第3章 平面力系的简化 平衡方程

例3-6 多跨静定梁受力如图所示，求支座A、B、C处的反力 。
解 (1)首先取BC段为研究对象。
M B (F ) 0
1 FCy 2 q 2 2 0 2
FCy 2kN
Y 0
FBy FCy q 2 0
FBy 2kN
X 0
FBx FCx 0
M O ( FR ) M O ( F )
第二节 平面任意力系的平衡方程及应用
物体在力系作用下，保持平衡的充分必要条件是:力系 的主矢与对任一点的主矩均为零 ，即：
X 0 , Y 0 , M O
F 0
上式称为平衡方程一矩式，二矩式和三矩式分别为： M A F 0 X 0 或 Y 0 M A F 0 M B F 0 M F 0 M B F 0 C 条件是：AB两点的连线不能 与 x 轴或 y 轴垂直 条件是：ABC三点不 能共线
三、平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR 0 FR FRx FR y 0
2 2
FR x X 0 FR y Y 0
注意：对力的方向判定不准的，一般用解析法。利用 平衡方程通过解析法解题时，力的方向可以任意假设， 如果求出负值，说明力的方向与假设相反。
2 2
F Ry tan tan1 F Rx
1
Y X
二、简化结果分析与合力矩定理
平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，可能有以下几种情况：
(1) (2) (3) (4) ' FR 0 , LO 0 ' FR 0 , LO 0 ' FR 0 , LO 0 ' FR 0 , LO 0
第二章 平面力系的简化 平衡方程
第一节 平面一般力系向一点简化 主失 主矩 第二节 平面一般力系的平衡方程 第三节 平面汇交力系的平衡方程 第四节 平面平行力系的平衡方程 第五节 物体系的平衡问题
第一节
平面任意力系的简化
一、力系向平面内任意一点的简化 平面任意力系的简化主要依据是力线平移定理，简化的 实质是将一个平面任意力系分解为一个平面汇交力系和 一个平面力偶系，然后将这两个力系进行合成 。
Y 0
P FAC sin 45 FBC sin 45 0
（4）解平衡方程，得
FAC FBC P 15 2 kN 0 2 sin 45 2
第四节 平面平行力系的平衡方程
见课本p40-42例题讲解 例3-4 例3-5

第五节 物体系的平衡问题

物体系——两个或两个以上的物体通过一定的联结（约束）
Y A AC (72) 1.6 SB 160kN 4 BCsin 0.9 5
例3-2 简支梁受力如图所示，已知：均布荷载q=1kN/m，集中力 F=5kN，力偶M=4kN· m，求支座反力。
解: (1)以AB梁为研究对象。 (2)画出受力图。 (3)选坐标列方程。
由 得 由 得
主矢
主矩
FR ' F1 F2 F3 F
M 0 ( F1 ) M 0 ( F2 ) M 0 ( F3 ) M 0 ( F ) L0 M 1 M 2 M 3
由合力投影定理，将上式写成解析形式，得：
FR' F R x F R' y ( X ) 2 (Y )2
例3-1 如图所示的体系，已知P=150kN，AC=1.6m，BC=0.9m， CD=CE=1.2m ，AD=2m且AB水平，ED铅垂，BD垂直于斜面， 求FB和A支座反力。 解 (1)以体系整体为研究对象。 (2)画出受力图。 (3)选坐标列方程。
X
'
0, X A sin YA cos P sin 0
结论：FR F F F F 1 2 3 n
即 FR F
先作力多边形
c
b a d e
再将R 平移 至A点
平面汇交力系的合力等 于各分力的矢量和，合力 的作用线通过各力的汇交 点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR F 0
本章小结
(3)平面任意力系的平衡方程三种形式
X 0 , Y 0 , M O
X 0 或 Y 0 MA F 0 MB F 0
F 0

M A F 0 M B F 0 M F 0 C
(2)再取CDE段为研究对象 。
X 0
FCx 0
ห้องสมุดไป่ตู้
FBx 0
M
D
(F ) 0
FCy 2 FE 2 M 0
FE 5.5kN
Y 0
FCy FD FE q 4 0
FD 4.5kN
(3) 取AB段为研究对象。
X 0
FAx FBx 0
例3-3 如图所示机构，已知：力P=15kN, 杆件BC=AC=1m，AC 与BC相互垂直且铰接于C。求：在力P的作用下杆件AC与BC所 受力的大小。
解法一：几何法 (1)选铰C为研究对象，进行分析。 （2）画出力多边形 ，通过测 量得：
FAC FBC 10.61kN
解法二：平衡方程法
（1）选铰C为研究对象； （2）取分离体画受力图，如图所示； （3）列平衡方程为 X 0 FAC cos 45 FBC cos 45 0
(4)静定与静不定问题 静定问题：未知力数目等于对应的独立平衡方程的数目。 静不定问题：未知力的数目多于平衡方程的数目。
方式组合在一起的系统称为物系或物体系。
物系内部物体之间作用的力称为内力；物体外部作用于整个
物系的力称为外力。
一般情况下，研究物系的受力时不考虑内力，但当研究物系
中个别物体时必须考虑内力。
当物系处于平衡状态时，物系内的每个物体也处于平衡状态，
因此在研究物系平衡时，选取研究对象，既可以选个别物体， 也可以选几个物体的组合甚至整个物系 。
（2）平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，可能有 以下几种情况：
(1) (2) (3)
(4)
' FR 0 , LO 0 ' FR 0 , LO 0 ' FR 0 , LO 0
' FR 0 , LO 0
称该力系平衡
该力系等效一个合力偶
该力系等效一个合力 仍然可以继续简化为一个合力
M B (F ) 0,YA 2.5 P 1.2 0
而sin AC 1.6 4 CD 1.2 3 ; cos AD 2 5 AD 2 5
解得 : X A 96 KN; YA 72 KN
(4)再研究 AB杆。
由 M C 0,
FB sinCB Y A AC 0
一、平面汇交力系的合成
1）两个共点力的合成
由余弦定理：
FR F1 F2 2F1F2 cos 180o ） （
2 2
由力的平行四边形法则合成， 也可用力的三角形法则合成。
合力方向由正弦定理：
F1 FR sin sin(180 )
2）任意个共点力的合成 ( 力多边形法） 推广至 n 个力
在上面几何法求力系的合力中，合力为 零意味着力多边形自行封闭。所以平面 汇交力系平衡的必要与充分的几何条件 是： 力多边形自行封闭或力系中各力的矢量 和等于零。
2.解析法 利用合力投影定理，有下式求出合力的大小，确定合力的方向。
FR FR x FR y
2 2
X Y
2
2
tan
FR y FR x
Y X
二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR F 0
在上面几何法求力系的合力中，合力为 零意味着力多边形自行封闭。所以平面 汇交力系平衡的必要与充分的几何条件 是： 力多边形自行封闭或力系中各力的矢量 和等于零。
称该力系平衡
该力系等效一个合力偶 该力系等效一个合力 仍然可以继续简化为一个合力，方法如下： FR FR d O O FR d
FR
O
MO

FR

O’
O’
只要满足：
L FR FR , d O FR
合力矩定理——平面任意力系的合力对作用面内任一点 之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
FAx FBx 0
Y 0
M
A
FAy FBy q 4 0
FAy 10kN
(F ) 0
FBy 4 q 4 2 M A 0
M A 24kN m
本章小结
(1)力线平移定理：作用在刚体上的力F可以平行移动到刚体内 任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对 平移点之矩。
M
A
(F ) 0
RB 8 M P 5 q 4 2 0
R B 4.63kN
结果为正值，说明与假设方向一致。
R A RB P q 4 0
Y 0
R A 4.37kN
结果为正值，说明与假设方向一致。
第二节
1.几何法
平面汇交力系的合成与平衡