2.5.1等比数列前n项和公式(第1课时)
2.5等比数列的前n项和(第1课时)
a1 (1- q 2n ) = 6560 ②
1- q
① ②
得
1+ qn
=
82
∴ q n = 81, 把q n = 81，代入①得，
a1 (1- 81) = 80 1- q
∴a1 = q -1
n ∈N * , 且q n = 81 >1 ∴q >1 ∴ a1 = q -1> 0
∴{an }是递增数列，
2.5 等比数列前n项和（1） 等比数列的前n项和公式
1.等比数列的概念： 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
2.等比数列通项公式： an = a1q n-1
3.等比数列的性质：
若{an }等比数列，且 m + n = p + q(m, n, p, q ∈ N * )
则am • an = a p • aq 当m+n = 2 p时，am • an = ap 2
等比数列的前n项和
若{an }等比数列，的公比为 q.
Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an 由等比数列的定义，可 知an = a1q n-1
Sn = a1 + a1q + a1q 2 + …+ a1q n-1 ① 两边同时乘以 q, 得
a1 (1 - q 6 ) = 63
(1)由题意得
1-q 2
a1 + a1q = 30 a1 + a1q + a1q2 =155
解得
a1
=
1 2
解得
a1 = 5 或 q=5
a1 = 180 q=-5
第二章 2.5 第1课时 等比数列前n项和公式
§2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和公式学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前n项和公式知识点二 错位相减法1．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和，即若{b n }是公差d ≠0的等差数列，{c n }是公比q ≠1的等比数列，求数列{b n ·c n }的前n 项和S n 时，也可以用这种方法．思考 如果S n ＝a 1＋a 2q ＋a 3q 2＋…＋a n q n －1，其中{a n }是公差为d 的等差数列，q ≠1.两边同乘以q ，再两式相减会怎样？知识点三 使用等比数列求和公式时注意事项(1)一定不要忽略q ＝1的情况；(2)知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用S n ＝a 1(1－q n )1－q ；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用S n ＝a 1－a n q 1－q； (3)在通项公式和前n 项和公式中共出现了五个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．1．在等比数列{a n }中，a 1＝b ，公比为q ，则前3项和为b (1－q 3)1－q.( ) 2．求数列{n ·2n }的前n 项和可用错位相减法．( )3.a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1.( ) 4．等比数列前n 项和S n 不可能为0.( )题型一 等比数列前n 项和公式的直接应用例1 求下列等比数列前8项的和：(1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.反思感悟 求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立． 跟踪训练1 (1)求数列{(－1)n ＋2}的前100项的和；(2)在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数．题型二 前n 项和公式的综合利用例2在等比数列{a n}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.反思与感悟 (1)a n ＝a 1qn －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ⎝⎛⎭⎪⎫或S n ＝a 1－a n q 1－q 两公式共有5个量．解题时，有几个未知量，就应列几个方程求解． (2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式．当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1(1－q n )1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q 1－q比较方便． 跟踪训练2 已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝ .题型三 利用错位相减法求数列的前n 项和例3 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和．反思感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．分期付款模型典例小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)[素养评析]本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和S n等于()A.1－x n1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x n 1－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1 2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152 D.1723．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( )A ．179B ．211C ．243D ．2754．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为 ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n ·2n ，则S n ＝ .1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和．一、选择题1．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，则S 100等于( )A ．4－2100B ．4＋2100C ．4－2－98D ．4－2－1002．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝48，S n ＝93，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－114．已知数列{a n }是等差数列，若a 2＋2，a 4＋4，a 6＋6构成等比数列，则数列{a n }的公差d 等于() A ．1 B ．－1C ．2D ．－25．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1 C.12 D.236．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( ) A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米二、填空题8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝ .9．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝ .10．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ . 11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝ .三、解答题12．(2018·绵阳检测)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．13．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .14．在等比数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于() A ．(2n －1)2 B.(2n －1)23 C ．4n －1 D.4n －1315．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．。
高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析： 显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1， 解得q＝3，
n＝4.
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第二章 数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章 数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富 人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷 人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以 后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人 听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮 助这个穷人.
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第二章 数列
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
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第二章 数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－ －－ －qqqq36＝ ＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
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第二章 数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q
人教版高中数学必修5课件：2.5.1等比数列前N项和(第一课时)(共18张PPT)
由① – ②得： -S30 = 1 – 230
反思： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2 ？ 那乘以3？ 22 ？会达到一样的效果吗？
问题：对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
【新知探究】
探究：设等比数列错位相减法
Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an-2 + an-1 + an
即 Sn = a1 + a1q + a1q2 + …… + a1qn-3 + a1qn-2 + a1qn-1
①
qSn =
a1q + a1q2 + a1q3 + …… + a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn ②
结合等比数列通项公式，
由① – ②得： (1 – q)Sn = a此1 –时aS1qnn可变形为什么？
问题1 : 探讨等比数列前n项和的多种推导方法， 并整理成小论文，相互交流 问题2 : 求和, Sn 1 2 2 22 3 23 ...... n 2n
【课堂小结】
1. 掌握等比数列的前n项和公式能进行简单应用. ——知三求二 方程思想
a1(1 qn )
Sn
1q
或
a1 anq 1q
【新课引入】
不学数学害死 猴啊！！！
【新知探究】
探究： S30 = 1 + 21 + 22 + …… + 227 + 228 + 229 = ？
S30 = 1 + 21 + 22 + …… + 227 + 228 + 229
2.5 §1等比数列的前n项和
2.5 等比数列的前n项和第一课时教学目标1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法．2.会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．知识回顾1.等比数列的定义及数学表达式：2.等比数列的通项公式：3.等比数列的性质：知识探究探究（一）等比数列前n项和公式的推导问题导思：对于数列1，2，22，23，…，2n，…问题1：该数列的首项和公比分别是多少？问题2：该数列的前n项和S n怎样表示呢？问题3：观察求和的式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？问题4：那么该数列2S n的表达式如何？问题5：S n与2S n的表达式中有许多相同项，你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？探究新知：等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，如何求它的前n项和S n呢？问题1：等比数列的前n项和S n怎样表示呢？问题2：前n项和S n采用什么方法，怎样化简呢？问题3：观察求和的式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？问题4：需要构造另一个式子，而要达到消项的目的，就须使两式具有相同的项，如何构造式子？问题5：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？思考：你还有其他方法去推导等比数列前n项和公式吗？1.等比数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)a 1(1－q n )1－q(q ≠1)思考1：根据求和公式，要求一个等比数列的前n 项和，一般要先求出哪些量？思考2：能否将S n 和用a 1， q ，a n 来表示？思考3：q ≠1时，应该怎样选用哪个公式？探究（二）错位相减法求和问题 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{n2n }前n 项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n∴12S n ＝_______________________________ ∴S n －12S n ＝_______________________________即12S n ＝__________________＝__________________ ∴S n ＝__________________＝__________________小结：典例讲练例1.设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求公比q 的值．例2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q .变式：在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .例4.求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ＝______________．例5.求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．课堂小结：这节课我们主要学习了什么？ 首项、末项与公比 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝a 1－qa n1－qq2.两种方法：错位相减、解方程推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．3.三种数学思想：类比、方程、分类讨论 课后作业1.已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0，a 2=34-，则{a n }的前10项和等于( ) A.()-10-61-3B.()-1011-39C.()-1031-3D.()-1031+32.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则( ) A.11 B.5 C.-8D.-113.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且，则数列的前5项和为( ) A.或5 B.或5 C. D.52S S =369s s =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭158311631161584.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =2a n +1，,则S n =( )A. 2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －15.已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1>0，且2(a n +a n +2)=5a n +1，则数列{a n }的公比q = _______.6.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.7.在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2等于________．8.已知等比数列{a n }的公比为q =-12. （1）若a 3=41，求数列{a n }的前n 项和； （Ⅱ）证明：对任意k ∈N +，a k ，a k +2，a k +1成等差数列.9.已知等差数列{a n }前三项的和为-3，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和.2.5 等比数列的前n 项和第一课时教学目标1.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法．2.会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题． 知识回顾1.等比数列的定义及数学表达式：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0).数学符号表述:a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N *)2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1(n ∈N *)或a n ＝a m ·q n －m . 3.等比数列的性质：在等比数列{a n }中，若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n =a p ·a q . 推论1:若m+n =2p ，则a m ·a n =a p 2.推论2:若{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积，即a 1a n ＝a 2a n －1＝….知识探究探究（一）等比数列前n 项和公式的推导问题导思：对于数列1，2，22，23，…，2n ，…问题1：该数列的首项和公比分别是多少？【提示】首项为1，公比为2.问题2：该数列的前n 项和S n 怎样表示呢？【提示】数列的前n 项和S n ＝1＋2＋22＋…＋2n -1①问题3：观察求和的式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？【提示】后项=前项×公比。
2.5等比数列前n项和公式课时1
2.5等比数列前n 项公式（课时1）课时作业A一、选择题1. 已知一等比数列的各项都是正数，第6项与第5项的差是729，第二项与第一项之差是9，这个数列的前6项的和是（ ）A ．1636B ．1637C ．1638D ．1639 2．等比数列{}n a 中，若842a a =，44S =，则8S 的值等于（ ）A ．12 B. 16 C ．24 D ．32 3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且32S =，634S S -=,则93S S -=（ ）A ．1 B. 2 C ．4 D ．84. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S3S =，则96S S =（ ） A ．12 B ．73 C ．83D ．1 5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为54，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ）A ．66B ．64C ．2663D ．2603二、填空题6. 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =，则公比q 等于 7. 在等比数列{}n a 中，公比2q =，前99项的和9956S =，则36999a a a a +++⋅⋅⋅+=8. 已知数列{}n a 是等比数列，且10m S =,230m S =，则3m S =三、解答题9. 等比数列{}n a 的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。
10. 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列。
（1）求数列{}n a 的通项公式。
（2）求数列{}2na 的前n 项和为nS.课时作业B一、选择题1. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ） A.1 B.1或－1 C.21或21- D.2或－2 2 已知公比为q ()1≠q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为（ ） A.n nS q B.n n q S C.11-n n q S D.121-n n qa S 3．已知{}n a 是等比数列，24a =，532a =，则12231n n a a a a a a ++++= ( ）A ．8(21)n- B ．8(41)3n -C ．16(21)3n -D ．2(41)3n-4. 等比数列{}n a 的项数为偶数，奇数项之和等于偶数项之和的12，则此数列的公比q =（ ） A .2 B.4 C.6 D.8 5.已知等比数列{}n a 中，有公比2=q ,并且30303212=⋅⋅⋅⋅⋅a a a a ，那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅为（ ） A.92 B.102 C.112 C.202二、填空题6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，634S S =,则4a =7. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则公比q 的值为8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =三、解答题9. 在等差数列{}n a 中，首项13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，首项11b =， 且22b S +12=,{}n b 的公比22S q b =。
2.5.1 等比数列前n项和公式(上课用)
1 q 3
(3) Sn 189, q 2, an 96, 求a1和n.
a1 anq 解: Sn 1 q
a1 96 2 即189 1 2
a1 3
又 an a1 q n1
96 3 2
n 1
6
练习：求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
3
a1q
n
作 减 法
若q=1,
Sn na1
(q 1)
a1 (1 q n ) Sn 1 q
注意：此时q≠1
a1 (1 q n ) Sn 1 q
Sn na1
(q 1)
1、等比数列前n项和公式
na1 , (q 1), S n a1 a1q n 1 q , (q 1). na1 , (q 1) S n a1 an q 1 q , (q 1).
情景设置
从前，一个穷人到富人那里去借钱。。。
No problem！第一天 给你１万，以后每天 给你比前一天多１万 元，连续一个月(30天)， 但有一个条件：
第一天出１分入１万；第 二天出２分入２万;第三天 出4分入３万元；……哇，发 了……
房叔,能不能借 我……
这富人会不会 又在耍我？
……
请同学们思考一下,帮穷人出个主意!
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 以后每天返还数为前一 天的2倍．
我们来算算这笔账！
穷人得到 的总钱数 返还给富人 的总钱数
2 2 33 29 T30 1 2 3 30 S 30 1, 2 2, 2 2 , 2 2 , , 2
465
等比数列前n项和公式(第一课时)
等比数列前n项和公式（第一课时）德江一中蒋琦一、教材分析：1、地位和作用：《等比数列的前n项和公式》第一节内容是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n项和公式的基础上进行的。
是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。
2、重点和难点：重点：等比数列的前n项和公式的推导及其初步应用；难点：等比数列前n项公式推导方法的探求。
二、教学目标：[知识与技能]：掌握等比数列前n项和公式的推导，并能运用它解决简单实际问题；[过程与方法]：通过学生的自主探索，培养学生提出问题，解决问题的能力；[情感态度和价值观]：提供适当的问题情景,激发学生的求知欲,培养学生的数学情感;通过师生互动，生生互动培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探究、积极钻研的科学精神。
三、学情分析：1、以省级示范学校平行班学生为教学对象；2、师生之间不熟悉，势必影响课堂沟通，在进度上不能过快，结构设计要符合学生的认识特点，要注重对学生观念、探究能力的培养，而且要通过问题的设计激发学生自主探索的欲望。
3、经过初中三年新课程理念的熏陶,高一学生思维活跃、自主性强。
他们厌倦枯燥乏味的说教和“结论—例题—练习”单一的陈述模式。
渴望饱含“生命力”的课堂。
四、设计理念：采取数学“情境——问题”教学模式组织教学，以实际问题作为背景创设数学情境。
在具体问题上，抽象出解决一般问题的方法，由“特殊到一般，再由一般到特殊”，让学生亲历提出问题，解决问题，反思总结的全过程。
老师放手让学生独立思考，大胆实践，在已有知识和经验的基础上主动建构新知识。
五、教学流程：(一)、创设情境、提出问题“母亲节”那天，甲同学收到一条短信，内容如下：“今天是母亲节，你想感谢母亲含辛茹苦的养育之恩吗？您想让母亲一年平安、健康快乐吗？请将此短信发给5位朋友，你将心想事成。
”你参加过这样的短信互动吗？你曾用数学的眼光分析过这样的短信吗？[当学生看到自己所学的知识与“现实世界”息息相关时,学习通常会更主动。
2.5.1等比数列的前n项和
环县第五中学新生态课堂导学案 科目：数学 年级：高二级 授课人： 课型：新授课 课时： 授课日期： 第 周 星期 教研组长签字：课题： 2.5.1等比数列的前n 项和(1)学习目标1.掌握等比数列的前n 项和公式及其应用；2.会用错位相减法推导等比数列的前n 项和公式（难点）. 学习重点:掌握等比数列的前n 项和公式及应用.学法指导：a.阅读学习目标，明确知识点；b.学习中遇到的问题加以标注，课堂中能够做到有的放矢. 学习过程一、 回顾旧知 基础梳理（课前热身）等比数列的定义及性质：等比数列前n 项和公式： 二、 思考探究 精讲透析※ 学习探究 ——等比数列的前n 项和公式新知：等比数列的前n 项和公式（达成目标2，突破难点） 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++，公比为q ≠0， 公式的推导方法：则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩ (1)n q S ∴-=当1q ≠时， n S = ① 或n S = ② 当q =1时，n S =温馨提示：写出n s 与n qs 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于做差，正确写出()n s q -1的表达提示.以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法”※ 典例解析例1 求下列等比数列前8项的和.（前n 项和公式的基本运算） （1）12，14，18，……； （2）已知a 1=27，a 9=1243，q <0.例2 等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及点拨：利用等比数列的前n 项和公式及通项公式，列出方程组求相应各个量.三、反思整合 巩固提升※ 学习小结1.等比数列的前n 项和公式；2.等比数列的前n 项和公式的推导方法；3.“知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个．※课后作业1．数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，……的前n 项和为（ ）．A ．11n a a --B ．111n a a+-- C ．211n a a +-- D ．以上都不对 2. 数列}{1-n 2的前99项的和为 （ ） A.1-2100 B.1002-1 C.1-299 D.992-13．已知等比数}{n a 中，，，，62s 5n 2q n ===则=1a ．4．等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 ．5．在等比数列{}n a 中，162533,32a a a a +==，求6S ．四、盘点收获及反思。
§2.5.1 等比数列的前n项和(1)
§2.5.1 等比数列的前n 项和（1）教学目标：1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题教学重点：等比数列的前n 项和公式推导教学难点：灵活应用公式解决有关问题教学过程：一、复习回顾：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。
公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：｛n a ｝成等比数列 ⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2. 等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.5．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅6．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法二、创设情境、引入新课传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照这个规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺．这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨•班•达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和． 问题：如何求数列1，2，4，…262，263的各项和以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：636264228421+++++= S ――① 26463642216842+++++= S ――② 由②—①可得：126464-=S这种求和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”1、一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n q a a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 nn q a a S q 11)1(-=-∴ ∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？ 国王承诺奖赏的麦粒数为：646419641(12)21 1.841012S -==-≈⨯-， 据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×1710g ，约合7360多亿吨．我国2000年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！三、例题讲解例1、写出等比数列 ,8,4,2,1--的前n 项和公式并求出数列的前5项的和及从第6项到第9项的和．解 ：因为212,11-=-==q a ，所以等比数列的前n 项和公式为3)2(1)2(1)2(11)1(1n n q q a n n S --=----==-- 所以115=S ，1719=S ，所以从第6项到第9项的和为－9S =5S 160例2、一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？最快几小时全球（67.6亿）人都知道这个消息？（选做）解 ：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列，则一天内获知此信息的人数为：（人）16777215122121242424=-=--=S ∵（人）4294967295122121323232=-=--=S （人）8589934591122121333333=-=--=S ∴最快33个小时全球人都知道这个消息。
2.5.1 等比数列的前n项和(1)
a1q + a1q2 +…+a1qn-2 +a1qn-1 + a1qn (2)
a1 (1 q )
n
两式相减有 (1 – q)Sn = a1 – a1 q n 当q≠1时， Sn
1 q
思考：等式(1) 两边除以q可否 推出公式？
当q=1时， n na1 S
（错位相减法）
等比数列{an}的前n 项和公式：
S3 1 2 2 7 2 1
2
3
S 4 1 2 2 2 15 2 1
2 3
4
……
猜想： S 64 1 2 2 2 2 63 2
64
1
（不完全归纳法）
S64= 1+2 + 22 +…+262 + 263
① ②
2S64 = 2 +
(q 1) (q 1)
两个公式共有5个基本量:
a1 ， ， ， n，S n 可知“三求二”. q n a
例1：已知 { a n } 是等比数列，请完成下表：
题号 (1)
a1
27
q
2 3
n
4
6
an
8
96
Sn
65
63
(2)
3
2
例2.
27
1
243 1 1 ( ) 3
变想一想：若 去 掉 q 0的 条 件 ， 如 何 求 S 8？ 式 ： (2)中
1
1 4
， 5 1 4
1 2
n
1 8
， 的前 n 项和； 1 8 ， 的前 n 项和 .
课件9：§2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和
由题意，可知 a6＝0， 即 1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0， a＝11.0.0116×6－1102. ∵1.016≈1.061，∴a＝11.0.06611×－1102≈1 739. 故每月应支付 1 739 元．
法二：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储 6 个月，则它的 本利和为
【解】 (1)法一：设首项为 a1，∵q＝2， S4＝1，∴a111－－224＝1，即 a1＝115， ∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17. 法二：∵S4＝a111－－qq4＝1，且 q＝2， ∴S8＝a111－－qq8＝a111－－qq4(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.
§2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和
学习目标导航 1．掌握等比数列的前 n 项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和．(难点) 3．能运用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的实际问题．
[基础·初探] 教材整理 等比数列的前 n 项和 阅读教材，完成下列问题． 等比数列的前 n 项和公式
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数 学关系式．
[再练一题] 2．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨，该 矿区计划从 2014 年开始出口，当年出口 a 吨，以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2014 年为第一年，设第 n 年出口量为 an 吨，试求 an 的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划 10 年后终止该矿区的出口，问 2014 年最 多出口多少吨？(保留一位小数．参考数据：0.910≈0.35)
【解】(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1＝a，公比 q＝1－ 10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1(n≥1)．
2.5 等比数列前n项和(第一课时)
的
所有64格 的麦粒，都赏给您的仆人吧？”
故 事
国王说：“你 的要求不高，会如愿以偿
的”。说着，他下令把一袋麦子拿到宝座 前，计算麦粒的工作开始了。……还没到
第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋
的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数
一格接一格地增长得那 样迅速，很快看出，
即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮 食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤 道7500圈，或在太阳和地球之间打个来回。
探究 如果等比数列{an}的公比为q，如何求其前n项和Sn？
………
错位相减法的关键:
（1）用错位相减法构造等式时，两边乘以q，还可 以是q2 , 1/q …等。原则是构造的式子能和原式 相减、相消后剩余的项较少，较易计算，这实 际上也是错位相减法的本质所在.
1 an S
①错
把上式左右两边同乘以2 得：
位
2S64
2 4 8 16+
…… 263 264 ②
相 减
法
由②- ①得：S64 264 1≈1.84 1019
除了通过乘2构造等式还可以乘1/2,22..相比之下，乘公比2最简便
假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过 了7000亿吨。是当时全世界在两千年内所产的小麦 的总和！
莆田第二中学 高一数学组 卓晓萍
传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋
的发明人——大 臣西萨。这位聪明的大臣
跪在国 王面敢说：“陛下，请你在这张棋
国
盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在
王
第二个小格内给两粒，在第三 个小格内给
赏
四粒，照这样下去，每一小格内都是前一
2.5.1等比数列的前n项和(一)
讲授新课
讲授新课
1
讲授新课
1 2
讲授新课
1 2 2
2
讲授新课
1 2 2 2
2 3
讲授新课
1 2 2 2 2
2 3 4
讲授新课
1 2 2 2 2
2 3 4
讲授新课
2 63 1 2 2 2 2
2 3 4
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
2
63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
2
3
63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
2
3
63
麦粒的总数为:
S64 1 2 4 8 2 2
62
63
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
当q＝1时，
当q≠1时， 或 ① ②
思考：
什么时候用公式①, 什么时候用公式②?
等比数列的前n项和公式
当q＝1时，
当q≠1时， 或 ① ②
思考：
什么时候用公式①, 什么时候用公式②? 当已知a1, q, n 时用公式①；
等比数列的前n项和公式
当q＝1时，
当q≠1时， 或 ① ②
思考：
什么时候用公式①, 什么时候用公式②? 当已知a1, q, n 时用公式①； 当已知a1, q, an时，用公式②.
练习:
根据下列各题中的条件，求相应的等比 数列{an}的前n项和Sn．
(1) a1 3, q 2, n 6;
2.5.1等比数列的前n项和(第1课时)
2.5.1 等比数列前项和使用时间： 年 月 日教材分析本节分两个课时，一节为等比数列前n 项和公式的推导及应用，一节为通项公式与前n 项和公式的综合应用。
本节内容是“等差数列前n 项和公式”与“等比数列”内容的延续，是进一步学习数列知识和解决数列求和问题的基础与有力工具。
在实际生活中有很广泛的应用；如储蓄，分期付款等有关计算。
教材设计了一个引例，从而得出一个核心问题，而公式推导过程中所用“错位相减法”及其中蕴含的类比、分类讨论、方程的思想方法；都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
学情分析本节课是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，不仅仅是等比数列前n 项和公式的推导，更重要的是通过等比数列前n 项和公式去发现一个数列的求和方法——错位相减法。
教学目标知识与技能：掌握等比数列前n 项和公式及体会公式推导的转化方法；能用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；能通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的能力；通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想。
过程与方法：通过等比数列的前n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。
情感态度与价值观： 通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。
教学重点：等比数列前n 项和公式的理解、推导及应用及公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等）教学难点：灵活应用等比数列前n 项公式解决一些简单的有关问题，特别注意等比数列前n 项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意1=q 和1≠q 两种情况等。
教学环节设计（1）本节内容分为两课时，一节为等比数列前n 项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前n 项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.（2）等比数列前 n 项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论.（3）等比数列前 n 项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣.（4）编拟例题时要全面，不要忽略1=q 和1≠q 的情况.（5）通项公式与前n 项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大.教学过程教学活动一：引例：印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放1颗麦粒，在第2个格子里放2颗麦粒，在第3个格子里放4颗麦粒，在第4个格子里放8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里麦粒数的2倍直到第64个格子，请给我足够的粮食来实现上述要求。
2.5 第1课时等比数列的前n项和
(2)由(1)得 b1＝1，b4＝a15＝15＋ 2 1＝8. 设{bn}的公比为 q，则 q3＝bb41＝8，从而 q＝2. 故{bn}的前 n 项和 Tn＝b111－－qqn＝1×1－1－2 2n＝2n－1.
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等比数列前n项和的实际应用问题
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等比数列前n项和基本运算
在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解：由题意，得若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意． 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若 q≠1，则由等比数列的前 n 项和公式， 得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6，解得 q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2 或 q＝－2，a3＝8.
∴a1＝a12n－189＝192－189＝3.代入①式得 n＝6.
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方法二 由公式 Sn＝a11－－aqnq及已知，得 189＝a1－1－962×2， 解得 a1＝3.又由 an＝a1·qn－1，得 96＝3·2n－1，解得 n＝6. (2)设{an}的公比为 q， 由题设得a61aq1＝ ＋6a，1q2＝30. 解得aq＝1＝23，， 或aq1＝＝32.， 当 a1＝3，q＝2 时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)； 当 a1＝2，q＝3 时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
2.5.1等比数列前n项和(1) ppt
（错位相减法）
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ① qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ② ① —②得： Sn (1—q)=a1—a1qn
当q≠1时，
等比数列{an}前n项和
思考：等式(1) 两边除以q可否
推出公式？
如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，
则得到一个首项为a1=
1 2
，公比q= 1 的等比 2
数列，
它的前n项和为
Sn
1 2
[1
1 2
n
]
1 1
1 (1)n 2
2
不论n取何值，
1
(
1
)n
总小于1，
2
这说明一尺长的木棒，每天取它的一半， 永远也取不完。
例2．等比数列{an}的公比q=
1 2
，a8=1，求它
当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an－1+an =？
S1=a1 S2=a1 +a2 =a1+a1q
=a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
=a1(1+q+q2+q3)
观察：
（不完全归纳法）
等比数列{an}的前n 项和公式：
Sn
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若q=1，则 S3=3 a1 , S 6 6a1 , S 9 9a1 由 a1 0可得S3 S 6 2S 9，与题设矛盾
q 1 a1 (1 q ) a1 (1 q ) 2a1 (1 q ) 1 q 1 q 1 q
3 6 9
整理，得q3+q6=2q9
各个格子里的麦粒数依次是:
1, 2, 22, 23, 24, 25,…,263,
发明者要求的麦粒总数就是: 1+ 2+22+23+24+25+…+263.
通项: an=2n-1
前n项和:Sn
等比数列的求和
引入新课
1 2 2 2
2 3
2
4
263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 ,, 2 .
它是以１为首项公比是２的等比数列， 麦粒的总数为:
2
3
63
S64 1 2 2 2 2 .
2 3 63
S64 1 2 2 2 2 的方法 . (1) ,就 2 3 63 是错位相 2S64 2(1 2 2 2 2 ). 减法 ! 2 3 63 64 (2) 即2S64 2 2 2 2 2 .
1 243
.
已知等比数列an 中,
练习１.
2或-3
1 a1 2 , S3 14.则q
a3 8或18 2 a1 1, a4 216 则 q -6 , S4 185
a1、q、n、a n、sn
归纳要熟记公式： an a1q n 1
Sn a1 1 q n 1 q
(1 q)Sn a1 a1q
n
注意：
na1 (q 1) n S n a1 a1q (q 1) 1 q n a1 an q a1 a1q q 1时 : S n 1 q 1 q
1.使用公式求和时，需注意对 q 的情况加以讨论；
1和 q 1
推导方法： 错位相减法
y
2 y =9x 9
SUM=0 阅读程序，回答下列问 K=1 题： INPUT N WHILE k<=N-1 （1）程序中的AN，SUM AN=(9-(k*3/N)^2)*3/N 分别表示什么，为什么？ SUM=SUM+AN PRINT k，AN，SUM （2）请根据程序分别计算当n=6， k=k+1 11，16时，各个矩形的面积的和 WEND （不必在计算机上运行程序）． END
2 3
这种求和 63
2 2 2 2 2S64 S64 (2 2 那么这些麦粒的总质量就是
2 3 4
2 3 4 63 克，64 如果1000 粒麦粒重为 40
பைடு நூலகம்
)
(1 27300 2多亿吨。根据统计资料显 2 2 … 2 )
63
S64 2
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 23 x
已知Sn是等比数列 an 的前n项和，
思考题：
a2 , a8 , a5 S3，S9，S6成等差数列，求证：
成等差数列.
分析：由题意可得S3+S6=2S9
要证 a2 , a8 , a5 成等差数列，只要证
a2 a5 2a8 即可
证明：∵S3，S9，S6成等差数列， ∴S3+S6=2S9
或
a1 an q Sn q 1 1 q
知三求二
练习2.
已知{an }中，an1 2an , a2 3, 求S6 .
解： an 1 2an an 1 2,{an }为等比数列 an
3 q 2 且a1 2 3 6
(1 2 ) 1 2
Sn a1 a2 a3 an1 an
错位相减法
n 2 n1
Sn a1 a1q a1q a1q
2
2 3
a1q
①
n
qSn a1q a1q a1q a1q
n1
a1q ②
n
①—② ，得
(1 q)Sn a1 0 0 a1q
4 3
5
0.5 15.5 96 76.5 1.5 4.5 -96 -66
a1 , q, n, an , S n
知三求二
中的三个，可求另外两个。
②如果不能用公式直接求出某个量，就要建立方程组来求解。
1 1 1 例1：求等比数列 , , , 的前8项的和。 2 4 8
典型例题讲解：
例2 已知等比数列 an , a1 27, a9 求前8项的和.
由q 0得1 q 2q
3 6 4 3 6
a 2 a5 a1 q a1 q a1 q(1 q ) a1 q(2q ) 2a1 q 2a8
7
a 2 , a8 , a5 成等差数列 .
小结：
等比数列求和公式：
na1 (q 1) n a1 an q S n a1 a1q (q 1) 1 q 1 q
64
1
1.84 10
示，全世界小麦的年产量约为 6亿吨，就是说全世界都要 18446744073709551615 1000多年才能生产这么多小麦， 19 国王无论如何是不能实现发明 者的要求的。
2 30
-1
=1 07 37 41 82 3
请同学们考虑如何求出这个和？
如何求等比数列的Sn:
2.推导公式的方法：错位相减法。
等比数列前n项和公式的推导欣赏 (一) 用等比性质推导 因为 所以
当 q = 1 时 Sn = n a1
（二）借助和式的代数特征进行恒等变形
S n a1 a2 a3 ... an a1 q(a1 a2 a3 ... an1 ) a1 q(S n an )
2
……
5000 1.1 台
2
n1
台
n 1
5 5 1.1 5 1.1 5 1.1
例4、如图，为了估计函数y=9-x2在第一象限 的图象与x轴、y轴围成的区域面积X，把x轴 上的区间[0，3]分成n等份，从各点作y轴的 平行线与函数图象相交，再从各交点向左作 x轴的平行线，构成（n-1）个矩形。下面的 用来计算这（n-1）个矩形的面积的和S．
a1 a n q 当q≠1时， S n 1 q
当q=1时， S n na1
变式练习：公式的应用 变式1 判断正误：
①
1 2 4 8 (2)
n1
1 (1 2 ) 1 2
n
× ×
②
n 1 ( 1 2 ) 2 3 n 1 2 2 2 2 1 2
(m, n, r, s N * )
n(a1 an ) Sn 2 n(n 1) Sn na1 d 2
am an ar as
引言: 国际象棋的传说 国际象棋起源于古代印度,国王要奖赏国际象棋的发明者,问 他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里 放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此类 推,每个格子里放的麦粒数是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子. 请给我足够的粮食来实现上述要求.” 国王欣然同意,但大臣们计算之后发现,这个数大得惊人,国王根本无法满足 发明者的要求.为什么?
s6 2
189 2
例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今 起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保 留到个位)？ 分析：第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台 第3年产量为 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第n年产量为 50001.1 则n年内的总产量为：
×
③
1 a a a
2
n 1
1 (1 a ) 1 a
n
反思总结:
用公式前，先弄清楚数列的首项 、公比 、项数n
变式练习：公式的应用 变式2 填空：
a1
q
n
6
5
an Sn
96 189
反思总结:
①在等比数列中，已知
第 1题 3 2 第2题 8 0.5 第3题 -1.5 -4 第4题 1.5 1 第5题 -6 -2
2.5.1等比数列前n项和公式
高中数学教师欧阳文丰制作
复习:
等差数列 等比数列
定义
通项公式
an1 an d an1 an d
an am (n m)d
an1 an q
an am q
nm
an 1 q an
性质
am an ar as
Sn
mn r s