最新 2020年重庆春招数学试卷(14)

2020年重庆春招数学试卷（14）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合{}{}0,1,2,0,1M N ==，则M N =I ( ) A ．{}2 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 2. 不等式21<-x 的解集是( )

A ．x<3

B ．x>－1

C ．x<－1或x>3

D ．－1

A. 减函数

B. 增函数

C. 非增非减函数

D. 既增又减函数 5. 设 1.5

0.9

0.48

14,8

,2a b c -⎛⎫=== ⎪

⎝⎭

，则,,a b c 的大小顺序为 （ ）

A 、a b c >>

B 、a c b >>

C 、b a c >>

D 、c a b >>

6.已知a (1,2)=，b (),1x =，当2a +b 与2a -b 共线时，x 值为（ ） A. 1 B.2 C .

13 D.12

7. 已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

8．已知向量a (2,1)=，b (3,)λ=，且a ⊥b ，则λ=（ ） A ．6- B ．6 C ．

32 D ．3

2

- 9 点)5,0(到直线x y 2=的距离为(

)

A ．2

5 B ．5 C ．

2

3 D ．

2

5

10. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每

个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种

D ．8种

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014•四川）复数= _________ ．

12．（5分）（2014•四川）设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=

，则f （）= _________ ．

13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 _________ m ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）

14．（5分）（2014•四川）设m ∈R ，过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m+3=0交于点P （x ，y ）．则|PA|•|PB|的最大值是 _________ ．

15．（5分）（2014•四川）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ（x ）组成的集合：对于函数φ（x ），存在一个正数M ，使得函数φ（x ）的值域包含于区间[﹣M ，M ]．例如，当φ1（x ）=x 3，φ2（x ）=sinx 时，φ1（x ）∈A ，φ2（x ）∈B ．现有如下命题：

①设函数f （x ）的定义域为D ，则“f （x ）∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f （a ）=b ”； ②函数f （x ）∈B 的充要条件是f （x ）有最大值和最小值；

③若函数f （x ），g （x ）的定义域相同，且f （x ）∈A ，g （x ）∈B ，则f （x ）+g （x ）∉B ． ④若函数f （x ）=aln （x+2）+

（x ＞﹣2，a ∈R ）有最大值，则f （x ）∈B ．

其中的真命题有 _________ ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题12分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记数列1

{}n a 的前n 项和n T ，求得使1|1|1000

n T -<成立的n 的最小值。

17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次

击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

18.（本小题满分12分）

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N 。

（I ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （II ）证明：直线//MN 平面BDH

（III ）求二面角A EG M --余弦值

G

F

H

E

C D

A B

M

E

D C

A B

19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n }的公差为d ，点（a n ，b n ）在函数f （x ）=2x 的图象上（n ∈N *）．

（1）若a 1=﹣2，点（a 8，4b 7）在函数f （x ）的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； （2）若a 1=1，函数f （x ）的图象在点（a 2，b 2）处的切线在x 轴上的截距为2﹣，求

数列{

}的前n 项和T n ．

20.（本小题13分）如图，椭圆2

2

22:

1+

=x y E a

b

的离心率是

2

2

，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点。当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2。

（1） 球椭圆E 的方程； （2）

在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得

=

QA PA

QB PB

恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

21．（14分）（2014•四川）已知函数f （x ）=e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1，其中a ，b ∈R ，e=2.71828…为自然对数的底数．

（1）设g （x ）是函数f （x ）的导函数，求函数g （x ）在区间[0，1]上的最小值；