9.2振幅、周期和频率

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在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一个位置，其位移相同，合外力相同，加速度必定相同，选项C是正确的．
相隔T/2的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置可位于P和对称的P′处，在P处弹簧处于伸长状态，在P′处弹簧处于压缩状态，弹簧的长度并不相等，选项D是错误的．
本题求解时很容易忽视第二种情况，需综合利用学过的概念解决问题，同时还要注意对解的结果的合理性进行分析．
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【点击易错点】
例3 如图9－2－3所示，小球m连着轻质弹簧，放在光滑的水平面上，弹簧的另一端固定在墙上，O是它的平衡位置．把小球拉到距O点1 cm的A点，轻轻释放小球m，经过0.2 s小球运动到O点，如果把小球拉到距O点3 cm处的B点（在弹性限度内），则释放小球后，小球振动周期是多少？
2．周期和频率
（1）定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用T表示．
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3．固有周期和固有频率
实验表明：对于同一个振动系统，振动的振幅可以改变，振动的频率（或周期）却是不变的．事实上，物体的振动频率（或周期）是由振动系统本身的性质决定的，与振幅的大小无关，所以又叫固有频率（或固有周期）．
综上所述，只有选项C正确．
点拨 做简谐运动的弹簧振子的运动具有往复性、对称性和周期性．在同一位置P，振子的位移相同，回复力、加速度、动能、势能也相同，速度大小相等但方向可以相同，也可以相反．在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势能对应相等，回复力、加速度大小相等，方向相反；速度大小相等，方向可以相同，也可以相反，运动时间也对应相等．
（2）试求B的最大速率．
（3）试求出在最高点和最低点时A对B的作用力．
［解析］ （1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx：（mA＋mB）g＝kΔx，Δx＝（mA＋mB）g/k＝5 cm，开始释放时振子处在最大位移处，故振幅A为A＝5 cm＋5 cm＝10 cm；
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［错解］ 小球在弹力作用下做简谐运动，从A→O经历了四分之一个周期，所以周期T＝0.8 s．当小球被拉到B处后，因为有OB＝3OA，所以从B点释放后的周期为T′＝3T＝2.4 s．
［错解分析］ 弹簧振子的周期不会因振幅大小的不同、所处环境的变化或在不同的运动状态中而发生变化．了解物理量不仅要知道它的基本含义，而且更要知道和它相关的物理量以及相互之间的变化关系．
［正解］ 小球在弹力作用下做简谐运动，从A→O经历了四分之一个周期，所以周期T＝0.8 s，当小球被拉到B处后，周期应不变，仍为0.8 s．
想一想 周期未变，而其他物理量如在平衡位置的速度是否发生变化?若变化，则怎样变化?
能力升级平台
【综合能力升级】
本节知识可与动力学，动量以及功和能综合在一起．要注意简谐运动各物理量的内涵和外延，同时还应注意运动的对称性、周期性．
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O为平衡位置，物体在BD之间振动，由对称性可知，物体从C到D和从D到C的时间相等，即tCD＝tDC＝0.1 s．
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所以物体的振动周期为2.4 s或0.8 s．
故本题正确选项为D．
本题运用了假设分析法，利用了简谐运动模型．
想一想 图中BB′之间的运动时间等于多少?
思维整合
【重点】 本节重点是弄清振幅、周期和频率的内涵和外延．
【难点】 决定周期和频率的因素难以理解．简谐运动的对称性以及各种情况下周期、振幅的求法也是本节的难点．
【易错点】 周期和频率与振幅大小无关这一点易错，另外振幅与最大位移是两个不同的概念，易混淆．
精典例题再现
【解析重点】
例1 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，正确的是（ ）
［解析］ 对A选项，只能说明这两个时刻振子位于同一位置，如9－2－1图所示，设在P点，并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相同，Δt可以是振子由P向B再回到P的时间，故认为Δt一定等于T的整数倍是错误的．对B选项，振子两次到P位置时可以速度大小相等，方向相反，但并不能肯定等于T/2的整数倍，选项B也是错误的．
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［解析］ 从物块接触弹簧开始，物块受两个力：重力和弹力．开始重力大于弹力，后来弹力大于重力，到最低点时速度为零，加速度达到最大．
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物块上下作简谐运动，平衡位置时重力等于弹力．如图9－2－6所示假设物块初速度为零时放在O点，则物块必在OA之间振动．此时O处、A处物块加速度必相等且等于重力加速度，很显然物块从高处落下必然使弹簧压缩量的最大值变大，即这种情况下弹力变大，则加速度必然变大，从而大于重力加速度（指最大值）．
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想一想 振子运动到何处时，A对B的作用力为零？
高考热点点拨
本节三个物理量即振幅、周期和频率是物理学重要概念，是高考常考知识点之一，尤其是简谐运动的周期性、对称性．这一模型在高考中经常出现，本节常以选择题、填空题出现，当然这些概念也渗透于综合性计算题之中．
想一想 若弹簧振子的周期为T，则动能、势能、速度、加速度以及回复力的变化周期是否都为T?
【剖析难点】
例2 一做简谐运动的物体从平衡位置O出发，经0.5 s到达C点，从C点运动到最远处D点后又返回C点，经历了0.2 s．求振动的周期可能为多少?
［解析］ 画出运动过程草图，分析简谐运动的过程，利用简谐运动的周期性和对称性即可求解．如草图9－2－2所示．
4．简谐运动的周期性和对称性
（1）在简谐运动中，振子从任何位置开始，每经历一个周期，它的位移、回复力、速度、加速度、动量、动能以及势能等物理量都恢复到原来的值；每经半个周期，上述各量大小仍与原来相等，矢量的方向与原来相反．
（2）振动物体的平衡位置和最大位移处是各量变化的对称点，在到达这些对称点前、后相同时间的两个时刻（或两个位置），上述各量大小相等．
知识要点精讲
1．振幅
（1）定义：振动物体离Leabharlann 平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅．
（2）物理意义：表示振动强弱的物理量．
（3）振幅与位移：振幅是标量，位移是矢量，简谐运动的振幅是不变的，但位移时刻在变化，位移的最大值等于振幅．
（4）振幅与路程：路程是振动物体运动轨迹的长度，是标量．振动物体在一个周期内通过的路程是振幅的4倍．
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先将A向上抬高使弹簧伸长5 cm后从静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧的形变大小．
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（1）试求A的振幅．
A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝T/2，则在t时刻和（t＋Δt）时弹簧的长度一定相等
例5 （2003年，北京东城模拟）如图9－2－6所示，一根轻弹簧竖直直立在水平地面上，下端固定，在弹簧的正上方有一个物块，物块从高处自由下落到弹簧上端O，将弹簧压缩，弹簧被压缩了x0时，物块的速度变为零．从物块与弹簧接触开始，物块的加速度的大小随下降的位移x变化的图象是（ ）
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9．2 振幅、周期和频率
学法导引
学好本节知识，首先要弄清为什么要引入这三个物理量（因为相对于以前直线运动来说，简谐运动具有复杂性，即某一时刻速度大小、加速度大小随时间变化的关系比较复杂，引入A、T和f，描述起来较简单）；其次要重点弄清这三个物理量的内涵和外延；最后注意不同情况下，周期和振幅如何求，要注意培养等效思维．