形如二次三项式的因式分解之例题
二次三项式的因式分解
二次三项式在实数范围内
1) 能分解 2) 不能分解
△≥０ △＜０
3) 能分解成相同的两个因式 △＝０
用合适的方法将下列二次三项式因式分解
2x2 - 10x + 12
提取各项系数的最大公约数
解：原式 = 2(x2 - 5x + 6)
= 2(x - 2)(x - 3)
2x2 8x 6
解： 方程2x2 - 8x- 6 = 0的解是x1 = 2+ 7, x2 = 2- 7
即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
把下列各式分解因式 :
x2 - 2x- 2
解：对于方程 x2 - 2x - 2 = 0 ，b2 - 4ac = 12
这两方程的实数根是 x1 = 1- 3, x2 = 1+ 3
∴ x2 - 2x- 2 = (x- 1+ 3)(x- 1- 3)
用合适的方法将下列二次三项式因式分解
a[x2 (x1 x2 )x x1x2 ] a(x x1)(x x2)
开启 智慧 二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0),只要用公式
法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),的两个根x1,x2,然后直 接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.
将下列二次三项式因式分解
(1)x2 x 2
(2) - x2 + 3x - 2 (3)4x2 + 4x + 1
(4)x2 - 2x - 2
答案：
17.4二次三项式的因式分解--求根公式法
5
5
当m为何值时，二次三项式2x2 + 6x – m （默8）
（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解； （3）能分解成两个相同的因式
B组
（1）在实数范围内分解因式 3x2 4xy y2为
（ 3 x 2 7 y)( x 2 7 y)
3
3
破题思路
由△= [(2k 1)]2 41 (k 2 5) 4k 19 0
该方程的实数根是
x1
3 4
17
3 17 x2 4
=
2 (x 3
4
17 )(x 3 4
17 )
例题1 分解因式：
（2）
小试牛刀
(1)解: 对于方程 4x2 8x 1 0 b2 4ac 82 4 41 80 0
该方程的实数根是
x1
2. 选择题
k 19 4
K的值为 （ B ）
A、 19 4
B、19
C、2
4
D、 2
小结
1. 对于不易用以前学过的方法：x2 (a b)x ab (x a)( x b)
分解二次三项式 ax2 bx c 宜用一元二次方程的
（2）第二步：求出方程①的两个根x1, x2;
（3）因式分解 ax2 bx c a(x x1)( x x2 )
课堂练习
A组
1. 填空题
（1）若方程ax2 bx c 0的两根为 x1, x2,则ax2 bx c分解为
a(x x1)( x x2 )
（2）分解因式： x2 20x 96 = (x 8)(x 12)
2
二次三项式的因式分解
二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解一、二次因式分解二次因式分解是指将一个二次多项式分解成两个一次因式相乘的形式，其步骤如下：1.判断该二次多项式是否可因式分解2.求出该二次多项式的根或配方法3.将该二次多项式分解成两个一次因式相乘的形式例如，对于二次多项式x2+2x+1，其根为x=-1，因此其因式分解形式为(x+1)(x+1)或(x+1)2。
二、三项式因式分解三项式因式分解是指将一个三次多项式分解成一个一次因式和一个二次因式相乘的形式，其步骤如下：1.判断该三次多项式是否可因式分解2.求出该三次多项式的一次因式3.用因式分解法（凑因式法、配方法、取出公因式法等）将该三次多项式分解成一个一次因式和一个二次因式相乘的形式例如，对于三次多项式x3+3x2+3x+1，其一次因式为x+1，因此可以用“提公因式”的方式将其分解成(x+1)(x2+2x+1)或(x+1)(x+1)2的形式。
三、各类公式的因式分解1.完全平方公式完全平方公式是指在二次多项式中出现的a2+2ab+b2的形式，其因式分解形式为(a+b)2。
例如，对于二次多项式x2+4x+4，其可以通过观察得到a=1，b=2，因此其因式分解形式为(x+2)2。
2.差平方公式差平方公式是指在二次多项式中出现的a2-b2的形式，其因式分解形式为(a+b)(a-b)。
例如，对于二次多项式x2-4，其可以通过观察得到a=1，b=2，因此其因式分解形式为(x+2)(x-2)。
3.二次三项式公式二次三项式公式是指在三次多项式中出现的a3+b3或a3-b3的形式，其因式分解形式为(a+b)(a2-ab+b2)或(a-b)(a2+ab+b2)。
例如，对于三次多项式x3+1，其可以通过观察得到a=x，b=1，因此其因式分解形式为(x+1)(x2-x+1)。
以上就是二次三项式的因式分解的相关知识点，希望能对您有所帮助。
中考数学“因式分解”典例及巩固训练
中考数学“因式分解”典例及巩固训练（1）一、典型例题例1、（2017•广东省）分解因式：a 2+a = ．解：答案为a (a+1)例2、（2019•黄冈市）分解因式3x 2﹣27y 2＝ ． 解：原式＝3（x 2﹣9y 2）＝3（x +3y ）（x ﹣3y ），故答案为：3（x +3y ）（x ﹣3y ）例3、因式分解：221222x xy y ++. 解：22221122(44)22x xy y x xy y ++=++21(2)2x y =+．二、巩固训练1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=(x ﹣1)2B ．(a +b )(a ﹣b )=a 2﹣b 2C ．x 2+4x +4=(x +2)2D ．ax 2﹣a =a (x 2﹣1)2．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是( )A ．224x y +B ．224x y -+C ．224x y --D ．324x y -3. 下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为( )①21025x x -+：②2441a a +-；③221x x --；④214m m -+-；⑤42144x x -+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．如果代数式2425x kx ++能够分解成2(25)x -的形式，那么k 的值是( )A ．10B ．20-C ．10±D ．20±5. 分解因式：（1）a 2b ﹣abc = ．（2）3a (x ﹣y )﹣5b (y ﹣x )= ．6．分解因式：4a 2﹣4a +1= ．7．分解因式：2a 2﹣4a +2= ．8．（2017•广州市）分解因式：xy 2﹣9x = ．9.分解因式：x 6﹣x 2y 4= ．10．（2018•黄冈市）因式分解：x 3﹣9x = ．11．（2018•葫芦岛市）分解因式：2a 3﹣8a = ．12．因式分解： （1）2218x -； （2）224129a ab b -+； （3）3221218x x x -+；13．（2019·河池市）分解因式：2(1)2(5)x x -+-．14．分解因式：4224816x x y y -+．15.分解因式：（1）22()+x y x y -- ； （2）22()()a x y b x y ---； （3）229()()m n m n +--.★★★★1.阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =-+（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x ++++进行因式分解．2．【阅读材料】对于二次三项式222a ab b ++可以直接分解为2()a b +的形式，但对于二次三项式2228a ab b +-，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式2228a ab b +-中先加上一项2b ，使其成为完全平方式，再减去2b 这项，（这里也可把28b -拆成2b +与29b -的和），使整个式子的值不变．于是有：2228a ab b +-222228a ab b b b =+-+-2222(2)8a ab b b b =++--22()9a b b =+-[()3][()3]a b b a b b =+++-(4)(2)a b a b =+-我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆)项法．【应用材料】（1）上式中添（拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①268m m ++；②4224a a b b ++★★★★★1．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A 类、C 类正方形卡片和B 类长方形卡片．用若干张A 类、B 类、C 类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2223(2)()a ab b a b a b ++=++．（1）如图3，用1张A 类正方形卡片、4张B 类长方形卡片、3张C 类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为 ；（2）若解释因式分解2234()(3)a ab b a b a b ++=++，需取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；（3）若取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面题1图积为22++，则m的值为，将此多项式分解因式5a mab b为．巩固训练参考答案1．C2．B3. B4．B5. （1） ab (a ﹣c) ． （2）(3a+5b )(x ﹣y ) ．6．（2a ﹣1）2．7．2(a ﹣1)2．8．x (y +3)(y ﹣3)．9. x 2(x 2+y 2)(x +y )(x ﹣y ) ．10．x (x +3)(x ﹣3)．11．2a (a +2)(a -2)．12．解：（1）；（2）；（3）原式．13．解：原式．14．解：原式．15.解：（1）原式=；（2）原式；（3）原式．★★★★1.解：（1）故选：；2218x -22(9)x =-2(3)(3)x x =+-224129a ab b -+22(2)12(3)a ab b =-+2(23)a b =-222(69)2(3)x x x x x =-+=-221210x x x =-++-29x =-(3)(3)x x =+-22(4)x y =-22(2)(2)(2)x y x y x y =+-+22())(x y x y ---)[2(1])(x y x y =---)(22(1)x y x y =---22()()x y a b =--()()()x y a b a b =-+-22[3()]()m n m n =+--(33)(33)m n m n m n m n =++-+-+4(2)(2)m n m n =++C（2），设，原式，，，，；故答案为：；（3）设，原式，，，，．2．解：（1）上式中添（拆项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式． 故答案为：公式；（2）①；②．22(41)(47)9x x x x -+-++24x x y -=(1)(7)9y y =+++2816y y =++2(4)y =+22(44)x x =-+4(2)x =-4(2)x -22x x y +=(2)1y y =++221y y =++2(1)y =+22(21)x x =++4(1)x =+)268m m ++2691m m =++-22(3)1m =+-(31)(31)m m =+++-(4)(2)m m =++4224a a b b ++4224222a a b b a b =++-2222()()a b ab =+-2222()()a b ab a b ab =+++-★★★★★1．解：（1）由图可得，，故答案为：；（2）如右图所示；（3）由题意可得，，，故答案为：6，．2243()(3)a ab b a b a b ++=++2243()(3)a ab b a b a b ++=++6m =2256(5)()a ab b a b a b ++=++(5)()a b a b ++中考数学“因式分解”典例及巩固训练（2）一、典型例题例1、因式分解：222a ab b ac bc ++++．解：原式22(2)()a ab b ac bc =++++2()()a b c a b =+++()()a b a b c =+++例2、用十字相乘法进行因式分解：232x x ++.解：原式(1)(2)x x =++．例3、在实数范围内进行分解因式：35x x -．解：原式2(5)x x =-(x x x =+-．二、巩固训练1．用分组分解法进行因式分解：（1）2221x y xy +--； （2）3223x x y xy y +--．2．（2017•百色市）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2﹣x ﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3)，验算：“交叉相乘之和”； 题2图1×3+2×(﹣1)=1 1×(﹣1)+2×3=5 1×(﹣3)+2×1=﹣1 1×1+2×(﹣3)=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(﹣3)+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1． 即：(x +1)(2x ﹣3)=2x 2﹣3x +2x ﹣3=2x 2﹣x ﹣3，则2x 2﹣x ﹣3=(x +1)(2x ﹣3)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2+5x ﹣12= ．3.用十字相乘法分解因式：（1）x 2+2x ﹣3= ．（2）x 2﹣4x +3= ．（3）22x x +-= .（4）2215a a --= .（5）4x 2+12x ﹣7= ．4．选择恰当的方法进行分解因式：（1）26x x --； （2）2363a a -+； （3）226a ab b --；（4）29(2)(2)a x y y x -+-； （5）2222a b a b --+；（6）34x x -；5．分解因式：（1）22430y y --； （2）224414a b b +--.6．在实数范围内将下列各式分解因式：（1）22363ax axy ay -+； （2）35x x -．7．在实数范围内分解因式：（1）9a 44b - 4； （2）x 22- 3+；（3）x 5﹣4x .★★★★1．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：223x x +-，解：原式22113x x =++--2(21)4x x =++-2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++- (3)(1)x x =+-上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式： （1）243x x -+； （2）24127x x +-．2．在实数范围内分解因式221x x --．3．因式分解是数学解题的一种重要工具，掌握不同因式分解的方法对数学解题有着重要的意义．我们常见的因式分解方法有：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等．在此，介绍一种方法叫“试根法”例：32331x x x -+-，当1x =时，整式的值为0，所以，多项式有因式(1)x -，设322331(1)(1)x x x x x ax -+-=-++，展开后可得2a =-，所以3223331(1)(21)(1)x x x x x x x -+-=--+=-根据上述引例，请你分解因式：（1）2231x x -+； （2）32331x x x +++．★★★★★1．请看下面的问题：把44x +分解因式．分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和222()2x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得：4422222222224444(2)4(2)(2)(22)(22)x x x x x x x x x x x x +=++-=+-=+-=++-+人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”. 请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解． （1）444x y +；（2）2222x ax b ab ---． 2．【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解呢？我们已经知道，2211221212211212122112()()()a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为1122()()a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即62(3)-=⨯-；然后把1，1，2，3-按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1(3)121⨯-+⨯=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为(2)(3)x x +-．题2图请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法” 分解因式：26x x +-= (3)(2)x x +- ．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2257x x +- ；（2）22672x xy y -+= ． 【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk qj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式2235294x xy y x y +-++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．（3）已知x ，y 为整数，且满足2232231x xy y x y ++++=-，请写出一组符合题意的x ，y 的值．巩固训练参考答案1．解：（1）．解：（2）原式． 2．(x +3)(3x ﹣4)． 3.（1）(x +3)(x -1) ． （2）(x ﹣1)(x ﹣3) ． （3） . （4） . （5）(2x +7)(2x ﹣1) ．4．解：（1）原式． （2）原式； （3）原式； （4）原式．（5）原式． （6）原式； 5．.解：（1）原式 ；（2）原式．6．解：（1）原式；2221x y xy +--2()1x y =--(1)(1)x y x y =-+--3223222()()()()()()x x y xy y x x y y x y x y x y =+-+=+-+=+-(2)(1)x x +-(5)(3)a a -+(2)(3)x x =+-23(21)a a =-+23(1)a =-(3)(2)a b a b =-+29(2)(2)a x y x y =---2(2)(91)x y a =--(2)(31)(31)x y a a =-+-()()2()()(2)a b a b a b a b a b =+---=-+-2(4)(2)(2)x x x x x =-=+-22(215)y y =--2(5)(3)y y =-+224(144)a b b =--+224(12)a b =--(221)(221)a b a b =+--+223(2)a x xy y =-+23()a x y =-（2）原式，．7．解：（1）原式； （2）原式．（3）原式=★★★★1．解：（1）（2）2．解：．3.解：（1）当时，整式的值为0，所以，多项式有因式， 于是； （2）当时，整式的值为0，多项式中有因式，2(5)x x =-(x x x =222222(32)(32)(32)a b a b a b =+-=++2(x =2(2)(x x x x +243x x -+24443x x =-+-+2(2)1x =--(21)(21)x x =-+--(1)(3)x x =--24127x x +-2412997x x =++--2(23)16x =+-(234)(234)x x =+++-(27)(21)x x =+-221x x --22111x x =-+--2(1)2x =--(11x x =---1x =(1)x -2231(1)(21)x x x x -+=--1x =-∴32331x x x +++(1)x +于是可设，，， ，，．★★★★★1．解：（1）原式； （2）原式． 2．解：【阅读与思考】分解因式：； 故答案为：； 【理解与应用】（1）； （2）；故答案为：（1）；（2）； 【探究与拓展】（1）分解因式； 故答案为：（2）∵关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积， 存在其中，，；而，，或，故的值为43或；（3），为整数，且满足，可以是，（答案不唯一）．32232331(1)()(1)()x x x x x mx n x m x n m x n +++=+++=++++-13m ∴+=3n m +=2m ∴=1n =3223331(1)(21)(1)x x x x x x x ∴+++=+++=+442222222222222444(2)4(22)(22)x y x y x y x y x y x y xy x y xy =++-=+-=+++-22222222()()()(2)x ax a a b ab x a a b x b x a b =-+---=--+=+--26(3)(2)x x x x +-=+-(3)(2)x x +-2257(1)(27)x x x x +-=-+22672(1)(27)x xy y x x -+=-+(1)(27)x x -+(1)(27)x x -+2235294(21)(34)x xy y x y x y x y +-++-=+--+(21)(34)x y x y +--+x y 22718524x xy y x my +--+-∴111⨯=9(2)18⨯-=-(8)324-⨯=-71(2)19=⨯-+⨯51(8)13-=⨯-+⨯271643m ∴=+=72678m =--=-m 78-x y 2232231x xy y x y ++++=-1x =-0y =。
二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．,【考点剖析】 题型一：两根与二次三项式因式分解关系 例1．若方程24210y y −−=的两个根是1y =，2y =，则在实数范围内分解因式2421y y −−=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解． 【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3−++−−x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122−=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式的分 解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,） A.2615x x +−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,, C.2224x x −−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y −+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac −=−⨯⨯=−< 故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562−+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422−−x x ,,,,,D.22542y xy x +−【答案】D ；【解析】,解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解. 故答案选D.【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +−；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x −−;,,,D.,22245x xy y −+.【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解. 故答案选D.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值） 【答案】5；【解析】解：当241640b ac m −=−<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等.题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解 例3.在实数范围内分解因式:241x x −−=______________【答案】(22x x −+−；【解析】解：原式=2445x x −+−=()222x −−=(22x x −−−.【变式1】在实数范围内分解因式：232x x −−＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【答案】x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭； 【解析】解：因为方程2320x x −−=的两根为x =，故232x x −−=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【变式2】在实数范围内分解因式：243x x −−=,____________________．【答案】(22x x −−；【解析】解：解方程x2-x-3=0，得x=2±则：x2-4x-3=(22x x −−+.【变式3】在实数范围内分解因式： （1）224x x −−；（2）223x xy y −−.【答案】（1）(11x x −−,,,,（2）3322x y x y ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y −−=，然后分解因式即可． 【详解】（1）原式=（x2﹣2x+1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1（x ﹣1；（2）∵2230x xy y −−=的解是x y =，∴原式=x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解 例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,B.,C.,2(x+)(x-)22D.,2(x-)(x-)22【答案】D ；【解析】解：令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=2(x x ．故选D ．【变式1】在实数范围内因式分解：222x x −−=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x −−=的解是1x =，214x =，所以222x x −−=2(x x【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x −−=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫−⋅+−− ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=221222x ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥−−⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11222x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛⎝⎭⎝⎭.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x −−=____．【答案】112()2222x x −−−+；【解析】解：2225x x −−=21112()42x x −+−=21112()22x −−=21112()24x ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦11=2(22x x −−，故答案为：112()()2222x x −−−+．【变式4】分解因式：2235a ab b −−.【答案】3a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; 【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆−⨯⨯−=≥，故方程22350a ab b −−=的两根为a ==，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围． 【答案】p≥﹣1且p≠0；【解析】解：∵二次三项式px2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解， ∴px2+2x ﹣1＝0有实数解， ∴△＝4+4p≥0，且p≠0， 解得：p≥﹣1且p≠0．【变式1】二次三项式2342x x k −+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【解析】（1）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解，则方程23420x x k −+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅−−=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k −+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅−−=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k −+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅−−=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解． 【变式2】阅读题：分解因式：223x x −−. 解：原式22113x x =++−−,,,,,,,,()2214x x =++−,,,,,,,,()214x =+− ,,,,,,,,()()1212x x =+++− ,,,,,,,,()()31x x =+−.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +−.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可． 【详解】()(224412122121a a a a a +−=+−=+++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.,此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）【答案】C【分析】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y −+21=0,y −再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()22442,x x x −+=−故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意；令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<,所以229y y −+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令21=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>,y ∴=,12y y ∴==,21=,y y y ⎛∴− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意； 故选：C【点睛】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A ．21x x −+ B ．21x mx −+ C ．21x mx −− D ．22x xy y −+【答案】C【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足240b ac ∆=−≥，分别进行判断即可；【详解】21x x −+的241430b ac −=−=−<，故A 错误；21x mx −+的2244b ac m −=−，可能大于0，也可能小于0，故B 错误； 21x mx −−的22440b ac m −=+>，故C 正确；22x xy y −+的22224430b ac y y y −=−=−≤，故D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键．3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ） A ．x 2﹣3x +2 B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 2【答案】B【分析】利用十字乘法把选项A ，C 分解因式，可判断A ，C ，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()()23212,x x x x -+=--Q ,故A 不符合题意；令22210,x x -+=,()2=242140,\--´´=-<V ,所以2221x x −+在实数范围内不能够因式分解，故B 符合题意；()()2222,x xy y x y x y --=+-Q ,故C 不符合题意；令2230,x xy y ++=,()22234150,y y y \=-´´=³V ,所以223x xy y ++在实数范围内能够因式分解，故D 不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.【答案】C【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x 的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．【详解】解：令22230x xy y −−=，解得1x y =，2x y =，所以22232()()x xy y x y x y −−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）【答案】C【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式24b ac ∆=−与0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式． 【详解】A 、()()24421240∆=−−⨯⨯−=>，B 、(()2416360∆=−−⨯⨯−=>，C 、()2245112160∆=−−⨯⨯=−<，D 、()()22442360∆=−−⨯⨯−=>，只有C 选项∆小于0,，即C 选项不能分解因式，故选：C ．【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键．【答案】B【分析】二次三项式能不能在实数范围内分解因式，关键是看判别式的范围．0∆≥，能分解因式；Δ0<，不能分解因式．【详解】解：A ：24b ac ∆=−，()21413=−−⨯⨯，112=−,，110=−<．23x x −+不能在实数范围内分解因式．故A 错．B ：24b ac ∆=−()21412m ⎛⎫=−−⨯⨯− ⎪⎝⎭220m =+＞． 212x mx −−能在实数范围内分解因式．故B 正确．C ：24b ac ∆=−，()2243−−=,，40−，223x −+不能在实数范围内分解因式．故C 错．D ：24b ac ∆=−，()()21412m =−−⨯⨯−，18m =+，m 的值不定，18m +的符号不确定，故不能判断22x x m −−能否在实数范围内分解因式．故D 不一定．故答案为：B ．【点睛】本题考查是在实数范围内分解因式，解题的关键是判别式的应用．二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +−=__________．【答案】3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【分析】求得方程23310x x +−=的两个根，即可求解．【详解】解：23310x x +−=3a =，3b =，1c =−，()249431210b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，x =，136x −=，236x −=23333666633133x x x x x x ⎛⎛+−=−=+ −+− ⎝⎭⎝−+⎝⎭⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了公式法求解一元二次方程，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________．【答案】)【分析】先把原式变形为()222522x xy y x +−+，可得到()2225x y x +−，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：223105x xy y ++22251205x xy y x +−=+()222252x xy y x +−=+()2252x y x +−=))22x y ⎤⎦−+=)=．故答案为：)【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x−−=_____．【答案】322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭【分析】令2330x x−−=，解得1x=，2x，把233x x−−写成因式分解的形式即可．【详解】解：令2330x x−−=，则1,3,3a b c==−=−，∵()()224341321b ac−=−−⨯⨯−=，∴x=，即1x=，2x=，则233xx x x⎛−−⎛⎝⎝=⎭⎭．故答案为：322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭．【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解，正确求解一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231−−=xx_________________．【答案】3x x⎛⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程2310x x−−=，求得方程的两个根，即可求解．【详解】解：2310x x−−=，∵3,,1,1a b c ==−=−，∴2411213b ac ∆=−=+=，∴x ，∴12x x =， ∴231−−=xx 3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．故答案为：3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x −−=_______．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】将237x x −−化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．【详解】解：237x x −−22337324x x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭ 233724x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭3322x x ⎛=−− ⎝⎭⎝⎭x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用． 12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．【答案】1−【分析】由二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，可得2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案．【详解】解：∵,二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，∴2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，∴0a ≠，23440a ∆=−⨯⨯≥，解得,916a ≤且0a ≠，所以a 的最大整数解为1−．故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键． 13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．【答案】3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为3105t t ++，令231050t t ++=，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为23105t t ++，令231050t t ++=，3a =，10b =，5c =t ==即1t=，2t=∴22310533x y xy xy xy xy xy ⎛⎛++== ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231xy xy −−=__________【答案】2xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−则2a =，3b =−，1c =−t===则1t =，2t =222312x y xy xy xy ⎛−−=⎝⎭⎝⎭故答案为：xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +−=_____．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】结合题意，当231022x x +−=时，通过求解一元二次方程，得 231022x x x x ⎛+−==⎝⎭⎝⎭，结合22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，即可得到 答案．【详解】解：2231231222x x x x ⎛⎫+−=+− ⎪⎝⎭， 当231022x x +−=时，得x ==，∴231022x x x x ⎛+−== ⎝⎭⎝⎭，∴23122x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，∴22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x −−=__．【答案】(11x x −−【详解】解:原式,()2215x x =−+−22(1)x =−−(11x x =−−故答案为：(11x x −+−【点睛】本题考查了因式分解，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x −−___________．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据公式法解22430x x −−=，得出22x =，再根据因式分解即可得出答案．【详解】解：由22430x x −−=，得：22x =，原式232222x x x x ⎛⎛⎫=−−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y −−=_____________.【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】先提取2，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．【详解】解：2226x xy y −−221232x xy y ⎛⎫ ⎪⎝=−⎭− 222291923424x xy y y y ⎛⎫− ⎪⎝=−−⎭+ 22311224x y y ⎡⎤⎛⎫−⎢=⎥ ⎪⎝⎭⎢−⎥⎣⎦22322x y y ⎫=−⎪⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33222x y y x y y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +−；(2)4241036y y −−+．【答案】(1)())2833x +−+ (2)()(2229y y y −+【分析】（1）先利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可；（2）先提公因式，然后利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可．（1）原式()()22829x x =+−())2833x =+−+（2）原式为()4222518y y =−+−()()222292y y =−+−()(2=22+9y y y −−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y −−【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解．【详解】解：22327x xy y −−22273()33x xy y =−− 222221173()3993x xy y y y =−+−−221223[()]33x y y =−−113()()33x y y x y y =−−3()()x y x y =． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y −−+【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=的解即可得出答案．【详解】解：解关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=， 得：x ==， ∴1x y=，2x y=，∴222362x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫−−+=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查实数范围内分解因式，掌握“()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x 、2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是正确解答的关键．22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y−−．【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】解：22323x xy y −−＝2223()3x xy y −−＝22221103()399x xy y y −+−221103()39x y y ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦11333x y y x y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．【答案】xy xy ⎡⎡⎣⎣．【分析】把223x y 化为222252x y x y −，则利用完全平方公式得到原式()222512xy x y =+−，然后利用平方差公式分解因式．【详解】解：原式222251052x y xy x y =++− ()22225212x y xy x y =++−()222512xy x y =+−))11xy xy ⎤⎤=++⎦⎦xy xy ⎡⎡=⎣⎣故答案为：xy xy ⎡⎡⎣⎣ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y −++【答案】24x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】列出关于x 的一元二次方程，求得方程的根，再根据方程的根写出因式分解的结果即可【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为：22022x xy y ++=−，∵()22224422170b ac y y y ∆=−=−⨯−⨯=≥，∴x y ==， ∴1x y =，2x y=，∴22222x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭−+【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，掌握“若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为1x ，2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是解决问题的关键. 25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +−；（2）2235x xy y −−．【答案】（1）(2121y y ++；（2）3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可；（2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．【详解】解：（1）2442y y +−=24413y y ++−=()2213y +−=(2121y y ++；（2）令2235x xy y −−=0， ()()22254337y y y =−−⨯⨯−=△，∴x =，∴x 或x =，∴2235x xy y −−=3x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
因式分解50题(配完整解析)
因式分解50题（配完整解析）考点卡片一．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．二．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．22平方差公式：a ﹣b ＝（a +b ）（a ﹣b ）；222完全平方公式：a ±2ab +b ＝（a ±b ）；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．三．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax +ay +bx +by ＝x （a +b ）+y （a +b ）＝（a +b ）（x +y ）22②2xy ﹣x +1﹣y 22＝﹣（x ﹣2xy +y ）+12＝1﹣（x ﹣y ）＝（1+x ﹣y ）（1﹣x +y ）四．因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．2①x +（p +q ）x +pq 型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x 2+（p +q ）x +pq ＝（x +p ）（x +q ）2②ax +bx +c （a ≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一2次项b ，那么可以直接写成结果：ax +bx +c ＝（a 1x +c 1）（a 2x +c 2）．五．实数范围内分解因式实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．例如：x ﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解2x 2﹣2＝x 2﹣（2）2＝（x+2）（x-2）一．填空题（共5小题）1．因式分解：-2x 2+2x =．2．因式分解：a 3+2a =．3．分解因式：8x 2-8xy +2y 2=．4．分解因式：ab 2+a 2b =．5．因式分解2x 2y -8y =．二．解答题（共45小题）6．分解因式（1）n 2(m -2)-n (2-m )（2）(a 2+4b 2)2-16a 2b 2．7．因式分解（1）(2a +b )2-(a +2b )2（2）16x 4-8x 2y 2+y 48．已知m -2n =-2，求下列多项式的值：（1）5m -10n +10m 2（2）+n 2-mn -3．49．因式分解：(x 2-3)2+2(3-x 2)+1．10．因式分解：m 2(m -4)2+8m (m -4)+16．11．分解因式：4(a +2)2-9(a -1)2．12．(x 2+4)2-16x 2．13．因式分解：(x -6x )+18(x -6x )+81．14．分解因式：（1）x 4-2x 2+1；（2）a 4-8a 2b 2+16b 4；（3）(a 2+4)2-16a 2；（4）(m 2-4m )2+8(m 2-4m )+16．15．分解因式（1）x -4xy +4y （2）4a -12ab +9b （3）a b +2ab +1．16．（1）计算：(2x -y +z )(2x -y -z )（2）分解因式：25(a +b )2-16(a -b )217．分解因式：(x +3)2-(x -3)2．18．(x -5y )2-(x +5y )219．分解因式：（1）3ax 2-6axy +3ay 2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2．20．分解因式：（1）(a -b )(x -y )-(b -a )(x +y )（2）5m (2x -y )2-5mn 221．分解因式：（1）-3x 2+6xy -3y 2；222222222（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)．22．因式分解（1）9a 2(x -y )+4b 2(y -x )；（2）4a (b -a )-b 223．因式分解：（1）a 4-16；（2）ax 2-4axy +4ay 2．24．将下列各式分解因式：（1）-25ax 2+10ax -a （2）4x 2(a -b )+y 2(b -a )25．分解因式：（1）5x 2+10x +5（2）(a +4)(a -4)+3(a +2)26．因式分解（1）9m 2-25n 214（3）2x 2y -8xy +8y（2）m 2-mn +n 2（4）(y 2-1)2+6(1-y 2)+927．把下列各式因式分解：（1）12x 4-6x 3-168x 2（2）a 5(2-3a )+2a 3(3a -2)2+a (2-3a )3（3）abc (a 3+b 3+c 3+2abc )+(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3)28．分解因式（1）16-a 4（2）y 3-6xy 2+9x 2y（3）(m +n )2-4m (m +n )+4m 2（4）9-a 2+4ab -4b 229．因式分解（1）-a 2-a（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81（4）x 2-4x -y 2+4．30．把下列各式分解因式：（1）(a 2+a +1)(a 2-6a +1)+12a 2；（2）(2a +5)(a 2-9)(2a -7)-91；124242（4）(x -4x +1)(x +3x +1)+10x 4；31．分解因式：（1）12abc -2bc 2（2）2a 3-12a 2+18a （3）9a (x -y )+3b (x -y )（4）(x +y )2+2(x +y )+1（3）xy (xy +1)+(xy +3)-2(x +y +)-(x +y -1)2；（5）2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ．（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)32．将下列各式因式分解：（1）a4-16（2）16(a-b)2-9(a+b)2（3）x2-1+y2-2xy（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2．（5）x2-5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+5x-6（8）x2+5x+6．33．分解因式（1）-3x3-6x2y-3xy2；（2）(a2+9)2-36a2（3）25m2-(4m-3n)2；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3．34．因式分解：（1）x2-5x-6（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)（3）y2-x2+6x-9（4）(a2+4b2)2-16a2b235．把下列多项式分解因式：（1）27xy2-3x121x+xy+y22222（3）a-b-1+2b（4）x2+3x-436．因式分解：（1）x2-xy-12y2；（2）（2）a2-6a+9-b237．分解因式（1）8a3b2-12ab3c（2）-3ma3+6ma2-12ma（3）2(x-y)2-x(x-y)（4）3ax2-6axy+3ay2（5）p2-5p-36（6）x5-x3（7）(x-1)(x-2)-6（8）a2-2ab+b2-c238．把下列各式分解因式：（1）4x3-31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x-9；（5）2a4-a3-6a2-a+2．39．分解因式（2）1-9x 2（3）4x 2-12x +9（4）4x 2y 2-4xy +1（5）p 2-5p -36（6）y 2-7y +12（7）3-6x +3x 2（8）-a +2a 2-a 3（9）m 3-m 2-20m40．分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)-12．41．分解因式：(x 2+4x +8)2+3x (x 2+4x +8)+2x 2．42．分解因式：（1）2a (y -z )-3b (z -y )；（2）-x 2+4xy -4y 2；（3）x 2-2（在实数范围内分解因式）；（4）4-12(x -y )+9(x -y )2．43．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x 2+2x -3，解：原式=x 2+2x +1-1-3=(x 2+2x +1)-4=(x +1)2-4=(x +1+2)(x +1-2)=(x +3)(x -1)上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x 2-4x +3（2）4x 2+12x -7．44．下面是某同学对多项式(x -4x +2)(x -4x +6)+4进行因式分解的过程．解：设x -4x =y原式=(y +2)(y +6)+4（第一步）222=y 2+8y +16（第二步）=(y +4)2（第三步）=(x 2-4x +4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(x -2x )(x -2x +2)+1进行因式分解．45．阅读并解决问题：对于形如x 2+2ax +a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x +a )2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax -3a 2就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：22x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)=(x+3a)(x-a)像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2-8a+15；（2）若a+b=6，ab=4，求：①a2+b2；②a4+b4的值；（3）已知x是实数，试比较x2-6x+11与-x2+6x-10的大小，说明理由．11146．小亮在对a4+分解因式时，步骤如下：a4+=a4+a2+-a2（添加a2与-a2，前444三项可利用完全平方公式）1=(a2+)2-a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）211=(a2+a+)(a2-a+)．22请你利用上述方法分解因式4x4+1．47．十字相乘法分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-3x+2（3）x2+2x-3（4）x2-2x-3（5）x2+5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+x-6（8）x2-x-6（9）x2-5x-36(10)x2+3x-18(11)2x2-3x+1(12)6x2+5x-6．48．分解因式：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9．49．分解因式：（1）x4-7x2+6．（2）x4-5x2-36．（3）4x4-65x2y2+16y4．（4）a6-7a3b3-8b6（5）6a4-5a3-4a3．（6）4a6-37a4b2+9a2b4．50．因式分解：（1）(x+y)4+(x+y)2-20；（2）(x2-2x-2)(x2-2x-9)+6；（3）(x2+4x+3)(x2-12x+35)-105；（4）(x2-6)2-4x(x2-6)-5x2．因式分解50题（配完整解析）参考答案与试题解析一．填空题（共5小题）1．因式分解：-2x2+2x=-2x(x-1)．【解答】解：-2x2+2x=-2x(x-1)，故答案为：-2x(x-1)．2．因式分解：a3+2a=a(a2+2)．【解答】解：a3+2a=a(a2+2)，故答案为a(a2+2)．3．分解因式：8x2-8xy+2y2=2(2x-y)2．【解答】解：原式=2(4x2-4xy+y2)=2(2x-y)2．故答案为：2(2x-y)2．4．分解因式：ab2+a2b=ab(a+b)．【解答】解：原式=ab(a+b)．故答案是：ab(a+b)．5．因式分解2x2y-8y=2y(x+2)(x-2)．【解答】解：2x2y-8y=2y(x2-4)=2y(x+2)(x-2)故答案为：2y(x+2)(x-2)．二．解答题（共45小题）6．分解因式（1）n2(m-2)-n(2-m)（2）(a2+4b2)2-16a2b2．【解答】解：（1）原式=n(m-2)(n+1)；（2）原式=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab)=(a+2b)2(a-2b)2．7．因式分解（1）(2a+b)2-(a+2b)2（2）16x4-8x2y2+y4【解答】解：（1）(2a+b)2-(a+2b)2=(2a+b-a-2b)(2a+b+a+2b)=3(a-b)(a+b)；（2）16x4-8x2y2+y4=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2．8．已知m-2n=-2，求下列多项式的值：（1）5m-10n+10m2（2）+n2-mn-3．4【解答】解：（1）m-2n=-2，∴原式=5(m-2n)+10=-10+10=0；m-2n=-2，（2）11∴原式=(m2+4n2-4mn)=(m-2n)2-3=1-3=-2．449．因式分解：(x2-3)2+2(3-x2)+1．【解答】解：(x2-3)2+2(3-x2)+1=(x2-3)2-2(x2-3)+1=(x2-3-1)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2．10．因式分解：m2(m-4)2+8m(m-4)+16．【解答】解：原式=[m(m-4)]2+2⨯m(m-4)⨯4+42=[m(m-4)+4]2=(m2-4m+4)2=[(m-2)2]2=(m-4)4．11．分解因式：4(a+2)2-9(a-1)2．【解答】解：4(a+2)2-9(a-1)2=[2(a+2)-3(a-1)][2(a+2)+3(a-1)]=(7-a)(5a+1)．12．(x2+4)2-16x2．【解答】解：(x2+4)2-16x2=(x2+4-4x)(x2+4+4x)=(x-2)2(x+2)2．13．因式分解：(x-6x)+18(x-6x)+81．222【解答】解：(x-6x)+18(x-6x)+81222=(x2-6x+9)2=(x-3)4．14．分解因式：（1）x4-2x2+1；（2）a4-8a2b2+16b4；（3）(a2+4)2-16a2；（4）(m2-4m)2+8(m2-4m)+16．【解答】解：（1）原式=(x2-1)2=[(x+1)(x-1)]2=(x+1)2(x-1)2；（2）原式=(a2-4b2)2=[(a+2b)(a-2b)]2=(a+2b)2(a-2b)2；（3）原式=(a2+4-4a)(a2+4+4a)=(a-2)2(a+2)2；（4）原式=(m2-4m+4)2=[(m -2)2]2=(m -2)4．15．分解因式（1）x -4xy +4y （2）4a -12ab +9b （3）a b +2ab +1．【解答】解：（1）x -4xy +4y =(x -2y )；（2）4a -12ab +9b =(2a -3b )；（3）a b +2ab +1=(ab +1)．16．（1）计算：(2x -y +z )(2x -y -z )（2）分解因式：25(a +b )2-16(a -b )2【解答】解：（1）(2x -y +z )(2x -y -z )222222222222222=(2x -y )2-z 2=4x 2+y 2-4xy -z 2；（2）25(a +b )2-16(a -b )2=[5(a +b )-4(a -b )][5(a +b )+4(a -b )]=(a +9b )(9a +b )．17．分解因式：(x +3)2-(x -3)2．【解答】解：(x +3)2-(x -3)2=(x +3-x +3)(x +3+x -3)=12x ．18．(x -5y )2-(x +5y )2【解答】解：(x -5y )2-(x +5y )2=(x -5y +x +5y )(x -5y -x -5y )=-20xy ．19．分解因式：（1）3ax 2-6axy +3ay 2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2．【解答】解：（1）3ax 2-6axy +3ay 2=3a (x 2-2xy +y 2)=3a (x -y )2；（2）(3m +2n )2-(2m +3n )2=[(3m +2n )-(2m +3n )][(3m +2n )+(2m +3n )]=(m -n )(5m +5n )=5(m -n )(m +n )．20．分解因式：（1）(a -b )(x -y )-(b -a )(x +y )（2）5m (2x -y )2-5mn 2【解答】解：（1）原式=(a -b )(x -y +x +y )=2x (a -b )．（2）原式=5m (2x -y +n )(2x -y -n )．21．分解因式：（1）-3x 2+6xy -3y 2；（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)．【解答】解：（1）-3x 2+6xy -3y 2=-3(x 2-2xy +y 2)=-3(x -y )2；（2）(a +b )(a -b )+4(b -1)=a 2-b 2+4b -4=a 2-(b -2)2=(a +b -2)(a -b +2)．22．因式分解（1）9a 2(x -y )+4b 2(y -x )；（2）4a (b -a )-b 2【解答】解：（1）原式=9a 2(x -y )-4b 2(x -y )=(x -y )(3a +2b )(3a -2b )；（2）原式=-(4a 2-4ab +b 2)=-(2a -b )2．23．因式分解：（1）a 4-16；（2）ax 2-4axy +4ay 2．【解答】解：（1）a 4-16=(a 2+4)(a 2-4)=(a 2+4)(a +2)(a -2)；（2）ax 2-4axy +4ay 2=a (x 2-4xy +4y )=a (x -2y )2．24．将下列各式分解因式：（1）-25ax 2+10ax -a （2）4x 2(a -b )+y 2(b -a )【解答】解：（1）原式=-a (25x 2-10x +1)=-a (5x -1)2；（2）原式=4x 2(a -b )-y 2(a -b )=(a -b )(2x +y )(2x -y )．25．分解因式：（1）5x 2+10x +5（2）(a +4)(a -4)+3(a +2)【解答】解：（1）原式=5(x 2+2x +1)=5(x +1)2；（2）原式=a 2-16+3a +6=a 2+3a -10=(a -2)(a +5)．26．因式分解（1）9m 2-25n 214（3）2x 2y -8xy +8y（2）m 2-mn +n 2（4）(y 2-1)2+6(1-y 2)+9【解答】解：（1）9m 2-25n 2=(3m +5n )(3m -5n )；（2）m 2-mn +n 2141=(m-n)2；2（3）2x2y-8xy+8y=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2；（4）(y2-1)2+6(1-y2)+9=[(1-y2)+3]2=(1-y2+3)2．=(4-y2)2=(2+y)2(2-y)2．27．把下列各式因式分解：（1）12x4-6x3-168x2（2）a5(2-3a)+2a3(3a-2)2+a(2-3a)3（3）abc(a3+b3+c3+2abc)+(a3b3+b3c3+c3a3)【解答】解：（1）原式=6x2(2x2-x-28)=6x2(2x+7)(x-4)；（2）原式=a5(2-3a)+2a3(2-3a)2+a(2-3a)3=a(2-3a)[a4+2a2(2-3a)+(2-3a)2]=a(2-3a)(a2+2-3a)2=a(2-3a)(a-1)2(a-2)2；（3）原式=a4bc+a3(b3+c3)+2a2b2c2+abc(b3+c3)+b3c3=bc(a4+2a2bc+b2c2)+a(b3+c3)(a2+bc)=bc(a2+bc)2+a(b3+c3)(a2+bc)=(a2+bc)[bc(a2+bc)+a(b3+c3)]=(a2+bc)[(bca2+ab3)+(b2c2+ac3)]=(a2+bc)[ab(ca+b2)+c2(b2+ac)]=(a2+bc)(b2+ac)(c2+ab)．28．分解因式（1）16-a4（2）y3-6xy2+9x2y（3）(m+n)2-4m(m+n)+4m2（4）9-a2+4ab-4b2【解答】解：（1）原式=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+a2)(2-a2)；（2）原式=y(y2-6xy+9x2)=y(y-3x)2；（3）原式=(m+n-2m)2=(n-m)2；（4）原式=9-(a-2b)2=(3-a+2b)(3+a-2b)．29．因式分解（1）-a2-a（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81（4）x 2-4x -y 2+4．【解答】解：（1）-a 2-a =-a (a +1)（2）(x +y )(5m +3n )2-(x +y )(m -n )2=(x +y )(5m +3n +m -n )(5m +3n -m +n )=(x +y )(6m +2n )(4m +4n )=8(x +y )(3m +n )(m +n )（3）(a 2+6a )2+18(a 2+6a )+81=(a 2+6a +9)2=(a +3)4（4）x 2-4x -y 2+4=(x -2)2-y 2=(x -2+y )(x -2-y )30．把下列各式分解因式：（1）(a 2+a +1)(a 2-6a +1)+12a 2；（2）(2a +5)(a 2-9)(2a -7)-91；12（4）(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1)+10x 4；【解答】解：（1）令a 2+1=b ，则原式=(b +a )(b -6a )+12a 2（3）xy (xy +1)+(xy +3)-2(x +y +)-(x +y -1)2；（5）2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ．=b 2-5ab -6a 2+12a 2=b 2-5ab +6a 2=(b -2a )(b -3a )=(a 2+1-2a )(a 2+1-3a )=(a -1)2(a 2-3a +1)；（2）原式=[(2a +5)(a -3)][(a +3)(2a -7)]-91=(2a 2-a -15)(2a 2-a -21)-91=(2a 2-a )2-36(2a 2-a )+224=(2a 2-a -28)(2a 2-a -8)=(a -4)(2a +7)(2a 2-a -8)；（3）设x +y =a ，xy =b ，则原式=b (b +1)+(b +3)-2(a +)-(a -1)212=(b 2+2b +1)-a 2=(b +1+a )(b +1-a )=(xy +1+x +y )(xy +1-x -y )；（4）令x 4+1=a ，则原式=(a -4x 2)(a +3x 2)+10x 4=a 2-x 2a -2x 4=(a -2x 2)(a +x 2)=(x 4+1-2x 2)(x 4+1+x 2)=(x +1)2(x -1)2(x 2+x +1)(x 2-x +1)；（5）原式=(2x3-x2z)+(-4x2y+2xyz)+(2xy2-y2z) =x2(2x-z)-2xy(2x-z)+y2(2x-z)=(2x-z)(x2-2xy+y2)=(2x-z)(x-y)2．31．分解因式：（1）12abc-2bc2（2）2a3-12a2+18a（3）9a(x-y)+3b(x-y)（4）(x+y)2+2(x+y)+1（5）x2-1+y2-2xy（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)【解答】解：（1）12abc-2bc2=2bc(6a-c)；（2）2a3-12a2+18a=2a(a2-6a+9)=2a(a-3)2；（3）9a(x-y)+3b(x-y)=3(x-y)(3a+b)；（4）(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2；（5）x2-1+y2-2xy=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)；（6）(a+b)(a-b)+4(b-1)=a2-b2+4b-4=a2-(b-2)2=(a-b+2)(a+b-2)．32．将下列各式因式分解：（1）a4-16（2）16(a-b)2-9(a+b)2（3）x2-1+y2-2xy（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2．（5）x2-5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+5x-6（8）x2+5x+6．【解答】解：（1）a4-16=(a2+4)(a2-4)=(a2+4)(a+2)(a-2)；（2）16(a-b)2-9(a+b)2=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]=(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)=(7a-b)(a-7b)；（3）x2-1+y2-2xy=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)；（4）(m+n)2-2(m2-n2)+(m-n)2=[(m+n)-(m-n)]2=(m+n-m+n)2=(2n)2=4n2；（5）x2-5x+6=(x-2)(x-3)；（6）x2-5x-6=(x-6)(x+1)；（7）x2+5x-6=(x+6)(x-1)；（8）x2+5x+6=(x+2)(x+3)．33．分解因式（1）-3x3-6x2y-3xy2；（2）(a2+9)2-36a2（3）25m2-(4m-3n)2；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3．【解答】解：（1）-3x3-6x2y-3xy2；=-3x(x2+2xy+y2)=-3x(x+y)2；（2）(a2+9)2-36a2=(a2+9+6a)(a2+9-6a)=(a+3)2(a-3)2；（3）25m2-(4m-3n)2=(5m)2-(4m-3n)2，=(5m+4m-3n)(5m-4m+3n)=3(3m-n)(m+3n)；（4）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3=(x2-2x-3)(x2-2x+1)=(x-3)(x+1)(x-1)2．34．因式分解：（1）x2-5x-6（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)（3）y2-x2+6x-9（4）(a2+4b2)2-16a2b2【解答】解：（1）x2-5x-6=(x-3)(x+2)；（2）9a2(x-y)+4b2(y-x)=(x-y)(9a2-4b2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b)；=y2-(x2-6x+9)=y2-(x-3)2=(y+x-3)(y-x+3)；（4）(a2+4b2)2-16a2b2=(a2+4b2+4ab)(a2+4b2-4ab) =(a+2b)2(a-2b)2．35．把下列多项式分解因式：（1）27xy2-3x（2）12x2+xy+12y2（3）a2-b2-1+2b（4）x2+3x-4【解答】解：（1）27xy2-3x =3x(9y2-1)=3x(3y+1)(3y-1)；（2）12x2+xy+12y2=1(x2+2xy+y2 2)=1(x+y)22；（3）a2-b2-1+2b=a2-(b2-2b+1)=a2-(b-1)2=(a+b-1)(a-b+1)；（4）x2+3x-4=(x+4)(x-1)．36．因式分解：（1）x2-xy-12y2；（2）a2-6a+9-b2【解答】解：（1）x2-xy-12y2，=(x+3y)(x-4y)；（2）a2-6a+9-b2，=(a-3)2-b2，=(a-3+b)(a-3-b)．37．分解因式（1）8a3b2-12ab3c（2）-3ma3+6ma2-12ma（3）2(x-y)2-x(x-y)（4）3ax2-6axy+3ay2（6）x 5-x 3（7）(x -1)(x -2)-6（8）a 2-2ab +b 2-c 2【解答】解：（1）8a 3b 2-12ab 3c =4ab 2(2a 2-3bc )；（2）-3ma 3+6ma 2-12ma =-3ma (a 2-2a +4)=-3ma (a -2)2；（3）2(x -y )2-x (x -y )=(x -y )(2x -2y -x )=(x -y )(x -2y )；（4）3ax 2-6axy +3ay 2=3a (x 2-2xy +y 2)=3a (x -y )2；（5）p 2-5p -36=(p -9)(p +4)；（6）x 5-x 3=x 3(x 2-1)=x 3(x +1)(x -1)；（7）(x -1)(x -2)-6=x 2-3x +2-6=(x -4)(x +1)；（8）a 2-2ab +b 2-c 2=(a -b )2-c 2=(a -b +c )(a -b -c )．38．把下列各式分解因式：（1）4x 3-31x +15；（2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2-a 4-b 4-c 4；（3）x 5+x +1；（4）x 3+5x 2+3x -9；（5）2a 4-a 3-6a 2-a +2．【解答；（；（5522232】解：（1）4x 3-31x +15=4x 3-x -30x +15=x (2x +1)(2x -1)-15(2x -1)=(2x -1)(2x 2+x -15)=(2x -1)(2x -5)(x +3)2）2a b +2a c +2b c -a -b -c =4a b -(a +b +c +2a b -2a c -2b c )=(2ab )-(a +b -c )=(2ab +a +b -c )(2ab -a -b +c )=(a +b +c )(a +b -c )(c +a -b )(c -a +b )32222）3x +x +1=x -x +x +x +1=x (x -1)+(x +x +1)=x (x -1)(x +x +1)+(x +x +1)=(x +x +1)(x -x 2+1)；（；（4）x 3+5x 2+3x -9=(x 3-x 2)+(6x 2-6x )+(9x -9)=x 2(x -1)+6x (x -1)+9(x -1)=(x -1)(x +3)25）2a -a -6a -a +2=a (2a -1)-(2a -1)(3a +2)=(2a -1)(a -3a -2)=(2a -1)(a +a -a -a -2a -2)=(2a -1)[a (a +1)-a (a +1)-2(a +1)]=(2a -1)(a +1)(a 2-a -2)=(a +1)(a -2)(2a -1)．39．分解因式（1）20a 3x -45ay 2x（2）1-9x 2（3）4x 2-12x +9（4）4x 2y 2-4xy +1（5）p 2-5p -36（6）y 2-7y +12（7）3-6x +3x 2（8）-a +2a 2-a 3（9）m 3-m 2-20m【解答】解：（1）原式=5ax (4a 2-9y 2)=5ax (2a +3y )(2a -3y )；（2）原式=(1+3x )(1-3x )；（3）原式=(2x )2-12x +9=(2x -3)2；（4）原式=(2xy-1)2；（5）原式=(p+4)(p-9)；（6）原式=(y-3)(y-4)；（7）原式=3(x2-2x+1)=3(x-1)2；（8）原式=-a(a2-2a+1)=-a(a-1)2；（9）原式=m(m2-m-20)=m(m+4)(m-5)．40．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．【解答】解：设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如令x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．故答案为(x-1)(x+2)(x2+x+5)41．分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．【解答】解：设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．42．分解因式：（1）2a(y-z)-3b(z-y)；（2）-x2+4xy-4y2；（3）x2-2（在实数范围内分解因式）；（4）4-12(x-y)+9(x-y)2．【解答】解：（1）原式=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)；（2）原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2；（3）原式=(x+2)(x-2)；（4）原式=[3(x-y)-2]2=(3x-3y-2)2．43．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x-3，解：原式=x2+2x+1-1-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2-4x+3（2）4x2+12x-7．【解答】解：（1）x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x -2)2-1=(x -2+1)(x -2-1)=(x -1)(x -3)（2）4x 2+12x -7=4x 2+12x +9-9-7=(2x +3)2-16=(2x +3+4)(2x +3-4)=(2x +7)(2x -1)44．下面是某同学对多项式(x -4x +2)(x -4x +6)+4进行因式分解的过程．解：设x -4x =y原式=(y +2)(y +6)+4（第一步）222=y 2+8y +16（第二步）=(y +4)2（第三步）=(x 2-4x +4)2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底（填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(x -2x )(x -2x +2)+1进行因式分解．【解答】解：（1）（2）设x -2x =y原式=y (y +2)+1222(x 2-4x +4)2=(x -2)4，∴该同学因式分解的结果不彻底．=y 2+2y +1=(y +1)2=(x 2-2x +1)2=(x -1)4．故答案为：不彻底．45．阅读并解决问题：对于形如x 2+2ax +a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x +a )2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax -3a 2就不能直接运用公式了．此时，我们可以这样来处理：x 2+2ax -3a 2=(x 2+2ax +a 2)-a 2-3a 2=(x +a )2-4a 2=(x +a +2a )(x +a -2a )=(x +3a )(x -a )像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a 2-8a +15；（2）若a +b =6，ab =4，求：①a 2+b 2；②a 4+b 4的值；（3）已知x 是实数，试比较x 2-6x +11与-x 2+6x -10的大小，说明理由．【解答】解：（1）a 2-8a +15=(a 2-8a +16)-1=(a -4)2-12=(a -3)(a -5)；（2）a +b =6，ab =4，a2+b2=(a+b)2-2ab=36-8=28．a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=282-2⨯16=752．（3）x2-6x+11=(x-3)2+22，-x2+6x-10=-(x-3)2-1-1，∴x2-6x+11>-x2+6x-10．46．小亮在对a4+1114分解因式时，步骤如下：a4+4=a4+a2+4-a2三项可利用完全平方公式）=(a2+12)2-a2（写成完全平方式与最后一项又符合平方差公式）=(a2+a+12)(a2-a+12)．请你利用上述方法分解因式4x4+1．【解答】解：4x4+1=4x4+4x2+1-4x2=(2x2+1)2-4x2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)．47．十字相乘法分解因式：（1）x2+3x+2（2）x2-3x+2（3）x2+2x-3（4）x2-2x-3（5）x2+5x+6（6）x2-5x-6（7）x2+x-6（8）x2-x-6（9）x2-5x-36(10)x2+3x-18(11)2x2-3x+1(12)6x2+5x-6．【解答】解：（1）x2+3x+2=(x+1)(x+2)；（2）x2-3x+2=(x-1)(x-2)；（3）x2+2x-3=(x+3)(x-1)；（4）x2-2x-3=(x-3)(x+1)；（5）x2+5x+6=(x+3)(x+2)；（6）x2-5x-6=(x-6)(x+1)；（7）x2+x-6=(x+3)(x-2)；a2与-a2，前（添加（8）x2-x-6=(x-3)(x+2)；（9）x2-5x-36=(x-9)(x+4)；(10)x2+3x-18=(x+6)(x-3)；(11)2x2-3x+1=(2x-1)(x-1)；(12)6x2+5x-6=(2x+3)(3x-2)．48．分解因式：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9．【解答】解：(x+1)(x+3)(x+6)(x+8)+9=[(x+1)(x+8)][(x+3)(x+6)]+9=(x2+9x+8)(x2+9x+18)+9=(x2+9x)2+26(x2+9x)+153=(x2+9x+9)(x2+9x+17)．49．分解因式：（1）x4-7x2+6．（2）x4-5x2-36．（3）4x4-65x2y2+16y4．（4）a6-7a3b3-8b6（5）6a4-5a3-4a3．（6）4a6-37a4b2+9a2b4．【解答】解：（1）x4-7x2+6=(x2-1)(x2-6)=(x+1)(x-1)(x+6)(x-6)；（2）x4-5x2-36=(x2-9)(x2+4)=(x+3)(x-3)(x2+4)（3）4x4-65x2y2+16y4=(2x2-4y2)2-49x2y2=(2x2-4y2+7xy)(2x2-4y2-7xy)=(2x-1)(2x+1)(1-4y)(1+4y)；（4）a6-7a3b3-8b6=(a3-8b3)(a3+b3)=(a-2b)(a2+2ab+b2)(a+b)(a2-ab+b2)=(a-2b)(a+b)3(a2-ab+b2)；（5）6a4-5a3-4a3=6a4-9a3=3a3(2a-3)；（6）4a6-37a4b2+9a2b4=a2(4a4-37a2b2+9b4)=a2(4a4-12a2b2+9b4-25a2b2)=a2[(2a2-3b2)2-25a2b2]=a2(2a+1)(2a-1)(1-3b)(1+3b)．50．因式分解：（1）(x+y)4+(x+y)2-20；（2）(x2-2x-2)(x2-2x-9)+6；（3）(x2+4x+3)(x2-12x+35)-105；（4）(x2-6)2-4x(x2-6)-5x2．【解答】解：（1）原式=[(x+y)2-4][(x+y)2+5]=(x+y+2)(x+y-2)(x2+y2+2xy+5)；（2）原式=(x2-2x)2-11(x2-2x)+24=(x2-2x-3)(x2-2x-8)=(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)；（3）原式=(x+1)(x+3)(x-5)(x-7)-105=(x2-4x-5)(x2-4x-21)-105=(x2-4x)2-26(x2-4x)=(x2-4x)(x2-4x-26)=x(x-4)(x2-4x-26)（4）原式=(x2-6-5x)(x2-6+x)=(x-6)(x+1)(x-2)(x+3)．第21页（共21页）。
二次三项式的因式分解
已知关于x的方程mx2 – 2（m + 2）x + （m + 5） 在实数范围内不能分解因式，判定关于x的方程 （m – 5）x2 – 2（m + 2）x + m =0的实数根的情况
其他类式子的因式分解：
（） 1 x x y 72 y
4 2 2 2 2
4
2 2
( x 2 2 y)( x 2 2 y)( x 9 y )
2
2 2 11 2 2 11 5 x 4 x 8 5( x )( x ) 5 5
2
注意符号的变化
把2x 8xy 5 y 分解因式
2 2
将本题看作是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数
解：关于x的方程2x2 – 8xy + 5y2 = 0的根是
x= 8y ?
2 7 2 7 （ 3 x y )( x y) 3 3
在实数范围内分解因式 - m2 - 2 2m + 3
- （m + 2+ 5)(m + 25)
在实数范围内分解因式
(2 x + 3a)( x - 3a) + 12ax
9 + 3 17 9 - 3 17 2（x + a)( x + a) 4 4
x 6 x 7 ( x 3) 2 ( x 3 2)( x 3 2)
2 (2 x 2) 3 4 x 8x 1 (2x 2 3)(2x 2 3)
2
2.
求根公式法
2
在分解二次三项式 ax bx c(abc 0)
可先用求根公式求出方程 ax bx c 0
1.二次三项式常见的分解方法
上学期二次三项式的因式分解(1-2)
注意：1、因式分解是恒等变形，所以分解因式 后的式子中的 a 千万不能忽略。 2 2、在分解二次三项式 ax bx c 时，可先用 2 求根公式求出方程 ax bx c 0 的两个根 x1 , x2 然后写成
2
ax bx c ax x1 x x2
三、课堂练习
2 2
（法一：用公式法 .
法二、双十字法）
练习、因式分解
x² - 5xy + 6y² - x + y -2
例2、如果a>0 且b2-4ac=0, 求证：二次三项式 ax2+bx+c 是完全平方式.
例3、已知 x 的二次三项式
2 x 4 3x m m
2 2
是一个完全平方式，求 m 的值。 例4、化简分式
一、复习
1、用十字相乘法分解下列各式：
（1） （2） （3）
x x2
2
2 x 3x 2
2
x 2x 2
2
说明：其中（3）用十字相乘法就不容易了。
2、对于用十字相乘法分解因式较困难的题目， 促使我们寻求其他方法。如同我们在解二次方 程时，用直接开平方法不易解决时，人们发明 了配方法。把原方程变形为
四、小结 1.二次三项式 ax2+bx+c (a≠0) 的分解因式,应 先用十字相乘法试试,如果确实不易分解,再试 用求根公式法,要注意,有些二次三项式,在实 数范围内是不可分解的. 2.二次三项式 ax2+bx+c (a>0) 可以成为完全 平方的条件是 b2-4ac=0. 3.当△<0时，二次三项式在实数范围内不能 分解因式。 五、作业：
2
ax2 bx ca 0
初中数学因式分解含答案竞赛题精选2
初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．双十字相乘法因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；2．求根法形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．3．待定系数法在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．WORD 专业资料。
因式分解完全平方公式例题
因式分解完全平方公式例题因式分解是数学中一个重要的概念，完全平方公式是因式分解中的一个常用方法。
在这篇文章中，我们将介绍完全平方公式的基本原理，并用例题加以说明。
完全平方公式是指一个二次三项式的平方能够被因式分解为两个平方的和或差。
这个公式的应用范围广泛，不仅在代数中有用，还在实际问题中有很多应用。
完全平方公式的一般形式是(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，其中a 和b是任意实数。
这个公式可以简单地证明，我们可以用分配律展开(a + b)^2，得到a^2 + ab + ab + b^2，然后合并相同项，即得到a^2 + 2ab + b^2。
使用完全平方公式的基本步骤是，首先将待因式分解的二次三项式写成完全平方的形式，然后根据公式进行因式分解。
下面我们通过一些例题来说明完全平方公式的应用。
例题1：将x^2 + 6x + 9进行因式分解。
解：我们看到这个三项式的第一项是x的平方，第二项是2倍x的系数，第三项是3的平方，符合完全平方公式的形式。
所以我们可以将这个三项式写成(x + 3)^2的形式。
因此，x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。
例题2：将4x^2 - 12x + 9进行因式分解。
解：我们可以先将这个三项式除以4，得到x^2 - 3x + 9/4。
然后我们观察x^2和9/4，可以发现这两个项的平方能够得到x^2和9/4，而-3x这个项正好是2倍x乘以-3/2的结果。
所以我们可以将这个三项式写成(x - 3/2)^2的形式。
因此，4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2。
例题3：将x^2 - 4x + 4进行因式分解。
解：我们可以将这个三项式写成(x - 2)^2的形式。
因此，x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2。
通过以上例题，我们可以看到完全平方公式在因式分解中的应用。
当我们遇到二次三项式时，如果我们能够将其写成完全平方的形式，就可以直接使用完全平方公式进行因式分解。
4.7 因式分解十字相乘法知识讲解20202021学年七年级数学下册基础知识专项讲练浙教版
专题4.7 因式分解-十字相乘法（知识讲解）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b =ìí+=î()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、十字相乘法1、（2020·内蒙古赤峰市·八年级期末）利用多项式的乘法法则可以推导得出：()()x p x q ++=2x px qx pq+++=()2x p q x pq +++()2x p q x pq +++型式子是数学学习中常见的一类多项式，因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ①因此，利用①式可以将()2x p q x pq +++型式子分解因式．例如：将式子232x x ++分解因式，这个式子的二次项系数是1，常数项221=´，一次项系数312=+，因此利用①式可得()()23212x x x x ++=++．上述分解因式232x x ++的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）这样，我们也可以得到()()23212x x x x ++=++．这种方法就是因式分解的方法之一LL 十字相乘法．a（1）利用这种方法，将下列多项式分解因式：228x x --22712x y xy -+（2）()()2224648a a a a ++++【答案】（1）()()24x x +-；()()34xy xy --；（2）()()22242a a a +++【分析】（1）前一个仿照阅读材料中的方法将原式分解即可，后一个把xy 看作是一个整体，再分解即可；（2）把(24a a +)看作成一个整体，仿照阅读材料中的方法将原式分解，再利用完全平方公式二次分解即可．解：（1）228x x --()()2(24)2(4)24x x x x =+-+´-=+-；22712x y xy -+=()()22(34)(3)(4)34x y xy xy xy +--+-´-=--；（2）()()2224648a a a a ++++()()2224(24)424a a a a =+++++´()()224442a a a a =++++()()22242a a a =+++．【点拨】本题考查了因式分解的方法-十字相乘法和公式法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．注意达到每一个多项式因式不能再分解为止．举一反三：【变式1】．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）26x x +-=（________）（________）；26x x --=（________）（________）；256x x +-=（________）（________）；256x x ++=（_______）（_______）；256x x --=（______）（______）；256x x -+=（______）（______）．【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可得．解：26(3)(2)x x x x +-=+-；26(3)(2)x x x x --=-+；256(6)(1)x x x x +-=+-；256(3)(2)x x x x ++=++；256(6)(1)x x x x --=-+；256(3)(2)x x x x -+=--；故答案为：(3),(2)x x +-；(3),(2)x x -+；(6),(1)x x +-；(3),(2)x x ++；(6),(1)x x -+；(3),(2)x x --．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．2、（2019·广西百色市·八年级期中）以下是解一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的一种方法：二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1212a a c c ，，，排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若此时满足1221a c a c b +=，那么20(a 0)++=¹ax bx c 就可以因式分解为1122()()0a x c a x c ++=，这种方法叫做“十字相乘法”．那么2611100x x --=按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）A ．(2)(65)0x x -+=B ．(22)(35)0x x +-=C ．(5)(62)0x x -+=D ．(25)(32)0x x -+=【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出()()2611102532x x x x --=-+即可．【详解】∵∴()()26111025320x x x x --=-+=．故选：D ．【点拨】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．举一反三：【变式】（2020·全国八年级课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --； （4）2()3()10x y x y +-+-．【答案】（1）(32)(1)x x +-；（2）(21)(58)x x ++；（3）(35)(43)x y x y -+；（4）(5)(2)x y x y +-++．【分析】（1）直接运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可；（2）ax 2+bx+c （a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：ax 2+bx+c=（a 1x+c 1）（a 2x+c 2）；（3）同（2）；（4）把(x y +)当作一个整体，运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可解：（1）232(32)(1)x x x x --=+-．（2）210218(21)(58)x x x x ++=++．（3）22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+．（4）2()3()10[()5][()2](5)(2)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-++=+-++．【点拨】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．3、（2019·湖南广益实验中学八年级月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如22ax bxy cy ++的关于x ，y 的二次三项式来说，方法的关键是将2x 项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积，即12a a a =·，将2y 项系数c 分解成两个因式1c ，2c 的积，即12c c c =·，并使1221a c a c +正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：221221()()ax bxy cy a x c y a y c y ++=++例：分解因式：2228x xy y --解：如图1，其中111=´，8(4)2-=-´，而21(4)12-=´-+´所以2228(4)(2)x xy y x y x y --=-+而对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成fk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，mk nj d +=，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py f nx qy k =++++例：分解因式222332x xy y x y +-+++解：如图3，其中111=´，3(1)3-=-´，212=´而2131(1)=´+´-，1(1)231=-´+´，31211=´+´所以222332(1)(32)x xy y x y x y x y +-+++=-+++请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①2263342x xy y -+= ．②22261915x xy y x y --++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．【答案】（1）(27y)(36)x x y --；(235)(23)x y x y +--+；（2）61或-82．【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m 的值即可．解：（1）①如下图，其中623,427(6),332(6)3(7)=´=-´--=´-+´-，所以，2263342(27)(36)x xy y x y x y -+=--；②如下图，其中221,63(2),1553=´-=´--=-´，而12213,1933(5)(2),123(5)1-=-´+´=´+-´-=´+-´，所以，22261915(235)(23)x xy y x y x y x y --++-=+--+；（2）如下图，其中111,189(2),4058=´-=´--=-´，而72119,315(8)1,=-´+´-=´+-´95(8)(2)61m =´+-´-=或9(8)(2)582m =´-+-´=-，∴若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，m 的值为61或-82．【点拨】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．类型二、十字相乘法综合练习.（2020·重庆西南大学银翔实验中学八年级月考）因式分解（1）3221624x x x -+-（2）()2222224a b c a b +--（3）()()22353x x x x -----（4）333()x y x y +--（5）398x x -+【答案】（1）()()226x x x ---；（2）()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+--；（3）()()()()2132x x x x -+-+；（4）()3xy x y +；（5）()()218x x x -+-【分析】（1）先提取公因式2x -，得到()22812x x x --+，再利用十字相乘法分解即可；（2）直接应用平方差公式和完全平方公式逐步分解即可；（3）将多项式整理成()()2241413x x x x --+----，利用平方差公式计算多项式得到()22242x x ---，再利用平方差公式和十字相乘法逐步分解即可；（4）先计算3()x y +，再合并同类项得到2233x y xy +，直接利用提公因式法分解因式即可；（5）根据1x =时，3980x x -+=，可得398x x -+有一个因式为1x -，即可求解．解：（1）3221624x x x-+-()22812x x x =--+()()226x x x =---；（2）()2222224a b c a b +--()()22222222ab ab a b c a b c =+-+-+-()()2222a b c a b c éùéùëûëû=+---()()()()a b c a b c a b c a b c =+++--+--；（3）()()22353x x xx -----()()2241413x x x x =--+----()22413x x =----()22242x x =---()()224242x x x x =--+---()()2226x x x x =----()()()()2132x x x x =-+-+；（4）333()x y x y +--32233333x x y xy y x y =+++--32233333x x y xy y x y =+++--2233x y xy =+()3xy x y =+；（5）当1x =时，3980x x -+=，∴398x x -+()()218x x x =-+-．【点拨】本题考查分解因式，熟练应用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．举一反三：【变式】（2020·全国八年级单元测试）因式分解：（1）()()22416a b a b +﹣﹣（2）()()()()22310a b a b a b a b +++﹣﹣﹣【答案】（1）-4（3a+b ）（a+3b ）（2）−2（a ＋3b ）（3a ＋2b ）【分析】（1）根据公式法即可因式分解；（2）根据十字相乘法即可因式分解．解：（1）()()22416a b a b --+=()()()()2424a b a b a b a b -++--+éùéùëûëû=（2a−2b+4a+4b ）（2a−2b-4a-4b ）=（6a+2b ）（-2a-6b ）=-4（3a+b ）（a+3b ）（2）()()()()22310a b a b a b a b +++﹣﹣﹣＝[（a−b ）−2（a ＋b ）][（a−b ）＋5（a ＋b ）]=（a−b−2a-2b ）（a−b ＋5a ＋5b ）=（−a-3b ）（6a ＋4b ）＝−2（a ＋3b ）（3a ＋2b ）．【点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知公式法与十字相乘法的应用．。
二次三项式,分解因式的技巧、窍门
二次三项式，分解因式的技巧、窍门二次三项式，ax" + bx + c ( a > 0 )，构成了中学数学的重点，一元二次方程ax" + bx + c = 0 和二次函数y = ax" + bx + c 。
解一元二次方程，通常也都是使用因式分解法。
二次三项式，分解因式通常使用【十字相乘法】，可是有些式子，使用十字相乘法，或许不知从何下手，我们看得不知所措，怎么办呢？我根据自己的经验，来讲讲自己“新一代”的方式方法，希望我们共同掌握技巧、窍门。
让我们一同探索奥秘，一同拿起新武器吧！工具/原料∙拆项分组分解因式，或者这样做草稿，分解因式就会感到方便轻松。
∙例题（1），x" ±10x ±24 ；∙例题（2），8x" ±52x ±60 ；∙配方法分解因式，解一元二次方程，对付复杂的式子，也是使用配方法。
①拆项分组分解法(1)，x" ±10x ±24正如x" + (a+b)x + ab = ( x + a )( x + b )，先把单项式mx = (a+b)x 一分为二，变成ax + bx ，就能够分组，提公因式，进行分解了。
关键是看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二：【】如果常数项是正数，一次项拆开两个项的绝对值，就都比原来小；【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数。
2②一次项怎样一分为二，为什么要根据常数项的正负呢？我们看看 x" ±10x ±24 这个二次三项式。
它相当特别，一次项、常数项，都有正负两种情况。
一次项、常数项的绝对值不变，整个式子就有四种情况，具体的四个式子都能做因式分解。
只要把具体的四个式子都做一遍，我们就会发现：【】常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；【】一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式。
二次三项式的因式分解(用公式法)练习题
二次三项式的因式分解（用公式法）练习题1、如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么分解因式ax2+bx+c= 。
2、当k 时，二次三项式x2－5x+k的实数范围内可以分解因式。
3、如果二次三项式x2+kx+5(k－5)是关于x的完全平方式，那么k= 。
4、4x2+2x－35、x4－x2－66、6x4－7x2－37、x+4y+4xy(x>0,y>0)8、x2－3xy+y29、证明：m为任何实数时，多项式x2+2mx+m－4都可以在实数范围内分解因式。
10、分解因式4x 2－4xy －3y 2－4x+10y －3。
11、 已知：6x 2－xy －6y 2=0，求：y 3x 62y6x 4--的值。
12、6x 2－7x －3；13、2x 2－1分解因式的结果是 。
14、已知－1和2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根，那么，ax 2+bx+c 可以分 解因式为 。
15、3x 2－2x －8； 16、2x 2－3x －2；17、2x2+3x+4； 18、4x2－2x；19、3x2－1。
20、3x2－3x－1；21、22x2－3x－2。
22、方程5x2－3x－1=0与10x2－6x－2=0的根相同吗?为什么?二次三项式2x2－3x－4与4x2－6x－8 分解因式的结果相同吗?把两个二次三项式分别分解因式，验证你的结论。
23、二次三项式2x2－2x－5分解因式的结果是( )A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-21112111xx⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-211121112xxC.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++21112111xx⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++211121112xx24、二次三项式4x2－12x+9分解因式的结果是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛-234xB.⎪⎭⎫⎝⎛-23xC.223⎪⎭⎫⎝⎛-xD.2234⎪⎭⎫⎝⎛-x25、2x2－7x+5； 26、4y2－2y－1。
二次三项式的因式分解
已知关于x的方程mx2 – 2（m + 2）x + （m + 5） 在实数范围内不能分解因式，判定关于x的方程 （m – 5）x2 – 2（m + 2）x + m =0的实数根的情况
其他类式子的因式分解：
（） 1 x x y 72 y
4 2 2 2 2
4
2 2
( x 2 2 y)( x 2 2 y)( x 9 y )
； 在线考试系统 https:// 在线考试系统
；
元之主,都在谈论着鞠言.“诸位大王！”焦源盟主出声.大殿内の谈论声消失,众人都看向焦源盟主.“废话俺就不说了,在请诸位来俺焦源混元の事候,诸位就已经知道此次会议所要商议の事情.”焦源盟主环视众人道.“确切の说,此次会议,是接着上次会议,继续召开の.”“所以,是否还有 人,反对鞠言混元加入联盟?”焦源盟主问道.“俺反对！”在焦源盟主话音刚刚落下,思烺大王便是大声の开口.他反对,鞠言混元加入联盟.“思烺大王,你亲口说过,只要鞠言大王能接你三招,你便不再反对鞠言混元加入联盟.那么,现在你为何又反对?”焦源盟主看向思烺大王.“思烺大王, 你莫非要出尔反尔?或者,你不打算承认你说过の话?”焦源盟主目光凝聚,声音低沉.“呵呵……”思烺大王发出一声轻笑.他看了看焦源盟主,又看了看其他の混元之主,最后看向鞠言.“盟主,俺承认俺说过那样の话.不过,那已经是千年之前の事情了.”思烺大王冷笑着说道.他作出过那样の 承诺,只是事间已过千年.“思烺大王,你呐未免就有些强词夺理了吧?”焦源盟主心中有些恼怒.“强词夺理?盟主,你可不要污蔑俺の名声.俺说の,是事实情况.千年前,俺说过若鞠言呐小畜生能挡俺三招,俺便同意鞠言混元加入联盟.呐一点,在场の绝大多数人,都知道,俺也全部承认.可是,呐 件事の中间却是出了意外,呐个小畜生消失了,他失踪了千年.千年后他突然回来,那么鞠言混元加入联盟呐件事,自然要叠新商议讨论.”思烺大王笑道.他呐就是强词夺理.然而,他并不太在乎.在联盟中,谁不知道他思烺大王の霸道.“不要脸！无耻！”“毫无底线！”“你呐样の人,居然能 成为混元之主?真是令人无法理解！”大殿内,一道声音响起.说话の不是别人,正是吙阳大王.吙阳大王の几句话,可是一点都不客气了,呐是打算要与思烺大王彻底翻脸了.上一次联盟会议中,吙阳大王尽量の控制了自身の言行.而呐一次,她显然不想再控制了.她决定了.谁再想对付鞠言,她就 与谁翻脸.大不了,鱼死网破,联盟崩溃,大家一起完蛋.在吙阳大王说出呐几句话后,大殿之中,一片寂静.所有人,都有些震惊の看着吙阳大王.就连被辱骂の思烺大王,都有些愣申.他当然知道,吙阳大王肯定会站在鞠言那边.但是,他没想到,吙阳大王会如此の决绝和彻底.在短暂の愣申之后,愤 怒の吙焰,便席卷了思烺大王の胸腔.瞬息之间,他便到了爆发の边缘.多少年了！多少年都没有人,敢如此の辱骂他思烺大王.而且,呐还是当面の辱骂,一点脸面都不给他思烺大王.就是焦源盟主,都不敢呐么做！呐个该死の女人,竟敢当着拾多个混元之主の面,辱骂他不要脸、无耻！他思烺大 王,无法忍受.“吙阳贱人,你呐是找死！”思烺大王愤怒の目光盯着吙阳大王,全身申历道则沸腾,仿佛下一刻就要出手杀死吙阳大王の样子.不过他并未由于愤怒,而彻底失去理智.他还清楚,吙阳大王并不那么好杀.在拾多个混元空间之中,吙阳大王の实历虽然不是最强の那两三个混元之主, 但也是中上层次の实历.第三二八思章忍你很久了第三二八思章忍你很久了(第一/一页)吙阳大王の脸上,布满一层寒霜.她是联盟之内,唯一の女性混元之主.而在联盟中,她の性别,最初事并没有给她做事带来任何の便利.但她靠着自身の实历和能历,终于还是在联盟中获得了相应の地位,得 到了别人の尊叠.方才,思烺大王骂她是贱人！她很想当场,取出自身の武器,将思烺斩杀.吙阳大王看了看鞠言,她忍不住内心中冲动の想法.她知道自身の实历,比思烺低上一些,但她忍住出手の原因,不是由于怕自身敌不过思烺,而是为鞠言.“两位,都冷静一下吧.”焦源盟主出声.焦源盟主 不喜欢思烺大王,思烺大王太过跋扈了.但不喜欢归不喜欢,他还需要思烺大王の历量.在联盟之内,思烺大王の影响历太大.若思烺大王呐边出了问题,联盟必定难以为继.就算勉强维持,也无法再有历量与敌人对抗.所以再不喜欢,焦源盟主仍然需要维持着一种平衡,甚至是对思烺大王妥 协.“思烺大王,你方才说の理由,太过牵强了.在俺们无尽の寿命中,千年事间,不过是短短一瞬而已.千年前达成の条件,如何说改就改呢?俺们是混元大王,不是凡人！”焦源盟主看着思烺大王说道.“盟主,你知道俺对你是尊叠の.整个联盟之内,能让俺尊叠の,也只有盟主你.”“若不是对盟 主尊叠,呐个叫鞠言の小混蛋,还能活着坐在呐里?”“俺尊叠你,所以俺也希望,你能尊叠俺の看法和意见.俺还是那句话,俺不同意让呐个小混蛋加入联盟.盟主如果一意孤行,那俺只好退出联盟.”思烺大王望着焦源盟主.他在威胁焦源盟主.如果鞠言混元加入联盟,那思烺混元就退出联盟.听 到思烺大王呐番话,焦源盟主心中一寒.虽然他已经预料到,思烺大王可能会以退出联盟来要挟,可他心中还是抱着一些希望.而现在,思烺大王当着那么多人の面,将呐些话说了出来.那么,就很难再有回旋の余地了.鞠言混元加入,思烺混元退出.鞠言混元,自然无法与思烺混元相比.如果是在和 平の情况下,没有外在敌人の压历,那焦源盟主就不需要太考虑两个混元の实历对比.可现在,他不能失去思烺大王和思烺混元.还有,如果思烺混元退出の话,难保不会有其他混元跟着退出.思烺大王在联盟内,确实有着较强の影响历.那玄冥混元の主人玄冥大王,便一直与思烺大王亲近.如果思 烺大王许诺足够の好处,玄冥大王便有可能被说动从而也退出联盟.“思烺大王,如果思烺混元退出联盟,你有没有想过,敌人会不会优先攻击思烺混元?”在吸了一口气后,焦源盟主看着思烺大王问道.敌人能够轻松の毁灭黑月混元,当然也能轻松の毁灭思烺混元.思烺混元退出联盟,那么在面 临敌人攻击の事候,联盟方面要不要救援,能不能来得及救援,都会是很大の问题.“呵呵……”思烺大王笑出声.“盟主,你也不用拿呐些话来吓唬俺.俺思烺修行到几天,经历の险境数不胜数！俺,何曾怕过?大不了,俺舍弃那座混元就是.为了杀死鞠言呐个杂碎,俺宁愿舍弃一座混元.”思烺大 王有些疯狂.在场の混元大王,都有些动容.“思烺,你不想留在联盟,滚就是了！”吙阳大王开口说道.吙阳大王当然也清楚,如果让焦源盟主,只能在思烺混元和鞠言混元呐两座混元中选择一个,那焦源盟主选择の必定是思烺混元.所以,她有些着急.“吙阳大王,请冷静.”焦源盟主皱眉对吙阳 大王道.“俺很冷静！焦源盟主,如果鞠言混元不能加入联盟,那俺吙阳混元,立刻退出联盟.”吙阳大王与焦源盟主对望.“你……你们……”焦源盟主恼怒の看着吙阳大王.此事の焦源盟主,有些后悔了.或许,呐个鞠言就不应该出现.如果鞠言不出现,也就不会发生现在の状况,让他进退不得. 无论他做出怎样の决定,对联盟来说,似乎都不是好事.无论哪一种选择,联盟の实历都会受损.“盟主,联盟之中少一个吙阳混元,问题也不大.”思烺大王眼申一闪,对焦源盟主说道.“主上.”托连军师出声：“现在吙阳大王和思烺大王,都很难冷静下来.俺看,不如暂停会议,大家都休息几天. 等过几天,再继续商议此事.”焦源盟主明白托连军师の意思.他刚想点头,鞠言便出声了：“盟主、军师,其实俺们都知道,不管是今天就决定一个结果,还是等几天再商议.呐个结果,都是一样の,不会有哪个改变.”“为了节省大家の事间,俺觉得还是在今天,就让事情有一个结果.”鞠言继续 说道.“俺感觉出盟主の为难之处,但俺觉得,呐件事也没那么难以决定.”“如果鞠言混元加入联盟,那只有思烺混元退出.联盟内,还是有拾三个混元空间.而如果鞠言混元不加入,那吙阳混元会退出,联盟内,将只有拾二个混元空间.呐不是很好选择吗?”鞠言缓缓说道.两个混元对一个混元, 只看表面,确实很好作出选择.“哈哈哈哈……”思烺大王狂笑.“鞠言小儿,就你那个该死の混元空间,算是真正の混元空间吗?你,还有
因式分解(含答案)
1.4 因式分解◆赛点归纳因式分解是中学数学的一种重要的恒等变形，也是解决许多数学问题的重要途径和方法．在初中数学竞赛中，常用的方法除教材中介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法外，还有十字相乘法、折（添）项法、换元法和待定系数法等．◆解题指导例1 （2001，重庆市竞赛）因式分解：4x2－4x－y2+4y－3=______．【思路探究】这是一个二次五项式，显然没有公因式可以提取，这就要用其他因式分解法，经观察可用分组分解法．如何分组呢？例2 （2001，大连市第八届“育英杯”）分解因式x（x－1）+y（y+1）－2xy•的结果是_________．【思路探究】显然没有公因式可以提取，所以必须先运用整式乘法将它展开，展开后的多项式与例1相似，故宜用分组分解法．例3 （2002，北京市竞赛）a4+4分解因式的结果是（）．A．（a2+2a－2）（a2－2a+2）B．（a2+2a－2）（a2－2a－2）C．（a2+2a+2）（a2－2a－2）D．（a2+2a+2）（a2－2a+2）【思路探究】本题不可分组，又无法直接运用公式法，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式法分解．例4分解因式：x3－3x2+4．【思路探究】这是一个关于x的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，•可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解．例5 分解因式：x2+xy－6y2+x+13y－6．【思路探究】这是二次六项式，运用分组分解法有困难．根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两个一次三项式，且前三项二次项x2+xy－6y2可分解为（x+3y）（x－2y）．由此可知，这两个一次式的常数项待定，因此，可用待定系数法分解．例6 （2000，“五羊杯”，初三）分解因式：（x4+x2－4）（x4+x2+3）+10=______．【思路探究】这是一道八次多项式因式分解题，在展开它时，要有目标，即在运用整式乘法将它展开后，必须考虑下一步能否分解因式．由观察可知，这两个四次三项式结构相同，因此，将四次项与二次项的和作为一个整体展开可分解因式．【拓展题】分解因式：（x2+xy+y2）2－4xy（x2+y2）．◆探索研讨提取公因式法、公式法和分组分解法是因式分解的基本方法．对于一些较为复杂的多项式因式分解，就需用到换元法、拆（添）项法、待定系数法．请结合本节的例题，总结拆（添）项法、换元法可分别化归为哪些基本方法？待定系数法实质是化归为解什么问题？◆能力训练1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）．A．（x+1）（x－1）=x2－1 B．（a－b）（m－n）=（b－a）（n－m）C．ab－a－b+1=（a－1）（b－1）D．m2－2m－3=m（m－2－3m）2．把多项式x2－y2－2x－4y－3因式分解之后，正确的结果是（）．A．（x+y+3）（x－y－1）B．（x+y－1）（x－y+3）C．（x+y－3）（x－y+1）D．（x+y+1）（x－y－3）3．将多项式x2－4y2－9z2－12yz分解成因式的积，结果是（）．A．（x+2y－3z）（x－2y－3z）B．（x－2y－3z）（x－2y+3z）C．（x+2y+3z）（x+2y－3z）D．（x+2y+3z）（x－2y－3z）4．下列五个多项式：①a2b2－a2－b2－1；②x3－9ax2+27a2x－27a3；③x（b+c－d）－y（d－b－c）－2c+2d－2b；④3m（m－n）+6n（n－m）；⑤（x－2）2+4x．其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．A．①，②，③B．②，③，④C．③，④，⑤D．①，②，④5．已知二次三项式21x2+ax－10可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A．a一定是奇数B．a一定是偶数C．a可为奇数也可为偶数D．a一定是负数6．将a4+b4+c4－2a2b2－2b2c2－2c2a2分解因式得（）．A．（a2－b2－c2）2B．（a2－b2－c2+2bc）（a2－b2－c2－2bc）C．（a+b－c）（a－b+c）（a+b+c）（a－b－c）D．（a+b－c）（b+c－a）（c+a－b）（a+b+c）7．分解因式3a2－7a－6=______．8．分解因式x2+4xy－4+4y2=_______．9．把代数式（x+y－2xy）（x+y－2）+（xy－1）2分解成因式的乘积，应当是______．10．分解因式（x2－1）（x+3）（x+5）+12=_______．11．分解因式x5+x+1=_______，x5+x－1=______．12．（2000，“五羊杯”，初二）分解因式（x－2）3－（y－2）3－（x－y）3．13．（2001，“五羊杯”，初二）分解因式（2x－3y）3+（3x－2y）3－125（x－y）3．14．（2002，“五羊杯”，初二）分解因式（1－7t－7t2－3t3）（1－2t－2t2－t3）－（t+1）6．15．分解因式（x+1）4+（x+3）4－272．16．分解因式6x2－5xy－6y2－2xz－23yz－20z2．答案:解题指导例1 （2x+y－3）（2x－y+1）．[提示：4x2－4x－y2+4y－3 =（4x2－4x+1）－（y2－4y+4）=（2x－1）2－（y－2）2=（2x+y－3）（2x－y+1）．]例2 （x－y）（x－y－1）．[提示：x（x－1）+y（y+1）－2xy =x2－x+y2+y－2xy=（x－y）2－（x－y）=（x－y）（x－y－1）．]例3 D [提示：a4+4=a4+4a2+4－4a2=（a2+2）2－（2a）2 =（a2+2a+2）（a2－2a+2）．]例4 （x+1）（x－2）2．解法1 x3－3x2+4=x3+x2－4x2+4=x2（x+1）－4（x+1）（x－1）=（x+1）（x－2）2．解法2 x3－3x2+4=x3+1－3x2+3=（x+1）（x2－x+1）－3（x+1）（x－1）=（x+1）（x2－4x+4）=（x+1）（x－2）2．解法3 x3－3x2+4=x3+x2－4x2－4x+4x+4=x2（x+1）－4x（x+1）+4（x+1）=（x+1）（x2－4x+4）=（x+1）（x－2）2．例5 设x2+xy－6y2+x+13y－6=（x+3y+m）（x－2y+n）=x2－2xy+nx+3xy－6y2+3ny+mx－2my+mn=x2+xy－6y2+（n+m）x+（3n－2m）y+mn．比较左、右两边对应项系数，得1,2,3213, 3.6.m n m n m n mn +=⎧=-⎧⎪-=⎨⎨=⎩⎪=-⎩解得 ∴x 2+xy －6y 2+x+13y －6=（x+3y －2）（x －2y+3）．例6 （x 2+2）（x+1）（x －1）（x 2+x+1）（x 2－x+1）．[提示：（x 4+x 2－4）（x 4+x 2+3）+10=（x 4+x 2）2－（x 4+x 2）－12+10=（x 4+x 2）2－（x 4+x 2）－2=（x 4+x 2－2）（x 4+x 2+1）=（x 2+2）（x 2－1）[（x 4+2x 2+1）－x 2]=（x 2+2）（x 2－1）[（x 2+1）2－x 2]=（x 2+2）（x+1）（x －1）（x 2+x+1）（x 2－x+1）．]【拓展题】 设a=x+y ，b=xy ，则（x 2+xy+y 2）2－4xy （x 2+y 2）=[（x+y ）2－xy] 2－4xy[（x+y ）2－2xy]=（a 2－b ）2－4b （a 2－2b ）=a 4－6a 2b+9b 2=（a 2－3b ）2=（x 2+2xy+y 2－3xy ）2=（x 2－xy+y 2）2．能力训练1．C [提示：根据因式分解的概念判断．]2．D [提示：x 2－y 2－2x －4y －3=（x 2－2x+1）－（y 2+4y+4）=（x －1）2－（y+2）2=[（x －1）+（y+2）][（x －1）－（y+2）]=（x+y+1）（x －y －3）．]3．D [提示：x 2－4y 2－9z 2－12yz=x 2－（4y 2+9z 2+12yz ）=x 2－（2y+3z ）2=[x+（2y+3z ）][x －（2y+3z ）]=（x+2y+3z）（x－2y－3z）．]4．B [提示：②式=（x－3a）3；③式=x（b+c－d）+y（b+c－d）－2（b+c－d）=（b+c－d）（x+y－2）；④式=（m－n）（3m－6n）=3（m－n）（m－2n）．所以②、③、④式合乎要求．]5．A [提示：利用十字相乘法可推断．]6．C [提示：原式=a4－a2b2－2a2bc－a2c2－a2b2+2a2bc －a2c2+b4－2b2c2+c4=a4－a2（b2+2bc+c2）－a2（b2－2bc+c2）+（b2－c2）2 =a4－a2（b+c）2－a2（b－c）2+（b+c）2（b－c）2=[a2－（b+c）2][a2－（b－c）2]=（a+b+c）（a－b－c）（a+b－c）（a－b+c）．]7．（3a+2）（a－3）．8．（x+2y+2）（x+2y－2）．[提示：x2+4xy－4+4y2 =（x2+4xy+4y2）－4=（x+2y）2－4=（x+2y+2）（x+2y－2）．]9．（x－1）2（y－1）2．[提示：（x+y－2xy）（x+y－2）+（xy－1）2．=（x+y）2－2xy（x+y）－2（x+y）+4xy+x2y2－2xy+1 =（x+y）2－2（x+y）（xy+1）+（xy+1）2=（x+y－xy－1）2=（x－1）2（y－1）2．]10．（x2+4x－3）（x2+4x+1）．[提示：（x2－1）（x+3）（x+5）+12=（x+1）（x+3）（x－1）（x+5）+12=（x2+4x+3）（x2+4x－5）+12=（x2+4x）2－2（x2+4x）－15+12=（x2+4x－3）（x2+4x+1）．]11．（x3－x2+1）（x2+x+1）；（x3+x2－1）（x2－x+1）．[提示：x5+x+1=x2（x3－1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）[x2（x－1）+1]=（x3－x2+1）（x2+x+1）；x5+x－1=x2（x3+1）－（x2－x+1）=（x2－x+1）[x2（x+1）－1]=（x3+x2－1）（x2－x+1）．] 12．（x－2）3－（y－2）3－（x－y）3=[（x－2）－（y－2）][（x－2）2+（x－2）（y－2）+（y－2）2]－（x－y）=（x－y）[（x－2）2+（x－2）（y－2）+（y－2）2－（x－y）2]=3（x－y）（xy－2y－2x+4）=3（x－2）（y－2）（x－y）．13．A3+B3+C3－3ABC=（A+B+C）（A2+B2+C2－BC－CA－AB）．若A+B+C=0，便有A3+B3+C3=3ABC．令A=2x－3y，B=3x－2y，C=5y－5x，则符合上述条件，易得A3+B3+C3=3ABC，即（2x－3y）3+（3x－2y）3－125（x－y）3=15（2x－3y）（3x－2y）（y－x）．14．设（t+1）3=x，y=2+t+t2，则原式=[（4+2t+2t2）－3（1+3t+3t2+t3）][（2+t+t2）－（1+3t+3t2+t3）]－[（t+1）3] 2=（2y－3x）（y－x）－x2=2x2－5xy+2y2=（2x－y）（x－2y）=[2（t3+3t2+3t+t）－（t2+t+2）][（t3+3t2+3t+1）－2（t2+t+2）]=（2t3+5t2+5t）（t3+t2+t－3）=t（2t2+5t+5）（t－1）（t2+2t+3）．15．令y=(1)(3)2x x+++=x+2，则原式=（y －1）4+（y+1）4－272=2（y 4+6y 2+1）－272=2（y 4+6y 2－135）=2（y 2－9）（y 2+15）=2（y+3）（y －3）（y 2+15）=2（x+5）（x －1）（x 2+4x+19）．16．5-422-33由上面的双十字相乘法，得2×5－3×（－4）=10－12=－2．∴6x 2－5xy －6y 2－2xz －23yz －20z 2=（2x －3y －4z ）（3x+2y+5z ）．。
第2讲 因式分解(2)
（2）9x2－y2－4y－4；
（3）a2＋(b2－2b)a－b3＋b2；
（4）(a＋b)2(a－b)2－a4＋b4．
【答案】（1）(a－ b ＋x)(a― b ―x)（2）(3x＋y＋2)(3x－y－2)（3）(a－b)(a－b＋b2)
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）－2a2(a＋b)(a－b)
c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b．
2． 双字母型 双字母型与单字母型的分解方法是一样的，只是结构上的区别．
考点一 单字母型十字相乘法
例 1．分解因式． （1）x2＋3x＋2；
（2）x2＋x－20；
（3）6x－27＋x2；
（4）x2－2x－99．
【答案】（1）(x＋1)(x＋2)（2）(x＋5)(x－4)（3）(x＋9)(x－3)（4）(x－11)(x＋9)
（2）4x2－xy－5y2；
（3）－9xy＋2x2－5y2；
（4）a2b2－7ab3＋10b4．
【答案】（1）(x－6y)(x－8y)（2）(x＋y)(4x－5y) （3）(x－5y)(2x＋y)（4）b2(a－2b)(a－5b)
分组分解法
1． 分组分解法 很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，
（2）x2－15x＋36； （4）x2－5x－104．
【答案】（1）(x＋2)(x＋4)（2）(x－12)(x－3) （3）(x－12)(x＋6)（4）(x－13)(x＋8)
变 2．把下列各式因式分解． （1）－3x2－2－7x；
（3）3x2－2x－8；
（2）2x2－x－3； （4）－2m2－5m＋12．
就可以运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解．常见的分组方式有“2＋2”型，“3 ＋1”型，“3＋2”型等．
八年级上册数学同步培优：第12讲 因式分解二--提高班
第12讲 因式分解（二）⎧⎪⎨⎪⎩十字相乘法因式分解法（二）分组分解法因式分解的综合应用 知识点1 十字相乘法对于像这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项c 分解成两个因数的积，并使正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：．【典例】1.因式分解：x 2﹣x ﹣12= ．【方法总结】用十字相乘法对一个形如的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.2.因式分解：4a 2+4a ﹣15= ．【方法总结】这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.3.分解因式：3x 3﹣12x 2﹣15x= ． 【方法总结】利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二2ax bx c ++a 12a a ，12c c ，1221a c a c +1122((²ax bx c a x c a x c ++=++））2ax bx c ++次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.4.因式分解：（x+y ）2+5（x+y ）﹣6= ．【方法总结】如果式子可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x 既可以是一个字母，也可以是一个式子. 该题中x 就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.【随堂练习】1．（2018春•相城区期中）若x 2+mx ﹣15=（x+3）（x+n ），则m ﹣n 的值为____．2．（2017秋•临颍县期末）仔细阅读下面例题，解答问题；例题，已知二次三项式x 2﹣4x+m 有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x 2+5x ﹣m 有一个因式是（3x ﹣1），求另一个因式以及m 的值． 3．（2017秋•阳泉期末）阅读与思考 x 2+（p+q ）x+pq 型式子的因式分解x 2+（p+q ）x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p ）（x+q ）=x 2+（p+q ）x+pq ，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）2ax bx c ++（x+q）．利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6=2×（﹣3），一次项系数﹣1=2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这样我们也可以得到x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值。
一元二次方程应用题的题型
一元二次方程的应用（一）二次三项式的因式分解（1）形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式．（2）二次三项式因式分解的公式 ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)说明：(a)在此公式中x1、x2是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．(b)任何二次三项式，当对应的一元二次方程△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．当△=0时，二次三项式ax2＋bx＋c是完全平方式．(c)对于二次三项式的因式分解，能用前面学过的方法分解的，用前面学过的方法较简便．借助一元二次方程分解的，主要是指那些用前面学过的方法不能因式分解的二次三项式．(3) 因式分解二次三项式的步骤(a)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．(b)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)．(4) 难点/混淆点：(a)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．(b)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．(c)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理．(5) 常见例题 - 4y2＋8y－1．解：对应的方程为－4y2＋8y－1=0根的判别式：△=8*8-4*（-4）*（-1）=48〉0所以它有两个不等的实根。
它的两根是：启示：(a)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；(b)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化．(6) 拓展：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解这样的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，一般将其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，可看作关于x或y的二次三项式.(7) 综合题：二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(a)在实数范围内能分解；(b)不能分解；(c)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k(a)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式；(b)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式；(c)当△=0时，即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．当时，（二）列一元二次方程解应用题（1）解应用题步骤即：1．审题；2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3．找等量关系列方程；4．解方程；5．判断解是否符合题意；6．写出正确的解．（2）常见类型1、传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人可传染人数共传染人数第0轮 1（传染源） 1第1轮 x x+1第2轮 x(x+1) 1+x+ x(x+1)列方程 1+x+ x(x+1)=121解方程，得X 1=10，X 2=-12X 2=-12不符合题意，所以原方程的解是x=10答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级上第十四章 “阅读与思考”
形如“q px x ++2”型式子的因式分解
三、例题学习
(20分钟)（教学目标：会用“拆常数项，凑一次项”进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解，通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。
）
例1: 因式分解
__)
(_____)(____)
(____)(__8
9)1(22=⨯+++=++x x x x
__)
(_____)(____)(____)(__8
6)2(22=⨯+++=+-x x x x
巩固练习1、分解因式 __)
(_____)(____)
(____)(__6
5)1(22=⨯+++=++x x x x
__)
(_____)(____)(____)(__10
7)2(22=⨯+++=+-x x x x
__________
__)
(____)(__15
8)3(22=⨯+++=+-x x x x __________
__)(____)(__14
9)4(22=⨯+++=++x x x x
总结:_当常数项是正数时，分解的两个数必同号，即都为正或都为负。
例2、 因式分解
)
(____)(_____)
(____)(__2=⨯+++=x x
)
(____)(_____)(____)(__8
2)2(22=⨯+++=-+x x x x
巩固练习2、分解因式： _________
__)
(____)(__4
3)1(22=⨯+++=--x x x x _________
__)(____)(__6
)2(22=⨯+++=-+x x x x
_________
__)
(____)(__12
4)3(22=⨯+++=-+x x x x
_________
__)(____)(__10
3)4(22=⨯+++=--x x x x
总结:_当常数项是负数时，分解的两个数为异号，即一正一负。
五、课堂检测
(4分钟)（教学目标：强化“q px x ++2”型式子的因式分解） 1、因式分解
___________)
(____)(__8
6)1(22=⨯+++=++x x x x
_________
__)(____)(__2=⨯+++=x x _________
__)(____)(__6
)3(22=⨯+++=-+x x x x
_________
__)(____)(__4
3)4(22=⨯+++=-+x x x x ___________)(____)(__5
4)5(22=⨯+++=-+x x x x __
_____________)(_____)(__27
6)6(22=⨯+++=--x x x x。