1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
20世纪的高考——1987年数学高考试卷
1987年数学高考试卷理工农医类一、本题每一个小题都给出代号为A ，B ，C ，D 四个结论，其中只有一个是正确结论。
把正确结论的代号写在题后的括号内。
（1）设S 、T 是两个非空集合，且S T Ú，T S Ú，令X S T = ，则S X = （ ） A 、X B 、T C 、∅ D 、S（2）椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，令222c a b =-，那么它的准线方程是（ ）A 、2a y c =±B 、2b y c =±C 、2a x c =±D 、2b x c=±（3）设a ，b 满足0ab <，那么（ ）A 、a b a b +>-B 、a b a b +<-C 、a b a b -<-D 、a b a b -<+（4）已知E 、F 、G 、H 为空间中的四个点，设命题甲：点E 、F 、G 、H 不共面；命题乙：直线EF和GH 不相交，那么（ ）A 、甲是乙的充分条件，但不是必要条件B 、甲是乙的必要条件，但不是充分条件C 、甲是乙的充要条件D 、甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（5）在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ） A 、12log ()y x =-- B 、1x y x=- C 、2(1)y x =-+ D 、21y x =+（6）要得到sin(2)3y x π=-的图像，只要将sin 2y x =的图像（ ）A 、向左平移3πB 、向右平移3πC 、向左平移6πD 、向右平移6π（7）极坐标方程sin 2cos ρθθ=+表示的曲线是（ ） A 、直线 B 、圆 C 、双曲线 D 、抛物线（8）函数arccos(cos )([,])22y x x ππ=∈-的图像是（ ）二、只要求直接写出结果 （1）求函数2tan3xy =的定义域； （2）已知方程22121x y λλ-=++表示双曲线，求λ的范围；（3）若(1)nx +的展开式中，3x 的系数等于7x 的系数，求n ； （4）求极限22221232lim()1111n nn n n n →∞++++++++ ； （5）在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短；（6）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数（7）一个正三棱台的下底和上底周长分别为30cm 和12cm ，而层面积等于两底面积之差，求斜高三、求sin10sin30sin50sin70°°°°的值四、如图三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PA BC L ==，PA 、BC 的公垂线ED h =，求证：三棱锥P ABC -的的体积216V L h =五、设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a++++>+恒成立，求a 的取值范围六、设复数1z 和2z 满足关系式12120z z Az Az ++=，其中A 是不为零的复数，证明： （1）212z A z A A +⋅+=； （2）1122z A z Az A z A++=++七、设数列12,,,n a a a 的前n 项和n S 与n a 的关系是11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且1b ≠-（1）求n a 和1n a -的关系式； （2）写出用n 和b 表示n a 的式子； （3）当01b <<时，求lim n n S →∞八、定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线2y x =上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标九、附加题，不计入总分 （1）求极限1lim(1)2xx x→∞-； （2）设2ln(1)y x x =+，求y '答案： 一、（1）B ；（2）C ；（3）B ；（4）A ；（5）B ；（6）D ；（7）B ；（8）A ； 二、（1）32π；（2）1λ>-或2λ<-；（3）8；（4）2；（5）1(,1)2；（6）72；（7三、116四、证明略 五、01a << 六、证明略七、（1）11(2)1(1)n n n b b a a n b b -+=+≥++；（2）111,1(1)(1),12n n n n b b b b b a n b +++⎧-≠⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩；（3）lim 1n n S →∞= 八、最小值是54，坐标是5(,42或5(,42-九、（1）12e -；（2）2222ln(1)1x y x x '=+++文史类一、本题每一个小题都给出代号为A ，B ，C ，D 四个结论，其中只有一个是正确结论。
1987年全国高考数学(理科)试题
1987年全国高考数学试题(理工农医类)一、（本题满分24 分）本题共有8个小题，每一个小题都给出代号为A,B,C,D 的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.1.设,S T 是两个非空集合，且S T ⊄,T S ⊄,令X S T =,那么S X 等于A. XB. TC. ∅D. S2.设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,令222c a b =-，那么它的准线方程为 A. 2a y c =± B. 2b yc =± C. 2a x c =± D. 2b x c =± 3.设,a b 是满足0ab <的实数,那么 A.a b a b +>- B.a b a b +<- C.a b a b -<- D.a b a b -<+4.已知,,,E F G H 为空间中的四个点,设命题甲:点,,,E F G H 不共面.命题乙:直线EF 和GH 不相交.那么A.甲是乙的充分条件,但不是必要条件.B.甲是乙的必要条件,但不是充分条件.C.甲是乙的充要条件.D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.5.在区间(,0)-∞上为增函数的是 A. 12log ()y x =-- B . 1x y x=- C. 2(1)y x =-+ D. 21y x =+ 6.要得到sin(2)3y x π=-的图像，只要将sin 2y x =的图像 A.向左平行移动3π B.向右平行移动3π C.向左平行移动6π D.向右平行移动6π 7.极坐标方程sin 2cos ρθθ=+所表示的曲线是A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线8.函数arccos(cos )(,)22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图像是二、（本题共28分）本题共7个小题，每小题满分4分，只要求写出结果.1.求函数2tan 3x y =的周期. 2.已知方程22121x y λλ-=++表示双曲线，求λ的范围. 3.若(1)n x +的展开式中，3x 的系数等于x 的系数的7倍，求n .4.求极限22221232lim()1111n n n n n n →∞++++++++. 5.在抛物线24y x =上求一点,使该点到直线45y x =-的距离为最短.6.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.7.一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm 和12cm ,而侧面积等于两底面积之差,求斜高.三、（本题满分10分）求sin10sin30sin50sin 70的值.四、（本题满分12分）如图,三棱锥P ABC -中,已知PA BC ⊥,PA BC l ==, PA ,BC 的公垂线ED =h .求证：三棱锥P ABC -的 体积216V l h =. A B C DE P五、（本题满分12分）设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a ++++>+恒成立，求a 的取值范围.六、（本题满分12分）设复数1z 和2z 满足关系式: 12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=,其中A 为不等于0的复数.证明:（1）212z A z A A +⋅+=；（2）1122z A z A z A z A ++=++. 七、（本题满分12分）设数列12,,,n a a a 的前n 项的和n S 与n a 的关系是：11(1)n n n S ba b =-+-+, 其中b 是与n 无关的常数,且1b ≠-.（1）求n a 和1n a -的关系式；（2）写出用n 和b 表示n a 的表达式；（3）当01b <<时，求极限lim n n S →∞. 八、（本题满分10分）定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线2y x =上移动,记线段AB 的中点为M .求点M 到y 轴的最短距离,并求此时点M 的坐标.九、(附加题,本题满分10分,共2个小题，每小题5分，不计入总分)（1）求极限1lim(1)2x x x→∞- （2）设2ln(1)y x x =+,求y '.。
1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题含答案
| z2 + A |2
| z2 + A | z2 + A
七．（本题满分 12 分，共 3 个小题）
设数列 a1, a2 ,, an ,的前 n 项的和 Sn 与 an 的关系是
Sn
=
−ban
+1−
1 (1 + b)n
, 其中
b
是与
n
无关的常数，且
b≠-1 新疆 王新敞 奎屯
（1）求 an和an−1 的关系式;
0
分 新疆 王新敞
奎屯
（1）设 S，T 是两个非空集合，且 S T，T S，令 X=S T，那么 S X
等于
（D）
（A）X
（B）T
（C）
（D）S
（2）设椭圆方程为 x2 + y2 = 1 (a b 0) ，令 c = a2 − b2 ，那么它的准
a2 b2
线方程为
（C）
（A） y = a2 （B） y = b2 （C） x = a2
1 [2 4
( y1 − y2 )2 (( y1 + y2 )2 + 1) − 1]
由(2)得x
1 4
(2 3 −1)
=
5 4
,并且当( y1
−
y2 )2
= ( y1 + y2 )2 + 1 = 3
(3)
时x取得最小值x0
=
5 4
下证 x 能达到最小值，根据题意不妨设 y1>y2 ,由（3）得
y1
−
y2
=
y1 + y2 =
3, 2
,由此解得y1,
y
2
,由(1)解得x
1977-1987年高考理科数学试题参考答案
(5,0)(1,0)(0,5)(3,-4)x =3yx O 15°45°A C B ED A CB 1977年普通高等学校招生考试(北京市)理科数学参考答案 满分120分，120分钟1．（本小题满分10分） 解：将两边平方，得2169x x x -=-+，即27100x x -+=,解得2,5x x ==, 经检验5x =是增根， ∴原方程的解是2x =． 2．（本小题满分10分） 解：原式=1． 3.（本小题满分10分）解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266．4．（本小题满分10分）证明：∵22cos sin (1)cos tg αααα+⎛⎫+= ⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin cos ααααα++= 21sin 2cos αα+=，∴等式成立． 5．（本小题满分10分）解：由 70,310x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,5x y ==．∴过点(2,5)和(1,1)的直线方程为 430x y --=．6．（本小题满分10分）解：七月份到十月份总产值为2100100(10.2)100(10.2)++++ 3100(10.2)++4100[(1.2)1]1.21⨯-=-100 1.0736536.80.2⨯==（万元）．7.（本小题满分10分）解：（1）2265(3)4y x x x =-+=--， ∴二次函数图象的顶点坐标为(3,4)-， 对称轴方程为3x =．（2）如图（列表，描点略）． （3）令0x =，得5y =；令0y =，得1x =或5x =， ∴二次函数图象与坐标轴 的交点坐标为(0,5),(1,0),(5,0)8．（本小题满分10分）解：由已知条件及图可得AC =20海里，∠BAC =450，∠ABC =300．由正弦定理可得20sin 21sin 2AC ACB B⋅===（海里）.9.（本小题满分10分）证：连接CE ,在△ABD 和△ACE 中，∠BAD =∠CAE ，∠ABD =∠AEC ， ∴△ABD ~△ACE ,∴AB ADCE AC= 即AD AE AC AB ⋅=⋅.10.（本小题满分10分）解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：22, (1)1.(2)169y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将（1）代入（2）得22()1169x x m ++=，即222532(16144)0x mx m ++-=，22(32)425(16144)m m ∆=-⋅⋅- 2576(25)m =-，当2576(25)0m ∆=-=，即5m =±时，直线与椭圆有一个交点； 当2576(25)0m ∆=->，2250m -+>，即5m <时，直线与椭圆有二个交点；当2576(25)0m ∆=-<，即5m >时，直线与椭圆没有交点. 参考题1.（本小题满分10分） 解：（1）当0x ≠时，22()2sin cos()f x x x xx x πππ-'=+2sincosx xxπππ=-；当0x =时，(0)(0)(0)limx f x f f x∆→∆+-'=∆20sin0limx x x xπ∆→∆-∆=∆ 0lim sin 0x x xπ∆→=∆=∆. ∴2sin cos .(0)()0(x 0)x x f x x xπππ⎧-≠⎪'=⎨⎪=⎩. （2）旋转体体积2aaV y dx π-=⎰22224(1)3aa xb dx ab a ππ-=-=⎰. 2. （本小题满分10分） 解：（1）答：略.（2）证：由()f x 在点0x x =处连续，且0()0f x >，所以，由定义，对于给定的0()02f x ε=>，必存在0δ>, 当0x x δ->时，有00()()()2f x f x f x -<,从而000()()()()022f x f x f x f x >-=>， 即在00(,)x x δδ-+内处处有()0f x >.1978年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 满分120分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题） 一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.解：222444x xy y z -+-22(2)(2)x y z =--(22)(22)x y z x y z =---+2.解：设底面半径为r ，则22ra a π=，即2a r π=，∴22224a a V r a a ππππ⎛⎫=⋅=⋅=⎪⎝⎭. 3．解：∵lg(2)0x +≥, ∴21x +≥，即1x ≥-， ∴函数定义域[)1,-+∞.4.解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22. 5. 解：原式12425b = . 二 、（本题满分14分）解：1）0k >时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①1k >时,长轴在y 轴上，2a =，b =; ②1k =时,为半径2r =的圆; ③1k <时,长轴在x 轴上，a =，2b =.如图：2) 0k =时，方程为2y =图形是两条平行于x 轴的直线2±=y .如图.3）0k <时，方程为22124x y k-+=，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上.如图： 三、（本题满分14分） 证：1)连接CA ，CB ，则∠ACB =900∠ACM =∠ABC , ∠ACD=∠ABC ， ∴∠ACM =∠ACD ， ∴△AMC ≌△ADC ， ∴CM =CD .同理CN =CD ，∴CD =CM =CN .2）∵CD ⊥AB ，∠ACD =900， ∴ CD 2=AD ·DB .由1）知AM=AD ，BN=BD ，∴CD 2=AM ·BN . 四、（本题满分12分）解：∵185b=，∴ 18log 5b =， ∴ 183618log 59log 45log 182⋅=⋅18181818log 5log 9log 18log 22a ba++==+-. 五、（本题满分20分）解：由条件得180A B C ++=︒， 2B A C =+，∴60,120B A C =︒+=︒.∵tan tan 2A C = ∴tan tan (1tan tan )tan()A C A C A C +=-+(13=-=，……② ∴由①，②知tan ,tan A C 是方程2(320x x -+=的两个根，解这个方程得121,2x x ==tan 1,tan 2A C ==tan 21A C ==， ∴45,75A C =︒=︒，或 75,45A C =︒=︒，∴45,60,75A B C =︒=︒=︒，或 75,60,45A B C =︒=︒=︒.∵顶点C 的对边c 上的高等于34，∴8,a b ====cos 45cos 60c AD DB b a =+=︒+︒4=，或8a ==，b ==cos 75cos 60c AD DB b a =+=︒+︒8=.六、（本题满分20分）证明：由223sin2sin 1αβ+= 得2c o s 23s i n βα=，由3sin 22sin 20αβ-= 得3sin 2sin 23sin cos 2βααα==， 2249sin cos 9sin ααα+22sin 2cos 21ββ=+=，即29sin 1α=.∵α为锐角，∴1sin 3α=.∴sin(2)sin cos2cos sin 2αβαβαβ+=+2sin (3sin )cos (3sin cos )ααααα=+ 223sin (sin cos )3sin 1αααα=+==.∵,αβ为锐角，∴22παβ+=.七、（本题满分20分） 解：已知函数配方法得：2214524m m y x ++⎛⎫=+-⎪⎝⎭，1E DC BA ∴y 的极小值为454m +-. 1）由4504m +-=，得54m =-， ∴当54m =-时，y 的极值是0.2）设函数的顶点坐标为(,)x y ，则21122m x m +=-=--，45544m y m +=-=--，消去m 得1l ：34x y -=，∴不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上. 当1,0,1m =-时，函数式分别为211()42y x +=-，293()42y x +=+， 251()42y x +=+（图略）.3）设l ：x y a -=为任一条平行于1l 的直线，与抛物线方程22(21)1y x m x m =+++-联立求解，消去y ，得22210x mx m a ++-+=，即2()1x m a +=-.当1-a ≥0，即a ≤1时，直线l 与抛物线相交，而a ＞1时，直线l 与抛物线不相交.当1a ≤时，x m =-直线l 与抛物线两交点的横坐标分别为m m --由条件知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 被抛物线截出的线段长为[((m m ---=m 无关，因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等.一九七八年副题 理科数学参考答案 满分120分，120分钟1．（下列各题每题4分，五个题共20分） （1）解：原式=(1)(3)x y x y ---+.(2)解：原式2130124=-+-=⎝⎭. （3）解：由255010x x ⎧->⎨+≠⎩得2x <且1x ≠-，∴函数的定义域∞(-,1)(1,2).（4）解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅=. （5）解：原式=30. 2．（本题满分14分） 解：由已知条件得121239,40x x x x +==-， ∴121212113940x x x x x x ++==-， 1211140x x ⋅=-， ∴所求方程为：2403910x x +-=. 3. （本题满分14分） 证：∵AD 是 △ABC 的外接 圆的切线，∴∠B =∠1，∴△ABD ∽△ACD ，∴22ABC AB ACD AC ∆=∆的面积的面积作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CD BDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积 ∴CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积. 4．（本题满分12分）F aαN MEDCB A证：作ME BD ⊥ 于E ，由△ABC 是 等边三角形知， 在直角△MBE 中，12BE BM =，ME =，2tan 122MEED a BM α==-，BM =类似地，过N 作NF BC ⊥于F ，在直角△NFC中，可证：CN = 5．（本题满分20分）证：1）∵244(1)0p q m --+=，∴2414p q m -+=，∴432()444f x x px qx =-+ 222442()44p q p q p x --+⋅+2222(2x )(4)px p q x =---22244(2)()44p q p q px --+⋅+22222244(2x )2(2x )()44p q p q px px --=---⋅+2224(2x )4p q px -=--，∴()f x 恰好是一个二次三项式的平方.2）由条件得43224442(1)(1)x px qx p m m -+++++ 22(2)x ax b =++4322244(4)2x ax a b x abx b =-++++，∴22244(1)44 (2)2(1)2(3)(1)(4)p a q a b p m ab m b-=⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪+=⎩， 由（1）得a p =-，代入（2）得244q p b -=，将,a b 代入（3）得242(1)24q p p m p -+=-⋅，即2[44(1)]0p p q m --+=，∵0p ≠，∴244(1)0p q m --+=.6．（本题满分14分） 证：∵,a b 不同时为0， ∴①可变形为0x x +=，设in s y y ==，则上式即为sin cos cos sin sin()0x y x y x y -=-=， ∴()x y k k Z π-=+∈，即 ()x y k k Z π=+∈.∴sin 2cos 2A x B x C +-sin(22)cos(22)A y k B y k C ππ=+++- sin 2cos 2A y B y C =+-222sin cos (cos sin )A y y B y y C =---22222220ab a b A B C a b a b -=---=++，即22222()()0abA b a B a b C +-++=. 证（二）：当0,0a b =≠时，由①得cos 0x =，结合②得B C -=，∴22222()()0abA b a B a b C +-++=； 同理可得，当0,0a b ≠=时，22222()()0a b A ba B ab C +-++=； 当0,0a b ≠≠时，由由①得tan bx a=-，sin 2cos 2A x B x C +-B /P/Pl CBA O y x2222222sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x A B C x x x x-=⋅+⋅-++2222tan 1tan 1tan 1tan x x A B C x x -=⋅+⋅-++ 2222222111b b a a A B C b b a a -⋅-=⋅+⋅-++ 22222220ab a b A B C a b a b -=-⋅+⋅-=++,即22222()()0abA b a B a b C +-++=.综上可知，结论成立. 7．（本题满分14分）解：1）直线l ，圆C 和抛物线Q的方程为:L y x =；2:x Q y =； 22:1C x y +=. 草图如右图所示. 2)由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得A点横坐标为2x =- 线段PA 的函数关系为1(),()322f x x x =-≤≤-；由2221y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得B 点横坐标为2x =， 圆弧AB 的函数关系式为2())22f x x =-≤≤；抛物线上OB 一段的函数表达式为3()(02f x x =≤≤, POP S '∆=724OAB π=扇形S ， 14BOB S '∆=，71244π=+阴S .V D CBA βαPCBA1979年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分6分） 证： 2()4()()z x x y y z ----22()4()4x z x z y y =+-++ 2(2)0x y z =-+=,∴22x z y +=,即,,x y z 成等差数列． 二、（本题满分6分） 解：原式221111111tan 1cot xx==--+--22211csc 1sin 1csc x xx===-． 三、（本题满分6分）解：由条件知，甲中纯酒精与水的重量分别为1111m v m n +，1111n v m n +；乙中纯酒精与水的重量分别为2222m v m n +，2222n v m n +．混合后所得液体中纯酒精量为11221122m v m vm n m n +++112222111122()()()()m v m n m v m n m n m n +++=++； 混合后所得液体中水的量为11221122n v n vm n m n +++112222111122()()()()n v m n n v m n m n m n +++=++．混合后所得液体中纯酒精与水之比是11222211[()()]:m v m n m v m n +++ 11222211[()()]n v m n n v m n +++．四、（本题满分6分）略． 五、（本题满10分） 解：作PC AB ⊥于C ， 设PC d =，在直角三角形PAC 中， cot AC d α=；在直角三角形PBC 中，cot BC d β=，∴(cot cot )S AC BC d αβ=+=+． 当d D ≤，即cot cot SDαβ+≥时，应向外国船发出警告． 六、（本题满10分）证：设,,VA a VB b VC c ===，AB p =，,BC q CA r ==，则222222222,,p a b q b c r c a =+=+=+．在三角形ABC 中，由余弦定理得222222cos CAB ∠=20=>，∴CAB ∠是锐角． 同理，∠ABC ， ∠BCA 也是锐角． 七、本题满分12分）解：设年增长率为x ，则由条件得40100(1)500x +=,即40(1)5x +=.F 1ED C BA取自然对数有40ln(1)ln 5x +=. 又lg5=1-0.3=0.7 ， ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61． 利用ln(1)x x +≈,有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%． 答：每年约增长百分之四．八、本题满分12分） 证：连接CD ．∵∠CFD =900，∴CD 为圆O 的直径， 又AB 切圆O 于D ，∴CD ⊥AB ．又在直角三角形ABC 中，∠ACB =900， ∴2AC =AD ·AB ，2BC =BD ·AB ， ∴22BD BCAD AC =．…⑴ 又∵2BD =BC ·BF ，2AD =AC ·AE ，∴22BD BC BFAD AC AE⋅=⋅．…⑵ 由（1）与（2）得44BC BF BC AC AE AC ⋅=⋅，∴33BF BC AE AC =． 九、（本题满分14分）解：记已知数列为{}n a ，则由条件知：11lg(100sin )2(1)lg 242n n a n π-==--，∴数列{}n a 是递减等差数列，且其首项为2．设前k 项的和最大，则由条件得12(1)lg 20,212[(1)1]lg 20.2k k ⎧--≥⎪⎪⎨⎪---<⎪⎩ 解得 13.214.2k <≤，∵k N ∈，∴14k =．11414142a a S +=⨯ 91280.301014.302=-⨯≈． 十、（本题满分18分） 解：设OP 与x 轴正方向的夹角为α，点P 的坐标为(,)x y ,则OP =sin()PD OP θα=-(sin cos cos sin )OP θαθα=-sin cos x y θθ=-，sin()PF OP θα=+(sin cos cos sin )OP θαθα=+sin cos x y θθ=+由2PD PF PE ⋅=得22222sin cos ()x y h x θθ-=-，……① 22222cos 2cos 0x hx y h θθ-++=．由条件知2cos 0θ≠，332211O 3O 2O 1EDC (c ,0)B (b .0)A (0.a )O y x ∴2222220cos cos h h x x y θθ-++=，即 22222sin ()()cos cos h h x y θθθ-+=． 这是以2(,0)cos h θ为圆心，2sin cos h θθ为半径的圆.所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分．2．由PD PE PF +=得sin cos sin cos x y h x x y θθθθ-+-=+，即2cos x y h θ+=．…………………②此直线过点(,0)h 及(0,)2cos hθ．由①，②得222222sin cos 4cos x y y θθθ-=，即 22225cos sin y x θθ=，由PD PE PF +=知0y >，∴y x =．……………③由②，③得(1)x h θ+=，即1h x θ==tan y θ=∴所求点的坐标为P ．1980年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分6分） 解：1. 55449(9)x y xy xy x y -=-2222(3)(3)xy x y x y =+-. 2. 559x y xy -22(3)()()xy x y x x =+. 3. 559x y xy -()()()()xy x x x x =.二、（本题满6分） 证：设⊙1O ，⊙2O ， ⊙3O 的半径为1，2，3∵因这三个圆两两外切， ∴12233,5OO O O ==，134O O =，∴()()()222121323O O O O O O +=∴根据勾股定理的逆定理知△123O O O 为直角三角形. 三、（本题满分10分）证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为x 轴，经过A 的高线为y 轴，设,,A B C 的坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，根据所选坐标系，如图，有0,0,0a b c ><>. 直线AB 的斜率AB ak b=-， 直线AC 的斜率ACa k c=-；∴高线BE 斜率BE ck a=，高线CD 斜率CD b k a =高线BE 的方程为()cy x b a =-，……⑴高线CD 的方程为()by x c a=-，……⑵由（1）-（2）得 ()0b c x -=， ∵b c ≠，∴0x =.lB AP NMDC BA ∴高线CD 、BE 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上. ∴三条高线交于一点. 四、（本题满分10分） 解：见课本. 五、（本题满分10分）证：用反证法假如平面N 与平面M 平行，则PA 也垂直于N ，因此PA 与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设矛盾，∴平面N 与平面M 相交.设平面N 与平面M 的交线为l∵PA ⊥平面M ，∴PA ⊥l . 又∵PB ⊥平面N ， ∴PB ⊥l ，∴l ⊥平面PAB ，∴l ⊥AB . 六、（本题满分12分） 解：1. M =1，1m =-，5210T k kππ⨯==. 2. ()f x 在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m . 而任意两个整数间的距离都≥1.∴要使任意两个整数间函数()f x 至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使()f x 的周期1T ≤，即.4.3110,110 =≥≤ππk k∴32k =就是这样的最小正整数.七、（本题满分14分）解：设,,CD h AB c BD x ===，则AD c x =-， ∴△ACD 的面积为)(21x c h -， △BCD 的面积为hx 21，△ABC 的面积为hc 21，由题意得2111()(),222hx h c x hc =-⋅2()x c c x =-，即220x cx c +-=，解得12x -=或12c -（舍去） 由直角三角形的性质，有2()AC AD AB c c x =⋅=-211()22c c c ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴AC =， ∴215215sin -=-==c cAB AC B ， ∴B ∠=.八、（本题满分14分） 证（一）：∵0απ<<， ∴cos22sin 2cot2sin 22sin2ααααα-=-22cos 22sin 22sincos 22αααα=-1cos 2sin 2sin ααα+=-2sin 2sin (1cos )sin αααα-+=24sin cos (1cos )sin αααα-+=24(1cos )cos (1cos )sin αααα--+=214(1cos )(cos )20sin ααα+-=-≤，A (m ,0)当且仅当1cos 2α=，即3πα=时取“=” .证（二）：即证：1cos 2sin 2sin ααα+≤.两端乘以sin α，问题化为证明 2sin αsin2α≤1+cos α.而 2sin αsin2α=4sin αcos 2α=4(1-cos 2α)cos α=4(1-cos α)(1+cos α)cos α ∴问题又化为证明不等式(1+cos α)[4(1-cos α)cos α-1]≤0，即（1+cos α)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--221cos 4α≤0，∴不等式得证. ∵0απ<<,∴等号成立当且仅当cos α-21=0 即3πα=.九、（本题满分18分）解：设圆心为(,0)A m ，则圆的方程为22()1x a y -+=.设圆与抛物线的一 个交点为000(,)(0)P x y x ≥， 则00AP y k x a=-， 圆A 在点P 处的切线斜率为010x ak y -=-，抛物线在P 点处的切线斜率201k y =.由在P 点处抛物线的切线与圆的切线垂直得0120011x a k k y y -=-⋅=-，即 200y x a =-.…………①由00(,)P x y 是圆与抛物线的交点得 2002y x = , ………………②2200()1x a y -+= . …………③ 由①，②式消去0y ,得0x a =-,将②代入③，得200()21x a x -+=, 将0x a =-代入，得24210a a --=，∴a =或a =.所求圆的方程为22(1x y +=.由对称性，圆与抛物线的另一交点00(,)x y -处的切线也互相垂直. 附加题（成绩不计入总分，只作参考） 解：消去参数，得l ：;b mx y +=E ：.1)1(222=+-y ax 消去y ，整理得01)1(2)1(2222222=+-+-++a b a x mb a x m a 由条件知l ，E 有交点，∴22222224(1)4(1)(1)0a mb a m a b a ∆=--+-+≥，即.0)1(2)1(222≥-+--b bm m a对任意m 的值，要使这个不等式恒成立，条件是222210,(1)(1)0;a b a b ⎧->⎪⎨---≤⎪⎩或210,0.a b ⎧-=⎨=⎩即||1,a b >⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或||1,0.a b =⎧⎨=⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≥.||1||1,1||22a a b a a a 即所求的条件.（注：也可数形结合，由点(0,)P b 在椭圆E 内或E 上求解）1981年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案满分120分，120分钟一、（本题满分6分）解：1.A∪B={实数},2.A∩B=φ.二、（本题满分6分）解：1.选举种数2412P=（种）.所有可能的选举结果：,,,,,AB AC AD BC BD CD，,,,,,BA CA DA CB DB DC.2.选举种数C43=4（种）.所有可能的选举结果：,,,ABC ABD ACD BCD.三、（本题满分8分）解：1.必要条件 2.充分条件3.充分条件4.充要条件四、（本题满分8分）证（一）：解析法：如图①，以C为原点，边CB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设B点的坐标为(,0)a，点A的坐标为(cos,sin)b C b C，则AB==2222cosc a b ab C=+-.同理可证2222cosa b c bc A=+-,2222cosb ac ac B=+-.证（二）：如图②，当ABC∆是直角三角形时，222222cosc a b a b ab C=+=+-.①②如图③，当ABC∆是锐角三角形时，sinAD b A=，cosBD BC CD a b C=-=-，在Rt ABD∆中，由勾股定理得222AB AD BD=+22(sin)(cos)b C a b C=+-，即2222cosc a b ab C=+-.③④如图④，当ABC∆是钝角三角形时，sinAD b C=cosBD CD CB b C a=-=-，在Rt ABD∆中，由勾股定理得222AB AD BD=+22(sin)(cos)b C b AC a=+-，即2222cosc a b ab C=+-.另外两个等式可以类似证明.五、（本题满分10分）解：x a b c x xa xbc x xa b x c a b x c---=----2000()0xx x x x a b ca ab x c==--->-+-，原不等式解是x a b c>++，且0x≠.六、（本题满分10分）用数学归纳法证明等式23sin cos cos cos cos22222sin2nnn x x x x xx ⋅⋅⋅⋅=对一切自然数n都成立.证：略七、（本题满分15分）解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lg x=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿) .2．设人口每年比上年平均递增率最高是y %，按题意得10×（1+y %)20≤12，（1+y %)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y %)≤lg1.2， 即 lg(1+y %)≤0.00396，∴1+y %≤1.0092, y %≤0.0092. 答：略 八、（本题满分17分） 解：1.在平面P 内作直线AD ⊥a 于点D ；在平面Q 内，作直线BE ⊥a 于点E ，从点D 作a 的垂线与从点B 作a 的平行线∴∠ABC 等于AB 和a 所成的角∠ADC 为两面角P a Q --的平面角，∴∠ADC =1200AD =2，BCDE 为矩形，∴CD =BE =4.连接AC ，由余弦定理得.72=AC 又因AD ⊥a ,CD ⊥a ,所以a 垂直于△ACD 所在的平面BC ∥a 得知BC 垂直于△ACD 所在的平面，∴BC ⊥AC 在直角△ABC 中，,57sin ==∠AB AC ABC 57arcsin =∠∴ABC .2．在△ACD 所在的平面内，作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F因为△ACD 所在的平面⊥平面Q ， ∴AF ⊥平面Q在△ADE 中，∠ADE =600，2AD =， ∴AF =360sin 2=︒ 连接BF ，于是∠ABF 是AB 和平面Q 所成的角，而△ABF 为直角三角形，所以.103arcsin .103sin =∠==∠ABF AB AF ABF 九、（本题满分18分）解：1．①当直线l 的斜率不存在时，(2,0)P ． ②当直线l 的斜率为k 时，直线l 的方程为(2)1y k x =-+, …(1) 将（1）式代入双曲线方程，得[]22(2)112k x x -+-=，即2222(2)(42)4430k x k k x k k -+--+-=．… （2） 又设111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，则12,x x 是方程（2）的两个实根，且).02(22422221≠---=+k k k k x x由题意得212212()22k kx x x k -=+=-，122y y y +=12212(21)(4)122k k x x k -=+-+=-， 显然2,0x y ==不能同时成立． 由,x y 的表达式相除后消去k 得2214()8(1)21(277y x x ---=≠，且 0)y ≠．由①，②可得点P 的轨迹方程为2214()8(1)2177y x ---=． 2．设过点B 的直线方程为(1)1x t y =-+,代入双曲线方程2212y x -=得O F E DC B A []22(1)112y t y -+-=，即222(21)4(1)240t y t t y t t ---+-=（3）设133244(,),(,)Q x y Q x y ，则34,y y 是方程（3）的两个实根，且3424(1)21t t y y t -+=-如果B 是12Q Q 的中点，就有3424(1)21t t y y t -+=-=2，即12t =，代入（3）得1y =，从而1x =，∴ 12,Q Q 重合于点于点，∴满足题设中条件的直线不存在. 十、（附加题，本题满分20分，计入总分） 证：由条件得122(1)k k k k kk u a a b a b b --=-+-+-=ba b a k k k +--+++111)1(由条件可得1a b AC BC AC AF FC -=-=-==, 21ab AC BC CD ===.∴1112(1)n n n n a b u a b------=+111(1)=n n n a b ab a b -----+1(1)n n n a b ab a b---=+，1(1)n n nn a b u a b---=+(1)()n n na b a b a b--=-+111(1)(1)n n n n n n a a b ab b a b+++-----=+∴11112(1)n n n n n n a b u u u a b+++----+==+.1982年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分6分）解：1．{}0；2．R ；3．R ；4．[]1,1-； 5．(0,)+∞；6．R 二、（本题满分8分）解：1.第15项146141520(1)()T C i =- 62038760C =-=-.2.122cos sin ()sin 33333x x x xy ''=-=- .三、（本题满分9分）解：1. 由已知条件得2360x y --=，图形是直线.2.由已知条件得,14)1(22=+-y x 图形是椭圆.四、（本题满分12分） 解：设圆柱体半径为r 高为 (0)h h H <<. 由已知条件知△ACD ∽△AOB ， ∴H h rH R -=，即 ()Rr H h H=-，∴圆柱体体积2222()()R V h r h H h h H ππ==-.∵0h H <<， ∴22()422R H h H hV h h Hπ--=⋅⋅⋅⋅2322442727R H R H H ππ≤⋅⋅=，N MP (ρ,θ)BA O x KRQ PN M DCBA当且仅当2H h h -=，即3Hh =时， ()V h 最大，且2max 4()27V h R H π=.（注：可以用求导方法求解） 五、（本题满分15分） 解一：当1a >时，|log (1)|log (1)a a x x -=--，|log (1)|log (1)a a x x +=+，|log (1)||log (1)|a a x x --+ [log (1)log (1)]a a x x =--++2log (1)a x =--，∵1a >，01x <<，∴2011x <-<，∴2log (1)0a x -->， ∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+. 当01a <<时，|log (1)|log (1)a a x x -=-， |log (1)|log (1)a a x x +=-+，2|log (1)||log (1)|log (1)a a a x x x --+=-. ∵1a >，01x <<，∴2011x <-<， ∴2log (1)0a x ->，∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+. ∴当01,0,1x a a <<>≠时， |log (1)||log (1)|a a x x ->+.解二：|log (1)||log (1)|a a x x -+1log (1)|log (1)|log (1)a x a x x x +-==-+∵01x <<，∴11,011x x +><-<，2011x <-<， ∴|log (1)||log (1)|a a x x -+ 11|log (1)|log (1)x x x x ++=-=--11211log log 11x x xx x +++==--211log (1)1x x +=-->，∴|log (1)||log (1)|a a x x ->+.六、（本题满分16分）解：设P 的极点坐标为(,)P ρθ，则 ∠POM =αθ-， ∠NOP αθ=+，cos()OM ραθ=-， sin()PM ραθ=-, cos()ON ραθ=+， sin()PN ραθ=+. 1122PMON S OM PM ON PN =⋅+⋅四边形2[cos()sin()2ραθαθ=-- cos()sin()]αθαθ+++， 由题意得2[cos()sin()2ραθαθ--2cos()sin()]c αθαθ+++=，即222cos 2sin 2c ρθα=，22222(cos sin )sin 2c ρθθα-=.令cos ,sin x y ρθρθ==，将上面极坐标方程化为普通方程为2222sin 2c x y α-=.这个方程表示双曲线由题意知，动点P 的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB 内的一部分. 七、（本题满分16分）证：连结AC ，在△ABC 中， ∵,AM MB CN NB ==， ∴MN ∥AC . 在△ADC 中， ∵AQ QD =， CP PD =， ∴PQ ∥AC ， ∴MN ∥QP .A 3A 2A 1x 2=2qyy 2=2px x yO 同理，连接BD 可证MQ ∥NP ， ∴MNPQ 是平行四边形.取AC 的中点K ，连,BK DK . ∵AB BC =C ，∴BK ⊥AC ， ∵AD DC =，∴DK ⊥AC . ∴平面BKD 与AC 垂直.∵BD 在平面BKD 内，∴BD ⊥AC . ∵MQ ∥BD ，QP ∥AC ， ∴MQ ⊥QP ，即∠MQP 为直角. ∴MNPQ 是矩形. 八、（本题满分18分）解：不失一般性，设0,0p q >>. 又设22y px =的内接三角形顶点为111222333(,),(,),(,)A x y A x y A x y ，则2221122332,2,2y px y px y px ===.其中123,,y y y 互不相等，且1230y y y ≠. 由题意知，不妨设1223,A A A A 与抛物线22x qy =相切，要证13A A 也与抛物线22x qy =相切.∵12A A 与22x qy =相切， ∴12A A 不能与y 轴平行，即1212,x x y y ≠≠. ∴直线12A A 的方程是211121()y yy y x x x x --=--21112221212()()22y y p x x x x y y y y p p-=-=-+-，即 2111()()2()y y y y p x x +-=-， 2112()20y y y px y y +--=， ∴直线12A A 的方程是2112()20y y y px y y +--=.………①同理可得：直线23A A 的方程是2323()20y y y px y y +--=. 直线13A A 的方程是1313()20y y y px y y +--=.①与22x qy =联立得22112()420y y x pqx qy y +--=，……②由条件知方程②有两个相等的实根，222112168()0p q q y y y y ∆=++=，即221122()0p q y y y y ++=.………③由边23A A 与抛物线22x qy =相切， 同理可得223232()0p q y y y y ++=.…………④由③-④得21122323()()0y y y y y y y y +-+=，即 1230y y y ++=.直线13A A 的方程与抛物线方程22x qy =联立得21313()420y y x pqx qy y +--=， 221313168()p q q y y y y ∆=++ 222112168()p q qy y y y =---222112168()0p q qy y y y =++=，∴直线13A A 与抛物线22x qy =相切， ∴只要1223,A A A A 与抛物线22x qy =相切，则13A A 也与抛物线22x qy =相切. 九、（附加题，本题满分20分，计入总分）解：1.∵11,n n a p a pa -==， ∴n n a p =.又1b q =,11(2)n n n b qa rb n --=+≥ ，22211()()q p r b qa rb q p r p r -=+=+=-, 3322322()()q p r b qa rb q p pr r p r-=+=++=-,… 猜想121()()n n n n n n q p r b q p p r r p r----=+++=-.用数学归纳法证明：当2n =时结论显然成立;假设当(2,)n k k k N =≥∈时，等式成立，即,)(rp r p q b k k k --=则1()k k kk k k rq p r b qa rb qp p r+-=+=+-11()k k q p r p r++-=-， 即1n k =+时等式也成立. 所以对于一切自然数2n ≥，rp r p q b n n n --=)(都成立. 2．0,0q p r ≠>>，01rp<<.()n n n n q p r -=n n n =[1()]n n r q -==1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分10分）1．D 2．A 3．D 4．C 5．C 二、（本题满分12分） 解：1.图形如下图所示.交点坐标是：(0,0),(1,1)O P -.2．曲线名称是：圆.图形如上所示. 三、（本题满分12分） 解：1.(2cos2sin 2)x dy e x x dx -=- .2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C ，或：)(1002012036310种=-=-C C .四、（本题满分12分）解：把第一列乘以ϕsin 加到第2列上，再把第三列乘以)cos (ϕ-加到第2列上，得sin cos()cos cos sin()sin sin cos 2cos ααϕαββϕβϕϕϕ+- sin cos()cos()cos cos sin()sin()sin sin cos 2cos 2cos ααϕαϕαββϕβϕβϕϕϕϕ+-+=----sin 0cos cos 0sin 0sin 0cos ααββϕϕ==. 五、（本题满分15分）解：1.∵i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数），∴||r z ===αF 2F 1A 2A 1N My x OS N ABCMD≤∴42≤r .2. ∵复数i t t z |sin ||co s |+=的实部与虚部都是非负数，∴z 的幅角主值θ一定适合20π≤θ≤.由04πθ≤≤得01tg θ≤≤.由已知复数得0||≠=z r .∵tg θ==∴0||1tg θ≤≤，即11tgt -≤≤，∴()44k t k k Z ππππ-≤≤+∈.这就是所求的实数t 的取值范围. 六、（本题满分15分） 证：由已知条件知，SN ⊥底面ABC ，NC 是斜线SC 在底面上的射影，AB ⊥NC ， ∴AB ⊥SC .……① 连接DM .∵AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，∴AB ⊥面SCD ， 又∵DM ⊂面SCD ，∴AB ⊥DM .∴∠MDC 是截面MAB 与底面ABC 所成二面角的平面角， ∴∠MDC =∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC =∠NSC ，∠DCS 是公共角，∴∠DMC =∠NSC =900， ∴DM ⊥SC ，……②∴由①，②得 SC ⊥截面MAB . 七、（本题满分16分） 解一：以椭圆焦点1F 为极点，射线12F F 为极轴建立极坐标系.由已知条件可知椭圆长半轴3a =，半焦距c =短半轴1b =，离心率e =左准线方程为4x =-, ∴焦点1F到左准线的距离p =， ∴椭圆的极坐标方程为θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep .∴11||F M ρ==，22||F N ρ==，∴由1226||298cos MN ρρα=+==-得cos 2α=±，即6πα=或56πα=， ∴当6π=α或65π=α时，|MN |等于短轴的长.解二：以椭圆的中心为原点，12F F 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）.由已知条件可知椭圆长半轴3a =，半焦距c =1b =，∴椭圆的方程为2219x y +=. 当2πα=时， 易求得|MN |223≠，∴2πα≠.设直线MN 的方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中.解方程组221,9(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .设1122(,),(,)M x y N x y ，则12,x x 是上述方程的两个根，且221212229(81),1919k x x x x k k -+=-=++，∴||MN ==222266661919k tg k tg αα++==++. 下同解法一.解三：建立直角坐标系得椭圆方程2219x y +=. 如解二.MN 所在直线的参数方程为cos (sin x t t y t αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩是参数）， 代入椭圆方程得222(cos 9sin ))10t t ααα+--=. 设12,t t 是方程两根，则由韦达定理，1222cos 9sin t t ααα+=+， 12221cos 9sin t t αα-=+，12||||MN t t =-=226cos 9sin αα=+ 下同解一.解四：设|1F M |=x ,则 |2F M |=6x-|12F F |=24，21F F M α∠=，在△21F F M 中，由余弦定理得222(6)cos x x α-=+-，即cos 310x α-+=，∴α-=cos 2231x .同理，设|1F N |=y ，则|2F N |=6y -，在△21F F N 中，由余弦定理得222(6)cos()y y πα-=+--，即3cos 1y α+=，∴y =.∴||MN x y =+= 2698cos α=-. 下同解一. 八、（本题满分16分） 解：1.由已知条件得110S a b ==≠且1(1)n n S bp n -=≥.∵当2n ≥时，121n n n n S a a a S a -=+++=+ ,∴21(1)(2)n n n n a S S bp p n --=-=-≥，∴),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n∴234,,,,,n a a a a 是一个公比为p 的等比数列.2.解：当2n ≥时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n n n n n n n =--=---++ 且由已知条件可知21p <， ∴数列2233,,,,n n a S a S a S 是公比为2p 的无穷递缩等比数列， ∴2233lim()n n n a S a S a S →∞+++222222(1)111a S b p p b pp p p-===---+. ∴1122lim lim()n n n n n W a S a S a S →∞→∞=+++112233lim lim()n n n n a S a S a S a S →∞→∞=++++22211b p b b p p=-=++.九、（本题满分12分） 解：1.当e a b <<时，要证baa b >， 只要证ln ln b a a b >，即只要证bba a ln ln >. 构造函数ln ()(0)xf x x x=<<+∞，则21l n ()x f x x -'=.当e x >时，21ln ()0xf x x-'=<， ∴函数ln ()(,)xf x e x=+∞在内是减函数. ∵e a b <<，∴()()f a f b >，即bba a ln ln >， ∴b a a b >.2.证一：由b aa b =，得ln ln b a a b =，即 bba a ln ln =. 构造函数ln ()(0)xg x x x=<<+∞，则 21ln ()xg x x -'=.∴在(0,1)内()0g x '>， ∴()g x 在(0,1)内是增函数. ∵01,0a b <<>,∴1ba <,1abb a =<.由1a b <及0a >,可推出1b <.由01,01a b <<<<,假如b a ≠，则根据()g x 在(0,1)内是增函数，得()()g a g b ≠，即bba a ln ln ≠， 从而ab b a ≠这与b aa b =矛盾. ∴a b =.证二：∵01a <<，b aa b =，∴,log log b a a b a a =即aba log =假如a b <，则1>ab，且log log 1a a b a <=， ∴log a b b a >，这与log a bb a =矛盾. ∴a b ≥.假如a b >，则1<ab，且log log 1a a b a >=，这也与b aba log =矛盾，∴a b ≤， ∴a b =.证三：假如a b <，则可设ε+=a b ，其中0ε>.由于01a <<, 0ε>,∴根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa ，1)1(>ε+a a ，∴ (1)a a a εε<+，(1)a aa a a a aεε<+，()a a a a εε+<+，即b a a b <.这与baa b =矛盾， ∴a 不能小于b .假如a b >，则1a b >>，可设a b ε=+,其中0ε>,同上可证得b aa b <.这于b aa b =矛盾所以a 不能大于b . ∴a b =.011O y x2O x c b a γβαpc b a γβα1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案（共八道大题，满分120分.第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一、（本题满分15分） 解：1-5 CCBAB 二、（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．答：.84ππ或 2.答：(,2)-∞-.3．答：7{|,}12x x n n Z ππ=+∈ {|,}12x x n n Z ππ⋃=-+∈.4．答：-20. 5．答：0. 6．答：!647⋅P . 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形.解：1． 2 ．四、（本题满分12分）证：设三个平面为,,αβγ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α ∵,c b αβαγ⋂=⋂=， ∴,c b αα⊂⊂，∴从而b 与c 或交于一点或互相平行.1．若b 与c 交于一点，设c b P ⋂=，则由P c ∈，且c β⊂，有P β∈； 又由P b ∈，且b γ⊂，有P γ∈， ∴P a βγ∈⋂=，即,,a b c 交于一点（即P 点）.2.若c ∥b ,则由b γ⊂，有//c γ； 又由c β⊂，且a βγ⋂=知，//c a∴ ,,a b c 互相平行. 五、（本题满分14分）设,,c d x 为实数，0c ≠，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解，有解时求出它的解.解：原方程有解的充要条件是：10, (1)0, (2)1, (3)(). (4)x d cx x d cx x d cx x x ->⎧⎪⎪+>⎪⎪⎨+≠⎪⎪⎪+=⎪⎩由条件（4）知1)(=+xdcx x ，∴ 12=+d cx .由0c ≠，可得21d x c-=.又由1)(=+x dcx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中.再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x ∴原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①0,1c d ><;②0,1c d <>.再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1 从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它。
【高考试题】1987年全国高考数学试题★答案
【高考试题】1987年全国高考数学试题★答案(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)X(B)T(C)φ(D)S【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D【】[Key] (2)C(3)设a,b是满足ab<0的实数,那么(A)│a+b│>│a-b│(B)│a+b│<│a-b│(C)│a-b│<││a│-│b│(D)│a-b│<│a│+│b│【】[Key] (3)B(4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设命题甲:点E,F,G,H不共面.命题乙:直线EF和GH不相交.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件.(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件.(C)甲是乙的充要条件.(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.【】[Key] (4)A(5)在区间(-∞,0)上为增函数的是【】[Key] (5)B【】[Key] (6)D(7)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是(A)直线(B)圆(C)双曲线(D)抛物线【】[Key] (7)B【】[Key] (8)A二、只要求写出结果.(3)若(1+x)n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n.(5)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短.(6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.(7)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高.[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.三、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.[Key] 三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.解法一:sin10°sin50°sin70°∴sin10°sin30°sin50°sin70°解法二:∵sin10°sin50°sin70°,.解法三:sin10°sin30°sin50°sin70°==四、如图,三棱锥P ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.[Key] 四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.证明:连结AD和PD.∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD,三棱锥B PAD体积同理,三棱锥C PAD的体积∴三棱锥P ABC体积∵V=V1+V2,若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立.五、设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围.[Key] 五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.解:由题意得。
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（D） y 1 x2
（B）向右平行移动
3
（D）向右平行移动
6
（C）双曲线 （D）抛物线
（C） Y
2
二．（本题满分 28 分）本题共 7 小题，每一个小题满分 4 分 只要求 新疆 王新敞 奎屯
写出结果
（1）求函数 [答] 3
2
（2）已知方程
y tg 2x
x2
3
新疆
的周期 王新敞
2
（注：本题有多种解答）
四．（本题满分 12 分）
2 cos10
的值
新疆 王新敞
奎屯
如图，三棱锥 P-ABC 中，已知 PA⊥BC，PA=BC=L,PA,BC 的公垂
线 ED=h 求证三棱锥 P-ABC 的体积 新疆 王新敞 奎屯
V= 1 L2h.
6
证：连结 AD 和 PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，
（4）已知 E，F，G，H 为空间中的四个点，设
命题甲：点 E，F，G，H 不共面，
命题乙：直线 EF 和 GH 不相交
（A）甲是乙的充分条件，但不是必要条件
（B）甲是乙的必要条件，但不是充分条件
（C）甲是乙的充要条件
（D）甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件
c
奎屯
b 0) ，令 c
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
1977-1987年高考理科数学试题
15°45°B E D AC B 1977年普通高等学校招生考试理科(北京市)数学试题满分120分，120分钟1．（本小题满分10分）3x =-． 2．（本小题满分10分）计算1022-+．3. （本小题满分10分）已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45． 4．（本小题满分10分） 证明：αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg ．5．（本小题满分10分）求过两直线70x y +-=和310x y --=的交点且过(1,1)点的直线方程． 6．（本小题满分10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7. （本小题满分10分）已知二次函数265y x x =-+．(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴，y 轴的交点坐标． 8．（本小题满分10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB ．9. （本小题满分10分）有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD AE AC AB ⋅=⋅.10. （本小题满分10分）当m 取哪些值时，直线y x m =+与椭圆191622=+y x 有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象.参考题1. （本小题满分10分）（1）求函数2sin(0),()0(0)x x f x xx π⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 的导数.(2)求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而成的旋转体体积.2. （本小题满分10分）(1)试用ε-δ语言叙述“函数()f x 在点0x x =处连续的定义.（2）试证明：若()f x 在点0x x =处连续，且0()0f x >,则存在一个0x 的00(,)x x δδ-+，在这个邻域内，处处有()0f x >.c b a A B C D 1978年普通高等学校招生全国统一考试数学满分120分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题，文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题） 一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.分解因式：222444x xy y z -+-.2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.3．求函数)2lg(x y +=的定义域.4.不查表求cos800cos350+cos100cos550的值.5.化简：1132123421(4)4(0.1)()ab a b ----⎛⎫⋅⎪⎝⎭.二、（本题满分14分）已知方程224kx y +=，其中k 为实数.对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图. 三、（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD =CM =CN . 2)CD 2=AM ·BN四、（本题满分12分）已知18log 9(2),185b a a =≠=.求36log 45.五.（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tan tan 23A C =+,,A B C 的大小，又已知顶点C 的对边c 上的高等于3求三角形各边,,a b c 的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）六、（本题满分20分）已知,αβ为锐角，且223sin 2sin 1αβ+=，3sin22sin20αβ-=.求证22παβ+=.七、（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数22(21)1y x m x m =+++- (m R ∈）.1）m 是什么数值时，y 的极值是0？ 2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上.画出1,0,1m =-时抛物线的草图，来检验这个结论. 3）平行于1l 的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于1l 而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.1E DCB A F aαN MEDCBA B /P /PlC BA O y x一九七八年副题1．（1）分解因式：222223x xy y x y -++--(2)求25sin 30tan 0cot cos46ππ︒-︒+-的值（3）求函数lg(255)1x y x -=+的定义域（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积（5）计算1111222112510(2()30()()50093---+的值.2．已知两数12,x x 满足下列条件： 1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项;2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和．求根为211,1x x 的方程．3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积.4．（如图）CD 是BC 的延长线， AB BC CA CD a ====，DM 与 ,AB AC 分别交于M 点和N 点，且BDM α∠=.求证：BM CN ==5．设432()444f x x px qx =-+22(1)(1)(0)p m x m p ++++≠.求证：1）如果()f x 的系数满足244(1)0p q m --+=,那么()f x 恰好是一个二次三项式的平方. 2）如果()f x 与22()(2)F x x ax b =++表示同一个多项式，那么244(1)0p q m --+=. 6．已知：sin cos 0a x b x +=. ………① sin 2cos2A x B x C +=.………………② 其中,a b 不同时为0.求证：22222()()0abA b a B a b C +-++=.7．已知l为过点3()2P -而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线A 为l 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点．1）写出直线l ，圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图 2）写出线段PA ，圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式． 3）设,P B ''依次为从,P B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段,,,BB B P P P PA ''''所包含的面积．F 1E D CB A βαPC B A VD C BA1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科） 满分120分，120分钟一、（本题满分6分） 若2()4()()0z x x y y z ----=,求证：,,x y z 成等差数列． 二、（本题满分6分）化简：2111111csc x---．三、（本题满分6分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有1v 公斤，乙有2v 公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为1m :1n ,乙中纯酒精与水之比为2m :2n ．问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四、（本题满6分）叙述并证明勾股定理． 五、（本题满10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域．设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP =α，同时在B 站测得∠ABP =β．问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？六、（本题满分10分）设三棱锥V ABC -中，∠AVB =∠BVC =∠CVA =直角． 求证：△ABC 是锐角三角形．七、（本题满分12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：0.1x <,可用：ln(1)x x +≈，取lg2=0.3,ln10=2.3) 八、（本题满分12分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B 求证：33AC BC AE BF =．九、（本题满分14分）试问数列lg100，lg(100sin )4π，2lg(100sin )4π，…，1lg(100sin )4n π-前多少项的和的值最大？并求这最大值lg2=0.301) 十、（本题满分18分）设等腰△OAB 的顶点为2θ，高为h ．1．在△OAB 内有一动点P ，到三边OA ，OB ，AB 的距离分别为||,||,||PD PF PE ，并且满足关系2||||=||PD PF PE ．求P 点的轨迹．2．在上述轨迹中求出点P 的坐标，使得||+||=||PD PE PF ．332211O 3O 2O 1DC B A A (m ,0)lB A P N M1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科） 满分120分，120分钟一、（本题满分6分） 将多项式559x y xy -分别在下列范围内分解因式：1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围 二、（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.三、（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点. 四、（本题满分10分）证明对数换底公式：log log log a b a N N b=（,,a b N 是正数，且1,1a b ≠≠）. 五、（本题满分10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）.直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）.证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB .六、（本题满分12分）设三角函数()sin(),53k f x ππ=+其中0k ≠.1．写出()f x 极大值M ，极小值m 与最小正周期; 2．试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数()f x 至少有一个值是M 与一个值是m . 七、（本题满分14分）CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△BCD 、△ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）.八、（本题满分14分） 已知0απ<<，证明：2sin 2cot 2αα≤，并讨论α为何值时等号成立. 九、（本题满分18分）抛物线的方程是22y x =，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂注：设00(,)P x y 是抛物线22y px =上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是0y P）.附加题（成绩不计入总分，只作参考） 设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==;,mt b y t x （t 是参数），椭圆E 的参数方程是⎩⎨⎧θ=≠θ+=sin )0(,cos 1y a a x （θ是参数） 问,a b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线l 与椭圆E 总有公共点Q AB C a F E D P1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科） 满分120分，120分钟一、（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A ={有理数}，B ={无理数}，试写出：1. A ∪B , 2. A ∩B . 二、（本题满分6分）在,,,A B C D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果. 三、（本题满分8分）下列各小题中，指出A 是B 的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是.1.A: 四边形ABCD 为平行四边形, B ：四边形ABCD 为矩形.2.A: 3a =，B ：|a |=33.A: 150θ=︒，B ：1sin 2θ=. 4.A: 点(,)a b 在圆222x y r +=上B: 222a b r +=. 四、（本题满分10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明. 五、（本题满分10分） 解不等式（x 为未知数）：.0>-----cx bac b x a c b a x六、（本题满分10分） 用数学归纳法证明等式23sin cos cos cos cos 22222sin 2n n nx x x x xx ⋅⋅⋅⋅=对一切自然数n 都成立. 七、（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算.（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？ （2）要使2000年底我国人口不超过12亿，八、（本题满分17分）在1200的二面角P a Q --的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B A 和点B 到棱a 的距离分别为2和4，且线段AB=10，1．求直线AB 和棱a 所成的角; 2．求直线AB 和平面Q 所成的角.九、（本题满分18分）给定双曲线.1222=-y x 1．过点(2,1)A 的直线l 与所给的双曲线交于两点12,P P ，求线段12P P 的中点P 的轨迹方程.2．过点(1,1)B 能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点12,Q Q ，且点B 是线段12Q Q 的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由. 十、（附加题，本题满分20分，计入总分） 已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设,AC a BC b ==，作数列1u a b =-，222u a ab b =-+，32233u a a b ab b =-+-，…………，122(1)k k k k k k u a a b a b b --=-+-+-.求证：12(3)n n n u u u n --=+≥.N M P (ρ,θ)BA Ox K R Q P N M DC BA 数学（理科） 满分120分，120分钟一、（本题满分6分） 填表： 二、（本题满分8分）1．求20(1)i -+展开式中第15项的数值; 2．求3cos2xy =的导数. 三、（本题满分9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形.1．2113230634x y -=.2．1cos ,2sin .x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩四、（本题满分12分）已知圆锥体的底面半径为R ，高为H . 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图）. 五、（本题满分15分）设01,0x a <<>，1a ≠，比较|log (1)|a x -与|log (1)|a x +的大小（要写出比较过程）.如图：已知锐角∠AOB =2α内有动点P ，,PM OA PN OB ⊥⊥，且四边形PMON 的面积等于常数2c .今以O 为极点， ∠AOB 的角平分线Ox 为极轴，求动点P 的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线.七、（本题满分16分）已知空间四边形ABCD 中,AB BC CD AD ==，,,,M N P Q 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（如图）求证MNPQ 是一个矩形.八、（本题满分18分） 抛物线22y px =的内接三角形有两边与抛物线22x qy =相切，证明这个三角形的第三边也与22x qy =相切. 九、（附加题，本题满分20分，计入总分）已知数列12,,,n a a a 和数列1b ,2b ,…,n b , …，其中111,,-===n n pa a q b p a ， 11(2)(,,n n n b qa rb n p q r --=+≥是已知常数，且0,0q p r ≠>>）. 1．用,,,p q r n 表示n b ，并用数学归纳法加以证明; 2．求22n n n na b +.函 数使函数有意义的 x 的实数范围1 2x y -=2 2)(x y -= 3arcsin(sin )y x =4 sin(arcsin )y x =5 x y lg 10= 6x y 10lg =αF 2F 1A 2A 1N M y xO S N AB C M D 理科数学试题 满分120分，120分钟 一、（本题满分10分）本题共有5小题，每小题2分 1．两条异面直线，指的是 A.在空间内不相交的两条直线. B.分别位于两个不同平面内的两条直线. C.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.D.不在同一平面内的两条直线.2．方程220x y -=表示的图形是A.两条相交直线B.两条平行直线C.两条重合直线D.一个点3．三个数,,a b c 不全为零的充要条件是 A.,,a b c 都不是零B.,,a b c 中最多有一个是零C.,,a b c 中只有一个是零D.,,a b c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cos α的值是 A.34π B.32π- C.32π D.3π5．3.0222,3.0log,3.0这三个数之间的大小顺序是 A.3.0log 23.023.02<< B.3.02223.0log 3.0<< C.3.02223.03.0log <<D.23.023.023.0log << 二、（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程y =y x -=的图形，并写出它们交点的坐标.2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形. 三、（本题满分12分） 1.已知x e y x2sin -=，求微分dy .2.一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法.计算行列式（要求结果最简）：五、（本题满分15分） 1.证明：对于任意实数t ，复数 i t t z |sin ||cos |+=的模||z r =适合42≤r . 2.当实数t 取什么值时，复数 i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？六、（本题满分15分） 如图，在三棱锥S ABC -中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上；M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB .七、（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴12||6A A =，焦距12||F F =，过椭圆焦点1F 作一直线，交椭圆于两点,M N .设21F F M α∠= (0)απ≤<，当α取什么值时，|MN |等于椭圆短轴的长？ϕϕϕβϕ-ββαϕ+ααcos 2cos sin sin )sin(cos cos )cos(sin八、（本题满分16分）已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠，它的前n 项的和12n n S a a a =+++(1)n ≥,并且123,,,S S S 是一个等比数列，其公比为(0p p ≠且|p |＜1）.1.证明：234,,,,,n a a a a (即{}n a 从第二项起）是一个等比数列.2.设1122n n n W a S a S a S =+++ (1)n ≥ ,求n n W ∞→lim （用,b p 表示）.九、（本题满分12分） 1.已知,a b 为实数，并且e a b <<，其中e 是自然对数的底，证明baa b >. 2.如果正实数,a b 满足baa b =.且1a <，证明a b =.1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分.第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分.1．数集{}(21),X n n Z π=+∈与数集{}(41),Y n k Z π=±∈之间的关系是（ C ） A.X ⊂Y B.X ⊃Y C.X =Y D.X ≠Y2．如果圆220x y Gx Ey F ++++=与x轴相切于原点，那么 A.0,0,0F G E =≠≠ B.0,0,0E F G ==≠ C.0,0,0G F E ==≠ D.0,0,0G E F ==≠ 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 A.一定是零 B.一定是偶数 C.是整数但不一定是偶数 D.不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 A.]1,0(∈x B.)0,1(-∈x C.]1,0[∈x D.]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θA.是第一象限角B.是第三象限角C.可能是第一象限角，也可能是第三象限角D.是第二象限角二、（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积.2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集. 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项.5．求1321lim +-∞→n nn 的值.6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）. 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形.1．设0(0)()1(0)x H x x ≤⎧=⎨>⎩，画出函数(1)y H x =-的图象.2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线.四、（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.五、（本题满分14分） 设,,c d x 为实数，0c ≠，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解，有解时求出它的解. 六、（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根12,z z .再设12,z z 在复平面内的对应点是1,Z Z 以12,Z Z 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.（7分）2．求经过定点(1,2)M ，以y 轴为准线，O /C P E yxO F DB AAC 离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程.（9分）七、（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为,,a b c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点.求点P 到顶点,,A B C 的距离的平方和的最大值与最小值.八、（本题满分12分）设2a >，给定数列{}n x ,其中1x a =,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn .求证：1．2n x >，且11(1,2)n nxn x +<=；2．如果3a ≤，那么112(1,2)2n n x n -≤+=；3．如果3a >，那么当lg34lg 3a n ≥ 时，必有13n x +<.九、（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O ，半径为1的圆与直线l 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直 线l 向右移动时，取弧 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M .又知当AP =43π时，点P 的速度为v .求这时点M 的速度.(A )a 2xO xO OxaO xa 1985年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题 满分120分，120分钟 一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．如果正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，那么四面体A ABD '-的体积是A .32aB .33aC .34aD .36a .2．tan 1x =是54x π=的A .必要条件B .充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要的条件3．在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？ A .).(2R x x y ∈= B .)(|sin |R x x y ∈= C.)(2cos R x x y ∈= D.)(2sin R x ey x ∈= 4．极坐标方程)0(sin >θ=ρa a 的图象是A BC D5．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 A.96个 B.78个 C.72个 D.64个二、（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分.只要求直接写出结果） 1．求方程1)6sin(2=π+x 解集．2．设1||≤a ，求)arccos(arccos a a -+的值．3．求曲线64162+-=x y 的焦点． 4．设66565(31)x a x a x -=+++ 10a x a +,求6510a a a a ++++的值． 5．设函数()f x 的定义域是[]0,1，求函数2()f x 的定义域．三、（本题满分14分）1．解方程40.25log (3)log (3)x x -++40.25log (1)log (21)x x =-++．2．解不等式.152+>+x x四、（本题满分15分）如图，设平面AC 和BD 相交于BC ，它们所成的一个二面角为450，P 为平面AC 内的一点，Q 为面BD 内的一点．已知直线MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，并且M 在BC 上．又设PQ 与平面BD 所成的角为β，∠CMQ (090)θθ=︒<<︒，线段PM 的长为a ，求线段PQ 的长．-θθZ 2Z 1O x y五、（本题满分15分）设O 为复平面的原点，1Z 和2Z 为复平面内的两动点，并且满足：（1）1Z 和2Z 所对应的复数的辐角分别为定值θ和θ-)20(π<θ<； （2）△12OZ Z 的面积为定值S ．求△12OZ Z 的重心Z 所对应的复数的模的最小值.六、（本题满分15分）已知两点(2,2),(0,2)P Q -以及一条直线l ：y x =．设长为2的线段AB 在直线l 上移动，如图求直线PA 和QB 的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）． 七、（本题满分14分）设(n a n n =++（1,2n =）．（1）证明不等式2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有的正整数n 都成立．（2）设),2,1()1( =+=n n n a b nn 用定义证明1lim 2n n b →∞=．八、（本题满分12分） 设,a b 是两个实数，{(,),,A x y x n y na b n ===+是整数}，2{(,),315,B x y x m y m m ===+是整数}，22{(,)144}C x y x y =+≤是平面xOy 内的点集合，讨论是否存在a 和b 使得：（1）A ∩B ≠φ（φ表空集），（2）(,)a bC ∈同时成立. 九、（附加题，本题满分10分） 已知曲线326116y x x x =-+-.在它对应于]2,0[∈x 的弧段上求一点P ，使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值．G 3G 2G 1S F E-θθεD1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 满分120分，120分钟一、（本题满分30分）1．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 A ．)4sin 4(cos2π-πi B ．)4sin 4(cos 2π+πiC ．)4cos 4(sin 2π-πiD ．)4cos 4(sin 2π-π-i2．函数1)2.0(+=-x y 的反函数是A ．1log 5+=x yB ．15log +=x yC ．)1(log 5-=x yD ．1log 5-=x y 3．极坐标方程34cos =θρ表示 A ．一条平行于x 轴的直线 B ．一条垂直于x 轴的直线 C ．一个圆 D ．一条抛物线4．函数x x y 2cos 2sin 2=是 A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为4π的奇函数D ．周期为4π的偶函数5．给出20个数： 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．它们的和是A ．1789B ．1799C ．1879D ．1899 6．设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件7．如果方程220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有 A ．D E = B ．D F = C ．E F = D ．D E F ==8．在正方形123SG G G 中，,E F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点，现在沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使123,,G G G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S EFG-中必有 A ．SG ⊥△EFG 所在平面 B ．SD ⊥△EFG所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．DG ⊥△SEF 所在平面 9．在下列各图中，2y ax bx =+与(0)y ax b ab =+≠的图象只可能是A ．B ．C ．D ．10．当]0,1[-∈x 时，在下面关系式中正确的是A ．21arcsin )arccos(x x -=--πB ．21arccos )arcsin(x x -=--πC ．21arcsin arccos x x -=-πD ．21arccos arcsin x x -=-π 二、（本题满分24分） 1．求方程4)5.0(5252=-+x x 的解．2．已知1,2312+ω+ω--=ω求i 的值．3．在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0)，(1,0)，(2,1)，(0,3)．求这个四边形绕x 轴旋转一周所得O P y x P 2P 1M (-1,0)l 2l 1F (1,0)O C B A yx 到的几何体的体积．4．求11)2(3)2(3lim ++∞→-+-+n n nn n ．5．求523)12(xx -展开式中的常数项．6．已知1sin cos 2θθ-=，求33sin cos θθ-的值．三、（本题满分10分） 如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC ． 四、（本题满分12分）当sin 20x >时,求不等式)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 的解集．五、（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点,A B ．试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值．六、（本题满分10分）已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：（1）C A B ⊂且C 中含有3个元素，（2）C A φ≠（φ表示空集）． 七、（本题满分12分） 过点(1,0)M -的直线1l 与抛物线24y x =交于12,P P 两点．记：线段12P P 的中点为P ；过点P 和这个抛物线的焦点F 的直线为2l ；1l 的斜率为k ．试把直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．八、（本题满分12分） 已知110,1x x >≠，且212(3)(1,2,)31n n n n x x x n x ++==+．试证：数列{}n x 或者对任意自然数n 都满足1n n x x +<,或者对任意自然数n 都满足1n n x x +>．九、（附加题，本题满分10分） 1．求2arctan y x x =的导数． 2．求过点(1,0)-并与曲线21++=x x y 相切的直线方程．1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分）1．设S，T是两个非空集合，且S T，T S，令X S T=，那么S X=A．X B．T C．φ D．S2．设椭圆方程为22221x ya b+=(0)a b>>，令22bac-=，那么它的准线方程为A．cay2±= B．cby2±=C．cax2±= D．cbx2±=3．设,a b是满足0ab<的实数，那么A．|a b+|>|a b-|B．|a b+|<|a b-|C．|a b-|<||a|-|b||D．|a b-|<|a|+|b|4．已知,,,E F G H为空间中的四个点，设命题甲：点,,,E F G H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交．那么A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件5．在区间)0,(-∞上为增函数的是A．)(log21xy--= B．xxy-=1C．2)1(+-=xy D．21xy+=6．要得到函数)32sin(π-=xy的图象，只需将函数xy2sin=的图象（图略）A．向左平行移动3πB．向右平行移动3πC．向左平行移动6πD．向右平行移动6π7．极坐标方程θ+θ=ρcos2sin所表示的曲线是A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线8．函数])2,2[)(arccos(cosππ-∈=xxy的图象是A．B．C．D．二、（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分只要求写出结果1．求函数3x2tgy=的周期2．已知方程22121x yλλ-=++表示双曲线，求λ的范围.3．若(1)nx+的展开式中，3x的系数等于x的系数的7倍，求n.4．求极限222122lim111nnn n n→∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.5．在抛物线24y x=上求一点，使该点到直线45y x=-的距离为最短.6．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数.7．一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高.三、（本题满分10分）求︒︒︒︒70sin50sin30sin10sin的值.⊆⊆AB C E D P四、（本题满分12分） 如图，三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PA BC l ==，,PA BC 的公垂线ED h =.求证三棱锥P ABC -的体积216V l h =.五、（本题满分12分） 设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a++++>+恒成立，求a 的取值范围.六、（本题满分12分，共2个小题） 设复数12z z 和满足关系式12120z z Az Az ++=，其中A 为不等于0的复数.证明：（1）212||||||z A z A A ++=；（2）1122z A z Az A z A++=++. 七、（本题满分12分，共3个小题） 设数列 ,,,,21n a a a 的前n 项的和nS 与n a 的关系是,)1(11nn n b ba S +-+-=其中b 是与n 无关的常数，且1b ≠-. （1）求1-n n a a 和的关系式;（2）写出用n 和b 表示n a 的表达式; （3）当10<<b 时，求极限n n S ∞→lim .八、（本题满分10分）定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标.九、（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计入总分）（1）求极限1lim 12xn x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）设y ),x 1ln(x y 2'+=求.。
1987年全国高考数学理科
1987年全国高考数学（理科 ）试题及其解析一、（本题满分30分）本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D 的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.（1）设S 、T 是两个非空集合，且S T ,T S ,令T S X ,那么X S 等于（ ）(A)X(B)T (C)φ (D)S（2）设椭圆方程为)0(12222 b a b y a x ，令22b a c ，那么它的准线方程为（ ）（A ）c a y 2 （B ）c b y 2 （C ）c a x 2 （D ）cb x 2（3）设a,b 是满足ab<0的实数，那么（ ）（A ）|a+b|>|a-b| （B ）|a+b|<|a-b| （C ）|a-b|<||a|-|b|| （D ）|a-b|<|a|+|b| （4）已知E ，F ，G ，H 为空间中的四个点，设命题甲：点E ，F ，G ，H 不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，那么（ ） （A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件 （B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件 （C ）甲是乙的充要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件 （5）在区间)0,( 上为增函数的是（ ） （A ）)(log 21x y （B ）xx y1 （C ）2)1( x y （D ）21x y （6）要得到函数)32sin(x y 的图象，只需将函数x y 2sin 的图象（ ） （A ）向左平行移动3 （B ）向右平行移动3（C ）向左平行移动6 （D ）向右平行移动6（7）极坐标方程 cos 2sin 所表示的曲线是（ ）（A ）直线 （B ）圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线（8）函数])2,2[)(arccos(cosx x y 的图象是（ ）二．（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分只要求写出结果（1）求函数3x2tgy 的周期 （2）已知方程11y 2x 22表示双曲线，求λ的范围 （3）若（1+x)n 的展开式中，x 3的系数等于x 的系数的7倍，求n. （4）求极限1n n 21n 31n 21n 1lim 2222n （5）在抛物线2x 4y 上求一点，使该点到直线5x 4y 的距离为最短（6）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数（7）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm 和12cm ，而侧面积等于两底面积之差，求斜高 三．（本题满分10分）求 70sin 50sin 30sin 10sin 的值 四．（本题满分12分）如图，三棱锥P-ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=L,PA,BC 的公垂线ED=h 求证三棱锥P-ABC 的体积V=61L 2h. 五．（本题满分12分）设对所有实数x ，不等式0a4)1a (log 1a a 2log x 2a )1a (4log x 222222恒成立，求a 的取值范围六．（本题满分12分，共2个小题）设复数21z z 和满足关系式,0z A z A z z 2121 其中A 为不等于0的复数（1）;|A ||A z ||A z |221 （2）.Az Az A z A z 2121七．（本题满分12分，共3个小题）设数列 ,,,,21n a a a 的前n 项的和S n 与n a 的关系是,)1(11nn n b ba S其中b 是与n 无关的常数，且b ≠-1 （1）求1 n n a a 和的关系式;（2）写出用n 和b 表示n a 的表达式; （3）当10 b 时，求极限n n Slim .八．（本题满分10分）定长为3的线段AB 的两端点在抛物线y 2=x 上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标 九．（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计入总分）（1）求极限.x 211lim xn（2）设y ),x 1ln(x y 2求参考答案及其解析一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D (2)C (3)B (4)A (5)B (6)D (7)B (8)A二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.（1）[答]23（2）[答]λ＞-1或λ＜-2.（注：写出一半给2分）（3）[答]8 （注：若给出8同时给出-5得2分） （4）[答]2（5）[答])1,21( （6）[答]72 （7）[答]3 三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.解：原式=16110cos 1680sin 10cos 240cos 20cos 10cos 10sin 221（注：本题有多种解答）四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.证：连结AD 和PD ∵BC ⊥PA ，BC ⊥ED ，PA 与ED 相交，∴BC ⊥平面PAD ∵ED ⊥PA ， ∴S △ABC =21PA ·ED=21Lh V B-PAD =31(21Lh)·BD=61Lh ·BD 同理，V C-PAD =61Lh ·CD∴三棱锥P-ABC 的体积 V=61Lh ·BD+61Lh ·CD=61Lh （BD+CD ）=61Lh ·BC=61L 2h.若E ，D 不是分别在线段AP ，BC 上，结论仍成立（此话不说，也不扣分）五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.解：由题意得：)3(0a 4)1a (log a )1a (4log 4)1a a 2log 2()2(,0a )1a (4log )1(,01a a2222222令,1a a2log z 2则（3）式变为,0)z 2)(z 8(log z 22化简为,0)z 6(z 解得0z 6z 或 （4） （2）式变为,0z 8log 2 即,3z （5） 综合（4），（5）得,01a a2log ,0z 2 即 由此，11a a2 （6）解（1），（6）得a 取值范围：.1a 0 六、本题考查复数知识和运算以及推理能力.证：（1）|)A z (||)A z (||A z ||A z ||A z ||A z |21___________2121222121|A |||A |||A A ||A A z A z A z z |（2）,0A z ,0A z ,0A 21 由此得222221221222121||||||))(())((A z A A z A A z A z A z z A z A z A z A z A z A z .||||||||||21212221A z Az A z A z A z A z A z七、本题考查数列、极限等知识和运算以及推理能力.)2()1()()1(1)1(1)()1(:1111n b ba ab b b a a b S S a nn n n n n n n n n 解)1()2()1(111n b b a b b a n n n 由此解得)2(.)1(,111)2(21111b ba b ba S a1,21,)1)(1(111b n b b b b b a n n n n 注：(2)也可用数学归纳法证明011lim ,0lim ,10)1(,111111))(()3(11nn n n nn n n b b b b b b b b b b S 时所以当.1lim ,10n n S b 时八、本题考查距离公式、中点坐标等解析几何知识、最小值知识及分析问题的能力.解：设A （x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 长度为3，那么x 1=y 12,x 2=y 22,（1） 32=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=(y 22-y 12)2+(y 2-y 1)2=(y 2-y 1)2[(y 2+y 1)2+1]（2） 线段AB 的中点M （x,y ）到y 轴的距离为]1)1)(()[(41)(212221221222121y y y y y y x x x 45)3(31)()(,45)132(41)2(]1)1)(()(2[410221221221221x x y y y y x y y y y 取得最小值时并且当得由下证x 能达到最小值，根据题意不妨设y 1>y 2 ,由（3）得)22,45()22,45(M 222y y y M .45x ,x ,x )1(,y y ,2y y ,3y y 210212,12121或点坐标为点纵坐标相应的可取得最小值所以解得由由此解得九、本题考查极限和导数运算. 解：.x 1x 2)x 1ln(y )2(ex 211lim x 211lim )1(2222121x2n xn。
1987数学历年真题
1987数学历年真题一九八七年数学一试题一、填空题（本题满分15分，每小题3分）(1)与两直线+=+-==tz t y x 21,1及112211-=+=+z y x 都平行，且过原点的平面方程为 .(2)当x= 时，函数y=x2x 取得极小值.(3)由曲线y=lnx 与两直线y=(e+1)-x 及y=0所围成的平面图形的面积是 .(4)设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9,则曲线积分?-+-L2dy )x 4x (dx )y 2xy 2(的值是 . (5)已知三维线性空间的一组基底为α1=(1,1,0),α2=(1,0,1),α3=(0,1,1),则向量u=(2,0,0)在上述基底下的坐标是 .二、（本题满分8分）求正的常数a 与b ，使等式1dt ta t x sin bx 1lim x 0220x =+-?→成立. 三、（本题满分7分）（1）（3分）设f,g 为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy),求x x u ?ν. （2）（4分）设矩阵A 和B 满足关系式AB=A+2B ，其中A=410011103，求矩阵B. 四、（本题满分8分）求微分方程1y )a 9(y 6y 2='++''+'''的通解（一般解），其中常数a>0.五、选择题（本题满分12分，每小题3分）（1）设常数k>0，则级数∑∞=+-1n 2nn n k )1( （A ）发散. （B ）绝对收敛.（C ）条件收敛. （D ）收敛或发散与k 的取值有关。
答：（）（2）设f(x)为已知连续函数，?=5x 0dx )tx (f t I ，其中s>0,t>0，则I 的值（A ）依赖于s 和t. （B ）依赖于s,t,x.（C ）依赖于t 和x,不依赖于s. （D ）依赖于s,不依赖于t. 答：（）（3）设1)a x ()a (f )x (f lim 2a x =→，则在点x=a 处（A ）f(x)的导数存在，且a )a (f ≠′. （B ）f(x)取得极大值.（C ）f(x)取得极小值. （D ）f(x)的导数不存在. 答：（）（4）设A 为n 阶方阵，且A 的行列式|A|=a ≠0，而A *为A 的伴随矩阵，则|A *|等于（A ）a. （B ）a1. （C ）a n-1. （D ）a. 答：（）六、（本题满分10分）求幂级数∑∞=1n 1n n x 2n 1的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）计算曲面积分--++=S2yzdxdy 4dzdx )y 1(2dydz )1y 8(x I ，其中S 是由曲线??=-=0x 1y z （1≤y ≤3）绕y 轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π 八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x ，函数f(x)的值都在开区间（0，1）内，且1)x(f ≠′，证明在（0，1）内有且仅有一个x ，使f(x)=x.九、（本题满分8分）问a,b 为何值时，线性方程组-=+++=--+-=++=+++1ax x x 2x 3,b x 2x )3a (x ,1x 2x 2x ,0x x x x 43214324324321 有唯一解、无解、有无穷多组解？并求出有无穷多组解时的通解.十、填空题（本题满分6分，每小题2分）（1）设在一次试验中事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为；而事件A 至多发生一次的概率为 .（2）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 .已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 .（3）已知连续随机变量X 的概率密度为)1x 2x exp(x1)x (f 2-+-= 则X 的数学期望为；X 的方差为 .十一、（本题满分6分）设随机变量X ，Y 相互独立，其概率密度函数分别为≤=≤≤=-,0y ,0,0y ,e )y (f ,,0,1x 0,1)x (f y Y x 其它求随机变量Z=2X+Y 的概率密度函数.一九八七年试卷二一、填空题（同试卷一第一题）二、（本题包含两个小题，满分14分）（1）（6分）计算定积分?--+22x dx e )x x (.（2）（同试卷一第二题）三、（本题满分7分）设z=f(u,x,z),u=xe y,其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z 2. 四、（同试卷一第四题）五、（同试卷一第五题）六、（同试卷一第六题）七、（同试卷一第七题）八、（同试卷一第八题）九、（同试卷一第九题）十、（本题满分6分）设λ1，λ2为n 阶方阵A 的特征值，且λ1≠λ2，而x 1,x 2分别为对应的特征向量，试证明x 1+x 2不是A 的特征向量.一九八七年试卷四一、（10分）您认为结论正确，在括号内打“√”，否则打“×”.(1)∞=→x 1e lim 0x . ······················· ( ) (2)?-=x x40xdx sin x . ····················· ( ) (3)若级数∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 均发散，则级数∑∞=+1n n n )b a (也必发散. ·· ( )(4)假设D 是矩阵A 的r 阶子式,且D ≠0，但含D 的一切r+1阶子式都等于0.那么矩阵A 的一切r+1阶子式都等于0. ··················· ( )(5)连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0. ······ ( )二、（10分）在每小题的四种答案中，选一正确答案将其代号填入题中空格（每小题2分）.(1)函数在其定义域内连续.(A)f(x)=lnx+sinx (B)?≤=0x ,x cos ,0x ,x sin )x (f (C)-=+=0x ,1x ,0x ,0,0x ,1x )x (f (D)=≠=0x ,0,0x ,x 1)x (f(2)若函数f(x)在区间(a,b)内可导，x 1和x 2是区间(a,b)内任意两点，且x 1＜x 2，则至少存在一点ξ，使（A ）f(b)-f(a)=)(f ξ'(b-a),其中a ＜ξ＜b.（B ）f(b)-f(x 1)=)(f ξ'(b-x 1),其中x 1＜ξ＜b.（C ）f(x 2)-f(x 1)=)(f ξ'(x 2-x 1),其中x 1＜ξ＜x 2.（D ）f(x 2)-f(a)=)(f ξ'(x 2-a),其中a ＜ξ＜x 2.(3)广义积分收敛.(A)?÷∞e dx xx ln (B) ?÷∞e x ln x dx (C) ?÷∞e 2)x (ln x dx (D) ?÷∞e x ln x dx (4)假设A 是n 阶方阵，其秩r ＜n ，那么在A 的n 个行向量中（A ）必有r 个行向量线性无关.（B ）任意r 个行向量都线性无关.（C ）任意r 个行向量都构成极大线性无关向量组（D ）任意r 个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出.(5)若二事件A 和B 同时出现的概率P （AB ）=0，则（A ）A 和B 不相容（相斥）（B ）AB 是不可能事件（C ）AB 未必是不可能事件（D ）P （A ）=0或P （B ）=0三、（16分）计算下列各题（每小题4分）（1）求极限1)xe 1(lim x 0x +→. （2）1x 11x 1ln y 22++-+=，求y '.（3）yx y x arctg z -+=，求dz. （4）求不定积分?-dx e 1x 2.四、（10分）考虑函数y=sinx,0≤x ≤2π,问：（1）t 取何值时，图中阴影部分的面积S 1与S 2之和S=S 1+S 2最小？（2）t 取何值时，面积S=S 1+S 2最大？五、（6分）将函数2x 3x 1)x (f 2+-= 展成x 的幂级数，并指出其收敛区间. 六、（5分）计算二重积分??=D x dxdy e I 2 ，其中D 是第一象限中由直线y=x 和y=x 3所围成的封闭区域.七、（6分）已知某商品的需求量x 对价格p 的弹性为η=3p 3,而市场对该商品的最大需求量为1（万件），求需求函数.八、（8分）解线性方程组==-=-=---+++++-.3,1,3,4x 3x x 3x 7x x x 4x x x 7x 3x x 24443333221111 九、（7分）假设矩阵A 和B 满足如下关系式AB=A+2B ，其中-=303212114A ，求矩阵B.十、（6分）求矩阵----=142011103A 的实特征值及对应的特征向量.十一、（8分，每小题4分）（1）已知随机变量X 的概率分布为{}{}{},5.03X P ,3.02X P ,2.01X P ======试写出其分布函数F （x ）.（1）已知随机变量Y 的概率密度为≤=-,0y ,0,0y ,e a y )y (f 2a 2u2求随机变量Y1Z =的数学期望EZ. 十二、（8分）假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18年一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零机（取出的零件均不放回）.试求：（1）先取出的零件是一等品的概率p ；（2）在先取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q.一九八七年试卷五一、（10分）您认为结论正确，在括号内打“√”；您认为结论错误，在括号内打“×”. （1）∞=→x 1e lim 0x . ············································································· （）（2）?ππ-=.0xdx sin x 4 （）（3）若函数f(x)在区间（a,b ）内严格单调增加，则对于区间（a,b ）内的任何一点x 有0)x (f ' （）（4）若A 为n 阶方阵，k 为常数，而│A │和│kA │为矩阵A 上下文67（）（5）连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0.二、（10分）在每小题的四种答案中，选一正确答案将其代号填入题中空格（每小题2分）（1）函数在其定义域内连续（A ）x 1)x (f = （B ）≤=0x ,x cos ,0x ,x sin )x (f （C ）-=+=0x ,1x ,0x ,0,0x ,1x )x (f （D ）??=≠=0x ,00x ,x 1)x (f（2）（同试卷四第二、（3）题）（3）（同试卷四第二、（2）题）（4）（同试卷四第二、（4）题）（5）对于任意二事件A 和B ，有P （A-B ）=（A ）P(A)-P(B) （B ）P(A)-P(B)+P(AB). （C ）P(A)-P(AB). （D ）P(A)+P(B )-P(A B ).三、（20分）计算下列各题.（每小题4分）（1）求极限arctgx)x 11ln(lim x ++∞→. （2）（同试卷四第三、（2）题）（3）（同试卷四第三、（3）题）（4）（同试卷四第三、（4）题）（5）求不定积分?++5x 2x xdx 24. 四、（10分）考虑函数y=x 2,0≤x ≤1,问：（1） t 取何值时，图中阴影部分的面积S 1与S 2之和S=S 1+S 2最小？（2） t 取何值时，面积之和S=S 1+S 2最大？五、（同试卷四第六题）六、（8分）假设某产品的总成本函数为C （x ）=400+3x+21x 2,而需求函数为p=x /100，其中x 为产量（假定等于需求量），p 为价格，试求：（1）边际成本；（2）边际效益；（3）边际利润：（4）收益的价格弹性（每小题2分）七、（同试卷四第八题）八、（同试卷四第九题）九、（同试卷四第十题）十、（8分）已知离散型随机变量X 的概率分布为：P （X=1）=0.2, P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.5.(1)写出X 的分布函数F （x ）; (2)求X 的数学期望和方差.。
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7.2坐标方法的简单应用 A y 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x B C D E 在平面直角坐标系中，封闭图形ABCDE各顶点的坐标分别为 A（0，0），B（2，2）C（3，1），D（4，4） E（7，0） y 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x A1 B1 D1 C1 E1 1 如果各顶点的横坐标都加2，纵坐标不变，并把得到的顶点依次连结，那么所得到的封闭图形与原图形相比，位置有怎样的变化？ y 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x -1 -2 -3 A2 B2 C2 D2 E2 2 如果各顶点的横坐标不变，纵坐标都减3，并把得到的顶点依次连结，那么所得到的封闭图形与原图形相比，位置有怎样的变化？ （1） 如果将上个问题中的“横坐标都加2”“纵坐标都减3”相应的变成“横坐标都减4” “纵坐标都加5”，分别得出什么结论？画出图形。
（2） 如果将图形ABCDE的各个顶点横坐标都加上2，同时纵坐标都减去3，能得到什么结论？画出图形。
在平面直角坐标系中，封闭图形ABCDE各顶点的坐标分别为 A（0,0） B（2,2）C（3,1） D（4,4） E（7,0） A B C D E A1 B1 C1 D1 E1 x y 在平面直角坐标系中，如果把一个图形的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向＿＿（或向＿＿）平移＿＿个单位长度：如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向＿＿（或向＿＿）平移＿＿个单位长度。
右 左 a 上下 a 5 4 3 2 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 如图，将平行四边形ABCD向左平移2个单位长度，可以得到平行四边形A1B2C3D4，画出平移后得图形，并指出各个顶点得坐标。
A1 B1 C1 D1 A B C D 5 4 3 2 1 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 A B O C M N 三角形COB是由三角形AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系。
87届,普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
《87届,普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案》摘要：987年普通高等学校招生全国统考试理科数学试题及答案．（题满分分）题共有8题每题都给出代B四结论其只有结论是正确把你认正确结论代写题圆括选对得3分不选、选错或者选出代超（不论是否都写圆括）律得0分（）设是两非空集合且令X那么X等（）（）X （B）（）（）（）设椭圆方程令那么它准线方程（）（）（B）（）（）（3）设,b是满足b0实数那么（ B ）（）|+b||b| （B）|+b||b| （）|b|||||b|| （）|b|||+|b| （）已知G空四设命题甲G不共面命题乙直线和G不相交那么（）（）甲是乙充分条件但不是必要条件（B）甲是乙必要条件但不是充分条件（）甲是乙充要条件（）甲不是乙充分条件也不是乙必要条件（5）区上增函数是 ...987年普通高等学校招生全国统考试理科数学试题及答案．（题满分分）题共有8题每题都给出代B四结论其只有结论是正确把你认正确结论代写题圆括选对得3分不选、选错或者选出代超（不论是否都写圆括）律得0分（）设是两非空集合且令X那么X等（）（）X （B）（）（）（）设椭圆方程令那么它准线方程（）（）（B）（）（）（3）设,b是满足b0实数那么（ B ）（）|+b||b| （B）|+b||b| （）|b|||||b|| （）|b|||+|b| （）已知G空四设命题甲G不共面命题乙直线和G不相交那么（）（）甲是乙充分条件但不是必要条件（B）甲是乙必要条件但不是充分条件（）甲是乙充要条件（）甲不是乙充分条件也不是乙必要条件（5）区上增函数是（ B ）（）（B）（）（）（6）要得到函数图象只将函数图象（图略）（）（）向左平行移动（B）向右平行移动（）向左平行移动（）向右平行移动（7）极坐标方程所表示曲线是（ B ）（）直线（B）圆（）双曲线（）抛物线（8）函数图象是（）（）（B）（）（）二．（题满分8分）题共7题每题满分分只要写出结（）函数周期 [答] （）已知方程表示双曲线λ围 [答]λ＞或λ＜（写出半给分）（3）若（+x)展开式x3系数等x系数7倍 [答]8（若给出8给出5得分）（）极限 [答] （5）抛物线上使该到直线距离短 [答] （6）由数35组成没有重复数且数与不相邻五位数这种五位数数 [答]7 （7）正三棱台下底和上底周长分别30和而侧面积等两底面积差斜高 [答] 三．（题满分0分）值原式（题有多种答）四．（题满分分）B 如图三棱锥B已知⊥BBL,,B公垂线证三棱锥B体积VL 证连结和∵B⊥B⊥ 与相交∴B⊥平面∵⊥ ∴△B·L VB(L)·BL·B 理VL· ∴三棱锥B体积VL·B+L·L（B+）L·BL 若不是分别线段B上结论仍成立（话不说也不扣分）五．（题满分分）设对所有实数x不等式恒成立取值围由题得令则（3）式变化简得（）（）式变即（5）综合（）（5）得由（6）（）（6）得取值围六．（题满分分共题）设复数满足关系式其不等0复数证明（）（）证（）（）七．（题满分分共3题）设数列前项和与关系是其b是与无关常数且b≠ （）关系式; （）写出用和b表示表达式; （3）当极限 ()也可用数学归纳法证明所以当八．（题满分0分）定长3线段B两端抛物线x上移动记线段B到轴短距离并坐标设（x,),B(x,),B长3 那么x,x,（） 3(xx)+()()+()()[(+)+]（）线段B（x,）到轴距离下证x能达到值根据题不妨设 ,由（3）得九．（附加题题满分0分共题每题5分不计入总分）（）极限（）设。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试87
高考数学普通高等学校招生全国统一考试87高考数学普通高等学校招生全国统一考试87第Ⅰ卷(选择题共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分散.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域是()A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞)2.数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则( )A. B. C. D.23.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A.4条B.6条C.8条D.12条4.〝a=1〞是〝函数在区间[1, +∞)上为增函数〞的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.[0,]B.C. D.6.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )A.16种B.36种C.42种D.60种7.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B.C,且AB=BC,则双曲线M的离心率是 ( )A.B. C.D.8.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)9.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 ()A.B.C.D.10.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是( )A.[]B.[]C.[D.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二.填空题:本大题共5小题,每小题4分,(第15小题每空2分)共20分,把答案填在答题卡相应位置上.11.若的展开式中的系数是-80,则实数的值是.12.已知则的最小值是.13.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.14.若是偶函数,则有序实数对()可以是.(注:只要填满足的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).15.如图2,OM∥AB,点P在由射线OM.线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是;当时,的取值范围是.三.解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.(Ⅰ)证明 ;(Ⅱ)若AC=DC,求的值.17.(本小题满分12分)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.18. (本小题满分14分)如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.19. (本小题满分14分)已知函数,数列{}满足:证明:(ⅰ);(ⅱ).20. (本小题满分14分)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1≤a≤3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.21. (本小题满分14分)已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1.C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(Ⅰ)当AB⊥轴时,求.的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;(Ⅱ)是否存在.的值,使抛物线C2的焦点恰在直线AB上?若存在,求出符合条件的.的值;若不存在,请说明理由._年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)参考答案1～10:DADAB DACCB11.-2 ;12. 5 ; 13. ;14.(1,-1)(注:只要填满足a+b=0的一组数字即可) 15. (-∞,0)16. 解:(I)如图,因为,所以,即(II)在ΔADC中,由正弦定理得,即所以由(I),,所以即,解得或因为0_lt;β_lt;π,所以从而17. 解:(Ⅰ)每家煤矿必须整改的概率是1－0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的,所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是(Ⅱ)由题设,必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5),从而的数学期望是,即平均有2.5家煤矿必须整改.(Ⅲ)某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以该煤矿被关闭的概率是,从而该煤矿不被关闭的概率是0.9,由题意,每家煤矿是否被关闭是相互独立的,故至少关闭一家煤矿的概率是.18. 解法一:(Ⅰ)连结AC.BD,设由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥,∴PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD∴P.O.Q三点在一条直线上,∴PQ⊥平面ABCD(Ⅱ)由题设知,ABCD是正方形,∴AC⊥BD由(Ⅰ),PQ⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA.DB.QP为_轴.y轴.z轴建立空间直角坐标系(如图),由题设条件,相关各点的坐标分别是P(0,0,1),A(,0,0),Q(0,0,－2),B(0,,0)∴于是∴异面直线AQ与PB所成的角是(Ⅲ)由(Ⅱ),点D的坐标是(0,－,0),,,设是平面QAD的一个法向量,由得取_=1,得所以点P到平面QAD的距离解法二:(Ⅰ)取AD的中点,连结PM,QM因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥,所以AD⊥PM,AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM又平面PQM,所以PQ⊥AD同理PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD(Ⅱ)连结AC.BD,设,由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上,从而P.A.Q.C四点共面.取OC的中点N,连结PN.因为,所以,从而AQ ∥PN,∠BPN(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.连结BN,因为,,,所以,从而异面直线AQ与PB所成的角是(Ⅲ)由(I)知,AD⊥平面PQM,所以平面QAD⊥平面PQM;过P作PHQM于H,则PH⊥平面QAD,所以PH的长为点P到平面QAD的距离,连结OM,因为,所以,又PQ=PO+QO=3,于是即点P到平面的距离是19. 解:(I)先用数学归纳法证明(i)当n=1时,由已知,结论成立.(ii)假设当n=k时结论成立,即,因为时,所以在(0,1)上是增函数,又在[0,1]上连续,从而,即,故当n=k+1时,结论成立.由(i).(ii)可知,对一切正整数都成立.又因为时,,所以,综上所述(II)设函数,由(I)可知,当时,从而所以在(0,1)上是增函数又在[0,1]上连续,且,所以当时,_gt;0成立,于是,即,故20. 解:(I)设方案甲与方案乙的用水量分别为_与z,由题设有, 解得由c=0.95得方案乙初次用水量分别为3,第二次用水量y满足方程,解得,故即两种方案的用水量分别为19与因为当1 ≤ a ≤ 3时,_–z = 4(4-a)_gt; 0,即__gt;z故方案乙的用水量较少.(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为与,类似(I)得,,(_)于是当为定值时,当且仅当时等号成立,此时(不合题意,舍去)或将代入(_)式得故时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为与,最少总用水量是当1≤a≤3时,,故是增函数(也可以用二次函数的单调性判断),这说明,随着的值的增加,最少总用水量增加.21. 解: (Ⅰ)当AB⊥_轴时,点A.B关于_轴对称,所以m＝0,直线AB的方程为_=1,从而点A的坐标为(1,)或(1,－)因为点A在抛物线上,所以,即此时的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上(Ⅱ)解法一:假设存在m.p的值使的焦点恰好在直线AB上,由(I)知直线AB 的斜率存在,故可设直线AB的方程为由消去y得……①设A.B的坐标分别为(_1,y1).(_2,y2),则_1,_2是方程①的两根:_1＋_2＝由消去y得……②因为的焦点在上,所以,即,代入②有即……③由于也是方程③的两根,所以从而……④又AB过.的焦点所以则……⑤由④.⑤得即,解得于是因为的焦点在直线上,所以,即或由上知,满足条件的m.p存在,且或,解法二:设A.B的坐标分别为(_1,y1), (_2,y2), 因为AB既过的右焦点,又过的焦点,所以即……①由(Ⅰ)知,p≠2,于是直线AB的斜率, 及……②所以……③又因为,所以……④将①.②.③代入④得,……⑤因为,所以……⑥将②.③代入⑥得……⑦由⑤.⑦得解得将代入⑤得,所以或由上知,满足条件的m.p存在,且或,。
历年理科数学常考题1987.docx
历年理科数学常考题单选题（共5道）1、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D122、对于定义域和值域均为[0，1]的函数f(x)，定义，，…，，n=1，2，3，…．满足的点x∈[0，1]称为f的阶周期点．设则f的阶周期点的个数是（）ABCD3、若，其中，是虚数单位，复数ABCD4、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D125、已知交于两点，则两交点横坐标的距离为（）A6B3C2D1多选题（共5道）6、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）7、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）8、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）9、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）10、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）简答题（共5道）11、、、（1）若的值；（2）若12、、、（1）若的值；（2）若13、满足关系，其中是常数（1）设，，求的解析式；（2）设计一个函数及一个的值，使得；（3）分别为的三个内角对应的边长，，若，且时取得最大值，求当取得最大值时的取值范围14、已知函数.（1）求的值和的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.15、中，底面是平行四边形，，侧面底面，,,分别为的中点，点在线段上。
（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；（Ⅲ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值。
书面表达（共5道）16、车身总重量大于40公斤等指标）上了牌照，算是给予它们临时合法的出行身份，但是牌照有效期到今年2月底止，这也就是说，从今年3月1日起，该市城区4万多辆超标电动车已被禁行，违者将受到严厉的处罚。
1987年高考数学试卷
1987年高考数学试卷选择题：在直角三角形ABC中，角A的余弦值为0.6，则角A的度数是多少？A) 36°B) 45°C) 53°D) 60°若函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，则以下哪个条件为函数f的图像在x轴上有两个不同的实根？A) a > 0，b = 0，c > 0B) a > 0，b = 0，c < 0C) a > 0，b < 0，c > 0D) a > 0，b > 0，c < 0若集合A = {x | -2 ≤ x ≤ 3}，集合B = {x | -1 ≤ x ≤ 4}，则集合A ∩ B等于：A) {-1, 0, 1, 2, 3}B) {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}C) {-2, -1, 0, 1, 2, 3}D) {-1, 0, 1, 2, 3, 4}若向量a = (3, 2) 和向量b = (-1, k) 互相垂直，则k的值为多少？A) -2B) -1C) 0D) 2设函数f(x) = (x - 2)(x - 3)(x - 4)，则f(x)的最大值是出现在哪个区间？A) (1, 2)B) (2, 3)C) (3, 4)D) (4, 5)若方程2^x = 8的解为x = a，则a的值为多少？A) 2B) 3C) 4D) 5填空题：若直线y = kx + 3与y = 2x - 1平行，则k的值为______。
若集合A = {2, 4, 6}，集合B = {4, 6, 8}，则集合A ∪ B等于______。
解方程3x - 5 = 10的解为x = ______。
解答题：证明勾股定理：在直角三角形ABC中，若边长满足a^2 + b^2 = c^2，则角C为直角。
计算以下方程的根：x^2 + 5x + 6 = 0。
证明等差数列的通项公式：若数列a1, a2, ..., an是一个等差数列，公差为d，则第n项an的表达式为an = a1 + (n - 1)d。
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1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分（1）设S ，T 是两个非空集合，且S T ，T S ，令X=S ⋂T ，那么S ⋃X 等于 （ D ） （A ）X （B ）T （C ）φ （D ）S （2）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by ax ，令22ba c -=，那么它的准线方程为 （ C ） （A ）cay2±= （B ）cby2±= （C ）cax 2±= （D ）cbx 2±=（3）设a,b 是满足ab<0的实数，那么 （ B ） （A ）|a+b|>|a-b| （B ）|a+b|<|a-b| （C ）|a-b|<||a|-|b|| （D ）|a-b|<|a|+|b| （4）已知E ，F ，G ，H 为空间中的四个点，设 命题甲：点E ，F ，G ，H 不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交 那么 （ A ） （A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件 （B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件 （C ）甲是乙的充要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件⊆⊆（5）在区间)0,(-∞上为增函数的是 （ B ） （A ）)(log 21x y --= （B ）xx y -=1（C ）2)1(+-=x y（D ）21x y +=（6）要得到函数32sin(π-=x y 的图象，只需将函数xy 2sin=的图象（图略） （ D ） （A ）向左平行移动3π（B ）向右平行移动3π（C ）向左平行移动6π（D ）向右平行移动6π（7）极坐标方程θ+θ=ρcos 2sin 所表示的曲线是 （ B ） （A ）直线 （B ）圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 （8）函数])2,2[)(arccos(cos ππ-∈=x x y的图象是 （ A ） 二．（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分写出结果 （1）求函数3x 2tgy =的周期[答]23π（2）已知方程11y2x22=λ+-λ+表示双曲线，求λ的范围[答]λ＞-1或λ＜-2.（注：写出一半给2分）（3）若（1+x)n 的展开式中，x 3的系数等于x 的系数的7倍，求n.[答]8 （注：若给出8同时给出-5得2分）（A ） （B ） Y （C ） Y （D ）π（4）求极限⎪⎭⎫⎝⎛++++++++∞→1n n21n 31n 21n 1lim 2222n [答]2（5）在抛物线2x 4y =上求一点，使该点到直线5x 4y -=的距离为最短[答])1,21(（6）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数[答]72（7）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm 和12cm ，而侧面积等于两底面积之差，求斜高[答]3三．（本题满分10分） 求︒︒︒︒70sin 50sin 30sin 10sin 的值解：原式=16110cos 1680sin 10cos 240cos 20cos 10cos 10sin 221=︒︒=︒︒︒︒︒⋅（注：本题有多种解答） 四．（本题满分12分）如图，三棱锥P-ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=L,PA,BC 的公垂线ED=h 求证三棱锥P-ABC 的体积V=61L 2h.证：连结AD 和PD ∵BC ⊥PA ，BC ⊥ED ，PA 与ED 相交，∴BC ⊥平面PAD ∵ED ⊥PA ，∴S △ABC =21PA ·ED=21LhPE C A D BV B-PAD =31(21Lh)·BD=61Lh ·BD同理，V C-PAD =61Lh ·CD∴三棱锥P-ABC 的体积V=61Lh ·BD+61Lh ·CD=61Lh （BD+CD ）=61Lh ·BC=61L 2h.若E ，D 不是分别在线段AP ，BC 上，结论仍成立 （此话不说，也不扣分） 五．（本题满分12分）设对所有实数x ，不等式0a4)1a (log1a a2logx 2a)1a (4logx 222222>+++++恒成立，求a 的取值范围解：由题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+⋅+-+>+>+)3(0a 4)1a (log a )1a (4log 4)1a a 2log 2()2(,0a )1a (4log )1(,01a a 2222222令,1a a2logz2+=则（3）式变为,0)z 2)(z 8(logz 22<---化简为,0)z 6(z <-解得0z 6z <>或 （4） （2）式变为,0z 8log 2>-即,3z < （5） 综合（4），（5）得,01a a2l og ,0z 2<+<即由此，11a a 2<+ （6）解（1），（6）得a 取值范围：.1a 0<<六．（本题满分12分，共2个小题）设复数21z z 和满足关系式,0z A z A z z 2121=++其中A 为不等于0的复数证明：（1）;|A ||A z ||A z |221=++（2）.Az A z Az A z 2121++=++证：（1）|)A z (||)A z (||A z ||A z ||A z ||A z |21___________2121++=++=++222121|A |||A |||A A ||A A z A z A z z |===+++=（2）,0A z ,0A z ,0A21≠+≠+≠由此得222221221222121||||||))(())((A z A A z AA z A z A z z A z A z A z A z Az A z +=++++=++++=++.||||||||||21212221Az A z A z A z A z A z A z ++=++=+++=七．（本题满分12分，共3个小题）设数列 ,,,,21n a a a 的前n 项的和S n 与n a 的关系是,)1(11nn n b ba S +-+-=其中b 是与n 无关的常数，且b ≠-1（1）求1-n n a a 和的关系式;（2）写出用n 和b 表示n a 的表达式;（3）当10<<b 时，求极限n n S ∞→lim. )2()1()()1(1)1(1)()1(:1111≥++--=+++---=-=----n b b a a b b b a a b S S a nn n n nn n n n n 解)1()2()1(111≥+++=+-n b b a bb a n n n 由此解得)2(.)1(,111)2(21111b b a bba S a +=∴+-+-==12112111323312132122212)1()3()2()3()1(1)1(1)1()1(11)1(1)1()1(11++--+-+--+-+-++++=+++++⎪⎭⎫⎝⎛+=++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=n nn n n n n n n n n n n n n n n n b bb b a b bb b a b b a b b b b a b b b b b b b a b bb b b b b a b b b bb b a b b b ba 得代入将由此推得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=∴+++1,21,)1)(1(111b n b b b bb a n n n n 注：(2)也可用数学归纳法证明11lim ,0lim ,10)1(,111111))(()3(11=⎪⎭⎫⎝⎛+=<<≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛+⋅---=∞→∞→++nn nn nn n n b bb b b b bbb b S 时所以当.1lim ,10=<<∞→n n S b 时八．（本题满分10分）定长为3的线段AB 的两端点在抛物线y 2=x 上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标解：设A （x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 长度为3，那么x 1=y 12,x 2=y 22,（1）32=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=(y 22-y 12)2+(y 2-y 1)2=(y 2-y 1)2[(y 2+y 1)2+1]（2） 线段AB 的中点M （x,y ）到y 轴的距离为]1)1)(()[(41)(212221221222121-+++-=+=+=y y y y y y x x x45)3(31)()(,45)132(41)2(]1)1)(()(2[410221221221221==++=-=-⨯≥-++-≥x x y y y y x y y y y 取得最小值时并且当得由下证x 能达到最小值，根据题意不妨设y 1>y 2 ,由（3）得)22,45()22,45(M 222y y y M .45x ,x ,x )1(,y y ,2y y ,3y y 210212,12121-∴±=+=⎩⎨⎧±=+=-或点坐标为点纵坐标相应的可取得最小值所以解得由由此解得九．（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计入总分）（1）求极限.x 211lim xn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→ （2）设y ),x 1ln(x y 2'+=求解：.x1x2)x 1ln(y )2(ex 211lim x 211lim )1(2222121x2n xn +++='=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛----∞→∞→。