ch9-3第三讲曲面及其方程共5页
曲面及其方程、二次曲面-PPT
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
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例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
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这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
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《曲面及其方程》PPT课件
x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 () 其特点是：平方项系数相等，交叉项系数为零．
方程 (*) 称为球面的一般式方程， 经配方后可化为球面的标准方程．
中值定理与导数的应用
4
特别地：球心在坐标原点时， 球面方程为 x2 y2 z2 R2
中值定理与导数的应用
5
例2 求与原点O 及点 M0(2,3,4)的距离之比为1 : 2 的点的全体所组成的曲面方程．
1
双曲柱面 母线//z
轴
其在 xoy 面上的准线为
x2
a
2
y2 b2
1.
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 母线//y 轴
其在 zox 面上的准线为
x2 2 pz
.
y 0 中值定理与导数的应用
19
椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
母线 // z 轴，
其在 xoy 面上的
准线是椭圆
x2
母线平行于 y 轴的柱面，
其在
zox
面上的准线方程是
H ( x, z) y0
0 .
注意 x2 y2 0的图形是什么？ z 轴．
中值定理与导数的应用
18
例如
y2 z2 b2 c2 1
椭圆柱面
母线 //x 轴
其在 yoz 面上的准线为
y2
b2
z2 c2
1.
x 0
x2 a2
y2 b2
而生成的旋转面方程 f ( y, x2 z2 ) 0.
例如 yoz 面上的圆 y2 z2 R2 绕 z 轴旋转生成
球面 ( x2 y2 )2 z2 R2，即 x2 y2 z2 R2 .
一般地 xoy 面上的曲线 g( x, y) 0绕 x 轴旋转一周
《曲面及其方程》课件
02
常见曲面及其方程
平面
总结词：二维平面
详细描述：平面是一种常见的曲面，它在三维空间中表现为一个无限延展且没有 厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面，它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式，它通过引 入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应 的坐标表达式组成，例如，平面上的圆心为 $(h, k)$，半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰 地表达曲面的形状和大小，并且可以通过调 整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面，它可以由多种方式形成，如旋转、平移、 拉伸等。根据形成方式的不同，曲面可以分为多种类型，如球面、锥面、柱面 等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示，其中 两个参数（u和v）用于描述曲面 上的点。通过参数方程，可以方 便地研究曲面的几何性质和变换
方法。
曲面及其方程
y
绕 y 轴一周
得 :旋转单叶双曲面
o
a
x
x2 + z2 y2 − 2 =1 2 a b
z
.
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
z
.
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
yoz 面上直线方程为 z = y cot α
x
α
圆锥面方程
o
y
z = ± x 2 + y 2 cot α
例5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x y （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 y 轴和 x轴； a b
绕 y 轴旋转,得
x2 + z2 a2 − y2 b2 = 1 旋转单叶双曲面
⎧ f ( y, z ) = 0 绕 z 轴 曲线 C : ⎨ ⎩x = 0
z
旋转一周得旋转曲面 S
P M
N ( 0, y 1 , z 1 )
.
∀ M(x,y,z) ∈ S
f (y1, z1)=0
z1 = z
.
S
z o
z1
C
| y1 |= MP =
x +y
2
2
y1
y
y1 = ± x 2 + y 2
∴ S： f ( ± x + y , z ) = 0
4⎞ 116 2⎞ ⎛ 2 ⎛ ⎜ x + ⎟ + ( y + 1) + ⎜ z + ⎟ = 3⎠ 9 3⎠ ⎝ ⎝
03曲面及其方程、二次曲面27851 35页PPT
cz22
1
双叶双曲面
z
o
y
x
oy x
30.08.2019
21
高等数学（下）主讲杨益民
习题8－3 4，5，7，8，9，10，11
30.08.2019
22
Thank you
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
30.08.2019
8
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
30.08.2019
15
高等数学（下）主讲杨益民
椭球面的几种特殊情况：
(1)
ab,
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 z2
a2
c2
1
或
y2 b2
z2 c2
1
y 0
x 0
绕z轴旋转而成。
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
30.08.2019
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时，得
目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。
曲面及其方程ppt
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
z
➢引例
方程 x2 y 2 R2 表示怎样得曲面、
➢分析
M
在xoy面上, x2 y 2 R2 表示圆C,
Co
y
M1
在圆C上任取一点 M1(x, y,0) ,
x
过M1作平行z轴得直线l, 其上所有点得坐标都满足方l 程,
(二次项系数不全为 0 )
得图形通常为二次曲面、 二次曲面得基本类型: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 研究二次曲面特性得基本方法: 截痕法
z
1、 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt ) 2
1,
zt
o yy xx
①
在平面 x＝0 或 y＝0 上得截痕为过原点得两直线 、 可以证明, 椭圆①上任一点与原点得连线均在曲面上、
准线为xoy 面上得椭圆、
x y 0
平面
母线平行于z轴
准线为xoy 面上得直线、
一般地,在空间
方程 F (x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线xoy 面上得曲线 l1、
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴; 准线 yoz 面上得曲线 l2、
方程 H (z, x) 0 表示 柱面,
表示怎样的曲面
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
z
➢概念
一条平面曲线绕其平面上
ch9-3可降阶的高阶方程1
例9 求方 y程 y3y的通 . 解
解 设 yp(y),则 y p dp,
dy
代入原方程得
pdp p3 p, 即pdp p3 p,
dy
dy
由 dp p2 1， dy
可 p t 得 a y C n 1 ,
ddxytanyC1,
原方程通解为 si y n C 1 C 2 e x .
两边积分，即可得到通 解．
例 6 求方 yy程 (y)20 的通解．
解 令y'p(y)， 则 y''p d p
dy
原方程化为
y pdp p2 0， dy
p 0时，有
ydp p， 即 dy
dp dy， py
得 ln pln y ln C 1，
即 p C 1y (显然p， 0 也包含)在内
于是有 ddxyC1y，即
(1x)yy1x 1y2dx 20
两 边 对 x求 导 ， 得
y
(1x)y1 1y2 可降阶的二阶方程
2
A(1,v t)
B(x, y)
（2）初始条件为 y(0 ) 0 , y (0 ) 0
OB
1A x
（3）解方程 令 y p , 则 y p
于是
2(1x)dp 1p2
dx
分离变量，得 dp dx 1p2 2(1x)
“红领巾”真好
厦门市松柏第二小学 吴小蔚
二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程． 可降阶的方程 通过变量替换降低阶数求解的方程．
二 阶 方 程 的 一F般 (x, 形 y, y,式 y)为 0
若x, y不全出现，可降为 方一 程阶 求解。
一形 . 如 y(n) f(x)的方程
通过积分可降阶
《ch空间曲面》课件
曲面上的点与向量
总结词
理解曲面上点的坐标表示，掌握向量在曲面上的投影和切线 向量
详细描述
在曲面上，点的坐标可以通过参数方程表示，即通过两个参 数t和s来确定。向量在曲面上的投影和切线向量是曲面的重 要几何属性，它们分别表示了向量在曲面上的方向和变化趋 势。
曲面的度量性质
总结词
理解曲面的长度、面积和体积等度量性质，掌握曲面的曲率、挠率和渐近线等几 何属性
参数方程的优点
参数方程可以方便地描述曲面的形状和位置，并且可以通过改变参 数的值来观察曲面形态的变化。
参数方程的应用
参数方程广泛应用于几何建模、计算机图形学等领域。
直角坐标方程表示
1 2
直角坐标方程
空间曲面可以用直角坐标方程表示，其中x、y、 z分别表示曲面上点的坐标。
直角坐标方程的优点
直角坐标方程简单明了，易于理解和计算。
曲面在一点邻域的性质
局部展开
切平面与切线
在曲面上任取一点，可以找到一个局部坐 标系，使得曲面在该点的邻域内可以展开 为一个平面或超平面。
在曲面上任取一点，可以找到一个切平面 ，该平面与通过该点的所有切线组成。
法线
切平面的垂线被称为法线。
总结
曲面在一点邻域的性质是描述曲面局部几 何特征的基础知识，它们在微分几何、计 算几何和几何建模等领域有广泛应用。
极坐标方程广泛应用于 几何建模、物理等领域 。
05
CATALOGUE
空间曲面的性质与定理
主方向与主曲率
主方向
在曲面上任取一点，可以找到两个互 相垂直的切线方向，这两个方向称为 该点处的主方向。
主曲率
总结
主方向和主曲率是描述曲面局部形状 的重要参数，它们在曲面分析、几何 建模和计算几何等领域有广泛应用。
空间解析几何
便得曲线C绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程． 同理，曲线C绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
f (y， x 2 z 2 )0．
例4 试建立顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶角为的圆 锥面的方程． 解 在yO z 坐标面点，直线L的方程为 zy cot ， 因为旋转轴为 z 轴， 所以只要将方程zy cot 中的y 改成
例如，方程 y 22x 表示母线平行于z轴的柱面， 它的准线是 xOy 面上的抛物线 y 22x，该柱面叫做抛物柱面． 其准线是xOy面 又如，方程xy0表示母线平行于z轴的柱面， 的直线xy0，所以它是过z 轴的平面． z
z y
y 22x O
O
x x
xy0
y
类似地，只含x、z而缺y的方程G(x，z)0和只含y、z而缺x的
x a
2 2
y z
2
2
c
2
1
z
y
O
x
绕 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程为
x y
2 2
a
2
z c
2 2
1
这两种曲面都叫做旋转双曲面．
z
y
O
x
三、柱面
例6 方程x 2y 2R 2表示怎样的曲面？
解 方程x 2y 2R 2在xOy 面上表 示圆心在原点O、半径为R的圆． 在空间直角坐标系中，这方程不 含竖坐标 z，即不论空间点的竖坐标 z 怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y x O R
准线
母线 L C O y x
上面我们看到，不含z的方程x 2y 2R 2在空间直角坐标系中 表示圆柱面， x 2y 2R 2． 一般地，只含x、y而缺z的方程F(x，y)0， 在空间直角坐标 系中表示母线平行于z 轴的柱面， 其准线是xOy 面上的曲线C： F(x，y)0． 它的母线平行于 z 轴，它的准线是xOy 面上的圆
曲面及其方程
（讨论柱面、二次曲面）
8
二、旋转曲面
定义 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
轴 . 旋转曲线称为该旋转曲面的母线.
旋转轴
例如 :
母线
9
旋转曲面
10
旋转曲面
11
旋转曲面
12
旋转曲面
13
旋转曲面
ax2 by2 cz2 dxy exz fyz gx hy iz j 0 .
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
一、曲面方程的概念
定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) = 0 有如下关系:
(1) S上任一点的坐标都满足 方程F (x, y, z) =0;
(2)坐标满足方程F (x, y, z) =0 的点都在S上;
z F (x, y, z) = 0
S
o
x
y
那 么, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面
半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R ， x
M
R
M0
o
y
即 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R ，
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 . ---球面的标准方程
第三节曲面及其方程选编
25
曲面及其方程
（二） 椭球面(椭圆面) (ellipsoid)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a 0,b 0,c 0)
由方程可知
x2 a2
1,
y2 b2
1,
z2 c2
1,
即
| x | a, | y | b, | z | c,
这说明椭球面包含在由平面 x a, y b, z c
(D) yOz平面上曲线(z a)2 y2绕x轴旋转所得曲面.
15
曲面及其方程
三、柱面 (cylindrical surface )
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为 柱面.
这条定曲线C 称为柱面的 准线,
动直线L称为柱面的 母线.
母
准线
线
LC
16
曲面及其方程
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
14
曲面及其方程
选择题
方程 (z a)2 x2 y2 表示( B ). (A) xOz平面上曲线 (z a)2 x2绕y轴旋转所得曲面; (B) xOz平面上直线z a x 绕z轴旋转所得曲面； (C) yOz平面上直线 z a y 绕y轴旋转所得曲面；
球 面 方 程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点, | MM0 | R
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R 所求方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
特殊 球心在原点的球面方程
x2 y2 z2 R2
圆的中心都在 z 轴上.
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第三讲Ⅰ 授课题目 §7.3 曲面及其方程 Ⅱ 教学目的与要求1、理解曲面与方程之间的关系，会建立简单曲面的方程；2、理解旋转曲面的概念，能建立旋转曲面的方程；3、理解柱面的概念，掌握柱面方程的特点；4、理解二次曲面的概念，知道二次曲面的方程与图形的对应关系。
Ⅲ 教学重点与难点重点：曲面方程的概念、旋转曲面、柱面。
难点：二次曲面的形状，截痕法，伸缩变形法。
Ⅳ 讲授内容一、曲面方程的概念在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 在这样的意义下, 如果曲面S 与三元方程F (x , y , z )=0有下述关系:(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程F (x , y , z )=0; (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程F (x , y , z )=0,那么, 方程F (x , y , z )=0就叫做曲面S 的方程, 而曲面S 就叫做方程F (x , y , z )=0的图形. 常见的曲面的方程:例1 建立球心在点M 0(x 0, y 0, z 0)、半径为R 的球面的方程. 解 设M (x , y , z )是球面上的任一点, 那么|M 0M |=R .即R z z y y x x =-+-+-202020)()()(,或 (x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.这就是球面上的点的坐标所满足的方程. 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程. 所以(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.就是球心在点M 0(x 0, y 0, z 0)、半径为R 的球面的方程.特殊地, 球心在原点O (0, 0, 0)、半径为R 的球面的方程为x 2+y 2+z 2=R 2.例2 设有点A (1, 2, 3)和B (2, -1, 4), 求线段AB 的垂直平分面的方程.解 由题意知道, 所求的平面就是与A 和B 等距离的点的几何轨迹. 设M (x , y , z )为所求平面上的任一点, 则有|AM |=|BM |, 即222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x .等式两边平方, 然后化简得2x -6y +2z -7=0.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以这个方程就是所求平面的方程.以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量x 、y 和z 间的方程通常表示一个曲面。
因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题:(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程;(2) 已知坐标x 、y 和z 间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状. 例3 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解 通过配方, 原方程可以改写成(x -1)2+(y +2)2+z 2=5.这是一个球面方程, 球心在点M 0(1, -2, 0)、半径为5=R . 一般地, 设有三元二次方程Ax 2+Ay 2+Az 2+Dx +Ey +Fz +G =0,这个方程的特点是缺xy , yz , zx 各项, 而且平方项系数相同, 只要将方程经过配方就可以化成方程(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.的形式, 它的图形就是一个球面. 二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴.设在yO z 坐标面上有一已知曲线C , 它的方程为f (y , z ) =0,把这曲线绕z 轴旋转一周, 就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面. 它的方程可以求得如下:设M (x , y , z )为曲面上任一点, 它是曲线 C 上点M 1(0, y 1, z 1)绕z 轴旋转而得到的. 因此有如下关系等式从而得 0) ,(22=+±z y x f ,这就是所求旋转曲面的方程.在曲线C 的方程f (y , z )=0中将y 改 成22y x +±, 便得曲线C 绕z 轴旋转所 成的旋转曲面的方程0) ,(22=+±z y x f .同理, 曲线C 绕y例4 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫做圆锥面. 两直线的交点叫做圆锥面的顶点, 两直线的夹角α (2 0πα<<)叫做圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O ,旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面的方程. 解 在yO z 坐标面内, 直线L 的方程为z =y cot α ,将方程z =y cot α 中的y 改成22y x +±, 就得到所要求的圆锥面的方程 或z 2=a 2 (x 2+y 2), 其中a =cot α .例5. 将zOx 坐标面上的双曲线12222=-cz a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 绕x 轴旋转所在的旋转曲面的方程为 绕z 轴旋转所在的旋转曲面的方程为这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面. 三、柱面例6 方程x 2+y 2=R 2表示怎样的曲面？解 方程x 2+y 2=R 2在xOy 面上表示圆心在原点O 、半径为R 的圆. 在空间直角坐标系中, 这方程不含竖坐标z , 即不论空间点的竖坐标z 怎样, 只要它的横坐标x 和纵坐标y 能满足这方程, 那么这些点就在这曲面上. 也就是说, 过xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2, 且平行于z 轴的直线一定在x 2+y 2=R 2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z 轴的直线l 沿xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2叫做它的准线, 这平行于z 轴的直线l 叫做它的母线.例6 方程x 2+y 2=R 2表示怎样的曲面？解 在空间直角坐标系中, 过xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2作平行于z 轴的直线l , 则直线l 上的点都满足方程x 2+y 2=R 2, 因此直线l 一定在x 2+y 2=R 2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z 轴的直线l 沿xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2叫做它的准线, 这平行于z 轴的直线l 叫做它的母线.柱面: 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C 叫做柱面的准线, 动直线L 叫做柱面的母线.上面我们看到, 不含z 的方程x 2+y 2=R 2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z 轴, 它的准线是xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2. 一般地, 只含x 、y 而缺z 的方程F (x , y )=0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面上的曲线C : F (x , y )=0.例如, 方程y 2=2x 表示母线平行于z 轴的柱面, 它的准线是xOy 面上的抛物线y 2 =2x , 该柱面叫做抛物柱面.又如, 方程 x -y =0表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面的直线 x -y =0, 所以它是过z 轴的平面.类似地, 只含x 、z 而缺y 的方程G (x , z )=0和只含y 、z 而缺x 的方程H (y , z )=0分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面.例如, 方程 x -z =0表示母线平行于y 轴的柱面, 其准线是zOx 面上的直线 x -z =0. 所以它是过y 轴的平面. 四、二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似, 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面.怎样了解三元方程F (x , y , z )=0所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的立体形状. 这种方法叫做截痕法.研究曲面的另一种方程是伸缩变形法:设S 是一个曲面, 其方程为F (x , y , z )=0, S '是将曲面S 沿x 轴方向伸缩λ倍所得的曲面. 显然, 若(x , y , z )∈S , 则(λx , y , z )∈S '; 若(x , y , z )∈S ', 则S z y x ∈) , ,1(λ.因此, 对于任意的(x , y , z )∈S ', 有0) , ,1(=z y x F λ, 即0) , ,1(=z y x F λ是曲面S '的方程.例如，把圆锥面2222z a y x =+沿y 轴方向伸缩ab倍, 所得曲面的方程为 2222)(z a y b a x =+, 即22222z by a x =+.(1)椭圆锥面由方程22222z by a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面.圆锥曲面在y 轴方向伸缩而得的曲面.把圆锥面2222za y x =+沿y 轴方向伸缩ab 倍, 所得曲面称为椭圆锥面22222z b y a x =+. 以垂直于z 轴的平面z =t 截此曲面, 当t =0时得一点(0, 0, 0); 当t ≠0时, 得平面z =t 上的椭圆 当t 变化时, 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆, 当|t |从大到小并变为0时, 这族椭圆从大到小并缩为一点. 综合上述讨论, 可得椭圆锥面的形状如图. (2)椭球面由方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面称为椭球面.球面在x 轴、y 轴或z 轴方向伸缩而得的曲面.把x 2+y 2+z 2=a 2沿z 轴方向伸缩a c 倍, 得旋转椭球面122222=++cz a y x ; 再沿y 轴方向伸缩a b倍, 即得椭球面1222222=++cz b y a x .(3)单叶双曲面由方程1222222=-+cz b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面. 把zOx 面上的双曲线12222=-c z a x 绕z 轴旋转, 得旋转单叶双曲面122222=-+cz a y x ; 再沿y 轴方向伸缩a b 倍, 即得单叶双曲面1222222=-+cz b y a x .(4)双叶双曲面由方程1222222=--cz b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面.把zOx 面上的双曲线12222=-c z a x 绕x 轴旋转, 得旋转双叶双曲面122222=+-cy z a x ; 再沿y 轴方向伸缩c b 倍, 即得双叶双曲面1222222=--cz b y a x .(5)椭圆抛物面由方程z by a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面. 把zOx 面上的抛物线za x =22绕z 轴旋转, 所得曲面叫做旋转抛物面z a y x =+222, 再沿y 轴方向伸缩a b 倍, 所得曲面叫做椭圆抛物面z by a x =+2222(6)双曲抛物面.由方程z by a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面.双曲抛物面又称马鞍面.用平面x =t 截此曲面, 所得截痕l 为平面x =t 上的抛物线此抛物线开口朝下, 其项点坐标为),0 ,(22a t t . 当t 变化时, l 的形状不变, 位置只作平移, 而l 的项点的轨迹L 为平面y =0上的抛物线因此, 以l 为母线, L 为准线, 母线l 的项点在准线L 上滑动, 且母线作平行移动, 这样得到的曲面便是双曲抛物面.还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面: 依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面. Ⅴ 小结与提问小结：1、曲面方程的概念、旋转曲面方程的概念、柱面方程的概念。