卡方检验
统计方法卡方检验
统计方法卡方检验卡方检验（Chi-Square Test）是一种统计方法，用于检验两个或多个分类变量之间的关系。
它通过比较观察到的频数与期望的频数之间的差异，来判断这些变量是否独立或存在相关性。
卡方检验可以用于不同类型的问题，包括：1.两个分类变量之间的关系：例如，我们可以使用卡方检验来确定性别和吸烟偏好之间是否存在关联。
2.多个分类变量之间的关系：例如，我们可以使用卡方检验来确定教育水平、职业和收入之间是否有关联。
卡方检验的原理是基于观察到的频数与期望的频数之间的差异。
观察到的频数是指在实际数据中观察到的变量组合的频数。
期望的频数是指在假设独立的情况下，根据变量边际分布计算得到的预期频数。
卡方检验通过计算卡方统计量来衡量这两组频数之间的差异。
在进行卡方检验之前，需要设置零假设（H0）和备择假设（Ha）。
零假设通常是指两个或多个分类变量之间独立的假设，而备择假设则是指两个或多个分类变量之间存在相关性的假设。
卡方检验的计算过程可以分为以下几个步骤：1.收集观察数据：将观察到的数据以交叉表格的形式整理起来。
表格的行和列分别代表两个或多个分类变量的不同组合，表格中的数值表示观察到的频数。
2.计算期望频数：根据变量边际分布计算得到期望频数。
期望频数是在零假设成立的情况下，根据变量边际分布计算得到的预期频数。
3.计算卡方统计量：根据观察频数和期望频数之间的差异计算卡方统计量。
卡方统计量的计算公式为：X^2=Σ(（O-E）^2/E)其中，Σ代表对所有单元格进行求和，O表示观察到的频数，E表示期望频数。
4. 计算自由度：自由度（degrees of freedom）是进行卡方检验时需要考虑的自由变量或条件的数量。
在卡方检验中，自由度等于（行数 - 1）乘以（列数 - 1）。
5.查找临界值：使用给定的自由度和显著性水平（通常为0.05）查找卡方分布表格，以确定接受或拒绝零假设。
6.比较卡方统计量和临界值：如果卡方统计量大于临界值，则拒绝零假设，认为两个或多个分类变量之间存在相关性；如果卡方统计量小于临界值，则接受零假设，认为两个或多个分类变量之间独立。
卡方检验的名词解释
卡方检验的名词解释
卡方检验是一种非参数检验方法，用于检验样本是否符合某种分布，或者两个样本是否来自于同一分布。
其基本思想是根据样本数据计算出某个统计量，然后通过这个统计量的值与期望值的比较来判断样本数据是否偏离预期分布。
卡方检验适用于样本数据不服从正态分布或样本大小较小的情况。
卡方检验的应用非常广泛，例如在医学研究中用于比较治疗方法的效果、在社会学研究中用于比较不同群体的特征等。
卡方检验的结果可以用卡方值、自由度和显著性水平来表示。
其中，卡方值表示样本数据与预期分布之间的差异，自由度表示卡方检验中减去的理论频数，显著性水平表示样本数据是否显著偏离预期分布。
在实际应用中，要根据具体情况选择合适的卡方检验方法，并根据卡方检验结果做出相应的决策。
第四章 卡方检验
4.1 适合度检验
④ SPSS 点击确定。再点击菜单分析→非参数检验 →旧对话框→卡方：
4.1 适合度检验
④ SPSS
弹出对话框，将数量选择到检验变量列表中，在 期望值下面选择值，按比例从小到大分别输入1， 添加，3，添加：
4.1 适合度检验
④ SPSS
点击确定，即可得到结果：
4.1 适合度检验
② SPSS 点击继续，返回上级对话框，点击确定，得到结果：
df=1时，需要看连续校正的卡方值，为23.174，对应的p值为0.000， 小于0.01表明两种人群的气管炎患病率有非常显著的差异。
4.2.1.1 需要校正的四格表资料的χ2检验
例 某医师欲比较胞磷胆碱与神经节苷酯治疗脑 血管疾病的疗效，将78例脑血管疾病患者随机分 为两组，结果见表。问两种药物治疗脑血管疾病 的有效率是否相等？
4.1 适合度检验
④ SPSS 定义变量，输入数据，点击菜单数据→
加权个案，弹出对话框，选择加权个案， 将数量选择到频率变量下面，点击确定。 再点击菜单分析→非参数检验→旧对话框 →卡方，弹出对话框，将数量选择到检验 变量列表中，在期望值下面选择值，按比 例从小到大分别添加1，3，32×2表)分析：
4.2.1.3 四格表资料的Fisher确切概率法
① DPS 立刻得到结果：
4.2.1.3 四格表资料的Fisher确切概率法
② SPSS 定义变量，输入数据，点击菜单数据→加权个案，弹
出对话框，选择加权个案，将数量选择到频率变量下面， 点击确定。点击菜单分析→描述统计→交叉表：
4.2.1.1 需要校正的四格表资料的χ2检验
① DPS 在DPS中输入数据，选择数据，点击菜单分类
数据统计→四格表→四格表(2×2表)分析：
卡方检验名词解释
卡方检验名词解释
卡方检验属于非参数检验，由于非参检验不存在具体参数和总体正态分布的假设，所以有时被称为自由分布检验。
参数和非参数检验最明显的区别是它们使用数据的类型。
非参检验通常将被试分类，如民主党和共和党，这些分类涉及名义量表或顺序量表，无法计算平均数和方差。
卡方检验分为拟合度的卡方检验和卡方独立性检验。
我们用几个例子来区分这两种卡方检验：
•对于可口可乐公司的两个领导品牌，大多数美国人喜欢哪一种？•公司采用了新的网页页面B，相较于旧版页面A，网民更喜欢哪一种页面？
以上两个例子属于拟合度的卡方检验，原因在于它们都是有关总体比例的问题。
我们只是将个体分类，并想知道每个类别中的总体比例。
它检验的内容仅涉及一个因素多项分类的计数资料，检验的是单一变量在多项分类中实际观察次数分布与某理论次数是否有显著差异。
拟合度的卡方检验定义：
主要使用样本数据检验总体分布形态或比例的假说。
测验决定所获得的的样本比例与虚无假设中的总体比例的拟合程度如何。
拟合度的卡方检验又叫最佳拟合度的卡方检验，为何取名“最佳拟合”？这是因为最佳拟合度的卡方检验的目的是比较数据（实际频数）与虚无假设。
确定数据如何拟合虚无假设指定的分布，因此取名“最佳拟合”。
关于拟合度的卡方检验有一些翻译上的区别，其实表达的是一个意思：
拟合度的卡方检验=卡方拟合优度检验=最佳拟合度卡方检验
以下统称：卡方拟合优度检验
卡方统计的公式：卡方卡方=χ2=Σ(fo−fe)2fe
公式中O代表observation，即实际频数；E代表Expectation，即期望频数。
卡方检验
χ2检验的其它应用
拟合优度检验（goodness of fit）
判断实际频数与理论频数的吻合程度 应用：
判断分布类型（正态分布、二项分布……) 评价多元回归分析中回归方程的拟合效果
线性趋势检验
资料类型：不同等级分层的百分率 分析目的：百分率虽等级增加而增加的趋势 分析方法：参见相关与回归分析
－ ＋ ＋＋
－ 23 45 56 ＋ 34 23 67 ＋＋ 12 34 21
配对四格表的确切概率法
b+c <25——确切概率法
例7-9
原理：二项分布
公式：
k
单侧
P(X k)
Ci bc
0.5bc
i0
双侧
k
P(X k) 2
Ci bc
0.5bc
i0
例7-9 P（X≤3）=0.0176<0.05
当其中一个变量为等级资料，且分析 目的为比较处理效应时，用秩和检验 如表8-3
第四节 两两比较
1. 卡方分割
两两比较计算卡方 无统计学意义的合并
2. Scheffè可信区间法 3. Bonferroni法：调整检验水准
k=R（R－1）/2，α’＝α/k
例7-4： α’＝0.05 / 3=0.0167 结果保守
之一，英国统计学家K . Pearson （1857-1936）于1900年提出的一 种具有广泛用途的统计方法，常称 为Pearson卡方检验,可用于：
✓两个或多个率间的比较； ✓两组或多组频数分布(或构成)的比较 ✓两分类变量的关联性分析 ✓拟合优度检验等等。
第一节 卡方检验的基本思想——以四格表为例
连续性校正公式
卡方检验
由=0.01得临界值 2(k1)0 2 .0(1 3)1.3 145
由于
22 (k1) 0.01
故接受H0，即认为试验结果与孟德尔学说的结果相符合。
X2拟合检验的步骤
1.把观察到的不同类别的频数分别归入k类，这 些频数之和应是独立观察到总频数之和。
2.假设H0，即确定出每一类应有的期望数Tk
（或np）。如k>2，只要有20%的Tk（或np） <5，就要合并相邻精度类别以减少k值，以 此来增加某些Tk值。如k=2，只有当Tk都5 时，才能应用式5-1来进行X2检验，否则就需 要应用修正式来检验。
[951000.9]2
np
1000.1
1000.9
(Ynp)
2
(51000.1)2
2.78
np(1p) 1000.10.9
X 2 0 .0 5 ,1 C H I I N V ( 0 .0 5 ,1 ) 3 .8 4
因为X2 < X20.05,1， 所以优级品率没有出现下降的变化。
II: 符号检验
1. 计算X2。
2. 根据给定的置信概率，查X2分布表，如果 计算值小于表值，则接受H0，反之则拒绝。
例
一试剂公司按现行生产工艺生产的化学试剂，
其优品率要占到10%。现从一批产品中抽取
100个进行检验，结果发现优级品仅5个。问是
否优级品率出现了下降的变化(=0.05)？
X2
(Ynp)2
(51000.1)2 =
1 符号检验 检验不知道分布类型的数据
根据统计资料的符号，可以简便地来检验两组
成对的数据是否属于同一总体。两个样本既可
以是互相独立，也可以是相关的，也就是说既 可检验两总体是否存在显著差异，也可检验是 否来自同一总体。
08卡方检验
知识分子
25
11
4. 初步统计频数卡方独立性检验：SPSS
New file > Variable View > define variables Data View > input data Data > Weight Cases > “Counts” to be weighted Run “Crosstabs” analysis
统计方法与数据分析
第七讲 卡方检验
1. 卡方检验：概述
卡方（Chi-square）, 数学符号表示为χ2, 是一种非 参数检验方法。它适用于比较两组（或以上）互斥 的频数数据之间是否存在显著差异。 卡方比较的是观测频数（observed frequency）和 期待频数（expected frequency）之间的比例，以 考察是否存在显著差异。 期待频数也称理论频数，通常是指假定各组均等的 频数。
卡方检验结果显示，对语言教学影响因素的看法受教龄的 影响显著（χ2=35.300，df=2，p<0.05）。教龄5年以上的教 师认为语言/学习因素是主要的；教龄5年以下的教师认为 环境和学习者因素是主要的（下表）。这可能是因为…
4. 初步统计频数卡方独立性检验：练习
一项研究得到家庭背景不同的学生（农民、干部、 知识分子）的英语学习成绩（及格、不及格）。 现要考察“家庭背景”与“英语成绩”之间是否 彼此独立？
卡方拟合检验SPSS结果(2)
卡方拟合检验结果在论文中的呈现方式
卡方检验结果显示，双语教师的课堂用语有显著差异 （χ2=340.556，df=5，p<0.05）。大多数双语教师使用英语 的量多于汉语，或至少英语汉语使用比例差不多。仅使用 英语或汉语授课的教师极少（下表）。这可能是因为…
生物统计学—卡方检验
卡方检验的原理和方法
由于离散型资料的卡方检验只是近似地服从连 续型变量的卡方分布，所以在对离散型资料进行 卡方检验计算的时，结果常常偏低，特别是当自 由度df=1时，有较大偏差，为此需要进行矫正：
cc
2 i 1 k
Oi Ei 0.5 Ei
2
当自由度df>1时，与连续型随机变量卡方分相 近似，这时可以不做连续性矫正 注意：要求各个组内的理论次数不小于5，如某 组理论次数小于5，则应把它与其相邻的一组或 几组合并，知道理论次数大于5为止
卡方检验的原理和方法
Pearson定理的基本含义： 如果样本确实是抽自由（P1，P2，…,Pk）代 表的总体，Oi和Ei之间的差异就只是随机误差， 则Pearson统计量可视为服从卡方分布 反之，如果样本不是抽自由（P1，P2，…,Pk） 代表的总体，Oi和Ei之间的差异就不只是是随机 误差，从而使计算出的统计量有偏大的趋势 因此，对Pearson统计量进行单尾检验（即 右尾检验）可用于判断离散型资料的观测值与理 论值是不是吻合
当用样本平均数估计总体平均数时，有：
c
2
1
2
x x
2
将样 s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
2 2 假设 H 0: 2 0 , 适用右尾检验 ，其否定区为： c 2 c
假设 H 0: 2 02 , 适用左尾检验 ，其否定区为： c 2 c12 假设
卡方检验的原理和方法
统计假设： H0：观测值与理论值的差异是由随机误差引起 HA：观测值与理论值之间有真实差异
所以卡方值是度量实际观测值与理论值偏南 程度的一个统计量 卡方值越小，表明观测值与理论值越接近 卡方值越大，表明观测值与理论值相差越大 卡方值为0，表明H0严格成立，且它不会有下侧 否定区，只能进行右尾检验
卡方检验
第二节
行×列表资料的 检验
2
行×列表资料
① 两个样本率比较时，基本数据有4个，排成2行 2列，称为2 ×2表，即四格表； ② 多个样本率或构成比比较时，基本数据超过2 行2列，有R行C列，称R×C表或行列表。
检验统计量（通用公式）
A n( 1) nR nC
2
2
(行数 1)(列数 1)
【
2
2 χ 基本公式】
2
( AT ) , (行数-1)(列数 1) T
T为理论频数（theoretical frequency）
式中，A为实际频数（actual frequency）
nR nC TRC n
【 χ2检验的基本原理】
若H0:π1=π2＝π0成立，
四个格子的实际频数A与理论频数T相差不应该很大，即统计
度函数可给出不同自由度的一簇分布曲线。
2分布的形状依赖于自由度的大小；当自由
度趋向于无穷大时, 2分布趋向正态分布。
χ2分布特点
χ2分布是一组曲线。 χ2分布与自由度有关 自由度一定时， χ2值越大，P值越小；反之亦然。 =1时， P=0.05， x2 =3.84 P=0.01， x2 =6.63
三、配对四格表资料的 检验
2
也称McNemar检验（McNemar's test）
例6.3 某研究室用甲、乙两种血清学方法检查410 例确诊的鼻咽癌患者，得到结果如表6.4 ，问两 种方法检出率有无差别？
表6.4 两种血清学检验结果
甲法 ＋ － 合计 乙法 ＋ 261（a） 8（c） 269 － 110（b） 31（d） 141 合计 371 39 410
表中，a, d 为两法观察结果一致， b, c 为两法观察结果不一致。
医学统计学-卡方检验
卡方检验是一种常用的统计方法，用于比较观察值和期望值之间的差异。它 在医学研究中有着广泛的应用，可以帮助我们验证假设、推断总体特征以及 分析类别变量的相关性。
卡方检验的定义和原理
卡方检验是一种基于卡方分布的统计检验方法。它基于观察值与期望值之间 的差异来判断样本数据与理论分布的拟合程度。
卡方检验的局限性和注意事项
• 卡方检验只能验证分类变量之间的关联性，不能验证因果关系。 • 卡方检验对样本足够大和数据分类合理的要求比较严格。 • 卡方检验结果受样本选择和观察误差的影响，需要谨慎解释。 • 在进行卡方检验前，需要对数据进行充分的清洗和准备。
结论和要点
卡方检验是一种常用的统计方法
卡方检验的应用领域
医学研究
卡方检验可以用来分析疾病的发生与某个因素之间的关联性，如吸烟与肺癌。
社会科学
卡方检验可以用来研究不同人群之间的行模式和态度偏好，如性别与政治观点。
市场调研
卡方检验可以用来分析消费者的购买偏好和市场细分，如年龄与产品偏好。
卡方检验的假设和前提条件
1 独立性假设
卡方检验基于观察值和期望值之间的差异来验证两个变量之间是否存在独立性。
它可以帮助我们验证假设、推断总体特征以 及分析类别变量的相关性。
结果解读和意义
卡方检验的结果可以帮助我们了解变量之间 的关系，并为决策提供依据。
应用广泛
卡方检验在医学研究、社会科学和市场调研 等领域都有着重要的应用。
局限性和注意事项
卡方检验有一定的局限性，需要注意样本大 小和数据分类的合理性。
4
比较卡方值和临界值
判断卡方值是否大于临界值，从而做出关于拒绝或接受原假设的决策。
卡方检验的结果解读和意义
卡方检验
列联表中， （1）在 r×c 列联表中，若 1/5 以上的格子的理论频数小于 5，或 有一个格子的理论频数小于 1，则应使理论频数小于 5 或小于 1 的格子 与临组合并，以增大理论频数。 或采用四格表资料的 （或采用 与临组合并，以增大理论频数。 或采用四格表资料的 Fisher 确切概率 （ 法） 。 检验中，若拒绝原假设， （2）在 r×c 列联表的 χ 检验中，若拒绝原假设，说明被比较的 ）
专业运动年限 发病人数 未发病人数 合计 发病率 %
1 年一下 2-4年 5-7年 10年 8 - 10 年 合计 4 15 10 12 41 80 70 50 40 240 84 85 60 52 281 4.76 17.65 16.67 23.08 14.59
问：发病率的不同是由随机误差引起还是由条件误差（运动年限）引起？ 发病率的不同是由随机误差引起还是由条件误差（运动年限）引起？ 误差引起还是由条H0：发病率与运动年限无关；H0：发病率与运动年限有关
A2 2 − 1 ≈10.36 ○ χ = n ∑ n ⋅n r c 3 ○ 取α=0.05， n' = (r − 1)(c − 1) =（4-1）×（2-1）=3， ， （ ） ） ，
2
2
检验的专用公式。 检验的专用公式。即 ： χ
2
=∑
( A − T )2
T
(ad − bc )2 n 或χ = 。 (a + b )(c + d )(a + c )(b + d )
2 2
检验的校正公式。 （2） 总例数 n＞40 且 1 格子的 1＜T＜5 时： 当 用四格表资料 χ 检验的校正公式。 ： 即
定义
随机变量x1,x2……xn相对独立，并且服从 标准正态分布。则随机变量
卡方检验的原理和内容公式原理
卡方检验是一种统计检验方法，其原理是比较理论频数和实际频数的吻合度或拟合优度。
基本思想是通过统计样本的实际观测值与理论推断值之间的偏离程度，来判断理论值是否符合。
卡方检验的应用范围包括检验某个连续变量或离散变量是否与某种理论分布接近，即分布拟合检验；以及检验类别变量之间是否存在相关性，即列联分析。
卡方检验的基本公式是卡方值，它是由实际频数和理论频数之间的差的平方与理论频数的比值计算得出的。
卡方值的计算公式如下：
卡方值=∑(实际频数-理论频数)^2 / 理论频数
其中，∑表示求和，实际频数和理论频数分别表示观测频数和期望频数。
如果卡方值越大，说明观测频数和期望频数之间的偏离程度越大；如果卡方值越小，说明观测频数和期望频数之间的偏离程度越小，越趋于符合。
需要注意的是，卡方检验的前提假设是样本数据服从卡方分布，且样本量足够大。
同时，卡方检验对于样本量较小的数据可能不太稳定，此时可以考虑使用其他统计方法如Fisher's exact test等。
卡方检验详述
卡方检验什么是卡方检验卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。
它属于非参数检验的范畴，主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比）以及两个分类变量的关联性分析。
其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。
它在分类资料统计推断中的应用，包括：两个率或两个构成比比较的卡方检验；多个率或多个构成比比较的卡方检验以及分类资料的相关分析等。
卡方检验的基本原理卡方检验是以χ2分布为基础的一种常用假设检验方法，它的无效假设H0是：观察频数与期望频数没有差别。
该检验的基本思想是：首先假设H0成立，基于此前提计算出χ2值，它表示观察值与理论值之间的偏离程度。
根据χ2分布及自由度可以确定在H0假设成立的情况下获得当前统计量及更极端情况的概率P。
如果P值很小，说明观察值与理论值偏离程度太大，应当拒绝无效假设，表示比较资料之间有显著差异；否则就不能拒绝无效假设，尚不能认为样本所代表的实际情况和理论假设有差别。
卡方值的计算与意义χ2值表示观察值与理论值之问的偏离程度。
计算这种偏离程度的基本思路如下。
(1)设A代表某个类别的观察频数，E代表基于H0计算出的期望频数，A与E之差称为残差。
(2)显然，残差可以表示某一个类别观察值和理论值的偏离程度，但如果将残差简单相加以表示各类别观察频数与期望频数的差别，则有一定的不足之处。
因为残差有正有负，相加后会彼此抵消，总和仍然为0，为此可以将残差平方后求和。
(3)另一方面，残差大小是一个相对的概念，相对于期望频数为10时，期望频数为20的残差非常大，但相对于期望频数为1 000时20的残差就很小了。
考虑到这一点，人们又将残差平方除以期望频数再求和，以估计观察频数与期望频数的差别。
进行上述操作之后，就得到了常用的χ2统计量，由于它最初是由英国统计学家Karl Pearson在1900年首次提出的，因此也称之为Pearson χ2，其计算公式为：其中，Ai为i水平的观察频数，Ei为i水平的期望频数，n为总频数，pi为i水平的期望频率。
卡方检验
总计 160 205 182 547
H0：稻叶衰老情况与灌溉方式无关；HA：稻叶衰老情 况与灌溉方式有关。
取 =0.05。 根据H0的假定，计算各组格观察次数的相应理论次数： 如与146相应的E=(481×160)/547=140.69，
与183相应的E=(481×205)/547=180.26，……， 所得结果填于表7.11括号内。
因本例共有k=4组，故df=k-1=3。查附表4，
,现实得
,所以否定
H0，接受HA，即该水稻稃尖和糯性性状在F2的实际结果 不符合9∶3∶3∶1的理论比率。
这一情况表明，该两对等位基因并非独立遗传， 而可能为连锁遗传。
实际资料多于两组的 值通式则为：
(5·15)
上式的mi为各项理论比率，ai为其对应的观察次数。 如本例，亦可由(5·15)算得
如种子灭菌项的发病穗数O11=26，其理论次数 E11=(210×76)/460=34.7，即该组格的横行总和乘以纵行总 和再除以观察总次数(下同)；同样可算得
O12=50 的 E12=(250×76)/460=41.3； O21=184的E21=(210×384)/460=175.3； O22=200的E22=(250×384)/460=208.7。 以上各个E值填于表5.7括号内。
（1）设立无效假设，即假设观察次数与理论次数的差 异由抽样误差所引起，即H0：花粉粒碘反应比例为1∶1 与HA：花粉粒碘反应比例不成1∶1。
（2）确定显著水平 =0.05。
(3）计算 值
查附表4，当
时
=3.84 ，实得
=0.2926小于
，所以接受H0。即认为观察次数和理
论次数相符，接受该玉米F1代花粉粒碘反应比率为1∶1的
卡方检验
第16章无序分类变量的统计推断——卡方检验通过前面的介绍可以知道，变量可以被分为连续性变量（定距、定比）和分类变量，后者又被细分为有序、无序变量两种。
对于各组所在总体的定量变量（即连续性变量）的平均水平，可以使用t检验和方差分析方法进行比较，秩和检验则用于比较各组所在总体为有序分类变量的分布情况是否相同。
这里将要介绍的卡方检验主要用于是在应用的程度上可以和t检验相媲美的另一种常用检验方法。
连续变量两组t检验多组方差分析分类变量有序秩和检验无序卡方检验16.1 卡方检验概述16.1.1 卡方检验的基本原理1. 卡方检验的基本思想卡方检验是以χ2分布为基础的一种常用假设检验方法，它的无效假设为H0是：观察频数与期望频数没有差异。
卡方检验的基本思想是：首先假设H0成立，基于此前提计算出χ2值，它表示观察值与理论值之间的偏离程度。
根据χ2分布及自由度可以确H0假设成立的情况下获得当前统计量及更极端情况的概率P。
如果P值很小，说明观察值与理论值偏离程度太大，应当拒绝原假设，表示比较资料之间有显著差异；否则不能拒绝无效假设，尚不能认为样本所代表的实际情况和理论假设有差别。
2.卡方值的计算与意义见复印资料柯惠新等人编著《调查研究中的统计分析法》卡方统计量，由于它最初是由英国统计学家Karl Pearson 在1900年首次提出的，因此也称之为Pearson χ2。
由卡方的计算公式可知，当观察频数与期望频数完全一致时，χ2值为0；观察频数与期望频数越接近，两者之间的差异越小，χ2值越小；反之，观察频数与期望频数差别越大，两者之间的差异越大，χ2值越大。
换言之，大的χ2值表明观察频数远离期望频数，即表明远离假设。
3.卡方检验的样本量要求一般认为，对于卡方检验中的每一个单元格，要求其最小期望频数均大于1，且至少有4/5的单元格期望频数大于5，此时使用卡方分布计算出的概率值才是准确的。
16.1.2 卡方检验的用途卡方检验最常间的用途就是考察无序分类变量各水平在两组或多组之间的分布是否一致。
卡方检验
例3 大量的研究表明，人群中超常儿童的比率为3%。最 近有人对某班54名学生做了一项智力测查，结果发现有 两名学生的智力属于超常，问该班超常儿童的比率与普 通人群中超常儿童的比率是否相同？
解：根据题目中给出的数据列表：
超常
非超常
N
f
1.62
52.38
54
e
f
2.00
52.00
0
根据自由度df=1查附表6，得
二、卡方检验的统计量
卡方检验是对由样本得来的实际频数与理论频数 的分布是否有显著性差异所进行的检验。其计算 公式为：
2 f0 fe 2
fe
f 表示实际频数 0
f 表示理论次数 e
• 例：抛投一枚硬币80次，结果正面朝上46次，反面朝 上34次，问该枚硬币质地是否均匀？ 从理论上讲，抛一枚质地均匀的硬币，正反面朝上的 概率相等，那么如果抛投硬币80次，正面或反面朝上 的理论频数均为80／2=40次。这样，实际频数（正 面朝上46次，反面朝上34次）与理论频数（正面与反
反对 21 30 -9
81
2.7
总 和 60 60
5.4
自由度为: df = k -1=1
3.统计决断
查χ2值表，当 df =1 时
2 (1)0.05
3.84
2 (1)0.01
6.63
计算结果为： χ2=5.4*
3.84 ＜χ2= 5.4 ＜ 6.63，则 0.05 > P > 0.01
结论：学生对高中文理分科的态度有显著差异。
2. 计 算
表9-5 学生干部性别比例的χ2检验计算表
fo
2
fe fo fe f0 fe 0.5
卡方检验
3459.5(E1) 3459.5(E2) 6919
－22.5 ＋22.5 0
0.1463 0.1463 0.2926
此处要推论是否符合1∶1分离，只要看观察次数与理 论次数是否一致，故可用 测验：
（1）设立无效假设，即假设观察次数与理论次数的差 异由抽样误差所引起，即H0：花粉粒碘反应比例为1∶1 与HA：花粉粒碘反应比例不成1∶1。 （2）确定显著水平 =0.05。
a11 a21 C1
a12 a22 C2
R1 R2 n
(5· 16)
如本例各观察次数代入(5· 16)可得：
二、2×C表的独立性测验
2×C表是指横行分为两组，纵行分为C≥3组的相依表资
料。 在作独立性测验时，其 c≥3,故不需作连续性矫正。 =(2－1)(c－1)=c－1。由于
[例5.9] 进行大豆等位酶Aph的电泳分析，193份野生大
为1∶1，由此可以计得3437+3482=6916粒花粉中，蓝色
反应与非蓝色反应的理论次数应各为3459.5粒。设以O代 表观察次数，E代表理论次数，可将上列结果列成表
玉米花粉粒碘反应观察次数与理论次数
碘反应
观察次数(O) 理论次数(E)
O－E
(O－E)2/E
蓝色 非蓝色 总数
3437(O1) 3482(O2) 6919
(5· 17)
横行因素
纵 行 因 素
1 2 … i … c
总
计
1
2 总 计
a11
a21 C1
a12
a22 C2
…
… …
a1i
a2i Ci
…
… …
a1c
a2c Cc
R1
R2 n
卡方检验
假设检验方法
01 基本原理
03 检验方法 05 代码实现
目录
02 步骤 04 资料检验
卡方检验，是用途非常广的一种假设检验方法，它在分类资料统计推断中的应用，包括两个率或两个构成比 比较的卡方检验；多个率或多个构成比比较的卡方检验以及分类资料的相关分析等。
基本原理
卡方检验就是统计样本的实际观测值与理论推断值之间的偏离程度，实际观测值与理论推断值之间的偏离程 度就决定卡方值的大小，如果卡方值越大，二者偏差程度越大；反之，二者偏差越小；若两个值完全相等时，卡 方值就为0，表明理论值完全符合。
卡方检验要求：最好是大样本数据。一般每个个案最好出现一次，四分之一的个案至少出现五次。如果数据 不符合要求，就要应用校正卡方。
谢谢观看
注意：卡方检验针对分类变量。
步骤
（1）提出原假设： H0：总体X的分布函数为F(x). 如果总体分布为离散型，则假设具体为 H0：总体X的分布律为P{X=xi}=pi， i=1，2，... （2）将总体X的取值范围分成k个互不相交的小区间A1，A2，A3，…，Ak，如可取 A1=（a0，a1]，A2=(a1，a2]，...，Ak=(ak-1,ak)， 其中a0可取-∞，ak可取+∞，区间的划分视具体情况而定，但要使每个小区间所含的样本值个数不小于5， 而区间个数k不要太大也不要太小。 （3）把落入第i个小区间的Ai的样本值的个数记作fi，成为组频数（真实值），所有组频数之和 f1+f2+...+fk等于样本容量n。 （4）当H0为真时，根据所假设的总体理论分布，可算出总体X的值落入第i个小区间Ai的概率pi，于是，npi 就是落入第i个小区间Ai的样本值的理论频数（理论值）。
检验方法
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量上的反应是否有显著差异。 [例]从四所幼儿园分别随机抽出6 岁儿童若 干，各自组成一个实验组，进行识记测 验。测验材料是红、绿、蓝三种颜色书
写的字母，以单位时间内的识记数量为
指标，结果如下。问四组数据是否可以 合并分析。
分组 1 2 3 4
红色字母 24 15 20 10
2
49 64
X 154.62
理论次数
1 7 24 60 104 130 114 70 31 9 2
f o f e
f
e
2
3.03 2.44 1.85 1.26 0.67 0.07 -0.52 -1.11 -1.70 -2.29 -2.88
0.00237 0.01201 0.04260 0.10888 0.18858 0.23544 0.20615 0.12746 0.05562 0.01710 0.00396
信息判断其是否服从某种确定的连续性分布。 ⑴检验方法 ①将连续性的测量数据整理成次数分布表 ②画出相应的次数分布曲线；
③选择恰当的理论分布；
④进行拟合检验；
■例:下表是552名学生的身高次数分布，问这 些学生的身高分布是否符合正态分布？
身高 组中值 次数 离均差 Z分数 P
169~ 166~ 163~ 160~ 157~ 154~ 151~ 148~ 145~ 142~ 139~ 170 167 164 161 158 155 152 149 146 143 140 2 7 22 57 110 124 112 80 25 8 4 15.38 12.38 9.38 6.38 3.38 0.38 -2.62 -5.62 -8.62 -11.62 -14.62
问四组数据是否可以合并分析?
⑵列联表形式的同质性检验
[例]对四所幼儿圆的幼儿颜色命名能力进行
了调查，调查材料是15种颜色的彩色铅
笔。凡能正确命名8种及8种以上颜色者 为达标，低于8 种颜色则未达标。调查 对象分4岁组、6岁组。四所幼儿园调查 的数据见下表。问这四所幼儿园儿童颜
色命名能力调查结果是否同质？颜色命
2
比率差异的显著性检验。
■例 随机抽取90名学生，将学生按性别与学习
成绩进行分类，结果如下表，问男女大学生 在学业成绩上是否有关联？或男女学生在成 绩中等以上的比率是否存在显著差异？
学 业 水 平
中等以上 中等以下
性 男 别 女
23 28
17 22
5、四格表中若有单元格理论次数<5 ⑴Fisher精确概率检验（略）
绿色字母 17 12 20 25
蓝色字母 19 9 14 28
检验的基本原理 二、
2
理论基础是1899年皮尔逊的工作：在分
布拟合优度检验中，实际观察次数 f 与理 论次数 f 之差的平方除以理论次数近似服
o e
从 分布，即：
2
2
K
f o f e ~
2
2
f
df
e
⑵ 检验校正公式
2
2
A B C D A C B D
N N AD BC 2
2
6、多重列联表分析 ⑴适用范围 分类变量数目多于2个
■例：讨论性别（男、女）、婚姻（未
婚、已婚）及生活满意状况（刺
激、规律、无聊）之间的关系。
⑵多重列联表的分析 ①确定控制变量（分层变量） [例]性别 ②分别对在控制变量的每一水平下的另两个 变量形成的列联表进行分析； [例 ] *男性婚姻状况与生活满意状态关联分析 *女性婚姻状况与生活满意状态关联分析
自由度是各样本组累计自由度与合并后总
数据的自由度之差。
◆异质性 值大于临界值，样本组间数据
2
异质； ◆不显著，则同质；
■例 从四所幼儿园分别随机抽出6 岁儿童若干 ，各自组成一个实验组，进行识记测验。测 验材料是红、绿、蓝三种颜色书写的字母， 以单位时间内的识记数量为指标，结果:
分组 1 2 3 4 红色字母 24 15 20 10 绿色字母 17 12 20 25 蓝色字母 19 9 14 28
卡方检验
一、 检验的功能
2
1、适用资料─计数数据
计数数据的统计分析，测量数据的统计
方法并不适用，卡方检验是较为常用的一
种方法。
2、卡方检验的功能 ⑴拟合优度检验[例]
即通过实际调查与观察所得到的一批 数据，其次数分布是否服从理论上所假 定的某一概率分布；
■例 某广播电视台为了了解广大儿童对其提供 的6种儿童节目的偏好（态度），随机抽取 了300名儿童，问他们最喜欢哪一种节目（ 每人只能选一种），得到的数据如下表：
e
三、卡方检验应用一——总体分布的拟合检 验（goodness of fit test 配合度检验） 由于检验内容仅涉及一个变量多项分类 的计数资料，也称one-way test）
1、配合度检验的一般问题
即检验实际观察数据的分布与某理
论分布是否有显著的差别。
2、检验过程
⑴统计假设
H :f
0
0
f
Yates建议的校正公式为：
2
f
o
f e 12 f
e
2
■注：校正后的结果与二项分布的结果一致
四、独立性检验（test of independence） 1、功能（例）
主要通过对两个或两个以上因素多项分
类的计数资料的分析，以研究两变量或多
个变量之间的关联性与依存性。
2、一个术语-列联表
③对于控制变量的不同水平所进行的单个列联
表分析 ⅰ、如果 值不显著，此时可以将各个水
2
平下的 值相加，以推测列联表中两
2
个变量总的 值，并进行关联性检定。
2
ⅱ、当控制变量各水平不一致时，必须单独就 个别关联表进行分析。
■例
某通讯公司想了解大学生最喜欢的手机品
牌，随机抽取了72名大学生，调查性别、 家庭经济水平以及最喜欢的手机品牌，来 探讨这三个变量之间的关系，调查结果如 下表。
②检验过程
ⅰ、计算各个样本组的 值和自由度；
2
ⅱ、累加各样本组 值，计算其总和及自由
2
度的总和； ⅲ、将各个样本组原始数据按相应类合并， 产生一个总的数据表，并计算这个总数
据表的 值和自由度；
2
iv、计算各样本组的累计 值与总测试次数合
2
并获得的 值之差（异质性 值），其
2 2
f
f f
2.
…
Bi … Bk
f
f
i1
i2
ij
iR
i.
k1
k2
kj
f
kR
k.
f
.1
f
.2
f
.j
f
.R
N
3、独立性检验的一般问题与步骤
⑴统计假设
H : 二因素或多因素之间是独立；（数据）
0
⑵理论次数的计算
fe
f i. f
N
.j
ij
⑶自由度的确定
df R 1K 1
⑷卡方检验
节目1 节目2 节目3 节目4 节目5 节目6
85
80
55
10
40
30
问：就调查的300人而言，他们对6个节目的 偏好（体现在人数）是否存在显著的差 异？
⑵变量间的独立性检验 在对一批观察数据进行双向多项分类之 后，这两个分类特征是独立无关的还是具 有连带相关的关系？
■例
某师范大学为了了解广大师生对实行“中 期选拨”制度的态度。曾以问卷调查的形式 对977名低年级学生、790名高年级学生和 764名教师进行随机调查，调查结果：
e
即：实际观察次数与某分布理论次数 之间无差异；
H:f
1
o
f
e
⑵数理基础
H0:
f
0
f
e
2 2
K
f o f e ~
2
2
f
df
e
⑶依统计检验公式，计算实得卡方值
2
K
f o f e
f
e
f
e
N
p
e
⑷作出统计决断
2
N:总数 Pe：具体类别理论概率
4、独立样本四格表 检验（列联表特例）
2
⑴检验公式（各单元格理论次数>5）
2
N
A B C D A C B D
因 素 A 分类1 分类2 因
分 类 1
AD BC
2
⑵自由度
df 2 12 1
A C
B D
素 分 类 B 2
■注:独立样本四格表 检验相当于独立样本
2
f o f e
f
e
2
………（公式1）
⑸统计推断
2 N
f ij f i. f
2
1 .j
2
实际
2
2
df
2
拒绝假设
实际
df
接受假设
■注 ◆R×C的卡方检验，允许有的格内的实计数
为0，最小的理论次数为0.5； ◆R×C 的卡方检验中最小的理论次数小于 0.5 或1（2 ×C列联表），一般采用合并 项目的方法，而不用连续性校正公式；
( df )
3、离散型分布的拟合检验 ■例
某项民意测验，答案有同意、不臵可否、 不同意3种。调查了48人，结果同意的24人 ，不臵可否的人12人，不同意的12人，问持 这3种意见的人数是否存在显著差异？