2019年北京平谷区初三一模数学试卷详解
2019届北京市平谷区4月初三统一练习(一)数学试卷【含答案及解析】
2019届北京市平谷区4月初三统一练习（一）数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、解答题1. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质.小军根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值：在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察图象，函数的最小值是；（4）进一步探究，结合函数的图象，写出该函数的一条性质（函数最小值除外）：．2. 直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A关于直线的对称点为点C．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线经过A，B，C三点，求该抛物线的表达式；（3）若抛物线经过A，B两点，且顶点在第二象限，抛物线与线段AC有两个公共点，求a的取值范围．3. 在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．4. 在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q的内部（含角的边），这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称∠AOB为矩形ABCD的视角．（1）如图1，矩形ABCD，A（﹣，1），B（，1），C（，3），D（﹣，3），直接写出视角∠AOB的度数；（2）在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点Q的坐标；（3）如图2，⊙P的半径为1，点P（1，），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围．二、单选题5. 为解决“最后一公里”的交通接驳问题，平谷区投放了大量公租自行车供市民使用．据统计，目前我区共有公租自行车3 500辆．将3 500用科学记数法表示应为（）A. 0.35×104B. 3.5×103C. 3.5×102D. 35×1026. 把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是（）A. 1B.C.D. 27. 右图是某几何体从不同角度看到的图形，这个几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 正三棱柱D. 三棱锥8. 如果x+y=4，那么代数式的值是（）A. ﹣2B. 2C.D.9. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.10. 某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A. mB. 8 mC. mD. 4 m11. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫：野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇．设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（）A. B. C. D.12. 如图，是利用平面直角坐标系画出的天安门广场的平面示意图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示国旗杆的点的坐标为(0，2.5)，表示中国国家博物馆的点的坐标为(4，1)，则表示下列建筑的点的坐标正确的是（）A. 天安门(0， 4)B. 人民大会堂(﹣4，1)C. 毛主席纪念堂(﹣1，﹣3)D. 正阳门(0，﹣5)13. 1-7月份，某种蔬菜每斤的进价与每斤的售价的信息如图所示，则出售该种蔬菜每斤利润最大的月份是（）A. 3月份B. 4月份C. 5月份D. 6月份14. AQI是空气质量指数（AirQualityIndex）的简称，是描述空气质量状况的指数．其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大．AQI共分六级，空气污染指数为0－50一级优，51－100二级良，101－150三级轻度污染，151－200四级中度污染，201－300五级重度污染，大于300六级严重污染．小明查阅了2015年和2016年某市全年的AQI指数，并绘制了如下统计图，并得出以下结论：①2016年重度污染的天数比2015年有所减少；②2016年空气质量优良的天数比2015年有所增加；③ 2015年和2016年AQI指数的中位数都集中在51－100这一档中；④2016年中度污染的天数比2015年多13天．以上结论正确的是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④三、填空题15. 如果分式的值为0，那么x的值是__________．16. 如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a，b的正确的等式__________________．17. 请写出一个在各自象限内，y的值随x值的增大而增大的反比例函数表达式_____．18. 一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为____________（精确到0.01）19. 如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m，桌面距离地面0.8m（桌面厚度不计算），若桌面的面积是1.2m²，则地面上的阴影面积是__________m²．20. 小米是一个爱动脑筋的孩子，他用如下方法作∠AOB的角平分线：作法：如图，（1）在射线OA上任取一点C，过点C作CD∥OB；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作弧，交CD于点E；（3）作射线OE．所以射线OE就是∠AOB的角平分线．请回答：小米的作图依据是_______________________四、解答题21. 计算：．22. 解不等式组并写出它的所有非负整数解．23. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE于F，求证：AF=CD．24. 已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）当m=2时，求方程的两个根．25. 在平面直角坐标xOy中，直线与双曲线的一个交点为A（﹣2，3），与x轴交于点B．(1) 求m的值和点B的坐标；(2) 点P在y轴上，点P到直线的距离为，直接写出点P的坐标．26. 随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车厂生产的某型号自行车去年销售总额为8万元．今年该型号自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型号车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求该型号自行车去年每辆售价多少元？27. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．（1）求证：DE=DF；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，DE=4，求CF的长．28. 阅读以下材料：2017年1月28日至2月1日农历正月初一至初五，平谷区政府在占地面积6万平方米的琴湖公园举办主题为“逛平谷庙会乐百姓生活”的平谷区首届春节庙会．本次庙会共设置了文艺展演区、非遗展示互动区、特色商品区、儿童娱乐游艺区、特色美食区等五个不同主题的展区．展区总面积1720平方米．文艺展演区占地面积600平方米，占展区总面积的34.9％；非遗展示区占地190平方米，占展区总面积的11.0％；特色商品区占地面积是文艺展演区的一半，占展区总面积的17.4％；特色美食区占地200平方米，占展区总面积的11.6％；还有孩子们喜爱的儿童娱乐游艺区．此次庙会本着弘扬、挖掘、展示平谷春节及民俗文化，以京津冀不同地域的特色文化为出发点，全面展示平谷风土人情及津冀人文特色．大年初一，来自全国各地的约3.2万人踏着新春的脚步，揭开了首届平谷庙会的帷幕．大年初二尽管天气寒冷，市民逛庙会热情不减，又约有4.3万人次参观了庙会，品尝特色美食，观看绿都古韵、秧歌表演、天桥绝活，一路猜灯谜、赏图片展，场面火爆．琳琅满目的泥塑、木版画、剪纸、年画等民俗作品也让游客爱不释手，纷纷购买．大年初三，单日接待游客约4万人次，大年初四风和日丽的天气让庙会进入游园高峰，单日接待量较前日增长了约50%．大年初五，活动进入尾声，但庙会现场仍然人头攒动，仍约有5.5万人次来园参观．（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）初四这天，庙会接待游客量约_______万人次；（3）请用统计图或统计表，将庙会期间每日接待游客的人数表示出来．29. 如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，AD是⊙O的直径，切线DE与AC的延长线相交于点E．（1）求证：DE∥BC；（2）若DF=n，∠BAC=2α，写出求CE长的思路．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】第27题【答案】第28题【答案】第29题【答案】。
(完整)2019年北京市初三一模数学-几何综合专题(教师版)
2019一模几何综合专题一、旋转变换1.（等边三角形+对称＋旋转）(2019通州一模27)如图，在等边ABC △中，点D 是线段BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接CE 并延长，交射线AD（1）设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的度数；（2）用等式表示线段AF 、CF、EF 之间的数量关系，并证明. 解：（1）连接AE . ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ，∴AE =AB ，BAF EAF α∠=∠=∵ABC △是等边三角形， ∴AB AC =，60BAC ACB ∠=∠=︒. ∴602EAC α∠=︒-，AE AC =. 1分∴()1180602602ACE αα∠=︒-︒-=︒+⎡⎤⎣⎦. ∴6060BCF ACE ACB αα∠=∠-∠=︒+-︒=. ……………… 2分另解：借助圆. （2）AF EF CF -=证明：如图，作60FCG ∠=︒交AD 于点G ，连接BF . ……………… 3分 ∵BAF BCF α∠=∠=，ADB CDF ∠=∠， ∴60ABC AFC ∠=∠=︒. ∴△FCG 是等边三角形.∴GF = FC . ……………… 4分 ∵ABC △是等边三角形，∴BC AC =，60ACB ∠=︒. ∴ACG BCF α∠=∠=.在△ACG 和△BCF 中，CA CB ACG BCF CG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ACG ≌△BCF .∴AG BF =. ……………… 5分 ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ， ∴BF EF =. ……………… 6分 ∴AF AG GF -=.∴AF EF CF -=. ……………… 7分另一种证法：作60FAH ∠=︒交FC 的延长线于点H ，连接BF .2.（等边三角形＋旋转）(2019平谷一模27)在△ABC中，∠ABC=120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．（1）若∠BAC=α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；（3）当α=30°时，直接写出AC，BD的关系．解：（1）∠BCD=120°－α． ······························································（2）解：方法一：延长BA使AE=BC，连接DE． (2)由（1）知△ADC是等边三角形，∴AD=CD．∵∠DAB+∠DCB=∠DAB+∠DAE=180°，∴∠DAB=∠DAE．∴△ADE≌△CDB． (3)∴BD=BE．∴BD=AB+BC． (4)方法二：延长AB使AF=BC，连接CF． (2)∠BDC=∠ADE．∵∠ABC=120°，∴∠CBF=60°．∴△BCF是等边三角形．∴BC=CF．∵∠DCA=∠BCF=60°，∴∠DCA+∠ACB=∠BCF+∠ACB．即∠DCB=∠ACF．∵CA=CD，∴△ACF≌△DCB． (3)∴BD=AF．∴BD=AB+BC． (4)（3）AC，BD的数量关系是：AC ； (5)位置关系是：AC⊥BD于点P． (6)H O DBA3.（等边三角形＋旋转）(2019延庆一模27).已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H ． （1）求证：ADB ACB ∠=∠；（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明．解：（1）证明：∵∠ADC =60°，DA=DC∴△ADC 是等边三角形． ……1分 ∴∠DAC =60°,AD=AC ． ∵∠ABC=120°,BD 平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC =60°．∴∠DAC =∠DBC =60° ∵∠AOD =∠BOC∠ADB=180°- ∠DAC -∠AOD∠ACB=180°- ∠DBC -∠BOC∴∠ADB=∠ACB ……3分（2）结论：DH=BH+BC ……4分 证明：在HD 上截取HE=HB ……5分∵AH ⊥BD∴∠AHB=∠AHE =90° ∵AH =AH∴△ABH ≌△AEH ∴AB=AE, ∠AEH=∠ABH =60° ……6分 ∴∠AED=180°-∠AEH=120° ∴∠ABC=∠AED=120° ∵AD=AC, ∠ADB=∠ACB ∴△ABC ≌△AED∴DE=BC ……7分 ∵DH=HE+ED∴DH=BH+BC ……8分4.（等边三角形+旋转）(2019密云一模27)已知ABC ∆为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）.将线段CD 绕点C 逆时针旋转60︒得到线段CE.连结DE 、BE. （1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系.（2）过点A 作AF EB ⊥交EB 延长线于点F.用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明.27.（1）补全图形AD 与BE 的数量关系为AD=BE .................................2分（2）∵∠ACB=∠DCE= 60°, ∴∠ACD=∠BCE 又∵AC=BC,CD=CE ∴△ACD ≌△BCE∴AD=BE, ∠CBE=∠CAD=60°∴∠ABF=180°-∠ABC-∠CBE=60° 在Rt AFB ∆中，3AF AB = ∴BE+BD=3AB.................................7分图2D CBA图1A B CD DEBA5.（正方形+旋转+最值）(2019东城一模27)如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C ʹ，连接ACʹ并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ．（1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明． （3）连接ACACC ′的面积最大值．解：（1）由对称可知 CD ＝C ′D ，∠CDE ＝∠C ′DE ． 在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠ADC ＝90°， ∴AD ＝C ′D ．又∵F 为AC ′中点，∴DF ⊥AC ′，∠ADF ＝∠C ′DF ．……………………………………………………1分∴∠FDP ＝∠FDC ′＋∠EDC ′=12∠ADC ＝45°．…………………2分（2）结论：BP ＋DPAP ．……………………………………………………3分 如图，作AP ′⊥AP 交PD 延长线于P ′， ∴∠P AP ′＝90°．在正方形ABCD 中，DA ＝BA ，∠BAD ＝90°， ∴∠DAP ′＝∠BAP ．由（1）可知∠APD ＝45°， ∴∠P ′＝45°．∴AP ＝AP ′……………………………………………………4分在△BAP 和△DAP ′中，BA DA BAP DAP AP AP =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BAP ≌△DAP ′（SAS ）……………………………………………………5分 ∴BP ＝DP ′．P BAP BA∴DP＋BP＝PP′＝．（3－1……………………………………………………7分P'B A6.（等腰直角三角形+旋转）(2019房山一模27).已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.(1) 如图1，点D是BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE.若∠BAD=α，求∠DBE的大小(用含α的式子表示) ；(2) 如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE.①依题意补全图2；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明.图1 图2解：（1）解: 依题意，∠CAB=45°，∵∠BAD=α，∴∠CAD=45α︒-.∵∠ACB=90°，BE⊥AD，∠ADC=∠BDE，∴∠DBE=∠CAD=45α︒-. …………………………………2分（2）解：①补全图形如图…………………………………4分②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB - EAEC.…………………………………5分证明：过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.∵∠ACB=90°，∴∠ACF=∠BCE.∵CA=CB，∠CAF =∠CBE，∴△ACF≌△BCE.…………………………………6分∴AF=BE，CF=CE.∵∠ECF=90°，∴EFEC.即AF-EAEC.AB A∴7分7.（等腰直角三角形+旋转）(2019门头沟一模27). 如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE 交OA 于点E ．以点P 为旋转中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F ．（1）根据题意补全图1，并证明PE = PF ；（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明； （3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系．图1 图227．（本小题满分7分）解：（1）补全图形（如图1）； ……………………………… 1分证明：略. ……………………………………… 3分（2）线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系是OF +OE =2OP . ……………………………… 4分证明：如图2，作PQ ⊥PO 交OB 于Q .∴ ∠2+∠3 = 90°，∠1+∠2 = 90°. ∴ ∠1=∠3.又∵ OC 平分∠AOB ，∠AOB =90°， ∴∠4 =∠5 = 45°. 又∵ ∠5 +∠6 = 90°， ∴∠6 = 45°，∴∠4 = ∠6 . ∴ PO = PQ .∴ △EPO ≌ △FPQ . ……………………… 5分 ∴ PE =PF ，OE = FQ .又∵OQ = OF +FQ = OF + OE .又∵ OQ =2OP ，∴OF + OE =2OP . ……………………… 6分（3）线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系是OF - OE =2OP . ………………………… 7分PPEECCBBOOAA图2图18.（等腰直角三角形+旋转）(2019燕山一模27)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．(1) ① 依题意补全图1；② 求证：∠EDC ＝∠BAD ； (2) ① 小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为： ； ② 小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ． 想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ． 想法3：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，只需证四边形DFCE 为平行四边形． ……请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想．(一种方法即可)27．(1)①补全的图形如图的所示；………………………………1分②证明：∵∠ADE ＝∠B ＝90°，∴∠EDC ＋∠ADB ＝∠BAD ＋∠ADB ＝90°，∴∠EDC ＝∠BAD ． ………………………………3分(2) ①CE ＝2BD ． ………………………………4分②想法1：证明：如图，过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，∴∠F ＝90°．在△ADB 和△DEF 中，∠B ＝∠F ＝90°，∠EDC ＝∠BAD ，AD ＝DE ， ∴△ADB ≌△DEF ， ∴AB ＝DF ，BD ＝EF ．图1 D C B A 备用图 A B CD AB ECD EA∵AB＝BC，∴DF＝BC，即DC＋CF＝BD＋DC，∴CF＝BD＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CECFBD．………………………………7分想法2：证明：在线段AB上取一点F，使得BF＝BD，连接DF，∵∠B＝90°，AB＝BC，∴DFBD，∵AB＝BC，BF＝BD，∴AB－BF＝BC－BD，即AF＝DC．在△ADF和△DEC中，AF＝DC，∠BAD＝∠EDC，AD＝DE，∴△ADF≌△DEC，∴CE＝DFBD．………………………………7分∴AD＝CF，∠BAD＝∠BCF．∵AD＝DE，∴DE＝CF．∵∠EDC＝∠BAD，∴∠EDC＝∠BCF，∴DE∥CF，∴四边形DFCE为平行四边形，9.（等腰直角三角形+旋转）(2019丰台一模27)在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ， D 为AB 的中点，点E 为AC 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE 交CB 的延长线于点F ． （1）求证：BF= CE ；（2）若CE =AC ，用等式表示线段DF 与AB 的数量关系，并证明．解：（1）连接CD.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为AB 中点，∴CD ⊥BD , CD=BD=DA. ...............1分∵DF ⊥DE ， ∴∠BDF =∠CDE . ∵∠F =∠E ，∴△DBF ≌△DCE .∴BF=CE. ..................3分 （2）52DF AB =. ..................4分 理由如下：由（1）知△DBF ≌△DCE ，∴DF=DE. ..................5分 连接BE.∵CE=CA ， ∴BA=BE.∴∠A=∠BEA=45°. ∴∠ABE=90°. 设AD=BD=a ， ∴AB=BE=2a. ∴5DF DE a ==.∴52DF AB =. .........................7分FA EC DB10.（等腰直角三角形+旋转＋解直角三角形）(2019朝阳一模27)如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，将线段BC 绕点B 逆时针旋转α°（0<α<180），得到线段BD ，且AD ∥BC ． （1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值； （3）若AB =2，求AD 的长． 解：（1）满足条件的点D 有两个，补全图形如图1所示．………………………………………2分 （2）如图2，过点B 作BE ⊥D 1D 2于点E ．由题意可知，BD 1=BD 2 =BC ，AE ∥BC ． ∴∠AEB =90°．∵在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ， ∴∠EAB =∠ABC =45°．∴在Rt △ABE 中，22BE AB =，在Rt △ABC 中，22AB BC =． ∴11122BE BC BD ==．……………………………………………………………………4分∴∠D 1=∠D 2=30°． ∵D 1D 2∥BC ，∴30α=或150．……………………………………………………………………………5分（3）∵AB =2，∴2BE AE ==．∴D 1E = D 2E =6．∴AD 的长为62-或62+．………………………………………………………7分图1图2CFE CAB11.（等边三角形+旋转）(2019怀柔一模27)如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ． （1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明； （3）求证：MD=ME ．（1）补全图形如图：（2）线段BE ，AD 与AB 的数量关系是：AD+ BE=12AB ． ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=60°． ∵PD ⊥AC ，PE ⊥BC ，∴∠APD=∠BPE=30°， ∴AD=AP ，AD=AP ． ∴AD+ BE=（AP+ BP ）=AB ．………………………………3分（3）取BC 中点F ，连接MF ．∴MF=AC ．MF ∥AC ． ∴∠MFB=∠ACB=60°．∴∠A=∠MFE=60°． ∵AM=AB ，AB=AC ，∴MF=MA ． ∵EF+ BE=BC ， ∴AD + BE=AB ．∴EF=AD. ∴△MAD ≌△MFE （SAS ）．∴MD=ME ．…………………………………7分212121212121212121二、轴对称变换12.（正方形+对称）(2019西城一模27)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：FB=FD；（2）点H在边BC上，且BH=CE，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值．解：（1）证明：∵∠ABC=90°，BA=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°．∵AB绕点A逆时针旋转90°得到AD，∴∠BAD=90°，AB=AD．∴∠DAF=∠BAD－∠BAC=45°．∴∠BAF=∠DAF．…………………………………………………………1分∵AF=AF，∴△BAF≌△DAF．∴FB=FD．…………………………………………………………………2分（2）①AH与BF的位置关系：AH⊥BF．……………………………………………3分证明：连接DC，如图．∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD∥BC．∵AB=BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．∴AB=DC，∠ADC=∠DCB=90°．∴∠ABH=∠DCE．∵BH=CE，∴△ABH≌△DCE．∴∠BAH=∠CDE．∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠ADF．∴∠BAH＋∠ABF=∠CDE＋∠ADF=∠ADC=90°．∴∠ANB=180°－(∠BAH＋∠ABF)=90°．∴AH⊥BF．……………………………………………………………5分1．…………………………………………………………………………7分13．（等腰三角形+对称）(2019顺义一模27)已知：如图，在△ABC中，AB>AC，∠B=45°，点D是BC边上一点，且AD=AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD=α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：AC=FC；（3）用等式直接表示线段BF与DC的数量关系．解：（1）过点A作AG⊥BC于点G，…………………1分∴∠2+∠4=90°，∵AD=AC，∴∠1=∠2=12∠CAD=12α，…………………………2分∵CF⊥AD于点E，∴∠3+∠4=90°，∴∠3=∠2=12∠CAD=12α，…………………………3分即∠BCF=12α．（2）证明：∵∠B=45°，∴∠BAG=45°，………………………………………4分∵∠BAC=45°+∠1，∠AFC=45°+∠3，∴∠BAC=∠AFC，∴AC=FC．………………………………………………5分（3）DC．…………………………………7分AB CDFE4231GEFD CBA三、平移变换14.（等边三角形+平移）(2019石景山一模27). 如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC <，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求证：AG = CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．27．（1）补全的图形如图1所示． …………… 1分 （2）证明：Q △ABC 是等边三角形， ∴AB BC CA ==．60ABC BCA CAB ∠=∠=∠=︒．由平移可知ED ∥BC ，ED =BC ．………… 2分 60ADE ACB ∴∠=∠=︒． 90GMD ∠=︒Q ，2DG DM DE ∴==． …………… 3分 DE BC AC ==Q ， DG AC ∴=．AG CD ∴=． …………… 4分（3）线段AH 与CG 的数量关系：AH = CG ．…………… 5分证明：如图2，连接BE ，EF ．,ED BC =Q ED ∥BC ，BEDC ∴四边形是平行四边形．BE CD CBE ADE ABC ∴=∠=∠=∠，． GM ED Q 垂直平分，EF DF ∴=．DEF EDF ∴∠=∠．Q ED ∥BC ，BFE DEF BFH EDF ∴∠=∠∠=∠，． BFE BFH ∴∠=∠． BF BF =Q ，BEF BHF ∴△≌△． …………… 6分 BE BH CD AG ∴===． AB AC =Q ，AH CG ∴=．…………… 7分B图1图2四、其它15.（等腰直角三角形+全等）(2019海淀一模27)如图，在等腰直角△ABC 中，90ABC ?°，D 是线段AC 上一点（2CA CD > ），连接BD ，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ．（1）依题意补全图形；（2）若ACE α?，求ABD Ð的大小（用含α的式子表示）； （3）若点G 在线段CF 上，CG BD =，连接DG ．①判断DG 与BC 的位置关系并证明；②用等式表示DG ，CG ，AB 之间的数量关系为 ．（1）补全图形，如图．（2） 解：∵ AB =BC ，∠ABC =90°，∴ ∠BAC =∠BCA =45°．∵ ∠ACE =α， ∴ 45ECB α??．∵ CF ⊥BD 交BD 的延长线于点E ， ∴ ∠BEF =90°． ∴ ∠F +∠ABD =90°． ∵ ∠F +∠ECB =90°， ∴45ABD ECB α???．（3）① DG 与BC 的位置关系：DG ⊥BC ．证明：连接BG 交AC 于点M ，延长GD 交BC 于点H ，如图．∵ AB =BC ，∠ABD =∠ECB ，BD =CG ， ∴ △ABD ≌△BCG ． ∴ ∠CBG =∠BAD =45°． ∴ ∠ABG =∠CBG =∠BAC =45°． ∴ AM =BM ，∠AMB =90°． ∵ AD =BG ， ∴ DM =GM ．∴ ∠MGD =∠GDM =45°． ∴ ∠BHG =90° ∴ DG ⊥BC ．H。
2019年北京市平谷区中考数学一模试卷(解析版)
2019年北京市平谷区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，直径为单位1的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，则点A表示的数是（）A．2B．C．πD．43．如图，正五边形ABCDE，点F是AB延长线上的一点，则∠CBF的度数是（）A．60°B．72°C．108°D．120°4．某颗人造地球卫星绕地球运行的速度是7.9×103m/s，那么这颗卫星绕地球运行一年（一年以3.2×107s计算）走过的路程约是（）A．1.1×1010m B．7.9×1010m C．2.5×1010m D．2.5×1011m5．如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，∠BAC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．90°6．如果a+b＝2，那么代数式的值是（）A．B．1C．D．27．某非物质文化遗产共有16名传承艺人，为了了解每位艺人的日均生产能力，随机调查了某一天每位艺人的生产件数．获得数据如下表：从这一天16名艺人中随意抽取1人，则他的这一天生产件数最可能的是（ ） A ．11件B ．12件C ．13件D ．15件8．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断： ①抛物线开口向下；②当x ＝﹣2时，y 取最大值；③当m ＜4时，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝m 必有两个不相等的实数根；④直线y ＝kx +c （k ≠0）经过点A ，C ，当kx +c ＞ax 2+bx +c 时，x 的取值范围是﹣4＜x ＜0； 其中推断正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．如图，该正方体的主视图是 形．10．若分式的值是正数，则x 的取值范围是 ．11．某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：则甲、乙、丙三名业务员中销售额最稳定的是．12．如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，请补充一个条件，使△BED≌△CFD，你补充的条件是（填出一个即可）．13．甲乙二人分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲乙二人运动两次的情形，设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，根据题意所列的方程组是．14．如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a＞b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是（用含a，b的等式表示）．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝2，BD＝4，则AE的长是．16．小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0），则点E的坐标是．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，∠AOB．求作：∠AOB的角平分线OP．作法：如图，①在射线OA上任取点C；②作∠ACD＝∠AOB；③以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；④作射线OP；所以射线OP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：∵∠ACD＝∠AOB，∴CD∥OB（）（填推理的依据）．∴∠BOP＝∠CPO．又∵OC＝CP，∴∠COP＝∠CPO（）（填推理的依据）．∴∠COP＝∠BOP．∴OP平分∠AOB．18．（5分）计算：2sin60°+（3﹣π）0﹣+|﹣1|．19．（5分）解不等式组：．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为正数，求实数k的取值范围．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC⊥x轴于点C．（1）求k的值；（2）直线AB：y＝ax+b（a＞0）图象经过点A交x轴于点B．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为W．①直线AB经过（0，1）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，求a的取值范围．22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AE ∥BC，CE∥AD交于点E，连接DE，交AC于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB＝10，sin∠COE＝，求CE的长．23．（6分）费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，每4年评选一次，在国际数学家大会上颁给有卓越贡献的年龄不超过40岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐1982年获得费尔兹奖．为了让学生了解费尔兹奖得主的年龄情况，我们查取了截止到2018年60名费尔兹奖得主获奖时的年龄数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据的频数分布直方图如图1（数据分成5组，各组是28≤x＜31，31≤x＜34，34≤x＜37，37≤x＜40，x≥40）：b．如图2，在a的基础上，画出扇形统计图；c．截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄在34≤x＜37这一组的数据是：d．截止到2018年时费尔兹奖得主获奖时的年龄的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）依据题意，补全频数直方图；（2）31≤x＜34这组的圆心角度数是度，并补全扇形统计图；（3）统计表中中位数m的值是；（4）根据以上统计图表试描述费尔兹奖得主获奖时的年龄分布特征．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F．（1）求证：AC＝CF；（2）若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．25．（6分）如图，点P是所对弦AB上一动点，点Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，作射线PQ交于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，x的值为0）．小平根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小平的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；经测量m的值是（保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△BCP为等腰三角形时，AP的长度约为cm．26．（6分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3与y轴交于点A，过A作AB∥x轴与直线x＝4交于B点．（1）抛物线的对称轴为x＝（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线经过点A，B时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段AB下方的部分图象为G（包含A，B两点），点P（m，0）是x轴上一动点，过P作PD⊥x轴于P，交图象G于点D，交AB于点C，若CD≤1，求m的取值范围．27．（6分）在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．（1）若∠BAC＝α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；（3）当α＝30°时，直接写出AC，BD的关系．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N 为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P，Q）．已知点A（4，0），B（0，4），连接AB．（1）d（点O，AB）＝．（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）＝0，求r的取值范围；（3）点C（﹣3，﹣2），连接AC，BC，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，d（⊙T，△ABC），且0＜d＜2，求t的取值范围．2019年北京市平谷区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2．【分析】根据题意，直径为单位1的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，则OA的长为圆的周长，求圆的周长即可．【解答】解：由题意可知OA的长是圆的周长而C＝πd＝π×1＝π∴OA＝π∴点A表示的数是π．故选：C．【点评】本题考查的是数轴上两点间的距离，正确理解题意，明确OA长度的实际意义是解决本题的关键．3．【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数．【解答】解：∵正多边形的外角和是360°，∴360°÷5＝72°．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数和外角的度数是常用的一种方法，需要熟记．4．【分析】路程＝速度×时间，依此可求这颗卫星绕地球运行一年（一年以3.2×107s计算）走过的路程，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：7.9×103×3.2×107≈25×1010＝2.5×1011（m）．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．【分析】AB是⊙O直径可得∠ACB＝90°，再根据直角三角形的性质即可求解．【解答】解：∵AB是⊙O直径∴∠ACB＝90°∵∠BAC＝40°∴∠D＝∠B＝90°﹣∠BAC＝50°故选：B．【点评】本题考查圆周角定理和直角三角形的性质的运用．6．【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a+b＝2代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝，当a+b＝2时，原式＝，故选：A．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．7．【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．【解答】解：由表可知，11件的次数最多，所以众数为11件，所以从这一天16名艺人中随意抽取1人，则他的这一天生产件数最可能的是11件，故选：A．【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：众数是指一组数据中出现次数最多的数据．8．【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．【解答】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点B到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；易知直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜﹣4或x＞0，从而④错误．故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据主视图为正面所看到的图形进而得出答案．【解答】解：正方形的主视图为正方形，故答案为：正方．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图即为从正面所看到的图形．10．【分析】直接利用分式的性质分析得出答案．【解答】解：∵分式的值是正数，∴x+1＞0，解得：x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．【点评】此题主要考查了分式的值，正确把握分子与分母的关系是解题关键．11．【分析】方差越小．方差越小的越稳定，方差越大的波动越大，从而越不稳定，从数据的集中趋势可以看出哪个更集中，哪个更分散，从而得解．【解答】解：将甲乙丙三组数据按照从小到大排列：甲7.2 8.0 9.3 9.6 9.6乙 5.8 7.8 9.7 9.8 9.9丙 5.8 8.5 9.2 9.9 9.9可以看出甲组数据更集中一些，乙丙的数据较为分散，而数据越分散则方差越大，数据越集中，则方差越小．方差越小的越稳定，则本题甲、乙、丙三名业务员中销售额最稳定的是甲．故答案为：甲．【点评】方差是反映数据波动大小的统计量，在可以观察出波动大小，从而知道方差大小的情况下，可以不用具体计算每组数据的方差值．12．【分析】根据全等三角形的判定定理AAS判定△BED≌△CFD．【解答】解：可以添加条件：BD＝DC．理由：∵BD＝CD；又∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠E＝∠CFD＝90°；∴在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．故答案是：答案不唯一，如BD＝DC．【点评】本题考查了全等三角形的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．13．【分析】设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，根据路程＝速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，依题意，得：．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．【分析】根据阴影部分面积的不同表示方法，图中阴影部分的面积是：a2﹣b2，阴影部分的面积是：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），即可得到乘法公式．【解答】解：图中阴影部分的面积是：a2﹣b2，阴影部分的面积为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【点评】本题主要考查了平方差公式几何背景．利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式．15．【分析】先证明AE＝AC，利用勾股定理求出BE长，在Rt△ABC中利用勾股定理可求AE长．【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DC⊥AC，DE⊥AB，∴CD＝ED．又AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）∴AE＝AC．在Rt△BDE中，BE＝．设AE＝x，则AC＝x，AB＝2+x，在Rt△ABC中，利用勾股定理得（2+x）2＝62+x2，解得x＝2．所以AE长为2．故答案为2．【点评】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助勾股定理构造方程求解．16．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，∵BC＝1.2，∴DE＝2，∴E（4，0）．故答案为：（4，0）．【点评】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【分析】（1）在CD上截取OP＝CO即可；（2）利用平行线的判定方法可先判断CD∥OB，则∠BOP＝∠CPO．再利用等边对等角∠COP ＝∠CPO，所以∠COP＝∠BOP．【解答】解：（1）如图，OP为所作；（2）证明：∵∠ACD＝∠AOB，∴CD∥OB（同位角相等，两直线平行）；∴∠BOP＝∠CPO．又∵OC＝CP，∴∠COP＝∠CPO（等边对等角）．∴∠COP＝∠BOP．∴OP平分∠AOB．故答案为同位角相等，两直线平行；等边对等角．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质．18．【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：原式＝2×+1﹣2+﹣1＝0．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：由①得x＜3；由①得x＞1∴不等式组的解集为1＜x＜3【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．20．【分析】（1）先求出△的值，再根据△的意义即可得到结论；（2）利用求根公式求得，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答．【解答】解：（1）△＝k2﹣2k+1﹣4k+81＝（k﹣3）22∵（k﹣3）2≥0，∴方程总有两个实数根．3（2）∵，∴x1＝﹣1，x2＝2﹣k．∵方程有一个根为正数，∴2﹣k＞0，k＜2．【点评】考查了根的判别式．体现了数学转化思想，属于中档题目．21．【分析】（1）把A（2，2）代入y＝中便可求得k；（2）①根据图象直接写出答案便可；②用待定系数法求出直线AB分别过点（0，1），（1，0），（3，1），（4，1）四点时的a值便可．【解答】解：（1）把A（2，2）代入y＝中，得k＝2×2＝4；（2）①∵直线AB经过（0，1），设直线AB的解析式为：y＝ax+b（a≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝+1，∴B（﹣2，0），图象如下：由图象可知，直线AB经过（0，1）时，区域W内的整点只有1个；②当直线AB经过点A（2，2），（0，1）时区域W内恰有1个整点，则，∴，当直线AB经过点A（2，2），（1，1）时区域W内没有整点，则，∴a＝1，∴当时区域W内恰有1个整点；综上，当时区W内恰有1个整点．【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，新定义，解答（2）小题的关键是根据新定义，确定不同情况下的解析式．22．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC于点D，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）过点E作EF⊥AC于F．解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC于点D，∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是矩形；（2）解：过点E作EF⊥AC于F．∵AB＝10，∴AC＝10，∵对角线AC，DE交于点O，∴DE＝AC＝10，∴OE＝5.4，∵sin∠COE＝，∴EF＝4.5，∴OF＝3，∵OE＝OC＝5，∴CF＝2．∴CE＝．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，熟记特殊四边形的判定与性质是解题的关键．23．【分析】（1）根据总人数为60求出第二组的人数即可解决问题．（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可，根据百分比的和为1，求出第二组的百分比，即可画出扇形统计图．、（3）根据中位数的定义，中位数等于第30，31的年龄的平均数．（4）答案不唯一，合理即可．【解答】解：（1）频数直方图如图所示：≤（2）31≤x＜34这组的圆心角度数＝360°×21.7%≈78°．扇形统计图如图所示．（3）统计表中中位数m的值是36．（4）答案不唯一，如：费尔兹奖得主获奖时年龄集中在37岁至40岁．【点评】本题考查频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，平均数，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．【分析】（1）连接BE，若要证明AC＝CF，则只要证明∠CAE＝∠EFB＝∠AFC即可；（2）易证得BF＝2，根据cos∠ABC＝＝＝，可求出BD的长，进而得到AD和DF的长，然后根据tan∠BAE＝tan∠DAE求得即可．【解答】（1）证明：连接BE，∵CA是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵E是弧BD的中点，∴＝，∴∠BAE＝∠DBE，∴∠CAE＝∠EFB＝∠AFC，∴AC＝CF；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝5．∵AC＝CF＝3，∴BF＝BC﹣CF＝2．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵cos∠ABC＝＝＝，∴BD＝，∴AD＝＝，DF＝BD﹣BF＝．∴tan∠BAE＝tan∠DAE＝＝．【点评】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．25．【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找PB长关于x的函数：直线y＝﹣x+6与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可；【解答】（1）解：（1）∵PA＝0时，点P与点A重合，AB＝6，PC＝AC＝5.37，BC＝2.68，∴AB2＝PC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴AB是直径．当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3，∴y1＝3，故答案为3．（2）如图；（3）观察图象可知：当x＝y，即当PB＝PC或PB＝BC时，x＝3或1.2，当y1＝y2时，即PC＝BC时，x＝1.6，或x＝6（与P重合，△BCP不存在）综上所述，满足条件的x的值为1.2或1.6或3，．故答案为1.2或1.6或3.0．【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．26．【分析】利用二次函数对称轴和顶点即可求解（1）（2）问；（3）求出函数与x轴两个交点，由于CD≤1，所有C要在x轴上方的G区域，结合图象，即可求出m的范围．【解答】解：（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣，代入得到x＝m；故答案为m；（2）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣3＝（x﹣m）2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣3）．∵抛物线经过点A，B时，且AB∥x轴，∴抛物线对称轴为x＝m＝2．∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+1；（3）y＝x2﹣4x+1与x轴两个交点为（2﹣，0），（2+，0），∵CD≤1，∴0≤m≤2﹣或2+≤m≤4．【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中注意数形结合思想的应用．27．【分析】（1）证△ACD是等边三角形，由三角形内角和可得出结论；（2）如图1，延长BA使AE＝BC，连接DE．可证△ADE≌△CDB，得出BD＝AB+BC；（3）如图2，当α＝30°时，AB＝BC，AD＝CD，则BD垂直平分AC，可得AC＝．【解答】解：（1）∵线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAC+∠BCA＝60°，∴∠BCD＝∠ACD+∠BCA＝60°+60°﹣α＝120°﹣α，即∠BCD＝120°﹣α．（2）BD＝AB+BC．如图1，延长BA使AE＝BC，连接DE．由（1）知△ADC是等边三角形，∴AD＝CD．∵∠DAB+∠DCB＝∠DAB+∠DAE＝180°，∴∠DCB＝∠DAE．∴△ADE≌△CDB（SAS）．∴BD＝BE．∴BD＝AB+BC．（3）如图2，AC，BD的数量关系是：；位置关系是：AC⊥BD于点P．理由如下：∵∠BAC＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝30°，∴AB＝BC，∵AD＝DC，∴BD垂直平分AC，∴∠ABD＝60°，∠DAB＝90°，∴，∴．【点评】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．28．【分析】（1）作OD⊥AB，根据等腰直角三角形的性质求出OD即可得；（2）结合图形得出r＝OD＝2和r＝OA＝4时d（⊙O，AB）＝0，据此可得答案；（3）分点T（t，0）在y轴左侧和右侧两种情况，其中点T在y轴左侧时，作TG⊥BC，利用△TEG∽△BEO得＝，据此求出TE的长可得答案．【解答】解：（1）如图1所示，过点O作OD⊥AB于点D，由题意知OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAD＝45°，则OD＝OA sin∠OAD＝4×＝2，∴d（点O，AB）＝2，故答案为：2．（2）若r＝OD＝2时，d（⊙O，AB）＝0；如图2，若r＝OA＝4时，⊙O经过点A和点B时，d（⊙O，AB）＝0．综上，；（3）如图3，①当点T（t，0）在y轴左侧时，过点T作TG⊥BC于点G，则∠TGE＝∠BOC＝90°，由B（0，4）、C（﹣3，﹣2）知BC所在直线解析式为y＝2x+4，当y＝0时x＝﹣2，则E（﹣2，0），∴OE＝2，TE＝﹣t﹣2，∵∠TEG＝∠BEO，∴△TEG∽△BEO，∴＝，若d（⊙T，△ABC）＝0，则TG＝2，此时＝，解得t＝﹣2﹣；若d（⊙T，△ABC）＝2，则TG＝4，此时＝，解得t＝﹣2﹣2；所以；②当点T在y轴右侧时，若d（⊙T，△ABC）＝0，则T′A＝2，此时t＝6；若d（⊙T，△ABC）＝2，则T′A＝4，此时t＝8；所以6＜t＜8；综上，或6＜r＜8．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的概念，相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用等知识点．。
19平谷数学一模试卷和答案
北京市平谷区2019年中考统一练习（一）数学试卷 2019.4一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列图形中，不是．．轴对称图形的是(A) (B)(C) (D)2．如图，直径为单位1 的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A ，则点A 表示的数是(A)2 (C) π (D)43．如图，正五边形ABCDE ，点F 是AB 延长线上的一点，则∠CBF 的度数是 (A) 60° (B)72° (C)108° (D)120°4．某颗人造地球卫星绕地球运行的速度是7．9×103 m ／s ，那么这颗卫星绕地球运行一年（一年以3．2×107 s 计算）走过的路程约是 (A)1.1×1010m(B)7.9×1010m(C)2.5×1010m(D)2.5×1011m5．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AC 是⊙O 的直径，∠BAC =40°，则∠D 的度数是(A) 40° (B)50° (C)60° (D)90°6．如果a +b =2，那么代数式22212b a ba b a ab b -⎛⎫+⋅ ⎪-++⎝⎭的值是 (A)12(B)1 (C) 2 (D)27．某非物质文化遗产共有16名传承艺人，为了了解每位艺人的日均生产能力，随机调查了某一天每位艺人的生产件数．获得数据如下表： 生产件数（件） 10 11 12 13 14 15 人数（人）163321从这一天16名艺人中随意抽取1人，则他的这一天生产件数最可能的是 (A) 11件 (B) 12件 (C) 13件 (D) 15件8．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断： ①抛物线开口向下； ②当x =－2时，y 取最大值； ③当m <4时，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =m必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c (k ≠0)经过点A ，C ，当kx+c> ax 2＋bx ＋c 时，x 的取值范围是－4<x <0； 其中推断正确的是 (A) ①② (B) ①③ (C) ①③④ (D) ②③④二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．如图，该正方体的主视图是 形．y x12345–1–2–3–4–112OABC10．若分式11x 的值是正数．．，则x 的取值范围是 ． 11．某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：则甲、乙、丙三名业务员中销售额最稳定的是 ． 12．如图，在△ABC 中，射线AD 交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，请补充一个条件，使△BED ≌△CFD ，你补充的条件是（填出一个即可）．12．甲乙二人分别从相距20km 的A ，B 两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲乙二人运动两次的情形，设甲的速度是x km/h ，乙的速度是y km/h ，根据题意所列的方程组是 ．14．如图，从一个边长为a 的正方形的一角上剪去一个边长为b （a>b ）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是（用含a ，b 的等式表示）．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，若CD =2，BD =4，则AE 的长是 ．第二次第一次A ，B 两地相距20km相遇乙走1h 甲走1h 甲走0.5hAA16．小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC ，在距地面2米的A 处有一盏灯，圆桌的影子为DE ，依据题意建立平面直角坐标系，其中D 点坐标为（2,0），则点E 的坐标是 ．三、解答题(本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，∠AOB ． 求作：∠AOB 的角平分线OP ． 作法：如图，①在射线OA 上任取点C ； ②作∠ACD =∠AOB ；③以点C 为圆心CO 长为半径画圆，交射线CD 于点P ； ④作射线OP ；所以射线OP 即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务． （1）补全图形； （2）完成下面的证明：证明：∵ ∠ACD =∠AOB ，∴ CD ∥OB （____________）（填推理的依据）． ∴∠BOP =∠CPO ． 又∵ OC=CP ，∴∠COP =∠CPO （____________）（填推理的依据）． ∴∠COP =∠BOP ． ∴ OP 平分∠AOB ．OBA CD18．计算：()02sin 6031231π︒+--+-．19．解不等式组：() 2 1 31,11 .2x x x ⎧+>-⎪⎨+>⎪⎩20．已知关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k +-+-= （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为正数，求实数k 的取值范围．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=>的图象经过点，作AC ⊥x 轴于点C ．（1）求k 的值；（2）直线AB ：()0y ax b a =+>图象经过点交x 轴于点．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．线段AB ，AC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①直线AB 经过()0,1时，直接写出区域W 内的整点个数； ②若区域W 内恰有1个整点，结合函数图象，求a 的取值范围．22．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 边的中点，连接AD ，分别过点A ，C 作AE ∥BC ，CE ∥AD 交于点E ，连接DE ，交AC 于点O ． （1）求证：四边形ADCE 是矩形； （2）若AB =10，sin ∠COE =45，求CE 的长．23．费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，每4年评选一次，在国际数学家大会上颁给有卓越贡献的年龄不超过40岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐1982年获得费尔兹奖．为了让学生了解费尔兹奖得主的年龄情况，我们查取了截止到2018年60名费尔兹奖得主获奖时的年龄数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a ．截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据的频数分布直方图如下OEDB A（数据分成5组，各组是28≤x＜31，31≤x＜34，34≤x＜37，37≤x＜40，x≥40）：b．如图，在a的基础上，画出扇形统计图；c．截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄在34≤x＜37这一组的数据是：3635343535343435363636363435 d．截止到2018年时费尔兹奖得主获奖时的年龄的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）依据题意，补全频数直方图；（2）31≤x＜34这组的圆心角度数是度，并补全扇形统计图；（3）统计表中中位数m的值是；（4）根据以上统计图表试描述费尔兹奖得主获奖时的年龄分布特征．24．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，连接BC 交⊙O于点D ，点E 是»BD的中点，连接AE 交BC 于点F ． （1）求证：AC=CF ；（2）若AB =4，AC =3，求∠BAE 的正切值．25．如图，点P 是»AB 所对弦AB 上一动点，点Q 是»AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，作射线PQ 交»AB 于点C ，连接BC ．已知AB =6cm ，设A ，P 两点间的距离为x cm ，P ，C 两点间的距离为y 1cm ，B ，C 两点间的距离为y 2cm ．（当点P 与点A 重合时，x的值为0）．小平根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小平的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值；的值是 （保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)， (x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△BCP 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm ．AC26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线3222-+-=m mx x y 与y 轴交于点A ，过A 作AB ∥x 轴与直线x =4交于B 点． （1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）； （2）当抛物线经过点A ，B 时，求此时抛物线的表达式； （3）记抛物线在线段AB 下方的部分图象为G （包含A ，B 两点），点P （m ,0）是x 轴上一动点，过P 作PD ⊥x 轴于P ，交图象G 于点D ，交AB 于点C ，若CD ≤1，求m 的取值范围．27．在△ABC 中，∠ABC =120°，线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AD ，连接CD ，BD 交AC 于P ．（1）若∠BAC =α，直接写出∠BCD 的度数 （用含α的代数式表示）； （2）求AB ，BC ，BD 之间的数量关系； （3）当α=30°时，直接写出AC ，BD 的关系．28．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ． （1）d （点O ，AB ）=（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．PCBD北京市平谷区2019年中考统一练习（一）数学试卷参考答案及评分标准 2019.4一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．正方； 10．x >-1； 11．甲； 12．答案不唯一，如BD=DC ；13．{252201120.x y x y +=++=； 14．()()22a b a b a b -=+-； 15． 16．(4,0)．三、解答题(本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分)17．（1 (1)（2）同位角相等，两直线平行； ................................................................ 3 等边对等角． . (5)18．解：原式=2112⨯+- ........................................................... 4 =0． ......................................................................................... 5 19．解：由①得x <3 ....................................................................................... 1 由①得x +1>2， ................................................................................. 2 x >1． .. (3)∴1<x <3． (5)20．解：(1)22148k k k ∆=-+-+ (1)()23k =- ················································································ 2 ()230k -≥Q ，∴方程总有两个实数根． ································································ 3 (2) ∵x =，∴11x =-，22x k =-． (4)∵方程有一个根为正数， ∴20k ->2k <． (5)21．（1）k =4； (1)（2）①1个； (2)②当直线AB 经过点A （2，﹣2），（0,1）时区域W 内恰有1个整点，∴12a =． 当直线AB 经过点A （2，﹣2），（1,1）时区域W 内没有整点， ∴a =1． ······················································································ 3 ∴当112a ≤<时区域W 内恰有1个整点． ········································· 5 22．（1）证明：∵AB=AC ，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC 于点D ． ··································································· 1 ∵AE ∥BC ，CE ∥AD ，∴四边形ADCE 是平行四边形． ................................................... 2 ∴平行四边形ADCE 是矩形． (3)（2）解： 过点E 作EF ⊥AC 于F ．∵AB =10， ∴AC =10．∵对角线AC ，DE 交于点O ，∴DE=AC =10．∴OE =5． (4)∵sin ∠COE =45， ∴EF =4 ··················································································· 5 ∴OF =3．∵OE=OC =5， ∴CF =2．∴CE = (6)23．（1）如图； (1)（2）31≤x ＜34这组的圆心角度数是 78 度， (2)如图（画图1分，数据1分）； ................................................................. 4 （3）统计表中中位数m 的值是 36 ； ........................................................... 5 （4）答案不唯一，如：费尔兹奖得主获奖时年龄集中在37岁至40岁． . (6)24．（1）证明：∵AC 切⊙O 于点A ，∴∠BAC =90°． ········································································· 1 连接AD ．∵点E 是»BD的中点， ∴∠BAE =∠DAE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°．∵∠CAD +∠DAB =∠DAB +∠B =90°， ∴∠CAD =∠B ．∵∠CAD +∠DAE =∠B +∠BAE ，∴∠CAF =∠CFA ． .................................................................... 2 ∴AC=CF ． .. (3)（2）解：∵AB =4，AC =3，∴BC =5． ················································································ 4 ∵AC=CF =3， ∴BF =2． ∵4cos 5BD AB B AB BC ===， ∴BD =165． ············································································· 5 ∴AD=125，DF =65． ∴tan ∠BAE = tan ∠DAE =12......................................................... 6 25．（1）3.0； (1)（2）如图； (3)（3）1.2或1.6或3.0． (6)26．（1）m ； (1)（2）∵3222-+-=m mx x y ()23x m =--，∴抛物线顶点坐标为（m ,－3）． (2)∵抛物线经过点A ，B 时，且AB ∥x 轴， ∴抛物线对称轴为x=m =2． (3)∴抛物线的表达式为241y x x =-+； ................................................. 4 （3）01m <≤． (6)27．（1）∠BCD=120°－α． (1)（2）解：方法一：延长BA使AE=BC，连接DE． (2)由（1）知△ADC是等边三角形，∴AD=CD．∵∠DAB+∠DCB=∠DAB+∠DAE=180°，∴∠DAB=∠DAE．∴△ADE≌△CDB． (3)∴BD=BE．∴BD=AB+BC． (4)方法二：延长AB使AF=BC，连接CF． (2)∠BDC=∠ADE．∵∠ABC=120°，∴∠CBF=60°．∴△BCF是等边三角形．∴BC=CF．∵∠DCA=∠BCF=60°，∴∠DCA+∠ACB=∠BCF+∠ACB．即∠DCB=∠ACF．∵CA=CD，∴△ACF≌△DCB． (3)∴BD=AF．∴BD=AB+BC． (4)（3）AC，BD的数量关系是：AC ； (5)位置关系是：AC ⊥BD 于点P ． (6)28．（1）； (1)（2）4r ≤≤； (3)（3）22t -<<或6<r <8． (7)。
2019年北京平谷区初三一模数学试卷
交于 点．
3y
2
1
–2 –1 O –1
x
123
–2
–3
（ 1 ） 抛物线的对称轴为
（用含 的代数式表示）．
（ 2 ） 当抛物线经过点 ， 时，求此时抛物线的表达式．
（ 3 ） 记抛物线在线段 下方的部分图象为 （包含 ， 两点），点
是 轴上一动
点，过 作
轴于 ，交图象 于点 ，交 于点 ，若
，求 的取值范
①抛物线开口向下；
②当
时， 取最大值；
③当
时，关于 的一元二次方程
必有两个不相等的实数根；
④直线
经过点 ， ，当
时， 的取值范围是
．
其中推断正确的是（ ）．
A. ①②
B. ①③
C. ①③④
D. ②③④
/
二、填空题
本题共16分，每小题2分 9. 如图，该正方体的主视图是
形．
10. 若分式
的值是正数，则 的取值范围是
卓越贡献的年龄不超过 岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐 年获得费尔兹奖．为了让学生
了解费尔兹奖得主的年龄情况，我们查取了截止到 年 名费尔兹奖得主获奖时的年龄数
据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
.截止到 年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据的频数分布直方图如下：
费尔兹奖得主获奖年龄分布图
．
11. 某商场甲、乙、丙三名业务员 个月的销售额（单位：万元）如下表：
销售额 业务员
第月
第月
第月
第月
甲
乙
丙
则甲、乙、丙三名业务员中销售额最稳定的是
．
第月
12. 如图，在
使
≌
平谷区2019一模试卷答案
平谷区2019～2019学年度第二学期初三第一次统一练习数学试卷答案 2019.4一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABBDBCAC二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 910 1112答案2≠x302)2(2-a a4 （2分）)12(4-n （2分）三、解答题（本题共25分，每小题5分）13．计算：︒+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--30tan 3312010231． 解：原式3333132⨯+++-= ···································································· 4分 6= ································································································· 5分 14. 解分式方程：22125=---xx 解：22125=-+-x x )2(215-=+x ………………………………………………………………………2分642=-x ……………………………………………………………………………3分 462+=x5=x ……………………………………………………………………………………4分 经检验5=x 是原方程的解．所以原方程的解是5=x ．……………………………………………………………5分15. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠B=∠D.…………………………………2分 在△ABE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠D B CD AB 21 ∴△ABE ≌△CDF.……………………………………………………………………………4分 ∴AE=CF .………………………………………………………………………………………5分16．已知0342=+-x x ，求)x 1(21x 2+--）（的值. 解：)x 1(21x 2+--）（ x 221x 2x 2--+-= …………………………………………………………2分 1x 4x 2--= ………………………………………………………………3分由,03x 4x 2=+-得3x 4x 2-=-……………………………………………………4分所以，原式413-=--= …………………………………………………………5分 17．解：（1）∵),1(b 在直线1+=x y 上， ∴当1=x 时，211=+=b ．…1分（2）解是⎩⎨⎧==.2,1y x…………………3分（3）直线m nx y +=也经过点P∵点P )2,1(在直线n mx y +=上， ∴2=+n m .……………………4分 把,1x =代入m nx y +=，得2m =+n .∴直线m nx y +=也经过点P ．…………………………………………………5分四、解答题（本题共10分，每小题 5分）18．解：连结OC ，OD ，过点O 作OE ⊥CD 于点E .……………………………………1分 ∵OE ⊥CD ，∴CE=DE=5,∴==53, ……………………………………………………2分 ∵∠OED=90°,DE=OD 21,∴∠DOE=30°, ∠DOC=60°. ∴3503601060S 2∏=⨯∏=扇形(cm 2) …………3分S △OC D =12·OE·CD= 25 3 (cm 2) ……………………………………………………4分∴S 阴影= S 扇形－S △OCD = (503π－253) cm 2∴阴影部分的面积为(503π－253) cm 2. ……………………………………………………5分说明：不答不扣分．O xy OP(第17题)1l2l19．（1）证明：连接OD ． ∵OA=OD ，OAD ODA ∴∠=∠．∵AD 平分∠CAM ，OAD DAE ∠=∠，ODA DAE ∴∠=∠． ∴DO ∥MN ． DE MN ⊥，∴DE ⊥OD ．………………………………………………………………………………1分 ∵D 在⊙O 上，DC ∴是⊙O 的切线．……………………………………………………………………2分 （2）解：90AED ∠=，6DE =，3AE =，AD ∴=3分连接CD ．AC 是⊙O 的直径，90ADC AED ∴∠=∠=． CAD DAE ∠=∠， ACD ADE ∴△∽△．………………………………………………………………………4分 AD AC AE AD∴=．=∴15AC =（cm ）．∴⊙O 的半径是7.5cm ． ……………………………………………………………………5分 （说明：用三角函数求AC 长时，得出ta n ∠DAC ＝2时，可给4分.） 五、解答题（本题共6分） 20．（1）200；…………………………………………………………………………………1分 （2）2001205030--=（人）． 画图正确． ···································································································· 3分（3）C 所占圆心角度数360(125%60%)54=⨯--=°°． ······································· 4分 （4）20000(25%60%)17000⨯+=（名） ························································ 5分 ∴估计该区初中生中大约有17000名学生学习态度达标． ······································· 6分六、解答题（本题共9分，21小题 5分，22小题4分）21．解：（1）设A 型台灯购进x 盏，B 型台灯购进y 盏．…………………….……1分根据题意，得5040652500x y x y +=⎧⎨+=⎩ ································································ 2分解得：3020x y =⎧⎨=⎩························································································ 3分（2）设购进B 种台灯m 盏.根据题意，得 1400)m 50(20m 35≥-+解得， 380m ≥······················································································· 4分 答：A 型台灯购进30盏，B 型台灯购进20盏；要使销售这批台灯的总利润不少于1400元，至少需购进B 种台灯27盏 .……………………………………………………5分 22．解 ：（1）所画的点P 在AC 上且不是AC 的中点和AC 的端点．（如图（2））……………2分 （2）画点B 关于AC 的对称点B '，延长DB '交AC 于点P ，点P 为所求（不写文字说明不扣分）．………………………………………………………………………………………….4分 （说明：画出的点P 大约是四边形ABCD 的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）七、解答题(共22分,其中23题7分、24题8分，25题7分) 23．解：（1）△=22)1(4)2(m m m =-+- ∵方程有两个不相等的实数根,∴0≠m .………………………………………………………………………………………1分 ∵01≠-m ,∴m 的取值范围是1,0≠≠m m 且.…………………………………………………………2分 （2）证明：令0=y 得，01)2()1(2=--+-x m x m .∴)1(2)2()1(2)2(2-±--=-±--=m m m m m m x . ∴1)1(221-=--+-=m m m x ，11)1(222-=-++-=m m m m x . …………………………………4分图（2）A C∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0,1-），（0,11-m ）,∴无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过定点（0,1-）.…………5分 （3）∵1-=x 是整数 ∴只需11-m 是整数. ∵m 是整数，且1,0≠≠m m ,∴2=m .……………………………………………………………………………………6分 当2=m 时，抛物线为12-=x y ．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为861)3(22+-=--=x x x y .……………………………………………………………7分24．解：（1）由抛物线C 1：5)2(2--=x a y 得顶点P 的坐标为（2，5）………….1分 ∵点A （－1，0）在抛物线C 1上∴95a =.………………2分 （2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G.. ∵点P 、M 关于点A 成中心对称, ∴PM 过点A ，且PA ＝MA.. ∴△PAH ≌△MAG..∴MG ＝PH ＝5，AG ＝AH ＝3.∴顶点M 的坐标为（4-，5）.………………………3分 ∵抛物线C 2与C 1关于x 轴对称，抛物线C 3由C 2平移得到 ∴抛物线C 3的表达式5)4(952++-=x y . …………4分（3）∵抛物线C 4由C 1绕x 轴上的点Q 旋转180°得到 ∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称. 由（2）得点N 的纵坐标为5. 设点N 坐标为（m ，5），作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G ，作PR ⊥NG 于R. ∵旋转中心Q 在x 轴上, ∴EF ＝AB ＝2AH ＝6.∴EG ＝3，点E 坐标为（3m -，0），H 坐标为（2，0），R 坐标为（m ，－5）. 根据勾股定理，得,104m 4m PR NR PN 2222+-=+= 50m 10m HE PH PE 2222+-=+= 3435NE 222=+=①当∠PNE ＝90º时，PN 2+ NE 2＝PE 2， 解得m ＝344-，∴N 点坐标为（344-，5） ②当∠PEN ＝90º时，PE 2+ NE 2＝PN 2， 解得m ＝310-，∴N 点坐标为（310-，5）. ③∵PN ＞NR ＝10＞NE ，∴∠NPE ≠90º ………综上所得，当N 点坐标为（344-，5）或（310-，5）时，以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分说明：点N 的坐标都求正确给8分，不讨论③不扣分．25．解：（1）如图①AH=AB ………………………..1分 （2）数量关系成立.如图②，延长CB 至E ，使BE=DN ∵ABCD 是正方形∴AB=AD ，∠D=∠ABE=90°∴Rt △AEB ≌Rt △AND ………………………………3分 ∴AE=AN ，∠EAB=∠NAD∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM∴△AEM ≌△ANM ………………………………….4分 ∵AB 、AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高， ∴AB=AH …………………………………………….. .5（3）如图③分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH 得到△ABM 和△AND∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90° 分别延长BM 和DN交于点C ，得正方形ABCE ．由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.设AH=x ，则MC=2-x , N C=3-x 图② 在R t ⊿MCN 中，由勾股定理，得222NC MC MN += ∴222)3()2(5-+-=x x ………………………6分 解得1,621-==x x .（不符合题意，舍去） ∴AH=6.……………………………………………7分图③图①。
2019年北京市平谷区中考数学一模试卷
2019年北京市平谷区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）如图，直径为单位1的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，则点A表示的数是（）A．2B．C．πD．43．（2分）如图，正五边形ABCDE，点F是AB延长线上的一点，则∠CBF的度数是（）A．60°B．72°C．108°D．120°4．（2分）某颗人造地球卫星绕地球运行的速度是7.9×103m/s，那么这颗卫星绕地球运行一年（一年以3.2×107s 计算）走过的路程约是（）A．1.1×1010m B．7.9×1010m C．2.5×1010m D．2.5×1011m5．（2分）如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，∠BAC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．90°6．（2分）如果a+b＝2，那么代数式的值是（）A ．B ．1C ．D ．27．（2分）某非物质文化遗产共有16名传承艺人，为了了解每位艺人的日均生产能力，随机调查了某一天每位艺人的生产件数．获得数据如下表：从这一天16名艺人中随意抽取1人，则他的这一天生产件数最可能的是（ ） A ．11件B ．12件C ．13件D ．15件8．（2分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断： ①抛物线开口向下；②当x ＝﹣2时，y 取最大值；③当m ＜4时，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝m 必有两个不相等的实数根；④直线y ＝kx +c （k ≠0）经过点A ，C ，当kx +c ＞ax 2+bx +c 时，x 的取值范围是﹣4＜x ＜0； 其中推断正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）如图，该正方体的主视图是 形．10．（2分）若分式的值是正数，则x 的取值范围是 ．11．（2分）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：则甲、乙、丙三名业务员中销售额最稳定的是．12．（2分）如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，请补充一个条件，使△BED ≌△CFD，你补充的条件是（填出一个即可）．13．（2分）甲乙二人分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲乙二人运动两次的情形，设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，根据题意所列的方程组是．14．（2分）如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a＞b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是（用含a，b的等式表示）．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD ＝2，BD＝4，则AE的长是．16．（2分）小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0），则点E的坐标是．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，∠AOB．求作：∠AOB的角平分线OP．作法：如图，①在射线OA上任取点C；②作∠ACD＝∠AOB；③以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；④作射线OP；所以射线OP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：∵∠ACD＝∠AOB，∴CD∥OB（）（填推理的依据）．∴∠BOP＝∠CPO．又∵OC＝CP，∴∠COP＝∠CPO（）（填推理的依据）．∴∠COP＝∠BOP．∴OP平分∠AOB．18．（5分）计算：2sin60°+（3﹣π）0﹣+|﹣1|．19．（5分）解不等式组：．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为正数，求实数k的取值范围．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC⊥x轴于点C．（1）求k的值；（2）直线AB：y＝ax+b（a＞0）图象经过点A交x轴于点B．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为W．①直线AB经过（0，1）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，求a的取值范围．22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AE∥BC，CE∥AD 交于点E，连接DE，交AC于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB＝10，sin∠COE＝，求CE的长．23．（6分）费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，每4年评选一次，在国际数学家大会上颁给有卓越贡献的年龄不超过40岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐1982年获得费尔兹奖．为了让学生了解费尔兹奖得主的年龄情况，我们查取了截止到2018年60名费尔兹奖得主获奖时的年龄数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据的频数分布直方图如图1（数据分成5组，各组是28≤x＜31，31≤x＜34，34≤x＜37，37≤x＜40，x≥40）：b．如图2，在a的基础上，画出扇形统计图；c．截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄在34≤x＜37这一组的数据是：d．截止到2018年时费尔兹奖得主获奖时的年龄的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）依据题意，补全频数直方图；（2）31≤x＜34这组的圆心角度数是度，并补全扇形统计图；（3）统计表中中位数m的值是；（4）根据以上统计图表试描述费尔兹奖得主获奖时的年龄分布特征．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是的中点，连接AE交BC 于点F．（1）求证：AC＝CF；（2）若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．25．（6分）如图，点P是所对弦AB上一动点，点Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，作射线PQ交于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，x的值为0）．小平根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小平的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；经测量m的值是（保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△BCP为等腰三角形时，AP的长度约为cm．26．（6分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3与y轴交于点A，过A作AB∥x轴与直线x＝4交于B点．（1）抛物线的对称轴为x＝（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线经过点A，B时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段AB下方的部分图象为G（包含A，B两点），点P（m，0）是x轴上一动点，过P作PD ⊥x轴于P，交图象G于点D，交AB于点C，若CD≤1，求m的取值范围．27．（6分）在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．（1）若∠BAC＝α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；（3）当α＝30°时，直接写出AC，BD的关系．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P，Q）．已知点A（4，0），B（0，4），连接AB．（1）d（点O，AB）＝．（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）＝0，求r的取值范围；（3）点C（﹣3，﹣2），连接AC，BC，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，d（⊙T，△ABC），且0＜d＜2，求t的取值范围．2019年北京市平谷区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．2．【解答】解：由题意可知OA的长是圆的周长而C＝πd＝π×1＝π∴OA＝π∴点A表示的数是π．故选：C．3．【解答】解：∵正多边形的外角和是360°，∴360°÷5＝72°．故选：B．4．【解答】解：7.9×103×3.2×107≈25×1010＝2.5×1011（m）．故选：D．5．【解答】解：∵AB是⊙O直径∴∠ACB＝90°∵∠BAC＝40°∴∠D＝∠B＝90°﹣∠BAC＝50°故选：B．6．【解答】解：＝＝＝，当a+b＝2时，原式＝，故选：A．7．【解答】解：由表可知，11件的次数最多，所以众数为11件，所以从这一天16名艺人中随意抽取1人，则他的这一天生产件数最可能的是11件，故选：A．8．【解答】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点B到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；易知直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜﹣4或x＞0，从而④错误．故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：正方形的主视图为正方形，故答案为：正方．10．【解答】解：∵分式的值是正数，∴x+1＞0，解得：x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．11．【解答】解：将甲乙丙三组数据按照从小到大排列：甲7.2 8.0 9.3 9.6 9.6乙 5.8 7.8 9.7 9.8 9.9丙 5.8 8.5 9.2 9.9 9.9可以看出甲组数据更集中一些，乙丙的数据较为分散，而数据越分散则方差越大，数据越集中，则方差越小．方差越小的越稳定，则本题甲、乙、丙三名业务员中销售额最稳定的是甲．故答案为：甲．12．【解答】解：可以添加条件：BD＝DC．理由：∵BD＝CD；又∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠E＝∠CFD＝90°；∴在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．故答案是：答案不唯一，如BD＝DC．13．【解答】解：设甲的速度是xkm/h，乙的速度是ykm/h，依题意，得：．故答案为：．14．【解答】解：图中阴影部分的面积是：a2﹣b2，阴影部分的面积为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．15．【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DC⊥AC，DE⊥AB，∴CD＝ED．又AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）∴AE＝AC．在Rt△BDE中，BE＝．设AE＝x，则AC＝x，AB＝2+x，在Rt△ABC中，利用勾股定理得（2+x）2＝62+x2，解得x＝2．所以AE长为2．故答案为2．16．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，∵BC＝1.2，∴DE＝2，∴E（4，0）．故答案为：（4，0）．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【解答】解：（1）如图，OP为所作；（2）证明：∵∠ACD＝∠AOB，∴CD∥OB（同位角相等，两直线平行）；∴∠BOP＝∠CPO．又∵OC＝CP，∴∠COP＝∠CPO（等边对等角）．∴∠COP＝∠BOP．∴OP平分∠AOB．故答案为同位角相等，两直线平行；等边对等角．18．【解答】解：原式＝2×+1﹣2+﹣1＝0．19．【解答】解：由①得x＜3；由①得x＞1∴不等式组的解集为1＜x＜320．【解答】解：（1）△＝k2﹣2k+1﹣4k+81＝（k﹣3）22∵（k﹣3）2≥0，∴方程总有两个实数根．3（2）∵，∴x1＝﹣1，x2＝2﹣k．∵方程有一个根为正数，∴2﹣k＞0，k＜2．21．【解答】解：（1）把A（2，2）代入y＝中，得k＝2×2＝4；（2）①∵直线AB经过（0，1），设直线AB的解析式为：y＝ax+b（a≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝+1，∴B（﹣2，0），图象如下：由图象可知，直线AB经过（0，1）时，区域W内的整点只有1个；②当直线AB经过点A（2，2），（0，1）时区域W内恰有1个整点，则，∴，当直线AB经过点A（2，2），（1，1）时区域W内没有整点，则，∴a＝1，∴当时区域W内恰有1个整点；综上，当时区W内恰有1个整点．22．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC于点D，∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是矩形；（2）解：过点E作EF⊥AC于F．∵AB＝10，∴AC＝10，∵对角线AC，DE交于点O，∴DE＝AC＝10，∴OE＝5.4，∵sin∠COE＝，∴EF＝4.5，∴OF＝3，∵OE＝OC＝5，∴CF＝2．∴CE＝．23．【解答】解：（1）频数直方图如图所示：≤（2）31≤x＜34这组的圆心角度数＝360°×21.7%≈78°．扇形统计图如图所示．（3）统计表中中位数m的值是36．（4）答案不唯一，如：费尔兹奖得主获奖时年龄集中在37岁至40岁．24．【解答】（1）证明：连接BE，∵CA是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵E是弧BD的中点，∴＝，∴∠BAE＝∠DBE，∴∠CAE＝∠EFB＝∠AFC，∴AC＝CF；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝5．∵AC＝CF＝3，∴BF＝BC﹣CF＝2．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵cos∠ABC＝＝＝，∴BD＝，∴AD＝＝，DF＝BD﹣BF＝．∴tan∠BAE＝tan∠DAE＝＝．25．【解答】（1）解：（1）∵P A＝0时，点P与点A重合，AB＝6，PC＝AC＝5.37，BC＝2.68，∴AB2＝PC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴AB是直径．当x＝3时，P A＝PB＝PC＝3，∴y1＝3，故答案为3．（2）如图；（3）观察图象可知：当x＝y，即当PB＝PC或PB＝BC时，x＝3或1.2，当y1＝y2时，即PC＝BC时，x＝1.6，或x＝6（与P重合，△BCP不存在）综上所述，满足条件的x的值为1.2或1.6或3，．故答案为1.2或1.6或3.0．26．【解答】解：（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣，代入得到x＝m；故答案为m；（2）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣3＝（x﹣m）2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣3）．∵抛物线经过点A，B时，且AB∥x轴，∴抛物线对称轴为x＝m＝2．∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+1；（3）y＝x2﹣4x+1与x轴两个交点为（2﹣，0），（2+，0），∵CD≤1，∴0≤m≤2﹣或2+≤m≤4．27．【解答】解：（1）∵线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAC+∠BCA＝60°，∴∠BCD＝∠ACD+∠BCA＝60°+60°﹣α＝120°﹣α，即∠BCD＝120°﹣α．（2）BD＝AB+BC．如图1，延长BA使AE＝BC，连接DE．由（1）知△ADC是等边三角形，∴AD＝CD．∵∠DAB+∠DCB＝∠DAB+∠DAE＝180°，∴∠DCB＝∠DAE．∴△ADE≌△CDB（SAS）．∴BD＝BE．∴BD＝AB+BC．（3）如图2，AC，BD的数量关系是：；位置关系是：AC⊥BD于点P．理由如下：∵∠BAC＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝30°，∴AB＝BC，∵AD＝DC，∴BD垂直平分AC，∴∠ABD＝60°，∠DAB＝90°，∴，∴．28．【解答】解：（1）如图1所示，过点O作OD⊥AB于点D，由题意知OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAD＝45°，则OD＝OA sin∠OAD＝4×＝2，∴d（点O，AB）＝2，故答案为：2．（2）若r＝OD＝2时，d（⊙O，AB）＝0；如图2，若r＝OA＝4时，⊙O经过点A和点B时，d（⊙O，AB）＝0．综上，；（3）如图3，①当点T（t，0）在y轴左侧时，过点T作TG⊥BC于点G，则∠TGE＝∠BOC＝90°，由B（0，4）、C（﹣3，﹣2）知BC所在直线解析式为y＝2x+4，当y＝0时x＝﹣2，则E（﹣2，0），∴OE＝2，TE＝﹣t﹣2，∵∠TEG＝∠BEO，∴△TEG∽△BEO，∴＝，若d（⊙T，△ABC）＝0，则TG＝2，此时＝，解得t＝﹣2﹣；若d（⊙T，△ABC）＝2，则TG＝4，此时＝，解得t＝﹣2﹣2；所以；②当点T在y轴右侧时，若d（⊙T，△ABC）＝0，则T′A＝2，此时t＝6；若d（⊙T，△ABC）＝2，则T′A＝4，此时t＝8；所以6＜t＜8；综上，或6＜r＜8．第21页（共21页）。
【附5套中考模拟试卷】北京市平谷区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
北京市平谷区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，经过测量，C地在A地北偏东46°方向上，同时C地在B地北偏西63°方向上，则∠C的度数为（）A．99°B．109°C．119°D．129°2．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．3．如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（n）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．()12n n+B．()22n n+C．()32n n+D．()42n n+4．如图，矩形ABCD中，AB=3，3ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF，此时恰好四边形AEHB为菱形，连接CH交FG于点M，则HM=（）A．12B．1 C．22D．325．如图，AD是⊙O的弦，过点O作AD的垂线，垂足为点C，交⊙O于点F，过点A作⊙O的切线，交OF的延长线于点E．若CO=1，AD=23，则图中阴影部分的面积为A．43-43πB．23-23πC．43-23πD．23-π6．如图，在⊙O中，点P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论：①AB⊥CD；②∠AOB=4∠ACD；③弧AD=弧BD；④PO=PD，其中正确的个数是（）A．4 B．1 C．2 D．37．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝3，BC＝1，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AFGE，点B、C的对应点分别为点F、G.在点E从点C移动到点D 的过程中，则点F运动的路径长为（）A ．πB ．3πC ．3π D ．233π 8．下列运算正确的是（ ） A ．2510a a a ⋅= B ．326(3)6a a =C ．222()a b a b +=+D ．2(2)(3)6a a a a +-=--9．3 1-的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣310．|–12|的倒数是（ ） A ．–2 B ．–12C ．12D ．211．如图，将△ABC 沿DE ，EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠DOF ＝142°，则∠C 的度数为（ ）A ．38°B ．39°C ．42°D ．48°12．如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 是AB 边上一动点（不与A 、B 重合），且∠EDF=∠A ，则下列结论错误的是（ ）A ．AE=BFB ．∠ADE=∠BEFC ．△DEF 是等边三角形D ．△BEF 是等腰三角形二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．如图，已知直线m ∥n ，∠1＝100°，则∠2的度数为_____．14．点(a －1，y 1)、(a ＋1，y 2)在反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象上，若y 1＜y 2，则a 的范围是________． 15．计算：（﹣1）﹣2﹣2cos60°=_____．16．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是分．17．长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为______18．化简代数式（x+1+11x-）÷22xx-，正确的结果为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知与抛物线C1过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）.（1）求抛物线C1的解析式．（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点P，D 为第四象限内的一点，若△CPD 为等腰直角三角形，求出D 点坐标．20．（6分）已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点．(1)如图1，若点E是OD的中点，点F是AB上一点，且使得∠CEF=90°，过点E作ME∥AD，交AB 于点M，交CD于点N．①∠AEM=∠FEM；②点F是AB的中点；(2)如图2，若点E是OD上一点，点F是AB上一点，且使，请判断△EFC的形状，并说明理由；(3)如图3，若E是OD上的动点(不与O，D重合)，连接CE，过E点作EF⊥CE，交AB于点F，当时，请猜想的值(请直接写出结论)．21．（6分）如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由．22．（8分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：频数频率分布表成绩x（分）频数（人）频率50≤x＜60 10 0.0560≤x＜70 30 0.1570≤x＜80 40 n80≤x＜90 m 0.3590≤x≤10050 0.25根据所给信息，解答下列问题：（1）m=，n=；（2）补全频数分布直方图；（3）这200名学生成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？23．（8分）如图，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=4，D 是BC 边上一点，将点D 绕点A 逆时针旋转60°得到点E ，连接CE.B(1)当点E 在BC 边上时,画出图形并求出∠BAD 的度数； (2)当△CDE 为等腰三角形时，求∠BAD 的度数； (3)在点D 的运动过程中，求CE 的最小值. (参考数值:sin75°=624+， cos75°=624-，tan75°=23+) 24．（10分）在“弘扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划开展四项活动：“A -国学诵读”、“B -演讲”、“C -课本剧”、“D -书法”，要求每位同学必须且只能参加其中一项活动，学校为了了解学生的意思，随机调查了部分学生，结果统计如下： （1）根据题中信息补全条形统计图．（2）所抽取的学生参加其中一项活动的众数是 ．（3）学校现有800名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动A 有多少人？25．（10分）如图所示，PB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在PC 上，∠P=30°，D 为弧BC 的中点.(1)求证：PB=BC ；(2)试判断四边形BOCD 的形状，并说明理由.26．（12分）综合与实践：概念理解：将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转，旋转角记为 θ（0°≤θ≤90°），并使各边长变为原来的 n 倍，得到△AB′C′，如图，我们将这种变换记为［θ，n ］，''AB C S ∆：ABC S ∆= ．问题解决：（2）如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换［θ，n］得到△AB′C′，使点B，C，C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ 和n 的值．拓广探索：（3）在△ABC 中，∠BAC=45°，∠ACB=90°，对△ABC作变换得到△AB′C′，则四边形ABB′C′为正方形27．（12分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查(每名学生必须选择且只能选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．请你根据图中信息，回答下列问题：(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；(3)九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，根据平行线的性质求得∠ACF与∠BCF 的度数，∠ACF与∠BCF的和即为∠C的度数．【详解】解：由题意作图如下∠DAC=46°，∠CBE=63°，由平行线的性质可得∠ACF=∠DAC=46°，∠BCF=∠CBE=63°，∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=46°+63°=109°，故选B．【点睛】本题考查了方位角和平行线的性质，熟练掌握方位角的概念和平行线的性质是解题的关键．2．A【解析】【分析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．【详解】如图，点E即为所求作的点．故选：A．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．由图形可知：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n 个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+1=()32n n +. 【详解】第(1)个图形中面积为1的正方形有2个， 第(2)个图形中面积为1的图象有2+3=5个， 第(3)个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个， …， 按此规律，第n 个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+(n+1)= ()32n n +个. 【点睛】本题考查了规律的知识点，解题的关键是根据图形的变化找出规律. 4．D 【解析】 【分析】由旋转的性质得到AB=BE ，根据菱形的性质得到AE=AB ，推出△ABE 是等边三角形，得到AB=3，BAC=30°，求得AC ⊥BE ，推出C 在对角线AH 上，得到A ，C ，H 共线，于是得到结论． 【详解】如图，连接AC 交BE 于点O ，∵将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF ， ∴AB=BE ，∵四边形AEHB 为菱形， ∴AE=AB ， ∴AB=AE=BE ，∴△ABE 是等边三角形，∵AB=3，，∴tan ∠CAB=BC ，∴∠BAC=30°，∴AC⊥BE，∴C在对角线AH上，∴A，C，H共线，∴AO=OH=32AB=332，∵O C=12BC=32，∵∠COB=∠OBG=∠G=90°，∴四边形OBGM是矩形，∴OM=BG=BC=3，∴HM=OH﹣OM=32，故选D．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等，熟练掌握和灵活运用相关的知识是解题的关键.5．B【解析】【分析】由S阴影=S△OAE-S扇形OAF，分别求出S△OAE、S扇形OAF即可；【详解】连接OA，OD∵OF⊥AD，∴3，在Rt△OAC中，由tan∠3知，∠AOC=60°，则∠DOA=120°，OA=2，∴Rt△OAE中，∠AOE=60°，OA=2∴3S阴影=S△OAE-S扇形OAF=12×2×3-26022233603ππ⨯⨯=.故选B.【点睛】考查了切线的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．6．D【解析】【分析】根据垂径定理，圆周角的性质定理即可作出判断．【详解】∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径．∴AB⊥CD，弧AD=弧BD，故①正确，③正确；∠AOB=2∠AOD=4∠ACD，故②正确．P是OD上的任意一点，因而④不一定正确．故正确的是：①②③．故选：D．【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，正确理解定理是关键．平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.7．D【解析】【分析】点F 的运动路径的长为弧FF'的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【详解】如图，点F 的运动路径的长为弧FF'的长，在Rt △ABC 中，∵tan ∠BAC=33BC AB == ∴∠BAC=30°，∵∠CAF=∠BAC=30°，∴∠BAF=60°，∴∠FAF′=120°，∴弧FF'的长=1203231803π=． 故选D.【点睛】 本题考查了矩形的性质、特殊角的三角函数值、含30°角的直角三角形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是判断出点F 运动的路径．8．D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得.【详解】A. 257a a a ⋅= ，故A 选项错误，不符合题意；B. ()2363a 9a =，故B 选项错误，不符合题意；C. ()222a b a 2ab b +=++ ，故C 选项错误，不符合题意；D. ()()2a 2a 3a a 6+-=--，正确，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键.9．B【解析】【分析】直接利用立方根的定义化简得出答案．【详解】因为（-1）3=-1，﹣1．故选：B．【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．,10．D【解析】【分析】根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据倒数的意义，可得答案．【详解】|−12|=12，12的倒数是2；∴|−12|的倒数是2，故选D．【点睛】本题考查了实数的性质，分子分母交换位置是求一个数倒数的关键．11．A【解析】分析：根据翻折的性质得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，进而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三角形内角和解答即可．详解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=142°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣142°=38°．故选A．点睛：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．12．D【解析】【分析】连接BD，可得△ADE≌△BDF，然后可证得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF．【详解】连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ADB=12∠ADC，AB∥CD，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，同理：∠DBF=60°，即∠A=∠DBF，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，∴∠ADE=∠BDF，∵在△ADE和△BDF中，{ADE BDF AD BDA DBF∠=∠=∠=∠，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴DE=DF，AE=BF，故A正确；∵∠EDF=60°，∴△EDF是等边三角形，∴C正确；∴∠DEF=60°，∴∠AED+∠BEF=120°，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，∴∠ADE=∠BEF；故B正确．∵△ADE≌△BDF，∴AE=BF，同理：BE=CF，但BE不一定等于BF．故D错误．故选D．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．80°．【解析】【分析】如图，已知m∥n，根据平行线的性质可得∠1＝∠3，再由平角的定义即可求得∠2的度数.【详解】如图，∵m∥n，∴∠1＝∠3，∵∠1＝100°，∴∠3＝100°，∴∠2＝180°﹣100°＝80°，故答案为80°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键.14．﹣1＜a＜1【解析】【分析】【详解】解：∵k＞0，∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，①当点（a-1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，∵y1＜y2，∴a-1＞a+1，解得：无解；②当点（a-1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，∵y1＜y2，∴a-1＜0，a+1＞0，解得：-1＜a＜1．故答案为：-1＜a＜1．【点睛】本题考查反比例函数的性质．15．3【解析】【分析】按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可. 【详解】（﹣12）﹣2﹣2cos60°=4-2×1 2=3，故答案为3.【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 16．88【解析】试题分析：根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可：∵笔试按60%、面试按40%计算，∴总成绩是：90×60%+85×40%=88（分）．17．6.7×106【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6700000用科学记数法表示应记为6.7×106，故选6.7×106.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数；表示时关键要正确确定a的值以及n的值.18．2x【解析】【分析】根据分式的运算法则计算即可求解.【详解】（x+1+11x-）÷22xx-=()()() 1111121 x x xx x x⎡⎤+-+÷⎢⎥---⎣⎦=() 2211xxx x-⋅-=2x.故答案为2x．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式的混合运算顺序及运算法则是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y = x2-2x-3，（2）D1(4，-1)，D2(3，- 4)，D3 ( 2，- 2 )【解析】【分析】（1）设解析式为y=a(x-3)(x+1),把点C（0，-3）代入即可求出解析式;（2）根据题意作出图形，根据等腰直角三角形的性质即可写出坐标.【详解】（1）设解析式为y=a(x-3)(x+1),把点C（0，-3）代入得-3=a×（-3）×1解得a=1，∴解析式为y= x2-2x-3，（2）如图所示，对称轴为x=1，过D1作D1H⊥x轴，∵△CPD为等腰直角三角形，∴△OPC≌△HD1P，∴PH=OC=3，HD1=OP=1，∴D1（4，-1）过点D2F⊥y轴，同理△OPC≌△FCD2,∴FD2=3，CF=1，故D2（3，- 4）由图可知CD1与PD2交于D3,此时PD3⊥CD3，且PD3=CD3，PC=2213=10，∴PD3=CD3=5故D3 ( 2，- 2 )∴D1(4，-1)，D2(3，- 4)，D3 ( 2，- 2 ) 使△CPD 为等腰直角三角形.【点睛】此题主要考察二次函数与等腰直角三角形结合的题，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质及等腰直角三角形的性质.20．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）△EFC是等腰直角三角形．理由见解析；（3）．【解析】试题分析：(1)①过点E作EG⊥BC，垂足为G，根据ASA证明△CEG≌△FEM得CE=FE，再根据SAS 证明△ABE≌△CBE 得AE=CE，在△AEF中根据等腰三角形“三线合一”即可证明结论成立；②设AM=x，则AF=2x，在Rt△DEN中，∠EDN=45°，DE=DN=x，DO=2DE=2x，BD=2DO=4x．在Rt△ABD中，∠ADB=45°，AB=BD·sin45°=4x，又AF=2x，从而AF=AB，得到点F是AB的中点．；(2)过点E作EM⊥AB，垂足为M，延长ME交CD于点N，过点E作EG⊥BC，垂足为G．则△AEM≌△CEG(HL)，再证明△AME≌△FME(SAS)，从而可得△EFC是等腰直角三角形．(3)方法同第(2)小题．过点E作EM⊥AB，垂足为M，延长ME交CD于点N，过点E作EG⊥BC，垂足为G．则△AEM≌△CEG(HL)，再证明△AEM≌△FEM (ASA)，得AM=FM，设AM=x，则AF=2x，DN =x，DE=x，BD=x，AB=x，=2x:x=．试题解析：(1)①过点E作EG⊥BC，垂足为G，则四边形MBGE为正方形，ME=GE，∠MFG=90°，即∠MEF+∠FEG=90°，又∠CEG+∠FEG=90°，∴∠CEG=∠FEM．又GE=ME，∠EGC=∠EMF=90°，∴△CEG≌△FEM．∴CE=FE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°，BE=BE，∴△ABE≌△CBE．∴AE=CE，又CE=FE，∴AE=FE，又EM⊥AB，∴∠AEM=∠FEM．②设AM=x，∵AE=FE，又EM⊥AB，∴AM=FM=x，∴AF=2x，由四边形AMND为矩形知，DN=AM=x，在Rt△DEN中，∠EDN=45°，∴DE=DN=x，∴DO=2DE=2x，∴BD=2DO=4x．在Rt△ABD中，∠ADB=45°，∴AB=BD·sin45°=4x·=4x ，又AF=2x ，∴AF=AB ，∴点F 是AB 的中点．(2)△EFC 是等腰直角三角形．过点E 作EM ⊥AB ，垂足为M ，延长ME 交CD 于点N ，过点E 作EG ⊥BC ，垂足为G ．则△AEM ≌△CEG(HL)，∴∠AEM=∠CEG ，设AM=x ，则DN=AM=x ，DE =x ，DO=3DE=3x ，BD=2DO=6x ．∴AB=6x ，又，∴AF=2x ，又AM=x ，∴AM=MF=x ，∴△AME ≌△FME(SAS)，∴AE=FE ，∠AEM=∠FEM ，又AE=CE ，∠AEM=∠CEG ，∴FE=CE ，∠FEM=∠CEG ，又∠MEG=90°，∴∠MEF+∠FEG=90°，∴∠CEG+∠FEG=90°，即∠CEF=90°，又FE=CE ，∴△EFC 是等腰直角三角形．(3)过点E 作EM ⊥AB ，垂足为M ，延长ME 交CD 于点N ，过点E 作EG ⊥BC ，垂足为G ．则△AEM ≌△CEG(HL)，∴∠AEM=∠CEG ． ∵EF ⊥CE ，∴∠FEC =90°，∴∠CEG+∠FEG=90°．又∠MEG =90°，∴∠MEF+∠FEG=90°，∴∠CEG=∠MEF ，∵∠CEG =∠AEF ，∴∠AEF=∠MEF ，∴△AEM ≌△FEM (ASA)，∴AM=FM ．设AM=x ，则AF=2x ，DN =x ，DE=x ，∴BD=x ．∴AB=x ．∴=2x:x=．考点：四边形综合题.21．详见解析.【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定中的“SSS”可得出△ADC ≌△CBA ，由全等的性质得∠DAC=∠BCA ，可证AD ∥BC ，根据平行线的性质得出∠1=∠1；（1）（3）和（1）的证法完全一样．先证△ADC ≌△CBA 得到∠DAC=∠BCA ，则DA ∥BC ，从而∠1=∠1．【详解】证明：∠1与∠1相等．在△ADC 与△CBA 中，AD BC CD AB AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CBA．（SSS）∴∠DAC=∠BCA．∴DA∥BC．∴∠1=∠1．②③图形同理可证，△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，∠1=∠1．22．（1）70，0.2；（2）补图见解析；（3）80≤x＜90；（4）750人.【解析】分析：（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得m 的值，用第三组频数除以数据总数可得n的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．详解：（1）本次调查的总人数为10÷0.05=200，则m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2，（2）频数分布直方图如图所示，（3）200名学生成绩的中位数是第100、101个成绩的平均数，而第100、101个数均落在80≤x＜90，∴这200名学生成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段，（4）该校参加本次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有：3000×0.25=750（人）．点睛：本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．23．（1）∠BAD=15°；（2）∠BAC=45°或∠BAD =60°；（3）62【解析】【分析】（1）如图1中，当点E在BC上时．只要证明△BAD≌△CAE，即可推出∠BAD=∠CAE=12（90°-60°）=15°；（2）分两种情形求解①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形．②如图3中，当CD=CE时，△DEC是等腰三角形；（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．首先确定点E的运动轨迹是直线EE′（过点E与BC成60°角的直线上），可得EC的最小值即为线段CM的长（垂线段最短）.【详解】解：（1）如图1中，当点E在BC上时．∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60°，∴∠ADB=∠AEC=120°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，在△ABD和△ACE中，∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AB=AC，∴△BAD≌△CAE，∴∠BAD=∠CAE=12（90°-60°）=15°．（2）①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形，∠BAD=12∠BAC=45°．②如图3中，当CD=CE时，△DEC是等腰三角形．∵AD=AE，∴AC垂直平分线段DE，∴∠ACD=∠ACE=45°，∴∠DCE=90°，∴∠EDC=∠CED=45°，∵∠B=45°，∴∠EDC=∠B，∴DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE=60°．（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．∵∠AOE=∠DOE′，∠AE′D=∠AEO，∴△AOE∽△DOE′，∴AO：OD=EO：OE'，∴AO：EO=OD：OE'，∵∠AOD=∠EOE′，∴△AOD∽△EOE′，∴∠EE′O=∠ADO=60°，∴点E的运动轨迹是直线EE′（过点E与BC成60°角的直线上），∴EC的最小值即为线段CM的长（垂线段最短），设E′N=CN=a，则AN=4-a，在Rt△ANE′中，tan75°=AN：NE'，∴2+3=4aa-，∴a=2-233，∴CE′=2CN=22-263．在Rt△CE′M中，CM=CE′•cos30°=62-，∴CE的最小值为62-．【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．24．（1）见解析（2）A-国学诵读（3）360人【解析】【分析】（1）根据统计图中C的人数和所占百分比可求出被调查的总人数，进而求出活动B和D人数，故可补全条形统计图；（2）由条形统计图知众数为“A-国学诵读”（3）先求出参加活动A的占比，再乘以全校人数即可.【详解】（1）由题意可得，被调查的总人数为12÷20%=60，希望参加活动B的人数为60×15%=9，希望参加活动D的人数为60-27-9-12=12，故补全条形统计图如下：（2）由条形统计图知众数为“A-国学诵读”；（3）由题意得全校学生希望参加活动A的人数为800×2760=360（人）【点睛】此题主要考查统计图的应用，解题的关键是根据题意求出调查的总人数再进行求解.25．（1）见解析；（2）菱形【解析】试题分析：（1）由切线的性质得到∠OBP=90°，进而得到∠BOP=60°，由OC=BO，得到∠OBC=∠OCB=30°，由等角对等边即可得到结论；（2）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可．试题解析：证明：（1）∵PB 是⊙O 的切线，∴∠OBP=90°，∠POB=90°-30°=60°．∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ．∵∠POB=∠OBC+∠OCB ，∴∠OCB=30°=∠P ，∴PB=BC ；（2）连接OD 交BC 于点M ．∵D 是弧BC 的中点，∴OD 垂直平分BC ．在直角△OMC 中，∵∠OCM=30°，∴OC=2OM=OD ，∴OM=DM ，∴四边形BOCD 是菱形．26．（1）2n ；（2）60,2n θ=︒=；（3）452︒⎡⎣．【解析】【分析】（1）根据定义可知△ABC ∽△AB′C′，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可；（2）根据四边形''ABB C 是矩形，得出90BAC '∠=︒，进而得出30AB B '∠=︒，根据30°直角三角形的性质即可得出答案；（3）根据四边形 ABB′C′为正方形，从而得出45CAC '∠=︒，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：（1）∵△AB′C′的边长变为了△ABC 的n 倍，∴△ABC ∽△AB′C′， ∴2''AB C ABCS n S ∆∆=， 故答案为：2n ．（2）四边形''ABB C 是矩形，∴90BAC '∠=︒．903060CAC BAC BAC θ''∴=∠=∠-∠=︒-︒=︒．在Rt ABB 'V 中，90,60ABB BAB ''︒∠=∠=︒， 30AB B '∴∠=︒．2AB n AB'∴==．60,2n θ∴=︒=．（3）若四边形 ABB′C′为正方形，则AB AC '=，90BAC '∠=︒，∴45CAC '∠=︒，∴45θ=︒，又∵在△ABC 中，AB=2AC ，∴2A A C C '=， ∴2n = 故答案为：45,2︒⎡⎤⎣⎦．【点睛】本题考查了几何变换中的新定义问题，以及相似三角形的判定和性质，理解［θ，n ］的意义是解题的关键．27．（1）共调查了50名学生；统计图见解析；（2）72°；（3）.【解析】【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数,先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：(1)14÷28%＝50， ∴本次共调查了50名学生．补全条形统计图如下．(2)在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝72°.(3)设一班2名学生为数字“1”，“1”，二班2名学生为数字“2”，“2”，画树状图如下．共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，∴抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率P＝＝.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，下列四个图形是由已知的四个立体图形展开得到的，则对应的标号是()A．①②③④B．②①③④C．③②①④D．④②①③2．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（）A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．19分钟3．一、单选题如图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（）A．点A B．点B C．点C D．点D4．如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2)，下列表示a，b，c，d之间关系的式子中不正确的是( )A．a﹣d＝b﹣c B．a+c+2＝b+d C．a+b+14＝c+d D．a+d＝b+c5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个6．用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（）A．2cm B．32cm C．42cm D．4cm7．若|x| =－x，则x一定是（）A．非正数B．正数C．非负数D．负数8．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＜o D．a÷b＞09．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=27，CD=1，则BE 的长是()A ．5B ．6C ．7D ．810．下列运算正确的是（ ）A ．624a a a -=B ．()222a b a b +=+C ．()232622ab a b =D ．2326a a a =g11．如图，在正五边形ABCDE 中，连接BE ，则∠ABE 的度数为()A ．30°B ．36°C ．54°D ．72°12．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．84B ．336C ．510D ．1326二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平行四边形ABCD 中，过对角线AC 与BD 的交点O 作AC 的垂线交于点E ，连接CE ，若AB=4，BC=6，则△CDE 的周长是______．14．如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB 的高度为______米（结果保留根号）．15．如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 两边中线，则EDC ABC S S V V =_____．16．方程22310x x +-=的两个根为1x 、2x ，则1211+x x 的值等于______． 17．不等式组5243x x +>⎧⎨-≥⎩的最小整数解是_____． 18．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM 于点E ．求证：△ADE ∽△MAB ；求DE 的长．20．（6分）我市某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：7.5(04)510(414)x x y x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩工人甲第几天生产的产品数量为70件？设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 的函数图象如图．工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？。
北京市平谷区2019年初三数学统一练习
北京市平谷区2019年初三数学统一练习（一）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．中共中央、国务院近日印发的《国家创新驱动发展战略纲要》强调，要增强企业创新能力，发展壮大创新型企业家群体，推动创新创业，激发全社会创造活力．据悉，2015年全社会研发资金达14 000多亿元．将14 000用科学记数法表示应为（）A．0.14×105B．1.4×104C．1.4×105D．0.14×1062．数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为（）A．﹣3 B．5 C．6 D．73．如图，有5张扑克牌，从中随机抽取一张，点数是2的倍数的概率为（）A．B．C．D．4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）A．B．C．D．5．如图，直线a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点P，Q，PM垂直于l，若∠1=58°，则∠2的度数为（）A．58°B．90°C．32°D．38°6．如图，已知：矩形ABCD中对角线，AC，BD交于点O，E是AD中点，连接OE．若OE=3，AD=8，则对角线AC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．107．如图，是某工厂去年4～10月全勤人数的折线统计图，则图中统计数据的众数为（）A．46 B．42 C．32 D．278．如图，为测量一棵与地面垂直的树BC的高度，在距离树的底端4米的A 处，测得树顶B的仰角∠α=74°，则树BC的高度为（）A．米B．4sin74°米 C．4tan74°米 D．4cos74°米9．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形，其中作法错误的为（）A．B． C．D．10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动，若点P的运动路程为x，DP=y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：2218x -= ．12．请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y = ．13．为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m 的小明在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m ，则此树的高度是m ．14．如果250x x +-=，那么代数式3222(1)x xx x++÷+的值是 ．15．某雷达探测目标得到的结果如图所示， 若记图中目标A 的位置为(3,30)°，目 标B 的位置为(2,180)°，目标C 的位 置为(4,240)°，则图中目标D 的位置 可记为 ． 16．首都国际机场连续五年排名全球最繁忙机场第二位，该机场20122016-年客流量统计结果如下表：根据统计表中提供的信息，预估首都国际机场2017年客流量约 万人次， 你的预估理由是 .三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.0°17．计算：216sin 60()23--°．18．解不等式组：3(1)51924x x xx -+-<⎧⎪⎨⎪⎩≤，，并写出它的所有整数解．19．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是CB 的 中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F ．求证：AB FC =．20．列方程解应用题：我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里.现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？21．关于x 的一元二次方程2(23)(1)0mx m x m --+-=有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此方程的根．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线(0)m y m x=≠交于点(2,3)A -和点(,2)B n ． （1）求直线与双曲线的表达式；（2 动点P 是双曲线 (0)m y m x=≠上的整点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交直线AB 于点Q 当点P 位于点Q 下方时，请直接写出整点P 坐标．23．如图，在□ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC于点E ，AF ⊥DC 于点F ，AE AF =． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若60EAF ∠=°，2CF =，求AF 的长．24．阅读下列材料：2017年3月在北京市召开的第十二届全国人民代表大会第五次会议上，环境问题再次成为大家议论的重点内容之一．北京自1984年开展大气监测，至2012年底，全市已建立监测站点35个.2013年，北京发布的首个 2.5PM 年均浓度值为89.5微克/立方米．2014年，北京空气中的二氧化硫年均浓度值达到了国家新的空气质量标准；二氧化氮、10PM 、 2.5PM 年均浓度值超标，其中 2.5PM 年均浓度值为85.9微克/立方米．2016年，北京空气中的二氧化硫年均浓度值远优于国家标准；二氧化氮、10PM 、 2.5PM 的年均浓度值分别为48微克/立方米、92微克/立方米、73微克/立方米.与2015年相比，二氧化硫、二氧化氮、10PM 年均浓度值分别下降28.6%、4.0%、9.8%； 2.5PM 年均浓度值比2015年的年均浓度值80.6微克/立方米有较明显改善．（以上数据来源于北京市环保局）根据以上材料解答下列问题：（1）2015年北京市二氧化氮．．．．年均浓度值为 微克/立方米；（2）请你用折线统计图将20132016-年北京市 2.5PM 的年均浓度值表示出来，并在图上标明相应的数据．25．如图，在四边形ABCD 中，90D ∠=°，AC 平 分DAB ∠，且点C 在以AB 为直径的⊙O 上． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；图1 图2 图3 图4（2）点E 是⊙O 上一点，连接BE ，CE ．若 42BCE ∠=°，9cos 10DAC ∠=，AC m =，写出求线段CE 长的思路．26．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD 为凹四边形．（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD 是凹四边形． 求证：BCD B A D ∠=∠+∠+∠． （3）性质应用：如图3，在凹四边形ABCD 中，BAD ∠的角平分线与BCD ∠的角平分线交于点E ，若140ADC ∠=°，102AEC ∠=°，则B ∠= °． （4）类比学习：如图4，在凹四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AD ，AB ，BC ，CD 的中点，顺次连接各边中点得到四边形EFGH ．若AB AD =，CB CD =，则四边形EFGH 是 ．（填写序号即可） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ．（1）求顶点A 的坐标；AB D备用图 （2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线 2443(0)y a x a x a a =-+-≠交于B ，C 两点． ①当2a =时，求线段BC 的长；②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 的 取值范围．28．在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点（与点A ，C 不重合），连接BE ．（1）将射线BE 绕点B 顺时针旋转45°，交直线AC 于点F .①依题意补全图1；②小研通过观察、实验，发现线段AE ，FC ，EF 存在以下数量关系： AE 与FC 的平方和等于EF 的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1： 将线段BF 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BM ， 要证AE ， FC ，EF 的关系，只需证AE ，AM ，EM 的关系.想法2：将ABE △沿BE 翻折，得到NBE △，要证AE ，FC ，EF 的关系，只需证EN ，FN ，EF 的关系.……请你参考上面的想法，用等式表示线段AE ，FC ，EF 的数量关系并证明；（一种方法即可）（2）如图2，若将直线．．BE 绕点B 顺时针旋转135°，交直线．．AC 于点F .小研完成作图后，发现直线AC 上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系.29．在平面直角坐标系xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点(,)P x m 是图形1G 上的任意一点，点(,)Q x n 是图形2G 上的任意一点，若存在直线:(0)l y kx b k =+≠满足m kx b +≤且n kx b +≥，则称直线:(0)l y kx b k =+≠是图形1G 与2G 如图1，直线:4l y x =--是函数6(0)y x x=< 与正方形OABC 的一条“隔离直线”．（1）在直线12y x =-，231y x =+，33y x =-+中， 是图1函数6(0)y x x =<的图象与正方形OABC 的“隔离直线”的为 ； 请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线” 的表达式： ；（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是，⊙O 的半径为2．是否存在EDF △与⊙O 的“隔-4图1离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；（3）正方形1111A B C D 的一边在y 轴上，其它三边都在y 轴的右侧，点(1,)M t 是此正方形的中心．若存在直线2y x b =+是函数22304y x x x =--（≤≤）的图象与正方形1111A B C D 的“隔离直线”，请直接写出t 的取值范围．北京市平谷区2019年初三统一练习（一）数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．中共中央、国务院近日印发的《国家创新驱动发展战略纲要》强调，要增强企业创新能力，发展壮大创新型企业家群体，推动创新创业，激发全社会创造活力．据悉，2015年全社会研发资金达14 000多亿元．将14 000用科学记数法表示应为（）A．0.14×105B．1.4×104C．1.4×105D．0.14×106【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：14 000=1.4×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．2．数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为（）A．﹣3 B．5 C．6 D．7【考点】数轴．【专题】压轴题．【分析】此题借助数轴用数形结合的方法求解．结合数轴，求得两个点到原点的距离之和即线段AB的长度．【解答】解：数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为B点坐标减去A点坐标即2﹣（﹣5）=7．故选D．【点评】本题考查数轴上两点间距离的求法：右边点的坐标减去左边点的坐标；或两点坐标差的绝对值．3．如图，有5张扑克牌，从中随机抽取一张，点数是2的倍数的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】由有5张扑克牌，从中随机抽取一张，点数是2的倍数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数是2的倍数的有2种情况，∴从中随机抽取一张，点数是2的倍数的概率是：．故选：B．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）A．B．C．D．【考点】由三视图判断几何体；几何体的展开图．【分析】由主视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据左视图是圆可判断出此几何体为圆柱，再根据圆柱展开图的特点即可求解．【解答】解：∵主视图和左视图是长方形，∴该几何体是柱体，∵俯视图是圆，∴该几何体是圆柱，∴该几何体的展开图可以是．故选：A．【点评】此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状．同时考查了几何体的展开图．5．如图，直线a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点P，Q，PM垂直于l，若∠1=58°，则∠2的度数为（）A．58°B．90°C．32°D．38°【考点】平行线的性质．【分析】由平行线的性质得出∠3=∠1=58°，由垂直的定义得出∠MPQ=90°，即可得出∠2的度数．【解答】解：如图所示：∵a∥b，∴∠3=∠1=58°，∵PM⊥l，∴∠MPQ=90°，∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣58°=32°；故选C．【点评】本题考查了平行线的性质、垂线的定义、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．6．如图，已知：矩形ABCD中对角线，AC，BD交于点O，E是AD中点，连接OE．若OE=3，AD=8，则对角线AC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】矩形的性质．【分析】由矩形的性质得出OA=OC，∠ADC=90°，证出OE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出CD=2OE=6，再由勾股定理求出AC即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠ADC=90°，∵E是AD中点，∴OE是△ACD的中位线，∴CD=2OE=6，∴AC===10；故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形中位线定理求出CD是解决问题的关键．7．如图，是某工厂去年4～10月全勤人数的折线统计图，则图中统计数据的众数为（）A．46 B．42 C．32 D．27【考点】众数；折线统计图．【分析】根据众数的定义回答：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32．故选C．【点评】本题为统计题，考查众数的意义，解题的关键是通过仔细的观察找到出现次数最多的数．8．如图，为测量一棵与地面垂直的树BC的高度，在距离树的底端4米的A处，测得树顶B的仰角∠α=74°，则树BC的高度为（）A．米B．4sin74°米 C．4tan74°米 D．4cos74°米【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．【解答】解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，∴BC=AC•tanα=4tanα（米）．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．9．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形，其中作法错误的为（）A．B． C．D．【考点】作图—基本作图．【专题】作图题．【分析】根据对称的性质对B进行判断；根据作已知线段的垂直平分线对C 进行判断；根据圆周角定理对D进行判断．【解答】解：A、没有任何作法依据，A选项的作法错误；B、作了P点关于l的对称点，则PQ⊥l，所以B选项的作法正确；C、作了线段的垂直平分线，则PQ⊥l，所以C选项的作法正确；D、作了直径所对的圆周角，则PQ⊥l，所以D选项的作法正确．故选A．【点评】本题考查了基本作图：掌握5个基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．注意D选项要运用圆周角定理判断．10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动，若点P的运动路程为x，DP=y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象． 【专题】数形结合．【分析】结合图形特点可知点P 在A→B 路线移动时，DP 长在增大，在B→C 路线移动时，DP 长在减少，通过矩形的边长可以得出xy 轴上的值从而确认答案．【解答】解：∵AB=3，BC=4，∠A=90°∴当动点P 在A→B 路线移动时，DP 2=AP 2+AD 2=x 2+16（0≤x ≤3） ∴本段图象应为抛物线，且y 随x 增大而增大同理可得动点P 在B→C 路线移动时，DP 2=CP 2+DC 2=（7﹣x ）2+9（3＜x ≤7） ∴本段图象应为抛物线，且y 随x 增大而减少 故选：B【点评】本题考查了勾股定理、二次函数图象性质，解题的关键是将点P 按A→B→C 的方向移动时两种情况进行分类讨论．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．2(3)(3)x x +-．12．答案不唯一，如22y x x =-+．13．4.8． 14．5． 15．(5,120)°． 16．预估理由需包含统计表提供的信息，且支撑预估的数据．如约9900万人次，预估理由是增长趋势平稳． 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）17．解：原式623232=--+- ………………………………… 4分7=-． …………………………① ②……… 5分18．解：原不等式组为3(1)51924x x xx -+-<⎧⎪⎨⎪⎩≤，， 解不等式①，得2x -≥． 解不等式②，得<1x ． ………………………………… 3分∴原不等式组的解集为2<1x -≤． ………………………………… 4分∴原不等式组的整数解为2-，1-，0． ………………………………… 5分19．证明：∵AB ∥DC ， ∴1=F∠∠，=2B ∠∠． ………………………………… 1分∵E 是CB 的中点， ∴BE CE =．在AEB △和FEC △中，1,=2,,F B BE CE ∠=∠∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴AEB △≌FEC △． ………………………………… 4分∴=AB FC ． ………………………………… 5分20．解：设良马x 天能够追上驽马． ………………………………… 1分 由题意，得24015012x x =⨯+()． ………………………………… 3分解得20x =． ………………………………… 4分答：良马20天能够追上驽马． ………………………………… 5分 21．解：（1）∵2=[(23)]4(1)m m m ∆----=89m -+． ………………………………… 1分依题意，得0,890,m m ≠∆=-+⎧⎨⎩≥解得98m ≤且0m ≠． ………………………………… 3分（2）∵m 为正整数，∴1m =． ………………………………… 4分 ∴原方程为20x x +=． 解得10x =，21x =-． ………………………………… 5分22．解：（1）∵双曲线 (0)m y m x=≠经过点(2,3)A -，∴6m =-．∴双曲线的表达式为6y x =-．……… 1分 ∵点(,2)B n 在双曲线6y x =-上，∴点B 的坐标为(3,2)B -．∵直线y kx b =+经过点(2,3)A -和点(B ∴23,32,k b k b +=--+=⎧⎨⎩解得1,1,k b =-=-⎧⎨⎩∴直线的表达式为1y x =--． ………………………………… 3分（2）(6,1)-或(1,6)-． ………………………………… 5分23．（1）证法一：连接AC ，如图1．∵AE ⊥BC ，AF ⊥DC ，AE AF =， ∴21∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥． ∴1DAC ∠=∠． ∴2DAC ∠=∠． ∴DA DC =． ………………………………… 1分∴□ABCD 是菱形． ………………………………… 2分 证法二：∵四边形ABCD 是平行四边形，如图2． ∴B D ∠=∠．∵AE ⊥BC ，AF ⊥DC ， ∴90AEB AFD ∠=∠=°． 又∵AE AF =， ∴AEB △≌AFD △． ∴AB AD =． ………………………………… 1分∴□ABCD 是菱形． ………………………………… 2分 （2）解法一：连接AC ，如图3．∵AE ⊥BC ，AF ⊥DC ，60EAF ∠=°， ∴120ECF ∠=°． ………… 3分∵四边形ABCD 是菱形，E图1图2∴12602ECF ∠=∠=°． ………… 4分在Rt CFA △中，tan 2AF CF =⋅∠=5分 解法二：∵四边形ABCD 是菱形，如图4． ∴AD DC =，AD BC ∥． ∵AE ⊥BC ， ∴9030DAF EAF ∠=-∠=°°．在Rt AFD △中，1sin 2DF DAF AD ∠==．设DF x =，2AD x =， ∴AF =． ∴2DC AD x ==． ∴22x x =+． ………………………………… 4分∴2x =． ∴AF == ………………………………… 5分24．（1）50． (1)分（2） ………………………… 5分图4图325．（1）证明：连接OC ，如图． ∵AC 平分DAB ∠， ∴12∠=∠． ∵OA OC =， ∴32∠=∠． ∴31∠=∠． ∴AD OC ∥． ………………………………… 1分∴90OCD D ∠=∠=°． 又∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线． ………………………………… 2分 （2）求解思路如下：过点B 作BF ⊥CE 于点F ，如图．① 由21E ∠=∠=∠，可知2∠，E ∠的三角函数值；② 由AB 是⊙O 的直径，可得ACB △是直角三角形，由2∠的三角函数值及A C m =，可求CB 的长；③ 在Rt CFB △中，由42BCE ∠=°及CB 的长，可求CF ，BF 的长； ④ 在Rt EFB △中，由E ∠的三角函数值及BF 的长，可求EF 的长； ⑤ 由CE CF EF =+，可求CE 的长． ………………………………… 5分26．（2）证法一：连接AC 并延长到点E ，如图1．∵13B ∠=∠+∠，24D ∠=∠+∠， (1)图1∴1+234B D ∠∠=∠+∠+∠+∠．即BCD B BAD D ∠=∠+∠+∠． …………… 2分 证法二：延长DC 交AB 于点E ，如图2．∵1BCD B ∠=∠+∠，1A D ∠=∠+∠，………… 1分 ∴BCD D A B ∠=∠+∠+∠． ………… 2 （3）64°． ………… （4）C ． …………27．解：（1）解法一：∵2443y ax ax a =-+-2(2)3a x =--， ………………………………… 1分∴顶点A 的坐标为(2,3)-． ………………………………… 2分解法二： ∵244(43)(4)2,324a a a a aa-⨯----==-，∴顶点A的坐标为(2,3)-． ………………………………… （2）①当2a =时，抛物线为2285y x x =-+ 令5y =，得22855x x -+=，解得，1204x x ==， ∴线段BC 的长为4． ② 80<9a ≤． 28．（1）①依题意补全图形，如图1．…………………… 1分②线段AE ，FC ，EF 的数量关系为：222AE FC EF +=． ……… 2分证法一：过点B 作M B BF ^于点B 且BM BF =， 连接ME ，MA ，如图2．∵四边形ABCD 是正方形， ∴901245ABC AB BC °，°，???=．∵345°?，∴345MBE °??．又∵BE BE =，∴MBE FBE △≌△． ………………………………… 3分∴EM EF =．∵490ABF °?-?，590ABF °?-?， ∴45??．又∵,BM BF AB CB ==， ∴AMB CFB △≌△． ………………………………… 4分∴AM CF =，6245°??．∴6190MAE °???．在Rt MAE △中，222AE MA EM +=．∴222AE FC EF +=． ………………………………… 5分证法二：作2=1行，且BN BA =，连接EN ，FN ，如图3．M又∵BE BE=，∴BNE BAE△≌△．∴,NE AE=6=5行．∵四边形ABCD是正方形，∴905845ABC AB BC°，°，???=．∴BN BC=．∵32452EBF°-????，419045145A B C E B F°°°????--?-?，∴34??．又∵BF BF=，∴BNF BCF△≌△．………………………………… 4分∴FN FC=，7845°??．∴67454590ENF°°°???+=．∴在Rt ENF△中，222NE FN EF+=．∴222AE FC EF+=．………………………………… 5分（2）用等式表示这三条线段的数量关系：222AF EC EF+=．…………… 7分29．（1）12y x=-；………………………………… 1分3y x=-（答案不唯一）．………………………………… 2分（2）连接OD，过点D作DG x⊥轴于点G，如图．在Rt DGO△中，2OD==，1s i n12DGOD∠==．∴130∠=°． (3)分图3∴260∠=°． ∵⊙O 的半径为2， ∴点D 在⊙O 上．过点D 作DH OD ⊥交y 轴于点H ，∴直线DH 是⊙O 的切线，也是△EDF 与⊙O 的“隔离直线”． …… 4分在Rt ODH △中，4cos 2OD OH ==∠，∴点H 的坐标是(0,4)． ………………………… 5分∴直线DH 的表达式为4y =+． 即所求“隔离直线”的表达式为4y =+． ………………………… 6分（3）2t ≥或8t -≤． ………………………… 8分。
北京市平谷区2019-2020学年中考数学第一次调研试卷含解析
北京市平谷区2019-2020学年中考数学第一次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，错误的结论是（ ）．A ．AD AE DB EC = B ．AB AC AD AE = C ．AC EC AB DB = D ．AD DE DB BC= 2．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A ．1B ．32C ．3D ．233．对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（ ）A ．图象分布在第二、四象限B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．图象经过点（1，﹣2）D ．若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在图象上，且x 1＜x 2，则y 1＜y 24．下列各式中，互为相反数的是（ ）A ．2(3)-和23-B ．2(3)-和23C ．3(2)-和32-D ．3|2|-和32- 5．如图，把△ABC 剪成三部分，边AB ，BC ，AC 放在同一直线上，点O 都落在直线MN 上，直线MN ∥AB ，则点O 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．三条中线的交点D ．三条高的交点A ．DC=DEB ．AB=2DEC ．S △CDE =14S △ABCD ．DE ∥AB 7．如图所示是放置在正方形网格中的一个ABC ∆ ,则tan ABC ∠的值为( )A ．255B ．55C ．2D ．128．在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k 与k y x=（k 为常数，k≠0）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是( )A ．2n+2B ．4n+4C ．4n ﹣4D ．4n10．如图，已知二次函数y=ax 2+bx 的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （1，2），有下面四个结论：①ab ＞0；②a ﹣b ＞﹣23；③sinα=213；④不等式kx≤ax 2+bx 的解集是0≤x≤1．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④A．a≠±1B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝±112．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_____．14．函数11yx=-的自变量的取值范围是．15．把抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新的抛物线的表达式是_____．16．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是________．17．在今年的春节黄金周中，全国零售和餐饮企业实现销售额约9260亿元，比去年春节黄金周增长10.2%，将9260亿用科学记数法表示为_____________．18．已知方程组2425x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x+y的值为_______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．如图1，当t=3时，求DF的长．如图2，请求出tan∠DEF的值．连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．20．（6分）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．（1）求证：DF＝PG；（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．21．（6分）定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．（1）判断：一个内角为120°的菱形等距四边形．（填“是”或“不是”）（2）如图2，在5×5的网格图中有A、B两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为互不全等的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”，并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为端点均为非等距点的对角线长为（3）如图1，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90°，连结A D，AC，BC，若四边形ABCD是以A为等距点的等距四边形，求∠BCD的度数．22．（8分）如图,△ABC,△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB上,求证:△CDA≌△CEB．长．如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．24．（10分）某学校要印刷一批艺术节的宣传资料，在需要支付制版费100元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件．甲印刷厂提出：所有资料的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过200份的，超过部分的印刷费可按8折收费．（1）设该学校需要印刷艺术节的宣传资料x份，支付甲印刷厂的费用为y元，写出y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择哪家印刷厂比较优惠？25．（10分）某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题，把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调查.在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解，使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如下图所示：本次调查人数共人，使用过共享单车的有人；请将条形统计图补充完整；如果这个小区大约有3000名居民，请估算出每天的骑行路程在2～4千米的有多少人？26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．27．（12分）综合与探究：如图1，抛物线y=﹣3x 2+233x+3与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点．经过点A 的直线l 与y 轴交于点D （0，﹣3）．（1）求A 、B 两点的坐标及直线l 的表达式；（2）如图2，直线l 从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向运动，运动中直线l 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，点A 关于直线l 的对称点为A′，连接FA′、BA′，设直线l 的运动时间为t （t ＞0）秒．探究下列问题：①请直接写出A′的坐标（用含字母t 的式子表示）；②当点A′落在抛物线上时，求直线l 的运动时间t 的值，判断此时四边形A′BEF 的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，探究：在直线l 的运动过程中，坐标平面内是否存在点P ，使得以P ，A′，B ，E 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论.【详解】由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，并可得：AD AE DB EC =，AB AC AD AE =，AC EC AB DB=，故A ，B ，C 正确；D 错误； 故选D ．2．C【解析】连接AE ，OD ，OE ．∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°．又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD ．∴△AOD 是等边三角形．∴∠A=60°．又∵点E 为BC 的中点，∠AED=90°，∴AB=AC ．∴△ABC 是等边三角形，∴△EDC 是等边三角形，且边长是△ABC 边长的一半2，高是3． ∴∠BOE=∠EOD=60°，∴»BE和弦BE 围成的部分的面积=»DE 和弦DE 围成的部分的面积． ∴阴影部分的面积=EDC 1S =23=32∆⋅⋅．故选C ． 3．D【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B. k=−2<0，当x>0时，y 随x 的增大而增大，故本选项正确；C.∵,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确；D. 若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在图象上，,若x 1<0< x 2,则y 2<y 1，故本选项错误.故选:D.【点睛】考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.4．A根据乘方的法则进行计算，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：A. 2(3)-=9，23-=-9，故2(3)-和23-互为相反数，故正确；B. 2(3)-=9，23=9，故2(3)-和23不是互为相反数，故错误；C. 3(2)-=-8，32-=-8，故3(2)-和32-不是互为相反数，故错误；D. 3|2|-=8，32-=8故3|2|-和32-不是互为相反数，故错误.故选A.【点睛】本题考查了有理数的乘方和相反数的定义，关键是掌握有理数乘方的运算法则．5．B【解析】【分析】利用平行线间的距离相等，可知点O 到BC 、AC 、AB 的距离相等，然后可作出判断.【详解】解：如图1，过点O 作OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F .图1//MN AB Q ，OD OE OF ∴==（夹在平行线间的距离相等）.如图2：过点O 作OD BC '⊥于D '，作于E ，作OE AC '⊥于F '.由题意可知： OD OD '=，OE OE '=，OF OF '=，∴OD =OE OF '''= ，∴图2中的点O 是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O 是ABC ∆的内心，本题考查平行线间的距离，角平分线定理，三角形的内心，解题的关键是判断出OD OE OF==. 6．A【解析】【分析】根据三角形中位线定理判断即可．【详解】∵AD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，∴DC=12BC，DE=12AB，∵BC不一定等于AB，∴DC不一定等于DE，A不一定成立；∴AB=2DE，B一定成立；S△CDE=14S△ABC，C一定成立；DE∥AB，D一定成立；故选A．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．7．D【解析】【分析】首先过点A向CB引垂线，与CB交于D，表示出BD、AD的长，根据正切的计算公式可算出答案．【详解】解：过点A向CB引垂线，与CB交于D，△ABD是直角三角形，∵BD=4，AD=2，∴tan∠ABC=2142 ADBD==故选：D．此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．8．B【解析】【分析】【详解】选项A中，由一次函数y=x+k的图象知k<0，由反比例函数y=的图象知k>0，矛盾，所以选项A错误；选项B中，由一次函数y=x+k的图象知k>0，由反比例函数y=的图象知k>0，正确，所以选项B正确；由一次函数y=x+k的图象知，函数图象从左到右上升，所以选项C、D错误．故选B.9．D【解析】试题分析：由已知的三个图可得到一般的规律，即第n个图形中三角形的个数是4n，根据一般规律解题即可．解：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．故选D．考点：规律型：图形的变化类．10．B【解析】【分析】根据抛物线图象性质确定a、b符号，把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系，代入②，不等式kx≤ax2+bx 的解集可以转化为函数图象的高低关系．【详解】解：根据图象抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，则a＞0，b＜0，则①错误将A（1，2）代入y=ax2+bx，则2=9a+1b∴b=233a -，∴a﹣b=a﹣（23a-）=4a﹣2＞-2，故②正确；由正弦定义==，则③正确；不等式kx≤ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象则满足条件x范围为x≥1或x≤0，则④错误．故答案为：B．【点睛】二次函数的图像，sinα公式，不等式的解集．11．C【解析】【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：1012aa-≠⎧⎨⎩＋＝，解得a＝−1故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．12．C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【详解】第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第二、三、四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2【解析】【分析】连接AD交EF与点M′，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．【详解】解：连接AD交EF与点M′，连结AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝12，解得AD＝1，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM．∴BM+MD＝MD+AM．∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值1．∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+1＝2．【点睛】本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析.14．x≠1【解析】该题考查分式方程的有关概念根据分式的分母不为0可得X－1≠0,即x≠1那么函数y=的自变量的取值范围是x≠115．y=1（x﹣3）1﹣1．【解析】【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．【详解】∵y=1x1的顶点坐标为（0，0），∴把抛物线右平移3个单位，再向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为（3，﹣1），∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴平移后的抛物线的解析式是y=1（x ﹣3）1﹣1．故答案为y=1（x ﹣3）1﹣1．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)1+k （a ，b ，c 为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h ，k)，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．16．35【解析】【分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵在：等腰三角形、圆、矩形、菱形和直角梯形中属于中心对称图形的有：圆、矩形和菱形3种， ∴从这5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率为：35. 故答案为35. 17．9.26×1011【解析】试题解析: 9260亿=9.26×1011 故答案为: 9.26×1011 点睛: 科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．18．1【解析】【分析】方程组两方程相加即可求出x+y 的值．【详解】2425x y x y ＝①＝②+⎧⎨+⎩， ①+②得：1（x+y ）=9，则x+y=1．故答案为：1．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）3；（2）∠DEF的大小不变，tan∠DEF=34；（3）7541或7517．【解析】【详解】（1）当t=3时，点E为AB的中点，∵A（8，0），C（0，6），∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，∴DE∥OA，DE=12OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）∠DEF的大小不变；理由如下：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，∴BD BNDO NA=,BD AMDO OM=，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，∴DM=12AB=3，DN=12OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴△DMF∽△DNE，∴34DF DMDE DN==，∵∠EDF=90°，∴tan∠DEF=34DFDE=；（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=34（3﹣t），∴AF=4+MF=﹣34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G（37112t+，23t），设直线AD的解析式为y=kx+b，把A（8，0），D（4，3）代入得：8043k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD的解析式为y=﹣34x+6，把G（37112t+，23t）代入得：t=7541；②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=34（t﹣3），∴AF=4﹣MF=﹣34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G（3236t+，13t），代入直线AD的解析式y=﹣34x+6得：t=7517；综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为7541或7517.考点：四边形综合题.20．（1）证明见解析；（2）1.【解析】【分析】作PM⊥AD,在四边形ABCD和四边形ABPM证AD＝PM；DF⊥PG，得出∠GDH+∠DGH＝90°，推出∠ADF＝∠MPG；还有两个直角即可证明△ADF≌△MPG，从而得出对应边相等（2）由已知得，DG＝2PC＝2；△ADF≌△MPG得出DF＝PD；根据旋转，得出∠EPG＝90°，PE＝PG 从而得出四边形PEFD为平行四边形；根据勾股定理和等量代换求出边长DF的值；根据相似三角形得出对应边成比例求出GH的值，从而求出高PH 的值；最后根据面积公式得出【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∵四边形ABPM为矩形，∴AB＝PM，∴AD＝PM，∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠GDH+∠DGH＝90°，∵∠MGP+∠MPG＝90°，∴∠GDH＝∠MPG，在△ADF和△MPG中，∴△ADF≌△MPG（ASA），∴DF＝PG；（2）作PM⊥DG于M，如图，∵PD＝PG，∴MG＝MD，∵四边形ABCD为矩形，∴PCDM为矩形，∴PC＝MD，∴DG＝2PC＝2；∵△ADF≌△MPG（ASA），∴DF＝PG，而PD＝PG，∴DF＝PD，∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF，而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF＝PE，∴四边形PEFD为平行四边形，在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3，∴PD＝＝，∴DF＝PG＝PD＝，∵四边形CDMP是矩形，∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1，∵PD＝PG，PM⊥AD，∴MG＝MD＝1，DG＝2，∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°，∴△DHG∽△PMG，∴，∴GH＝＝，∴PH＝PG﹣GH＝﹣＝，∴四边形PEFD的面积＝DF•PH＝×＝1．【点睛】本题考查了平行四边形的面积、勾股定理、相似三角形判定、全等三角形性质，本题的关键是求边长和高的值21．（1）是;（2）见解析;（3）150°．【解析】【分析】（1）由菱形的性质和等边三角形的判定与性质即可得出结论；（2）根据题意画出图形，由勾股定理即可得出答案；（3）由SAS证明△AEC≌△BED，得出AC=BD，由等距四边形的定义得出AD=AB=AC，证出AD=AB=BD，△ABD是等边三角形，得出∠DAB=60°，由SSS证明△AED≌△AEC，得出∠CAE=∠DAE=15°，求出∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=30°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB和∠ACD的度数，即可得出答案．【详解】解：（1）一个内角为120°的菱形是等距四边形；故答案为是；（2）如图2，图3所示：在图2中，由勾股定理得：22CD=+=1310,在图3中，由勾股定理得： 223332,CD=+=故答案为10,3 2.（3）解：连接BD ．如图1所示：∵△ABE 与△CDE 都是等腰直角三角形，∴DE=EC ，AE=EB ，∠DEC+∠BEC=∠AEB+∠BEC ，即∠AEC=∠DEB ，在△AEC 和△BED 中，,DE CE AEC BED AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△BED （SAS ），∴AC=BD ，∵四边形ABCD 是以A 为等距点的等距四边形，∴AD=AB=AC ，∴AD=AB=BD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠DAB=60°，∴∠DAE=∠DAB ﹣∠EAB=60°﹣45°=15°，在△AED 和△AEC 中，,AD AC DE CE AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AED ≌△AEC （SSS ），∴∠CAE=∠DAE=15°，∴∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE ﹣∠CAE=30°，∵AB=AC ，AC=AD ，∴180301803075,75,22ACB ACD --∠==∠==o o o oo o ∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=75°+75°=150°．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等距四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．22．见解析.【解析】试题分析：根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．试题解析：证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，，∴△CDA≌△CEB．考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形．23．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax 2+2ax=0，∴x 2+x=0，解得：x 1=0，x 2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．24．（1）0.271000y x x 甲＝（＞）；（2）选择乙印刷厂比较优惠．【解析】【分析】（1）根据题意直接写出两厂印刷厂的收费y 甲（元）关于印刷数量x （份）之间的函数关系式； （2）分别将两厂的印刷费用等于2000元，分别解得两厂印刷的份数即可．【详解】（1）根据题意可知：甲印刷厂的收费y 甲=0.3x×0.9+100=0.27x+100，y 关于x 的函数关系式是y 甲=0.27x+100（x ＞0）；（2）由题意可得：该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，在甲印刷厂需要花费：0.27×600+100=262（元），在乙印刷厂需要花费：100+200×0.3+0.3×0.8×（600﹣200）=256（元）．∵256＜262，∴如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择乙印刷厂比较优惠．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．25．（1）200，90 （2）图形见解析（3）750人【解析】试题分析：（1）用对于共享单车不了解的人数20除以对于共享单车不了解的人数所占得百分比即可得本次调查人数；用总人数乘以使用过共享单车人数所占的百分比即可得使用过共享单车的人数；（2）用使用过共享单车的总人数减去0～2,4～6,6～8的人数，即可得2～4的人数，再图上画出即可；（3）用3000乘以骑行路程在2～4千米的人数所占的百分比即可得每天的骑行路程在2～4千米的人数.试题解析：（1）20÷10%=200， 200×（1-45%-10%）=90 ；（2）90-25-10-5=50，补全条形统计图（3）503000200=750(人)答: 每天的骑行路程在2～4千米的大约750人26．（1）证明见解析；（2）CE=1．【解析】【分析】（1）根据等角对等边得∠OBE=∠OEB，由角平分线的定义可得∠OBE=∠EBC，从而可得∠OEB=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行可得OE∥BC，根据两直线平行，同位角相等可得∠OEA=90°，从而可证AC是⊙O的切线.（2）根据垂径定理可求BH=12BF=3，根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OHCE是矩形，由矩形的对边相等可得CE=OH，在Rt△OBH中，利用勾股定理可求出OH的长，从而求出CE的长. 【详解】（1）证明：如图，连接OE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵ BE 平分∠ABC ．∴∠OBE=∠EBC ，∴∠OEB=∠EBC ，∴OE ∥BC ，∵ ∠ACB=90° ，∴∠OEA=∠ACB=90°，∴ AC 是⊙O 的切线 .（2）解：过O 作OH ⊥BF ，∴BH=12BF=3，四边形OHCE 是矩形， ∴CE=OH ，在Rt △OBH 中，BH=3，OB=5，∴，∴CE=1.【点睛】本题考查切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．27．（1）A （﹣1，0），B （3，0），y=（2）①A′（32t ﹣1，2t ）；②A′BEF 为菱形，见解析；（3）存在，P 点坐标为（53，3）或（73，﹣3）． 【解析】【分析】（120得A （−1，0），B （3，0），然后利用待定系数法确定直线l 的解析式；（2）①作A′H ⊥x 轴于H ，如图2，利用OA ＝1，OD 得到∠OAD ＝60°，再利用平移和对称的性质得到EA ＝EA′＝t ，∠A′EF ＝∠AEF ＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系表示出A′H ，EH 即可得到A′的坐标；②把A′（32t−1，2t ）代入y ＝−3x 2＋3x −3（32t−1）2＋3（32t−1）2t ，解方程得到t ＝2，此时A′点的坐标为（2，E （1，0），然后通过计算得到AF ＝BE ＝2，A′F ∥BE ，从而判断四边形A′BEF为平行四边形，然后加上EF＝BE可判定四边形A′BEF为菱形；（3）讨论：当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，利用点A′和点B的横坐标相同得到32t−1＝3，解方程求出t得到A′（3，433），再利用矩形的性质可写出对应的P点坐标；当A′B⊥EA′，如图4，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，先确定此时A′点的坐标，然后利用点的平移确定对应P点坐标．【详解】（1）当y=0时，﹣3x2+233x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），设直线l的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），D（0，﹣3）代入得{3k bb-+==-，解得3{3kb=-=-，∴直线l的解析式为y=﹣3x﹣3；（2）①作A′H⊥x轴于H，如图，∵OA=1，3∴∠OAD=60°，∵EF∥AD，∴∠AEF=60°，∵点A 关于直线l的对称点为A′，∴EA=EA′=t，∠A′EF=∠AEF=60°，在Rt△A′EH中，EH=12EA′=12t，33t，∴OH=OE+EH=t﹣1+12t=32t﹣1，∴A′（32t﹣13t）；②把A′（32t﹣1，3t）代入y=322333（32t﹣1）223（32t﹣1）33，解得t1=0（舍去），t2=2，∴当点A′落在抛物线上时，直线l的运动时间t的值为2；此时四边形A′BEF为菱形，理由如下：当t=2时，A′点的坐标为（2，3），E（1，0），∵∠OEF=60°∴OF=3OE=3，EF=2OE=2，∴F（0，3），∴A′F∥x轴，∵A′F=BE=2，A′F∥BE，∴四边形A′BEF为平行四边形，而EF=BE=2，∴四边形A′BEF为菱形；（3）存在，如图：当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，则32t﹣1=3，解得t=83，则A′（3，43），∵OE=t﹣1=53，∴此时P点坐标为（53，43）；当A′B⊥EA′，如图，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，∵∠AEA′=120°，∴∠A′EB=60°，∴∠EBA′=30°∴33332t，∴32t ﹣1+32t=3，解得t=43，此时A′（1，3），E （13，0），点A′向左平移23个单位，向下平移3个单位得到点E ，则点B （3，0）向左平移23个单位，向下平移个单位得到点P ，则P （73，综上所述，满足条件的P 点坐标为（5373）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的判定和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．。
北京市平谷区2019-2020学年中考数学模拟试题含解析
北京市平谷区2019-2020学年中考数学模拟试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为（）A．5 B．42C．7 D．522．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．13B．22C．24D．2233．若a与﹣3互为倒数，则a=（）A．3 B．﹣3 C．D．-4．如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（）A．45o B．60o C．120o D．135o5．已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（）A．B．C．D．6．下列运算正确的是（）A．（﹣2a）3=﹣6a3B．﹣3a2•4a3=﹣12a5C．﹣3a（2﹣a）=6a﹣3a2D．2a3﹣a2=2a7．若点A(1，a)和点B(4，b)在直线y ＝－2x ＋m 上，则a 与b 的大小关系是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．与m 的值有关8．一元二次方程x 2﹣2x ＝0的根是（ ）A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝﹣2 9．4的平方根是（ ）A ．16B ．2C ．±2D ．±10．关于x 的一元二次方程x 2-2x-（m-1）=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m >且1m ≠ B ．0m > C ．0m ≥且1m ≠ D ．0m ≥11．如图，已知直线//AB CD ，点E ，F 分别在AB 、CD 上，:3:4CFE EFB ∠∠=，如果∠B ＝40°，那么BEF ∠=（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°12．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若代数式211x --的值为零，则x=_____． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0），B （1﹣a ，0），C （1+a ，0）（a ＞0），点P 在以D （4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是______．15．甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，已知甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x ，那么符合题意的方程为：______．16．计算2x 3·x 2的结果是_______．17．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ．点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论：①△AED ≌△DFB ；②S 四边形BCDG ＝34CG 2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论有_____．（填序号）18．若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第_____象限．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某纺织厂生产的产品,原来每件出厂价为80元,成本为60元.由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.53m的污水排出,现在为了保护环境,需对污水净化处理后再排出.已知每处理13m污水的费用为2元,且每月排污设备损耗为8000元.设现在该厂每月生产产品x件,每月纯利润y元：（1）求出y与x的函数关系式.(纯利润=总收入-总支出)（2）当y=106000时,求该厂在这个月中生产产品的件数.20．（6分）计算：（1）﹣12018+|3﹣2|+2cos30°；（2）（a+1）2+（1﹣a）（a+1）；21．（6分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D 作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F．（1）求证：DC=DE；（2）若AE=1，23EFFD，求⊙O的半径．22．（8分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．被随机抽取的学生共有多少名？在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？23．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 和AB 相切于点P ．（1）求证：BP 平分∠ABC ；（2）若PC=1，AP=3，求BC 的长．24．（10分）在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹．例如：动点P 的坐标满足（m ，m ﹣1），所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy 中就是一次函数y=x ﹣1的图象．即点P 的轨迹就是直线y=x ﹣1．（1）若m 、n 满足等式mn ﹣m=6，则（m ，n ﹣1）在平面直角坐标系xOy 中的轨迹是 ； （2）若点P （x ，y ）到点A （0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，求点P 的轨迹；（3）若抛物线y=214x 上有两动点M 、N 满足MN=a （a 为常数，且a≥4），设线段MN 的中点为Q ，求点Q 到x 轴的最短距离．25．（10分）已知，关于 x 的一元二次方程（k ﹣1）x 22k ＝0 有实数根，求k 的取值范围． 26．（12分）已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ．（1）如图1，求证：KE ＝GE ；（2）如图2，连接CABG ，若∠FGB ＝12∠ACH ，求证：CA ∥FE ； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sinE ＝35，AK 10，求CN 的长．27．（12分）阅读下列材料：题目：如图，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．【详解】解：连接AE，∵AC=3，cos∠CAB=13，∴AB=3AC=9，由勾股定理得，22AB AC2，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=12AB=92，S△ABC=12×3×62=92，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=12S△ABC=922，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=92，AE⊥CD，则12×CD×AE=92，解得，AE=42，∴AF=22，由勾股定理得，DF=22AD AF=72，∵AF=FE，AD=DB，∴BE=2DF=7，故选C．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2．C【解析】试题分析：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．3．D【解析】试题分析：根据乘积是1的两个数互为倒数，可得3a=1，∴a=，考点：倒数．4．A【解析】【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=1080，即可求得n=8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=1080，解得：n=8，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．故选A．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．5．B【解析】分析: 根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=bx的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.详解: ∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=bx的图象在第一象限有一个公共点，∴b＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c=b，∴a+c=0，∴ac＜0，∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．故选B.点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b＞0，ac＜0. 6．B【解析】【分析】先根据同底数幂的乘法法则进行运算即可。
【精品中考数学】2019年北京市初三数学一模分类汇编-第4讲 简单几何与三角形
第4讲 简单几何与三角形一、选填题 （1）基本概念【2019·房山一模】1. 如图所示的网格是正方形网格，点E 在线段BC 上，ABE ∠ DEC ∠. (填“＞”，“＝”或“＜”)【答案】＜【2019·平谷一模】2．如图，在△ABC 中，射线AD 交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，请补充一个条件，使△BED ≌△CFD ，你补充的条件是 （填出一个即可）．【答案】答案不唯一，如BD=DC【2019·平谷一模】3.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，若CD =2，BD =4，则AE 的长是 ．【答案】3【2019·石景山一模】4.右图所示的网格是正方形网格，点P 到射线OA 的距离为m ，点P 到射线OB 的距离为n ，则m n ．（填“>”，“=”或“<”【答案】>FDCAEACPOB AB【2019·顺义一模】5.如图，A处在B处的北偏东45°方向，A处在C处的北南偏西15°方向，则 BAC等于A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【2019·通州一模】6.如图，∠AOB的角平分线是（）A．射线OB B．射线OE C．射线OD D．射线OC【答案】B【2019·西城一模】7.如图，点0，A，B郁都在正方形网格的格点上，将△OAB绕点O顺时针旋转后得到△OA'B'，点A ，B的对应点A' ，B'也在格点上，则旋转角a (0°<a < 180°)的度数为°.【答案】90【2019·燕山一模】8.下列几何体中，是圆锥的为A． B． C．D．【答案】D【2019·燕山一模】9.如图，边长为1的正方形网格中，AB3．(填“＞”，“＝”或“＜”)A【答案】＜（2）三视图与展开图【2019·东城一模】1．下列立体图形中，主视图是圆的为A． B． C． D．【答案】D【2019·房山一模】2．右图是某几何体的三视图，该几何体是A．三棱柱 B．长方体C．圆锥 D．圆柱【答案】B【2019·丰台一模】3. 右图是某几何体的三视图，该几何体是（A）三棱锥（B）三棱柱（C）长方体（D）正方体【答案】B【2019·石景山一模】4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（A）三棱柱（B）三棱锥（C）长方体（D）正方体【答案】A【2019·顺义一模】5．如左图所示，该几何体的主视图是【答案】C【2019·通州一模】6.某几何体的平面展开图如图所示，则该几何体是（）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱【答案】C【2019·西城一模】7. 下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为【答案】B【2019·延庆一模】8．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体是【答案】C（3）多边形的内角和与外角和【2019·东城一模】1．若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【答案】C【2019·房山一模】2. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是A.6B.10C.12D.16 【答案】C【2019·丰台一模】3．下面的多边形中，内角和与外角和相等的是DCBAA．B．C．D．21CBA（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【2019·门头沟一模】4. 如图，△ABC 为等边三角形，如果沿图中虚线剪去∠B ，那么∠1+∠2等于 A ．120° B ．135° C ．240°D ．315°【答案】C【2019·门头沟一模】5．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】B【2019·平谷一模】6．如图，正五边形ABCDE ，点F 是AB 延长线上的一点，则∠CBF 的度数是(A) 60° (B)72° (C)108° (D)120° 【答案】B【2019·石景山一模】7．若正多边形的一个内角是135︒，则该正多边形的边数为 . 【答案】八【2019·顺义一模】8. 如果一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形是 A ．五边形 B ．六边形 C ．七边形 D ．八边形 【答案】B【2019·通州一模】9. 中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币. 如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为__________. 【答案】40︒【2019·延庆一模】10. 如图，∠1，∠2，∠3是多边形的三个外角，边CD ，ECAAAE 的延长线交于点F ，如果∠1+∠2+∠3=225°，那么∠DFE 的度数是 ．【答案】45°（4）相交线与平行线的应用--求角度【2019·东城一模】1．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1=80°，则∠2的度数是A ．50° B．60° C．70° D．80°【答案】A【2019· 丰台一模】2. 如图，等腰直角三角板的顶点A ，C 分别在直线a ，b 上．若a ∥b ，∠1=35°，则∠2的度数为 ．【答案】10°【2019·石景山一模】3．如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别与AB ，CD交于点E ，F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ， 若1∠=70︒，则2∠的度数是 （A ）60︒ （B ）55︒ （C ）50︒（D ）45︒【答案】B【2019·石景山一模】4． 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ．若6AE =，3EC =，8DE =，则BC = ．BACDEGF 21A abCB12（第11题图）【答案】12【2019·西城一模】5．如图，点D 在BA 的延长线，AE ∥BC 若∠DAC=100°∠B=65°，则∠EAC 的度数为 A. 65° B. 35° C. 30° D. 40°【答案】B（5）相似、勾股定理和锐角三角函数【2019·东城一模】1．已知：在□ABCD 中，点E 在DA 的延长线上，13AE AD ，连接CE 交BD 于点F ，则EFFC的值是________．【答案】43【2019·平谷一模】2．小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC ，在距地面2米的A 处有一盏灯，圆桌的影子为DE ，依据题意建立平面直角坐标系，其中D 点坐标为（2,0），则点E 的坐标是 ．【答案】(4,0)【2019·顺义一模】3. 如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB＝90°，若AB ＝6，BC ＝8，则EF 的长为________．【答案】1【2019·顺义一模】4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有FEBDAFABCED竹竿多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为．【答案】四丈五尺；【2019·通州一模】5．小华同学的身高为170 cm，测得他站立在阳光下的影长为85 cm紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为105 cm，那么小华举起的手臂超出头顶的长度为____________ cm.【答案】40。
北京平谷区2019年初三数学一模试题解析(word版)
B 北京平谷区2019年初三数学一模试题解析(word 版)数学试卷参考答案和评分参考2018年4月 一、选择题〔此题共32分，每题4分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A D B C B D 【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕9、5；10、(2)(2)x y x y +-11、π12.12，n⎝⎭. 【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕13.计算：01(π4)sin 302---；解：原式113122=-+- (4)分2=-、……………………………………………………………………………5分14.解方程：210.2x x -=-、解：去分母，得2(2)0.x x --=……………………………………………………2分 解得， 4.x =…………………………………………………………3分经检验，4x =是原方程的解.……………………………………………………4分 ∴原方程的解是4.x =…………………………………………............................5分15.证明：∵D 为BC 的中点，∴BD ＝CD.......................................1∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠E ＝∠CFD ＝90°.....................2分 ∵∠BDE ＝∠CDF ，………………..3分∴△BDE ≌△CDF..............................4分∴BE ＝CF 、..........................................5分16、解：原式222(2)x xy x xy y =---+...................................2分2222x xy x xy y =--+-2=xy y -.....................................................................................................................3分()y x y =-...................................................................................................................4分∵0x y -=， ∴原式0.=.......................................................................................................................5分17.解：〔1〕设射线的表达式为y kx b =+、................1分依题意，得5274.k b k b =+⎧⎨=+⎩， (2)分解得：13k b ==，、..............................................3分 ∴3y x =+、.........................................................4分 5分将13y =代入上式，得10x =、....................................................................................5分答：小明家离学校10KM 、18.如图，在ABC △中，AB BC =，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 边上的中点、求证：四边形BDEF 是菱形；假设12AB =CM ，求菱形BDEF 的周长、 〔1〕证法〔一〕∵D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB DE AB ∴∥，EF BC ∥.............................1分∴四边形BDEF 是平行四边形、.................2分又12DE AB =，12EF BC =，且AB BC =，DE EF =∴. ∴四边形BDEF 是菱形、..................................................................................................3分证法〔二〕：∵D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 边上的中点，12DE AB =∴，12EF BC =........................................................................................1分又AB BC =∵，1122BD BF AB BC ===∴.........................................................................................2分∴DE EF BF BD ===. ∴四边形BDEF 是菱形、...............................................................................................3分〔2〕12AB =∵CM ，F 为AB 的中点，6BF =∴CM............................................................................................................4分∴菱形BDEF 的周长为：4624⨯=〔CM 〕、【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19、解：〔1〕把3x =-，1y =代入my x =，得：3m =-∴反比例函数的解析式为3y x =-、把2x =，y n =代入3y x =-得32n =-、.....................2分 把3x =-，1y =；2x =，32y =-分别代入y kx b =+，得31322k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得1,21.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴一次函数的解析式为1122y x =--、..............................................................................3分〔2〕C 点的坐标为102⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D 点的坐标为(1,0)-.....................................................5分20.（1）证明：∵DE ⊥DB ，⊙O 是RT △BDE 的外接圆，∴BE 是⊙O 的直径，点O 是BE 的中点.……………………1分 连结OD. ∵OB OD =， ∴ABD ODB ∠=∠. ∵BD 为ABC ∠的平分线，A ∴ABD DBC∠=∠.∴ODB DBC∠=∠.∴OD∥BC......................................................................... 2分∵90C∠=，∴90ADO C∠=∠=.∴AC是⊙O的切线.………………………………3分〔2〕在RT△ABC中，15AB=.∵OD∥BC，，∴△ADO∽△ACB........................................................................ ...........................................4分∴AO ODAB BC=.∴15159r r-=.∴458r=.……………......................5分21.〔1〕50，5次、................................2分〔2〕画图..............................................3分〔3〕1614635025250++⨯=〔人〕..5分答：该校350名九年级男生约有252人体能达标.22.解：〔1〕1(108)A，1(85)B，2分〔2〕图形略、〔图形正确给总分值〕5分【五】解答题〔此题共22分，其中23，24小题各7分，25小题8分〕解：〔1〕证明：令2230ax ax a--=.∵0a <， ∴22(2)4(3)160a a a a ∆=--⋅-=>............................................................................1分∴抛物线223(0)y ax ax a a =--<一定与X 轴有两个不同的交点..................................2分〔2〕①令0y =，得2230ax ax a --=、20230a x x ≠∴--=，．解得：1213x x =-=，、∵点A 在点B 的左侧∴点A 的坐标(10)-，，点B 的坐标(30)，、...............3分 ②由223y ax ax a =--，令0x =，得3y a =-、 (03)C a ∴-，、又2223(1)4y ax ax a a x a =--=--，∴(14)D a -，、.......................................................................................................................4分=4(3)11(03)(14)DH HC a a a a C D ∴=---=-=∴=-∴．．，，，．设直线CD 的解析式为y kx b =+，把点C ，点D 的坐标分别代入得：34b k b =⎧⎨+=⎩，．解得31b k =⎧⎨=⎩，．∴直线CD 的解析式为：3y x =+、.....................................................................................7分24、解：〔1〕抛物线2(1)y x k =++的对称轴为：直线1x =-、 抛物线2(1)y x k =++过点(03)C -，，那么23(01)k -=++， 4k ∴=-、...................................................................................................................2分〔2〕如下图，根据两点之间线段最短可知，当P 点在线段AC 上就可使PA PC + 的值最小、又因为P 点要在对称轴上，所以P 点应为线段AC 与对称轴直线1x =-的交点、...............................................................................................................3分由〔1〕可知，抛物线的表达式为：22(1)423y x x x =+-=+-、令0y =，那么2230x x +-=、解得：1231x x =-=，、那么点A B 、的坐标分别是(30)A -，、(10)B ，、...........4分设直线AC 的表达式为y kx b =+，那么303k b b -+=⎧⎨=-⎩，.解得13.k b =-⎧⎨=-⎩，所以直线AC 的表达式为3y x =--、..........................................................................5分当1x =-时，(1)32y =---=-. 所以，此时点P 的坐标为(12)--，、..................................................................................6分〔3〕依题意得：当点M 运动到抛物线的顶点时，AMB △的面积最大、由抛物线表达式2(1)4y x =+-可知，抛物线的顶点坐标为(14)--，、 ∴点M 的坐标为(14)--，、 AMB △的最大面积1(31)482AMB S =⨯+⨯=△、..................................................................7分25.解：⑴连结BF 〔如图①〕.........................................1分∵△ABC ≌△DBE ， ∴BC ＝BE ，AC ＝DE 、 ∵∠ACB ＝∠DEB ＝90°， ∴∠BACB ＝∠BEF ＝90°. ∵BF ＝BF ，∴RT △BFC ≌RT △BFE 、............................................2分∴CF ＝EF 、又∵AF ＋CF ＝AC ， ∴AF ＋EF ＝DE 、..........................................................3分⑵画出正确图形如图②...........................................4分 ⑴成立、.........................................................................5分⑶不成立、此时AF 、EF 与DE 的关系为AF －EF ＝DE.理由：连接BF 〔如图③〕. ∵△ABC ≌△DBE ， ∴BC ＝BE ，AC ＝DE ， ∵∠ACB ＝∠E ＝90°，∴∠ACB＝∠E＝90°、又∵BF＝BF，∴RT△BFC≌RT△BFE、...................................................................... ........................6分∴CF＝EF、....................................................................... ...........................................7分又∵AF－CF＝AC，∴AF－EF＝DE、∴⑴中的结论不成立、正确的结论是AF－EF＝DE.........................................8分。
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2
．
/
【解析】（ 1 ）∵
，
∴
．
（ 2 ）1 直线 过 和 ，
，
解得
，
∴
，
∴
，
∴区域 内的整点只有 个，为 ．
2 当直线 经过点
，
时区域 内恰有 个整点，
∴
．
当直线 经过点
，
时区域 内没有整点，
∴
．
∴当
时区域 内恰有 个整点．
22. 如图，在
中，
，
交于点 ，连接
，点 是 边的中点，连接 ，交 于点 ．
（ 1 ） 抛物线的对称轴为
（用含 的代数式表示）．
（ 2 ） 当抛物线经过点 ， 时，求此时抛物线的表达式．
（ 3 ） 记抛物线在线段 下方的部分图象为 （包含 ， 两点），点
是 轴上一动
点，过 作
轴于 ，交图象 于点 ，交 于点 ，若
，求 的取值范
围．
【答案】（ 1 ） （2） （3）
． ．
【解析】（ 1 ）对称轴
，
∴
，
∴
．
28. 对于平面直⻆坐标系 中的图形 ， ，给出如下定义： 为图形 上任意一点， 为图形
上任意一点，如果 ， 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 ， 间的“非常距
离”，记作
．已知点
，
，连接 ．
（1） 点
．
（ 2 ） 半径为 ，若
，求 的取值范围．
（ 3 ）点
，连接 ， ， 的圆心为
∴
，
∴
，
当圆心 在 点右侧时，圆心 到点 的距离 应该
∴
，
综上所述， 的取值范围是
或
故答案为： 的取值范围是
或
，
， ． ．
/
的值是（ ）．
C.
D.
，
∵
，
∴原式 ．
故选 ．
7. 某非物质文化遗产共有 名传承艺人，为了了解每位艺人的日均生产能力，随机调查了某一天每
位艺人的生产件数．获得数据如下表：
生产件数
（件）
人数（人）
从这一天 名艺人中随意抽取 人，则他的这一天生产件数最可能的是（ ）．
A. 件
B. 件
C. 件
D. 件
【答案】 A 【解析】 这一组数据中众数是 ，故随意抽取 人，则他的这一天生产件数最可能是 件．
（用含 的代数式表示）．
【答案】（ 1 ） （2） （3）
． ．
【解析】（ 1 ）依题可知，
，
，
∴
是等边三⻆形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
故答案为：
．
（ 2 ） 延⻓ 至 ，使得
，
∵
，
，
∴
，
/
在
和
，
，
∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （ 3 ）当 在
≌
，
，
，
，
为等边三⻆形，
．
时，
，
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴ 垂直平分 ， 平分
2019年北京平谷区初三一模数学试卷(详解)
一、选择题
本题共16分，每小题2分
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】 只有 不是轴对称图形，其余都是轴对称图形．
2. 如图，直径为单位 的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点 ，则点 表 示的数是（ ）．
故答案为：甲．
第月
12. 如图，在
使
≌
中，射线 交 于点 ，
于，
，你补充的条件是
（填出一个即可）.
于 ，请补充一个条件，
【答案】
（答案不唯一）
【解析】 ∵ ∴ 在
， 和
， , 中，
,
∴
≌
，
答案不唯一，填
，
也可以．
13. 甲乙二人分别从相距
的 ， 两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲乙二人运动两次
的情形，设甲的速度是
（用含 ， 的等式表示）．
【答案】
【解析】
．
15. 如图，在
若
，
中， ，则
， 的⻓是
平分 ．
交 于点 ，过点 作
于点 ，
【答案】
【解析】
平分
，
，
，
，
在
中，
，
，
/
，
，
，
，
．
16. 小明家的客厅有一张直径为 米，高 米的圆桌 ，在距地面 米的 处有一盏灯，圆桌的影
子为 ，依据题意建立平面直⻆坐标系，其中 点坐标为
人数 截止到
年
（数据分成 组，各组是
，
，
.如图，在 的基础上，画出扇形统计图；
年龄
，
，
）
费尔兹奖得主获奖年龄分布图
截止到
年
.截止到 年费尔兹奖得主获奖时的年龄在
这一组的数据是：
.截止到 年时费尔兹奖得主获奖时的年龄的平均数、中位数、众数如下：
年份
平均数
中位数
众数
截止到
，
/
根据以上信息，回答下列问题：
抛物线对称轴并不是
当
时，方程
直线经过 ， ，当
错误；
∴正确的是①③．
故选 ．
，抛物线开口向下，故①正确；
，当
时， 取不到最大值，故②错误；
必有两个不相等的实数根，故③正确；
时， 的取值范围才是
，故④
二、填空题
本题共16分，每小题2分 9. 如图，该正方体的主视图是
形．
【答案】 正方 【解析】 正方体是主视图是正方形．
，分别过点 ， 作
（ 1 ） 求证：四边形
（ 2 ）若
，
是矩形． ，求
的⻓．
【答案】（ 1 ）证明⻅解析．
（2）
．
【解析】（ 1 ）∵
，
，
∴四边形
是平行四边形，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形．
（ 2 ） 过点 作
于，
∵四边形
是矩形，
/
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
在
中，
．
23. 费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，每 年评选一次，在国际数学家大会上颁给有
故答案为：正方．
10. 若分式
的值是正数，则 的取值范围是
．
【答案】
/
【解析】 分式
的值为正数，即
，
．
11. 某商场甲、乙、丙三名业务员 个月的销售额（单位：万元）如下表：
销售额 业务员
第月
第月
第月
第月
甲
乙
丙
则甲、乙、丙三名业务员中销售额最稳定的是
．
【答案】 甲 【解析】 从数据的波动情况来看，甲业务员的销售额最稳定．
（
）的图象经过点 ，作
轴于点 ．
（ 1 ） 求 的值．
（ 2 ） 直线
（
）图像经过点 交 轴于点 ，横、纵坐标都是整数的点叫
做整点，线段 ， ， 围成的区域（不含边界）为 ．
1 直线 经过
时，直接写出区域 内的整点个数．
2 若区域 内恰有 个整点，结合函数图象，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
．
（ 2 ）1 个．
卓越贡献的年龄不超过 岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐 年获得费尔兹奖．为了让学生
了解费尔兹奖得主的年龄情况，我们查取了截止到 年 名费尔兹奖得主获奖时的年龄数
据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
.截止到 年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据的频数分布直方图如下：
费尔兹奖得主获奖年龄分布图
，乙的速度是
，根据题意所列的方程组是
．
第一次
/
甲走 的路程 甲走 的路程 相遇
乙走 的路程
第二次
甲走 的路程
【答案】
【解析】 依题意，可列方程为：
即
．
故答案为：
．
相距
乙走 的路程
、 两地相距
，
14. 如图，从一个边⻓为 的正方形的一⻆上剪去一个边⻓为 (
）的正方形，则剩余（阴影）
部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】 直径为单位 的圆周⻓为 ，故它从原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点
，则 点表示的数为 ．
3. 如图，正五边形
，点 是 延⻓线上的一点， 则
的度数是（ ）．
/
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 正五边形任意一外⻆为：
，
∴
．
故选 ．
4. 某颗人造地球卫星绕地球运行的速度是
的中点，连接
（ 1 ） 求证：
（ 2 ）若
，
． ，求
的正切值．
【答案】（ 1 ）证明⻅解析．
（2）
．
【解析】（ 1 ）证明：连接 ，
∵
，
∴
，
∵ 与 相切，
∴
，
∴
，
∵ 是 的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
（ 2 ） 连接 ， ∵ 是☉ 的直径，