几何变换在初中几何解题中的应用
几何变换的性质与应用
几何变换的性质与应用几何变换是数学中一个重要的概念，它描述了平面上的图形在空间中的移动、旋转、翻转和缩放等操作。
几何变换不仅在数学中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将从几何变换的性质和应用两个方面进行论述，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用几何变换。
一、几何变换的性质1. 平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
平移变换具有以下性质：（1）平移变换保持图形的对称性。
例如，一个正方形经过平移变换后仍然是一个正方形，只是位置发生了改变。
（2）平移变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为平移变换只是将图形整体移动，不改变其内部结构。
2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个点旋转一定的角度，而不改变其形状和大小。
旋转变换具有以下性质：（1）旋转变换保持图形的对称性。
例如，一个等边三角形经过旋转变换后仍然是一个等边三角形，只是方向发生了改变。
（2）旋转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为旋转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
3. 翻转变换翻转变换是指将图形关于某条直线对称，使得图形的每个点与直线上的对应点距离相等。
翻转变换具有以下性质：（1）翻转变换保持图形的对称性。
例如，一个长方形经过翻转变换后仍然是一个长方形，只是关于直线对称。
（2）翻转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为翻转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
二、几何变换的应用几何变换在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 地图导航地图导航是几何变换的典型应用之一。
通过将地图上的道路网络进行平移、旋转和缩放等变换，可以实现实时导航功能。
例如，当我们需要找到某个地点时，导航系统会根据我们的位置和目的地进行几何变换，将最佳路径显示在地图上。
2. 图像处理图像处理中的几何变换可以改变图像的大小、旋转角度和镜像等。
例如，当我们需要将一张图像进行放大或缩小时，就可以利用缩放变换实现。
初中数学应用题解法大全
初中数学应用题解法大全初中数学应用题在学习中起到了非常重要的作用，它们能够帮助我们将数学知识应用到实际生活中，培养我们的数学思维和解决问题的能力。
在本文中，我将为大家整理一份初中数学应用题解法大全，帮助大家更好地掌握这类题目的解题方法。
1. 空间几何题解法空间几何题是初中数学中比较常见的一类应用题。
在解决空间几何题时，我们可以采用以下方法：首先，通过画图的方式来帮助理解题意。
其次，根据已知条件，使用几何图形的性质，如平行线、垂直线等来进行分析。
然后，运用相应的定理和定律，如平行线的性质、垂直线的性质等来得出结论。
最后，对得到的结论进行验证。
2. 线性方程组的解法线性方程组是初中数学中另一类常见的应用题。
解决线性方程组时，我们可以采用以下方法：首先，列出方程组。
其次，通过化简、消元等方法，将方程组化简为较简单的形式。
然后，根据方程组的特点，选择最适合的解方程法进行求解，如代入法、消元法、等式法等。
最后，对得到的解进行验证。
3. 百分数的应用解法百分数是数学中的重要概念，应用广泛。
在解决百分数的应用题时，我们可以采用以下方法：首先，明确题意，将题目中的百分数转化为小数或分数形式。
其次，根据题目要求，运用百分数的性质进行计算，如利用百分数的乘除法性质、比例关系等。
然后，根据题目的给定条件，运用所学的知识来解决问题。
最后，对结果进行合理性的判断和验证。
4. 几何变换题解法几何变换是初中数学中的一大考点。
在解决几何变换题时，我们可以采用以下方法：首先，通过观察题目中给出的图形，找出与变换前后相关的性质，如长度、角度、位置等。
其次，根据所学的几何变换知识，选择合适的变换方法，如平移、旋转、翻转等。
然后，根据题目要求进行变化、计算或判断。
最后，对得到的结果进行合理性的判断和验证。
5. 统计与概率题解法统计与概率是初中数学中的一大考点。
在解决统计与概率题时，我们可以采用以下方法：首先，明确题目中给出的问题和已知条件。
初中数学几何变换思想的教学策略的研究
初中数学几何变换思想的教学策略的研究1. 引言1.1 研究背景初中数学几何变换是中学数学学科中的重要内容之一，涉及到平移、旋转、对称和放缩等多种变化方式。
这些数学几何变换的概念和分类对于学生的数学思维能力和几何直觉的培养具有重要意义。
在实际的教学中，许多教师和学生在理解和应用数学几何变换时遇到了困难，教学效果并不理想。
有必要对初中数学几何变换的教学进行深入研究，寻求有效的教学策略，提高学生对几何变换的理解和应用能力。
本研究旨在探讨初中数学几何变换的教学策略，分析常见题型，提供实例分析，以期能够为中学数学教学提供一定的借鉴和参考。
通过对数学几何变换的教学策略进行系统研究，不仅可以促进学生的数学学习兴趣，提高学习效率，还可以培养他们的数学思维能力和解决问题的能力，为其今后的学习和发展奠定良好的基础。
1.2 研究目的研究目的是为了深入探讨初中数学几何变换思想的教学策略，帮助教师更好地掌握如何有效教授这一内容。
通过研究，我们希望能够总结出一套科学可行的教学方法，使学生能够更快更深入地理解数学几何变换的概念，并能够灵活运用于解决实际问题。
我们也希望通过这项研究，进一步提高学生对数学几何变换的学习兴趣，使其对数学学习产生更多的自信和乐趣。
通过本研究，我们也希望能够为未来的教学改革提供一定的借鉴和参考，促进我国数学教育水平的提升。
1.3 研究意义数达到要求了吗，是否还需要继续添加内容等。
【研究意义】部分的内容如下：数学几何变换作为数学的重要分支之一，在教学中扮演着至关重要的角色。
通过对初中数学几何变换的教学策略进行深入研究，不仅可以帮助教师更好地掌握如何有效地传授这一知识点，提高教学效果，也可以帮助学生更好地理解和应用几何变换的概念，提升他们的数学思维能力和解题能力。
通过教学策略的探讨和实例分析，可以为教师提供更多灵活多样的教学方法，丰富教学手段，激发学生学习数学的兴趣，提高教学效率。
对初中数学几何变换的教学策略进行研究，也有助于促进教育教学改革和提高教学质量，推动数学教育的现代化发展。
三角形旋转解题技巧初中
三角形旋转解题技巧初中篇一：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中数学中，三角形旋转通常用于解决角度问题和面积问题。
以下是一些初中三角形旋转的解题技巧:1. 了解三角形旋转的性质：三角形旋转后，其顶点的位置不会改变，而边的长度会发生变化。
同时，三角形的面积也可以通过旋转来变化。
2. 利用旋转角求解角度问题：在初中数学中，常常需要求解三角形中的某个角度。
可以利用三角形旋转的性质，将求解的问题转化为已知角度的问题，然后再通过旋转来解决。
3. 利用旋转来解决面积问题：在解决面积问题时，可以利用三角形旋转的性质，将原来的问题转化为面积相等的三角形，然后再通过旋转来解决。
4. 熟悉三角形旋转的基本公式：三角形旋转的基本公式为:旋转角度=原角度 - 旋转角度，旋转角度=旋转角度 + 原角度。
这些公式可以帮助更好地理解和解决三角形旋转的问题。
三角形旋转在初中数学中是一种常见的几何变换，可以帮助我们更好地理解和解决一些问题。
通过不断练习和积累，可以逐渐掌握三角形旋转的解题技巧，提高解题能力。
篇二：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中阶段，三角形旋转通常作为求解几何问题的一种技巧来介绍。
下面是一些常见的三角形旋转解题技巧:1. 了解三角形旋转的基本性质：三角形旋转是一个沿固定轴旋转的变换，可以保持不变的性质有面积、周长、对称中心、对称轴等;可以改变的性质有方向、位置、形状等。
2. 利用旋转变换求解几何问题：在初中阶段，常见的利用三角形旋转求解的几何问题有：求解对称轴、对称中心、重心等;将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而实现化繁为简、化难为易的目的。
3. 掌握常见的旋转变换公式：在三角形旋转中，存在一些常用的旋转公式，如旋转角度、旋转角度与旋转中心的关系、旋转前后面积的变化等。
熟悉这些公式可以更好地理解和解决旋转问题。
4. 实践三角形旋转的技巧：在初中阶段，可以通过一些简单的例子来实践三角形旋转的技巧，如求解三角形的重心、对称中心、对称轴等。
例谈利用图形变换解决几何最值问题
Ｑ 的值 最 小 ， Ｒ 为使
， ，Ｒ 的和 能 在 一 条 直 线 上 ， 得 把 船 Ｑ 就
尸 ）艘 变换 到 厶 ４ Ｂ的 外 部 ， 为 连 接 两 定 点 间 首 尾 相 连 的 （， Ｏ 成 折 线 ． 后 才有 可 能 共 线 ． 用轴 对称 性 质 ， Ｐ关 于 Ｏ Ｏ 然 利 作 Ａ， Ｂ 对 称 的点 ， 则 点 ， 为 定 点 ， 接 ＭＲ， Ｑ， 把 Ⅳ， Ⅳ 连 Ｎ 就 ，
可 能共 线 ， 由于 Ｏ Ｏ Ｏ Ａ， Ｂ， Ｃ有 公 共 端 点 Ｏ， 对 称 无 法 做 到 ， 用 而 利 用旋 转 法 将 △ＡＯ Ｃ绕 点 Ａ 逆 时 针 旋 转 ６ 。 到 △ＡＭＮ位 ０，
置 ． 则 △ＡＯ 和 △４ Ⅳ 均为正 三角形 ， △ＡＯＣｔ ＡＡＮＭ ， ＝ 并
这 种 模 型 就 是 要 利 用 图形 变 换 将 求 和 的 线 段 经 过 变 换 后 使 和成 为 连 接 两 定 点 之 间 的首 尾 相 连 的折 线 ， 当这 几 条 线 段 的和 在 一 条 直线 上 时 ， 和 最 小 ． 其 例 １ 如 图 １ 菱形 ＡＢ Ｄ 的 对 角 ． Ｃ
Ｏ 上 分 别 有 两 动 点 Ｒ， 求 ＡＲ Ｂ Ｑ， 周长
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达 到 优 化 图 形 结 构 ， 一 步 整 合 图 形 信 息 的 目 的 ， 会 使 进 就 得 复 杂 的 问 题 得 以创 造 性 地 解 决 ． 初 中 几 何 中 ，有 关 几 在
值 最 小 ， 时 这
０曰 ＝ ｌ ０。一 Ａ ０Ｎ ＝ １ 。一 ６ ８ ８０ ０。＝ １ ０。． ２ ＯＣ ： Ａ ＝ １ ０。一 ＡⅣ Ｄ ＝ ｌ 。一 ６ Ｖ ８ ８０ ０。＝ １ 。． ２０ ＤＣ ： ３ ６０。一 １ ０。一 １ ０。＝ １ ０。． ２ ２ ２
几何变换的基本概念与性质
几何变换的基本概念与性质几何变换是指在平面或空间中对图形进行变换的操作。
通过对图形的平移、旋转、缩放和对称等操作，可以改变图形的位置、形状和大小。
几何变换在数学、物理和计算机图形学等领域都有广泛应用，具有重要的理论和实际价值。
本文将介绍几何变换的基本概念和性质，以及其在不同领域的应用。
一、平移变换平移变换是指将图形按照指定的方向和距离进行移动的操作。
在平面几何中，平移变换在坐标系中的表示为{(x,y)→(x+a,y+b)}，其中a和b分别表示沿x轴和y轴的平移距离。
平移变换可以保持图形的形状和大小不变，只改变其位置。
例如，将一个矩形图形沿x轴平移10个单位，结果是矩形整体右移10个单位。
平移变换具有以下性质：1. 平移变换不改变图形的形状和大小。
2. 平移变换满足平移合成律，即多次平移变换的结果与一个平移变换等效。
二、旋转变换旋转变换是指将图形按照指定的中心点和角度进行旋转的操作。
在平面几何中，旋转变换在坐标系中的表示为{(x,y)→[x*cosθ-y*sinθ,x*sinθ+y*cosθ]}，其中θ表示旋转的角度。
旋转变换可以改变图形的位置、形状和大小，但保持图形的某些性质不变，如图形的对称性或平行关系。
旋转变换具有以下性质：1. 旋转变换不改变图形的对称性和重心位置。
2. 旋转变换满足旋转合成律，即多次旋转变换的结果与一个旋转变换等效。
3. 在平面几何中，任意图形都可以通过旋转变换得到相似图形。
三、缩放变换缩放变换是指将图形按照指定的比例进行放大或缩小的操作。
在平面几何中，缩放变换在坐标系中的表示为{(x,y)→(kx,ky)}，其中k表示缩放的比例因子。
缩放变换可以改变图形的大小，但保持图形的形状和对称性不变。
缩放变换具有以下性质：1. 缩放变换不改变图形的形状和对称性。
2. 缩放变换满足缩放合成律，即多次缩放变换的结果与一个缩放变换等效。
四、对称变换对称变换是指将图形按照指定的直线对称、点对称或中心对称进行镜像的操作。
初中数学知识归纳几何变换的应用
初中数学知识归纳几何变换的应用几何变换是数学中一个重要的概念，初中数学课程中的几何变换有平移、旋转、翻折和对称四种。
这些几何变换不仅可以帮助我们理解和描述图形的变化，还在实际生活和各行各业中有着广泛的应用。
本文将对初中数学知识中的几何变换及其应用进行归纳总结。
一、平移变换的应用平移变换是指将一个图形沿着同一方向上的直线运动，并保持其大小和形状不变。
在实际应用中，平移变换经常用于描述物体的位置变化和路径规划等问题。
例如，在城市规划中，为了使交通更加便捷，我们需要将道路进行平移，以便打通交通瓶颈。
在此过程中，我们需要准确计算平移的距离和方向，确保道路的位置变化合理。
另外，在日常生活中，我们也可以运用平移变换解决一些问题。
比如，在设计家居布局时，我们可以通过平移变换将家具摆放在合适的位置，以满足生活的需求。
二、旋转变换的应用旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点旋转一定角度，并保持其大小和形状不变。
在几何变换中，旋转变换是一种常见且重要的变换方式，其应用广泛。
举个例子，在航空航天领域，飞机的起飞和着陆过程中会采用旋转变换。
当飞机起飞时，经过旋转变换，使得飞机的机头朝上，以便获得升力。
同样地，当飞机着陆时，也需要通过旋转变换来平稳地降落。
此外，旋转变换还可以应用于建筑设计、机械工程和艺术创作等领域。
在建筑设计中，通过对建筑物进行旋转变换，可以改变建筑物的朝向和视角，增加建筑物的美感和实用性。
三、翻折变换的应用翻折变换是指将一个图形沿着一条直线翻转，并保持其大小和形状不变。
翻折变换也被广泛应用于数学和实际生活中。
举个例子，在纸牌游戏中，我们经常会翻折纸牌来完成洗牌或发牌的过程。
通过翻折变换，可以改变纸牌的顺序，并使洗牌和发牌过程更加随机。
此外，在制作对称图案和装饰品时，翻折变换也很常见。
通过翻折变换，我们可以将一半的图案复制到另一半，从而快速制作出对称美观的图案和装饰品。
四、对称变换的应用对称变换是指将一个图形关于某个中心点对称，使得图形的两侧完全一致。
几何变换解题的常见技巧与应用
几何变换解题的常见技巧与应用几何变换作为数学中的一个重要分支，具有广泛的应用领域，能够帮助我们更好地理解和解决几何问题。
本文将介绍几何变换解题的常见技巧和应用。
一、平移技巧平移是指将几何图形沿着给定的向量作等距移动的操作。
在解题过程中，平移技巧常常用于确定几何图形的位置关系或帮助构造新的图形。
例如，在解决证明题时，我们可以通过平移技巧将待证明的两个图形重合，从而得出结论。
二、旋转技巧旋转是指将几何图形绕着一个点或一条直线旋转一定角度的操作。
旋转技巧常常用于确定几何图形的对称性或帮助构造新的图形。
例如，在解决构造题时，我们可以通过旋转技巧将给定的图形旋转一定角度，从而构造出满足题意的新图形。
三、对称技巧对称是指将几何图形以某个中心对称轴进行反射的操作。
对称技巧常常用于确定几何图形的对称性或帮助构造新的图形。
例如，在解决证明题或构造题时，我们可以通过对称技巧将给定的图形进行镜像，从而得到有关图形关系的结论。
四、相似性技巧相似性是指两个几何图形在形状上相似的性质。
相似性技巧常常用于确定几何图形的形状关系或解决比例问题。
例如，在解决测量或比较题时，我们可以利用相似性技巧确定两个几何图形的比例关系，从而解决问题。
五、尺规作图技巧尺规作图是指利用直尺和圆规进行几何图形的构造。
尺规作图技巧常常用于解决构造题或帮助求解几何问题。
例如，在解决构造题时，我们可以利用尺规作图技巧进行直线的平行、垂直、等分等构造操作，从而满足题目要求。
六、解析几何技巧解析几何是将几何问题转化为代数问题进行求解的方法。
解析几何技巧常常用于解决复杂几何问题或求得几何问题的具体数值。
例如，在解决曲线的性质问题时，我们可以利用解析几何技巧将曲线方程转化为代数方程，从而求得曲线的特点或性质。
综上所述，几何变换解题的常见技巧与应用包括平移技巧、旋转技巧、对称技巧、相似性技巧、尺规作图技巧和解析几何技巧等。
通过灵活运用这些技巧，我们能够更好地理解和解决各类几何问题，提高解题效率和准确性。
初等几何变换在中学数学中的应用
初等几何变换在中学数学中的应用1 引言几何起源于我们的生活，变换是解决几何问题很好的方法．“变换”包括平面几何图形的几种变换：平移、旋转、对称、位似、相似、全等、仿射、射影变换等．几何变换是将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程．它对于几何学的研究有重要作用．如果某种几何变换的全体组成一个“群”，就有相应的几何学，而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容．例如，研究图形在全等变换群下的不变性与不变量，就是欧几里得几何学的主要内容．几何变换为用近代数学方法讨论初等几何提供了广阔的前景．几何变换还在绘图、力学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网络等方面有广泛的应用．通过对初等几何变换的学习和应用，可以培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，从而提高了学生的逻辑思维能力．在中学数学的学习中只应用到了初等几何变换．初等几何变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换．2 全等变换及应用定义2.1[2](80)P 平面到其自身的变换，如果对于该平面上的任意两点A 、B 和它们的像'A ，'B 总有''A B =AB ．则这个变换叫做全等变换，或叫做合同变换．在全等变换下两点之间的距离是不变量．由全等变换得到的图形与原图形相等．在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换，它把一个图形变成与它正常全等的图形，所谓正常全等图形是指两个全等图形上每两个对应三角形有同一方向，并且每两个对应的有向角有同一方向．第二种叫做反常全等变换，它把一个图形变成与它反常全等的图形，即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向．类似地，空间也有正常全等变换和反常全等变换．全等变换存在逆变换、恒等变换．接连施行两次全等变换的积仍是全等变换，所以全等变换的全体组成“群”，叫做全等变换群，也叫做刚体变换群或运动群．平移、旋转、反射都是特殊的全等变换．2.1 平移变换及应用定义2.2[2](96)P 如果在平面内任意一点P 按给定方向变到'P 时，并且线段'PP 有给定的长度，这种平面到其自身的映射叫做平移变换．显然，平移变换下连接各对应点的线段互相平行且相等，各对应线段互相平行且相等．平移变换把一个图形变为与它正常全等的图形．平移变换除了具有全等变换的一切性质外还有它自己的特点：定理2.1 在平移变换下，直线变成与它平行的直线．在中学数学几何部分的学习中平移变换的应用很广泛．例如在初中数学中证明三角形内角和等于0180是用平移变换就是一种很好的方法．例1 在矩形ABCD 内取点M ，试证明一定存在一个四边形，它的边长分别等于AM ，BM ，CM ，DM ，它的对角线互相垂直，且分别等于AB 和BC ．分析 解答本题的关键是设法构造满足题目要求的四边形．证明 设()'T AB M M −−−→，()T AB A B −−−→，()T AB D C −−−→，有'BM ＝AM ，'CM ＝DM ．又AB BC ⊥，所以'MM BC ⊥，根据平移变换的定义，有'MM ＝AB ．所以，四边形'MBM C 即为满足题目要求的四边形．2.2 旋转变换及应用定义2.3[2](86)P 如果平面到其自身的一个映射，使得定点O 保持不动，并且，对于任一点P 映射到P ＇点，有OP =OP ＇，∠POP ＇=θ(0°≤θ≤180°)，且从射线 OP 到OP ＇的方向与给定方向相同，这个映射叫做绕中心O ，按已知方向旋转θ的旋转变换．O 点叫做旋转中心，θ叫做旋转角．在旋转变换下各对应直线所成的角不变，都等于其旋转角．一个图形经过旋转变换，得到与它全等的图形．旋转角为180°的旋转变换叫做中心对称变换．如果在某个中心对称变换下，一个图形的像与它自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形．如平行四边形是关于对角线中点对称的中心对称图形．圆、椭圆、双曲线都是中心对称图形．空间旋转变换有绕轴的旋转，它是空间到其自身的映射，且满足下述条件：①点P 的像P ＇与P 同在与给定轴线S 垂直的平面M 内，②点P 和P ＇到轴线S 的距离相等，即PP 0=P ＇P 0．P 0是平面M 与轴线S 的交点，③∠PP 0P ＇为定角θ．这个映射叫做绕轴S 旋转定角θ的空间旋转变换．由PP 0到P ＇P 0的旋转方向规定为：如果θ>0就表示用右手握拳，拇指指向轴上正方向；如果θ<0，旋转与此反向．空间旋转还有空间中心对称变换．每个点，对于中心O 都有它的像与之对应．空间中心对称变换把一个图形变为与它反常全等的图形．关于某定点的中心反射空间图形，常见的有平行六面体，它是关于对角线交点为反射中心的中心反射图形．旋转变换具有全等变换的一切性质，如：(1)两点间的距离是旋转变换下的不变量，(2)角度是旋转变换下的不变量，(3)一直线上三点的简比是旋转变换下的不变量，(4)一个图形在旋转变换下变成与它全等的图形，(5)同素性、结合性、顺序性是旋转变换下的不变性．此外旋转变换还有自己的特性：定理2.2[2](87)P 旋转变换下两对应直线的夹角大小不变，等于其旋转角． 定理2.3[2](88)P 在中心对称下，过对称中心的直线变为它本身． 定理2.4[2](88)P 如果两条直线关于某个点成中心对称，那么它们平行． 定理2.5[2](89)P 如果两条直线平行，那么它们是中心对称下的两条对应直线． 在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图形．例2 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上一点，如果BE +DF =EF ，求EAF ∠的度数． A B C DE FF'思路分析 在题中没有具体线段的边长，只有三条线段的长度关系，条件分散，使我们束手无策，怎么办？但如果将线段DF 移到BE 一直线上，就有线'F E =EF ，条件相对较为集中．将ADF ∆绕着点A 顺时针旋转090，点D 与点B 重合，点F 与点'F 重合，奇迹发生了，这'F E =EF ，'AF E ∆≌AFE ∆.利用旋转角090，得出EAF ∠=045．例3 用旋转变换证明勾股定理．证明 设在Rt ABC ∆中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．作矩形ADBC ，使AD BD ⊥． 矩形(,90)'''R B ADBC A D BC −−−−→。
灵活“变换”巧妙解题——变换在解几何题中的应用
分的对称图形． 例５ 如 图５ ， ＡＡ Ｂ Ｃ 中， Ａ Ｂ ＞ Ａ Ｃ， Ａ Ｄ上Ｂ Ｃ 于Ｄ， Ｐ 为Ａ Ｄ
法， 使 用旋转 变换 的关 键 ， 是找旋转 中心 和旋转 角 的大
小、 方 向．
上任意一点． 求证 ： Ｐ Ｂ — Ｐ Ｃ ＞ Ａ Ｂ － Ａ Ｃ ．
证明： 如图５ ， 以Ａ Ｄ 为轴
例 ３ 如 冈３ ， ＡＡ Ｂ Ｃ 为 正三 角形 ， Ｐ 为 任 意一点 ． 求
证： Ｐ Ａ ￣Ｐ Ｂ ＋ Ｐ Ｃ ．
作 △Ａ Ｃ Ｐ 的对称图形 △
角形 的一边 长及这边 上的高 ，通 常要将三角形分解或扩
数 的 关 系 即 可 求 出ｂ ＝ 一 ２ ．要 用 含 有 ｍ的 代 数 式 表 示 出
△Ａ Ｏ Ｂ的 面积 ． 首 先 要 用含 有ｍ的 代 数 式 表 示 出Ｏ Ａ与 Ｏ Ｂ
的 长 ．然后 直接 利 用 直 角三 角形 的 面 积 公 式 求 出△Ｏ ＡＢ
，
Ａ Ｅ 交Ｂ Ｊ Ｐ 于Ｆ ，￣ ］ Ｉ Ｐ Ｅ ＝ Ｐ Ｃ ， Ａ Ｅ ：
Ａ ｅ 由Ａ Ｆ ＋ Ｆ Ｂ ＞ Ａ Ｂ， Ｐ Ｆ ＋ Ｆ Ｅ ＞ Ｂ
Ｐ Ｅ，得 ＡＦ ＋ 船＋ Ｐ Ｆ ＋ Ｆ Ｅ＞ Ａ Ｂ＋
分 析 ：如 图 １ ， Ａ Ｂ 和ＤＣ
角形全 等的方法． 如 连接 ｃ ， 可 以看到求 证的线段Ａ Ｄ和
Ｂ Ｃ 分别在 △Ａ Ｃ Ｄ 和 ＡＢ Ａ Ｃ 中， 显然这两个 三角形 一般并 曰 Ｍ Ｑ
图 １
Ｎ
Ｃ
不全 等． 然 而从所给条件看 到 ， Ｅ、 跷 Ｂ 和Ｃ Ｄ 的 中点 ， 为
数学初中几何变换
数学初中几何变换教案：数学初中几何变换引言：几何变换是数学中一种常见的概念和方法。
通过几何变换可以改变图形的位置、形状和大小，是初中数学中的一个重要内容。
本节课将以几何变换为主题，通过理论讲解和实例演练，帮助学生掌握几何变换的基本概念、性质和运用方法。
1. 平移（Translation）平移是几何变换中的一种基本变换，它保持图形的大小和形状不变，只改变图形的位置。
平移的性质包括平移的向量法表示、平移的性质和平移后的图形特点等。
通过实例和练习，引导学生理解平移的定义和性质，并能运用平移进行有关题目的解答。
2. 旋转（Rotation）旋转是几何变换中的另一种基本变换，它通过围绕一个中心点将图形进行旋转，使得图形保持大小和形状不变。
旋转的性质包括旋转的角度、旋转的规律和旋转后的图形特点等。
通过实例和练习，帮助学生理解旋转的概念和性质，并能运用旋转进行相关问题的求解。
3. 对称（Reflection）对称是几何变换中的一种重要变换，它以一个轴线为对称轴，将图形上的点与对称轴上的点一一对应，并保持图形的大小和形状不变。
对称的性质包括对称的轴线、对称的规律和对称后的图形特点等。
通过实例和练习，引导学生理解对称的定义和性质，并能灵活运用对称进行题目的解答。
4. 缩放（Dilation）缩放是几何变换中的一种常见变换，它通过改变图形中各点到一个中心点的距离比例来改变图形的大小和形状。
缩放的性质包括缩放中心、缩放比例和缩放后的图形特点等。
通过实例和练习，帮助学生掌握缩放的概念和性质，并能运用缩放进行有关问题的求解。
5. 混合变换（Combination）混合变换是指将平移、旋转、对称和缩放等多种几何变换进行组合运用的一种变换方法。
混合变换的性质包括变换顺序、连续变换和复合变换等。
通过实例和练习，引导学生掌握混合变换的概念和性质，并能灵活运用混合变换解决相关问题。
结语：几何变换作为数学中的一个重要内容，对学生的空间想象能力和推理能力有较高要求。
几何变换在解题中作用
几何变换在解题中的作用摘要：本文在分析作为传统几何教材的欧氏几何的成功之处和其存在的弊端的基础上，分析比较几何变换与欧氏几何，得出几何变换的思想方法在时代的不断发展中较欧氏几何更适合于中学的数学教材，并重点阐述了几何变换在解题中的作用。
关键词：欧氏几何；几何变换；解题中图分类号：g633.6 文献标识码：b 文章编号：1672-1578（2013）06-0292-021.引言数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门学科。
中学阶段学习数学的目的就在于学习这门学科的一些基础知识，提高数学能力。
几何现实世界的空间形式和关系是它的研究对象之一，而今几何已经是一门丰富多彩蓬勃发展的学科。
中学阶段学习几何的基本任务是在于打好这门学科的基础和培养有关的能力不能一下子就要求教学内容具有逻辑严谨性，以公理化的几何来要求学生，又要考虑到现代科学技术的迅速发展，教学内容必须要更新，使它有利于学生掌握几何的基础知识和基本技能，有利于学生能力的发展。
但是，作为教学科目的几何，与作为科学的几何学在要求上是有所不同的。
作为教学科目的几何，必须考虑到通过这门课程的教学，全面地达到学习这门课程应有的教育目的，同时，还要考虑到学生学习这门课程的实际接受能力。
传统的几何教材都是以欧氏几何为主要内容的，但随着时代的不断发展，其存在的弊端越来越明显，显然已不适宜现代数学的教学.而几何变换也具有一个系统的理论方法，不仅克服了欧氏几何的种种不足之处，保留了欧氏几何训练思维能力的长处，并且将运动的观点渗透到教学中，这更有利于学生形成正确的数学观。
2.几何变换的教育价值学习几何对于逻辑思维能力，尤其是直觉思维能力的培养具有不可低估的作用，也是其他学科难以取代的，但不能视几何为培养逻辑思维能力的唯一”工具”。
在不削弱几何基础知识的学习的同时构造一个简明易学的与现代几何结构相接近的新体系来代替欧氏几何显得非常必要。
让情景问题属于支配地位，重视发现和，哦性，学生亲自参加课程的大部分内容，包括观察、投影、位置方向、变换构造、测量计算等。
几何变换法在初中数学解题中的应用
几何变换法在初中数学解题中的应用在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。
所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。
中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。
有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。
另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。
将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。
几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
例1、在矩形ABCD中，AB=2，AD=3．（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．①求证：点B平分线段AF；②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．答案：（1）当E 为CD 中点时，EB 平分∠AEC 。
由∠D=90°，DE=1，AD=3，推得∠DEA=60°，同理，∠CEB=60°，从而∠AEB=∠CEB=60°，即EB 平分∠AEC 。
（2）①∵CE ∥BF ，∴BF CE =BP CP =21∴BF=2CE 。
∵AB=2CE ，∴点B 平分线段AF②能。
证明：∵CP=313，CE=1，∠C=90°，∴EP=323。
在Rt △ADE 中，AE= ()2213+ =2，∴AE=BF ，又∵PB=332，∴PB=PE∵∠AEP=∠BP=90°，∴△PAS ≌△PFB 。
∴△PAE 可以△PFB 按照顺时针方向绕P 点旋转而得到。
旋转度数为120°。
【解析】本题综合考查学生三角形相似及全等、矩形性质、勾股定理、旋转等等几何知识的应用。
（1）发散思维的考查，让学生自己找满足条件的点，并说明理由。
题目中给出AB=2，AD=3，发现满足条件的点为AB 的中点；利用三角函数的知识，及平角为180度，很容易得到结论。
浅谈几何变换在初中平面几何教学的探究
角度 １从数 量关 系、 置关 系 的角度 引 导学 生认 识 图 ： 位 形 。角度 ２从平移 的角度加 以分析 ， 段 Ａ ： 将线 Ｂ沿 Ａ Ｄ方 向 平移 Ａ Ｄ长度即得到线段 Ｄ ， Ｃ 因此 Ａ Ｂ＝Ｄ ｃ且 Ａ Ｄ。角度 ＢＣ ３如图 １： （ ） 从中心对称 的角度来 分析 ， 将线段 Ａ Ｂ绕点 Ｏ旋 转 １０ 得到线段 Ｃ 因此 Ａ ８。 Ｄ， Ｂ＝Ｃ Ｄ且 Ａ ／Ｃ 如 图 ２ 。 Ｂ／ Ｄ（ ）
的教育价值 。
、
突出几何变换 的多样化教学 ， 有利于学生从多种角 度
认 识 平 面 几 何 基 本 图形
从几何变换的角度认识 平面 几何 中基 本图形 ， 有利于学 生从不同方向掌握基本图形 的结构特点 ， 用运动 变换的观点 考虑问题 ， 同时为学生 多样化的思维提供 较大 的空间 。
又如 ， 全等三角形 、 相似 三角形 的教学 中， 中学 生在学 初
ｃ
＼
、
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图１
Ａ—— ———
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习这些 内容困难的一个 重要 的原 因就是找不到复杂图形 中的 基 本图形 。比如要证 明两个三角形 全等或相 似时 ， 先你得 首
找 到两个三角形 ， 其图形 复杂 了以后 ， 就是个 不小 的 困 尤 这 难 。教师可特别舍得在 图形的运动 上下工夫 ， 就是给 学生一
例如 ， 圆是轴对称 图形 ， 是中心对称 图形 ， 且是很特 也 并
些基本图形 ， 比如两个三角形全等或相似三角形 ， 鼓励学生把 这个基本图形进行平移 、 、 旋转 轴对称 、 位似变换等组合 ， 观察 运动后会得到什么样的图形 。另外 ， 教师应把 以后将要 出现 的例题中的复杂图形全都摆出来 ， 鼓励学生进行观察 ， 复杂图 形 中某个图形 ， 可以通过 哪个 图形得到 ， 这样使 几何图形在学 生眼里“ ” 活 起来 ， 动” 来 ， 有利于培 养学 生这种对 图形 “ 起 就 的直观感觉和合情推理能力 。
三角形旋转解题技巧初中
三角形旋转解题技巧初中引言三角形是初中数学中重要的几何图形之一，而旋转是一种常见的几何变换。
本文将介绍如何运用旋转解决与三角形相关的问题。
我们将从基本概念开始，逐步深入探讨旋转解题技巧，并通过实例演示其应用。
1. 旋转的基本概念1.1 什么是旋转？旋转是指以某个固定点为中心，按照一定的角度和方向，将图形或物体绕着该点进行移动的操作。
在数学中，我们通常以坐标平面上的原点为中心进行旋转操作。
1.2 旋转角度在二维平面上，我们使用弧度或度数来表示旋转角度。
一个完整的圆周对应360°或2π弧度。
在初中数学中，我们通常使用度数来表示旋转角度。
1.3 顺时针和逆时针顺时针方向是指按照钟表走时方向进行旋转；逆时针方向则是相反方向。
在解题过程中，需要根据具体情况确定顺时针或逆时针方向。
2. 三角形的旋转性质2.1 三角形的旋转不改变其形状和大小在二维平面上，三角形绕着一个点进行旋转后，仍然是一个三角形，并且其形状和大小保持不变。
这一性质是我们运用旋转解决三角形问题的基础。
2.2 顶点旋转当我们将一个三角形绕着顶点进行旋转时，可以通过观察发现以下性质：•旋转前后的两条边长度不变；•旋转前后的两条边夹角度数不变。
这些性质对于解题非常有用，可以帮助我们确定未知边长或夹角度数。
2.3 边中点旋转当我们将一个三角形绕着边的中点进行旋转时，可以通过观察发现以下性质：•旋转前后的两条边长度不变；•旋转前后的两条边夹角度数相等；•边中点连线在旋转前后保持不变。
这些性质同样对于解题非常有用，可以帮助我们确定未知边长或夹角度数，并且可以构造出一些特殊图形来简化问题。
3. 旋转解题技巧3.1 求未知边长当我们已知一个三角形的两条边和它们的夹角度数，需要求解第三条边长时，旋转可以帮助我们简化问题。
以顶点旋转为例，假设三角形ABC中，已知边AB和AC的长度分别为a和b，夹角BAC的度数为θ°。
我们需要求解BC的长度。
浅谈几何变换在初中数学中的运用
［ 收稿 日期】０８ ２ ８ ２ｏ —０ —２ ［ 作者简介】 黎家银（９８ ） 男， １５一 ， 四川达县人， 中学一级教师， 主要从事中学数学教学与研究。
１７ ３
维普资讯
２０ ０ ８年专辑
黎 家银 ： 浅谈 几何变换 在 初 中数学中 的运用
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解 ： 太 阳光是平 行 光线 ， ．
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Ｏ Ｂ ＝ ０ Ａ ＡＢ 。
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Ａ ＢＯ ＝ Ａ Ｂ ＝９ ． ０ ０。 △Ｏ ＡＢ一 △ ０ ＡＢ
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如 图 ２所示 ， ＡＡ Ｃ绕着 ０点按 逆时针 方 向转动到 将 Ｂ Ａ ｃ的位置， Ａ 像这样的变换 叫做旋转变换。其中点 ０ 叫做旋转中心。图形旋转后 ， 图形中每一个点都绕着旋转 中心 旋转 了 同样 大小 的角 度 ， 应 点到旋 转 中心 的距 离相 对 等 ， 应 线 段 相 等 ， 形 的 形 状 和 大 小 都 没 有 发 生 变化 。 对 图 和平移 变换 一样 ， 转变 换 的主 要作 用 也是集 中问题 的 已 旋 知条件 ， 通 已知 与结论 的联系 。 勾 例 ２ 如图 ３ Ｐ是 等边 ＡＡ Ｃ外 一点 ， 说 明 Ｐ Ｐ ： ， Ｂ 试 Ａ＜ Ｂ
２０ ０ ８年 ０ ６月
Ｊ ｎ ２０ ｕ ．０８
浅谈几何 变换在 初中数学中 的运 用
黎 家银
（ 湾综合 初 级 中 学 ， 桥 四川 达县 ６ ５ ３ ） ３ ０ ４
【 摘
要】 几何 变换是初 中数学中一种十分重要 的思维方式 ， 是新课改的重要 内容之一 ， 也是近年中考
变换在几何问题中的应用
变换在几何问题中的应用变换是几何学中非常重要的概念。
它是将一个对象向另一个对象的映射。
在数学中，变换是指将一个或多个坐标直接或间接变换成新的坐标，这种变换是依据某种规律或关系而进行的，称为变换规则。
变换规则可以通过数学公式或图形进行表示。
在几何问题中，变换可以用来描述各种形状之间的关系，通过这些关系可以简化计算，解决许多几何问题。
下面就让我们一起来探讨变换在几何问题中的应用。
1. 平移变换平移变换是指保持形状不变的情况下，将一个对象沿着某个方向移动一定的距离。
平移变换用于计算物体的位置，因为物体在相对位置上仍保持不变。
2. 旋转变换旋转变换是指保持形状不变的情况下，将一个对象绕着某个点旋转一定的角度。
旋转变换用于计算物体的方向，因为物体在相对方向上仍保持不变。
3. 缩放变换缩放变换是指保持形状不变的情况下，将一个对象沿着某个轴线放大或缩小一定的比例。
缩放变换用于计算物体的大小，因为物体的形状在相对位置和方向上保持不变。
4. 对称变换对称变换是指将一个对象围绕某个平面对称，得到一个新的对象，新的对象与原来的对象是相似的。
对称变换用于研究对称性质，例如研究平行四边形或心形线的对称性质。
5. 直线变换直线变换是指将一条直线沿着它自己作为对称轴对称，得到一个新的对象。
直线变换可以用来研究图形的对称性质，例如研究点、线、面之间形成的对称图形。
以上就是变换在几何问题中的应用，变换技术用于将几何问题化简，方便计算。
同时，变换也是理解和解决几何问题的关键，因为变换可以将复杂的物体和形状转换为基本的图形，每个图形都可以用数学方法来解决。
因此，理解变换的原理和应用是解决几何问题的关键。
几何变换的实用技巧与应用
几何变换的实用技巧与应用几何变换是数学中一个重要且广泛应用的概念，它通过对图形的平移、旋转、缩放和翻转等操作，改变了图形的位置、方向、大小和形态。
在现实生活中，几何变换有着许多实际应用，比如在计算机图形学、计算机视觉、建筑设计等领域。
本文将介绍一些几何变换的实用技巧和应用。
一、平移变换平移变换是最简单的几何变换之一，它将图形沿着给定的方向和距离移动。
平移变换可以通过改变图形的顶点坐标来实现。
在计算机图形学中，平移变换常用于图像的移动和位置调整。
在建筑设计中，平移变换可以帮助设计师确定建筑物在不同位置的摆放方式。
二、旋转变换旋转变换是将图形绕着指定的旋转中心点旋转一定角度的操作。
旋转变换可以通过改变图形的顶点坐标和旋转角度来实现。
在计算机图形学中，旋转变换常用于图像的旋转、镜像和翻转。
在航空航天领域，旋转变换可以帮助飞行器调整飞行姿态和方向。
三、缩放变换缩放变换是改变图形大小的操作，可以通过改变图形的顶点坐标和缩放比例来实现。
在计算机图形学中，缩放变换常用于图像的放大和缩小。
在地图制作中，缩放变换可以帮助制图人员调整地图的比例尺和细节展示。
四、翻转变换翻转变换是将图形沿着指定的轴线进行左右或上下翻转的操作。
在计算机图形学中，翻转变换常用于图像的镜像和翻转。
在产品设计中，翻转变换可以帮助设计师调整产品的对称性和外观。
几何变换的应用并不局限于上述几种基本变换，还可以通过组合和嵌套使用，实现更加复杂的效果和功能。
以下是几个实用的应用案例：1. 图像处理几何变换在图像处理中有着广泛的应用。
比如，通过平移变换，我们可以将图像的某部分移动到其他位置；通过旋转变换，我们可以实现图像的旋转、镜像和翻转；通过缩放变换，我们可以对图像进行放大和缩小。
这些操作可以用于图像的编辑、修复、增强等处理过程中。
2. 视觉效果几何变换在电影、动画和游戏等视觉效果制作中起着重要的作用。
通过几何变换，可以实现特殊视觉效果，如形状变形、幻觉效果、透视效果等。
几何图形变换在解题中的应用研究
几何图形变换在解题中的应用研究
傅晓霞
【期刊名称】《科学大众:科学中考》
【年(卷),期】2022()3
【摘要】几何图形变换是初中数学的重要组成部分,图形的翻折、平移、旋转、位似是中考数学试题的热点.我们在经历“问题情境——构建模型——解决问题”的过程后,要归纳规律,深入理解并综合应用相关的数学知识.一、借助图形的翻折求解图形的翻折探究翻折前后的不变量,翻折后呈现的新图形常与等腰三角形、平行四边形、直角三角形、一线三等角等几何模型密切相关.难点是利用图形的翻折求最值问题,做题前要先理解定义,掌握性质,然后将其灵活运用.
【总页数】3页(P32-34)
【作者】傅晓霞
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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4.浅谈"方程法"在解图形变换问题中的应用
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几何变换在初中几何解题中的应用【摘要】几何变换已成为解决初中几何问题的新思维、新方法。
在教学过程中，如何培养学生灵活运用几何变换解决新的几何问题，也成为几何教学中的重要组成部分。
本文论述了几何变换中对称变换、平移变换以及旋转变换的定义及其在初中几何解题中的应用，并研究在教学中如何培养学生的解题几何思维。
【关键词】几何变换；初中几何；初中几何解题目录1. 引言 (1)2. 几何变换的基本概念及其性质 (1)2.1 几何变换的定义及性质 (1)2.1.1 对称变换的定义及性质 (1)2.1.2 平移变换的定义及性质 (1)2.1.3 旋转变换的定义及性质 (1)3. 三种变换在几何解题中的运用 (2)3.1 对称变换在几何解题中的应用分析 (2)3.2 平移变换在几何解题中的应用分析 (4)3.3 旋转变换在几何解题中的应用分析 (6)4. 几何变换在教学中的作用 (8)4.1让学生对几何图形有新的认识 (8)4.2培养学生对图形观察和分析推理能力 (8)4.3 对学生思维的敏锐性发展有很大的作用 (8)5. 教学中从多个方面培养学生的几何思维及注意 (8)5.1 通过几何变换的多样性 (8)5.2 在教学中运用几何变，让学生更高的角度来学习平面几何 (9)5.3 在课堂上让学生自己动手操作变换图形 (9)5.4 通过几何变换，提高学生在几何题中的思维灵活性 (9)6. 平面几何教学中几何变换的注意点及总结 (10)6.1教学中的几个注意点 (10)6.2总结 (10)7. 结束语 (10)1参考文献 (11)1.引言欧式几何主要研究静止图形的性质，大多数是以相对孤立的定理出现。
但是在现实生活中事物的运动是必然存在的，它们之间存在相互作用，相互联系。
只有学生在全面了解图形的性质，才能够在平面几何中融会贯通。
在几何题目的解答中，学生更应该要学会运用几何变换的思维去研究平面几何。
在一些平面几何题目中，学生学会几何变换，在变换的过程中更容易发现题目中的隐藏的已知条件，找到问题的突破口，这对于学生来说，是一种解决平面几何的新方法。
在初中的平面几何一直都是一个让学生头疼的一个知识点，也是在教学中让教师很伤脑筋的一个知识点。
初中的平面几何相比于小学的几何难度加大，对于刚升为初中的学生来说是一件很吃力的事。
与小学的数学单纯的图形知识结构有较大的差异，大部分学生都不能及时转变思维方式，需要学生对新知识有一定的适应力，首先需要学生对小学的几何图形的有充分的认识，和对图形的分割、添补有敏感性。
如正方形、长方形四个内角都是90°；平行四边形可以分成两个完全一样的三角形；等底等高的三角形面积相等等一些几何图形的基本概念及其基本性质的认识。
学生能否从这些简单几何图形中，挖掘出隐藏中题目中的已知条件，对简单的图形推理能力，而这些都是初中生所欠缺的。
那么这些培养学生的这些能力，往往还是需要教师中课堂上，充分发挥自主创新能力，从设计教案，教法，教学方式中去启发引导学生。
本文就从几何变换的定义和特点来谈谈其在解题中的应用，在教学中的作用，引导学生学习几何知识、探究几何图形的性质和规律，培养学生的几何思维。
2.几何变换的基本概念及其性质2.1几何变换的定义及性质几何变换简单来说就是改变对象坐标。
巧妙地运用几何变换可以把分散的点、线段、角等转移到恰当的位置，使得分散的已知条件集中在某个图形中，建立新的关系，使问题由繁变简。
以下仅讨论初中的三种简单的变换。
2.1.1对称变换的定义及性质对称变换就是将某一图形变成关于直线对称成另一个图形的过程。
性质：变换前后图形全等，对应点的连线都会被对称轴垂直平分。
【1】2..1.2平移变换的定义及性质如果在平面内任意一点P变到P＇时，使得有给定的方向，并且线段PP＇有给定的长度，【2】这种平面到其自身的映射叫做平移变换。
性质：平移前与平移后两个图形完全一致，只是在平面的位置（或者是坐标）发生改变而已。
在平移的过程中，对应的点都会在同一直线上，对应的线具有相互平行的性质。
平移多次也可以看成一次平移，它的方向和距离取决于最后一次平移后的图形。
2.1.3旋转变换的定义及性质旋转变换就是一个图形以某一固定的点，绕着一个方向，旋转一定的角度，得到另一个图形的过程。
性质：两个图形完全相同，图形中每条线段旋转的角度都相等，两个对应点之间的距离相等。
3.三种变换在几何解题中的运用3.1对称变换在几何解题中的应用分析例1如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，E和F分别是边AC，BC上的点，求证△DEF的面积不超过△ADE与△BDF的面积之和。
【3】思路分析：此题出已知条件中，没办法找到问题中三个三角形面积之间的关系。
我们先把△ADE与三角形相对集中到一起，利用点D是AB的中点这个已知条件，采用以点D为中心对称点，把△ABC变换为三角形BAC′，延长ED交BC于点M，利用对称变换的不变性，证明△ADE和△BDM全等，把△ADE 和△BDF，集中在一个四边形里面，再拿四边形的面积与三角形DEF作比较。
证明：△ABC以点D为中心对称点作中心对称变换，得到△BAC′，延长ED交BC′于点M，点D为AB的中点；则有△ABC≌△BAC′，AD=BD;∵∠ADE=∠MDB，∠DAE=∠DBM，∴△BMD≌△AED，MD=DE；就有△MDF的面积=△DEF的面积四边形MBFD的面积=△MDF的面积+△BDF的面积>△MDF的面积=△DEF的面积故此题得证。
这题把△ABC作中心对称变换得到三角形BAC′，变换之后图形的全等性质，运用面积相等的替换图形，把三个图形相对集中，发现它们之间的隐藏条件，使问题得以解决。
学生在解答这些类型的题目，在没有数据的条件下，运用对称变换可以很好把图形进行适当的变换，找到等量替换关系。
例2如图，△ABC中，∠ABC=46°，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=21°，求∠CAD的度数。
【4】思路分析：此题从已知的条件中，很难直接看出已知的∠ABC和∠DAB、∠CAD之间存在的关系，这时我们通过对称变换，变换前后连个图形不变，角度不变，把这三个角相对集中在一起。
然后再利用角度关系，计算得到结果。
解：用对称变换，以AD为对称轴，将△ABD变换为△AED，由对称性质得，∠B=∠E=46°，∠BAD=∠DAF=21°，所以有∠BDA=∠EDA=180°-46°-21°=113°∠ADF=46°+21°=67°，∠EDF=113°-67°=46°又因为∠E=∠EDF，DF=FE,AB=AE=DC,所以AF=FC，∠C=∠CAF=46°，从而有∠CAD=∠DAF+∠CAF=21°+46°=76°这道题我们通过一个对称变换，把已知和未知的角度都相对集中在右边，然后通过线段长度和角度的之间的关系，把问题中的角拆成两个角的合成，分别用全等和相似三角形的定义，求出两个角，然后相加。
主要是把握住对称变换中的全等性质，找到问题的突破口。
我们可以把这类解题步骤归为：（1）读题寻找题目已知的有用信息；（2）找到解决问题需要的条件；（3）可以把分散的信息，集中在一起；（4）重点运用对称变换后，全等的性质把图形进行适当替换。
3.2平移变换在几何解题中的应用分析例3如图在△ABC中分别找出D、E，使得AD=CE，且BC∥DE。
思路分析：此题要求的是D和E的位置，根据已知条件，学生往往都是看不出个所以然，无从下手。
这个时候我们就可以考虑从几何变换入手，从几何变换的角度来找解题思路。
首先我们可以在AB边上先找一点D，过D点作BC的平行线DE，观察一下，D和E这两个点在DE∥BC的条件下，是否有特殊的性质。
再把EC眼CB方向平移，平移后E与D重合，C交于BC于点F，这时一个平行四边形DFCE就被我们构造出来了。
再运用平行四边形的性质和已知条件，可以得出AF∠CAB的角平分线，再通过AF交BC于F这个点来得出点D和点E。
证明：任取AB上的一点D，先过点D作DE∥BC，交AC于点E，将EC沿着CB方向平移ED长度单位，得到DF，交BC于点F，有DF∥EC，所以DFCE是平行四边形，又由DF=CE,AD=CE，∠DFA=∠FAC,得∠DFA=∠DAF，∠DAF∠FAC，所以AF就会平分∠BAC。
过点A作AF平分∠CAB交BC于点F，把EC向左平移后，使得点C与点F重合，点E交AB于点D，过点D作BC的平行线，交AC于点E，这点D和E题目所求的两点。
把CE变换成DF过程中性质是保持不变的，这样的平移变换大大减少了学生解决几何问题的难度，学生可以多多运用其变换中的不变性的思维方式，能够更快的找到解题思路。
例4已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，对角线AC=5，BD=3，求此梯形的面积。
【5】思路分析：这道题的难点在于如何再找到梯形的高，那么直接梯形的高，显然是算不出梯形的高的。
这边我们可以运用平移变换，在构造一个直角三角形，来解决高的问题，这样就能算出梯形的面积。
解：作AF 垂直BC ，垂足点交于BC 于点F ，再通过平移变换把DB 向右平移到AE ，交CB 的延长线于点E ，有AE ∥DB ，AE=DB ，所以四边形AEBD 是平行四边形，【6】 故AD=EB=2,AE=BD=3,EC=EB+BC=6,分别在RT △AEF 和RT △ACF 中运用过股定理得，AE ²-EF ²=AF ²，AC ²-FC ²=AF ²设EF 为x,有3²-x ²=5²-（6-x ）²，解得x=53，即AF=2√143AD+BC ）AF=2√14这题突破口先作梯形的高，再平移DB ，然后运用平移之后BD 方向和长度不变，构出一个平行四边形。
显现出两个直角三角形，学生可以在这两个直角三角形中运用勾股定理，找到相对应的数量关系式，求出对应的高。
从而解决问题，能否合理的运用平移变换，需要学生在做题中，善于观察，发现从已知的梯形的对角线，和问题中需要求的高，想到运用勾股定理来解答，这也是学生需要提升的几何思维能力。
我们可以把这类解题步骤归为： （1）读题寻找题目已知的有用信息；（2）找到解决问题需要的条件；（3）可以把分散的信息，集中在一起；（4）掌握变换过程的不变性来解决问题。
3.3旋转变换在几何解题中的应用分析例5如图在RT△ABC中，∠BAC=90°AB=AC,D为BC边上的任意一点，【7】证明： 2AD²=BD²+CD²。