第2章 线性变换(矩阵论)

i 1 i i
n
T ( ) span {T (1 ),T (2 ),,T (n )}，
从而
R(T ) span {T (1 ),T (2 ),,T (n )}，
故
R(T ) span {T (1 ),T (2 ),,T (n )}．
定理 2.1.3 设 T 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换，则 dim(R(T )) dim(Ker(T )) n ． 证明 设 dim(Ker(T )) r ，在核 Ker(T ) 中取一个基
m n
h(T ) f (T ) g (T ) ， t (T ) f (T ) g (T ) ． 注 2.2.1 线性变换的乘法一般是不可交换的，即 TS ST ，因 n n n 此一般地有 (TS ) T S ．
2.3 线性变换的矩阵
在上节知道，若 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，则 V 上的所有 线性变换组成的集合 L (V ) 对于线性变换的加法和数乘运算也构成 一个线性空间， 本节要讨论的问题是 L (V ) 的维数是多少， 它与线性 空间 P
2.2 线性变换的运算
L(V ) 表示数域 P 上线性空间 V 上的一切线性变换的集合． 定义 2.2.1 设 V 是数域 P 上的线性空间， Ti L(V ) （ i 1,2 ） ，
（ 1）如果对每个 V ，恒有 T1 ( ) T2 ( ) ，则称 T1 与 T2 相等， 记为 T1 T2 ； （ 2）对每个 V ，满足
1 , 2 ,, r ，将其扩充成 V 中一个基 1 , 2 ,, n ，则 R(T ) span {T (1 ),T ( 2 ),, T ( n )} span {T ( r 1 ),T ( r 2 ),, T ( n )}． 现证明 T ( r 1 ),T ( r 2 ),, T ( n ) 是 R (T ) 的一个基，设
2.1.1 线性变换的定义
定义 2.1.1 设 V ，W 是数域 P 上的两个线性空间， T 是V 到W 的一个映射，如果满足： （ 1) 对于任意 , V ， T ( ) T ( ) T ( ) ， （ 2) 对于任意 V ， k P ， T (k ) kT ( ) ， 则称 T 是 V 到 W 的线性映射， 或线性算子． 当 V W 时， 称T 为V 上的线性变换．
显然，线性映射与第１章线性空间中同构映射相比，线 性映射就是保持线性运算的映射，他不要求是双射，而线性 变换是线性空间到自身的线性映射．
例 2.1.1 平面直角坐标系绕坐标原点旋转 角的变换就是欧氏 空间 R 的一个线性变换．对任意 x ( x1 , x2 )T R ，则这个线性
2 2
1 2 T (1 ) T ( 2 ) T (1 2 ) R(T ) ， k1 kT (1 ) T (k1 ) R(T ) ， （k P） ，
即 R (T ) 对 V 中的线性运算封闭，所以， R (T ) 是 V 的线性子空间． 再设 , Ker (T ) ，即 T ( ) 0 ， T ( ) 0 ，可知
2.1.2 线性变换的性质
设 V 是数域 P 上的线性空间，则 V 的线性变换 T 具有下列性 质： 性质 2.1.1 T (0) 0 ， T ( ) T ( ) ， 即线性变换将零元素变为零元素，而负元素的像为像的负元素． 性质 2.1.2 若 k11 k 2 2 k m m ，则
（ 2） V 中线性变换的乘法满足结合律，即 (T1T2 )T3 T1 (T2T3 ) ． （ 3） V 中线性变换的乘法对加法满足分配律，即
T1 (T2 T3 ) T1T2 T1 T3 ， (T1 T2 )T3 T1T3 T2T3 ． （ 4）设 0 表示 V 中的零变换，则 T 0 0 ， T (T ) 0 ． （ 5） V 中线性变换的数乘运算满足： (kl)T k (lT ) ， (k l )T kT lT ，
R(T ) Ker(T ) 并不一定等于 V ．
例如，在 P[ x]n 中，微商变换 D ： D ( f ( x )) 变换，且 显然
d f ( x) 是线性 dx
( R( D)) P[ x]n1 ， Ker ( D) R ， dim(R( D)) dim(Ker( D)) n ，但是 R( D) Ker( D) P[ x]n ．
定理 2.1.1 设 T 是线性空间 V 上的一个线性变换， 则 T 的值域 R (T ) 与核 Ker(T ) 都是 V 的线性子空间． 证明 则 因 为 V 非 空 ， 所以 R (T ) 也 非 空 ， 且 R(T ) V ． 设
1 , 2 R(T ) ，则有 1 , 2 V ，使得 T (1 ) 1 ，T ( 2 ) 2 ，
这些运算具有下列性质： （ m, n 为非负整数） ． T mT n ， (T m ) n T mn ， 当 T 可逆时， m, n 可为负整数． （ 2）设 f ( x), g ( x) P[ x] ，如果 h( x) f ( x) g ( x) ， t ( x) f ( x) g ( x) ， （ 1） T 则
定义 2.1.3 设 T 是线性空间 V 上的一个线性变换， （ 1 ） V 中所有向量在 T 下的像的集合称为 T 的值域，记作 R (T ) ，即
R(T ) {T ( ) | V } ， R (T ) 也称为 T 的像空间． （ 2） 在线性变换 T 下， 零向量的所有原像的集合称为 T 的核， 1 记为 Ker(T ) 或 T (0) 或 N (T ) ，即 Ker(T ) { | T ( ) 0, V } ， Ker(T ) 也称为 T 的零空间或核空间．
T ( ) T ( ) T ( ) 0 ， T (k ) kT ( ) 0 ， 所以， V ， k V ，即 Ker(T ) 对 V 中的线性运算封闭， 故 Ker(T ) 是 V 的线性子空间．
定 理 2.1.2 设 T 是 n 维线性空间V 上的一个线性变换， 1 , 2 ,, n 是 V 的一个基，则
（ 3）设 P[ x] 为数域 P 上多项式全体构成的线性空间，且
f ( x) am x m am1 x m1 a0 P[ x] ，
则称
f (T ) amT m am1T m1 a0 I 为线性变换 T 的多项式．可以证明 f (T ) 也是 V 的一个线性变换．
j 1
r
因为 1 , 2 ,, n 线性无关，所以 ki 0 (i 1,2,, n) ，因此 T ( r 1 ),T ( r 2 ), ，
T ( n ) 也线性无关，从而 dim(R(T )) n r n dim(Ker(T )) ．
注 意
虽 然 dim(R(T )) dim(Ker(T )) n ， 但 是
R(T ) span {T (1 ),T ( 2 ),, T ( n )}． 证明 显然 span {T (1 ),T ( 2 ),, T ( n )} R(T ) ．
对任意 V ，且
k
i 1 i
n
i
，有 T ( )
k T ( ) ，所以，
T ( ) k1T (1 ) k 2T ( 2 ) k mT ( m ) ， 即线性变换 T 保持向量的线性组合． 性质 2.1.3 若 1 , 2 ,, m 线性相关， 则 T (1 ),T ( 2 ),, T ( m ) 也线性相关．
注意 性质3的逆命题不成立，即线性变换可能将线性无 关向量组变成线性相关向量组．例如，零变换把任何线性无 关向量组都变成线性相关向量组．
第2章 线性变换
在许多数学问题和实际问题中起着重要作用的是线性 空间到线性空间的映射，并且这些映射有一个共同点，即 保持加法与数乘两种运算，我们称这样的映射为线性映
射．本章讨论线性空间到线性空间的线性映射，着重讨论
线性空间到自身的线性映射—线性变换，并建立它们和矩 阵之间的联系 ．
2.1 线性变换的概念
T ( ) T1 ( ) T2 ( ) 的变换 T 称为线性变换 T1 与 T2 的和，记为 T T1 T2 ； （ 3）对每个 V ，满足 T ( ) T1 (T2 ( )) 的变换 T 称为线性变换 T1 与 T2 的乘积，记为 T T1T2 ； （ 4）对每个 V ， k P 满足 T ( ) kT1 ( ) (1)T1 简记为 T1 ． 的变换 T 称为数 k 与线性变换 T1 的数量乘积， 记为 T kT1 ．
j r 1 n
k T (
j
n
j来自百度文库
) 0 ． (k j P, j r 1, r 2,, n) ，
则
T ( k j j ) 0 ，所以，
j r 1
j r 1
k
j
n
j
Ker(T ) ，因此
j r 1
k
j
n
j
k j j ．
可以证明：T1 T2 ，T1T2 ， kT1 都是线性变换，并且线性变换的加法、 乘法、数乘运算满足下面运算规律（设 k , l P ， T , Ti V (i 1,2,3) ） ： （ 1） V 中线性变换的加法满足交换律与结合律，即 T1 T2 T2 T1 ，
(T1 T2 ) T3 T1 (T2 T3 ) ．
k (T1 T2 ) kT1 kT2 ．
定理2.2.1 对于上述加法与数量乘法构成数域上的一个
线性空间．
对于线性变换，还可以定义下列几种基本运算
定义 2.2.2 设 V 是数域 P 上的线性空间， T L(V ) ， （ 1）如果存在 S L(V ) ，使得
TS ST I ， 1 则称 S 为 T 的逆变换，记为 T ．特别地，若线性变换 T 是可逆的， 1 则 T 也是线性变换． （ 2） n （ n 为正整数）个线性变换 T 的乘积 T n TT T 0 称为 T 的 n 次幂．特别地，当 n 0 时，令 T I ．当 T 可逆时， 定义 T 的负 n （ n 为正整数）次幂为 T n (T 1 ) n ．
a
x
则 T 是 C[a, b] 上的一个线性变换．
例 2.1.3 在线性空间 P[ x]n 中，微商运算 D 定义为
D( f ( x)) f ( x) ，
则 D 是一个线性变换．
定义 2.1.2 设 T 是数域 P 上的线性空间 V 的一个线性变换， （1）如果对任意 V ，恒有 T ( ) 0 ，则称 T 为零变换， 记为 0； （2） 如果对任意 V ， 恒有 T ( ) ， 则称 T 为恒等变换， 记为 I ； （3） 如果对任意 V ，k P ， 恒有 T ( ) k ，则称 T 为 数乘变换 .
变换 T 是
cos T ( x) sin
sin x． cos
例 2.1.2 定义在区间 [ a, b] 上的所有连续实函数的集合 C[a, b] 是实数域上的一个线性空间，在 C[a, b] 上定义变换 T ：
T ( f ( x)) f (t )dt ， f ( x) C[a, b] ，