江苏省普通高等学校17年高三数学随堂小测评(二十七)

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江苏省普通高等学校2017年高三数学随堂小测评九含答

1. 已知集合A ＝{x|y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x|x 2－cx ＜0，c ＞0}．若AB ，则实数c 的取值范围是____________．2. 已知复数z 满足(3＋4i)z ＝1(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3. 在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2asinB ＝3b ，则角A 等于____________．4. 设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝__________．5. 若实数x ，y 满足x ＋y －4≥0，则z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10的最小值为____________．6. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前20项和为__________．7. 在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，AA 1＝1，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为____________．1. [1，＋∞) 解析：A ＝(0，1)，B ＝(0，c)．若A B ，则c ≥1.2. 15 解析：z ＝13＋4i ＝3－4i （3＋4i ）（3－4i ）＝3－4i 25，z 的模为15.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. π3解析：由正弦定理得2sinAsinB ＝3sinB.∵ sinB ≠0， ∴ sinA ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴ A ＝π3. 4. 1 解析：(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝10，(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝6，两式相减得4a·b ＝4，故a·b ＝1.5. 18 解析：z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10＝(x ＋3)2＋(y －1)2的最小值即点(－3，1)到直线x ＋y －4＝0的距离的平方，即32的平方，答案为18.本题考查了线性规划的知识和点到直线的距离公式．本题属于中等题．6. 55 解析：设公差为d ，则⎩⎨⎧7a 1＋7×62d ＝7，15a 1＋15×142d ＝75⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2×1＝n 22－5n 2，S n n ＝n 2－52，这是等差数列，首项为－2，公差为12，故前20项和为－2×20＋20×192×12＝55.本题考查等差数列的通项及前n 项和公式，对基本量的计算要准确．属于中等题． 7. 2 解析：△A 1B 1C 1边长为2，高为3，AA 1＝1，△AB 1C 1的高为2，则△AB 1C 1的面积为2，三棱锥A 1AB 1C 1体积为23，三棱柱的体积为三棱锥A 1AB 1C 1体积的3倍，即2.本题主要考查同底的柱体体积与锥体体积的关系以及线面垂直的性质运用．本题属于中等题．。

江苏省普通高等学校2017年高三数学随堂小测评十八2017080901103

随堂小测评(十八)1. 函数f(x)＝lnx＋1－x的定义域为____________．2. 下图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则在区间[4，5)上的数据的频数为____________．3. 已知抛物线y2＝2px过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为____________．4. 如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________ m.5. 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)．若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n＝____________．16. 已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ＝__________．717. 设数列{a n}满足a1＝1，且a n＋1－a n＝n＋1(n∈N*)，则数列{a n }前10项的和为____________．1随堂小测评(十八)x＞0，1.(0，1]解析：{1－x ≥0，)解得0＜x≤1.2.30解析：对于在区间[4，5)的频率/组距的数值为0.3，而总数为100，因此频数为30.本题主要考查频率分布直方图．本题属于容易题．5 13.解析：将点M(2，2)代入抛物线方程y2＝2px，得p＝1，焦点F( ，0)，则MF＝2 21 2 5(2－2 )＋22＝.24.30解析：在△BCD中，BD＝10，BC＝10 3.在△ABC中，BC＝10 3，∠ACD＝60°，∠CAB＝30°，∴AB＝30.5.－3解析：m a＋n b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则m＝2，n＝5，则m－n＝－3.本题考查了向量的坐标运算．本题属于容易题．－2＋tanβ 16.3解析：tan(α＋β)＝＝，则tanβ＝3.本题考查了正切的和角公式．本1＋2tanβ7题属于容易题．20 （n＋1）n 17.解析：a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝，则＝11 2 a n2 1 1 1 1 1 1 1 1 20n（n＋1）(＝2 ，数列a n }的前10项和为2[(1－)＋( －)＋…＋( －)]＝.n 2 2 3 10 11 11){ 本题考查了叠加法求通项，裂项－n＋1法求和．本题属于中等难度题．2。

(精品word版)2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学

2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}.若A∩B={1}，则实数a的值为 .解析：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}.A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1.答案：1.2.已知复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是 .解析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.复数z=(1+i)(1+2i)=1+i2+3i=1-2+3i=-1+3i，∴|z|==3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.解析：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=，则应从丙种型号的产品中抽取300×6100=18件.答案：184.如图是一个算法流程图：若输入x的值为116，则输出y的值是 .解析：初始值x=116，不满足x ≥1，所以y=2+log 2116=2-log 224=-2. 答案：-2.5.若tan 164πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.则tan α= . 解析：直接根据两角差的正切公式计算即可∵tan tantan 14tan 4tan 11tan ta 46n 1παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+， ∴6tan α-6=tan α+1，解得tan α=75. 答案：75.6.如图，在圆柱O1O2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则12V V 的值是 .解析：设球的半径为R ，则球的体积为：343R π，圆柱的体积为：πR 2·2R=2πR 3.则313224332V R R V ππ==.答案：32.7.记函数 D.在区间[-4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 .解析：由6+x-x 2≥0得x 2-x-6≤0，得-2≤x ≤3，则D=[-2，3]，则在区间[-4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率()()325549P --==--.答案：59.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是 .解析：求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P ，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积.双曲线2213x y -=的右准线：x=32，双曲线渐近线方程为：y=3x ，所以P 322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，Q 322⎛- ⎝⎭，，F 1(-2，0).F 2(2，0).则四边形F 1PF 2Q 的面积是：241⨯=答案：9.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=74，S 6=634，则a 8= . 解析：设等比数列{a n }的公比为q ≠1， ∵S 3=74，S 6=634， ∴()311714a q q -=-，()6111634a q q -=-，解得114a =，q=2. 则a 8=14×27=32. 答案：32.10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 . 解析：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和为：600642240xx⨯+≥=(万元).当且仅当36004xx=时取等号.∵x＞0，∴x=30. 答案：30.11.已知函数f(x)=x3-2x+e x-1xe，其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是 .解析：求出f(x)的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f(x)在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f(x)为奇函数，原不等式即为2a2≤1-a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围.函数f(x)=x3-2x+ex-1xe的导数为：f′(x)=3x2-2+e x+1xe≥1xxe=0，可得f(x)在R上递增；又f(-x)+f(x)=(-x)3+2x+e-x-e x+x3-2x+e x-1xe=0，可得f(x)为奇函数，则f(a-1)+f(2a2)≤0，即有f(2a2)≤-f(a-1)=f(1-a)，即有2a2≤1-a，解得-1≤a≤12.答案：[-1，12 ].12.如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC mOA nOB=+(m，n∈R)，则m+n= .解析：如图所示，建立直角坐标系.A(1，0).由OA与OC的夹角为α，且tanα=7. ∴cosαsinα∴C(15，75).cos(α+45°)=2(cosα-sinα)=35-.sin(α+45°)=2(sinα+cosα)=45.∴B(35-，45).∵OC mOA nOB=+(m，n∈R)，∴1355m n=-，7455n=+，解得n=74，m=54.则m+n=3.答案：3.13.在平面直角坐标系xOy中，A(-12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2+y2=50上.若PA PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是 .解析：根据题意，设P(x0，y0)，则有x02+y02=50，PA PB=(-12-x0，-y0)·(-x0，6-y0)=(12+x0)x0-y0(6-y0)=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0-6y0+30≤0，即2x0-y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立22000050250x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解可得x 0=-5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是1]，答案：1].14.设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，()2x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩，，，其中集合D={x|x=1n n -，n ∈N*}，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .解析：∵在区间[0，1)上，()2x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩，，，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，∴在区间[1，2)上，()()211x x Df x x x D⎧-∈⎪=⎨-∉⎪⎩，，，此时f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间[2，3)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[3，4)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[4，5)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[5，6)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[6，7)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[7，8)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点；区间[8，9)上，f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点；在区间[9，+∞)上，f(x)的图象与y=lgx 无交点；故f(x)的图象与y=lgx 有8个交点；即方程f(x)-lgx=0的解的个数是8.答案：8二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F(E与A、D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC.(2)AD⊥AC.解析：(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论.(2)通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论.答案：(1)因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC.(2)在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，∵BC⊥BD，所以FG∥BC，又平面ABD⊥平面BCD，∴FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，∵AD⊥EF，且EF∩FG=F，∴AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，∴AD⊥AC.16.已知向量a=(cosx，sinx)，b=(3，，x∈[0，π].(1)若a∥b，求x的值.(2)记f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析：(1)根据向量的平行即可得到tanx=3-，问题得以解决. (2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出.答案：(1)∵a =(cosx ，sinx)，b =(3，，a ∥b ，∴，∴tanx= ∵x ∈[0，π]， ∴x=56π.(2)f(x)1236a b cosx sinx x π⎛⎫===-=+⎫⎪⎪⎭⎭⎪⎝， ∵x ∈[0，π]， ∴x+6π∈[6π，76π]，∴-1≤cos(x+6π)≤2，当x=0时，f(x)有最大值，最大值3，当x=56π时，f(x)有最小值，最大值17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程.(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.解析：(1)由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程22a x c =±，则2228a c⨯=，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2-c 2=3，即可求得椭圆方程.(2)方法一：设P(x 0，y 0)，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02-1，联立即可求得P 点坐标；方法二：设P(m ，n)，当m ≠1时，21PF n k m =-，11PF n k m =+，求得直线l 1及l 1的方程，联立求得Q 点坐标，根据对称性可得221m n n-=±，联立椭圆方程，即可求得P 点坐标. 答案：(1)由题意可知：椭圆的离心率12c e a ==，则a=2c ，① 椭圆的准线方程22a x c =±，则2228a c⨯=，② 由①②解得：a=2，c=1，则b 2=a 2-c 2=3，∴椭圆的标准方程：22143x y +=. (2)方法一：设P(x 0，y 0)，则直线PF 2的斜率2001PF y k x =-，则直线l 2的斜率0201x k y -=-，直线l 2的方程()0011x y x y -=--，直线PF 1的斜率1001PF y k x =+，则直线l 1的斜率0101x k y +=-，直线l 1的方程()0011x y x y +=-+，联立()()00001111x y x y x y x y -⎧=--⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩，解得：02001x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，则Q(-x 0，2001x y -)，由P ，Q 在椭圆上，P ，Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则20001x y y -=，∴y 02=x 02-1，则220022001431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：202016797x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则0077x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，又P 在第一象限，所以P 的坐标为：方法二：设P(m ，n)，由P 在第一象限，则m ＞0，n ＞0，当m=1时，2PF k 不存在，解得：Q 与F1重合，不满足题意，当m ≠1时，21PF n k m =-，11PF n k m =+，由l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，则11l m k n +=-，21l m k n-=-，直线l 1的方程()11m y x n +=-+①，直线l 2的方程()11m y x n-=--②，联立解得：x=-m ，则Q(-m ，21m n-)，由Q 在椭圆方程，由对称性可得：221m n n-=±，即m 2-n 2=1，或m 2+n 2=1，由P(m ，n)，在椭圆方程，22221143m n m n⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：2216797m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或22221143m n m n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：).18.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度.(2)将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.解析：(1)设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=35，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度.答案：(1)设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC ⊂平面ABCD ，∴CC 1⊥AC ，∴NP ⊥AC ，∴NP=12cm ，且AM 2=AC 2+MC 2，解得MC=30cm ， ∵NP ∥MC ，∴△ANP ∽△AMC ， ∴124030AN NP AN AM MC ==，，得AN=16cm. ∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GG 1上的点为M ，玻璃棒与水面的交点为N ，在平面E 1EGG 1中，过点N 作NP ⊥EG ，交EG 于点P ，过点E 作EQ ⊥E 1G 1，交E 1G 1于点Q ，∵EFGH-E 1F 1G 1H 1为正四棱台，∴EE 1=GG 1，EG ∥E 1G 1， EG ≠E 1G 1，∴EE 1G 1G 为等腰梯形，画出平面E 1EGG 1的平面图， ∵E 1G 1=62cm ，EG=14cm ，EQ=32cm ，NP=12cm ， ∴E 1Q=24cm ，由勾股定理得：E 1E=40cm ，∴sin ∠EE 1G 1=45，sin ∠EGM=sin ∠EE 1G 1=45，cos ∠EGM=35-，根据正弦定理得：sin sin EM EGEGM EMG =∠∠，∴sin ∠EMG=725，cos ∠EMG=2425，∴sin ∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin ∠EGMcos ∠EMG+cos ∠EGMsin ∠EMG=35， ∴12203sin 5NP EN GEM ===∠ cm.∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.19.对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n-k +a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k =2ka n 对任意正整数n(n ＞k)总成立，则称数列{a n }是“P(k)数列”. (1)证明：等差数列{a n }是“P(3)数列”. (2)若数列{a n }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n }是等差数列.解析：(1)由题意可知根据等差数列的性质，a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=(a n-3+a n+3)+(a n-2+a n+2)+(a n-1+a n+1)=2×3a n ，根据“P(k)数列”的定义，可得数列{a n }是“P(3)数列”.(2)由已知条件结合(1)中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列.答案：(1)证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+(n-1)d ，则a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=(a n-3+a n+3)+(a n-2+a n+2)+(a n-1+a n+1) =2a n +2a n +2a n ， =2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P(3)数列”.(2)证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P(3)数列，则a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n ，①，因为数列{an}是“P(2)数列”，所以a n-3+a n-2+a n +a n+1=4a n-1，②， a n-1+a n +a n+2+a n+3=4a n+1，③，②+③-①，得2a n =4a n-1+4a n +1-6a n ，即2a n =a n-1+a n+1，(n ≥4)，因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4，所以a 2=4a 4-a 3-a 5-a 6=4(a 3+d)-a 3-(a 3+2d)-(a 3+3d)=a 3-d ，因为a 1+a 2+a 4+a 5=4a 3，所以a 1=4a 3-a 2-a 4-a 5=4(a 2+d)-a 2-(a 2+2d)-(a 2+3d)=a 2-d ，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n }为等差数列.20.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a ＞0，b ∈R)有极值，且导函数f ′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域.(2)证明：b 2＞3a.(3)若f(x)，f ′(x)这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围. 解析：(1)通过对f(x)=x 3+ax 2+bx+1求导可知g(x)=f ′(x)=3x 2+2ax+b ，进而再求导可知g ′(x)=6x+2a ，通过令g ′(x)=0进而可知f ′(x)的极小值点为x=3a -，从而f(3a-)=0，整理可知b=2239a a+ (a ＞0)，结合f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a ＞0，b ∈R)有极值可知f ′(x)=0有两个不等的实根，进而可知a ＞3.(2)通过(1)构造函数()()()423322459134272781381a a h a b a a a a a=-=-+=--，结合a ＞3可知h(a)＞0，从而可得结论.(3)通过(1)可知f ′(x)的极小值为233a a f b ⎛⎫⎪⎭= -⎝'-，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f(x)的两个极值之和为3422273a ab -+，进而问题转化为解不等式23242723327392a a ab a b a -+-+=-≥-，因式分解即得结论.答案：(1)因为f(x)=x 3+ax 2+bx+1，所以g(x)=f ′(x)=3x 2+2ax+b ，g ′(x)=6x+2a ，令g ′(x)=0，解得x=3a -. 由于当x ＞3a-时g ′(x)＞0，g(x)=f ′(x)单调递增；当x ＜3a-时g ′(x)＜0，g(x)=f ′(x)单调递减；所以f ′(x)的极小值点为x=3a-，由于导函数f ′(x)的极值点是原函数f(x)的零点，所以f(3a-)=0，即33102793a a ab -+-+=，所以2239a b a=+(a ＞0). 因为f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a ＞0，b ∈R)有极值，所以f ′(x)=3x 2+2ax+b=0的实根，所以4a 2-12b ≥0，即22293a a a-+≥0，解得a ≥3，所以2239a b a=+(a ≥3). (2)证明：由(1)可知()()()423322459134272781381a a h a b a a a a a=-=-+=--，由于a ＞3，所以h(a)＞0，即b 2＞3a.(3)由(1)可知f ′(x)的极小值为2()33a a fb '-=-，设x 1，x 2是y=f(x)的两个极值点，则x 1+x 2=23a -，x 1x 2=3b，所以f(x 1)+f(x 2)=x 13+x 23+a(x 12+x 22)+b(x 1+x 2)+2=(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2-3x 1x 2]+a[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+b(x 1+x 2)+2=3422273a ab-+，又因为f(x)，f ′(x)这两个函数的所有极值之和不小于72-，所以23242372327392a a ab a b a -+-+=-≥-，因为a ＞3，所以2a 3-63a-54≤0，所以2a(a 2-36)+9(a-6)≤0，所以(a-6)(2a2+12a+9)≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a-6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是(3，6].[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)21.如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.求证：(1)∠PAC=∠CAB.(2)AC2=AP·AB.解析：(1)利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC.利用圆的性质可得∠ACB=90°.再利用三角形内角和定理即可证明.(2)由(1)可得：△APC∽△ACB，即可证明.答案：(1)∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC.∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°.∵AP⊥PC，∴∠APC=90°.∴∠PAC=90°-∠ACP，∠CAB=90°-∠ABC，∴∠PAC=∠CAB.(2)由(1)可得：△APC∽△ACB，∴AC AP AB AC=.∴AC2=AP·AB.B.[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)22.已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(1)求AB.(2)若曲线C1：22182x y+=在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.解析：(1)按矩阵乘法规律计算.(2)求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可.答案：(1)AB=011010020210⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝=⎭⎛⎫⎪⎝⎭.(2)设点P(x ，y)为曲线C 1的任意一点，点P 在矩阵AB 的变换下得到点P ′(x 0，y 0)，则02210x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即x 0=2y ，y 0=x ， ∴x=y 0，y=2x ， ∴2200188y x +=，即x 02+y 02=8， ∴曲线C 2的方程为x 2+y 2=8.C.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)23.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解析：求出直线l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d 关于参数s 的函数，从而得出最短距离.答案：直线l 的直角坐标方程为x-2y+8=0， ∴P 到直线l的距离224d -+==∴当d5=D.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)24.已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，证明ac+bd ≤8.解析：a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，令a=2cos α，b=2sin α，c=4cos β，d=4sin β.代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)，即可得出.答案：∵a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，令a=2cos α，b=2sin α，c=4cos β，d=4sin β.∴ac+bd=8(cos αcos β+sin αsin β)=8cos(α-β)≤8.当且仅当cos(α-β)=1时取等号. 因此ac+bd ≤8.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)=4×16=64，当且仅当a bc d=时取等号.∴-8≤ac+bd ≤8.[必做题]每小题10分.25.如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB=AD=2，AA 1∠BAD=120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值. (2)求二面角B-A 1D-A 的正弦值.解析：(1)在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，由AA 1⊥平面ABCD ，可得AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.结合已知求出A ，B ，C ，D ，A 1，C 1的坐标，进一步求出1A B ，1AC ，DB ，1DA 的坐标.直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值.(2)求出平面BA 1D 与平面A 1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B-A 1D-A 的余弦值，进一步得到正弦值.答案：(1)在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ， ∵AA 1⊥平面ABCD ，AD 、Ax ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.∵AB=AD=2，AA 1BAD=120°，∴A(0，0，0)，-1，0)，1，0)，D(0，2，0)，A 1(0，0，C 111(31A B =-，，，1(31AC =，，(33)0DB =-，，， 1DA=(0，-2∵111111177A B AC A B AC A B A os C c ===-，.∴异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17. (2)设平面BA 1D 的一个法向量为n =(x ，y ，z)，由100n DB n DA ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得3020y y -=-+=⎪⎩，取12(3n =，，；取平面A1AD 的一个法向量为m =(1，0，0).∴341m n cos m n m n===⨯，. ∴二面角B-A1D-A 的正弦值为34，则二面角B-A 1D-A 4=.26.已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球(m ，n ∈N*，n ≥2)，这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k=1，2，3，…，m+n).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p.(2)随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x 的数学期望，证明E(x)＜()()1nm n n +-.解析：(1)设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p(A 2)=P(A 2|A 1)P(A 1)+P(A 2|1A )P(1A )，由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.(2)x 的所有可能取值为1111111n k n m n n n n mk C P x C --+⎛⎫⋯== ⎪⎝⎭++，，，，，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，从而E(x)1111111n n n mn mk k n nk k nm n m nC C k C C k --++--==++⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，由此能证明E(x)＜()()1n m n n +-. 答案：(1)设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=P(A 2)=P(A 2|A 1)P(A 1)+P(A 2|1A )P(1A )()()21111n n n m n n mn nm n m n m n m n m n m n m n--+=⨯+⨯==+-++-+++-+. 证明：(2)∵x 的所有可能取值为1111n n n m++⋯，，，，111n k n m n C k P x C --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，∴E(x)1112111211111111n n n n n mn mn mn mk k k k n nnnk k n k n k n n m n mn mn mC C C C k C C k C k C n ----++++----====++++⎛⎫=== ⎪--⎝⎭∑∑∑∑＜ ()()()()()2221212111111n n n n n n n m n m n nn m n m n C C C C n C n C m n n ------+-+-++=+++==--+-… ∴E(x)＜()()1nm n n +-.。

江苏省普通高等学校17年高三数学招生考试模拟测试试题(二)

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i ；2. 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|－1≤x≤1}，则A∩Z ＝______________．2. 若复数z ＝(1－i)(m ＋2i)(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____________．3. 数据10，6，8，5，6的方差s 2＝____________．4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是________．(第6题)5. 已知双曲线x 2－y2m2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝______________．6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．7. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为____________．8. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________．9. 已知|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为____________． 10. 直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是____________．11. 已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为__________． 12. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则φ的最小值为____________．13. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为____________．14. 已知函数f(x)＝ex －1＋x －2(e 为自然对数的底数)，g(x)＝x 2－ax －a ＋3，若存在实数x 1，x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，则实数a 的取值范围是____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝6，且asinB ＝2 3. (1) 求角A 的大小；(2) 若D 为BC 的中点，求线段AD 的长．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于点O ，且平面PAC⊥底面ABCD ，E 为棱PA 上一点．(1) 求证：BD⊥OE；(2) 若AB ＝2CD ，AE ＝2EP ，求证：EO∥平面PBC.已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k(n∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4. (1) 若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2) 若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .18. (本小题满分16分)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4 m ，最低点B 离地面2 m ，观察者从距离墙x m(x ＞1)，离地面高a m (1≤a≤2)的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.(1) 若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2) 若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围．如图，椭圆C ：x 2a ＋y2b ＝1(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP⊥AF.(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；(3) 求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝cosx ＋ax 2－1，a ∈R . (1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 当a ＝1时，求函数f(x)在[－π，π]上的最值； (3) 若对于任意的实数x 恒有f(x)≥0，求实数a 的取值范围.(二)1. {－1，0，1} 解析：本题主要考查集合的运算．本题属于容易题．2. －2 解析：z ＝(1－i)(m ＋2i)＝ m ＋2＋(2－m)i 是纯虚数，则m ＝－2.本题主要考查纯虚数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 165 解析：平均数为7，由方差公式得方差s 2＝165.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．4. 12 解析：本题的基本事件数为16，x y 为整数的的基本事件数为8，则所求的概率是12.本题考查古典概型，属于容易题．5. 33 解析：双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋y m ＝0，与x ＋3y ＝0是同一条直线，则m ＝33.本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系．本题属于容易题．6. －1 解析：由流程图知循环体执行8次，第1次循环S ＝12，n ＝2；第2次循环S＝－1，n ＝3；第3次循环S ＝2，n ＝4，…，第8次循环S ＝－1，n ＝9.本题考查了算法及流程图的基本内容．本题属于容易题．7. 43解析：底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为43.本题考查了正四棱锥的体积公式．本题属于容易题． 8. 4 解析：由a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，得q 3＝2，则a 7 ＝a 1(q 3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系．本题属于容易题．9. 23π 解析：由a ＋b ＝(1，2)，得(a ＋b )2＝3，则1＋4＋2a·b ＝3，a ·b ＝－1＝|a||b|cos θ，cos θ＝－12，则θ＝23π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属于容易题．10. －2 解析：由圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0的圆心(a ，0)，半径的平方为a 2－a ，圆心到直线ax ＋y ＋1＝0的距离的平方为a 2＋1，由勾股定理得a ＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．11. (0，1)∪(4，＋∞) 解析：∵ 二次函数f(x)＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴ f(0)＝f(2)，结合二次函数的图象可得log 2x<0或log 2x>2，解得0<x<1或x>4，∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞)．本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．12. π6 解析：易知y ＝sin2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)，∵ 图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，∴ sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题属于中等题．13. 58解析：∵ AO 为△ABC 的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB →＋AC →||AC →，即AO →＝12λAB →＋13λAC →，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧12λ＝x ，13λ＝y①.若AB 边上的中线与AB 交于点D ，则AO →＝2xAD →＋yAC →.∵ C 、O 、D 三点共线，∴ 2x ＋y ＝1 ②，由①②得x ＝38，y ＝14，∴ x ＋y ＝58.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．14. [2，3] 解析：易知函数f(x)＝e x －1＋x －2在R 上为单调增函数且f(1)＝0，∴ x 1＝1，则|1－x 2|≤1解得0≤x≤2，∴ x 2－ax －a ＋3＝0在x∈[0，2]上有解，∴ a ＝x 2＋3x ＋1在x∈[0，2]上有解．令t ＝x ＋1∈[1，3]，则x ＝t －1，a ＝（t －1）2＋3t ，即a ＝t ＋4t－2 在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，则当t ＝2时a 的最小值为2，当t ＝1时a 的最大值为3，∴ a 的取值范围为[2，3]．本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．15. 解：(1) 由正弦定理，得asinB ＝bsinA ，(2分)因为b ＝4，asinB ＝23，所以sinA ＝32.(4分)又0＜A ＜π2，所以A ＝π3.(6分)(2) 若b ＝4，c ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a ＝27.(8分)因为asinB ＝23，所以sinB ＝217，从而cosB ＝277.(10分) 因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ＝7. 在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BD ·cosB ，即AD 2＝36＋7－2×6×7×277＝19，所以AD ＝19.(14分)16. 证明：(1) 因为平面PAC⊥底面ABCD ，平面PAC∩底面ABCD ＝AC ，BD ⊥AC ，BD 平面ABCD ，所以BD⊥平面PAC.因为OE ⊂ 平面PAC ，所以BD⊥OE.(6分)(2) 因为AB∥CD，AB ＝2CD ，AC 与BD 交于O ，所以CO∶OA＝CD∶AB＝1∶2.因为AE ＝2EP ，所以CO∶OA＝PE∶EA，所以EO∥PC. 因为PC ⊂平面PBC ，EO ⊄ 平面PBC ，所以EO∥平面PBC.(14分)17. 解：(1) 当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列．(2分)设数列{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43.(4分)所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝2n ＋n （n －1）2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23n 2＋83n.(6分)(2) 由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2.(8分) 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2，所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列．所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3.(10分)当n≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3，于是a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…，a 3－a 2＝－2×2＋3，a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加，得a n －a 1＝－2[1＋2＋…＋(n －1)]＋3(n －1)(n≥2)，所以a n ＝－2×n （n －1）2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n≥2)．(13分)又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *.(14分)18. 解：(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD－∠BCD，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan (∠ACD－∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分) 又tan θ在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分) (2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan (∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x≤1或3≤x≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19. (1) 解：因为点P(3，1)，所以k OP ＝13.因为AF⊥OP，－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分)又点P(3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b 2＝1，解之得a 2＝133，b 2＝134.故椭圆C 的方程为x 2133＋y2134＝1.(4分)(2) 解：由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 的方程x 2a 2＋y2b2＝1联立消去y ，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c ＝0，解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2，(7分) 所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2＋b 2a 2c a 2＋c2＝bca 2. 由题意得cb ＝2bc a2，所以a 2＝2b 2，(9分)所以椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝22.(10分) (3) 证明：因为线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为y ＝cx b ，与直线AF 的方程x c ＋yb＝1联立，解得两直线交点的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c a2，bc 2a 2.因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2c a2，2bc 2a 2.(12分)由点P 在椭圆上，得4b 4c 2a 6＋4b 2c4a 4b 2＝1，又b 2＝a 2－c 2，设c 2a ＝t ，得4[(1－t)2·t ＋t 2]＝1. (*)(14分)令f(t)＝4[(1－t)2·t ＋t 2]－1＝4(t 3－t 2＋t)－1，因为f′(t)＝4(3t 2－2t ＋1)＞0，所以函数f(t)单调增．又f(0)＝－1＜0，f(1)＝3＞0，所以f(t)＝0在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解，故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．(16分) 20. (1) 证明：函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝cos(－x)＋a(－x)2－1＝cosx ＋ax 2－1＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3分)(2) 解：当a ＝1时，f(x)＝cosx ＋x 2－1，则f′(x)＝－sinx ＋2x ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2x ，则g′(x)＝－cosx ＋2＞0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数．又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[－π，π]上的最大值是π2－2，最小值为0.(8分) (3) 解：f′(x)＝－sinx ＋2ax ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2ax ，则g′(x)＝－cosx ＋2a ，① 当a≥12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a≥0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，故f(x)≥0恒成立．(12分)② 当a≤－12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a≤0，所以f′(x)是减函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，所以f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．(14分)③ 当－12＜a ＜12时，必存在唯一x 0∈(0，π)，使得g′(x 0)＝0，因为g′(x)＝－cosx＋2a 在[0，π]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＜0，即f′(x)在(0，x 0)上是减函数．又f ′(0)＝0，所以当x∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0，即f(x)在(0，x 0)上是减函数．而f(0)＝0，所以当x∈(0，x 0)时，f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(16分)。

江苏省普通高等学校2017年高三数学20套随堂小测试试题

随堂小测评(一)1. 已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则∁U (A∪B)＝____________．2. 函数f(x)＝x －2＋1x －3的定义域是__________．3. 已知正三角形ABC 的边长为23，圆O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA →·PB →的最大值为____________．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．S←1I←1 While I<8 S←S＋2 I←I＋3 End While Print S5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________．6. 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则lna 1＋lna 2＋…＋lna 20＝____________．7. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(π)＝__________．1. 设集合M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝__________． 2. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只颜色不同的概率为________．3. 已知角φ的终边经过点P(1，－2)，若函数f(x)＝sin(3x ＋φ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝__________．4. 对于直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题： ① 若m∥α，m ⊥n ，则n⊥α； ② 若m⊥α，m ⊥n ，则n∥α； ③ 若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ； ④ 若m⊥α，m ∥n ，nβ，则α⊥β.其中正确的命题是__________．(填序号)5. 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为__________．6. 设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为__________．7. 将函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，则函数y ＝g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最小值为________．1. 已知集合M ＝{x|x ＝a 2－3a ＋2，a ∈R }，N ＝{x|y ＝log 2(x 2＋2x －3)}，则M∩N＝__________．2. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线的离心率为__________．3. 在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝__________．4. 已知i 是虚数单位，则1－i（1＋i ）2的实部为__________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x ＞1.若函数f(x)的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为____________．6. 已知常数t 是负实数，则函数f(x)＝12t 2－tx －x 2的定义域是____________． 7. 在体积为V 的三棱锥SABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥SAPC 的体积大于V3的概率是____________．1. 设集合M ＝{2，0，x}，集合N ＝{0，1}，若NM ，则实数x 的值为__________．2. 若复数z 满足z －－2＝i(1＋i)(i 为虚数单位)，则z ＝____________．3. 已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为____________．4. 若一组样本数据8，x ，10，11，9的平均数为10，则该组样本数据的方差为____________．5. 若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤2，x －y≥－1，x ＋y≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为__________．6. 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时{a n }的前n 项和最大．7. 动直线y ＝k(x －2)与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取得最大值时，k 的值为____________．1. 函数y＝x－1的定义域为A，函数y＝lg(2－x)的定义域为B，则A∩B＝__________．2. 已知复数z＝2i1－i－1，其中i为虚数单位，则z的模为__________．3. 已知向量a＝(1，2)，b＝(0，－1)，c＝(k，－2)，若(a－2b)⊥c，则实数k＝____________．4. 在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________．5. 下图是一个算法的流程图，则输出的n＝__________．6. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝lnx在x＝e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax－y＋3＝0垂直，则实数a的值为________．7. 设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i＝a2i(i＝1，2，3)，则数列{b n}的公比为__________．1. 已知集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{2，2a－1}，A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为__________． 2. 已知复数z ＝(1＋i)(1－2i)(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．3. 现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为__________．4. 已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V ＝________ cm 3.5. 已知双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，则m ＝_______．6. 在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α、β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α、β、γ，则有____________．7. 已知圆C ：(x －a)2＋(y －a)2＝1(a ＞0)与直线y ＝3x 相交于P 、Q 两点，若∠PCQ＝90°，则实数a ＝________．1. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k ∈Z }，B ＝{x|－1≤x≤3}，则A∩B＝__________．2. 设复数z ＝a ＋i1－i (i 是虚数单位，a ∈R )．若复数z 的虚部为3，则a ＝__________．3. 下图是一个算法的伪代码，输出结果是__________．S←0a←1For I From 1 To 3 Step 1 a←2×a S←S＋a End For Print S4. 在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为__________．5. 已知ω＞0，函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是__________．6. 设函数f(x)＝x 2＋c ，g(x)＝ae x的图象的一个公共点为P(2，t)，且曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)在点P 处有相同的切线，函数y ＝f(x)－g(x)的负零点在区间(k ，k ＋1)(k∈Z )内，则k ＝__________．7. 设数列{a n }满足a 1＝3，当a n ≠0时，a n ＋1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；当a n ＝0时，a n ＋1＝0.则a 2 016＝____________．(注：[x]为不超过实数x 的最大整数，记{x}＝x －[x]．)1. 已知复数z 满足(1－i)z ＝1＋i ，则z 的模为____________．2. 已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x∈A，y ∈A}中元素的个数是__________．3. 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x ≥1，y ≥1，则z ＝x －2y 的最小值为__________．4. 在区间[－1，1]上随机地取一个实数x ，则使得cos πx 2的值介于0到12的概率为__________．5. 已知等差数列{a n }，a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝__________．6. 如图，圆O 的内接△ABC 中，M 是BC 的中点，AC ＝3.若AO →·AM →＝4，则AB ＝__________．7. 设f(x)＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n(m 、n∈R )是R 上的单调增函数，则m ＝____________．1. 已知集合A ＝{x|y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x|x 2－cx ＜0，c ＞0}．若A B ，则实数c 的取值范围是____________．2. 已知复数z 满足(3＋4i)z ＝1(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3. 在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2asinB ＝3b ，则角A 等于____________．4. 设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝__________．5. 若实数x ，y 满足x ＋y －4≥0，则z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10的最小值为____________．6. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前20项和为__________．7. 在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，AA 1＝1，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为____________．1. 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，3，B ＝{x|x 2≥1}，则A∩B＝__________．2. 已知z ＝(a －i)(1＋i )(a∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝____________．3. 已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x 2＝8y 的焦点，则双曲线C 的标准方程为____________．4. 下图是一个算法流程图，则输出k 的值是____________．5. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b －c ＝14a ，2sinB ＝3sinC ，则cosA ＝____________．6. 若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y2x －y的最小值为____________．7. 在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n .若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12也是等比数列，则S n ＝____________．1. 设全集U ＝{x∈N |x≥2}，集合A ＝{x∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝__________． 2. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前三项之和S 3＝9，则a n ＝________.3. 在平面向量a 、b 中，若a ＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝____________．4. 为了解某学校1 500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图，据此估计该校高中男生体重在70～78 kg 的人数为__________．5. 过圆x 2＋(y －2)2＝4外一点A(2，－2)，引圆的两条切线，切点为T 1、T 2，则直线T 1T 2的方程为____________．6. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________．7. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y≥0表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积最小时k 为__________．1. 设集合M ＝{x|x 2－3x －4<0}，N ＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝____________． 2. 函数f(x)＝1（log 2x ）2－1的定义域为____________．3. 向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则m ＝____________．4. 若不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是则实数a 的取值范围是____________．5. 已知抛物线y 2＝4px(p ＞0)与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为____________．6. 已知f(x)＝11＋x，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f(a n )，若a 2 014＝a 2 016，则a 20＋a 11＝____________．7. 如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则三棱锥AB 1D 1D 的体积为________ cm 3.1. 已知tan α＝2，则sin （π＋α）＋cos （π－α）sin （－α）＋cos （－α）＝____________．2. 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是____________．3. 设函数f(x)＝2x ＋lnx ，则f(x)的极________值点为x ＝________．4. 下面的程序运行后输出的结果为________．x←5y←－20 If x<0 Then x←y－3 Else y←y＋3 End IfPrint x －y ；y －x5. 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是____________．6. 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝____________．7. 若数列{a n }中，a 1＝12，且对任意的正整数p 、q ，都有a p ＋q ＝a p ·a q ，则a n ＝____________．1. 设全集为R ，集合A ＝{x|x 2－9<0}，B ＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝____________． 2. 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a ＝____________．3. 设函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的表达式为____________．4. “sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)条件．5. 在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是____________．6. 已知数列{a n }满足a 1＝254，a n ＋1－a n ＝2n ，则当n ＝____________时，a nn 取得最小值．7. 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB|＝____________．1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为____________．2. 设复数z满足z2＝3＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．3. 袋中装有大小相同且质地一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三球上的数恰好能构成等差数列的概率是__________．4. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n＝________．5. 已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD、BC”是“l垂直于两底AB、DC”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．6. 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是____________．7. 在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．1. 集合A ＝{0，2}，B ＝{1，a 2}，若A∪B＝{0，1，2，4}，则实数a ＝____________． 2. 在等差数列{a n }中，若a n ＋a n ＋2＝4n ＋6(n∈N *)，则该数列的通项公式a n ＝____________．3. 已知a ，b ，c 是单位向量，a ⊥b ，则(a ＋b ＋2c )·c 的最大值是________．4. 已知正六棱锥PABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为____________．5. 已知函数y ＝cosx 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是____________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是____________．7. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，2x －y ＋1≥0，x ＋4y －4≥0，则z ＝|x|＋|y －3|的取值范围是____________．1. 设复数z＝1＋i，若1，1z对应的向量分别为OA→和OB→，则|AB→|＝__________．2. 已知集合A＝{x|x2－1＝0}，集合B＝[0，2]，则A∩B＝__________．3. 不等式2x2－x<4的解集为____________．4. 已知函数y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则a的取值范围为______________．5. 已知等差数列{a n}的首项为4，公差为2，前n项和为S n.若S k－a k＋5＝44(k∈N*)，则k＝__________．6. 下列四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中所有真命题是__________．(填序号)7. 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交曲线C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为____________．1. 函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为____________．2. 下图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则在区间[4，5)上的数据的频数为____________．3. 已知抛物线y 2＝2px 过点M(2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为____________． 4. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________ m.5. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n ＝____________．6. 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β＝__________．7. 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为____________．1. 若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i(i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a ＝____________．2. 已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．3. 以抛物线y 2＝4x 的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为____________．4. 已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，则其公差为____________．5. 已知直线l 1：x －2y －1＝0和直线l 2：ax －by ＋1＝0，a 、b∈{1，2，3，4}，则直线l 1与直线l 2没有公共点的概率为____________．6. 若不等式x 2＋2＋|x 3－2x|≥ax 对x∈(0，4)恒成立，则实数a 的取值范围是____________．7. 设函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3和g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx 的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM →·ON →＝__________．1. 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 为____________．2. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为__________．3. 设等差数列{a n }的前n n 576＋a 8＝－2，则当S n 取得最大值时n 的值是__________．4. 如图，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝__________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x<0，则不等式f(f(x))≤3的解集为__________．6. 若△ABC 的内角满足sinA ＋2sinB ＝2sinC ，则cosC 的最小值是__________．7. 已知A 为椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2＝1的一条直径，则AM →·AN →的最大值为__________．1. 若复数(a －2)＋i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝__________．2. 已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝____________． 3. 为了了解某校男生体重情况，将样本数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第3小组的频数为12，则样本容量是____________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．5. 已知等差数列{a n }满足：a 1＝－8，a 2＝－6.若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为____________．6. 若抛物线y 2＝8x 的焦点F 与双曲线x 23－y 2n ＝1的一个焦点重合，则n 的值为____________．7. 在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为____________．1. 在复平面内，复数z 1的对应点是Z 1(1，1)，z 2的对应点是Z 2(1，－1)，则z 1·z 2＝__________．2. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2内的一条对称轴是____________． 3. 已知|a|＝3，|b|＝4，(a ＋b )·(a ＋3b )＝33，则a 与b 的夹角为__________．4. 运行如图所示的流程图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．5. 已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列通项a n ＝__________．6. 已知△ABC 的面积为12，且sinA ＝14，则1b ＋2c的最小值为__________． 7. 已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使得PA 、PO 、PB 成等比数列，则PA →·PB →的取值范围为____________．1. 已知p ：x 2－2x －3＜0，q ：1x －2＜0，若p 且q 为真，则x 的取值范围是____________． 2. 复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是____________．3. 如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为____________．4. 某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为________．5. 已知{a n }是递增数列，且对任意的n∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是____________．6. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，点F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为__________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为__________．1. 已知集合M ＝{3，2a }，N ＝{a ，b}，若M∩N＝{4}，则M∪N＝________．2. 已知复数z ＝3－2i i(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限．3. 根据如图所示的伪代码，输出的S 的值为________．S←0I←0While I ≤4I←I＋1S←S＋IEnd WhilePrint S4. 设l 、m 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是________．(填序号)① 若l⊥α，m ∥β，α⊥β，则l⊥m；② 若l∥m，m ⊥α，l ⊥β，则α∥β；③ 若l∥α，m ∥β，且α∥β，则l∥m；④ 若α⊥β，α∩β＝m ，lβ，l ⊥m ，则l⊥α. 5. 存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是____________．6. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为____________．7. 在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M 、N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为____________．1. 已知z·(1＋i)＝2＋i ，则复数z ＝__________．2. 在等比数列{a n }中，已知a 3＝4，a 7－2a 5－32＝0，则a 7＝__________．3. 设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a∥b”是“tan θ＝12”成立的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．4. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为__________．5. 一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 500)(元/月)收入段应抽出________人．6. 若斜率互为相反数且相交于点P(1，1)的两条直线被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长之比为62，则这两条直线的斜率之积为__________． 7. 若二次函数f(x)＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a c 2＋4＋c a 2＋4的最小值为__________．1. 已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{－2，－1，0}，则A∩∁U B ＝__________．2. 函数f(x)＝xn 2－3n(n∈Z )是偶函数，且y ＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________．3. 已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤1，|y|≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．4. 若实数m ，n ∈{－1，1，2，3}，且m≠n，则方程x 2m ＋y 2n＝1表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线的概率为________．5. 设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，则S 10＝__________．6. 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后，所得函数图象关于原点中心对称，则φ＝____________．7. 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．1. 若集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，3}，B ＝{3，4}，则∁U (A∪B)＝__________．2. 若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x，则k ＝2是函数f(x)为奇函数的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．3. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为__________．4. 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝____________．5. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若∠PF 1F 2＝30°，则该双曲线的离心率为__________．6. 已知函数f(x)＝x(|x|＋4)，且f(a 2)＋f(a)＜0，则a 的取值范围是__________．7. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝2，且数列{S n }也为等差数列，则a 13的值为____________．1. 若复数z ＝(x ＋i)(1＋i)是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z －＝__________．2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为__________．3. 已知A 、B 均为集合U ＝{2，4，6，8，10}的子集，且A∩B＝{4}，(∁U B )∩A＝{10}，则A ＝__________．4. 函数y ＝1x＋2lnx 的单调递减区间为__________． 5. 直线ax ＋2y ＋6＝0与直线x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则a ＝__________．6. 已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．7. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k∶1，则实数k 的取值范围为__________．随堂小测评(一)1. {4} 解析：A∪B＝{1，2，3}，所以∁U (A∪B)＝{4}．2. [2，3)∪(3，＋∞) 解析：要使函数有意义，x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，解得x≥2且x≠3. 3. 1 解析：在正三角形ABC 中，内切圆半径r ＝13·32·23＝1，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°，∠POD ＝θ(θ∈[0，π])．PA →·PB →＝(PO →＋OA →)·(PO →＋OB →)＝PO → 2＋(OA →＋OB →)·PO →＋OA →·OB →＝OP → 2＋2OD →·PO →＋OA →·OB →＝OP → 2－2OD →·OP →＋OA →·OB →＝1＋2cos θ＋4cos120°＝2cos θ－1.∴ (PA →·PB →)max ＝1.4. 7 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环S ＝3，I ＝4；第2次循环S ＝5，I ＝7；第3次循环S ＝7，I ＝10.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．5. π3或2π3 解析：由正弦定理得a sinA ＝b sinB ，即1sin π6＝3sinB ，解得sinB ＝32.因为b>a ，所以B ＝π3或2π3. 6. 50 解析：由等比数列性质得a 10a 11＝a 9a 12，则a 10a 11＝e 5，∴ lna 1＋lna 2＋…＋lna 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝50. 7. 2 解析：由图象知最小正周期T ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π3＝2πω，故ω＝3.又x ＝π4时，3·π4＋φ＝2k π(k∈Z )，可得φ＝5π4，所以f(π)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋5π4＝ 2.本题考查ω与周期的关系，以及利用五点作图法逆求φ的值．本题属于中等难度题．随堂小测评(二)1. {－2，0，2} 解析：∵ M＝{－2，0}，N ＝{0，2}，∴ M ∪N ＝{－2，0，2}．2. 56解析：基本事件有6种：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)，其中颜色不同的事件有5种，则这2只球颜色不同的概率为56.本题考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．3. －1010 解析：因为角φ的终边经过点P(1，－2)，所以sin φ＝－25，cos φ＝15，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝22(15－25)＝－1010. 4. ④ 解析：①②n 与α可能平行、垂直或在平面α内；③α与γ可能平行、垂直或相交．5. 2x －4y ＋3＝0 解析：当直线l 与直线CP 垂直时，∠ACB 最小．∴ k PC ＝1－012－1＝－2.∴ k l ＝12.∴ l 的方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 6. 8 解析：画出可行域，可知该区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z ＝2x －y 在两条直线x －3y ＋1＝0与x ＋y －7＝0的交点(5，2)处时，取得最大值z ＝8.7. －22 解析：由题意g(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4，又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，则3x －3π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，sin(3x －3π4)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1.故y ＝g(x)的最小值为－22. 随堂小测评(三)1. (1，＋∞) 解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322－14，a ∈R ＝[－14，＋∞)，N ＝(－∞，－3)∪(1，＋∞)，M ∩N ＝(1，＋∞)．2. 3 解析：不妨设P 点在右支上，PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＋PF 2＝6a ，则PF 1＝4a ，PF 2＝2a ，则∠PF 1F 2为△PF 1F 2的最小内角，∠PF 1F 2＝30°.cos ∠PF 1F 2＝（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝3a 2＋c 24ac ＝32.化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－23·c a ＋3＝0，e ＝ 3. 3. 63 解析：设BC ＝a ，AC ＝b ，作CD 垂直AB ，ME 垂直AB ，CM ＝BM ＝a 2，AM ＝b 2＋a 24，CD ＝2ME ，sin ∠BAM ＝ME AM ＝13，ME ＝13AM ，CD ＝ab a 2＋b 2，则12ab ·1a 2＋b 2＝13b 2＋a 24，化简得2b 2＝a 2，所以sin ∠BAC ＝CD AC ＝63. 4. －12 解析：1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝（1－i ）（－i ）2i （－i ）＝－1－i 2，实部为－12.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题． 5. (－5，0) 解析：当m ＝0时，函数f(x)的图象与x 轴有且只有1个交点；当m>0时，函数f(x)的图象与x 轴没有交点；当m<0时，函数f(x)的图象要与x 轴有且只有两个不同的交点，则f(0)<0，且f(1)>0，得实数m 的取值范围为(－5，0)．本题综合考查了函数思想和数形结合思想的运用．本题属于中等题．6. [3t ，－4t] 解析：12t 2－tx －x 2≥0(x ＋4t)(x －3t)≤0，∵ t<0，∴ x ∈[3t ，－4t]．7. 23 解析：由题意可知V SAPC V SABC ＞13.如图所示，三棱锥SABC 与三棱锥SAPC 的高相同，因此V SAPC V SABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ＝AP AB ＞13(PM ，BN 为其高线)，故所求概率为23. 随堂小测评(四)1. 1 解析：由N M 知1∈M，则x ＝1.本题考查了集合的子集的概念．本题属于容易题．2. 1－i 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则x －yi －2＝i －1.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－1，－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴ z ＝1－i. 3. x 29－y 227＝1 解析：由渐近线方程y ＝3x ，得b a ＝ 3.抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线的一个焦点为(－6，0)，即c ＝6.由⎩⎨⎧a 2＋b 2＝36，b ＝3a ，得a 2＝9，b 2＝27. 4. 2 解析：8，x ，10，11，9的平均数为10，则x ＝12. 该组样本数据的方差s 2＝(4＋4＋1＋1)÷5＝2.本题考查了平均数和方差公式．本题属于容易题．5. 1 解析：本题画出可行域发现z ＝2x ＋y 过点(0，1)时，z ＝2x ＋y 的最小值为1.本题主要考查简单的线性规划问题．本题属于容易题．6. 8 解析：由a 7＋a 8＋a 9＞0得3a 8＞0，a 8＞0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，则a 9＜0，故当n ＝8时，S n 最大．7. －33解析：△AOB 的面积取得最大值，则∠AOB＝90°，则半圆的圆心到直线的距离为12，利用点到直线的距离公式可得k 2＝13，由图形知k ＜0，则k 的值为－33.本题考查三角形面积公式，点到直线的距离公式．本题属于中等题．随堂小测评(五)1. [1，2) 解析：A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，则A∩B＝[1，2)．2. 5 解析：z ＝－2＋i ，z 的模为 5.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 8 解析：a －2b ＝(1，4)，(a －2b )·c ＝k －8＝0，则k ＝8.本题考查了向量的坐标运算，属于容易题．4. －14 解析：由正弦定理a∶b∶c＝2∶3∶4，因此cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－162×2×3＝－14. 5. 9 解析：由流程图的循环体执行如下：第1次循环S ＝2，n ＝3；第2次循环S ＝10，n ＝5；第3次循环S ＝42，n ＝7；第4次循环S ＝170，n ＝9.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．6. －e 解析：k 1＝e －1，k 2＝a ，两直线垂直，则e －1 a ＝－1，a ＝－e.本题考查了导数的几何意义及两条直线垂直，属于容易题． 7. 3＋2 2 解析：设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d.因为a 1＜a 2，所以d ＞0.又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d)2(a ＋d)2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍去)，则d ＝±2a.若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22＜1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝3＋2 2.随堂小测评(六)1. 1 解析：2a －1＝1，a ＝1.本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 3 解析：复数z ＝(1＋i)(1－2i)＝3－i ，z 的实部为3.本题考查复数的基本运算和复数实部的概念．本题属于容易题．3. 35解析：从5件产品中任意抽取2件有10种不同的方法，其中抽得一件合格、另一件不合格的方法种数为6种，所以所求的概率为P ＝610＝35.本题主要考查概率知识．本题属于容易题．4. 1＋26 解析：几何体是由一个棱长为1的正方体和一个正四棱锥组成，正方体的体积为1，正四棱锥的高为22，底面积为1，体积为26，则该空间几何体体积V ＝1＋26.本题考查了正方体和正四棱锥的体积．本题属于容易题．5. 2 解析：双曲线x 24－y 2m ＝1(m>0)的渐近线方程为x 24－y 2m ＝0，即y ＝±m 2x ，又双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，所以m ＝2. 本题主要考查了双曲线的渐近线方程，属于容易题．6. cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 解析：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则cos2α＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2γ＝c 2＋a 2a 2＋b 2＋c2，故cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2（c 2＋a 2＋b 2）a 2＋b 2＋c2＝2.本题考查类比问题，考查线面角的概念及简单计算．属于中等题． 7. 52 解析：圆的半径为1，∠PCQ ＝90°，故圆心到直线的距离为22.由点到直线距离公式得|3a －a|9＋1＝22，又a>0，故a ＝52.本题考查直线与圆的位置关系及点到直线距离公式，属于中等题．随堂小测评(七)1. {－1，1，3} 解析：B 中的奇数有－1，1，3, A ∩B ＝{－1，1，3}．本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 5 解析：∵ z＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －12＋a ＋12i ，且z 的虚部为3，∴ a ＋12＝3，解得a ＝5.本题主要考查复数的基本概念、基本运算等基础知识，属于容易题．3. 14 解析：图中伪代码表示的算法是S ＝2＋4＋8＝14，所以输出S ＝14.本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题．4. 13解析：用列举法列出基本事件总数：(一、二)，(一、无)，(二、一)，(二、无)，(无、二)，(无、一)，两人都中奖的基本事件数为2，两人都中奖的概率为13.本题主要考查古典概型的求法．本题属于容易题．5. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 解析：由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54. 6. －1 解析：由题意，因为函数f(x)＝x 2＋c 与g(x)＝ae x 的图象的一个公共点为P(2，t)，所以c ＋4＝ae 2＝t ，f ′(x)＝2x ，g ′(x)＝ae x .因为曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)在点P 处有相同的切线，所以f′(2)＝g′(2)，即4＝ae 2，所以a ＝4e 2，c ＝0，f(x)＝x 2，g(x)＝4e2e x .记F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝1－4e 3>0，F(0)＝f(0)－g(0)＝0－4e2＜0，所以F(－1)F(0)＜0，所以函数F(x)＝f(x)－g(x)的负零点在区间(－1，0)内，故k ＝－1.本题主要考查导数的几何意义、导数的求法，函数零点存在性定理及其应用等基础知识，考查等价转化与数形结合思想，属于中等题．7. 3－12 解析：由已知条件给出的数列递推关系可得a 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13＝13－0＝33，a 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2＝{3}＝3－1，a 4＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13－1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3＋12＝3＋12－1＝3－12，a 5＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 4＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫23－1＝{3＋1}＝3＋1－2＝3－1，由此计算过程可发现，当n 为大于2的奇数时，a n ＝3－1，当n 为大于2的偶数时，a n ＝3－12，故a 2 016＝3－12.本题用新定义创新考查了递推数列，考查了阅读理解与归纳推理能力，属于中等题．随堂小测评(八)1. 1 解析：z ＝1＋i 1－i ＝2i 2＝i ，z 的模为1.本题主要考查复数模的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题． 2. 5 解析：B ＝{0，－1，－2，1，2}．3. －2 解析：画出可行域，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.由图可知，z min ＝－2.本题考查线性规划基础知识．本题属于容易题．4. 13解析：这是一个几何概型，其概率的值就是对应区间长度的比值．因为－1≤x≤1时－π2≤πx 2≤π2，又当－π2≤πx 2≤－π3或π3≤πx 2≤π2时，0≤cos πx 2≤12，此时－1≤x≤－23或23≤x ≤1，故所求概率P ＝13＋132＝13. 5. 20 解析：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 7＋a 5)＝2a 5＋2a 6＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20.6. 7 解析：取AC 的中点N ，则AO →＝AN →＋NO →，ON ⊥AC ，则AO →·AC →＝(AN →＋NO →)·AC →＝12|AC →|2.同理AO →·AB →＝12|AB →|2.又AO →·AM →＝4，则AO →·AM →＝12AO →·(AB →＋AC →)＝14|AB →|2＋14|AC →|2＝4，得AB ＝7.本题考查了向量的分解、垂径定理、数量积等内容．本题属于中等题． 7. 6 解析：f′(x)＝12x 2＋2mx ＋m －3≥0恒成立，则Δ＝4m 2－48(m －3)≤0，即m2－12m ＋36＝(m －6)2≤0，即m ＝6.本题考查函数单调性与导数、一元二次不等式恒成立的条件，本题属于中等题．随堂小测评(九)1. [1，＋∞) 解析：A ＝(0，1)，B ＝(0，c)．若A B ，则c≥1.2. 15 解析：z ＝13＋4i ＝3－4i （3＋4i ）（3－4i ）＝3－4i 25，z 的模为15.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. π3解析：由正弦定理得2sinAsinB ＝3sinB.∵ sinB ≠0， ∴ sinA ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴ A ＝π3. 4. 1 解析：(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝10，(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝6，两式相减得4a·b ＝4，故a·b ＝1.5. 18 解析：z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10＝(x ＋3)2＋(y －1)2的最小值即点(－3，1)到直线x ＋y －4＝0的距离的平方，即32的平方，答案为18.本题考查了线性规划的知识和点到直线的距离公式．本题属于中等题．6. 55 解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7×62d ＝7，15a 1＋15×142d ＝75⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2×1＝n 22－5n 2，S n n ＝n 2－52，这是等差数列，首项为－2，公差为12，故前20项和为－2×20＋20×192×12＝55.本题考查等差数列的通项及前n 项和公式，对基本量的计算要准确．属于中等题．7. 2 解析：△A 1B 1C 1边长为2，高为3，AA 1＝1，△AB 1C 1的高为2，则△AB 1C 1的面积为2，三棱锥A 1AB 1C 1体积为23，三棱柱的体积为三棱锥A 1AB 1C 1体积的3倍，即 2.本题主要考查同底的柱体体积与锥体体积的关系以及线面垂直的性质运用．本题属于中等题．随堂小测评(十)1. {－1，3} 解析：(－1)2≥1，32≥1，则A∩B＝{－1，3}．本题主要考查集合的交集运算，属于容易题．2. 1 解析：z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，∵ z 在复平面内对应的点在实轴上，∴ a －1＝0，从而a ＝1.3. y 2－x 23＝1 解析：c ＝2，a ＝1，则b 2＝3，双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1.本题考查抛物线的焦点、双曲线的离心率等概念．本题属于容易题． 4. 6 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环后S ＝38，k ＝2；第2次循环后S ＝34，k ＝3；第3次循环后S ＝26，k ＝4；第4次循环后S ＝10，k ＝5；第5次循环后S ＝－22，k ＝6.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．5. －14 解析：由正弦定理得2b ＝3c ，又b －c ＝14a ，则b ＝32c ，a ＝2c ，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22·32c ·c ＝－14.6. 4 解析：由log 2x ＋log 2y ＝1，得xy ＝2，x 2＋y 2x －y ＝x 2－2xy ＋y 2＋2xy x －y ＝（x －y ）2＋4x －y＝x －y ＋4x －y ≥4，则x 2＋y 2x －y的最小值为4.本题考查对数的运算以及基本不等式的运用．本题属于中等题．7. 3n －12 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＝n ，S n ＋12＝n ＋12，此时⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12不是等比数列；当q≠1时，S n ＝1－q n 1－q ，∴ S n ＋12＝1－q n 1－q ＋12＝1－q n ＋12－12q 1－q ＝12（3－q ）－q n 1－q.∵ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是等比数列，∴ q ＝3，从而S n ＝3n －12. 随堂小测评(十一)1. {2} 解析：∁U A ＝{x∈N |2≤x<5}＝{2}．2. 2n －1 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＝9，即3a 1＋3d ＝9，所以a 1＋d ＝3.因为a 1＝1，所以d ＝2，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1.3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 解析：|a|＝5，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝1，a 、b 方向相同，则b ＝15a ＝⎝⎛⎭⎪⎫45，－35. 4. 180 解析：由频率分布直方图得到体重在70～78 kg 的男生的频率为(0.02＋0.01)×4＝0.12，所以该校1 500名高中男生中体重在70～78 kg 的人数大约为0.12×1 500＝180.5. x －2y ＋2＝0 解析：设切点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则AT 1的方程为x 1x ＋(y 1－2)(y －2)＝4，AT 2的方程为x 2x ＋(y 2－2)(y －2)＝4，则2x 1－4(y 1－2)＝4，2x 2－4(y 2－2)＝4，所以2x －4(y －2)＝4，即x －2y ＋2＝0.6. ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 解析：因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以由S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，整理得3S n ＝2S n ＋1，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，公比q ＝32的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. 7. 1 解析：平面区域为三条直线围成的△ABC，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＋2＝0，得A(1，－3)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，kx －y ＝0，得B(1，k)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，kx －y ＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋1，－2k k ＋1；S ＝12|AB|(1－x C )＝12(k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1＋4k ＋1＋4.∵ k ≥0，∴ k ＋1>0，∴ S ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（k ＋1）·4k ＋1＋4＝4，当且仅当k ＋1＝4k ＋1，即k ＝1时，等号成立．随堂小测评(十二)1. [0，4) 解析：因为M ＝{x|x 2－3x －4<0}＝{x|－1<x<4}，N ＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝{x|0≤x<4}．2. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，（log 2x ）2－1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12. 3. －12解析：m a ＋b ＝(2m ，3m)＋(－1，2)＝(2m －1，3m ＋2)，a －2b ＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1)，则－2m ＋1＝12m ＋8，解得m ＝－12. 4. {a|－1＜a ＜3} 解析：由题意得a 2－2a －1＜x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2恒成立，所以a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.5. 2＋1 解析：设双曲线的左焦点为F′，连结AF′.∵ F 是抛物线y 2＝4px 的焦点，且AF⊥x 轴，∴ 设A(p ，y 0)，得y 20＝4p×p，得y 0＝2p ，A(p ，2p)，∴ 在Rt △AFF ′中，|AF|＝|FF′|＝2p ，得|AF′|＝22p ，∴ 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦距2c ＝|FF′|＝2p ，实轴2a ＝|AF′|－|AF|＝2p(2－1)，由此可得离心率为e ＝c a ＝2c 2a ＝2p 2p （2－1）＝2＋1. 6. 3＋13526 解析：由题意得a 3＝12，a 5＝23，…，a 11＝813.。

江苏省普通高等学校17年高三数学随堂小测评二十六1708090192

随堂小测评(二十六)1. 已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{－2，－1，0}，则A∩∁U B ＝__________．2. 函数f(x)＝xn 2－3n(n∈Z )是偶函数，且y ＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________．3. 已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤1，|y|≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．4. 若实数m ，n ∈{－1，1，2，3}，且m≠n，则方程x 2m ＋y 2n＝1表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线的概率为________．5. 设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，则S 10＝__________．6. 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后，所得函数图象关于原点中心对称，则φ＝____________．7. 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．随堂小测评(二十六)1. {1} 解析：因为∁U B ＝{1，2}，所以A∩∁U B ＝{1}．2. 1或2 解析：由n 2－3n ＜0，得0＜n ＜3.又n∈Z ，则n ＝1，2.又f(x)是偶函数，当n ＝1时，n 2－3n ＝－2；当n ＝2时，n 2－3n ＝－4，符合题意．3. －3 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤1，|y|≤1，作出线性区域，发现z ＝2x ＋y 过(－1，－1)时取最小值，则z ＝2x ＋y 的最小值是－3.本题主要考查了利用线性规划求最值，属于容易题．4. 14解析：基本事件总数为N ＝4×3＝12，曲线为焦点在x 轴上的双曲线时，n ＝－1，m 可取1或2或3，共有N 1＝3种．∴ 其概率为P ＝312＝14. 5. 110 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得(20＋6d)2＝(20＋2d)·(20＋8d)，化简得d 2＋2d ＝0.∵ d≠0，∴ d ＝－2，∴ S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110. 6. 3π8 解析：函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ个单位后，所得函数解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π4，由其图象关于原点成中心对称，得2φ＋π4＝k π，又0<φ<π2，得φ＝3π8.本题考查函数图象的平移，以及图象关于原点成中心对称的运用．本题属于容易题．7. [1，5] 解析：圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，说明点A(x ，y)到M (1，1)的距离小于等于4，即(x －1)2＋(y －1)2≤16，而y ＝6－x ，得x 2－6x＋5≤0，即1≤x≤5.点A 横坐标的取值范围为[1，5]．本题考查了直线与圆的位置关系，一元二次不等式的解法等知识，以及数形结合的数学思想．本题属于难题．。

江苏省普通高等学校2017年高三数学随堂小测评六201708090199

随堂小测评(六)1. 已知集合A＝{－1，1，3}，B＝{2，2a－1}，A∩B＝{1}，则实数a的值为__________．2. 已知复数z＝(1＋i)(1－2i)(i为虚数单位)，则z的实部为________．3. 现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为__________．4.已知一个空间几何体的所有棱长均为1 c m，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V＝________ cm3.x2 y2 25. 已知双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝_______．4 m 26. 在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α、β，则有cos2α＋cos2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α、β、γ，则有____________．7. 已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a＞0)与直线y＝3x相交于P、Q两点，若∠PCQ＝90°，则实数a＝________．1随堂小测评(六)1.1解析：2a－1＝1，a＝1.本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2.3解析：复数z＝(1＋i)(1－2i)＝3－i，z的实部为3.本题考查复数的基本运算和复数实部的概念．本题属于容易题．33.解析：从5件产品中任意抽取2件有10种不同的方法，其中抽得一件合格、另一件56 3不合格的方法种数为6种，所以所求的概率为P＝＝.本题主要考查概率知识．本题属于容10 5易题．24.1＋解析：几何体是由一个棱长为1的正方体和一个正四棱锥组成，正方体的体积62 2 2为1，正四棱锥的高为，底面积为1，体积为，则该空间几何体体积V＝1＋.本题考查2 6 6了正方体和正四棱锥的体积．本题属于容易题．x2 y2 x2 y2 m x25.2解析：双曲线－＝1(m>0)的渐近线方程为－＝0，即y＝±x，又双曲线4 m 4 m 2 4y2 2－＝1的渐近线方程为y＝±x，所以m＝2. 本题主要考查了双曲线的渐近线方程，属于容m 2易题．6.cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2解析：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则cos2α＝a2＋b2 b2＋c2 c2＋a2，cos2β＝，cos2γ＝，故cos2α＋cos2β＋cos2γ＝a2＋b2＋c2 a2＋b2＋c2 a2＋b2＋c22（c2＋a2＋b2）＝2.本题考查类比问题，考查线面角的概念及简单计算．属于中等题．a2＋b2＋c25 27.解析：圆的半径为1，∠PCQ＝90°，故圆心到直线的距离为.由点到直线距离公2 2|3a－a| 2 5式得＝，又a>0，故a＝.本题考查直线与圆的位置关系及点到直线距离公式，属9＋1 2 2于中等题．2。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数学试题一含解析精品

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，B ＝{x|0≤x ≤4}，则A ∩B ＝____________．2. 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域是____________．3. 已知sin α＝14，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝____________．4. 定义在R 上的奇函数f(x)，当x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝____________．5. 函数y ＝3sinx －cosx －2(x ＞0)的值域是____________．6. 等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 4＝8a 1，a 4＝4＋a 2，则S 10＝__________．7. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ＞0，－x －3，x ＜0，若f(a)＞f(1)，则实数a 的取值范围是______________．8. 等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝____________． 9. 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后，得到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，则φ的值等于________．10. 已知函数f(x)＝ax ＋bx (a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y－1＝0垂直，且函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，则b 的最大值等于__________．11. 已知f(m)＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0，1]时，f(m)≤1恒成立，则a ＋b 的最大值是__________．12. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tanA ＝2tanB ，a 2－b 2＝13c ，则c ＝____________．13. 已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则12x ＋xy ＋1的最小值为____________．14. 设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≤0在区间I 上恒成立，则称函数f(x)和g(x)在区间I 上单调性相反．若函数f(x)＝13x 3－2ax 与函数g(x)＝x 2＋2bx 在开区间(a ，b)(a ＞0)上单调性相反，则b －a 的最大值等于____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cos ωx2⎝⎛⎭⎫3cos ωx 2－sin ωx 2(ω＞0)的最小正周期为2π.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 设θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f(θ)＝3＋65，求cos θ的值．16.(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1) 求a 1，a 2的值；(2) 求证：数列{a n ＋2n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式．17. (本小题满分14分) 已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋1.(1) 若函数g(x)＝log a [f(x)＋a](a ＞0，a ≠1)的定义域是R ，求实数a 的取值范围； (2) 当x ＞0时，恒有不等式f （x ）x＞lnx 成立，求实数a 的取值范围．18. (本小题满分16分)如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元．(其中a是正常数)设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？19. (本小题满分16分)设函数f(x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝lnx.(1) 当m＞1时，求函数y＝f(x)在[0，m]上的最大值；(2) 记函数p(x)＝f(x)－g(x)，若函数p(x)有零点，求实数m的取值范围．20. (本小题满分16分)已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1＝1，a2＝2.(1) 若S5＝16，a4＝a5，求a10；(2) 已知S15＝15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n＋1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；(3) 若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整数m，n(m≠n)，使得a m＝a n.求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．(一)1. {x|0≤x ≤2} 解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：由x 2－x －2＞0，则x ＞2或x<1.本题主要考查对数式中真数大于0，以及一元二次不等式的解法．本题属于容易题．3. －1515 解析：由sin α＝14，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得cos α＝－154，则tan α＝sin αcos α＝－1515.本题主要考查同角三角函数关系．本题属于容易题． 4. －2 解析：由函数f(x)在R 上是奇函数，则f(0) ＝0，又x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，则f(3)＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－2.本题主要考查奇函数的性质．本题属于容易题．5. [－4，0] 解析：由y ＝3sinx －cosx －2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－2，则－4≤y ≤0.本题主要考查三角函数的值域，以及和差角公式的逆用．本题属于容易题．6. 120 解析：由S 4＝8a 1，a 4＝4＋a 2得d ＝2，a 1＝3，则S 10＝10a 1＋45d ＝120.本题主要考查等差数列通项公式以及求和公式．本题属于容易题．7. a ＜－1或a ＞1 解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a －4>－2，则a>1；当a ＜0时，－x －3＞－2，则a ＜－1.所以实数a 的取值范围是a ＜－1或a ＞1. 本题主要考查分段函数，以及简单不等式的解法．本题属于容易题．8. 4 解析：由a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6(q>1)，得q ＝2，a 1＝1，则a 3＝4. 本题主要考查等比数列通项公式．本题属于容易题．9. π3 解析：由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后，得到函数f(x)＝sin(2x ＋π6－2φ)的图象，函数f(x)是偶函数，π6－2φ＝π2＋k π，而φ为锐角，则k ＝－1时φ＝π3.本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的奇偶性．本题属于容易题．10. 23 解析：函数f(x)＝ax ＋bx(a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为2, f ′(1)＝2，得a －b ＝2，由函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，f ′(x)≥0在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，得a 4≥b ，又a ＝2＋b ，则b ≤23.本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于中等题．11. 73 解析：将已知条件变形f(m)＝m(3a －2)＋b －a ，当3a －2＝0时，即a ＝23，则有b －a ≤1，即b ≤a ＋1，所以a ＋b ≤2a ＋1＝2×23＋1＝73；当3a －2＞0，即a ＞23时，函数f(m)在[0，1]上单调递增，f(m)max ＝f(1)＝3a －2＋b －a ＝2a ＋b －2≤1，则b ≤3－2a ，所以a ＋b ≤a＋3－2a ＝3－a ＜73；当3a －2＜0，即a ＜23时，函数f(m)在[0，1]上单调递减，f(m)max ＝f(0)＝b －a ≤1，则b ≤a ＋1，所以a ＋b ≤2a ＋1＜73.综上所述，a ＋b 的最大值为73.本题主要考查在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题．本题属于中等题．12. 1 解析：由tanA ＝2tanB sinA cosA ＝2sinBcosB，结合正、余弦定理转化为边的关系，有2abc b 2＋c 2－a 2＝2×2abc a 2＋c 2－b2，化简有a 2－b 2＝13c 2，结合已知条件有c ＝1.本题主要考查利用正、余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦．本题属于中等题．13. 54 解析：将x ＋y ＝1代入12x ＋x y ＋1中，得x ＋y 2x ＋x x ＋2y ＝12＋y 2x ＋11＋2y x，设yx＝t ＞0，则原式＝1＋t 2＋11＋2t ＝2t 2＋3t ＋32（1＋2t ）＝14·（1＋2t ）2＋2t ＋1＋41＋2t ＝14[(1＋2t)＋41＋2t＋1]≥14×2（1＋2t ）·41＋2t ＋14＝54，当且仅当t ＝12时，即x ＝23，y ＝13时，取“＝”．本题主要考查利用代数式变形，以及利用基本不等式求最值．本题属于难题．14. 12 解析：因为g(x)＝x 2＋2bx 在区间(a ，b)上为单调增函数，所以f(x)＝13x 3－2ax在区间(a ，b)上单调减，故x ∈(a ，b)，f ′(x)＝x 2－2a ≤0，即a ≥b22，而b ＞a ，所以b ∈(0，2)，b －a ≤b －b 22＝－12(b －1)2＋12，当b ＝1时，b －a 的最大值为12.本题主要考查二次函数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于难题.15. 解：(1) f(x)＝2cos ωx 2⎝⎛⎭⎫3cos ωx 2－sin ωx 2＝23cos 2ωx 2－2cos ωx 2sin ωx2＝3(1＋cos ωx)－sin ωx(2分)＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3.(4分)∵ 函数f(x)的最小正周期为2π，∴ 2πω＝2π，ω＝1.(6分)∴ f(x)＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.(7分)(2) 由f(θ)＝3＋65，得sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－35.∵ θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝45.(9分)∴ cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3sin π3(12分)＝45×12－⎝⎛⎭⎫－35×32＝4＋3310.(14分)16. (1) 解：由已知，得2a 1＝a 2－3 ①， 2(a 1＋a 2)＝a 3－7 ②.(2分) 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2＋10 ③.(3分) 解①②③，得a 1＝1，a 2＝5.(5分)(2) 证明：由已知，n ∈N *时，2(S n ＋1－S n )＝a n ＋2－a n ＋1－2n ＋2＋2n ＋1，即a n ＋2＝3a n ＋1＋2n＋1，即a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)，(7分)由(1)得，a 2＝3a 1＋2，∴ a n ＋1＝3a n ＋2n (n ∈N *)，(9分)从而有a n ＋1＋2n ＋1＝3a n ＋2n ＋2n ＋1＝3a n ＋3×2n ＝3(a n ＋2n )．(11分)又a 1＋2＞0，∴ a n ＋2n＞0，∴ a n ＋1＋2n ＋1a n ＋2n＝3，∴ 数列{a n ＋2n }是等比数列，且公比为3.(12分)∴ a n ＋2n ＝(a 1＋2)×3n －1＝3n ，即a n ＝3n －2n .(14分)[注：① 不说明a 2＝3a 1＋2，就得a n ＋1＝3a n ＋2n (n ∈N *)，扣1分；② 仅由a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )，就得到数列{a n ＋2n }是等比数列，扣1分．]17. 解：(1) 由题意得，对任意x ∈R ，恒有f(x)＋a ＞0，即恒有x 2－2ax ＋1＋a ＞0，(2分)于是Δ＝4a 2－4(1＋a)＜0，(3分)即a 2－a －1＜0，解得1－52＜a ＜1＋52.(3分)因为a ＞0，a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52.(5分)(2) 当x ＞0时，不等式f （x ）x ＞lnx 等价于x －2a ＋1x ＞lnx ，即2a ＜x ＋1x－lnx ，(7分)设g(x)＝x ＋1x －lnx ，则g′(x)＝1－1x 2－1x ＝x 2－x －1x 2.(9分)令g′(x)＝0，得x ＝1＋52，当0＜x ＜1＋52时，g ′(x)＜0，g(x)单调减，当x ＞1＋52时，g ′(x)＞0，g(x)单调增，(11分)故当x ＝1＋52时，g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＝5－ln 1＋52，(13分)所以2a ＜5－ln 1＋52，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52－12ln 1＋52.(14分) 18. 解：(1) 由题知在△ACD 中，∠CAD ＝π3，∠CDA ＝α，AC ＝10，∠ACD ＝2π3－α.由正弦定理知CD sin π3＝AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝10sin α，(2分)即CD ＝53sin α，AD ＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin α，(3分)所以S ＝4aAD ＋8aBD ＋12aCD ＝(12CD －4AD ＋80)a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤603－40sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin αa ＋80a(5分) ＝203（3－cos α）·a sin α＋60a ⎝⎛⎭⎫π3＜α＜2π3.(6分)(2) S′＝203·1－3cos αsin 2α·a ，(8分)令S′＝0得cos α＝13，(10分)当cos α＞13时，S ′＜0；当cos α＜13时，S ′＞0，(12分)所以当cos α＝13时，S 取得最小值，(13分)此时sin α＝223，AD ＝53cos α＋5sin αsin α＝5＋564，(15分)所以中转点D 距A 处20＋564km 时，运输成本S 最小．(16分)19. 解：(1) 当x ∈[0，1]时，f(x)＝x(1－x)＋m ＝－x 2＋x ＋m ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋m ＋14，当x ＝12时，f(x)max ＝m ＋14.(2分)当x ∈(1，m]时，f(x)＝x(x －1)＋m ＝x 2－x ＋m ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋m －14，因为函数y ＝f(x)在(1，m]上单调递增，所以f(x)max ＝f(m)＝m 2.(4分) 由m 2≥m ＋14得m 2－m －14≥0，又m ＞1，所以m ≥1＋22.(6分)所以当m ≥1＋22时，f(x)max ＝m 2；当1＜m ＜1＋22时，f(x)max ＝m ＋14.(8分)(2) 函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解，即m ＝lnx －x|x －1|有解．令h(x)＝lnx －x|x －1|，当x ∈(0，1]时，h(x)＝x 2－x ＋lnx.因为h′(x)＝2x ＋1x－1≥22－1＞0，(10分)所以函数h(x)在(0，1]上是增函数，所以h(x)≤h(1)＝0.(11分) 当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x 2＋x ＋lnx.因为h′(x)＝－2x ＋1x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x＝－（x －1）（2x ＋1）x＜0，(12分)所以函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以h(x)＜h(1)＝0.(14分)所以方程m ＝lnx －x|x －1|有解时m ≤0.即函数p(x)有零点时实数m 的取值范围是(－∞，0]．(16分)20. (1) 解：由题意，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋d 1＝1＋d 1，a 4＝a 2＋d 2＝2＋d 2，a 5＝a 3＋d 1＝1＋2d 1.(2分)因为S 5＝16，a 4＝a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝7＋3d 1＋d 2＝16，2＋d 2＝1＋2d 1.所以d 1＝2，d 2＝3，(4分)所以a 10＝2＋4d 2＝14.(5分)(2) 证明：当n 为偶数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2＜1＋n 2d 1，n2(d 2－d 1)＋1－d 2＜0恒成立，所以d 2－d 1≤0且d 2＞1.(7分) 当n 为奇数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即1＋n －12d 1＜2＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1d 2，(1－n)(d 1－d 2)＋2＞0恒成立，所以d 1－d 2≤0，于是有d 1＝d 2.(9分)因为S 15＝15a 8，所以8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2，所以d 1＝d 2＝2，a n ＝n ，所以数列{a n }是等差数列．(11分)(3) 解：若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n(m ≠n)，使得a m ＝a n ，由题意得，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为a m ＝a n ，所以1＋m －12d 1＝2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2.(13分) 因为d 1＝3d 2，所以d 1＝63m －n －1.因为m 为奇数，n 为偶数，所以3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1.(15分)所以数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎨⎧32n －12，n 为奇数，12n ＋1，n 为偶数.(16分)。

江苏省普通高等学校2017年高三数学随堂小测评(十二)

随堂小测评(十二)1. 设集合M ＝{x|x 2－3x －4<0}，N ＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝____________．2. 函数f(x)＝1（log 2x ）2－1的定义域为____________．3. 向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则m ＝____________．4. 若不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是则实数a 的取值范围是____________．5. 已知抛物线y 2＝4px(p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为____________．6. 已知f(x)＝11＋x，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f(a n )，若a 2 014＝a 2 016，则a 20＋a 11＝____________．7. 如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则三棱锥AB 1D 1D 的体积为________ cm 3.随堂小测评(十二)1. [0，4) 解析：因为M ＝{x|x 2－3x －4<0}＝{x|－1<x<4}，N ＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N ＝{x|0≤x<4}．2. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，（log 2x ）2－1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12. 3. －12解析：m a ＋b ＝(2m ，3m)＋(－1，2)＝(2m －1，3m ＋2)，a －2b ＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1)，则－2m ＋1＝12m ＋8，解得m ＝－12. 4. {a|－1＜a ＜3} 解析：由题意得a 2－2a －1＜x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2恒成立，所以a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.5. 2＋1 解析：设双曲线的左焦点为F′，连结AF′.∵ F 是抛物线y 2＝4px 的焦点，且AF⊥x 轴，∴ 设A(p ，y 0)，得y 20＝4p×p，得y 0＝2p ，A(p ，2p)，∴ 在Rt △AFF ′中，|AF|＝|FF′|＝2p ，得|AF′|＝22p ，∴ 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距2c ＝|FF′|＝2p ，实轴2a ＝|AF′|－|AF|＝2p(2－1)，由此可得离心率为e ＝c a ＝2c 2a ＝2p 2p （2－1）＝2＋1. 6. 3＋13526 解析：由题意得a 3＝12，a 5＝23，…，a 11＝813. ∵ a 2 014＝a 2 016且a n ＞0，∴ a 2 014＝－1＋52，易得a 2 014＝a 2 012＝…＝a 24＝a 22＝a 20，∴ a 20＋a 11＝－1＋52＋813＝3＋13526. 7. 3 解析：因为BB 1∥平面ADD 1，所以V 三棱锥AB 1D 1D ＝V 三棱锥B 1AD 1D ＝V 三棱锥BAD 1D ＝13S △ADD 1·AB ＝13×12×3×2×3＝3.。

2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,参考解析)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}na 的各项均为实数，其前n 项的和为S n，已知36763，44SS ==，则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是。

江苏省普通高等学校17年高三数学随堂小测评(二十六)

江苏省普通高等学校2017年高三数学随堂小测评十七2017080901107

随堂小测评(十七)1 →→→1. 设复数z＝1＋i，若1，对应的向量分别为OA和OB，则|AB|＝__________．z2. 已知集合A＝{x|x2－1＝0}，集合B＝[0，2]，则A∩B＝__________．3. 不等式2x2－x<4的解集为____________．4. 已知函数y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则a的取值范围为______________．5. 已知等差数列{a n}的首项为4，公差为2，前n项和为S n.若S k－a k＋5＝44(k∈N*)，则k＝__________．6. 下列四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中所有真命题是__________．(填序号)7. 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交曲线C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为____________．1随堂小测评(十七)2 → 1 → 21.解析：AB＝OB－OA＝－1＝(1－i)－1＝(－1－i)，|AB|＝.本题主要考查复2 z 2 2 2→→ 1 1数的几何意义，以及简单的运算，属于容易题．2.{1}解析：A中元素为－1，1, A∩B＝{1}．本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．3.{x|－1<x<2}解析：由2x2－x<22，得x2－x－2<0，解得－1<x<2.本题考查了一元二次不等式的解法和指数函数的性质．本题属于容易题．4.a＞1解析：令t＝ax－1，∴y＝log2t在t∈(0，＋∞)上单调递增，t＝f(x)＝ax－a＞0，a＞0，1在(1，2)上也单调递增，∴{f（1）＞0，)即{a－1＞0)a＞1.5.7解析：S k－a k＋5＝4k＋k(k－1)－4－2(k＋4)＝k2＋k－12＝44(k∈N*)，则k＝7.本题考查等差数列通项公式、求和公式．本题属于容易题．6.①③④解析：本题主要考查空间线线、线面、面面之间的位置关系，属于中等题．97.解析：设点A、B分别在第一和第四象限，AF＝2m，BF＝2n，则由抛物线的定义和直43 3 3 3角三角形知识可得，2m＝2·＋3m，2n＝2·－3n，解得m＝(2＋3)，n＝(2－3)，4 4 2 21 3 9 ∴m＋n＝6，∴S△OAB＝··(m＋n)＝.2 4 42。

江苏省普通高等学校2017年高三数学随堂小测评十九2017080901105

随堂小测评(十九)1. 若复数z1＝a－i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，且z1·z2为纯虚数，则实数a＝____________．sinα2. 已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝，则tanα的最大值是________．sinβ3. 以抛物线y2＝4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为____________．4. 已知等差数列{a n}中，a4＋a6＝10，前5项和S5＝5，则其公差为____________．5. 已知直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：ax－by＋1＝0，a、b∈{1，2，3，4}，则直线l1与直线l2没有公共点的概率为____________．6. 若不等式x2＋2＋|x3－2x|≥ax对x∈(0，4)恒成立，则实数a的取值范围是____________．ππ7. 设函数f(x)＝3sin(πx＋3)和g(x)＝sin(－πx)的图象在y轴左、右两侧靠近y6→→轴的交点分别为M、N，已知O为原点，则OM·ON＝__________．1随堂小测评(十九)1.－1解析：∵z1·z2＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i为纯虚数，∴a＋1＝0，即a＝－1.22.解析：sinα＝cos(α＋β)sinβ＝cosαcosβsinβ－sinαsinβsinβ，两边同4sinβcosβsin2β0－（－sin2β）除以cosα，得tanα＝＝＝，即单位圆的下半圆(α、1＋sin2β3－cos2β3－cos2β1 2β均为锐角)上的点与(3，0)连线的斜率，最大斜率为＝.本题主要考查了和差角公式、32－1 4同角三角函数的关系，二倍角公式，斜率的几何意义．本题属于难题．y2 c3.x2－＝1解析：a＝1，e＝＝2，得c＝2，则b2＝c2－a2＝3，双曲线的标准方程为x23 ay2－＝1.本题考查了抛物线的焦点以及双曲线的有关概念和标准方程求法．本题属于容易题．34.2解析：S5＝5a1＋10d＝5，a4＋a6＝10＝2a1＋8d，则d＝2.本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了方程(组)的思想．本题属于容易题．15.解析：由l1∥l2得1×(－b)－(－2)×a＝0，即b＝2a.由a、b∈{1，2，3，4}知a82 1＝1，b＝2；a＝2，b＝4.故P＝＝.4 × 4 86.(－∞，2 2]解析：不等式x2＋2＋|x3－2x|≥ax对x∈(0，4)恒成立，等价于不等式 22x＋＋|x2－2|≥a对x∈(0，4)恒成立，令f(x)＝x＋＋|x2－2|，x∈(0，4)，则f(x)＝x x2x＋＋2－x2，x ∈（0，2），x{＋x2－2，x ∈（2，4）. )2x＋x2由x∈(0，2)时x＋与2－x2均为减函数，可得f(x)在x∈(0，2]上为减函数；由x2x∈(2，4)时x＋与x2－2均为增函数，可得f(x)在x∈(2，4)上为增函数，∴函数f(x)x的最小值为f( 2)＝2 2，即可得实数a的取值范围是(－∞，2 2]．8 ππ7.－解析：3sin(πx＋3)＝sin(－πx)，展开得3sin(πx)＋cos(πx)＝0，则sin9 6π 1 1 5 3 3 →→(πx＋6)＝0，得x＝k－，k∈Z，则x1＝－，x2＝，代入解析式得y1＝，y2＝－，则·OM ON6 6 6 2 28＝x1x2＋y1y2＝－.本题考查了正弦的和角公式，三角方程的解法以及数量积的坐标运算．本9题属于中等题．2。

江苏省普通高等学校2017年高三数学随堂小测评十五2017080901110

随堂小测评(十五)1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为____________．2. 设复数z满足z2＝3＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．3.袋中装有大小相同且质地一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三球上的数恰好能构成等差数列的概率是__________．4. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n＝________．5. 已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD、BC”是“l垂直于两底AB、DC”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．6. 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是____________．7. 在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．1随堂小测评(十五)1.5解析：A∪B＝{1，2，3，4，5}，则集合A∪B中元素共5个．本题考查了集合的并集的概念．本题属于容易题．2.5解析：设z＝a＋bi，则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，则a2－b2＝3，2ab＝4，得a＝±2，b＝±1，z的模为5.本题考查了复数的概念及运算．本题属于容易题．13.解析：共有2，3，4；2，3，6；2，4，6；3，4，6，四种选法，构成等差数列的有22种．4.1 000解析：由100/n＝0.004×25，得n＝1 000.本题主要考查了频率分布直方图，属于容易题．5.充分不必要解析：l垂直于两腰AD、BC l垂直于平面ABCD l垂直于两底AB、DC.2f（m）＝m2＋m2－1＜0，6.(－，0)解析：据题意{f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1＜0，)22 解得－＜m＜0.27.(x－1)2＋y2＝2解析：直线mx－y－2m－1＝0过定点(2，－1)，由图形知：圆过点 (2，－1)时，半径最大，此时半径为2，圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.本题考查了直线过定点，两点之间的距离公式，圆的标准方程，考查了数形结合的思想．本题属于中等难度题．2。

江苏省普通高等学校2017年高三数学随堂小测评九201708090198

随堂小测评(九)1. 已知集合A ＝{x|y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x|x 2－cx ＜0，c ＞0}．若AB ，则实数c 的取值范围是____________．2. 已知复数z 满足(3＋4i)z ＝1(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3. 在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2asinB ＝3b ，则角A 等于____________．4. 设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝__________．5. 若实数x ，y 满足x ＋y －4≥0，则z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10的最小值为____________．6. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前20项和为__________．7. 在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，AA 1＝1，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为____________．随堂小测评(九)1. [1，＋∞) 解析：A ＝(0，1)，B ＝(0，c)．若A B ，则c≥1.2. 15 解析：z ＝13＋4i ＝3－4i （3＋4i ）（3－4i ）＝3－4i 25，z 的模为15.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. π3解析：由正弦定理得2sinAsinB ＝3sinB.∵ sinB ≠0， ∴ sinA ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴ A ＝π3. 4. 1 解析：(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝10，(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝6，两式相减得4a·b＝4，故a·b ＝1.5. 18 解析：z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10＝(x ＋3)2＋(y －1)2的最小值即点(－3，1)到直线x＋y －4＝0的距离的平方，即32的平方，答案为18.本题考查了线性规划的知识和点到直线的距离公式．本题属于中等题．6. 55 解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7×62d ＝7，15a 1＋15×142d ＝75⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2×1＝n 22－5n 2，S n n ＝n 2－52，这是等差数列，首项为－2，公差为12，故前20项和为－2×20＋20×192×12＝55.本题考查等差数列的通项及前n 项和公式，对基本量的计算要准确．属于中等题． 7. 2 解析：△A 1B 1C 1边长为2，高为3，AA 1＝1，△AB 1C 1的高为2，则△AB 1C 1的面积为2，三棱锥A 1AB 1C 1体积为23，三棱柱的体积为三棱锥A 1AB 1C 1体积的3倍，即 2.本题主要考查同底的柱体体积与锥体体积的关系以及线面垂直的性质运用．本题属于中等题．。

江苏省普通高等学校高三数学随堂小测评(二十七)(2021年整理)

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随堂小测评（二十七)1。

若集合U＝｛1,2，3，4，5｝，A＝｛2，3}，B＝｛3,4},则∁U（A∪B)＝__________．2。

若函数f(x）＝2x－（k2－3)·2－x，则k＝2是函数f(x）为奇函数的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．3. 在△ABC中，内角A，B,C所对应的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝错误!，则△ABC的面积为__________．4。

已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝错误!，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝____________．5。

已知双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若∠PF1F2＝30°，则该双曲线的离心率为__________．6. 已知函数f(x)＝x(｜x|＋4）,且f（a2)＋f(a)＜0，则a的取值范围是__________．7. 记等差数列{a n｝的前n项和为S n.已知a1＝2，且数列{S n}也为等差数列，则a13的值为____________．随堂小测评（二十七)1。

{1，5} 解析：∵ A∪B＝｛2，3，4｝，∴∁U（A∪B)＝｛1，5｝．2.充分不必要解析：由k＝2,得f（x）＝2x－2－x，f（－x）＝－f(x），则f(x)为奇函数；反之，f（x）为奇函数,f(－x）＝－f（x)，得k2＝4，则k＝±2,而不是k＝2.则答案为充分不必要条件. 本题考查充要条件，函数的奇偶性．本题属于中等题．3.错误!解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，又c2＝（a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，故ab＝6，S△ABC＝错误!absinC＝错误!。

江苏省普通高等学校2017届高三数学随堂小测评十

随堂小测评(十)1. 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，3，B ＝{x|x 2≥1}，则A∩B＝__________． 2. 已知z ＝(a －i)(1＋i )(a∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝____________．3. 已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x 2＝8y 的焦点，则双曲线C 的标准方程为____________．4. 下图是一个算法流程图，则输出k 的值是____________．5. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b －c ＝14a ，2sinB ＝3sinC ，则cosA ＝____________．6. 若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y的最小值为____________． 7. 在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n .若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12也是等比数列，则S n ＝____________．随堂小测评(十)1. {－1，3} 解析：(－1)2≥1，32≥1，则A∩B＝{－1，3}．本题主要考查集合的交集运算，属于容易题．2. 1 解析：z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，∵ z 在复平面内对应的点在实轴上，∴ a －1＝0，从而a ＝1.3. y 2－x 23＝1 解析：c ＝2，a ＝1，则b 2＝3，双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1.本题考查抛物线的焦点、双曲线的离心率等概念．本题属于容易题． 4. 6 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环后S ＝38，k ＝2；第2次循环后S ＝34，k ＝3；第3次循环后S ＝26，k ＝4；第4次循环后S ＝10，k ＝5；第5次循环后S ＝－22，k ＝6.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．5. －14 解析：由正弦定理得2b ＝3c ，又b －c ＝14a ，则b ＝32c ，a ＝2c ，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22·32c ·c ＝－14. 6. 4 解析：由log 2x ＋log 2y ＝1，得xy ＝2，x 2＋y 2x －y ＝x 2－2xy ＋y 2＋2xy x －y ＝（x －y ）2＋4x －y＝x －y ＋4x －y ≥4，则x 2＋y 2x －y的最小值为4.本题考查对数的运算以及基本不等式的运用．本题属于中等题．7. 3n －12 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＝n ，S n ＋12＝n ＋12，此时⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12不是等比数列；当q≠1时，S n ＝1－q n 1－q ，∴ S n ＋12＝1－q n 1－q ＋12＝1－q n ＋12－12q 1－q ＝12（3－q ）－q n 1－q.∵ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是等比数列，∴ q ＝3，从而S n ＝3n －12.。

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随堂小测评(二十七)
1. 若集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，3}，B ＝{3，4}，则∁U (A∪B)＝__________．
2. 若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x
，则k ＝2是函数f(x)为奇函数的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．
3. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3
，则△ABC 的面积为__________．
4. 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13
，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝____________．
5. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若∠PF 1F 2＝30°，则该双曲线的离心率为__________．
6. 已知函数f(x)＝x(|x|＋4)，且f(a 2)＋f(a)＜0，则a 的取值范围是__________．
7. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝2，且数列{S n }也为等差数列，则a 13的值为____________．
随堂小测评(二十七)
1. {1，5} 解析：∵ A∪B＝{2，3，4}，∴ ∁U (A∪B)＝{1，5}．
2. 充分不必要解析：由k ＝2，得f(x)＝2x －2－x ，f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函
数；反之，f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，得k 2＝4，则k ＝±2，而不是k ＝2.则答案为
充分不必要条件. 本题考查充要条件，函数的奇偶性．本题属于中等题．
3. 332
解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2－ab ，又c 2＝(a －b)2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，故ab ＝6，S △ABC ＝12absinC ＝332
. 4. 223
解析：|a|2＝(3e 1－2e 2)2＝13－12e 1·e 2＝9， |b|2＝(3e 1－e 2)2＝10－6e 1·e 2＝8，又a·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝11－9e 1·e 2＝8，所以cos β＝a·b |a|·|b|＝83·8＝223
. 5. 3＋1 解析：P 点在第一象限，则|PF 1|－|PF 2|＝2a.又△PF 1F 2为直角三角形，∠
PF 1F 2＝30°，则|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝32|F 1F 2|＝3c ，3c －c ＝2a ，所以c a ＝23－1
＝3＋1.
6. (－1，0) 解析：由题意可知，f(x)为奇函数，且在(－∞，＋∞)上单调递增，从
而由f(a 2)＜－f(a)＝f(－a)得a 2＜－a ，解得－1＜a ＜0.
7. 50 解析：数列{S n }为等差数列，得S 1＋S 3＝2S 2，即2＋6＋3d ＝24＋d ，则d ＝4，a 13 ＝a 1＋12d ＝50.本题主要考查了等差数列求和公式、通项公式，无理方程的解法．本题属于中等题．。