运筹学第二章对偶规划
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运筹学第二章对偶规划
MaxW 4000 y1 10 y2 30 y3 1000 y1 0.6 y2 17.5 y3 8(合成药丸I的成本 甲食品市价 ) 1500 y1 0.27 y2 7.5 y3 5(合成药丸II的成本 乙食品市价) 1750 y1 0.68 y2 0 y3 9 (合成药丸III的成本 丙食品市价) 3250 y 0.3 y 30 y 15 (合成药丸IV 的成本 丁食品市价) 1 2 3 y1 , y2 , y3 0
代入式（2-2），并令 C B B
1 1
Z C B B b (C N C B B N ) X N C B X B C B B BX B b (C A) X
（2-4）
1
单纯形乘子
略讲
三、单纯形表格的矩阵形式：
cj CB CN
xj
CB XB b
X
T B
(3) MinZ 4 x1 2 x2 3 x3 4 x1 5 x2 6 x3 7 8 x1 9 x2 10 x3 11 s .t . 14 12 x1 13 x2 x1 0, x3 0, x2符号不限 令x x 1 1
检验数 ＝(C N C B B 1 N ) 0 ( 0)时，已得到最优。
1
1
第1节 对偶问题的提出
一、对偶思想 1. 对偶思想举例---矩形的面积与周长关系的 两种表述： 周长一定的矩形中，以正方形面积最大； 面积一定的矩形中，以正方形周长最小； 对偶是指对同一问题从不同的角度观察， 得到两种独立的表述的思想。
令 N C N C B B 1 N 得 Z C B B 1b N X N （2 2）
代入式（2-2），并令 C B B
1 1
Z C B B b (C N C B B N ) X N C B X B C B B BX B b (C A) X
（2-4）
1
单纯形乘子
略讲
三、单纯形表格的矩阵形式：
cj CB CN
xj
CB XB b
X
T B
(3) MinZ 4 x1 2 x2 3 x3 4 x1 5 x2 6 x3 7 8 x1 9 x2 10 x3 11 s .t . 14 12 x1 13 x2 x1 0, x3 0, x2符号不限 令x x 1 1
检验数 ＝(C N C B B 1 N ) 0 ( 0)时，已得到最优。
1
1
第1节 对偶问题的提出
一、对偶思想 1. 对偶思想举例---矩形的面积与周长关系的 两种表述： 周长一定的矩形中，以正方形面积最大； 面积一定的矩形中，以正方形周长最小； 对偶是指对同一问题从不同的角度观察， 得到两种独立的表述的思想。
令 N C N C B B 1 N 得 Z C B B 1b N X N （2 2）
运筹学基础-线性规划(对偶)
第二章线性规划的对偶理论2.1对偶线性规划问题的提出任一线性规划问题都存在另一与之伴随的线性规划问题，他们从不同角度对一个实际问题提出并描述，组成一对互为对偶的线性规划问题。
一、对偶线性规划问题某工厂计划安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知每种单位产品的利润、生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、现有原材料和设备台时的定额如下表所示：【例1】ⅠⅡ设备128台时原材料A4016Kg原材料B0412Kg每单位产品利润（万元）23⏹原问题的策略:⏹问应如何安排生产才能使工厂获利最大？⏹现在的策略:⏹假设不生产Ⅰ、Ⅱ产品,而是计划将现有资源出租或出售,从而获得利润,这时需要考虑如何定价才合理?2132x x f +=max ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0x ,x 12x 4 16 x 48x 2x .t .s 212121设x 1、x 2分别表示计划生产产品Ⅰ、Ⅱ的单位数量，由题意原问题的模型为：工厂获得最大利润符合资源限制原材料A 原材料B0412Kg每单位产品利润（万元）23原问题的模型改变策略后，需要考虑如何给资源定价的问题！设y 1、y 2 、y 3分别表示出租单位设备台时的租金和出售单位原材料A 、B 的利润.y 1+4y 2≥2，2y 1+4y 3≥3则：❑工厂出租设备、原材料的租金要大于生产的利润才合算。
321y 12y 16y 8g min ++=工厂把所有设备台时和资源都出租和出让，用户支付为：❑要寻找使租用者支付的租金最少的策略。
原材料A 原材料B0412Kg每单位产品利润（万元）23⏹新问题的模型工厂改变策略以后的数学模型为：321y 12y 16y 8g min ++=⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥+≥+3,2,1,034y 2y 24y y ..3121i y t s i工厂获得相应利润用户所付租金最少32112168min y y y g ++=⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥+≥+3,2,1,034y 2y 24y y ..3121i y t s i2132x x f +=max ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,12416482..212121x x x x x x t s 联系在于，它们都是关于工厂生产经营的模型,并且使用相同的数据；原模型和对偶模型既有联系又有区别区别在于,它们所反映的实质内容是完全不同的：前者是站在工厂经营者的立场上追求工厂的销售收入最大，而后者则是站在谈判对手的立场上寻求应付工厂租金最少的策略。
运筹学2-对偶规划(天津理工大学经管系)
RHS -CBB-1b
0
B-1A
B-1
B-1b
单纯形表和对偶(2)
原始问题 对偶问题
min z=CTX s.t. AX ≤ b X ≥0
引进松弛变量
max y=bTW s.t. ATW≤C W≤0
引进松弛变量
min z=CTX s.t. AX+XS=b X, XS≥0
max y=bTW s.t. ATW+WS=C W ≤0, WS≥0
Y，Ys
XTYS=0 , YTXS=0
互补松弛关系
原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数 max z=CX s.t. AX+XS=b X, XS ≥0 max w=Yb s.t. YA−YS=C Y, YS ≥0
n n X m Y m XS
A
YS
I
= b
AT
−I
= C
XTYS=0 YTXS=0
m
n
对偶的定义
max w= -Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
2、可行解的目标函数值之间的关系(弱对偶定理） 弱对偶定理） 弱对偶定理 设XF、YF分别是原始问题和对偶问题的可行解
z=CXF ≤YAXF ≤ YFb=w
3、最优解的目标函数值之间的关系(强对偶定理 强对偶定理) 强对偶定理 设X*、Y*分别是原始问题和对偶问题的最优解
1
0
z 1
A
X C B T B -1 A-C T
I
XS C B T B -1
b
RHS C B T B -1 b
0
z 1
B -1 A
X W ST
B -1
XS WT
B -1 b
RHS C BTB -1b
0
B-1A
B-1
B-1b
单纯形表和对偶(2)
原始问题 对偶问题
min z=CTX s.t. AX ≤ b X ≥0
引进松弛变量
max y=bTW s.t. ATW≤C W≤0
引进松弛变量
min z=CTX s.t. AX+XS=b X, XS≥0
max y=bTW s.t. ATW+WS=C W ≤0, WS≥0
Y，Ys
XTYS=0 , YTXS=0
互补松弛关系
原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数 max z=CX s.t. AX+XS=b X, XS ≥0 max w=Yb s.t. YA−YS=C Y, YS ≥0
n n X m Y m XS
A
YS
I
= b
AT
−I
= C
XTYS=0 YTXS=0
m
n
对偶的定义
max w= -Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
2、可行解的目标函数值之间的关系(弱对偶定理） 弱对偶定理） 弱对偶定理 设XF、YF分别是原始问题和对偶问题的可行解
z=CXF ≤YAXF ≤ YFb=w
3、最优解的目标函数值之间的关系(强对偶定理 强对偶定理) 强对偶定理 设X*、Y*分别是原始问题和对偶问题的最优解
1
0
z 1
A
X C B T B -1 A-C T
I
XS C B T B -1
b
RHS C B T B -1 b
0
z 1
B -1 A
X W ST
B -1
XS WT
B -1 b
RHS C BTB -1b
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用
对偶问题同时解
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
运筹学(第2章 线性规划的对偶理论)
min w 15 y1 24 y 2 5 y 3 6 y 2 y 3 y4 2 s.t 5 y1 2 y 2 y 3 y5 1 yi 0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如 下表：
原问 题最 优表
XB x3 x1 x2
-2 3 -3 1 5 7 1 -4 -6
2 y1 3 y2 y3 2 3 y y 4 y 3 1 2 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y1 , y2 , y3 0
(2) 非对称型对偶问题 若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对 称形式再写对偶问题。也可直接按教材表2-2中的对 应关系写出非对称形式的对偶问题。
y2
y3
1/4
1/2
-4/5
15/2 15/2
1
0 0
0
1 0
-1/4
1/2 7/2
1/4
-3/2 3/2
j
原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系： 在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶 问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问 题的变量。
弱对偶性；强对偶性；
最优性; 无界性; 互补松弛性
性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题 min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≤0
对偶性质（Dual property）
性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等， 即 max z min w
故
证明：将原问题化成标准形式
m ax z c j x j
j 1 n n
yi 0 (i 1,, m)
是对偶问题的可行解, 又因
运筹学第二章线性规划的对偶理论
(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学概论 第2章 线性规划的对偶理论
第二章 线性规划的对偶理论
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格
2020/4/29
第一节 线性规划的对偶问题
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船 对偶是一种普遍现象
2020/4/
一、对偶问题的提出
例1 美佳公司计划制造甲、乙两种家电产品，已知制造一件甲需占用B 设备5小时，调试工序1小时；制造一件乙需占用A设备6小时，B设备2 小时，调试工序1小时； A设备每天可用15小时， B设备可用24小时， 调试工序每天可用5小时。已知售出一件甲获利2元，售出一件乙获利1 元，问该公司每天应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？
x1,x2,x3,x4 0
假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们 谈判原料价格的模型是怎样的？
2020/4/29
●设A、B资源的出售价格分别为 y1 和 y2 ●显然商人希望总的收购价越小越好(目标) ●工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少（约束）
2020/4/29
maxZ x1 2x2 3x3 4x4
(2)
3y1 5y1
y2 y3 y3 4 6y2 y3 y3 3
(3) (4)
5y1 6y2 y3 y3 3
(5)
y1, y2 , y3, y3 0
(6)
y2=-y2’；y3=y3’-y3’’；（3）式 两端乘“-1”，（4）、（5）合并。
A’YC’
决策变量
X 0
Y 0
2020/4/29
min w Y 'b A 'Y C ' Y 0
max w ' Y 'b - A 'Y C ' Y 0
min z ' CX - AX b X 0
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格
2020/4/29
第一节 线性规划的对偶问题
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船 对偶是一种普遍现象
2020/4/
一、对偶问题的提出
例1 美佳公司计划制造甲、乙两种家电产品，已知制造一件甲需占用B 设备5小时，调试工序1小时；制造一件乙需占用A设备6小时，B设备2 小时，调试工序1小时； A设备每天可用15小时， B设备可用24小时， 调试工序每天可用5小时。已知售出一件甲获利2元，售出一件乙获利1 元，问该公司每天应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？
x1,x2,x3,x4 0
假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们 谈判原料价格的模型是怎样的？
2020/4/29
●设A、B资源的出售价格分别为 y1 和 y2 ●显然商人希望总的收购价越小越好(目标) ●工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少（约束）
2020/4/29
maxZ x1 2x2 3x3 4x4
(2)
3y1 5y1
y2 y3 y3 4 6y2 y3 y3 3
(3) (4)
5y1 6y2 y3 y3 3
(5)
y1, y2 , y3, y3 0
(6)
y2=-y2’；y3=y3’-y3’’；（3）式 两端乘“-1”，（4）、（5）合并。
A’YC’
决策变量
X 0
Y 0
2020/4/29
min w Y 'b A 'Y C ' Y 0
max w ' Y 'b - A 'Y C ' Y 0
min z ' CX - AX b X 0
运筹学：第2章 线性规划的对偶理论
y1 y2
ym
2021/4/18
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
1/5
0
-4/5
1
1/5 -1/5
j
0
4
0
3
3
x3
x4
x5
x1
x2
2021/4/18
31
§4 影子价格
假设有原问题和对偶问题如下：
max Z CX
minW bTY
AX b
ATY CT
X 0
Y 0
1、 对偶变量 yi 可理解为对一个单位第 i 种资源
的估价，称为影子价格，但并非市场价格。
2、 对偶变量 yi 的值（即影子价格）表示第 i 种资
若
n
yˆi 0, 则 aij x j bi ;
j 1
n
若
aij x j bi , 则yˆi 0.
j 1
2021/4/18
25
证明 由弱对偶性知：
n
mn
m
c j xˆ j
aij xˆ j yˆi bi yˆi
j 1
i1 j1
i 1
又因在最优解中 应为等式，即有
n
m
c j xˆ j bi yˆi
可以先将原问题化成规范的原问题，再写出对偶 问题。
2021/4/18
运筹学第2章 对偶理论
写出对偶问题
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 约束条件右端项 目标函数变量的系数 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数 约束条件右端项 变 量 约 束 条 件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以 有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最 终 表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初 始 表
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 约束条件右端项 目标函数变量的系数 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数 约束条件右端项 变 量 约 束 条 件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以 有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最 终 表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初 始 表
《运筹学》第二章 对偶问题
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
20
一组互为对偶的线性规划问题的解之间只有 下列三种情况:
(1)两个规划问题都有可行解(此时,两个规划问题都有最优 解,且最优值相等);
(2)两个规划问题都不可行; (3) 一个规划问题不可行,另一个规划问题有可行解,且具有
无界解。
21
（4）互补松弛性： 在线性规划问题的最优解中，
则 aij xj * = bi ；
bi , 则 y i* = 0 (4)’ 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中， 则 aij yi * = cj ；
>cj , 则 xj* = 0
n
若 y i * >0,
j=1 n
若 a ij xj * <
j=1
m
若 x j * >0,
i=1 m
若 a ij yi*
i=1 22
m
= 证b：i y∵i*
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
对偶问题的对 偶还是原问题
14
• 练习 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 4x1 3x2 2x3
4x1
运筹学-第二章 线性规划的对偶理论
解：用（-1）乘以第二个约束方程 两边 min S=x1+2x2 +3x3 2x1+3x2 + 5x3 ≥ 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 ≥ -3 y2 x1 ，x2 ， x3 ≥ 0
s.t.
该问题的对偶问题： 该问题的对偶问题：
max z = 2 y1 - 3y2 s.t. 2y1- 3y2 ≤ 1 3y1- y2 ≤ 2 5y1- 7y2 ≤ 3 y 1， y 2 ≥ 0
例2-6：写出下列线性规划问题的 对偶问题 s.t. min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 x1 + x2 - x3 ≥ 5 2x1 + x3 = 4 x1 ，x2 ， x3 ≥ 0
解：将原问题的约束方程写成不等式 约束形式： 约束形式： min S = 2x1 + 3x2 - 5x3 x1 + x2 - x3 ≥ 5 y1 2x1 + x3 ≥ 4 y 2’ -2x1 - x 3 ≥ -4 y 2” x1 ，x2 ， x3 ≥ 0
例：max Z=2x1+3x2 max s.t. 2x1+2x2 +x3≤ 12 4x1 +x4≤ 16 5x2+x5 ≤15 x1,x2 ≥ 0
原问题变量 原问题松弛变量
CB 基 2 x1 0 x4 3 x2 Cj-zj
b 3 4 3
x1 1 0 0 0
x2 0 0 1 0
x3 -2 0 -1
如果模型(2.1)称为原问题， 如果模型(2.1)称为原问题， (2.1)称为原问题 则模型(2.2)称为对偶问题。 则模型(2.2)称为对偶问题。 (2.2)称为对偶问题 任何线性规划问题都有对偶问题， 任何线性规划问题都有对偶问题， 而且都有相应的意义。 而且都有相应的意义。
运筹学第2章线性规划的对偶问题
第2章 线性规划的对偶理论 与灵敏度分析
§2.1 线性规划的对偶问题
随着线性规划应用的逐步加深，人们发现每一个线性规 划问题都存在一个与之对应的、具有密切关联的线性规 划问题，其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题 （Dual linear programming，DLP）。对偶问题不仅具有 优良的数理性质，而且还有着重要的实际意义，尤其在 生产运营管理中有明显的经济含义。对偶理论充分显示 出线性规划理论逻辑上的严谨性和结构上的对称性，使 线性规划理论更加丰富，应用领域更为广泛。
yi 0 (i 1,2,3)
则得如下的线性规划模型：
min w 48 y1 20 y2 8 y3 8 y1 4 y2 2 y3 600 6 y 2 y2 1.5 y3 300 s.t. 1 y1 1.5 y2 0.5 y3 200 y , y , y 0 1 2 3
max z 2 y1 5 y2 9 y3 y1 3 y2 2 y3 3 2 y y 2 y 1 1 2 3 5 y1 y2 3 y3 1 y1无约束,y2 0, y3 0,
max z 600 x1 300 x2 200 x3 8 x1 6 x2 x3 48 4 x1 2 x2 1.5 x3 20 s.t 2 x1 1.5 x2 0.5 x3 8 x , x , x 0 1 2 3
x1 2, x2 0, x3 8
（2.1.6）
设 yi (i 1,2,, m) 表示第i种资源的定价，则其对偶问 题的形式为：
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 a y a y ... a y c 12 1 22 2 m2 m 2 s.t. a y a y ... a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 , , ym 0
§2.1 线性规划的对偶问题
随着线性规划应用的逐步加深，人们发现每一个线性规 划问题都存在一个与之对应的、具有密切关联的线性规 划问题，其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题 （Dual linear programming，DLP）。对偶问题不仅具有 优良的数理性质，而且还有着重要的实际意义，尤其在 生产运营管理中有明显的经济含义。对偶理论充分显示 出线性规划理论逻辑上的严谨性和结构上的对称性，使 线性规划理论更加丰富，应用领域更为广泛。
yi 0 (i 1,2,3)
则得如下的线性规划模型：
min w 48 y1 20 y2 8 y3 8 y1 4 y2 2 y3 600 6 y 2 y2 1.5 y3 300 s.t. 1 y1 1.5 y2 0.5 y3 200 y , y , y 0 1 2 3
max z 2 y1 5 y2 9 y3 y1 3 y2 2 y3 3 2 y y 2 y 1 1 2 3 5 y1 y2 3 y3 1 y1无约束,y2 0, y3 0,
max z 600 x1 300 x2 200 x3 8 x1 6 x2 x3 48 4 x1 2 x2 1.5 x3 20 s.t 2 x1 1.5 x2 0.5 x3 8 x , x , x 0 1 2 3
x1 2, x2 0, x3 8
（2.1.6）
设 yi (i 1,2,, m) 表示第i种资源的定价，则其对偶问 题的形式为：
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 a y a y ... a y c 12 1 22 2 m2 m 2 s.t. a y a y ... a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 , , ym 0
(运筹学第二章)线性规划的对偶理论
第二章线性规划的对偶理论1．对偶问题的提出2．原问题与对偶问题3．对偶问题的基本性质4．影子价格5对偶单纯形法5．对偶单纯形法6．灵敏度分析7．参数线性规划1§1．对偶问题的提出原问题设某企业有m种资源用于生产n种不同产品，各种（i=1m）又生产单位第j种资源的拥有量分别为b i （i=1，…，m），又生产单位第j种产品（j=1，…，n）消费第i种资源a ij 单位，产值为c j 元。
用x 代表第j种产品的生产数量，为使该企业产值最大，可将上述问题建立线性规划模型j 将上述问题建立线性规划模型：max z =c 1x 1+c 2x 2+…+c n x n a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n ≤b 1a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n ≤b 2………………2a m 1x 1+a m 2x 2+…+a m n x n ≤b m x 1，x 2，…，x n ≥0§1．对偶问题的提出现在从另一角度提出问题：假定有另一企业欲将上述企业拥有的资源收买过来，至少应付出多少代价，才能使前一拥有的资源收买过来，至少应付出多少代价，才能使前企业愿意放弃生产活动，出让资源。
设用y i 代表收买该企业一单位i种资源时付给的代价，则总收买价为：ωb ω = b1y 1＋…＋b m y m 前一企业生产一单位第j种产品时，消耗各种资源的数量分别为a 1j ，a 2j ，…，a mj ，如果出让这些资源，价值应不低于单位j种产品的价值c j 元，因此：a 1 j y 1+ a 2 j y 2 + …+ a m j y m ≥ c j 3j j j j （j =1，…，n）§1．对偶问题的提出对后一企业来说，希望用最小代价把前一企业所有资源收过来此有有资源收买过来，因此有：min ω=b1y 1＋b 2y 2＋…＋b m y m a11y 1+a 21y 2+…+a m 1y m ≥c 1a 12y 1+a 22y 2+…+a m 2y m ≥c 2………………a 1n y 1+a 2n y 2+…+a mn y m ≥c ny 1，y 2，…，y m ≥04§1对偶问题的提出§1．对偶问题的提出max z = c 1x 1+ c 2x 2+ … + c n x na x +a x ++a xb a 1 1x 1+ a 1 2x 2 + … + a 1 n x n ≤b 1a 2 1x 1+ a 2 2x 2 + … + a 2 n x n ≤b 2………………a m 1x 1+ a m 2x 2 + … + a m n x n ≤b mmin ω = b 1y 1＋b 2y 2＋…＋b m y mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥0a 1 1y 1+ a 21 y 2 + … + a m 1y m ≥c 1a 1 2y 1+ a 22y 2 + … + a m 2y m ≥c 2………………a 1n y + a 2n y 2+ … + a y ≥c 51 n 12 n 2 mn m ny 1，y 2，… ，y m ≥0§2．原问题与对偶问题后一个线性规划问题是前一个问题从不同角度作的阐述如前者称为线性规划问的话的阐述。
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（2-4）
1
单纯形乘子
略讲
三、单纯形表格的矩阵形式：
cj CB CN
xj
CB XB b
X
T B
X
T N
j
C
Байду номын сангаас
T B
XB
Z
B b
CB B b
1
1
B B
0
1
B N
1
1
CN CB B N
略讲
第2节 改进单纯形法（自学）
非基变量X N 表示的消去系统：
z C B B b (C N C B B N ) X N X B B 1b B 1 NX N
(特点：等式约束)
特点：对偶变量符号 不限，系数阵转置。
为什么？证明略。看一个具体例子：
例4 写出下面线性规划的对偶规划：
(1) MinZ 4 x1 2 x 2 3 x 3 4 x1 5 x2 6 x3 7 s .t . 12 x1 13 x2 14 x ,x ,x 0 1 2 3 解 MinZ 4 x1 2 x2 3 x3
不等式变号，“极大”变“极小”
例3 写出下面线性规划的对偶规划
MaxZ 2 x1 x 2 3x1 4 x 2 15 s.t.5 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2
MinW 15 y1 10 y 2 3 y1 5 y 2 2 s.t. 4 y1 2 y 2 1 y ,y 0 1 2
MinZ 8 x1 5 x2 9 x3 15 x4 1000 x1 1500 x2 1750 x3 3250 x4 4000(国际单位维生素A) （毫克维生素B） 0.6 x1 0.27 x2 0.68 x3 0.3 x4 10 (毫克维生素C ) 17.5 x1 7.5 x2 30 x4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
A ( P1 , P2 , Pm ,..., Pn ) ( B, N )
略讲
将分块形式代入矩阵形式标准型，得出 两个基本表达式： （1）由约束条件
XB AX ( B , N ) BX B NX N b XN
可得 用非基变量表示基变量的表达式：
X B B (b NX N ) B b B NX N
1
(CB CB B B) X B 0
C B X B C B B BX B 0
1
1
代入式（2-2），并令 C B B
1 1
Z C B B b (C N C B B N ) X N C B X B C B B BX B b (C A) X
令y1 y1 y2
令y1 y1 y2
MaxW 7 y1 14 y2 4 y1 12 y2 4 5 y1 13 y2 2 s .t . 3 6 y1 y2 0, y1无符号约束
等式约束对应的对偶变量无符号约束。
4 x1 5 x2 6 x3 7 4 x1 5 x2 6 x3 7 s .t . 14 12 x1 13 x2 x1 , x2 , x3 0
MinZ 4 x1 2 x2 3 x3 4 x1 5 x2 6 x3 7 4 x1 5 x2 6 x3 7 s .t . 14 12 x1 13 x2 x1 , x2 , x3 0 MaxW 7 y1 7 y2 14 y2 4 y1 4 y2 12 y2 4 5 y1 5 y2 13 y2 2 s .t . 3 6 y1 6 y2 y1 , y2 , y2 0
MaxW 4000 y1 10 y2 30 y3 1000 y1 0.6 y2 17.5 y3 8(合成药丸I的成本 甲食品市价 ) 1500 y1 0.27 y2 7.5 y3 5(合成药丸II的成本 乙食品市价) 1750 y1 0.68 y2 0 y3 9 (合成药丸III的成本 丙食品市价) 3250 y 0.3 y 30 y 15 (合成药丸IV 的成本 丁食品市价) 1 2 3 y1 , y2 , y3 0
1
1
1
（2-1）
略讲
（2）将式（2-1）代入目标函数的表达 式，可得： 用非基变量表示目标函数的表达式：
XB Z CX (C B , C N ) C B X B C N X N XN C B ( B 1b B 1 NX N ) C N X N
构建对偶线性规划模型：
换一个角度，生产营养药制品公司力图制造各 种营养药品代替食品。于是，营养药品的单位成本 不能超过相应食品的市场价格。
制药公司面对的问题是为营养药品确定单价， 以获得最大的收益，同时与真正的食品竞争。
设每国际标准单位的维生素A,B,C价值为y1 , y2 , y3 :
由此得到下面的对偶问题：
MinW Yb max z CX YA C AX b s .t . 则定义其对偶问题为: Y 0 X 0
MinW b1 y1 b2 y2 bm ym a11 y1 a21 y2 a m 1 ym c1 a y a y a y c 22 2 m2 n 2 12 1 s .t . a y a y a y c 2n 2 mn n n 1n 1 y1 , y2 , , ym 0
C B B 1b C B B 1 NX N C N X N C B B b (C N C B B N ) X N
令 N C N C B B 1 N 得 Z C B B 1b N X N （2 2）
1 1
略讲
（3）借助一个恒等式推出用非基变量表 示目标函数的另一个等价表达式：
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的： Zmax=Wmin=14
表示对偶关系
3. 再举一个对偶问题的例子：
饮食与营养问题 例2 采购甲、乙、丙、丁 4 种食品量分别为x1，x2， x3，x4 单位，在保证人体所需维生素A、B、C前提 下，使总的花费最小。
甲 A B C 成本 利润 0.6 17.5 8 乙 0.27 7.5 5 丙 0.68 － 9 丁 0.3 30 15 需求量（国际单位） 4000 10 30 元 1000 1500 1750 3250
二、对偶问题的提出
例1 要求制定一个生产计划方案，在设备 和原材料可能供应的范围内，使得产品的 总利润最大 ：
设 备 材料A 材料B 利润 甲产品 1 4 0 2 x1 乙产品 2 0 4 3 x2 提供量 8台时 16kg 12kg 单位元
目标函数
maxZ＝2 x1 3 x2
x1 2 x2 8 设 备 转让设备与原材料， 4 x 16 材料A 1 约束条件 考虑转让费用多少 4 x2 12 材料B 同样达到利润目标。 x1 , x2 0 设yi为第i种单位资源的单位转让费用，则约束方程为： minw＝8 y1 16 y2 12 y3 （ 用 于 生 产 第 i 种 产 品
2. 非对称形式的对偶关系： （1） 原问题
MaxZ c j x j
j 1 n
（2） 对偶问题
MinW bi xi
i 1 m
n m i 1,2, , m aij x j bi j 1,2,, n aij yi c j s .t . j 1 s.t. i 1 x 0 yi符号不限， i 1,2,, m j 1,2, , n j
二、原问题和对偶问题的关系
1. 对称形式的对偶关系 （1）定义：若原问题是
max z CX AX b X 0
MaxZ c1 x1 c2 x 2 cn x n
a11 x1 a12 x2 a1 n x n b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 s .t . a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , , xn 0
(3) MinZ 4 x1 2 x2 3 x3 4 x1 5 x2 6 x3 7 8 x1 9 x2 10 x3 11 s .t . 14 12 x1 13 x2 x1 0, x3 0, x2符号不限 令x x 1 1
2 y1 4 y2 s.t 2 y1 4 y3 3 y ,y ,y 0 1 2 3
另一种思考方式：
的资源转让收益不小于 生产该种产品时获得的 利润）
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了设备和原 材料的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力。
对偶变量的经济意义可以解释为对设备及原 材料的单位定价 。 若工厂自己不生产甲和乙产品，将现有的设 备及原材料转为外租时，那么上述的价格系统能 保证不亏本又最富有竞争力（包工及原材料的总 价格最低）。
X N 0得到基可行解： X B B 1b, X N 0,目标值z C B B 1b
检验数 ＝(C N C B B 1 N ) 0 ( 0)时，已得到最优。
1
1
第1节 对偶问题的提出
一、对偶思想 1. 对偶思想举例---矩形的面积与周长关系的 两种表述： 周长一定的矩形中，以正方形面积最大； 面积一定的矩形中，以正方形周长最小； 对偶是指对同一问题从不同的角度观察， 得到两种独立的表述的思想。
由于对偶问题的对称性，则无符号约束的变量 对应的约束方程为等式约束。
1
单纯形乘子
略讲
三、单纯形表格的矩阵形式：
cj CB CN
xj
CB XB b
X
T B
X
T N
j
C
Байду номын сангаас
T B
XB
Z
B b
CB B b
1
1
B B
0
1
B N
1
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CN CB B N
略讲
第2节 改进单纯形法（自学）
非基变量X N 表示的消去系统：
z C B B b (C N C B B N ) X N X B B 1b B 1 NX N
(特点：等式约束)
特点：对偶变量符号 不限，系数阵转置。
为什么？证明略。看一个具体例子：
例4 写出下面线性规划的对偶规划：
(1) MinZ 4 x1 2 x 2 3 x 3 4 x1 5 x2 6 x3 7 s .t . 12 x1 13 x2 14 x ,x ,x 0 1 2 3 解 MinZ 4 x1 2 x2 3 x3
不等式变号，“极大”变“极小”
例3 写出下面线性规划的对偶规划
MaxZ 2 x1 x 2 3x1 4 x 2 15 s.t.5 x1 2 x 2 10 x , x 0 1 2
MinW 15 y1 10 y 2 3 y1 5 y 2 2 s.t. 4 y1 2 y 2 1 y ,y 0 1 2
MinZ 8 x1 5 x2 9 x3 15 x4 1000 x1 1500 x2 1750 x3 3250 x4 4000(国际单位维生素A) （毫克维生素B） 0.6 x1 0.27 x2 0.68 x3 0.3 x4 10 (毫克维生素C ) 17.5 x1 7.5 x2 30 x4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
A ( P1 , P2 , Pm ,..., Pn ) ( B, N )
略讲
将分块形式代入矩阵形式标准型，得出 两个基本表达式： （1）由约束条件
XB AX ( B , N ) BX B NX N b XN
可得 用非基变量表示基变量的表达式：
X B B (b NX N ) B b B NX N
1
(CB CB B B) X B 0
C B X B C B B BX B 0
1
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代入式（2-2），并令 C B B
1 1
Z C B B b (C N C B B N ) X N C B X B C B B BX B b (C A) X
令y1 y1 y2
令y1 y1 y2
MaxW 7 y1 14 y2 4 y1 12 y2 4 5 y1 13 y2 2 s .t . 3 6 y1 y2 0, y1无符号约束
等式约束对应的对偶变量无符号约束。
4 x1 5 x2 6 x3 7 4 x1 5 x2 6 x3 7 s .t . 14 12 x1 13 x2 x1 , x2 , x3 0
MinZ 4 x1 2 x2 3 x3 4 x1 5 x2 6 x3 7 4 x1 5 x2 6 x3 7 s .t . 14 12 x1 13 x2 x1 , x2 , x3 0 MaxW 7 y1 7 y2 14 y2 4 y1 4 y2 12 y2 4 5 y1 5 y2 13 y2 2 s .t . 3 6 y1 6 y2 y1 , y2 , y2 0
MaxW 4000 y1 10 y2 30 y3 1000 y1 0.6 y2 17.5 y3 8(合成药丸I的成本 甲食品市价 ) 1500 y1 0.27 y2 7.5 y3 5(合成药丸II的成本 乙食品市价) 1750 y1 0.68 y2 0 y3 9 (合成药丸III的成本 丙食品市价) 3250 y 0.3 y 30 y 15 (合成药丸IV 的成本 丁食品市价) 1 2 3 y1 , y2 , y3 0
1
1
1
（2-1）
略讲
（2）将式（2-1）代入目标函数的表达 式，可得： 用非基变量表示目标函数的表达式：
XB Z CX (C B , C N ) C B X B C N X N XN C B ( B 1b B 1 NX N ) C N X N
构建对偶线性规划模型：
换一个角度，生产营养药制品公司力图制造各 种营养药品代替食品。于是，营养药品的单位成本 不能超过相应食品的市场价格。
制药公司面对的问题是为营养药品确定单价， 以获得最大的收益，同时与真正的食品竞争。
设每国际标准单位的维生素A,B,C价值为y1 , y2 , y3 :
由此得到下面的对偶问题：
MinW Yb max z CX YA C AX b s .t . 则定义其对偶问题为: Y 0 X 0
MinW b1 y1 b2 y2 bm ym a11 y1 a21 y2 a m 1 ym c1 a y a y a y c 22 2 m2 n 2 12 1 s .t . a y a y a y c 2n 2 mn n n 1n 1 y1 , y2 , , ym 0
C B B 1b C B B 1 NX N C N X N C B B b (C N C B B N ) X N
令 N C N C B B 1 N 得 Z C B B 1b N X N （2 2）
1 1
略讲
（3）借助一个恒等式推出用非基变量表 示目标函数的另一个等价表达式：
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的： Zmax=Wmin=14
表示对偶关系
3. 再举一个对偶问题的例子：
饮食与营养问题 例2 采购甲、乙、丙、丁 4 种食品量分别为x1，x2， x3，x4 单位，在保证人体所需维生素A、B、C前提 下，使总的花费最小。
甲 A B C 成本 利润 0.6 17.5 8 乙 0.27 7.5 5 丙 0.68 － 9 丁 0.3 30 15 需求量（国际单位） 4000 10 30 元 1000 1500 1750 3250
二、对偶问题的提出
例1 要求制定一个生产计划方案，在设备 和原材料可能供应的范围内，使得产品的 总利润最大 ：
设 备 材料A 材料B 利润 甲产品 1 4 0 2 x1 乙产品 2 0 4 3 x2 提供量 8台时 16kg 12kg 单位元
目标函数
maxZ＝2 x1 3 x2
x1 2 x2 8 设 备 转让设备与原材料， 4 x 16 材料A 1 约束条件 考虑转让费用多少 4 x2 12 材料B 同样达到利润目标。 x1 , x2 0 设yi为第i种单位资源的单位转让费用，则约束方程为： minw＝8 y1 16 y2 12 y3 （ 用 于 生 产 第 i 种 产 品
2. 非对称形式的对偶关系： （1） 原问题
MaxZ c j x j
j 1 n
（2） 对偶问题
MinW bi xi
i 1 m
n m i 1,2, , m aij x j bi j 1,2,, n aij yi c j s .t . j 1 s.t. i 1 x 0 yi符号不限， i 1,2,, m j 1,2, , n j
二、原问题和对偶问题的关系
1. 对称形式的对偶关系 （1）定义：若原问题是
max z CX AX b X 0
MaxZ c1 x1 c2 x 2 cn x n
a11 x1 a12 x2 a1 n x n b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 s .t . a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , , xn 0
(3) MinZ 4 x1 2 x2 3 x3 4 x1 5 x2 6 x3 7 8 x1 9 x2 10 x3 11 s .t . 14 12 x1 13 x2 x1 0, x3 0, x2符号不限 令x x 1 1
2 y1 4 y2 s.t 2 y1 4 y3 3 y ,y ,y 0 1 2 3
另一种思考方式：
的资源转让收益不小于 生产该种产品时获得的 利润）
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了设备和原 材料的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力。
对偶变量的经济意义可以解释为对设备及原 材料的单位定价 。 若工厂自己不生产甲和乙产品，将现有的设 备及原材料转为外租时，那么上述的价格系统能 保证不亏本又最富有竞争力（包工及原材料的总 价格最低）。
X N 0得到基可行解： X B B 1b, X N 0,目标值z C B B 1b
检验数 ＝(C N C B B 1 N ) 0 ( 0)时，已得到最优。
1
1
第1节 对偶问题的提出
一、对偶思想 1. 对偶思想举例---矩形的面积与周长关系的 两种表述： 周长一定的矩形中，以正方形面积最大； 面积一定的矩形中，以正方形周长最小； 对偶是指对同一问题从不同的角度观察， 得到两种独立的表述的思想。
由于对偶问题的对称性，则无符号约束的变量 对应的约束方程为等式约束。