二项式定理优质课课件

合集下载

二项式定理优质课ppt课件

1
《观书有感》
朱熹,南宋著名理学家.
半亩方塘一鉴开, 天光云影共徘徊. 问渠那得清如许, 为有源头活水来.
2
探究1 推导 (a b)2的展开式.
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb a2 2ab b2
问：合并同类项前的展开式中，共有几项？能利用分步乘法计数原理解释一下吗？每项的次数为几次？
6
探究4：请分析 (a b)n的展开过程
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
项的形式： a n a n1b L a nk bk L bn
系数：
Cn0 Cn1
C
k n
Cnn
请利用组合的知识解释下为什么a nk bk的系
数是
C
k n
呢？
7
二项式定理: 一般地，对于nN*，有：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
直接利用二项式定理
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
14
1、巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5
2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。
（2）探究二项式系数
Cn0，Cn1，Cn2 ，，Cnn 有何性质.
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
问：展开式中第四项为？第四项的系数为？
第四项的二项式系数为？
那么对于 (2 x)5 的展开式呢？

二项式定理ppt课件

1
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项

[例 1] ( -

10
) 的展开式中,所有的有理项为

.
解析:二项展开式的通项为
-

Tk+1= (- ) .

-
由题意知
令

∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-

=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6

《二项式定理》课件

详细讲解证明二项式定理的思路。
3
关键步骤
介绍证明过程中的理解
通过具体的例子加深对二项式定理的理解。
3 应用场景
介绍二项式定理在实际问题中的应用场景。
2 二项式系数计算
介绍如何计算二项式系数。
拓展应用
单项式展开
讨论二项式定理在单项式展开中的应用。
多项式展开
讨论二项式定理在多项式展开中的应用。
《二项式定理》PPT课件
概述
• 二项式定理是数学中的一个重要定理。 • 本节将介绍二项式定理的概念及其历史背景。
公式表达
正式表达式
二项式定理的数学公式形式。
常见的形式
常见形式的二项式定理示例。
组合意义的解释
解释二项式定理中组合的概念。
数学证明
1
数学归纳法的证明
使用数学归纳法证明二项式定理。
2
阐述思路
字母代数式应用
介绍二项式定理在字母代数式中的应用。
总结
• 介绍二项式定理的重要作用。 • 分享学习的心得体验。 • 推广与应用二项式定理相关的知识。

第十章第三节二项式定理课件(共47张PPT)

赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，偶次项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1），奇次项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1） .令 x＝0，可得 a0＝f(0).
令
x＝1
代入2x－
1 x
6
＝1；
故所有项的系数之和为 1；故选 AC.]
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crn an－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
故选 B.]
3．(x＋1x －2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________．
解析：
法一：因为(x＋1x －2)6＝(
x
－
1 x
)12，所以其展开式的通项公
式为 Tr＋1＝C1r2 (
x
)12－r(－
1 x
)r＝Cr12
(－1)r(
x )12－2r＝Cr12 (－1)rx6－r，由 6
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an－kbk 是二项展开式的第 k 项．( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( ) 答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√

6.3.1二项式定理课件共15张PPT

和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广，
它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，
用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．
（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式
Tr 1 C a
r
率9％，按复利计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是
10×(1＋11％×10)＝21(万元);
本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋
9％)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a

b

C
a

C

n
例题讲评
例2：求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项：
根据题意，得
因此， 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家．他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一．他不仅
是一位物理学家、天文学家，
还是一位伟大的数学家．
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利

1.3.1二项式定理PPT优秀课件

二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
可用数学归纳法证明
基础训练：展开(p+q)7 解: (pq)7C7 0p7C1 7p6qC7 2p5q2C3 7p4q3 C7 4p3q4C5 7q2q5C7 6pq6C7 7q7
a 3 3 a 2 b 3 a2 bb 3
(a b)4 ？ (ab)100？ (a b)n ？
(n N )
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b )＝C02 a2＋C12 ab ＋C22 b2
选b
＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b )
变式训练：若求（ 1 2 x ) 5 的展开式呢？
解: ( 1 2 x ) 5 C 5 0 ( 2 x ) 0 C 1 5 ( - 2 x ) 1 C 2 5 ( 2 x ) 2
C 3 5 ( 23 x C 5 ) 4 ( 24 x C ) 5 5 ( 25 x
＝C0n an＋ C1nan-1b＋ C2nan-2b2＋ C3nan-3b3＋…＋Cknan-kbk＋…＋ Cnn bn
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
组合数公式：C n mA A n m m mn(nm 1 ()m (n 1 )2 ()m (2 n )m 11 )
引入：
（a b)2 a22abb2

《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文

展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数：展开式共有n＋1项.
②次数：各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业：课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x

二项式定理课件(公开课)

b4 都不取 b 取一个 b 取两个 b 取三个 b 取四个 b
系数
C0 4
C1 4
2 C4
C3 4
C4 4
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
归纳提高将(a + b) n展开的结果又是怎样呢？发现规律 (a b)( a b) (a b) n 对于（a+b） =
问题一：的展开式共有多少项？为什么？每一项是怎么构成的？
共 2 2 2 8 项
问题二 :
若，式中又是什么？，则展开
(a+b)3 = C30a3 + C31a2b + C32ab2 + C33 b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
问题三：
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？问题：
1 4 例1：展开（1＋ ) x
x 系数和第六项的系数.
例二：展开 (2 x
1
) ，并求x 1) 解: ( 2 x x x 1 6 1 5 2 4 3 [(2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) x 3 3 4 2 5 1 6 0 C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) ]
n个
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r 个括号中取b(其余括号中取a)的组合数 Cnr.那么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？引出定理，总结特征 (a+b)n = Cn0an + Cn1an-1b + Cn2an-2b2 +

第三节二项式定理课件(共36张PPT)

其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck4(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2，所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2，所以x3y2的系数是6×2＝12.
法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系数是C24·C12·C11＝12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．
角度几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x－3) 1＋1x 6 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为( ) A．－73 B．－61 C．－55 D．－63 (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________．解析：(1)(2x－3)1＋1x6的展开式中所有项的系数和为 (2－3)(1＋1)6＝－64，(2x－3)1＋1x6＝
为( )
A．－1
B．1
C．32
解析：由题意可得CC6162aa54bb＝2＝－13158，，
D．64
解得ab＝＝1－，3，或ab＝＝－3. 1，则(ax＋b)6＝(x－3)6，令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D. 答案：D
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋
[例2] (1)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )

二项式定理PPT教学课件

12n n
(2)当 3 q 1 时,求 lim An
n 2n
【思维点拨】：本题逆用了二项式定理及
C
0 n
C
1 n
C
n n
2n
例4、若 2x 3 4= a0 a1x a2 x 2 a3 x3 a4 x 4，
求（1） a0 a2 a4 2― a1 a3 2的值。
（2） a0 a1 a2 a3 的值。
【思维点拨】用赋值法时要注意展开式的形式。
思考题：设
x 14x 25 a0 a1x 3 a2x 32 a9x 39
则 a0 a2 a4 a6 a8 ―2 a1 a3 a5 a7 a9 2
0
备用题：
例5已知（ (1 2x)n ,
2 （1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数。
稚参培育环境
• 水温 • 光照 • 盐度 • PH值 • 溶解氧
稚参敌害与病害的防治技术
• 桡足类 • 细菌
x
1120 （3）求 (1 x)3 (1 x)4 (1 x)5 … (1 x)50
的展开式中 x 3的系数。 C541
例3(优化设计P180例3)、设an＝1＋q＋q2＋… ＋qn－1(n∈N*，q≠±1)，
An＝ Cn1a1 Cn2a2 ...... Cnnan
(1) 用q 和n 表示An
即可求第五个元素。
③注意二项式系数与某一项系数的异同。
④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求 (1 x)n的近似值。
二、问题讨论
例1．（1） Cn1 3Cn2 9Cn3 3n1Cnn
等于（ D ）
A 、4n

二项式定理课件ppt

二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广，它具有与组合数相同的性质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进行了研究和推广，使其成为现代数学中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理解二项式定理的概念和变形方式，进一步提高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣

二项式定理优秀课件

项的系数：二项式系数与数字系数的积.
(a b)n

C?n0a n
Cn1an1(b)

C
k n
a
nk

(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n

C
1 4
a
3b

C42a 2b2

C
3 4
ab3

C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

C n0a n
Cn1an1b

C
k n
a
nk
bk

Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

4
0 2 1 2 2 (a b) C2 a C2 ab C2 b
(a b) C a C a b C ab C b
3
0 3 3
1 2 3
2 3
2
3 3 3
(a b) C a C a b C a b C ab C b
4
0 4 4
1 3 4
2 2 2 4
二项式系数为
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2 x) 的展开式中
7
求第4项，并指出它的二项式系数和系数是什么？
课堂小结
1.二项式定理： n 0 n 1 n 1 k nk k n n (a b) Cn a Cn a b Cn a b Cn b k (1)二项式系数： Cn , (k 0,1,2,3n)
滕州市第二中学冯庆鹏
2016-5-10
《观书有感》
朱熹,南宋著名理学家.
半亩方塘一鉴开, 天光云影共徘徊. 问渠那得清如许, 为有源头活水来.
探究1
2
推导 (a b) 的展开式.
2
(a b) (a b)(a b) a a a b b a b b 2 2 a 2ab b
0 5 5 1 5 4
0 n n
1 n 1 n
2 5 3
k nk k n
3 4 5
n n n
5 5 5
5
2 3 5 2 4
C 2 C 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x 2 3 4 5 32 80x 80x 40x 10x x
问：展开式中第四项为？第四项的系数为？第四项的二项式系数为？
二项展开式的结构特征：
①项数： ②次数：共有n＋1项各项的次数都等于n， ③展开式中项的排列方式如何？
, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
字母a按降幂排列，次数由n递减到0
二项式定理:
n 0 n n
一般地，对于nN*，有：
1 n 1 n k n nk k n n n
(a b) C a C a b C a b C b
(2)二项展开式的通项： Tk 1
C a
k n
n k
b
k
2．典型例题
(1) 求形如 (a b) n 的展开式问题。
方法
直接利用二项式定理
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3)
求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
1、巩固型作业：
课本36页习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5 2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
3 4
3
4 4 4
(a b) ?
n
探究4：请分析 (a b) 的展开过程
n
(a b) (a b)( a b) (a b)
n
项的形式：系数：
a
n
a
n 1
1 n
n
b a

n k
b b
C
n k
k
n
C
0 n
C
C
k n
n n
那么对于 (2 x) 的展开式呢？ 5 5 析：(2 x) 2 ( x)
5
典例导航
1 5 例1 在( 2 x ) 的展开式中 x （1）请写出展开式的通项。（2）求展开式的第4项。（3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。 3 （4）求展开式中含 x 的项。
注意：区别二项式系数与项的系数的概念
（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。（2）探究二项式系数
2 n 0 1 有何性质. ，，Cn Cn ，Cn ，Cn
杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育家
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克· 牛顿于1664-1665年间提出．
二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用．
定理应用，初步体验
(a b) C a C a b C a b C b
n
练习： (2 x)
项的系数：
C
0 2
C
1 2
C
2 展开式项的排列方式如 2 何？（按照a的降次幂
分析ab
(a b)(a b) (a b)(a b)
C
还是升次幂排列的？） 1 2
展开式：
0 2 1 2 2 (a b)2 C2 a C2 ab C2 b
探究2
3
推导 (a b) 的展开式.
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
请用分步乘法计数原理
解释一下？问：合并同
2
项的形式： a
3
0 3
a b
C
1 3
2
ab
C
b
3
3 3
C 项的系数：
2 3
C
1 3
类项后的展开式中，共有几项？
每项的次数为几次？展开式项的排列方式如何？（按照a 的降次幂还是升次幂排列的？）
请利用组合的知识解释下为什么a k 数是 C n 呢？
b
k
的系
二项式定理:
n 0 n n
一般地，对于nN*，有：
1 n 1 n k n nk k n n n
(a b) C a C a b C a b C b
这个公式叫做二项式定理，很显然二项式定理是研 n ( a b ) 究形如的展开式问题。
2
分析a 2b (a b)(a b)(a b)
(a b)(a b)(a b) (a b)(a b)(a b)
3 0 3 3
C
1 2 3
展开式： (a b) C a C a b C ab C b
2 3

3 3 3
探究3
2
仿照上述过程,推导(a b) 的展开式.
把各项的系数
k Cn , (k 0,1,2,3n) 叫做二项式系数
即（1）二项式系数: C , (k 0,1,2,3n)
k n
式中
C a
k n
n k
b
k
叫做二项展开式的通项，
为展开式的第k+1项，用
Tk 1 表示
k n n k
即（2）二项展开式的通项:
Tk 1 C a
b
k
问：合并同类项前的展开式中，共有几项？能利用分步乘法计数原理解释一下吗？
每项的次数为几次？
探究1
2
推导 (a b) 的展开式.
2
(a b) (a b)(a b) a a ab b a bb 2 2 问：合并同类项后的展 a 2ab b 开式中，共有几项？ 2 项的形式： a 2 b 每项的次数为几次？ ab