薛定谔方程

nπ Φ2 o A sin kx A sin x Φo n (n 2， 4， 6， ...) a nπ Φ2 e A cos kx A cos x Φe n (n 1 ， 3， 5， ...) a
归一化条件：
nπ a 2 1 a / 2 | Φo n | d x A a / 2 sin dx A a 2
a/2 2
2 a/2 2
2 A a
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能量本征函数 2 n Φo n sin x (n 2， 4， 6， ...) a a
2 n Φe n cos x (n 1， 3， 5， ...) a a Φ0 定态波函数和能量本征态
a x 2 a x 2
i En t
i Et
E 具有能量量纲，C 可以是复数。 方程 (2) 就是定态薛定谔方程：
2 2 U ( r ) 2m Φ( r ) EΦ( r )
— 能量本征方程
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2 2 U ( r ) 2m Φ( r ) EΦ( r )
U=0 x
无限深方势阱
a
表面电子运动限于区间 a
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二. 定态解
2m Φ( x ) 2 E U ( x ) Φ( x ) 0
U(x) U E -a/2 0 a/2 无限深方势阱
U
U=0 x
|x| > a/2 区间： U ( x) Φ1 0 |x| a/2 区间：
i Et Ψ E (r , t ) ΦE (r ) e
▲ 薛定谔方程的通解与定态解的关系 对不同的势函数和能量区间，能量本征值 E 可能取分立的值，也可能取连续值。
为讨论方便，设 E 取分立值（分立谱）： { En，n = 1, 2, 3, … } 相应的本征波函数为 { n，n = 1, 2, 3, … }
2a n 3, 3 3
n 2, 2 a
n 1, 1 2a
0
a/2
x
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n很大时，势阱内粒子概率分布趋于均匀
|n|2
En -a/2
量子 经典 a/2
玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系 行为趋于与经典一致。
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§27.3 势垒穿透
一. 粒子进入势垒
1. 一维势垒模型
（Cn 是任意复常数）
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定态薛定谔方程的意义
在很多问题中势函数不显含时间，薛定谔 方程的求解可通过解能量本征方程 — 定态 薛定谔方程来解决。因此，能量本征方程 的求解，在量子力学中占有重要地位。 一维定态薛定谔方程：
2 d2 U ( x ) 2 2m d x Φ( x ) EΦ( x )
（l1 和 l2 是整数）
2 (l1 l2 ) π l π （l 是整数）
令
lπ 2
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l = 0 时， = 0，
Φ2o A sinkx — 奇函数
l = 1 时， = /2， Φ2e A coskx — 偶函数
l 为其它整数值时，解的形式重复（可差正 负号，但不影响 | |2 ），舍去。 1. 能量本征值
dT ( t ) 1 1 ˆ 令 i HΦ( r ) = E（常数） dt T ( t ) Φ( r )
上式可分为下面两个方程：
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dT ( t ) i ET ( t ) dt ˆ HΦ(r ) EΦ(r )
(1)
(2) （振动因子）
方程 (1) 的解： T (t ) Ce
这就是著名的薛定谔方程。
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薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程， 在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典 力学中的地位。
同牛顿方程一样，薛定谔方程不能由其它的
基本原理推导得到，是量子力学的一个基本
的假设，其正确性也只能靠实验来检验。
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一. 薛定谔方程（1926）
Ψ 2 2 i U ( r , t ) Ψ t 2m
m — 粒子的质量 U — 粒子在外力场中的势能函数 2 — 拉普拉斯算符
2 2 2 2 2 2 2 x y z
2 2 U ( x, t ) Ψ ( x, t ) 1维： i Ψ ( x , t ) 2 t 2m x
由 Φ2e (a / 2) A cos(ka / 2) 0 得：
ka n π, n 1， 3， 5， ...
合并一起有： ka n π, n 1， 2， 3， ...
2mE 2 k 代入到 得： 2
π2 2 2 En n ( n 1, 2, 3, ...) 2 2ma
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连续条件： 整个波函数应在势阱边界处连续
Φ2 (a / 2) Φ1 (a / 2) 0 Φ2 (a / 2) Φ1 (a / 2) 0
A sin( ka / 2 ) 0, A sin( ka / 2 ) 0
ka / 2 l1 π, ka / 2 l2 π
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Δ E n 2n 1 2 1 n 2 1 En n n n
a 或 m Δ En
Δ En n En
宏观或大量子数情形，可认为能量连续。 2. 波长 由能量、动量关系和德布罗意关系有： h p 2mE pn 2mEn n
0, ( x 0) U ( x) U 0 , ( x 0)
I区
U(x)
U0
0
II 区
x
势垒的物理模型： 金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。
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2. 问题
入射 反射 I区
U(x) 透射 U0
E 能进来吗？ 能进来！
0 II 区
x
粒子从 x = - 处以特定能量 E (E < U0) 入射， 经典图像： 粒子无法跃上台阶，只能反射。
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一维定态薛定谔方程常用形式：
2m Φ( x ) 2 E U ( x ) Φ( x ) 0
后面通过求解一维定态薛定谔方程来讨论 两类问题：
▲ 本征值问题：给定势能函数 U(x)，求粒子 的能量 E 和相应的本征波函数 n(x) 。
▲ 散射问ຫໍສະໝຸດ Baidu：粒子的能量 E 确定，射向势垒 U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。
量子图像： 粒子具有波动性，波不仅被反射，
而且能透射进入势垒区，只要U0 有限。
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3. 定态薛定谔方程
2m Φ( x ) 2 E U ( x ) Φ( x ) 0
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结论：束缚在势阱中的粒子的能量只能取分 立值 En — 能量量子化，每个能量值对应一 个能级，En 称为能量本征值，n 称为量子数。
π2 2 0 — 零点能 最低能量 E1 2 2ma
零点能是量子力学特有结果，经典力学中 没有。根源是波粒二象性，不确定关系。
能级间隔
π2 2 1 Δ En En1 En ( 2n 1) 2 2 2ma ma
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▲ 薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”， 是非相对论形式的方程。 ▲ 薛定谔方程是线性偏微分方程，其解满足 态叠加原理。 若 Ψ1 (r , t ) 和 Ψ 2 (r , t ) 是方程的解， 则 c1Ψ1 (r , t ) c2Ψ 2 (r , t ) 也是方程的解。
▲ 方程含有虚数 i ，其解 Ψ 是复函数，不可 2 | Ψ | 测量， 是概率密度，可测量。 ▲ 薛定谔方程关于时间是一阶的，不同于经典 波动方程关于时间是二阶的。 6
数学上：E 不论取何值，方程都有解。 物理上：E 只有取某些特定值，方程的解才 能满足波函数条件：单值、有限、连续。 ▲ 满足方程的特定的 E 值称为能量本征值。
▲ E 称为与 E 对应的本征波函数。 物理含义：若粒子处于 E 态，则粒子的 能量为 E 。 11
▲ 定态：能量取确定值的状态，是薛定谔 方程的特解：
第二十七章 薛定谔方程
量子围栏
1
第二十七章 薛定谔方程
§27.1 薛定谔方程 §27.2 无限深方势阱中的粒子
§27.3 势垒穿透 §27.4 一维谐振子 *§27.5 力学量算符
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§27.1 薛定谔方程
1926年的一次学术讨论会上，年轻的薛定谔
介绍了德布罗意的关于物质波假说的论文， 物理学家德拜（P. Debey）评论说：“对于波 应该有个波动方程。” 几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头 就兴奋地说：你们要的波动方程我找到了！
经典力学中，改变宏观粒子运动状态的原因 是作用在粒子上的力。 量子力学中，哈密顿量决定了微观粒子波函 数随时间的演化，即决定了粒子的运动状态。
外界对粒子的作用，包括不能用力来表达的 微观相互作用，一般都可以用哈密顿量中的 势函数 U ( r , t ) 来概括。 只讨论势函数 U 与时间无关的情况。 8
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薛定谔（1887 1961） Erwin Schrodinger • 奥地利人
• 1933年诺贝尔物理学
奖获得者
• 量子力学的创立
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§27.2 无限深方势阱中的粒子
一. 一维无限深方势阱模型
U(x)
U=U0 E U=U0 U(x)
U 极限
理想化
U
E
-a/2 0 a/2
0 金属
U=0 x
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对分立谱，薛定谔方程的一系列定态解为：
Ψ n ( x, t ) Φn ( x )e
i En t
, n 1, 2, 3, ...
薛定谔方程的通解是各定态解的线性叠加：
Ψ ( x, t ) C nΨ n ( x, t ) C nΦn ( x )e
n n i En t
二. 哈密顿量
2 ˆ H U ( r , t ) — 哈密顿算符 2m
2
若 U 不显含时间，则 H 称为能量算符。 用哈密顿量，薛定谔方程可写成
Ψ ˆΨ i H t
势函数 U 不显含时间的情况很重要。 这时薛定谔方程可通过分离变量求解。
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2 2 ˆ H U (r , t ) 2m
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2a n n
上式表明，无限深势阱中的德布罗意波具有 驻波形式（势阱边界为波节）。 每一个能量的本征态，对应于德布罗意波的 一个特定波长的驻波。 由于势阱中德布罗意波只有取驻波形式才稳 定，所以也可以反过来说：
势阱中的能量量子化是德布罗意波形成 驻波的必然结果。 25
3. 能量本征函数
U ( x) 0
d 2 Φ2 2mE 2 Φ2 0 2 dx 18
令
2mE
2
2
k 2 （先设 E > 0，后面解释）
d Φ2 2 k Φ2 0 2 dx
kx ) 通解： Φ2 ( x ) A sin(
利用下面的条件（不一定全用）： 波函数条件：单值、有限、连续； 波函数满足的物理条件。 确定常数 A、 ，进而定出能量本征值 和波函数，是求解定态的常规手法。
从能量意义看应有 E 0，但 E = 0 可能吗？ 当粒子运动范围受到限制时（在势阱中）， 根据不确定关系，动量的不确定度 p 0， 所以动量 p > 0 E > 0 k 2mE 0
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由 Φ2o (a / 2) A sin( ka / 2) 0 得：
ka n π, n 2， 4， 6， ... (k 0 n 0)
三. 定态薛定谔方程 — 能量本征方程 如果势函数 U 不显含 t，则可设：
Ψ (r , t ) Φ(r ) T (t )
代入薛定谔方程得：
dT ( t ) ˆ i Φ( r ) [ HΦ( r )]T ( t ) dt 两边除以 Φ( r ) T ( t ) 得：
考虑振动因子有 Ψ n ( x, t ) Φn ( x ) e
概率密度
| Ψn ( x, t ) |2 | Φn ( x) |2
驻波解
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En n |n|2 束缚态 E4
势阱内粒子概率分 布与经典情况不同
2a n n n a n 4, 4 2
E3 E2 E1 -a/2