薛定谔方程一维情况
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程
k0 a =0 , k0 a = 2π ,4π ,6π ,… 2 (8) k0 a k0 a = π ,3π ,5π ,… 奇宇称 cos 2 = 0 , 亦即阱口刚好出现束缚态能级的条件为 k0 = nπ , n = 1 , 2 ,3 ,… (9)
偶宇称 sin
(10) 即 2mV0 a2 h2 = n2π 2 . 2 2 2 一维势阱至少有一个束缚能级.因此, 如 2mV0a h < π , 2 2 2 只存在一个束缚态,偶宇称(基态). 如 2mV0a h = π , 除基态外,阱口将再出现一个奇宇称能级,共二个能级. 2 2 2 如 2mV0a h = (2π ) , 阱口将出现第三个能级(偶宇称). 依次类推.由此可知,对于任何 V0a2值,束缚态能级总数 为 a Nn = 1+ 2mV0 , (11) hπ
ψ = sin η x
x <a
ψ = D sin k ( L − x ) a< x <L (-L<x<-a区间的ψ 可以按偶函数条件写出）能级方程为
(12)
kctgk ( L − a ) = −η cthη a,
(13)
11
讨论
如
a → 0, V0 → ∞,
2aV0 → U0
0
，则
−a
∫ V ( x)dx = 2aV
∑
C n (ih
(12 )
ˆ = ih 其中 x
∂ ∂p
(13 )
代入式(10),即得
p2 ∂ Ψ ( p) + V (ih )Ψ( p) = EΨ ( p) 2m ∂p (14)
例四 粒子在图示之势场： 粒子在图示之势场：
V0 , V ( x ) = 0 , ∞,
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
2
2mE
2
2
, n 1, 2 ,
En n
π
2 2
,
n 1, 2 ,
2ma
n 为主量子数，表明粒子的能量是量子化的。
大学物理 第三次修订本
13
第15章 量子物理基础
波函数
nπ Ψ n x A sin a
2 a
x , n 1, 2 ,
i t Ψ (r , t ) Ψ (r )e
E
定态薛定谔方程
2m 2 2 2 Ψ( r ) 2 E V Ψ(r ) 0 x y z
2 2 2
若粒子在一维空间运动，则
d Ψ x
2
dx
2
2m
大学物理 第三次修订本
o
a
x
势能曲线
11
第15章 量子物理基础
薛定谔方程
d Ψ x
2
dx
2
2mE
2
Ψ x 0
d Ψ x
2
,0 xa
k Ψ x 0
2
令 k
2 mE
2
则
dx
2
方程通解
Ψ x A sin kx B cos kx
Ψ 利用边界条件 x = 0， 0 0 , 则 B = 0 。
物质波波函数是复数，它本身并不代表任 何可观测的物理量。 波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？
大学物理 第三次修订本
3
第15章 量子物理基础
1926年德国物理学家玻恩提出了物质波的 统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波, t 时刻粒子在空间 r 处附近的体积元 dV 中出现的 概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。
大学物理-一维定态薛定谔方程的应用
一维定态薛定谔方程的应用授课人：物理科学与技术学院势 阱日常生活中的各种井（阱）物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名水井窨井陷阱UxOaU()U x xOa∞∞00()0 , x aU x x x a≤≤⎧=⎨∞<>⎩这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念这样的势能函数称为 一维无限深势阱建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 222d()()()2d U x x E x m x ψψ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 222d ()()2d x E x m xψψ-=x x a U x 0 , ()<>→∞阱外( )： 令： 222mE k =得通解： ()sin()x A kx ψϕ=+ 微观粒子的能量不可能达到无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。
()0x ψ≡222d 0d k xψψ+=利用标准条件确定 和 k ϕ因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0A kx x ax x x ϕψ+≤≤⎧=⎨<>⎩，(0)sin 0A ψϕ== a A ka ()sin()0ψϕ=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数2220π()d sin d a n x x A x xa ψ+∞-∞=⎰⎰221A a =⋅= 2A a= n a x x a x ax x aπ2sin0()00 , ψ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩()π()sin 1,2,3n x A x n aψ==⋅⋅， 0ϕ=πn k a=()1,2,3n =⋅⋅⋅，微观粒子在势阱中的能量只能取一系列不连续的分立值，即能量是量子化的。
整数称为量子数 确定能量的可能取值n 由及 222mE k =πk an =得 ()2221,2,3,8n hma n E n ==⋅⋅⋅ 1n =时， 称基态能量 2128h E ma =2228n h n E ma=O4n =3n =2n =1n =基态2228n h n E ma=O4n =3n =2n =1n =基态能级间隔： ()212Δ218n n n h E E E n ma +=-=+2Δ1n E α∝表明： 当 时（宏观尺度）， a →∞Δ0n E →能级消失、能量连续分布，回归经典情况。
一维薛定谔方程求解
一维薛定谔方程求解
薛定谔方程是研究量子力学的基本方程之一，用于描述微观粒子（如电子、原子、分子等）在时间和空间中的运动和状态。
在一维情况下，薛定谔方程可以写为：
iψ(x,t)/t = -^2/2m ^2ψ(x,t)/x^2 + V(x)ψ(x,t) 其中，ψ(x,t)是波函数，描述了粒子在时空中的状态；m是粒子的质量；V(x)是势能函数，描述了粒子在不同位置的势能。
这个方程可以通过一些数值方法来求解，例如有限差分法、谱方法等。
其中，有限差分法是一种简单易懂的数值求解方法，它将微分方程转化为差分方程，通过在空间和时间上进行离散化，用有限差分代替微分，从而得到数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以采用中心差分法或向前/向后差分法来进行空间和时间上的离散化，并利用迭代法或解析法来求解差分方程。
另外，谱方法也是一种常用的数值求解方法，它将波函数表示为一组基函数的线性组合，通过对基函数的选择和系数的计算，得到波函数的数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以选择正交多项式作为基函数，例如拉盖尔多项式、切比雪夫多项式等，利用计算机进行系数的计算，从而得到波函数的数值解。
总之，在求解一维薛定谔方程时，我们可以利用有限差分法或谱方法进行数值求解，得到粒子在时空中的波函数和状态。
这些数值解可以用来研究微观粒子的运动和相互作用，对于理解和设计材料、药物、电子器件等具有重要的理论和实际意义。
18.4薛定谔方程在一维定态问题中的应用
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.
2
E
2
k1
ik1x
2mE 2
O
V V0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E
1 Ae
ik1x
Be
V 0
V 0
Ⅱ 区薛定谔方程为：
2 2 2 k2 2 0 2 x
x1
x2
x
k2
2
2m( V0 E ) 2
2 A2e k x B 2e k x
2 2
Ⅲ 区薛定谔方程为：
2 2 d x ˆ H x U x x E x 2 2m dx
2 d 2 x E x 阱内 2 2m dx 2 d 2 x U x x E x 阱外 2 2m dx
（2）定态薛定谔方程的通解
2 d 2 x E x 阱内 2 2m dx 2 d 2 x U x x E x 阱外 2 2m dx
阱外：
(x ) 0
阱内： 令
2
k
2
d x 2 k x 0 2 dx
2 3 2 k3 3 0 2 x
k3
2
2mE 2
3 A3e
ik3x
Ⅰ区粒子进入Ⅲ区的概率为
E E
O
Ⅰ
V V0
Ⅱ Ⅲ
P
3 x 1 x
2
2
2
2 x 2 x
2
2
2
e
2a 2 m(V 0 E )
V 0
V 0
薛定谔方程一维运动
薛定谔方程&一维运动曾超王泉袁强张善良肖智磊王明12一、小结薛定谔方程（1）在经典力学中力学运动规律由牛顿第二定律即描述，在初始运动状态已知的情况下通过解牛顿运动方程我们可以知道接下来任意时刻物体的运动情况。
F ma4薛定谔方程（3）波恩对此给出了解释：这也正是理论物理学家唯一能告诉实验物理学家的。
这也正是量子力学的研究对象—微观粒子所特有的波粒二象性。
可以说正是这一特性才导致了量子力学与经典力学的格格不入。
b 2a |(,)|{t ab }x t dx 在时刻发现粒子处于和之间的概率5薛定谔方程（4）归一化：没有这个要求，波函数的统计诠释将没有意义。
但是物理上要求波函数随时间演化时也能保持归一性（因为我们不能让A 变成时间的函数来保持波函数的归一性，那样的话它就不是薛定谔方程的解了。
）+2-|(,)|1x t dx02220202(2(2)n z z n n n V m a z、深宽势阱。
如果非常大，交点在略小于为奇数处、浅窄势阱。
当降低时，束缚态越来越少，但是总是至少存在一个束缚态。
——有限深方势阱（02220222()=1,2(2)n n am E V n n T n E V m a当上式中的正弦函数为零时，即时，其中为任意整数，（势阱成为透明的）。
完全透射时的能量为：这恰好是一维无限深方势阱所允许的能量。
)1数值解这个超越方程（见图）= 9.4236三、课外扩展量子密码术391，现状目前主要有两种密码体制•秘密钥密码体制在该体制中，加密密钥和解密密钥相同或可以互推，通信双方之间的密钥分配通常是采用双方会晤或互派信使等方式来完成。
密钥的载体（如密码本、软盘等），都是经典的客体。
很容易理解，经典信息可以任意复制原则上不会留下任何印迹，因而密钥在分发和保存过程中合法用户无法判断是否已被窃听；•公开钥密码体制在该体制中，加密密钥和解密密钥不相同且不可以互推。
它可以为事先没有共享密钥的双方提供40安全的通信。
大学物理-第二章-薛定谔方程
的概率最大
4
4
n → ∞时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致
2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）：
由： k
2mE n
2
a
22
h2
E
n2
n2
2ma 2
8ma 2
Ek
p2 2m
说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。
能级图为n 4
n3
E4 16E1
E3 9E1
h2 En 8ma 2 n2
➢薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实
i
[
2
2 U(r , t)]
t 2m
i Hˆ t
2) 由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理
（量子力学第一原理）
设：下列波函数均满足薛定谔方程：
1 2 3
——都是可能存在的状态
则： C11 C22 C33
势阱内：（0＜x＜a)
2 d 2( x)
E( x)
2m dx2
2mE k2 2
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
势阱外（x ≤ 0 或x ≥a）： (x) 0
势阱内（0＜x＜a) ：
d 2( x) k 2( x) 0
dx2
k 2mE 2
其解为： (x) Asin(kx )
d 2 3
E
2m dx2
3
根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得
Aeik1x Aeik1x 1
Bek2x 2
Ceik1x 3
在粒子总能量低于
势垒壁高 (E U ) 0
的情况下
“隧道效应”
粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能 更高的势垒的现象，称为隧道效应
12-6 薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
量子物理基础 15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
N
摄谱仪
v0 +△v v0 v0 - △ v
S z e
磁 矩 r
(2) 解释
• 磁场作用下的原子附加能量 磁矩和角动量的关系
r L
e r µ =− L 2me r
的方向） 向 z 轴（外磁场 B 的方向）投影
µ
e e µz = − Lz = − (mlh) = −ml µB µB ——玻尔磁子 2me 2me r r 由于磁场作用, 由于磁场作用 原子附加能量为 ∆E = −µ ⋅ B= −µ cosθ B l µBB = −µz B = m
2 (k12 − k2 )2 sin 2 (k2a) R= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2 2 4k12k2 T= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2
U0
Ⅰ
E
Ⅱ
Ⅲ
T + R =1
讨论
0
a
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区 。
N=3000 电子数 N=7 N=70000 N=20000 电子数 N=100 电子 双缝 干涉 图样
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在 r 2 dW =| Ψ(r , t) | dV r * r =Ψ(r , t)Ψ (r , t)dV
r Ψ(r ,t)
r r
o
dV
说明 • t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为 区域，
d2Ψ( x) 2mE + 2 Ψ( x) = 0 2 dx h
第2章 一维定态问题
即 V0a2 2h2 / 2m
时，才能出现最低的奇宇称能级。
由以上分析可以看出，束缚态能级是分立的，它是束 缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。
18
➢§2.3 线性谐振子
自然界中广泛碰到简谐运动，任何物体在平衡位 置附近的小振动(如分子的振动、晶格的振动、原 子表面振动及辐射场的振动等)在选择了适当的坐 标之后，往往可以分解成若干个相互独立的谐振 动。另外谐振动又是复杂运动的初步近似。所以 谐振动的研究无论在理论上还是在应用上，都是 极为重要的。谐振子的本征值问题，在历史上 Heisenberg首先用矩阵力学加以解决，后来Dirac 用算子代数的方法给出了极漂亮的解。
Th7：粒子在规则势场（V无奇点）中运动，如存 在束缚态，则必定是不简并的。 1 '2 2 '1 不包含 '1/ 1 '2/ 2 1 c2
说明：对多数常见的不规则势阱，上定理也成立， 但对某些常见的不规则势阱定理不成立。
6
➢§2.2 方位势
1 一维无限深势阱 分立谱
第2章 一维定态问题
本章我们将薛定谔方程应用到几个比较简单 的力学系统中去，求出方程的解和阐明这些 解的物理意义。具体分为如下问题
1 一维定态的一般性质 2 方位势 3 线性谐振子 4 一维散射问题
1
➢§2.1 一维定态的一般性质
一维情况下，定态薛定谔方程为
[
h2 2m
d dx2
(14)
15
据波函数及其导数在|x|=a/2处的连续性，可确定粒子的能量 本征值。若只讨论能量本征值，更方便的方法是利用
'/ 或ln'
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒【VIP专享】
C2 l / 2, l 为整数，但奇偶性与n相反 . 11
所以
(x)
C1
cos(n
a
x
l ).
2
归一化：
a/2 | (x) |2
a/ 2
dx
1 2
aC12
1
C1 2 / a .
波函数： (x) 2 cos( n x l ) ,
a a2
几率密度： (x) 2 2 cos2 (n x l ) ,
微粒在体积元 dV内出现的概率为：
dW | (x, y, z,t) |2 dV
2
波函数的归一化条件：
(x, y, z,t) 2 dV 1
波函数的标准条件：单值、有限、连续。 坐标和动量的不确定度关系
x Px / 2
能量和时间的不确定度关系
E t / 2
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程
来源：基本假定之一，不可证明，只可检验。
地位：低速运动微观粒子的基本规律，地位同牛顿 定律。
成功解释氢原子能级和电（磁）场中氢原子光谱线 的分裂， 分享1933年Nobel物理奖。
6
2、定态薛定谔方程
定态：粒子于力场中运动时，势能与时间无关， 总能量不随时间变化的状态。
定态波函数：用于描述处于定态的粒子的波函数。
量子物理第3讲 ——薛定谔方程 定态薛定谔方程
一维无限深势阱 一维有限高势垒
主要内容
六、薛定谔方程
1
德布罗意公式
v E mc2 , h h .
hh
P m
自由粒子物质波的波函数
(r ,
t
)
0e
i(
Et
Pr)
在某处发现一个微粒的概率正比于描述该微粒的 波函数振幅的平方。
量子笔记1 —— 一维薛定谔方程
量子笔记1 —— 一维薛定谔方程给出某种一维势，求解一维薛定谔方程的束缚定态解及其能级的题目是常见的量子力学的题型之一，这种题型的求解虽有其固有模式，但具体处理过程中也牵涉到很多技巧和要注意之处。
下面我通过两个例子来试图对其解题模式和某些解题过程中的常见技巧和经验作出一个概括性的总结，作为量子力学复习的第一阶段的一个阶段性小结。
例一. 质量为μ的粒子在一维势场()()⎩⎨⎧><=''+-=0,V 00V V V 0x x x x ，，αδ 中运动，其中α与0V 均为实数。
（1）试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数。
（2）给出粒子处于0>x 区域中的概率，它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？解：在此势场中的束缚定态能量E<0，令202E V 2,E 2）（）（-=-=μγμβ （1）不包括x=0点的定态方程为0),()(0),()(222222>=<=x x x d x x dx x d ψγψψβψ （2） )(x ψ满足条件0)(),0()0(=±∞=-+ψψψ （3）)0(2)0()0(2ψμαψψ -='-'-+ （4）方程（2）满足条件（3）的解为⎨⎧><=-0,0,)(x Ae x Ae x x x γβψ（5）将式（5）代入式（4）中得22 μαβγ=+ 或者 2220)(22)(2 E E V --=-μμαμ （6） 式（6）两边平方，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-0222221)(2V E μααμ （7） 显然，E 有解的条件是0222V > μα，这正是存在束缚态的条件。
由式（7）得 20222228⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=V E μαμα （8） 相应的波函数如式（5）所得，其中β与γ是由式（1）与式（8）决定的已知量。
常数A 由归一化条件确定为 γββγ+=2A21A 02<+=⎰∞-γββγdx e x 这是因为β>0，γ>0，γβ<.例二. 一个质量为μ的粒子在一维势场⎩⎨⎧<<-><∞=a x a x a x x x 0),2/(,0,)(V αδ 其中，α和a 是正的常数，求第一激发态能量，并讨论0→α时的定态能量。
15.5.1薛定谔方程一维无限深势阱 - 薛定谔方程一维无限深势阱
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数
2
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
2Ψ x 2
4π2 p h2
2
Ψ
Ψ i2π EΨ t h
自由粒子 (v c) E Ek p2 2mEk
一维运动自由粒子的含时薛定谔方程
h2 8π2m
aa
波动方程
d2
dx2
8π2 mE
h2
0
14
波函数
Ep
(x)
0, (x 0, x a) 2 sin nπ x, (0 x a) aa
o ax
概率密度 (x) 2 2 sin2 nπ x
aa
能量
En
n2
h2 8ma2
15
讨论： 1 粒子能量量子化
Ep
t)
e i 2 π ( Et
0
px) / h
e e i2πpx/ h i2πEt / h 0
(x)(t)
(x) ei2πpx / h 0
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d 2
dx 2
8π 2 m h2
(E
Ep
)
(x)
0
5
三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887—1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学,并建立了 量子力学的近似方法 .
1933年与狄拉克获诺贝尔 物理学奖.
1
一 薛定谔方程
1 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数
13-08 一维薛定谔方程的应用
k
2mE 2
基态能量
En
n2
h2 8ma2
E1
h2 8ma2
,
(n 1)
o
ax
激发态能量
En
n2
h2 8ma2
,
(n 2,3, )
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .
13 – 8 一维定态薛定谔方程的应用 第十三章 量子物理基础
2
x2
k 2
0
(x) Asin kx
k n , n 1,2,3, 量子数
a
(x) Asin nπ x
a
U
o ax
归一化条件
2
dx
0a *dx
1
A2 a sin2 0
nπ a
xdx
1
A 2 a
(x) 2 sin n π x, (0 x a)
aa
13 – 8 一维定态薛定谔方程的应用 第十三章 量子物理基础
波动方程
d2
dx2
8π h2 2mE
0
U
波函数
由于电子的隧道效应，金属中的电子在表面以外
呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm .
只要将具有原子线度的极细探针以及被研究物质 的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近 （< 1nm）时，它们的表面电子云就可能重叠 .
13 – 8 一维定态薛定谔方程的应用 第十三章 量子物理基础
E)
o ax
13 – 8 一维定态薛定谔方程的应用 第十三章 量子物理基础
d2 1
dx 2
k12 1
0
d2 2
dx 2
k22 2
0
d2 3
dx 2
薛定谔方程及提出背景
薛定谔方程在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为。
(2)假假设，系统内有个粒子，那么波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用别离变量法，猜测的函数形式为；其中，是别离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会发觉就是能量．代入这猜测解，经过一番运算，含时薛定谔方程(1)会变为不含时薛定谔方程：。
类似地，方程(2)变为。
历史背景与开展爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。
他建议光子的能量与频率成正比。
在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。
1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。
电子也有这种性质。
电子是一种波动，是电子波。
电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。
1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。
然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律(Bragg'slaw)计算的衍射图案相同。
戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。
薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反响这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。
于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。
哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个发觉里。
薛定谔方程+一维势阱04
例如： 对于
都满足：
但该方程不具有普遍性，因它只能满足特定动量P 和能量 E 的波。
2、单能粒子（沿x方向匀速直线运动） 沿x方向运动的动能为E和动量为P的自由粒子的波函数
（3）由波函数给出不同地点、时刻粒子的几率密度||2
下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程
§8 一维无限深方势阱
1、以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定 定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果.
V ( x) 0, 已知粒子所处的势场为： V ( x) ,
两边除以 (r ) f (t ) 可得：
1 2 2 1 df (t ) (r ) V (r ) (r )] i [ ( r ) 2m f (t ) dt
由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同
一个常数，设为E则有：
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
i ( x, t ) i p E ( x, t ) x t
若现在利用E=P2/2m 消去E、P将得到一个含 ( / x) 2 的非线性方程，不满足条件（2），所以再微分
2 p 2 x
2 2
( x, t ) i E ( x, t ) t
粒子在势阱内受力为零，势能为0。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为一维无限深势阱。 其定态薛定谔方程：
0 xa x 0, x a
V (x)
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
薛定谔方程一维情况
n =4
x2
大学物理
n =4
E3 9E1
E2 4E1 E1
O
n =3 n =2 n =1
ax O
n =3
n =2 n =1
ax
两端为波|节 Ψ|2， 0，粒子不能逸出势阱。 阱内各位置粒子出现概率不同， | Ψ |2峰值处较大。 能级越高，驻波波长越短，峰值数增多。
|Ψ|2 相同，量 经 子典 归一化条件，曲线下面积相等。
乘
i Et
e
第一项：向x方向传播的波
[例
A e ] i(k1xEt) 1
第二项：向-x方向传播的波
[例
B e ] i(k1xEt) 1
第19页 共30页
通解:
1 A 1 e i1 k x B 1 e i1 k x (x 0 ) U
2 A 2 e i2 x k B 2 e i2 x k( 0 x a )
同学们好！
上讲内容：
大学物理
1) 微观粒子的波函数描述。 2) 波函数的统计解释。
➢ t 时刻，出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
➢ t 时刻，粒子出现在空间(x,y,z)点附近单位体积 内的概率
➢ t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
第2页 共30页
3. 一维定态薛定谔方程
第13页 共30页
大学物理
练习 粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，处于
n=1状态，求在0~ a区间发现该粒子的。概率
4
解： ||22sin2 πx
aa
a
a
P
4
||2dx
42si2nxdx
0
0a a
a
42 asin2 πxd(πx) 0aπ a a a
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E只能取一系列分离值 2 E1 n
π2 2 式中 E1 2m a2
O 粒子不可能静止不动，满足不确定关系
n=4 n=3 n=2 n=1
最小能量E1即零点能,
a
x
第9页 共30页
大学物理
由
k 22 n 2 π 2 2 E n 2 E1 (n 1,2,3,) 2m 2m a2
O
a
x
1 ( 0) 2 ( 0) d 1 d 2
dx dx 2 (a ) 3 (a ) ( 0)
可解得
( 0)
A2 , A3 B1 , B2
第20页 共30页
d 2 d 3 (a ) (a ) dx dx
大学物理
U
入射波+反射波
U0
透射波
O 经典
E U0
解：
1 2 5 | | dx c x ( L x) dx 30 c L 1 0 0
2 2 2 2
L
L
得
30 c 5 L
L 3 2
30 5 x( L x ) L
L 3
30 2 17 2 P | | dx 5 x ( L x ) dx 0.21 L 81 0 0
d 2 2m 2 E 0 (0 x a ) 2 dx
O
a
x
d 2 2m 2 E 0 ( x 0, x a ) 2 dx
第5页 共30页
2. 求解波函数 d 2 2m 2 E 0 (0 x a ) 2 dx
d 2 2m 2 E 0 ( x 0, x a ) 2 dx
2
d 2 3) 令： x 0 dx
得：
x0
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
第17页 共30页
二、势垒 隧道效应 模型：金属表面的势能墙不是 无限高，而是有限值。
大学物理
U
U0
势函数：
U (x )
0
x < 0,
x>a
U0
代入 得
0 xa
d 2 2m 2 ( E U ) 0 2 dx
U U
o
U
a
o
a
第4页 共30页
求解步骤： 1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。 设粒子在一维无限深势阱运动 U 0 (0 < x < a) 势函数 U(x) =
大学物理
x 0, x a
代入一维定态薛定谔方程的 d 2 2m 一般形式 2 ( E U ) 0 2 dx
第3页 共30页
大学物理
第四节 薛定谔方程应用举例(一维问题) 一、一维无限深势阱 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题简化模型。 例如： 金属中自由电子 受规则排列的晶格点阵作用 简 相互碰撞(简化：交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势 能墙的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表面 ——无限深势阱 可解释金属导热、导电、顺磁性…...
2
大学物理
d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0 2 dx
2 1
2m 2mE 2 令 k 2 k2 2 ( E U 0 ) 1 A1 eik1x B1 eik1x ( x 0)
通解:
2 2
d2 2 k2 0 2 dx
2 A2 eik x B2 eik x (0 x a)
2 3 x a 2 1 x 0
e
2 a
2 m (U0 E )
a T U0
第22页 共30页
应用举例
大学物理
扫描隧穿显微镜 (STM) (获1986年诺贝尔物理奖)
CSTM——9000型扫描隧道显微镜
第23页 共30页
样品表面
大学物理
探针表面 加电压形成隧穿电流 —— 对表
2 2
π E En 1 En 2n 1 2 2m a
E n=4
n E a E
n=3 n=2 n=1
ma E 0
2 2
回到经典情况，能量连续。
O
a
x
第10页 共30页
大学物理
2) 粒子在势阱中的概率分布 经典： 势阱中U = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数A、B ( x) Asin kx B coskx 由波函数标准条件(单值、有限、 连续)得边界条件：
U
大学物理
(0) (a ) 0
由（0） 0
得 B=0
( x) Asin kx
O
a
x
由 (a) 0
得 A sin ka 0
第11页 共30页
大学物理
i 2 n π x Et 2 2 2 2 nπx | Ψ ( x, t ) | | ( x ) | sin Ψ ( x, t ) sin e a a a a
Ψ x, t
E4 16E1
x
n =4 n =3 n =2 n =1
2
n =4 n =3
第15页 共30页
A 练习 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 x 1 ix 1) 将此波函数归一化。
大学物理
2) 求出粒子按坐标的概率分布函数和概率密度。 3) 在何处找到粒子的概率密度最大？
解： 1) 由归一化条件
A A2 2 dx dx A arctg x A2 π 1 1 ix 1 x2
大学物理
U
O
a
x
粒子不能逸出势阱, (x0, xa) 区域 0
d 2 2m E 由 2 0 2 dx
0 x a
2mE 令k 2
2
d 2 得 k 2 0 dx 2
通解: ( x) Asin kx B coskx
积分常数
第6页 共30页
d 2 2m E 2 0 2 dx
d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0 2 dx
O
a
x
(x<0
x > a)
(0 x a )
第18页 共30页
d 2m E 2 0 2 dx
2
( x < 0, x > a)
(0 x a )
d k12 0 2 dx
d 2 ( x ) 2m 2 ( E U ) ( x ) 0 2 dx
三维定态薛定谔方程
2m ( x, y , z ) 2 ( E U ) ( x, y , z ) 0
2
一般形式薛定谔方程
ˆ Ψ i Ψ H t
2 2 ˆ H U (r ) 2m
1 得： A π 1 x π 1 ix
第16页 共30页
2
2) 概率分布函数为
大学物理
A 2 A2 P( x ) ( x ) 2d x dx dx 2 1 ix 1 x
概率密度为
x
2
1 1 π 1 x 2 π 1 ix
2 2x P | | d x sin dx a a 0 0
4 4 2 a a
2 a 2 π x πx sin d( ) aπ a a 0
4
a
1 2 2πx 1 2 πx ( sin ) π a 4 a
a
4
9.08%
0
第14页 共30页
大学物理
练习
已知：一粒子分布函数为 cx( L x) 其中L为无限深势阱宽度，c 待定。 求：0 ~ L 区 间 发 现 粒 子 的 概 率 。 3 由归一化条件
3 A3 e B3 e
ik1x ik1x
( x a)
E i ( k1x t )
乘e
i Et
第一项：向x方向传播的波 [例 A1 e
]
第二项：向-x方向传播的波 [例 B1 e
E i ( k1 x t )
]
第19页 共30页
1 A1 e B1 e
量子：
2 n πx sin 振幅函数 ( x) a a
i 2 n π x Et (n 1,2,3,) 波函数 Ψ ( x, t ) sin e a a 2 2 nπx 2 2 概率密度 | Ψ ( x, t ) | | ( x ) | sin a a 波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒子 出现的概率不相同。
同学们好！
上讲内容： 1) 微观粒子的波函数描述。 2) 波函数的统计解释。
大学物理
t 时刻，出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 t 时刻，粒子出现在空间(x,y,z)点附近单位体积 内的概率
t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
第2页 共30页
大学物理
3. 一维定态薛定谔方程
z 方向
0.005nm
在原子尺度探测
在大气压下或真空中均能工作。
无损探测 ，可获取物质表面的三维图像。
可进行表面结构研究, 实现表面纳米( 109 m) 级加工。
第25页 共30页
大学物理
1959年：费曼演讲《在底部还有很大的空间》
从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有 用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子 甚至原子出发组装制造物品的可能性……如果有一天可以按 人的意志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？