2.3.2 平面向量的坐标运算(2)
人教版数学必修四：2.3.2向量的坐标(2)(教师版)
课题 2.3.2平面向量的坐标运算（2） 总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】1．理解平面向量平行的含义，掌握平面向量平行的坐标表示2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及其思想。
【重点难点】学习重点：平面向量共线的充要条件，学习难点：平面向量共线的充要条件的灵活运用。
【学习过程】一、自主学习与交流反馈问题1：向量a=()41-，与b=()82，-是否平行？问题2： 设向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)（a ≠0）如果a ∥b ，则问题3： 如果x 1 y 2- x 2y 1=0，则二、知识建构与应用：向量平行的坐标表示：设向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)（a ≠0），如果a ∥b ，则x 1 y 2- x 2y 1=0；如果x 1 y 2- x 2y 1=0，那么a ∥b .证明：三、例题讲解例1 已知a =（1，0），b =（2，1），当实数k 为何值时，向量k a -b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向？例2 设()()(),,10,5,4,12,k k ===当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？例3 已知点O ，A ，B ，C 的坐标分别为（0，0），（3，4），（-1，2），（1，1），是否存在常数t ，使得OC OB t OA =+成立？解释你所得结论的几何意义.四、巩固练习1． 已知(1,2)a =--，(2,4)b =，求证：//a b .2．已知向量(4,3)a =，(6,)b y =，且//a b ，求实数y 的值.3．已知□ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1),(1,3),(3,1)A B C -，求第四个顶点D 的坐标.4．已知(0,2),(2,2),(3,4)A B C -，求证：,,A B C 三点共线.5．已知A(-3，－2)，B(－2，－4). 若AC → = 3AB →，求点C 的坐标.五、回顾反思六、作业批改情况记录及分析。
2.3.2平面向量基本定理(2)
丽水中学2009届高一数学
【例题剖析】
例3、已知OA、OB不共线，设OC=aOA+bOB，求证：A、C、B 三点共线的充要条件是a+b=1. 【解题回顾】由本题证明过程可知，若C是AB中点，则有
1 OC = (OA+OB).利用本题结论，可解决一类几何问题. 2
思考题：平行四边形ABCD中，点M是AB的中点， 点N在BD上，且BN=1/3BD，求证：M、N、C三 点共线。
x
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思考: （ 1 ） 已知A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 怎样求 AB
的坐标 ?
一个向量的 坐标等于表示此 向量的有向线段 的终点坐标减去 始点的坐标.
y
A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 )
O
x
丽水中学2009届高一数学
思考2:
（2）你能标出坐标为(x2 x1, y2 y1)的P点吗？
例 1、在平行四边形 ABCD中，设对角线 AC=a,BD=b ，试用 a,b表示AB，BC. D
C A B
【解题回顾】解法1应用向量加、减法的定义直接求解；
解法2则运用了求解含有未知向量x,y的方程组的方法.
思考题：已知G是 GA+GB+GC=0
ABC的重心，求证：
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【例题剖析】
其中e1， e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组 基底 .
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向量的夹角:
已知两个非零向量 a、 b , 作OA a ,
b的 OB b , 记AOB , 叫向量a、 夹角.
当 0 , a、 b同向;
o
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1平面向量坐标运算
平面向量坐标运算是以数学方法来处理空间或空间的抽象的概念，主要用于解决平面物体的空间坐标的运算问题。
平面向量坐标运算实质上是基于平面数学（也称为二维几何）的基本原理的，它的核心思想是利用一个坐标轴来确定给定点的相对位置，然后通过一些图形化的操作，来描述和计算出平面上物体位置之间的相互关系。
平面向量坐标运算包括直角坐标，极坐标和双曲坐标三种核心坐标系。
其中，直角坐标是由一条横轴和一条纵轴的组合，通过横纵坐标的组合来确定一点在平面上的坐标；极坐标是由一个极轴，一个极点以及横纵坐标组合来确定一点在平面上的坐标；双曲坐标则是由两条曲线构成，来确定一点在平面上的坐标。
平面向量坐标运算通常用来解决三角恒等、矩阵乘法、求矢量和、求两点之间距离、斜率及方程、几何图形的建立等问题。
其中常用的计算有加法、减法、乘法、除法、叉积、内积等运算。
通过平面向量坐标运算，可以很方便和准确的计算分析出平面物体的坐标变化，并且可以很容易地求出物体彼此之间的距离、位置和方向，有利于我们进行几何图形的描述和分析。
人教版数学必修四：2.3.2向量的坐标(2)(作业纸)
错误类型 涉及知识 2．填空题具体订正： _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3．解答题订正：
1 2
(2)若 AB 2 AD, 求点 D 的坐标.
平面向量的坐标及其运算(2)
ua+vb=__(_u__������_������_+__v_���_���_������_，__u__������_���_��� _+__v_���_������_��� _） ua-vb=_（__u__���_������_��� _—__v_���_������_���_，__u__������_������_—__v__���_������_��� _）
������
������
A
y
M
B
Q
P
o
x
例5 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2,1),B(2,2),C(3,4).而且A，B，C，D按
照逆时针的方向排列求： （1）AB,AD (2)D的坐标；
解：
（1）AB= ������ − −������ ������ + ������ − ������ ������ = ������������,又因为AD=BC,所以 AD=BC= ������ − ������ ������ + ������ − ������ ������ = ������
������������ = ������������ = ������������ − ������������ ������ + ������������ − ������������ ������
（2）平面直角坐标系内的中点坐标公式
设线段AB的中点为M（x,y）则������������=（x,y）又因为������������=������ ൫������������ +
新人教B版必修二
第六章 平面向量
主讲人：姜妍
复习提问
1.若平面上两个向量a=（������1，������1），b=（������2，������2），则
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
2.3.2平面向量的坐标表示及坐标运算
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
2 1 -4 -3 c 2i 3 j -2 -1
O
A 2 3 4
x
1 i -1
j
( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（ ， 3-x, 4 y) 1 2）（
(2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则 (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7),5λ+5<0,7λ+4<0 ,
人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
平面向量的坐标运算
设向量OA ( k ,12)， (4,5), OB OC (10, k ), 当k为何值时，A、 B、C 三点共线 ？
应用：
已知 3： A、B、C、D 四点坐标分别 为A(1,0)、B(4,3)、C ( 2,4)、D(0,2), 试证明四边形 、B、C、D是梯形. A
练习：
已知b的方向与a ( 3,4)的方 向相同，且| b | 15, 求b .
推导过程：
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0 注意：
1. 消去时不能两式相除， y1 , y2 有可能为 ， 0 b 0, x2 , y2中至少有一个不为 . 0 y1 y2 2. 充要条件不能写成： x1 , x2 有可能为0 . x1 x2
推导过程：
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0
a // b (b 0) 的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0 注意：
1. 消去时不能两式相除， y1 , y2 有可能为 ， 0 b 0, x2 , y2中至少有一个不为 . 0
应用：
B 4：已知点A(4,0)， (4,4), C (2,6), 求AC和OB的交点P的坐标 .
课堂小结
向量平行（共线）的充要条件 的坐标形式
课堂小结
向量平行（共线）的充要条件 的坐标形式
x1 y2 x2 y1 0
推导过程：
3. 从而向量共线的充要条 件有两种 形式： ①a // b (b 0) a b ② x1 y2 x2 y1 0 .
应用：
若向量a ( 1, x )与b ( x ,2)共线 1： 且方向相同, 求 x .
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.3.2 平面向量的坐标运算教案 苏教版必修4
2．3.2 平面向量的坐标运算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的坐标运算法则，并能进行相关运算．(2)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．过程与方法(1)通过向量的正交分解及坐标运算，进一步体会向量的工具作用．(2)通过学习平面向量共线的坐标表示及应用，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生学习数学的兴趣，勤于思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．●重点难点重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算．难点：平面向量平行条件的理解．(教师用书独具)●教学建议1．关于平面向量的坐标的概念教学教学时，建议教师从学生熟悉的平面向量基本定理出发，结合物理知识中力的正交分解，自然引出向量的正交分解，并类比平面直角坐标系中“点与坐标”的关系，得出“平面向量的坐标”的概念，并强调指出平面直角坐标系中“点的坐标同以原点为起点的向量是一一对应的”．2．关于平面向量的坐标的线性运算的教学教学时，建议教师让学生结合向量加、减及数乘向量的定义和向量的坐标的概念自主推导出平面向量的坐标的线性运算，并就每种运算的特征加以概括；在此基础上要求学生通过练习熟练掌握平面向量的坐标的线性运算．3．关于平面向量平行的坐标表示的教学教学时，建议教师引导学生从向量共线定理出发，自主推导出向量共线时的坐标关系，并会应用向量的坐标关系解决与平行有关的平面几何证明问题．●教学流程创设问题情境，引入平面向量的坐标概念.⇒引导学生结合向量加、减及数乘运算，推导出平面向量的坐标的线性运算.⇒引导学生结合向量共线定理，推导出向量平行的坐标表示，并总结利用向量坐标关系判断向量平行的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握结合图形用坐标表示向量的方法.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握平面向量坐标的线性运算方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平行向量的坐标表示，解决有关向量平行问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，任作一向量OA →.根据平面向量基本定理，OA →＝x i ＋y j ，那么(x ，y )与A 点的坐标相同吗？【提示】 相同．2．如果向量OA →也用(x ，y )表示，那么这种向量OA →与实数对(x ，y )之间是否一一对应？ 【提示】 是一一对应．(1)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则把有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．(2)平面向量的坐标运算①已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．②已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2设a ＝(1,3)，b ＝(2,6)，向量b 与a 共线吗？ 【提示】 b ＝(2,6)＝2(1,3)＝2a ，∴b 与a 共线．设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .图2－3－10在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图2－3－10所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．【思路探究】 利用三角函数求出各向量在x 轴、y 轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标．【自主解答】 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2，a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3×(－12)＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×(－12)＝－2.因此a ＝(2，2)，b ＝(－32，332)，c ＝(23，－2)．1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．图2－3－11如图2－3－11，已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝2，∠xOA ＝150°，求向量OA →的坐标．【解】 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，设A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 150°＝－3，y ＝|OA →|sin 150°＝1.所以OA →(2)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，试求向量3AB →＋12CA →，BC →－2AB →.【思路探究】 (1)中分别给出了两向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行．(2)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算．【自主解答】 (1)∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(0,5)， ∴3a －b ＋c ＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5)＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5)＝(3＋2＋0，－9－4＋5) ＝(5，－8)．【答案】 (5，－8)(2)∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)． ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)，∴3AB →＋12CA →＝3(1,5)＋12(4，－1)＝(5，292)，BC →－2AB →＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．若题(2)中条件不变，如何求2AB →－3BC →＋CA →呢？ 【解】 ∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)， ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)， ∴2AB →→→AB 与CD 是否平行？(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？【思路探究】 (1)判断AB →∥CD →→判断点A 是否在直线CD 上→结论．(2)求A ，B ，C 三点共线时k 的值，则一定有AB →＝λAC →成立．先求AB →，AC →，再列方程组求解k .【自主解答】 (1)因为AB →＝(2,4)，AD →＝(4,11)－(－1，1)＝(5,10)，AC →＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)，所以AB →＝－2AC →，AD →＝－5AC →.所以AB →∥AC →∥AD →.由于AB →与AC →，AD →有共同的起点A ， 所以A ，B ，C ，D 四点共线． 因此直线AB 与CD 重合． (2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝ (10－k ，k －12)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )， 解得k ＝－2或11，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．利用x 1y 2－x 2y 1＝0求解，解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，求实数x 的值． 【解】 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.忽略平行四边形顶点顺序的讨论致误已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，若A ，B ，C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标．【错解】 设点D 的坐标为(x ，y )，则由AD →＝BC →，得x －2＝－1－3，y －1＝4－2，即x ＝－2，y ＝3，故所求点D 的坐标为(－2,3)．【错因分析】 错解中认为平行四边形的四个顶点的顺序是ABCD .事实上，本题没有给出是四边形ABCD ，因此，需要分类讨论．【防范措施】 在求平行四边形某一顶点的坐标时，常常需要对平行四边形顶点顺序进行讨论．【正解】 设点D 的坐标为(x ，y )．当四边形为平行四边形ABCD 时，则有AD →＝BC →，从而有x －2＝－1－3，y －1＝4－2，即x ＝－2，y ＝3，故点D 的坐标为(－2,3)．当四边形为平行四边形ADBC 时，则有AD →＝CB →，从而有x －2＝3－(－1)，y －1＝2－4，即x ＝6，y ＝－1，故点D 的坐标为(6，－1)．当四边形为平行四边形ABDC 时，则有AC →＝BD →，从而有x －3＝－1－2，y －2＝4－1，即x ＝0，y ＝5，故点D 的坐标为(0,5)，故第四个顶点D 的坐标为(－2,3)或(6，－1)或(0,5)．1．向量的坐标运算(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 2．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例.1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝________. 【解析】 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)． 【答案】 (7,3)2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点坐标为________．【解析】 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8,1)． ∵MP →＝12MN →，∴(2x －6,2y ＋4)＝(－8,1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＝－8，2y ＋4＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.【答案】 (－1，－32)3．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，是k ＝________. 【解析】 a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)，∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63.∴k ＝5.【答案】 54．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.【证明】 ∵AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)∴E (－13，23)，F (73，0)．∴EF →＝(83，－23)．又AB →＝(4，－1)，所以AB →＝32EF →.即EF →∥AB →.一、填空题1．下列说法正确的有________． (1)向量的坐标即此向量终点的坐标； (2)位置不同的向量其坐标可能相同；(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标； (4)相等的向量坐标一定相同．【解析】 我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是(2)(4)．【答案】 (2)(4)2．若向量a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则向量2b ＋a 的坐标是________．【解析】 2b ＋a ＝2(0，－1)＋(3,2)＝(0，－2)＋(3,2)＝(3,0)． 【答案】 (3,0)3．已知a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x ＝________.【解析】 设a ＝λb ，则(－1，x )＝(－λx,2λ)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λx ，x ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，λ＝－22.又a 与b 方向相同，则λ＞0，所以λ＝22，x ＝ 2. 【答案】24．(2013·连云港高一检测)已知点M (3，－2)，N (－6,1)，且MP →＝2PN →，点P 的坐标为________．【解析】 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， PN →＝(－6－x,1－y )，∴由MP →＝2PN →得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－12－2x ，y ＋2＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝0，∴点P 的坐标为(－3,0)．【答案】 (－3,0)5．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.【解析】 设q ＝(x ，y )，则由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，所以q ＝(－2,1)．【答案】 (－2,1)6．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则实数k ＝________.【解析】 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，∵AB →与BC →共线． ∴(4－k )×(k －5)－6×(－7)＝0， 解得k ＝－2或11. 【答案】 －2或117．下列说法正确的有______________． (1)存在向量a 与任何向量都是平行向量；(2)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2；(3)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0；(4)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥b .【解析】 (1)当a 是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；(2)不正确，当y 1＝0或y 2＝0时，显然不能用x 1y 1＝x 2y 2来表示；(3)(4)正确．【答案】 (1)(3)(4)8．已知向量m ＝(2,3)，n ＝(－1,2)，若a m ＋b n 与m －2n 共线，则a b等于________． 【解析】 a m ＋b n ＝(2a,3a )＋(－b,2b )＝(2a －b,3a ＋2b )，m －2n ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，∵a m ＋b n 与m －2n 共线，∴b －2a －12a －8b ＝0，∴a b ＝－12.【答案】 －12二、解答题9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)． 设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2) ，∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)．10．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5) 及OP →＝OA →＋tAB →，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．【解】 (1)设P (x ，y )，AB →＝(3,3)，由OP →＝OA →＋tAB →得(x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t .若P 在x 轴上，则y P ＝0，即2＋3t ＝0，∴t ＝－23.若P 在y 轴上，则x P ＝0，即1＋3t ＝0，∴t ＝－13.若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，∴－23＜t ＜－13.(2)四边形OABP 不能为平行四边形． 因为若四边形OABP 能构成平行四边形， 则OP →＝AB →，即(1＋3t,2＋3t )＝(3,3)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3， t 无解，故四边形OABP 不能为平行四边形． 11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1tb ，是否存在正实数k ，t 使得x ∥y ？若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 【解】 不存在．理由：依题意，x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1,2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3)．y ＝－1k a ＋1tb＝－1k (1,2)＋1t(－2,1)＝(－1k －2t，－2k ＋1t)．假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则(－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)·(－1k －2t)＝0，化简得t 2＋1k ＋1t ＝0，即t 3＋t ＋k ＝0. ∵k ，t 为正实数，∴满足上式的k ，t 不存在，∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .(教师用书独具)已知△AOB 中，O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．【思路探究】 由已知条件易求得点C ，D 的坐标，再由点M 是AD 与BC 的交点，即A ，M ，D 三点共线与B ，M ，C 三点共线可得到以点M 的坐标为解的方程组，解方程组即可．【自主解答】 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)， ∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)，OC →＝14OA →＝(0，54)， ∴点C 的坐标为(0，54)．同理可得D (2，32)． 设点M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，∵A ，M ，D 共线，∴AM →与AD →共线．又AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)， ∴－72x －2(y －5)＝0， 即7x ＋4y ＝20.①∵CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4－0,3－54)＝(4，74)， CM →与CB →共线，∴74x －4(y －54)＝0， 即7x －16y ＝－20.②由①②得x ＝127，y ＝2， ∴M 的坐标为(127，2)．在求点或向量的坐标中充分利用两个向量共线，要注意方程思想的应用，在题目中充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标．【解】 法一 设OP →＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )，则AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t ) －(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP →，AC →共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34. 所以OP →＝(4t,4t )＝(3,3)，所以P 点的坐标为(3,3)．法二 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．因为OP →，OB →共线，所以4x －4y ＝0.①又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)，且向量CP →，CA →共线，所以－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，所以P点的坐标为(3,3)．。
江苏省徐州市贾汪区建平中学高一数学《平面向量的坐标运算》教案2
2.3.2 平面向量的坐标运算（2）
高一数学导学案 新授课 主备人：赵永 审核人：董平 第 周星期 教学目标：
1．正确地用坐标表示向量
2、会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
重点难点
平面向量线性运算的坐标表示
教学过程：
2、已知),(),0,2(),3,2(),2,1(y x D C B A ---，且=−→−AC −→
−BD 2，则____=+y x ；
3、求与a =（12,5）平行的单位向量。
三、典型例题
例1、已知),(),,(222111y x P y x P ，P 是直线21P P 上一点，
且λ=−→−P P 1−→
−2PP )1(-≠λ，求点P 的坐标。
特别地：当1
λ时，你能得到什么结论？
=
例2、如图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对物体的摩擦力。
分析：向量在力学中的应用。
四、学习小结
五、课后作业:书本P79 第4、5题。
高中数学-第二章-平面向量-2.3-平面向量的基本定理及坐标表示-2.3.2-2.3.3-知识巧解学案-新人教A版必修4
2.3.2 平面向量的坐标表示及运算2.3.3 平面向量共线的坐标表示疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的正交分解1.由平面向量基本定理可知，我们选定平面中的一组不共线向量作为基底，则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时，往往根据需要，人为地选定一组基底来表示相关的量.如图2-3-11，△ABC 中，D 、E 分别是边、的中点.图2-3-11求证：DE 21BC. 证明：先选定一组基底，设=a ，=b ，则=b -a .又∵AD =21AB =21a ，AE =21=21b ， ∴=-=21b 21 a =21 (b -a ). ∴=2，即△ABC 中，DE 21BC. 学法一得 利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是：先选好一组基底，用该基底把相关的向量表示出来，再根据两向量共线的条件，确定唯一的实数，证得两向量共线，其实质是判定出两向量的方向与模的关系.2.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此时，这两个互相垂直的基底为正交基底.二、正交分解下向量的坐标1.向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a .由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x ，y)，使得a =x i +y j .由于向量a 与有序实数对(x ，y)是一一对应的，因此，我们就把(x ，y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作a =(x ，y),其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a =(x ，y)叫做向量的坐标表示.显然，i =(1，0)，j =(0，1)，0=(0，0).图2-3-12设向量a=(x，y)，a方向相对于x轴正方向的旋转角为θ.由三角函数的定义可知：x=|a|cosθ，y=|a|sinθ，即向量a的坐标由它的模和方向唯一确定，与它的位置无关.2.向量坐标的唯一性在直角坐标平面内，以原点O为起点作=a，则点A的位置由a唯一确定.设=x i+y j，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标.图2-3-13如图2-3-13所示，CD=OA=a，CD向量的坐标怎样表示?由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，这就是我们常说的自由向量.向量在移动的过程中，其坐标是不变的，此时OA向量的坐标等于CD的坐标，即相等向量的坐标相同.3.一一对应原理任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标表示的向量却不一定是唯一的，也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为坐标原点的向量是一一对应的关系.由此可见，在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中，点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.学法一得①平面向量的坐标表示是平面向量基本定理的具体运用，其关键是在直角坐标系的两坐标轴上取与正方向一致的两个单位向量作为基底，用该基底把平面直角坐标系中的某一向量表示出来.②由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，所以平面内任一向量所对应的坐标，与把该向量的起点移至原点，终点所对应的坐标相等.三、向量的坐标运算1.加法运算对于向量的加法除了用向量线性运算的结合律和分配律去证明外，还可用几何作图的方法予以证明.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求a+b.图2-3-14如图2-3-14所示，OA =a ，OB =b ，以a 、b 为邻边作平行四边形，则OC =a +b .作BB ′⊥x 轴，垂足为B ′，AA ′⊥x 轴，垂足为A ′，CD ⊥x 轴，垂足为D ，AC ′⊥CD ，垂足为C ′.从作图过程可知Rt △BB ′O ≌Rt △CC ′A.所以OB ′=AC ′=A ′D ，BB ′=CC ′.所以C 点的坐标为x C =OA ′+A ′D=x 1+x 2，y C =C ′D+C ′C=y 1+y 2，即=(x 1+x 2，y 1+y 2)，也就是a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2).也就是说：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.上述结论对于三个或三个以上向量加法仍然成立.2.减法运算由向量线性运算的结合律和分配律，可得a -b =(x 1i +y 1j )-(x 2i +y 2j )=(x 1-x 2)i +(y 1-y 2)j ，即a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，也就是说：两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. 类似于向量的加法运算，也可以通过作图验证减法的坐标运算规则.3.实数与向量积的坐标如图2-3-15，已知OA =a ，OB =λa ，不妨设λ＞0，作AA ′⊥x 轴，BB ′⊥x 轴，垂足分别为A ′、B ′.图2-3-15由△AOA ′∽△BOB ′，∴B B A A B O A O OB OA ''=''=. 由λ1=OB OA ，OA ′=x ，A ′A=y ， ∴B O x '=λ1，B B y '=λ1，得OB ′=λx ，B ′B=λy ， 即OB =(λx ，λy)，即λa =(λx ，λy).同理可证当λ＜0时，结论也成立；当λ=0时，λa =0，结论显然也成立.综上所述，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.学法一得 当λ＞0时，λa 所对应的坐标可看作把a 的坐标伸长(λ＞1)或缩短(0＜λ＜1)到原来的λ倍而得到；当λ＜0时，可看作把a 的相反向量的坐标伸长(λ＜-1)或缩短(-1＜λ＜0)到原来的-λ倍而得到.典题•热题知识点一 利用图形间的关系求坐标例1 在平面内以点O 的正东方向为x 轴正向，正北方向为y 轴的正向建立直角坐标系.质点在平面内作直线运动，分别求下列位移向量的坐标.(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个长度单位；(2)向量b 表示沿北偏西30°方向移动了3个长度单位；(3)向量c 表示沿南偏东60°方向移动了4个长度单位.解：设=a ，=b ，=c ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，R(x 3，y 3).图2-3-16(1)如图2-3-16,可知∠POP ′=45°，|OP |=2，所以a =OP =P P P O '+=2i +2j ,所以a =(2，2).(2)因为∠QOQ ′=60°，||=3，所以b ==Q O '+Q '=23-i +323j ，所以b =(23-，323). (3)因为∠ROR ′=30°，||=4，所以c ==R O '+R R '=32i -2j .所以c =(32，-2). 方法归纳 求解向量坐标时，常用到解直角三角形的知识或任意角的三角函数的定义.构造直角三角形是学习过程中常用到的一种解题手段.知识点二 向量的坐标运算例2 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+t .求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第二象限?(2)四边形OABP 能成为平行四边形吗?若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由. 解： (1)=+t =(1+3t ，2+3t).若P 在x 轴上，只需2+3t=0，即t=32-； 若P 在y 轴上，只需1+3t=0，即t=31-； 若P 在第二象限，则需⎩⎨⎧>+<+,032,031t t 解得-32＜t ＜-31. (2)OA =(1，2)，PB =(3-3t ，3-3t).若四边形OABP 为平行四边形，需=.于是⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形.巧解提示:向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法.知识点三 求向量坐标例3 已知A(0，0)，B(21，31-)，C(21-，32)，则下列计算正确的是( ) A.向量的坐标为(21-，31) B.向量的坐标为(0，31) C.向量的坐标为(21-，32) D.向量+的坐标为(0，31) 思路分析：利用“向量的坐标=终点坐标-起点坐标”直接得到结果.=(21，31-)-(0，0)=(21，31-)， =(21-，32)-(21，-31)=(-1，1)， CA =(0，0)-(21-，32)=(21，32-)， +AB =(21-，32)+(21，31-)=(0，31). 答案：D例4 在直角坐标系xOy 中，已知点A(3，2)、B(-2，4)，求向量+的方向和长度. 解：如图2-3-17,可知=(3，2)，=(-2，4).图2-3-17 设OC =OA +OB ，则OC =OA +OB =(3，2)+(-2，4)=(1，6).由两点间距离公式，得|OC |=376122=+. 设相对x 轴正向的转角为α，则tan α=6，使用计算器计算得α=80°32′. 所以向量+的方向偏离x 轴正方向约为80°32′，长度等于37.知识点四 利用向量坐标解综合题例5 已知a =(6，-4)，b =(0，2)，c =a +λb ，若c 的终点在直线y=21x 上，求实数λ的值. 思路分析：此题是向量与直线结合的问题，关键是建立关于λ的等式关系.图2-3-18解：如图2-3-18所示，过A 作平行于y 轴的直线交直线y=21x 于C 点，则可求得C(6，3)，过C 点作直线OA 的平行线，交y 轴于D 点，则四边形AODC 为平行四边形，易求得|OD|=7，所以27||||=OB OD ，即λ=27. 巧解提示:设c =(x ，y)，由题设，可得(x ，y)=(6，-4)+λ(0，2)，即(x ，y)=(6，-4+2λ).∴⎩⎨⎧+-==.24,6λy x∵c 的终点在直线y=21x 上， ∴-4+2λ=21×6.解得λ=27. 例6 已知向量u =(x ，y)与向量v =(y ，2y-x)的对应关系用v =f(u )表示.(1)设a =(1，1)，b =(1，0)，求向量f(a )及f(b )的坐标；(2)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n 恒有f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立；(3)求使f(c )=(p ，q)(p ，q 为常数)的向量c 的坐标.思路分析：为应用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而使问题解决. 解：(1)f(a )=(1，2×1-1)=(1，1)；f(b )=(0，2×0-1)=(0，-1).(2)设a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，则m a +n b =(m a 1+n b 1，m a 2+n b 2)，∴f(m a +n b )=(ma 2+nb 2，2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1)，mf(a )+nf(b )=m(a 2，2a 2-a 1)+n(b 2，2b 2-b 1)=(ma 2+nb 2，2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1).∴f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立.(3)设c =(x ，y)，则f(c )=(y ，2y-x)=(p ，q)，∴⎩⎨⎧=-=.2,q x y p y∴x=2p-q ，即向量c=(2p-q ，p).例7 已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，如图2-3-19所示.图2-3-19 求证：EF =21(AB +DC ). 思路分析：根据向量加法的三角形法则或坐标运算法则可以用不同方法证明.证明：建立直角坐标系，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4). 则=(x 2-x 1，y 2-y 1)，=(x 3-x 4，y 3-y 4)， ∴21(AB +)=(2,241324132y y y y x x x x --+--+). 又E(2,24141y y x x ++)，F(2,23232y y x x ++)， 则=(22,2241324132y y y y x x x x +-++-+)， ∴EF =21(AB +DC ). 巧解提示:∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，图2-3-20 ∴+=+=0. 又=++，=++，两式相加得2=+，即=21(+). 问题•探究材料信息探究材料：一个力可以分解为平面内任意两个方向上的力.如图2-3-21：图2-3-21拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的，我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深.这两个效果相当于两个力分别产生的：一个水平的力F 1使耙前进，一个竖直向上的力F 2把耙上提，即力F 可以用两个力F 1和F 2来代替，即力F 被分解成两个力F 1和F 2.问题 能不能将上面的物理知识抽象为数学知识？这一数学知识有何作用？探究过程:由物理学知识可知力是矢量，它可以抽象为数学中的向量.因此物理学中力的分解可以抽象为数学中一个平面内的向量都可以分解为两个不共线的向量，即平面内任意一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的，其实质就是平面向量基本定理.这一定理是向量坐标表示的理论基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决. 探究结论:上面的物理知识可以抽象为数学中的平面向量基本定理，该定理是向量坐标化的理论基础，也是联系向量问题与几何问题的桥梁与纽带.方案设计探究问题 试探究用向量求76cos 74cos 72cosπππ++的值的方法. 探究过程:要求76cos 74cos 72cos πππ++可先求cos0+cos 72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π +cos 710π+cos 712π的值，由于0、72π、74π、76π、78π、710π、712π这七个角每相邻两个角都相差72π，则可考虑在直角坐标系中构造一个边长为1的正七边形OABCDEF ，且使A 点的坐标为(1，0)，则由此可得出OA 、、BC BC 、CD 、、和FO 的坐标，再利用它们的和是零向量及零向量的横坐标、纵坐标都为零即可求解.探究结论:如图2-3-22所示，将边长为1的正七边形OABCDEF 放入直角坐标系中，则图2-3-22=(1，0)，=(cos 72π,sin 72π)，=(cos 74π,sin 74π)，=(cos 76π,sin 76π)，DE =(cos 78π,sin 78π)，EF =(cos 710π,sin 710π)，FO =(cos 712π,sin 712π). 由于++++++=0，则有cos0+cos72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π+cos 710π+cos 712π=0. 又cos 78π=cos 76π，cos 710π=cos 74π，cos 712π=cos 72π，cos0=1， 所以有1+2(cos 72π+cos 74π+cos 76π)=0，即cos 72π+cos 74π+cos 76π=21-. 思想方法探究问题 在数学中，我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分，如果已经知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题.向量是解决几何问题的有效工具，能否用向量分析这一问题？探究过程:在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，假设点P 分有向线段的比为λ，即=λ，O 为平面上一定点，那么会有+λ=0，=λλ++1OB OA .事实上，因为=λ，所以+λ=0，于是有(-)+λ(-)=0,(1+λ) =+λ,所以=λλ++1OB OA . 如果在直角坐标系中，设O 为坐标原点，P(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有(x,y)=)1,1(1),(),(21212211λλλλλλ++++=++y y x x y x y x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x 探究结论:P 点的坐标为(λλλλ++++1,12121y y x x )，此公式就叫做线段的定比分点公式.它可以直接利用线段端点的坐标来表示分点的坐标，显得方便、快捷. 如下面的问题，已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P 在直线OA 上，且21=PA OP ，又P 是线段OB 的中点，利用公式就可以直接得到点B 的坐标.假设P(x,y)，由定比分点公式有22116210=+⨯+=x ,2113210+⨯+=y ，即P(2,1).又因为P 是线段OB 的中点，所以点B 的坐标(4,2).欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
平面向量的坐标运算
1.已知 =(1.已知 a =(-2,4), b =(5,2) 求 a+ b , ab , 2a + 4b 的坐标. 的坐标. 解: a +b = (3,6) a b = (7,2)
2a + 4b = (24,0)
2. 已知a = AB, 求向量a的始点( A)或终点( B)坐标.
(1)a = (1,3), (2)a = (2,5),
A
A1
2.3.3平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 1.已知 = ( x1 , y 1 )， b = ( x 2 , y 2 )，求a+b，a-b． 已知a 已知 ， 解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j （ （ 即 同理可得 a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) a - b = ( x1 x2 , y1 y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
2.3.3平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算
2．已知 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )．求 AB ． 解： AB = OB 0 A = ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
A( x1 , y1 )
y
B ( x2 , y 2 )
A(1,5) B (3,7)
B(0,8) A(5,12)
2.3.3 平面向量的坐标运算
的三个顶点A、 、 的坐标分别为 例3． 已知 ABCD的三个顶点 、B、C的坐标分别为 ． 的三个顶点 （－2， ）、（ ）、（3， ），求顶点D的坐标 ），求顶点 的坐标． （－ ，1）、（ －1，3）、（ ，4），求顶点 的坐标． ， ）、（ 的坐标为（ ， ） 解：设顶点D的坐标为（x，y） 设顶点 的坐标为
2.3.2 平面向量的坐标运算(2)
起点在原点的向量的坐标就是其终点的坐标.
向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标. 3.向量的坐标运算（和、差、数乘）. 4.定比分点坐标公式与中点坐标公式.
课本P79作业解答：
向量共线定理
如果用坐标来表述这一结论？
【例题讲解】
例1 已知 a (4, 2)，b (6, y)，且 a // b ，求 y ．
(x,1),u a +2b
,v 2a
-
b，且 u // v
，求
x
；
4.设 a、b是不共线的非零向量，求证 a +2 b 与a -2b不平行；
5.已知 a (1,2),b (3,2)，当k为何值时，ka +b 与a -3b
平行？平行时它们是同向还是反向？
6.已知点A(1,
1)，B(1,
3)，C
(1,
5)ห้องสมุดไป่ตู้
，D(2,
7)
，向量AB与
CD
平行吗？
直线 AB 平行于直线 CD 吗？
7.与向量 a (3,4) 平行的单位向量为_____ ．
回顾反思
1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式； 2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明
三点共线和两直线平行； 3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同.
例2 已知 A(0,2), B(2,2),C(3,4) ，求证：A，B，C三点共线．
例3 已知 a (1,0), b (2,1)，当实数 k为何值时，向量 ka - b 与 a ＋3b
平行？并确定此时它们是同向还是反向．
例4 已知点O，A，B，C的坐标分别为（0,0）,（3,4）,（-1,2）,（1，1)，
2.3.2平面向量基本定理及坐标表示
O
x
(2)
O
x
推广: 推广:已知 P1 ( x 1 , y1 ) ，P2 ( x2 , y2 ) ，P是直线 是直线 P1P2上的一点,且P1P=λPP2(λ≠-1) 上的一点 且 点的坐标. 求P点的坐标. 点的坐标 P(x,y),则 解:设P(x,y),则 Q = ( x − x1 , y − y1 ) P1 P
例4.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断 已知 ， A、B、C三点之间的位置关系。 三点之间的位置关系。 、 、 三点之间的位置关系
设点P是线段 例1.设点 是线段 1P2上的一点，P1、P2的坐标 设点 是线段P 上的一点， 分别是 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) 是线段P 的中点时，求点P的坐标 的坐标； （1）当点 是线段 1P2的中点时，求点 的坐标； ）当点P是线段 是线段P 的一个三等分点时， （2）当点 是线段 1P2的一个三等分点时， ）当点P是线段 求点P的坐标。 求点 的坐标。 的坐标
一般地,向量a=(x 一般地,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0), 如果a∥b,那么 如果a∥b,那么 x1y2-x2y1=0. a∥b, 反过来,如果x1y2-x2y1=0 反过来,如果x 那么a∥b. 那么a∥b.
r r r r 例3.已知 a = (4,2), b = (6, y) ，且 a b ，求y。 已知 。
r r 思考： 思考：已知 a = ( x1, y1 ), b = ( x2 , y2 ) r r r r r 的坐标吗？ 你能得出 a + b , a − b , λ a 的坐标吗？
λ a = (λ x1, λ y1 )
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例4 已知 a (2, 4) ,b (1,3) ,c (6,5) ,p a 2b c ，则以 a ， b 为基底，求 p .
例5
已知点O，A，B，C的坐标分别为（0,0），（3,4），（-1,2），（1，1)，
是否存在常数t，使得 OA t OB = OC 成立？解释你所得到结论的几何意 义.
巩固深化，反馈矫正
3 1 1．设 a ( ,sin )， (0, 2 )，且 a // b ，求锐角 ； b (cos , )， 2 3
2.当 x ____ 时，向量 a (1,2) 与 b ( x,4) 平行； 3.已知向量 a (1,2) ,b ( x,1) ,u a +2 b ,v 2 a - b ，且 u // v ，求 x ； b是不共线的非零向量，求证 a +2 b 与 a -2 b 不平行； 4.设 a 、 k a + b 与 a -3 b 5.已知 a (1,2) ,b (3,2) ，当k 为何值时，
平行？平行时它们是同向还是反向？
C (1,5) ， D (2, 7) ，向量 AB 与 CD 平行吗？ 6.已知点A(1, 1)， B(1,3)，
7.与向量 a (3,4) 平行的单位向量为_____ ．
直线 AB 平行于直线 CD 吗？
回顾反思
1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
高中数学 必修4
姓名：李元华 单位：阜阳市娄庄中学
问题情境
1．已知 a (3, 2)， b (0, 1) ，求 2a 4b ， 4a 3b的坐标；
1 1 B(1,5) 及 AC AB ， 2．已知点 A(1,1) ， AE AD 2 AB ， AB , 2 2
【例题讲解】
a (4, 2) 例1 已知 ， b (6, y) ，且 a / b ，求 y ．
例2
已知 A(0,2), B(2,2), C (3,4) ，求证：A，B，C三点共线．
例3 已知 a (1,0), b (2,1) ，当实数 k 为何值时，向量 k a - b 与 a ＋3 b
2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明
三点共线和两直线平行；
3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同.
那么这个条件如何用坐标来表示呢？
向量平行（共线）的两种表达形式： a ∥ b ( b 0 ) a b x1 y2 x2 y1 0 【注意】 ①消去 时不能两式相除,∵ y1 , y 2 有可能为0. ∵ b 0 ,∴ x 2 , y 2 中至少有一个不为0 y y ②这个条件不能写成 1 2 ,∵ x1 , x 2有可能为0 x1 x 2 ③向量共线的两种判定方法： a ∥ b ( b 0 ) a b x1 y2 x2 y1 0
求点C,D,E的坐标；
【提出问题】
a
＝(1, －4)，b ＝(－2, 8)，作图表示，发现了什么？
学生活动
【提出问题】
a ＝(x1, y1)， b ＝(x2, y2)，若 a ∥ b ，如何用坐标刻画？
建构数学
1.共线向量的充要条件:
【思考】 共线向量的条件是有且只有一个实数 使得 b = a ,