《优化探究》2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第七章 立体几何初步 7巧突破

-ABCD 中， AB∥CD ， AB⊥AD ， CD ＝ 2AB ，平面 PAD⊥ 底面 ABCD ，
PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
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(3)连接 B1D1，由(2)可知 CF⊥平面 BDD1B1， ∴CF⊥平面 EFB1，即 CF 为高，CF＝BF＝ 2. 1 2 2 ∵ EF ＝ 2 BD1 ＝ 3 ， B1F ＝ BF2＋BB2 1 ＝ 2 ＋2 ＝ 6 ， B1E ＝
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A1D1 解析：(1)如图所示，取 D1 为线段 A1C1 的中点，此时D C ＝1. 1 1 连接 A1B，交 AB1 于点 O，连接 OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形， ∴点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
2 2
AE 6 6 ∴λ＝AC＝7，故当 λ＝7时，平面 BEF⊥平面 ACD.
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2 B1D1 ＋D1E2＝ 2 22＋12＝3，
∴EF2＋B1F2＝B1E2，即∠EFB1＝90° ，
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4. 如图，在正三棱锥 ABC -A1B1C1 中， E ， F 分别为 BB1 ， AC 的中 点．
(1)求证：BF∥平面A1EC； (2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.
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所以 BE∥OF 且 BE ＝ OF ，所以四边形 BEOF 是平行四边形，所以
BF∥OE.
又BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC， 所以BF∥平面A1EC.
(2) 由 (1) 知 BF∥OE ，因为 AB ＝ CB ， F 为 AC 中点，所以 BF⊥AC ，
1 1
A1D1 DC A1O 又由题可知D C ＝AD， OB ＝1，
1 1
DC AD ∴AD＝1，即DC＝1.
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2．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F 为AE的中点．现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答 下列两问：
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1.如图所示，斜三棱柱ABC -A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1 上的点．
A1D1 (1)当D C 等于何值时，BC1∥平面 AB1D1?
1 1
AD (2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1，求DC的值．
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解析：(1)证明：如图，
连接BD1，在△DD1B中，E，F分别为D1D，DB的中点，
∴EF为△DD1B的中位线， ∴EF∥D1B，
而D1B⊂平面ABC1D1，
EF⊄平面ABC1D1， ∴EF∥平面ABC1D1.
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常见失分探因 易漏写BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD而失分 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点．
所以OE⊥AC. 又因为AA1⊥底面ABC，而BF⊂底面ABC，所以AA1⊥BF. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
由 BF∥OE ，得 OE⊥AA1 ，而 AA1 ， AC⊂ 平面 ACC1A1 ，且 AA1∩AC
＝A， 所以OE⊥平面ACC1A1.
因为OE⊂平面A1EC，
所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
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(2)由(1)知，EF⊥BE， 又∵平面 BEF⊥平面 ACD， ∴BE⊥平面 ACD，∴BE⊥AC. ∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90° ，∠ADB＝60° ，AB⊥平面 BCD， ∴BD＝ 2，AB＝ 2tan 60° ＝ 6， ∴AC＝ AB ＋BC ＝ 7， 由 AB2＝AE· AC 得 AE＝ 6 ， 7
∴OD1∥BC1. 又∵OD1⊂平面AB1D1，
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BC1⊄平面 AB1D1， A1D1 ∴BC1∥平面 AB1D1.∴当D C ＝1 时，BC1∥平面 AB1D1.
1 1
(2)已知平面 BC1D∥平面 AB1D1，且平面 A1BC1∩平面 BC1D＝BC1， 平面 A1BC1∩平面 AB1D1＝D1O 得 BC1∥D1O， A1D1 A1O ∴D C ＝ OB ，
(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在，请证 明你的结论；若不存在，请说明理由． (2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.
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1 解析： (1)线段 AB 上存在一点 K， 且当 AK＝4AB 时， BC∥平面 DFK， 证明如下：
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2．审结论，明解题方向 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
3．建联系，找解题突破口
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(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD. 3分
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED为平行四边形． 所以BE∥AD. 6分 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD. 8分 (3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD， 10分 由(1)知PA⊥底面ABCD. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司 4分
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证明：(1)连接 AC1 交 A1C 于点 O，连接 OE，OF， 在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，四边形 ACC1A1 为平行四边形，所以 OA＝OC1. 1 又因为 F 为 AC 中点，所以 OF∥CC1 且 OF＝2CC1. 1 因为 E 为 BB1 中点，所以 BE∥CC1 且 BE＝2CC1.
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5. (2015 年淄博一模)已知△BCD 中，∠BCD＝90° ，BC＝CD＝1， AE AB⊥平面 BCD，∠ADB＝60° ，E，F 分别是 AC，AD 上的动点，且AC＝ AF AD＝λ(0<λ<1)．
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(1)求证：不论λ为何值时，总有平面BEF⊥平面ABC； (2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
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(2)证明：在等腰直角三角形BCD中， ∵F为BD的中点， ∴CF⊥BD，① 在正方体ABCD -A1B1C1D1中， DD1⊥平面ABCD，∵CF⊂平面ABCD， ∴DD1⊥CF，② 综合①②，且DD1∩BD＝D， DD1，BD⊂平面BDD1B1， ∴CF⊥平面BDD1B1， 而B1E⊂平面BDD1B1， ∴CF⊥B1E.
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所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD. 12分 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司 因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又因为CD⊥EF.EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF. 13分
所以平面BEF⊥平面PCD. 14分
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解析：(1)证明：∵AB⊥平面 BCD， ∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC 且 AB∩BC＝B， ∴CD⊥平面 ABC. AE AF 又∵AC＝AD＝λ(0<λ<1)， ∴不论 λ 为何值，恒有 EF∥CD， ∴EF⊥平面 ABC.又 EF⊂平面 BEF， ∴不论 λ 为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC.
(1)求证：BC1∥平面CA1D； (2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.
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证明： (1)连接AC1交A1C于E，连接DE， ∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点， ∴在△ABC1中，DE∥BC1. 又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D， ∴BC1∥平面CA1D. (2)∵AC＝BC，D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD. 又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC， ∴AA1⊥CD.又AA1∩AB＝A， ∴CD⊥平面AA1B1B. 又CD⊂平面CA1D， ∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.