第5章 一阶逻辑等值演算与推理
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5.3 一阶逻辑的推理理论
例5.12 在自然推理系统 F中，构造下面推理的证明： 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。 因此，有理数都不是无理数。个体域为实数集合。 解： 设 F（x）：x为无理数，G（x）：x为有理数， G H（x）：x能表示成分数。 前提： ┐∃x（F（x）∧H（x）），∀x（G（x）→H（x）） ∧H（ ））， →H（ 结论： ∀x（G（x）→┐F（x）） →┐F（
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全称量词引入规则（ UG规则，∀+） 全称量词引入规则（简称UG UG ， ） xA（ A（y）⇒∀xA（x） 公式成立的条件是： 1、在A（y）中y自由出现，且y取任何值时A均为真。 A y A 2、取代y的x不在A（y）中出现。 y x A
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存在量词消去规则（ EI规则，∃-） 存在量词消去规则（简称EI EI ∃ ） xA（ ∃xA（x）⇒ A（c） 公式成立的条件是 1、c是使A为真的特定的个体常项 A 2、c不能已在A（x）中出现过 A 3、∃xA（x）中没有自由出现的个体变项 ∃xA（
9
例 设个体域为实数集合，F(x，y)为x>y。 ， 指出在推理系统 F中，以① ∀x∃y F(x，y)（真命题）为前 ① ∃ ， （ ） 提，推出④ ∀x F(x，c)（假命题）的原因。 ④ ， （ ） ① ∀x∃y F（x，y） 前提引入 ∃ （ ， ） ② ∃y F（z，y） （ ， ） ① UI规则 ③ F（z，c） （ ， ） ② EI规则 ④ ∀x F（x，c） ③ UG规则 （ ， ） 解: 错误出在第③步， ③ 由于∃yF(z,y)有自由出现的z，不满足EI规则的条件3。 ∃ 所以对② ∃yF(z,y)不能使用EI规则。 ②
4
构造证明方法在自然推理系统F中进行。 F 定义（自然推理系统F） F 自然推理系统F由以下三个部分组成： F 1、字母表 2、公式 3、推理规则（15个） （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则
05 一阶逻辑等值演算与推理
例
4
(3) C = xyL(x, y) (L(2, 2) L(2, 3)) (L(3, 2) L(3, 3)) (10) (01) 1.
例
4
(4) D = yxL(x, y) y(L(2, y)L(3, y)) (L(2, 2)L(3, 2)) (L(2, 3)L(3, 3)) (10) (01) 0. 一般地：y x L (x, y) x y L (x, y) 在实变函数上的应用举例
提 前 讲
证 只要证明在某个解释下两边的式子不等值.
(1)取解释 I: 个体域为 ; A(x) 为 x 是奇数; B(x) 为 x 是 偶数. 则 x(A(x) A(x)) 为真, 而 xA(x) xB(x) 为假.
(2)取解释 I 同(1), 则 x(A(x) B(x)) 为假, 而 xA(x) xB(x) 为真.
/quantifier elimination
3. 量词辖域收缩与扩张等值式
设 A(x) 含 x 的自由出现, 而 B 不含 x 的自由出现, 则
(1)
x(A(x)B) xA(x) B
x(A(x)B) xA(x) B x(A(x)B) xA(x) B x(BA(x)) B xA(x) (5.3)
/quantifier distribution
例 2
例2 证明 对 无分配律, 而 对 无分配律. (1) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x);
(2) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x),
其中 A(x), B(x) 含自由变元 x.
2、一阶逻辑中的基本等值式
第一组 代换实例 命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的 永真式, 因而命题逻辑中的等值式†给出的代换实例 都是一阶逻辑的等值式.
第五章+一阶逻辑等值演算与推理3
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
练习:在自然推理系统F中，构造下列推理的证明。
前提：∀x(F(x) ∨ G(x))， ⎤ ∃x G(x). 结论： ∃x F(x) . 证明：① ⎤ ∃x G(x) 前提引入 ② ∀x ⎤ G(x) ① 置换规则 ③ ⎤ G(a) ②UI ④ ∀x(F(x) ∨ G(x)) 前提引入 ⑤ F(a) ∨ G(a) ④UI ⑥ F(a) ③ ⑤析取三段论 ⑦ ∃x F(x) ⑥EG
3
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
(2) 由基本等值式生成的推理定律。例如： ∀x F(x) => ⎤ ⎤ ∀x F(x) ⎤ ⎤ ∀x F(x) => ∀x F(x) ⎤ ∀x A(x) => ∃x ⎤ A(x)
∃x ⎤ A(x) => ⎤ ∀x A(x) ……
4
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
(3) ∀x A(x)∨∀x B(x)=> ∀x (A(x)∨ B(x))① ③引入的顺序不可更改！
13
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
练习：试指出下面证明中的错误。
证明： ① ∀x (A(x)→B(x))
前提引入
① UI ② A(y)→B(y) 前提引入 ③ ∃x A(x) ④ A(y) ③EI ⑤ B(y) ②④假言推理 ⑥ ∀xB(x) ⑤UG 对∃x A(x)消去量词时，要求用特定的个体常项取代 x，而不能用变项y取代x，所以③到④有错。
证明：只要说明∃x A(x)→∃x B(x)为1时， ∃ x(A(x)→B(x))不为0即可。 （1）若有x使得A(x)为0，则∃ x(A(x)→B(x))为 1。 （2）若所有的x都使得A(x)为1，由∃x A(x)→∃x B(x为1得∃x B(x)为1，即有一个c使得B(c)为 1。因此A(c)→B(c)为1， ∃ x(A(x)→B(x))为 1。
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
本章说明
本章的主要内容 –一阶逻辑等值式与基本等值式 –置换规则、换名规则、代替规则 –前束范式
–一阶逻辑推理理论
本章与其他各章的关系 –本章先行基础是前四章
–本章是集合论各章的先行基础
本章主要内容
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
5.2 一阶逻辑前束范式 5.3 一阶逻辑的推理理论 主要内容 作 业
一阶逻辑中的一些基本而重要等值式
代换实例
消去量词等值式
量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式
代换实例---命题公式的推广
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永 真式，因而第二章的16组等值式模式给出的代换实例都是 一阶逻辑的等值式的模式。 例如：
x(A(x)∧B(x))x A(x)∧ x B(x)
谓词演算蕴含式 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
x(A(x)∧B(x)) x A(x)∧ x B(x)
多个量词间的次序排列等值式。
多个量词同时出现时,其顺序是至关重要的.
(1) xyA( x, y) yxA( x, y ) (2) xyA( x, y ) yxA( x, y )
等值式的定义
定义5.1 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真 式，则பைடு நூலகம்A与B是等值的。 记做AB，称 AB 是等值式。
例如：
x(F(x) G(x)) x(F(x) G(x))
说 明
判断公式A与B是否等值，等价于判断公式AB是否 为永真式。 谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关 等值式类似。
一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式 上完全相同，只是在这里A，B是一阶逻辑公式。 换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的 所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的 某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为A'， 则A'A。
一阶逻辑等值式与置换规则讲解学习
3
3、量词辖域收缩与扩张等值式 设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，B是
不含x的公式，则 （1）x（A（x）∨B）xA（x）∨B x（A（x）∧B）xA（x）∧B x（A（x）→B）xA（x）→B x（B →A（x）） B→xA（x） （2）x（A（x）∨B） xA（x）∨B x（A（x）∧B） xA（x）∧B x（A（x）→B） xA（x）→B x（B→A（x）） B→xA（x）
4
5、同种量词顺序置换等值式 对于任意的公式A（x，y）
(1)xyA（x，y） yxA（x，y） (2)xyA（x，y） yxA（x，y）
6
一阶逻辑的等值演算
一阶逻辑的等值演算中三条重要的规则： 1、置换规则 设ф(A)是含公式A的公式，ф(B)是用公式B置换 了 ф(A) 中 所 有 的 A 后 得 到 的 公 式 ， 若 AB， 则 ф(A) ф(B)。
x ┐（F（x）→G（x）） x ┐（┐F（x）∨G（x）） x（F（x）∧┐G（x））
14
（3）┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））
证明： ┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y））
x ┐y（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y ┐（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y ┐（┐（F（x）∧G（y））∨H（x，y）） x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））
7
例 设个体域为D={a，b，c}，将下面公式的量词消去。 （1）x（F（x）→G（x）） （2）x（F（x）∨yG（y）） （3）xyF（x，y）
解：（1）x（F（x）→G（x）） （F（a）→G（a））∧ （F（b）→G（b））∧ （F（c）→G（c））
3、量词辖域收缩与扩张等值式 设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，B是
不含x的公式，则 （1）x（A（x）∨B）xA（x）∨B x（A（x）∧B）xA（x）∧B x（A（x）→B）xA（x）→B x（B →A（x）） B→xA（x） （2）x（A（x）∨B） xA（x）∨B x（A（x）∧B） xA（x）∧B x（A（x）→B） xA（x）→B x（B→A（x）） B→xA（x）
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5、同种量词顺序置换等值式 对于任意的公式A（x，y）
(1)xyA（x，y） yxA（x，y） (2)xyA（x，y） yxA（x，y）
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一阶逻辑的等值演算
一阶逻辑的等值演算中三条重要的规则： 1、置换规则 设ф(A)是含公式A的公式，ф(B)是用公式B置换 了 ф(A) 中 所 有 的 A 后 得 到 的 公 式 ， 若 AB， 则 ф(A) ф(B)。
x ┐（F（x）→G（x）） x ┐（┐F（x）∨G（x）） x（F（x）∧┐G（x））
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（3）┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））
证明： ┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y））
x ┐y（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y ┐（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y ┐（┐（F（x）∧G（y））∨H（x，y）） x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））
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例 设个体域为D={a，b，c}，将下面公式的量词消去。 （1）x（F（x）→G（x）） （2）x（F（x）∨yG（y）） （3）xyF（x，y）
解：（1）x（F（x）→G（x）） （F（a）→G（a））∧ （F（b）→G（b））∧ （F（c）→G（c））
第五章 一阶逻辑推理理论
六、量词分配: 对∧, 对∨ 量词分配 设公式A(x),B(x)含自由出现的个体变项 ，则： 的个体变项x， 设公式 含自由出现的个体变项 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) ∧ ∧ x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨xB(x) ∨ ∨ 但是: 但是 对∨, 对∧不可分配 x(A(x)∨B(x)) ≠xA(x) ∨xB(x) (*) 1≠0 ∨ ≠ ∧xB(x) (**) 0≠1 x(A(x)∧B(x)) ≠xA(x) ∧ ∧ ≠ 要证谓词公式等值要穷尽所有解释, 要证谓词公式等值要穷尽所有解释 不等,只要 只要1个解释 不等 只要 个解释 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 自然数! 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 A(x)解释为 是奇数 解释为x是奇数 解释为x是偶数 解释为 是奇数,B(x)解释为 是偶数 则 解释为 是偶数,则 是所有自然数是奇数， 而xA(x)是所有自然数是奇数，是不对的！为0 是所有自然数是奇数 是不对的！ 是所有自然数是偶数， 是所有自然数是偶数 是不对的！ 而xB(x)是所有自然数是偶数，是不对的！为0 x(A(x)∨B(x))是“任何自然数是奇数或偶数”, ∨ 是 任何自然数是奇数或偶数” 为1
将下面公式化成等值的公式,使其不含有既是 等值的公式 例1 将下面公式化成等值的公式 使其不含有既是 约束出现又是自由出现的个体变项。 约束出现又是自由出现的个体变项。 自由出现的个体变项 →yG(x,y,z) xF(x,y,z)→ → 解：x在前件中是约束变元，在后件是自由变元, 在前件中是约束变元，在后件是自由变元 在前件中是约束变元 y在前件中是自由变元，在后件是约束变元， 在前件中是自由变元， 在前件中是自由变元 在后件是约束变元， 约束变元改名 改名： →sG(x,s,z) 约束变元改名： tF(t,y,z)→ → 自由变元改名 改名： →yG(t,y,z) 对自由变元改名： xF(x,s,z)→ → →yG(x,y,z)) x(F(x,y)→ → 在前件是自由， 解：y在前件是自由，在后件是约束，有歧义！ 在前件是自由 在后件是约束，有歧义！ →sG(x,s,z)) x(F(x,y)→ →
离散数学 第五章
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B 是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x)(5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
对于(1)式，“并不是所有的x都有性质A”与“存在x没有性质A”是一回事。
对于(2)式，“不存在有性质A的x”与“所有x都没有性质A”是一回事。
第四组量词辖域收缩与扩张等值式设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则(1)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.3)(2)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.4)注意：这些等值式的条件。
第五组量词分配等值式设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则(1)x(A(x)∧B(x)）xA(x)∧xB(x)(2)x(A(x)∨B(x)）xA(x)∨xB(x) (5.5)二、基本规则1．置换规则设Φ(A)是含公式A的公式，Φ(B)是用公式B取代Φ(A)中所有的A之后的公式，若A B，则Φ(A)Φ(B).一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上完全相同，只是在这里A，B 是一阶逻辑公式。
第5章一阶逻辑等值演算与推理
学时: 5
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§5.1 一阶逻辑等值式与置换 (zhìhuà n)规则
在一阶逻辑中，有些命题可以(kěyǐ)有不同的符号化形式。 例如：没有不犯错误的人
令 M(x):x是人。 F(x):x犯错误。 则将上述命题的符号化有以下两种正确形式： (1) ┐ x(M(x)∧┐F(x)) (2) x(M(x)→F(x))
用A中未曾出现过的个体变项符号代替，A中其余部分不变，设所得公 式为A'，则A' A。
说明 一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形
式上完全相同，只是在这里A，B是一阶逻辑公式。
13 13
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例5.1 将下面(xià mian)公式化成与之等值的公式，使其没有既
是约束出现又是自由出现的个体变项。
x的出现，则
（1） x(A(x)∨B) xA(x)∨B
x(A(x)∧B) xA(x)∧B
x(A(x)→B) xA(x)→B x(B→A(x)) B→ xA(x)
（5.3）
（2） x(A(x)∨B)
xA(x)∨B
x(A(x)∧B) xA(x)∧B
x(A(x)→B) xA(x)→B
x(B→A(x)) B→ xA(x)
m
í
而 xF(x)∧ xG(x)：有些(yǒuxiē)x是奇数并且有些(yǒuxiē)x
n
是偶数为真命题。
g
两边不等值。
)
全称量词“”对“∨”无分配律。 存在量词“”对“∧”无分配律。 说明 当B(x)换成没有x出现的B时，则有
x(A(x)∨B) xA(x)∨B x(A(x)∧B) xA(x)∧B
20 20
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（1） x(F(x)∧G(x,a)) (F(2)∧G(2,2)) ∧ (F(3)∧G(3,2))
5.3 一阶逻辑推理理论
2．全称量词引入规则 ( 简记为 ． 简记为UG 规则或 规则或UG )
A( y) ∴∀xA( x)
该式成立的条件是： 该式成立的条件是： 取何值， （1）无论 A( y) 中自由出现的个体变项 y 取何值， ）
A( y)应该均为真. 应该均为真
中约束出现. （2）取代自由出现的 y 的 x 也不能在 A( y)中约束出现 ）
分别为命题逻辑中化简律和附加律的代换实例. 分别为命题逻辑中化简律和附加律的代换实例
第二组 由基本等值式生成的推理定律
上一节给出的两组等值式中的每个等值式可生成 两个推理定律. 两个推理定律 例如： 例如：
∀xF( x) ⇒ ¬¬∀xF( x) ¬¬∀xF( x) ⇒ ∀xF( x)
和
¬∀xF( x) ⇒ ∃x¬F( x)
在自然推理系统F 构造下面推理的证明： 例5.9 在自然推理系统 中，构造下面推理的证明： 任何自然数都是整数；存在着自然数 任何自然数都是整数；存在着自然数. 所以存在 着整数. 个体域为实数集合R. 着整数 个体域为实数集合 解 先将原子命题符号化 先将原子命题符号化. 为自然数， 为整数. 设 F( x): x为自然数， G( x): x为整数 前提： 前提： 结论： 结论：
（9） 析取三段论规则 ） 析取三段论规则. （10）构造性二难推理规则 ）构造性二难推理规则. （11）合取引入规则 ）合取引入规则. 规则. （12）UI规则 ） 规则 （13）UG规则 规则. ） 规则 规则. （14）EI规则 ） 规则 规则. （15）EG规则 ） 规则 F 中的推理过程类似命题演算自然推理系统 P.
∀x(F( x) →G( x)) F(c) →G(c) ∃xF( x) F(c)
前提引入 ①UI规则 规则 前提引入 ③EI规则 规则
5一阶逻辑等值演算与推理
(1)置换规则 置换规则 是含公式A的命题公式 是用公式B 设φ(A)是含公式 的命题公式, φ(B)是用公式 是含公式 的命题公式, 是用公式 置换了中所有A后得到的命题公式 后得到的命题公式, 置换了中所有 后得到的命题公式,若AB , 则φ(A) φ(B) . 注意:命题公式中的置换规则是本规则的特例. 注意:命题公式中的置换规则是本规则的特例.
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5.2一阶逻辑前束范式 一阶逻辑前束范式
《定义》一个公式,如果量词均非否定的放在全式 定义》一个公式, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾,则 称此公式叫前束范式. 称此公式叫前束范式. 前束范式) xyz( Q(x,y)∨ R(z)) (前束范式 ∨ 前束范式 定理5.1 任何一个一阶逻辑公式均存在一个与它等 定理 值的前束范式. 值的前束范式. 利用量词否定等值式把深入到原子公式前 深入到原子公式前. ①利用量词否定等值式把 深入到原子公式前. 利用约束变元的换名规则. ②利用约束变元的换名规则. ③利用量词辖域的扩张收缩律把量词移到全式的最 前面. 前面.
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5.3 一阶逻辑的推理理论
规则). (1)全称消去规则(UI规则). )全称消去规则( 规则 xA(x) A(y) ,xA(x) A(c) , 成立条件是: 成立条件是: 第一式中,取代x的y应为任意的不在 应为任意的不在A(x)中 第一式中,取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变元. 约束出现的个体变元. 在第二式中, 为任意的不在 为任意的不在A(x)中出现过的 在第二式中,c为任意的不在 中出现过的 个体变元. 个体变元. 去取代A(x)中的自由出现的 时,一定 中的自由出现的x时 用y或c去取代 或 去取代 中的自由出现的 要在x自由出现的一切地方进行取代 自由出现的一切地方进行取代. 要在 自由出现的一切地方进行取代.
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5.2一阶逻辑前束范式 一阶逻辑前束范式
《定义》一个公式,如果量词均非否定的放在全式 定义》一个公式, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾,则 称此公式叫前束范式. 称此公式叫前束范式. 前束范式) xyz( Q(x,y)∨ R(z)) (前束范式 ∨ 前束范式 定理5.1 任何一个一阶逻辑公式均存在一个与它等 定理 值的前束范式. 值的前束范式. 利用量词否定等值式把深入到原子公式前 深入到原子公式前. ①利用量词否定等值式把 深入到原子公式前. 利用约束变元的换名规则. ②利用约束变元的换名规则. ③利用量词辖域的扩张收缩律把量词移到全式的最 前面. 前面.
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5.3 一阶逻辑的推理理论
规则). (1)全称消去规则(UI规则). )全称消去规则( 规则 xA(x) A(y) ,xA(x) A(c) , 成立条件是: 成立条件是: 第一式中,取代x的y应为任意的不在 应为任意的不在A(x)中 第一式中,取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变元. 约束出现的个体变元. 在第二式中, 为任意的不在 为任意的不在A(x)中出现过的 在第二式中,c为任意的不在 中出现过的 个体变元. 个体变元. 去取代A(x)中的自由出现的 时,一定 中的自由出现的x时 用y或c去取代 或 去取代 中的自由出现的 要在x自由出现的一切地方进行取代 自由出现的一切地方进行取代. 要在 自由出现的一切地方进行取代.
一阶逻辑等值演算与ppt课件
取解释I：个体域为自然数集合N；
〔1〕取F〔x〕：x是奇数，替代A〔x〕； 取G〔x〕：x是偶数，替代B〔x〕。
那么x〔F〔x〕∨G〔x〕〕为真命题，
而xF〔x〕∨ xG〔x〕为假命题。
两边不等值。
;
例5.2
证 明
〔2〕x〔A〔x〕∧B〔x〕〕 <≠> xA〔x〕∧xB〔
x〕
x〔F〔x〕∧G〔x〕〕：有些x既是奇数又是偶数为 假命题；
〔x〕〕 〔2〕┐x〔F〔x〕→G〔x〕〕 x〔F〔x〕∧┐G
〔x〕〕 〔3〕┐xy〔F〔x〕∧G〔y〕→H〔x，y〕〕
xy〔F〔x〕∧G〔y〕∧┐H〔x,y〕〕 〔4〕┐xy〔F〔x〕∧G〔y〕∧L〔x，y〕〕
xy〔F〔x〕∧G〔y〕→┐L〔x,y〕〕
;
例5.5的证明
〔1〕 ┐x〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x〔M〔x〕→┐F 〔x〕〕 ┐x〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x┐〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x〔┐M〔x〕∨┐F〔x〕〕 x〔M〔x〕→┐F〔x〕〕
而xF〔x〕∧xG〔x〕：有些x是奇数并且有些x是 偶数为真命题。
两边不等值。
阐明 全称量词“〞对“∨〞无分配律。 存在量词“〞对“∧〞无分配律。
当B〔x〕换成没有x呈现的B时，那么有
x〔A〔x〕∨B〕 xA〔x〕∨B
x〔A〔x〕∧B〕 xA〔x〕∧B
;
例5.3—消去量词
例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}，将下面各公式的量词消去：
〔双
〔2〕F〔x〕→G〔y〕 ┐F〔x〕∨G〔y〕 〔蕴 涵等值式〕
〔3〕x〔F〔x〕→G〔y〕〕→ zH〔z〕
┐〔x〔F〔x〕→G〔y〕〕∨zH〔z〕
〔蕴涵等值式〕
;
消去量词等值式
〔1〕取F〔x〕：x是奇数，替代A〔x〕； 取G〔x〕：x是偶数，替代B〔x〕。
那么x〔F〔x〕∨G〔x〕〕为真命题，
而xF〔x〕∨ xG〔x〕为假命题。
两边不等值。
;
例5.2
证 明
〔2〕x〔A〔x〕∧B〔x〕〕 <≠> xA〔x〕∧xB〔
x〕
x〔F〔x〕∧G〔x〕〕：有些x既是奇数又是偶数为 假命题；
〔x〕〕 〔2〕┐x〔F〔x〕→G〔x〕〕 x〔F〔x〕∧┐G
〔x〕〕 〔3〕┐xy〔F〔x〕∧G〔y〕→H〔x，y〕〕
xy〔F〔x〕∧G〔y〕∧┐H〔x,y〕〕 〔4〕┐xy〔F〔x〕∧G〔y〕∧L〔x，y〕〕
xy〔F〔x〕∧G〔y〕→┐L〔x,y〕〕
;
例5.5的证明
〔1〕 ┐x〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x〔M〔x〕→┐F 〔x〕〕 ┐x〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x┐〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x〔┐M〔x〕∨┐F〔x〕〕 x〔M〔x〕→┐F〔x〕〕
而xF〔x〕∧xG〔x〕：有些x是奇数并且有些x是 偶数为真命题。
两边不等值。
阐明 全称量词“〞对“∨〞无分配律。 存在量词“〞对“∧〞无分配律。
当B〔x〕换成没有x呈现的B时，那么有
x〔A〔x〕∨B〕 xA〔x〕∨B
x〔A〔x〕∧B〕 xA〔x〕∧B
;
例5.3—消去量词
例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}，将下面各公式的量词消去：
〔双
〔2〕F〔x〕→G〔y〕 ┐F〔x〕∨G〔y〕 〔蕴 涵等值式〕
〔3〕x〔F〔x〕→G〔y〕〕→ zH〔z〕
┐〔x〔F〔x〕→G〔y〕〕∨zH〔z〕
〔蕴涵等值式〕
;
消去量词等值式
离散数学课件-5-一阶逻辑等值演算与推理
离散数学课件-5-一阶逻辑等值演算与推理第五章一阶逻辑等值演算与推理§1 一阶逻辑等值式与置换规则定义：A，B两个谓词公式，若A?B是永真式，则称A与B是等值的，记为A?B。
常用等值式：第一组：命题逻辑中常用等值式的代换实例第二组：一阶逻辑中的特有等值式1．消去量词当D={a1, a2,…, a n}时，有①?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)②?xA(x)?A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n)2．量词否定①??xA(x)??x?A(x)②﹁?xA(x)??x?A(x)3．辖域收缩与扩张①?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B②?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B③?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B④?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B4．量词分配①?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x)②?x(A(x)∨B(x))??xA(x)∨?xB(x)演算规则：1．置换规则：φ(A)：含A的谓词公式φ(B)：用公式B替换φ(A)中所有A之后的公式若A?B，则φ(A)?φ(B)。
2．换名规则：设A是谓词公式，把A中某指导变元对应的全部约束出现替换为A中未出现过的符号，而A中其余部分不变，设所得谓词公式为A′，则A?A′。
3．代替规则设A是谓词公式，把A中某个体变项的全部自由出现替换为A中未出现过的符号，而A中其余部分不变，设所得公式为A′，则A?A′。
例①?xF(x,y,z)→?yG(x,y,z)sF(s,y,z)→?tG(x,t,z) 换名②?x(F(x,y)→?yG(x,y,z))x(F(x,t)→?yG(s,y,z)) 代替例给定解释I：D I ={2,3}，a：2，b：3G(x,y)：G(a, a)=G(a, b)=G(b, a)=1，G(b, b)=0F(x)：F(a)=0，F(b)=1① ?x(F(x)∧G(x,a))(F(a)∧G(a,a))∧(F(b)∧G(b,a))?(0∧1)∧(1∧1)? 0② ?x?yG(x,y)x(G(x,a)∧G(x,b))(G(a,a)∧G(a,b))∨(G(b,a)∧G(b,b))(1∧1)∨(1∧0)1例证明：﹁?x(F(x)→G(x))??x(F(x)∧﹁G(x)) 解：﹁?x(F(x)→G(x))﹁?x(﹁F(x)∨G(x))x﹁(﹁F(x)∨(G(x)x(F(x)∧﹁G(x))§2 前束范式定义：设A是谓词公式，若A有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B其中Q i(1≤i≤k)为?或?，B为不含量词的公式，则称A为前束范式。
一阶逻辑等值演算与推理
例： (x)(y)(z)(Q( x, y) R(z)), (y)(x)(Q( x, y) R( y))
方法：利用换名规则及代替规则求前束范式
例:求下列公式的前束范式. １、(x)P( x) (x)Q( x)
解：原式 xP(x) xQ(x)
x(P(x) Q(x))
要求： 深刻理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们 熟练地使用置换规则、换名规则、代替规则 准确地求出给定公式的前束范式 正确地使用UI, UG, EG, EI规则，特别要注意它们之
间的关系 对给定的推理，正确地构造出它的证明
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
一、量词否定等值式
例：设P(x)：X今天去过操场 （1）不是所有人今天去过操场
根据上式亦有：
x(A(x) B(x)) x(A(x)) x(B(x))
x(A(x) B(x)) (xA(x) xB(x))
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
四、多个量词的使用
xyA(x,y) yxA(x,y) xyA(x,y) yxA(x,y)
即((x)A(x) (x)B(x)) (x)(A(x) B(x)) 故有：
(x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
(x)A(x) (x)B(x) (x)(A(x) B(x)) (x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
下列推理是否严密？
(1) (x)((y)(S( x, y) M( y) (z)(P(z) R( x, z)))) P
(2) (y)(S(b, y) M( y) (z)(P(z) R(b, z))) US(1)
(3) (z)P(z)
方法：利用换名规则及代替规则求前束范式
例:求下列公式的前束范式. １、(x)P( x) (x)Q( x)
解：原式 xP(x) xQ(x)
x(P(x) Q(x))
要求： 深刻理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们 熟练地使用置换规则、换名规则、代替规则 准确地求出给定公式的前束范式 正确地使用UI, UG, EG, EI规则，特别要注意它们之
间的关系 对给定的推理，正确地构造出它的证明
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
一、量词否定等值式
例：设P(x)：X今天去过操场 （1）不是所有人今天去过操场
根据上式亦有：
x(A(x) B(x)) x(A(x)) x(B(x))
x(A(x) B(x)) (xA(x) xB(x))
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
四、多个量词的使用
xyA(x,y) yxA(x,y) xyA(x,y) yxA(x,y)
即((x)A(x) (x)B(x)) (x)(A(x) B(x)) 故有：
(x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
(x)A(x) (x)B(x) (x)(A(x) B(x)) (x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
下列推理是否严密？
(1) (x)((y)(S( x, y) M( y) (z)(P(z) R( x, z)))) P
(2) (y)(S(b, y) M( y) (z)(P(z) R(b, z))) US(1)
(3) (z)P(z)
第五章_一阶逻辑等值演算与推理
形式系统中构造证明的证明方法
推理定律
推理定律的定义 在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理 定律。 若一个推理的形式结构是推理定律，则 这个推理是正确的。
3大组推理定律
第一大组推理定律
命题逻辑推理定律的代换实例
化简律； 附加律。
第二大组推理定律
由基本等值式生成的推理定律
上一节给出的两组等值式中的每个等值式可生 成两个推理定律。
成立条件: (1) x, y是个体变项符号，c是个体常项符号; (2) 在A中, x不在 y和 y的辖域内自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (2)
全称量词引入规则 ( +)
成立条件: (1) x为个体变项符号, 且不在推理前提中的任 何公式中自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (3)
（练习）
换名规则 代替规则
例5.2. 证明
基本思路（等值演算） (1) 证明等价式是否为永真式; (2) 取任一解释证明即可。
例5.2（续）
量词一般无分配律
但当B(x)换成没有x出现的B时，则有
量词辖域收缩与扩张等值式
例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}， 将下面各公式的量词消去
5.1. 一阶逻辑等值式 与置换规则
定义5.1（一阶逻辑等值式的概念） 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 A B是永真式，则称A与B是等值的。 记做A B，称A B是等值式。
基本等值式
来自于代换实例 来自于量词处理
第一组基本等值式
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶 逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给 出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
换名规则
推理定律
推理定律的定义 在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理 定律。 若一个推理的形式结构是推理定律，则 这个推理是正确的。
3大组推理定律
第一大组推理定律
命题逻辑推理定律的代换实例
化简律； 附加律。
第二大组推理定律
由基本等值式生成的推理定律
上一节给出的两组等值式中的每个等值式可生 成两个推理定律。
成立条件: (1) x, y是个体变项符号，c是个体常项符号; (2) 在A中, x不在 y和 y的辖域内自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (2)
全称量词引入规则 ( +)
成立条件: (1) x为个体变项符号, 且不在推理前提中的任 何公式中自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (3)
（练习）
换名规则 代替规则
例5.2. 证明
基本思路（等值演算） (1) 证明等价式是否为永真式; (2) 取任一解释证明即可。
例5.2（续）
量词一般无分配律
但当B(x)换成没有x出现的B时，则有
量词辖域收缩与扩张等值式
例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}， 将下面各公式的量词消去
5.1. 一阶逻辑等值式 与置换规则
定义5.1（一阶逻辑等值式的概念） 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 A B是永真式，则称A与B是等值的。 记做A B，称A B是等值式。
基本等值式
来自于代换实例 来自于量词处理
第一组基本等值式
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶 逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给 出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
换名规则
阶逻辑等值式与置换规则
G（x，y）为：G（2，2）= G（2，3）= G（3，2）=1， G（3，3）=0。
L（x，y）为：L（2，2）= L（3，3）=1， L（2，3）= L（3，2）=0。
F（x）为：F（2）=0，F（3）=1。 在I下求下列各式的真值。 （1）x（ F（x）∧ G（x，a）） （2）x（ F（f（x））∧ G（x，f（x））） （3）x y L（x，y） （4）y x L（x，y）
（L（2，2）∧L（3，2））∨
（L（2，3）∧L（3，3））
（1∧0）∨（0∧1）
0
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12
例 证明下列各等值式。 （1）┐x（ M（x）∧F（x））
x（ M（x）→┐F（x）） （2）┐x（ F（x）→G（x））
x（ F（x）∧┐G（x）） （3）┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y））
（2）┐x（F（x）→G（x））x（F（x）∧┐G（x）） ┐x（F（x）→G（x））
x ┐（F（x）→G（x）） x ┐（┐F（x）∨G（x）） x（F（x）∧┐G（x））
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14
（3）┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））
第五章 一阶逻辑等值演算与推理 5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
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1
定义5.1（等值式） 设A，B是一阶逻辑中任意两 个公式，若AB是永真式，则称A和B是等值的，记作 AB，称AB是等值式。
下面给出一阶逻辑中的一些基本而重要的等值式：
由于命题逻辑的重言式的代换实例都是一阶逻辑的 永真式，所以命题逻辑中24个等值式模式（p.24）给出 的代换实例都是一阶逻辑的等值式模式。
x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y）） （4）┐x y（ F（x）∧G（y）∧L（x，y））
L（x，y）为：L（2，2）= L（3，3）=1， L（2，3）= L（3，2）=0。
F（x）为：F（2）=0，F（3）=1。 在I下求下列各式的真值。 （1）x（ F（x）∧ G（x，a）） （2）x（ F（f（x））∧ G（x，f（x））） （3）x y L（x，y） （4）y x L（x，y）
（L（2，2）∧L（3，2））∨
（L（2，3）∧L（3，3））
（1∧0）∨（0∧1）
0
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12
例 证明下列各等值式。 （1）┐x（ M（x）∧F（x））
x（ M（x）→┐F（x）） （2）┐x（ F（x）→G（x））
x（ F（x）∧┐G（x）） （3）┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y））
（2）┐x（F（x）→G（x））x（F（x）∧┐G（x）） ┐x（F（x）→G（x））
x ┐（F（x）→G（x）） x ┐（┐F（x）∨G（x）） x（F（x）∧┐G（x））
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（3）┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））
第五章 一阶逻辑等值演算与推理 5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
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1
定义5.1（等值式） 设A，B是一阶逻辑中任意两 个公式，若AB是永真式，则称A和B是等值的，记作 AB，称AB是等值式。
下面给出一阶逻辑中的一些基本而重要的等值式：
由于命题逻辑的重言式的代换实例都是一阶逻辑的 永真式，所以命题逻辑中24个等值式模式（p.24）给出 的代换实例都是一阶逻辑的等值式模式。
x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y）） （4）┐x y（ F（x）∧G（y）∧L（x，y））
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21
重要提示
要特别注意使用-、+、-、+规则的条件. 反例1. 对A=xyF(x,y)使用-规则, 推得B=yF(y,y). F ( x, y) : x y 取解释I: 个体域为R, 在I下A被解释为xy(x>y), 真; 而B被解释为y(y>y), 假 原因: 在A中x自由出现在y的辖域F(x,y)内 反例2. 前提: P(x)Q(x), P(x) 结论: xQ(x) 取解释I: 个体域为Z, P ( x ) : x是偶数, Q ( x ) : x被 2整除 在I下前提为真, 结论为假, 从而推理不正确
12
前束范式存在定理
定理5.1（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。 例4 求下列公式的前束范式 (1) x(M(x)F(x)) 解 x(M(x)F(x)) x(M(x)F(x)) （量词否定等值式） x(M(x)F(x)) 后两步结果都是前束范式，说明公式的前束范 式 13 不惟一.
2
基本等值式
(2) 量词否定等值式 ① xA(x) xA(x) ② xA(x) xA(x) (3) 量词辖域收缩与扩张等值式 A(x) 是含 x 自由出现的公式，B 中不含 x 的自由 出现. 关于全称量词的： ① x(A(x)B) xA(x)B ② x(A(x)B) xA(x)B ③ x(A(x)B) xA(x)B 3 ④ x(BA(x)) BxA(x)
10
辖域缩小等值式
x(F(x)G(a)G(b)G(c))
实例
(2) xyF(x,y) xyF(x,y)
x(F(x,a)F(x,b)F(x,c))
(F(a,a)F(a,b)F(a,c)) (F(b,a)F(b,b)F(b,c)) (F(c,a)F(c,b)F(c,c))
xA( x ) A( c )
该式成立的条件是： (1)c是使A为真的特定的个体常项. (2)c不在A(x)中出现. (3)若A(x)中除自由出现的x外，还有其他自 由出现的个体变项，此规则不能使用.
20
量词引入规则
4. 存在量词引入规则(+或简称EG规则)
A(c) xA(x)
该式成立的条件是： (1)c是使A为真的特定个体常项. (2)取代c的x不能在A(c)中出现过.
解 设F(x):x是无理数, G(x):x是有理数, H(x):x能表 示成分数. 前提: x(F(x)H(x)), x(G(x)H(x)) 结论: x(G(x)F(x))
28
构造推理证明的实例
证明: ① x(F(x)H(x)) ② x(F(x)H(x)) ③ x(F(x)H(x)) ④ F(x)H(x) ⑤ x(G(x)H(x)) ⑥ G(x)H(x) ⑦ H(x)F(x) ⑧ G(x)F(x) ⑨ x(G(x)F(x))
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
主要内容:
一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式 自然推理系统NL 及其推理规则
1
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
定义5.1 设A, B是两个谓词公式, 如果AB是永真式, 则称A与B等值, 记作AB, 并称AB是等值式。 基本等值式: 第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换实例 例如，xF(x)xF(x), xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) 等 第二组 (1) 消去量词等值式 设D ={a1, a2, … , an} ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an)
量词否定等值式 置换 置换
7
实例
例2 将公式化成等值的不含既有约束出现、又有自 由出现的个体变项: x(F(x,y,z)yG(x,y,z)) 解 x(F(x,y,z)yG(x,y,z))
x(F(x,y,z)tG(x,t,z))
xt(F(x,y,z)G(x,t,z)) 或者 x(F(x,y,z)yG(x,y,z))
22
反例2(续)
“证明”: ① P(x)Q(x) ② P(x) ③ Q(x) ④ xQ(x)
前提引入 前提引入 ①②假言推理 ③+
错误原因: 在④使用+规则, 而x在前提的公式中自 由出现.
23
自然推理系统NL
定义5.3 自然推理系统NL 定义如下: 1. 字母表. 同一阶语言L 的字母表 2. 合式公式. 同L 的合式公式 3. 推理规则: (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则 (7) 拒取式规则
基本等值式
关于存在量词的： ① x(A(x)B) xA(x)B ② x(A(x)B) xA(x)B ③ x(A(x)B) xA(x)B ④ x(BA(x)) BxA(x) (4) 量词分配等值式 ① x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x) ② x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x) 注意：对，对无分配律
量词否定等值式 换名规则 辖域收缩扩张规则
14
求前束范式的实例
(3) xF(x)y(G(x,y)H(y))
解 xF(x)y(G(x,y)H(y)) zF(z)y(G(x,y)H(y)) 换名规则 zy(F(z)(G(x,y)H(y))) 辖域收缩扩张规则 或 xF(x)y(G(z,y)H(y)) 代替规则 xy(F(x)(G(z,y)H(y)))
24
自然推理系统NL
(8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10) 构造性二难推理规则 (11) 合取引入规则 (12) -规则 (13) +规则 (14) -规则 (15) +规则
推理的证明
25
构造推理证明的实例
例5 在自然推理系统NL 中构造下面推理的证明, 取 个 体域R:任何自然数都是整数. 存在自然数. 所以, 存 在 解 设F(x):x是自然数, G(x):x是整数. 整数. 前提: x(F(x)G(x)), xF(x) 结论: xG(x)
量词否定等值式 置换
置换
6
实例
(2) 不是所有的人都爱看电影
解 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
((F(a)G(a))(F(a)G(b))(F(a)G(c)))
((F(b)G(a))(F(b)G(b))(F(b)G(c)))
((F(c)G(a))(F(c)G(b))(F(c)G(c)))
9
实例
解法二
xy(F(x)G(y))
x(F(x)yG(y)) (F(a)G(a)G(b)G(c)) (F(b)G(a)G(b)G(c)) (F(c)G(a)G(b)G(c))
15
5.3 一阶逻辑的推论理论
推理的形式结构： 1. A1A2Ak B 若此式是永真式, 则称推理正确, 记作 A1A2Ak B 2. 前提: A1, A2,, Ak 结论: B
推理定理: 永真式的蕴涵式
16
推理定理
第一组 命题逻辑推理定理的代换实例 如, xF(x)yG(y) xF(x) 第二组 基本等值式生成的推理定理 如, xF(x) xF(x), xF(x) xF(x) xF(x)xF(x), xF(x) xF(x) 第三组 其他常用推理定律 (1) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)) (2) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) (3) x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x) (4) x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)
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置换规则、换名规则、代替规则
1. 置换规则 设(A)是含A的公式, 那么, 若AB, 则(A)(B). 2. 换名规则 设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所 有约束出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾 出现过的个体变项符号，其余部分不变，设所得公式 为A，则AA. 3. 代替规则 设A为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出 现用A中未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分 5 不变，设所得公式为A，则AA.
求前束范式的实例
(2) xF(x)xG(x)
解 xF(x)xG(x) xF(x)xG(x) x(F(x)G(x)) 或 xF(x)xG(x) xF(x)xG(x) xF(x)yG(y) xy(F(x)G(y))
（量词否定等值式）命题用两种形式符号化, 并证明两者等值: (1) 没有不犯错误的人 解 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
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全称量词消去规则
1. 全称量词消去规则(-或简称UI规则)
xA(x) A(y)
或
xA(x) A(c)
两式成立的条件是： (1)在第一式中，取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变项(或者说在A中x不在y和y的 辖域内自由出现). (2)在第二式中，c为任意个体常项. (3)用y或c去取代A(x)中的自由出现的x时，一定 要在x自由出现的一切地方进行取代.
换名规则
辖域扩张等值式
x(F(x,u,z)yG(x,y,z))
xy(F(x,u,z)G(x,y,z))
代替规则
辖域扩张等值式
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实例
例3 设个体域D={a,b,c}, 消去下述公式中的量词: (1) xy(F(x)G(y)) 解 xy(F(x)G(y))
y(F(a)G(y)))(y(F(b)G(y)))(y(F(c)G(y)))
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构造推理证明的实例
证明: ① x(F(x)G(x)) ② F(x)G(x) ③ F(x)xG(x) ④ xF(x)xG(x) ⑤ xF(x) ⑥ xG(x)