无限高，而是有限值。
大学物理
U
U0
势函数：
U (x )
0
x < 0,
x>a
U0
代入 得
0 xa
d 2 2m 2 ( E U ) 0 2 dx
2 2x P | | d x sin dx a a 0 0
4 4 2 a a
2 a 2 π x πx sin d( ) aπ a a 0
4
a
1 2 2πx 1 2 πx ( sin ) π a 4 a
a
4
9.08%
0
第14页 共30页
大学物理
练习
已知：一粒子分布函数为 cx( L x) 其中L为无限深势阱宽度，c 待定。 求：0 ~ L 区 间 发 现 粒 子 的 概 率 。 3 由归一化条件
z 方向
0.005nm
在原子尺度探测
在大气压下或真空中均能工作。
无损探测 ，可获取物质表面的三维图像。
可进行表面结构研究, 实现表面纳米( 109 m) 级加工。
第25页 共30页
大学物理
1959年：费曼演讲《在底部还有很大的空间》
从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有 用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子 甚至原子出发组装制造物品的可能性……如果有一天可以按 人的意志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？
第11页 共30页
大学物理
i 2 n π x Et 2 2 2 2 nπx | Ψ ( x, t ) | | ( x ) | sin Ψ ( x, t ) sin e a a a a
Ψ x, t
E4 16E1
x
n =4 n =3 n =2 n =1
2
n =4 n =3
2
2 A a
于是： ( x )
2 n πx sin a a
(n 1,2,3,)
i Et
2 nπ x Ψ ( x, t ) sin e a a
注意： 解为驻波形式
(n 1,2,3,)
第8页 共30页
大学物理
4.讨论解的物理意义 1) 无限深势阱中粒子的能量量子化 2mE n 2 由 k 2 ,k a k 22 n 2 π 2 2 得 E n 2 E1 (n 1,2,3,) 2m 2m a2
2 2
π E En 1 En 2n 1 2 2m a
E n=4
n E a E
n=3 n=2 n=1
ma E 0
2 2
回到经典情况，能量连续。
O
a
x
第10页 共30页
大学物理
2) 粒子在势阱中的概率分布 经典： 势阱中U = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等
大学物理
U
O
a
x
粒子不能逸出势阱, (x0, xa) 区域 0
d 2 2m E 由 2 0 2 dx
0 x a
2mE 令k 2
2
d 2 得 k 2 0 dx 2
通解: ( x) Asin kx B coskx
积分常数
第6页 共30页
阱内各位置粒子出现概率不同， |Ψ |2峰值处较大。
能级越高，驻波波长越短，峰值数增多。
|Ψ |2 相同，量子 经典 归一化条件，曲线下面积相等。
第13页 共30页
大学物理
练习
粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，处于 a n=1状态， 求在0 ~ 区间发现该粒子的概率 。 4 2 2 πx 2 解： | | sin a a
第15页 共30页
A 练习 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 x 1 ix 1) 将此波函数归一化。
大学物理
2) 求出粒子按坐标的概率分布函数和概率密度。 3) 在何处找到粒子的概率密度最大？
解： 1) 由归一化条件
A A2 2 dx dx A arctg x A2 π 1 1 ix 1 x2
解：
1 2 5 | | dx c x ( L x) dx 30 c L 1 0 0
2 2 2 2
L
L
得
30 c 5 L
L 3 2
30 5 x( L x ) L
L 3
30 2 17 2 P | | dx 5 x ( L x ) dx 0.21 L 81 0 0
3 A3 e B3 e
ik1x ik1x
( x a)
E i ( k1x t )
乘e
i Et
第一项：向x方向传播的波 [例 A1 e
]
第二项：向-x方向传播的波 [例 B1 e
E i ( k1 x t )
]
第19页 共30页
1 A1 e B1 e
nπ k (n 1,2,3,) a
nπ ( x ) A sin x (n 1,2,3,) a
第7页 共30页
nπ ( x ) A sin x (n 1,2,3,) a
大学物理
由归一化条件
a *
| |2dx 1
2
n πx d x A sin a d x 1 0
a 量子
x
越过势垒，只透 射，不反射
既透射，也反射
( B1 0)
E U0
不能越过势垒， 只反射，不透射
既透射，也反射
( A3 0)
第21页 共30页
大学物理
U
入射波+反射波
U0 透射波
x O a 隧道效应： 总能量E小于势垒高度U0的粒子也 有可能贯穿势垒，到达另侧 贯穿系数：
| | T | |
同学们好！
上讲内容： 1) 微观粒子的波函数描述。 2) 波函数的统计解释。
大学物理
t 时刻，出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 t 时刻，粒子出现在空间(x,y,z)点附近单位体积 内的概率
t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
第2页 共30页
大学物理
3. 一维定态薛定谔方程
第3页 共30页
大学物理
第四节 薛定谔方程应用举例(一维问题) 一、一维无限深势阱 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题简化模型。 例如： 金属中自由电子 受规则排列的晶格点阵作用 简 相互碰撞(简化：交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势 能墙的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表面 ——无限深势阱 可解释金属导热、导电、顺磁性…...
d 2 ( x ) 2m 2 ( E U ) ( x ) 0 2 dx
三维定态薛定谔方程
2m ( x, y , z ) 2 ( E U ) ( x, y , z ) 0
2
一般形式薛定谔方程
ˆ Ψ i Ψ H t
2 2 ˆ H U (r ) 2m
2 3 x a 2 1 x 0
e
2 a
2 m (U0 E )
a T U0
第22页 共30页
应用举例
大学物理
扫描隧穿显微镜 (STM) (获1986年诺贝尔物理奖)
CSTM——9000型扫描隧道显微镜
第23页 共30页
样品表面
大学物理
探针表面 加电压形成隧穿电流 —— 对表
1 得： A π 1 x π 1 ix
第16页 共30页
2
2) 概率分布函数为
大学物理
A 2 A2 P( x ) ( x ) 2d x dx dx 2 1 ix 1 x
概率密度为
x
2
1 1 π 1 x 2 π 1 ix
E
E只能取一系列分离值 2 E1 n
π2 2 式中 E1 2m a2
O 粒子不可能静止不动，满足不确定关系
n=4 n=3 n=2 n=1
最小能量E1即零点能,
a
x
第9页 共30页
大学物理
由
k 22 n 2 π 2 2 E n 2 E1 (n 1,2,3,) 2m 2m a2
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数A、B ( x) Asin kx B coskx 由波函数标准条件(单值、有限、 连续)得边界条件：
U
大学物理
(0) (a ) 0
由（0） 0
得 B=0
( x) Asin kx
O
a
x
由 (a) 0
得 A sin ka 0
d 2 2m E 2 0 2 dx
d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0 2 dx
O
a
x
(x<0
x > a)
(0 x a )
第18页 共30页
d 2m E 2 0 2 dx
2
( x < 0, x > a)
(0 x a )
d k12 0 2 dx