2018年秋高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数课件
高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 第一课时 函数的概念 新人教A
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.………………9 分
(4)y= x 12 - 1 x .
x 1
规范解答:(4)要 使函数有意义,
自变量
x
的取值必须 满足
x 1 1 x
0, 0,
………………10
分
解得 x≤1 且 x≠-1,……………………………… 11 分
即函数定义域为{x|x≤1 且 x≠-1}.………………12 分
③M={三角形},N={x|x>0},对应关系f:“对M中的三角形求面积与N中元素对
应.”
是集合M到集合N上的函数的有( A )
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)0个
2.(函数判断)下列表示的是y关于x的函数的是( A) (A)y=x2 (B)y2=x
(C)|y|=x (D)|y|=|x|
3.(定义域)函数y=
方法技巧 判断某一对应关系是否为函数的步骤: (1)A,B为非空数集. (2)A中任一元素在B中有元素与之对应. (3)B中与A中元素对应的元素唯一. (4)满足上述三条,则对应关系是函数关系.
即时训练1-1:已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系:
①y=x2,②y=x+1,③y=x-1,④y=|x|,其中能构成从M到N的函数是( )
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念
课标要求:1.通过实例理解函数的概念,能用集合语言描述具体的函数.2.体 会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.会求一些简单函数的定义域.
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】 导入一 初中是用运动变化的观点对函数进行定义的,虽然这种定义较为直 观,但并未完全揭示出函数概念的本质.对于y=1(x∈R)是不是函数,如果用运 动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强.但如果用集合与对应的观点来 解释,就十分自然.因此,用集合与对应的思想来理解函数,对函数概念的再认 识,就很有必要.
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法1.2.2.2分段函数与映射课件新人教A版必修1
【解析】 (1)A 中当 x＝0 时，y＝0∉B.同理 B 错，C 中，当 x ＝1 时，y＝0∉B，故 C 不正确；由于 x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1， 故 D 正确．
(2)由题意知x2＋x－2yy＝＝43， 解得xy＝＝21. ∴映射 f 下(4,3)的原象为(2,1)． 【答案】 (1)D (2)A
2．映射的特征 (1)任意性：A 中任意元素 x 在 B 中都有元素 y 与之对应，如图 ①所示的对应不是映射． (2)唯一性：A 中任意元素 x 在 B 中都有唯一元素 y 与之对应， 如图②所示的对应不是映射． (3)方向性：f：A→B 与 f：B→A 一般是不同的映射，如图③与 图④所示的对应不是同一映射．
当 x0>2 时，f(x0)＝45x0，∴x0＝10. 综上可知，x0＝－ 6或 x0＝10. 【答案】 (1)2 (2)－ 6或 10
类型二 分段函数的图象及应用 [例 2] (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ________，值域为________； (2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示该函数； ②画出该函数的图象； ③写出该函数的值域．
【课标要求】 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用．(重点) 2.了解映射概念及它与函数的联系．(难点、易混点)
|新知预习|
知识点一 分段函数 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同 的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
知识点二 映射 设 A、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，使 对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映 射．
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数名师课件新人教A版必修
2x，0≤x≤1， 4．函数 f(x)＝2，1<x<2， 的值域是( 3，x≥2 A．R C．[0，＋∞) B．[0,2]∪{3} D．[0,3]
)
Hale Waihona Puke B [当 0≤x≤1 时，0≤2x≤2，即 0≤f(x)≤2；当 1<x<2 时，f(x)＝2；当 x≥2 时，f(x)＝3.综上可知 f(x)的值域为[0,2]∪{3}．]
[基础自测] 1．思考辨析 (1)分段函数由几个函数构成．(
x＋1，x≤1， (2)函数 f(x)＝ －x＋3，x>0
) )
是分段函数．( )
(3)函数 f(x)＝|x|可以用分段函数表示(
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．f(x)＝|x－1|的图象是(
)
B
x－1，x≥1， [∵f(x)＝|x－1|＝ 1－x，x<1，
分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的 取值范围，有着不同的
对应关系，则称这样的函数为分段函数．
思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是 一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？
[提示] 分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数 的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域．
图 127 思路探究：可按点 E 所在的位置分 E 在线段 AB，E 在线段 AD 及 E 在线段 CD
三类分别求解．
[解] 过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是 G，H. 因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45° ，AB＝2 2 cm， 所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm. 12 (1)当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝ x ； 2 x＋x－2 (2)当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝ ×2＝2x－2； 2
2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示
第二课时 分段函数与映射[提出问题]某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5千米以内，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)． 已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站． 问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x (千米)与票价y (元)有函数关系吗？ 提示：有函数关系．问题2：若有函数关系，函数的表达式是什么？提示：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， 0＜x ≤5，3， 5＜x ≤10.问题3：x 与y 之间有何特点？提示：x 在不同区间内取值时，与y 所对应的关系不同． [导入新知]如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，称这样的函数为分段函数．[化解疑难]分段函数的三要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集.[提出问题]A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{x |x 是圆}．对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆． 问题1：从集合A 到集合B 能构成函数吗？ 提示：不能．问题2：从集合A 到集合B 的对应有什么特点？提示：对于集合A 中的任何一个三角形，在集合B 中都有唯一的外接圆与之对应． [导入新知]映射的定义设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．[化解疑难]－2∈(－∞，－2]，知f (－5)＝(－5)＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝－32，且－2<－32<2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34.(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. 所以(a －1)(a ＋3)＝0，得a ＝1，或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2，符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2. [类题通法]1．求分段函数的函数值的方法先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止．2．求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．[活学活用]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2，x ＞0，2，x ＝0，1－2x ，x ＜0.(1)求f (f (－2))的值； (2)求f (a 2＋1)(a ∈R)的值； (3)当－4≤x ＜3时，求f (x )的值域． 解：(1)∵f (－2)＝1－2×(－2)＝5， ∴f (f (－2))＝f (5)＝4－52＝－21.(2)当a ∈R 时，a 2＋1≥1＞0，∴f (a 2＋1)＝4－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋3(a ∈R)． (3)①当－4≤x ＜0时，f (x )＝1－2x ， ∴1＜f (x )≤9； ②当x ＝0时，f (x )＝2； ③当0＜x ＜3时，f (x )＝4－x 2， ∴－5＜f (x )＜4.故当－4≤x ＜3时，函数f (x )的值域是(－5,9].[例2] (1)，值域为________．(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．①用分段函数的形式表示该函数； ②画出该函数的图象； ③写出该函数的值域．[解] (1)由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)； 第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．所以该分段函数的定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)． (2)①当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0≤x ≤2，1－x ， －2<x <0.②函数f (x )的图象如图所示，③由②知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． [答案] (1)[－1,2] [－1,1) [类题通法]分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．[活学活用]已知函数y ＝f (x )的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解：题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)．∵点(1,1)，(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2，∴左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x <1)． 同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3)． 再设抛物线对应的二次函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)．∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1. ∴1≤x ≤3时，函数的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上可知，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x <1，－x 2＋4x －2，1≤x ≤3，x －2，x >3.[例3] (1)A ＝N *，B ＝N *，对应关系f ：x →|x －3|；(2)A ＝{平面内的圆}，B ＝{平面内的矩形}，对应关系f ：作圆的内接矩形； (3)A ＝{高一(1)班的男生}，B ＝R ，对应关系f ：每个男生对应自己的身高； (4)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤6}，对应关系f ：x →y ＝12x .[解] (1)A 中元素3在对应关系f 的作用下与3的差的绝对值为0，而0∉B ，故不是映射．(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A 中任何一个元素在集合B 中有无数个元素与之对应，故不是映射．(3)对A 中任何一个元素，按照对应关系f ，在B 中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．(4)因为A 中每一个元素在f ：x →y ＝12x 作用下对应的元素构成的集合C ＝{y |0≤y ≤1}⊆B ，符合映射定义，是映射．[类题通法]判断一个对应是否为映射的两个关键点(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素对应； (2)B 中的对应元素是否是唯一的．[注意] “一对一”或“多对一”的对应都是映射．[活学活用]已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A (1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？解：(1)A 中元素1，即x ＝1，＝13，中的元素是13.x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4.2.函数在实际中的应用[典例] (12分)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF ＝x cm ，试写出左边部分的面积y (cm 2)关于x (cm)的函数解析式，并画出大致图象．[规范解答]过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 2 cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又因为BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.(2分)[活学活用]某汽车以52 km/h 的速度从A 地行驶到260 km 远处的B 地，在B 地停留1.5 h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数．解：因为260÷52＝5,260÷65＝4， 所以，当0≤t ≤5时，s ＝52t ； 当5<t ≤6.5时，s ＝260；当6.5<t ≤10.5时，s ＝260＋65(t －6.5)． 所以s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ≤5，260，5<t ≤6.5，260＋t －，6.5<t ≤10.5.[随堂即时演练]1．下列对应关系f 中，能构成从集合A 到集合B 的映射的是( ) A ．A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，f ：x →|y |＝x 2B ．A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝R ，B ＝{y |y ＞0}，f ：x →y ＝1x2D ．A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x2解析：选D 对于A ，集合A 中元素1在集合B 中有两个元素与之对应；对于B ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应；对于C ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应．故A ，B ，C 均不能构成映射．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈，1]，则正确的函数图象是( )解析：选A 当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1，0)，显然D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1,2)，B 错．所以选A.3．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)， ∴f (t )＝4t －2－1， 即f (x )＝4x －2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16－1＝15. 答案：154．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，若f (x )＝3，则x 的值是________．解析：当x ≤－1时，x ＋2＝3，得x ＝1，舍去； 当－1<x <2时，x 2＝3得x ＝3或x ＝－3(舍去)． 答案： 35.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．(1)求f (f (0))的值； (2)求函数f (x )的解析式． 解：(1)直接由图中观察，可得f (f (0))＝f (4)＝2.(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝b ，0＝2k ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，k ＝－2.∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．同理，线段BC 所对应的函数解析式为y ＝x －2(2<x ≤6)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4， 0≤x ≤2，x －2， 2<x ≤6.[课时达标检测]一、选择题1．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选A ①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3，a 4在集合B 中没有元素与之对应．2．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，3－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是(1,2)．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5， x ≥6，fx ＋， x ＜6，则f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A f (3)＝f (3＋2)＝f (5)，f (5)＝f (5＋2)＝f (7)．∵f (7)＝7－5＝2，故f (3)＝2.4．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D 当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A 、B 、C ，故选D.5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费符合f (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧3.71，0<m ≤4，m ]＋，m >4，其中[m ]表示不超过m 的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( )A ．3.71B ．4.24C ．4.77D ．7.95解析：选C f (5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77. 二、填空题6．集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数是________．解析：由f (a )＝0，f (b )＝0得f (a )＋f (b )＝0；由f (a )＝1，f (b )＝－1得f (a )＋f (b )＝0；由f (a )＝－1，f (b )＝1得f (a )＋f (b )＝0.共3个．答案：37．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．解析：由f (－4)＝f (0)⇒(－4)2＋b ×(－4)＋c ＝c ，f (－2)＝－2⇒(－2)2＋b ×(－2)＋c ＝－2，解得b ＝4，c ＝2.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ⇒x 2＋3x ＋2＝0⇒x ＝－2或x ＝－1，即当x ≤0时，有两个解．当x >0时，有一个解x ＝2.综上，f (x ) ＝x 有3个解．答案：3 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数的图象．解：(1)∵5>4，∴f (5)＝－5＋2＝－3. ∵－3<0，∴f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. ∵0<1<4，∴f (f (f (5)))＝f (1) ＝12－2×1＝－1， 即f (f (f (5)))＝－1. (2)图象如右图所示．10.在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从B 点开始，沿折线BCDA 向A 点运动(如图)，设P 点移动的距离为x ，△ABP 的面积为y ，求函数y ＝f (x )及其定义域．解：如题图，当点P 在线段BC 上，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x＝2x ；当P 点在线段CD 上，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当P 点在线段DA 上，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12，且f (x )的定义域是[0,12]．11.如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP的面积为y ＝f (x )．(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求f (x )的最大值． 解：(1)函数的定义域为(0,12)． 当0<x ≤4时，S ＝f (x )＝12×4×x ＝2x ；当4<x ≤8时，S ＝f (x )＝12×4×4＝8；当8<x <12时，S ＝f (x )＝12×4×(12－x )＝24－2x .∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈，4]，8，x ∈，8]，24－2x ，x ∈，(2)图象如图所示．从图象可以看出f (x )max ＝8.12．设A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，对应关系f ：x →y ＝px ＋q ，已知m ，n ∈N *,1对应的元素是4,2对应的元素是7，试求p ，q ，m ，n 的值．解：因为1对应的元素为4,2对应的元素为7，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝1.故对应关系为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断A 中元素3对应的元素要么是n 4，要么是 n 2＋3n .若n 4＝10，则n ∈N *不成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝－5(舍去)或n ＝2.因为集合A 中的元素m 对应的元素只能是n 4，等于16， 所以3m ＋1＝16， 所以m ＝5.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.。
高中数学第1章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法课件新人教A版必修1
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次 函数的解析式.
解 设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) ， 由 题 意 得
解析答案
题型二 列表法表示函数 例2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 123 f(x) 1 3 1
x 123 g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
答案
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题型探究
重点突破
题型一 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x∈Z)； 解 这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1) 所示.
解析答案
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)). 解 因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3 之间的一部分，如图(2)所示.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； 解 y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1). (2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1). 解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉 －1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).
c＝1， a＋b＋c＝2，
4a＋2b＋c＝5，
a＝1， 解得b＝0，
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及表示1.2.2函数的表示法课件1新人教A版必修1
③下图是我国人口出生率变化曲线．
[解析] 它们都表示函数，其中①是用解析法，②是 用列表法，③是用图象法表示函数关系的．
函数的三种表示方法
例 1 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求 售出台数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象 法、解析法表示出来.
(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线 来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标 轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心 点．
练习2
(1)(2016·潍坊高一检测)y＝x＋|xx|的图象是图中的( )
(2)作出下列函数的图象，并指出其值域． ①y＝x2＋x(－1≤x≤1)． ②y＝2x(－2≤x≤1，且 x≠0)．
(2)可设 f(x)＝ax＋b，(a≠0) 则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b＝4x＋3， ∴aa2b＝＋4b，＝3， 解得ab＝ ＝21， ， 或ab＝＝－－23，. 故所求的函数为 f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－3.
[思路分析] (1)画函数的图象时首先要注意的是什么？ (2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？
[解析] (1)列表：
x
0
1 2
1
3 2
2
y12345
当 x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观 察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表
x2345…
y
1
2 3
1 2
2 5
…
当 x∈[2，＋∞)，图象是反比例函数 y＝2x的一部分，观察
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||
2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
高中数学第一章集合与函数的概念1.2函数及其表示1.2.2第一课时函数的表示法练习新人教A版必修1
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第一课时函数的表示法【选题明细表】知识点、方法题号函数解析式的求法3,8，11函数的表示方法1,2,9函数表示法的应用4，5，6，7,10，121。
购买某种饮料x听，所需钱数为y元,若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈｛1，2,3,4｝)的函数为（ D ）(A)y=2x（B）y=2x(x∈R)（C）y=2x（x∈{1,2,3，…})(D）y=2x（x∈｛1，2，3，4｝）解析:题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2,3，4｝，故选D.2.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象。
由图象可知,下列说法中错误的是（ C )(A）这天15时的温度最高（B)这天3时的温度最低(C)这天的最高温度与最低温度相差13℃(D）这天21时的温度是30℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14℃，故C错。
3.已知f(x—1）=x2+4x—5，则f（x）的表达式是( A )(A）f（x)=x2+6x(B）f(x)=x2+8x+7（C）f（x)=x2+2x-3(D）f(x）=x2+6x-10解析:法一设t=x-1,则x=t+1,因为f(x-1)=x2+4x-5,所以f（t）=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t，f(x）的表达式是f(x)=x2+6x。
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2第
函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为________．
解 析 ： 由 图 可 知 ， 当 x∈[ － 2,4] 时 ， f(x)∈[ － 2,3] ； 当 x∈[5,8]时，f(x)∈[－4,2.7]．故函数f(x)的值域为[－4,3]．
答案：[－4,3]
2．映射 设A，B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确定的对应关 系 f ， 使 对 于 集 合 A 中 的 __任__意__一__个__ 元 素 x ， 在 集 合 B 中 都 有 _唯__一__确__定___的元素y与之对应，那么就称对应__f：__A__→__B__为从 集合A到集合B的一个映射．
【互动探究】 本例已知条件不变，若f(x)＝－2，求x的 值．
解：当 x＋2＝－2 时，x＝－4，符合 x＜0.当 x2＝－2 时， 无解．当12x＝－2 时，x＝－4，不符合 x≥2.
综上，x 的值是－4.
1．求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
思路点拨：分段考虑求值即可． (1)先求 f－21，再求 ff－21，最后求 fff－12； (2)分别令 x＋2＝2，x2＝2，12x＝2，分段验证求 x.
解：(1)f－12＝－12＋2＝32， ∴ff－12＝f32＝322＝49. ∴fff－21＝f94＝21×49＝89. (2)当 f(x)＝x＋2＝2 时，x＝0, 不符合 x＜0. 当 f(x)＝x2＝2 时，x＝± 2，其中 x＝ 2符合 0≤x＜2. 当 f(x)＝12x＝2 时，x＝4，符合 x≥2. 综上，x 的值是 2或 4.
设M＝{1,2,3}，N＝{e，g，h}，从M到N的四种对应方式 如图，其中是从M到N的映射的是( )
高中数学第一章集合与函数的概念1.2函数及其表示1.2.2第一课时函数的表示法aa高一数学
x x 1 1 1
1 x
x
第六页，共二十八页。
2.(解析法)若 f( 1 )=x+1,则 f(2)等于( D ) x
(A)2
(B) 1 2
(C)3
(D) 3 2
3.(图象法)下列(xiàliè)图形可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤y≤1}为值域的函
数是(
)
C
第七页，共二十八页。
第二十六页，共二十八页。
谢谢 观赏！ (xiè xie)
第二十七页，共二十八页。
内容(nèiróng)总结
1.2.2 函数的表示法。自主学习——新知建构·自我整合。,那么对于函数,又有什么不同
No 的表示方法呢。答案:常用的有解析法、图象法和列表法.。函数图象既可以是连续的曲线,
也可以是直线、折线、离散点等等.。课堂探究(tànjiū)——典例剖析·举一反三。画图象,图象 是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分.。(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚 线来衬托整个图象。即时训练1-1:作出下列各函数的图象.。谢谢观赏
1.2.2 函数的表示法
第一(dìyī)课时 函数的表示法
第一页，共二十八页。
课标要求:1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象(tú xiànɡ)法、列表法.2.在实际 情境中,会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.
第二页，共二十八页。
自主学习——新知(xīn zhī)建构·自我整合
【情境(qíngjìng)导学】
第四页，共二十八页。
知识(zhī shi)探
1.函数的表示方法
究
解析法,就是用
数学(shùxué)表表示达两个变量之间的对应关系.
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[规律方法] 1．分段函数求函数值的方法： (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内 到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段 上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
(2)当 a≤－2 时，a＋1＝3， 即 a＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，解得 a＝1 或 a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，∴a＝1 符合题意． 当 a≥2 时，2a－1＝3，即 a＝2 符合题意． 综上可得，当 f(a)＝3 时，a＝1 或 a＝2.
当 x＝1 时，f(1)＝0，可排除 A，C.又 x＝
－1 时，f(－1)＝2，排除 D.]
3．函数
x＋1，x≤1， f(x)＝ －x＋3，x>1，
则 f(f(4))＝________. 【导学号：37102111】
0 [∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0， ∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]
[基础自测] 1．思考辨析 (1)分段函数由几个函数构成．( (2)函数
x＋1，x≤1， f(x)＝ －x＋3，x>0
) )
是分段函数．( )
(3)函数 f(x)＝|x|可以用分段函数表示(
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．f(x)＝|x－1|的图象是(
)
B
x－1，x≥1， [∵f(x)＝|x－1|＝ 1－x，x<1，
2x，0≤x≤1， 4．函数 f(x)＝2，1<x<2， 3，x≥2 A．R C．[0，＋∞)
的值域是( B．[0,2]∪{3} D．[0,3]
)
B [当 0≤x≤1 时，0≤2x≤2，即 0≤f(x)≤2；当 1<x<2 时，f(x)＝2；当 x≥2 时，f(x)＝3.综上可知 f(x)的值域为[0,2]∪{3}．]
第一章
集合与函数概念
第2课时 分段函数
学习目标：1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数 的图象．(重点，难点)2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重 点、难点)3.通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学 建模、数学运算的能力．(重点)
[自 主 预 习· 探 新 知]
图象如图所示．
[规律方法] 1． 当目标在不同区间有不同的计算表达方式时， 往往需要用分段函数模型来表 示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． 2． 通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识， 培养学生的建模 素养．
如图 127 所示， 已知底角为 45° 的等腰梯形 ABCD， 底边 BC 长为 7 cm， 腰长为 2 2 cm，当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时，直线 l 把梯形分成两部分，令 BF＝x，试写出左边部分的 面积 y 关于 x 的函数解析式，并画出大致图象. 【导学号：37102113】
[解]
5 (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－ ∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝ 2
－5＋1＝－4， f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f
5 5 3 －2＝－2＋1＝－2，
3 而－ 5 － 2＝f 3 32 3 9 3 －2＝－2 ＋2×－2＝4－3＝－4.
分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的 取值范围，有着不同的
对应关系，则称这样的函数为分段函数． 对应关系
思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是 一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？
[提示] 分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数 的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域．
1 (3)当点 F 在 HC 上， 即 x∈(5,7]时， y＝S 五边形 ABFED＝S 梯形 ABCD－SRt△CEF＝ (7＋3)×2 2 1 － (7－x)2 2 1 ＝－ (x－7)2＋10. 2 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 1 2 2x ，x∈[0，2]， y＝2x－2，x∈2，5]， 1 － x－72＋10，x∈5，7]. 2
[合 作 探 究· 攻 重 难]
分段函数的求值问题
x＋1，x≤－2， 2 已知函数 f(x)＝x ＋2x，－2<x<2， 2x－1，x≥2. (1)求 f(－5)，f(－ 3)，f
f 5 － 2的值；
(2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值. 【导学号：37102112】
图 127 思路探究：可按点 E 所在的位置分 E 在线段 AB，E 在线段 AD 及 E 在线段 CD
三类分别求解．
[解] 过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是 G，H. 因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45° ，AB＝2 2 cm， 所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm. 1 2 (1)当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝ x ； 2 x＋x－2 (2)当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝ ×2＝2x－2； 2
[跟踪训练] 1．函数
x－3，x≥10， f(x)＝ ffx＋5，x<10，
则 f(7)＝________.
8 [∵函数
x－3，x≥10， f(x)＝ ffx＋5，x<10，
∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]
分段函数的解析式