高中数学最新-山东省枣庄市2018届高三数学上册期末试题2 精品

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山东省枣庄市高三上学期期末数学试卷(理科)

山东省枣庄市高三上学期期末数学试卷(理科)

山东省枣庄市高三上学期期末数学试卷(理科)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题;共20分)1. (2分) N表示自然数集,集合,则A .B .C .D .2. (2分) (2018高二上·宁波期末) 直线的倾斜角为A .B .C .D .3. (2分)在△ABC中,已知三边a、b、c满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则∠C等于()A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°4. (2分)(2018·银川模拟) 已知x , y满足约束条件,则的最大值是()A . -1B . -2C . -5D . 15. (2分) (2017高二上·潮阳期末) 已知a= ,b=log2 ,c= ,则()A . a>b>cB . a>c>bC . c>a>bD . c>b>a6. (2分) (2018高二上·榆林期末) 已知命题:对任意,都有;命题:“ ”是“ ”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A .B .C .D .7. (2分)(2017·湘西模拟) 将函数的图象向左平移个单位长度后,所得函数g(x)的图象关于原点对称,则函数f(x)在的最大值为()A . 0B .C .D . 18. (2分)(2016·海口模拟) 已知菱形ABCD的边长为6,∠ABD=30°,点E、F分别在边BC、DC上,BC=2BE,CD=λCF.若 =﹣9,则λ的值为()A . 2B . 3C . 4D . 59. (2分)设x0是方程lnx+x=4的解,且x0∈(k,k+1)(k∈Z),求k的值为()A . 1B . 2C . 4D . 010. (2分) (2017高二上·黑龙江月考) 若曲线与直线有公共点,则的取值范围是()A .B .C .D .二、填空题 (共5题;共5分)11. (1分) (2019高二下·盐城期末) 已知一组数据,,,,的方差为,则数据2,2 ,2 ,2 ,2 的方差为________.12. (1分) (2019高一上·安达期中) 已知函数,若关于的方程在内有唯一解,则的取值范围是 ________.13. (1分) (2018高二下·重庆期中) 重庆一中开展的“第十届校园田径运动会”中,甲、乙、丙、丁四位同学每人参加了一个项目,且参加的项目各不相同,这个四个项目分别是:跳高、跳远、铅球、跑步.下面是关于他们各自参加的活动的一些判断:①甲不参加跳高,也不参加跳远;②乙不参加跳远,也不参加铅球;③丙不参加跳高,也不参加跳远;④如果甲不参加跑步,则丁也不参加跳远.已知这些判断都是正确的,则乙参加了________14. (1分)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是________15. (1分)设抛物线x2=4y的焦点为F,经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点,且点P恰为AB的中点,则||+||=________ .三、解答题 (共6题;共55分)16. (10分) (2016高一下·亭湖期中) 已知函数f(x)= sinx+cosx.(1)求f(x)的最大值;(2)设g(x)=f(x)cosx,x∈[0, ],求g(x)的值域.17. (10分) (2016高二上·翔安期中) 已知数列{an}是等比数列,a1=2,a3=18.数列{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n﹣2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n=1,2,3,….试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.18. (10分) (2018高三下·鄂伦春模拟) 根据以往的经验,某建筑工程施工期间的降水量(单位:)对工期的影响如下表:降水量工期延误天数0136根据某气象站的资料,某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据,绘制得到降水量的折线图,如下图所示.(1)根据降水量的折线图,分别求该工程施工延误天数的频率;(2)以(1)中的频率作为概率,求工期延误天数的分布列及数学期望与方差.19. (10分) (2015高二上·福建期末) 直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E为BB1延长线上的一点,D1E⊥面D1AC.设AB=2.(1)求二面角E﹣AC﹣D1的大小;(2)在D1E上是否存在一点P,使A1P∥面EAC?若存在,求D1P:PE的值;不存在,说明理由.20. (5分) (2017高三下·平谷模拟) 已知椭圆经过点,离心率为,为坐标原点.(I)求椭圆的方程.(II)若点为椭圆上一动点,点与点的垂直平分线l交轴于点,求的最小值.21. (10分) (2019高二下·盐城期末) 如图,一条小河岸边有相距的两个村庄(村庄视为岸边上两点),在小河另一侧有一集镇(集镇视为点),到岸边的距离为,河宽为,通过测量可知,与的正切值之比为.当地政府为方便村民出行,拟在小河上建一座桥(分别为两岸上的点,且垂直河岸,在的左侧),建桥要求:两村所有人到集镇所走距离之和最短,已知两村的人口数分别是人、人,假设一年中每人去集镇的次数均为次.设.(小河河岸视为两条平行直线)(1)记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和,试用表示;(2)试确定的余弦值,使得最小,从而符合建桥要求.参考答案一、选择题 (共10题;共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题;共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题;共55分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。

山东省枣庄市高三上学期期末数学试卷(理科)

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山东省枣庄市高三上学期期末数学试卷(理科)姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题;共 24 分)1. (2 分) 已知集合 M={1,2,3}, A. B.,则( )C.D.2. (2 分) (2018 高二下·龙岩期中) 复数 A. B. C. D. 3. (2 分) 已知 为等差数列,若 A . 15 B . 24 C . 27 D . 54=( ) ,则 ( )4. ( 2 分 ) (2019 高 二 上 · 保 定 月 考 ) 若 点 集,设点集().现向区域 M 内任投一点,则该点落在区域 B 内的概率为第 1 页 共 15 页A. B. C. D. 5. (2 分) (2016 高三上·宜春期中) 函数 y= 的图象大致为( )A.B.C.D. 6. (2 分) (2016 高一下·武汉期末) 正四棱锥 P﹣ABCD,B1 为 PB 的中点,D1 为 PD 的中点,则两个棱锥 A ﹣B1CD1 , P﹣ABCD 的体积之比是( )第 2 页 共 15 页A . 1:4 B . 3:8 C . 1:2 D . 2:37. (2 分) 已知双曲线的左焦点为 F1 , 左、右顶点分别为 A1、A2 , P 为双曲线上任意一点,则分别以线段 PF1 , A1A2 为直径的两个圆的位置关系为( )A . 相交B . 相切C . 相离D . 以上情况都有可能8. (2 分) (2018·攀枝花模拟) 已知双曲线的左、右顶点分别为.点为双曲线的左焦点,过点 作垂直于 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 于 、 两点,连接交 轴于点 ,连接 交于点 ,且,则双曲线 的离心率为( )A. B.2 C.3 D.5 9. (2 分) (2017 高一下·西安期中) 执行下面的程序框图,输出的 S=( )第 3 页 共 15 页A . 25B.9C . 17D . 2010. (2 分) (2020·湖南模拟) 在棱长为 1 的正方体中点,过点 、 、 、 的截面与平面的交线为为( )中, ,则异面直线分别为,的、所成角的正切值A.B.C.D.11. (2 分) 若抛物线 A . -2 B.2 C . -4 D.4的焦点与椭圆的右焦点重合,则 p 的值为( )12. (2 分) (2017 高三上·珠海期末) 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<第 4 页 共 15 页)图象如图所示,则下列关于函数 f (x)的说法中正确的是( )A . 对称轴方程是 x= +kπ(k∈Z) B . 对称中心坐标是( +kπ,0)(k∈Z) C . 在区间(﹣ , )上单调递增 D . 在区间(﹣π,﹣ )上单调递减二、 填空题 (共 4 题;共 4 分)13. (1 分) 设向量 , 满足| + |= , | ﹣ |= , 则 • =________14. (1 分) (2017 高三上·山东开学考) 若 dx=a,则(x+ )6 展开式中的常数项为________.15. (1 分) (2018·大新模拟) 设等比数列 的前 项和为 ,若,且,则________.16. (1 分) (2017 高一下·哈尔滨期末) 设 x,y 满足约束条件 ________ .三、 解答题 (共 7 题;共 65 分),则的最小值为17. (5 分) (2016 高三上·黑龙江期中) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知,,.(Ⅰ)求 b 和 c;第 5 页 共 15 页(Ⅱ)求 sin(A﹣B)的值. 18. (15 分) 如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上异于 A、B 的点. PA=AB,∠BAC=60°,点 D,E 分别在棱 PB,PC 上,且 DE∥BC.(1) 求证:BC⊥平面 PAC;(2) 当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PBC 所成的角的正弦值;(3) 是否存在点 E 使得二面角 A﹣DE﹣P 为直二面角?并说明理由.19. (5 分) (2017·山东) 在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方 法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组 志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有 6 名男志愿者 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 和 4 名女志愿者 B1 , B2 , B3 , B4 , 从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示,另 5 人接受乙种心理暗示.(12 分)(Ⅰ)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率.(Ⅱ)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求 X 的分布列与数学期望 EX.20. (10 分) (2019 高三上·汉中月考) 是抛物线的焦点, 是抛物线 上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为 ,点 到抛物线 的准线的距离为 .第 6 页 共 15 页(1) 求抛物线 的方程;(2) 若点 的横坐标为个不同的交点,求当,直线 时,与抛物线 有两个不同的交点 的最小值.21. (10 分) (2019 高二下·双鸭山月考) 已知函数.(1) 讨论的单调性;(2) 若,不等式有且只有两个整数解,求 的取值范围.与圆 有两22. (5 分) (2019 高三上·佛山月考) 在直角坐标系中,曲线 的参数方程为(为参数),在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系( 为极径, 为极角).得到曲线 ,以坐标原点 为极(Ⅰ)求曲线 的直角坐标方程和曲线 的极坐标方程;(Ⅱ)若射线与曲线 交于点 ,射线与曲线 交于点 ,求的值.23. (15 分) (2019 高三上·上海月考) 某旅游胜地欲开发一座景观山,从山的侧面进行勘测,迎面山坡线 由同一平面的两段抛物线组成,其中 所在的抛物线以 为顶点、开口向下, 所在的抛物线以 为顶点、开口向上,以过山脚(点 )的水平线为 轴,过山顶(点 )的铅垂线为 轴建立平面直角坐标系如 图 ( 单 位 : 百 米 ). 已 知所在抛物线的解析式,所在抛物线的解析式为第 7 页 共 15 页(1) 求值,并写出山坡线的函数解析式;(2) 在山坡上的 700 米高度(点 )处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站,索道的起点选择在山脚水平线上的点 处,(米),假设索道可近似地看成一段以 为顶点、开口向上的抛物线当索道在 上方时,索道的悬空高度有最大值,试求索道的最大悬空高度;(3) 为了便于旅游观景,拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶,台阶每级的高度为 20 厘米,长 度因坡度的大小而定,但不得少于 20 厘米,每级台阶的两端点在坡面上(见图).试求出前三级台阶的长度(精确 到厘米),并判断这种台阶能否一直铺到山脚,简述理由?第 8 页 共 15 页一、 选择题 (共 12 题;共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题;共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 9 页 共 15 页16-1、三、 解答题 (共 7 题;共 65 分)17-1、 18-1、第 10 页 共 15 页18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、23-3、。

山东省枣庄市数学高三上学期理数期末考试试卷

山东省枣庄市数学高三上学期理数期末考试试卷

山东省枣庄市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分)(2017·黄陵模拟) 设集合,B={y|y=2x , x>0},则A∪B=()A . (1,2]B . [0,+∞)C . [0,1)∪(1,2]D . [0,2]2. (2分)(2017·东莞模拟) 在复平面内,复数对应的点位于()A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. (2分)若命题“,使得”为假命题,则实数m的取值范围是()A .B .C .D .4. (2分)(2017·湖北模拟) 已知双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y﹣1=0平行,则双曲线C的离心率为()A .B .C .D .5. (2分)(2017·榆林模拟) 设a>0,b>0()A . 若lna+2a=lnb+3b,则a>bB . 2a+2a=2b+3b,则a<bC . 若lna﹣2a=lnb﹣3b,则a>bD . 2a﹣2a=2b﹣3b,则a<b6. (2分)(2017·常德模拟) 如图所示,在△ABC内随机选取一点P,则△PBC的面积不超过△ABC面积一半的概率是()A .B .C .D .7. (2分)(2018·六安模拟) 已知为双曲线上不同三点,且满足(为坐标原点),直线的斜率记为,则的最小值为()A . 8B . 4C . 2D . 18. (2分) (2016高一上·安庆期中) 已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则函数y=f(|x﹣1|)﹣1的图象可能是()A .B .C .D .9. (2分) (2015高二上·承德期末) 如图,直线l过抛物线y2=4x的交点F且分别交抛物线及其准线于A,B,C,若,则|AB|等于()A . 5B . 6C .D . 810. (2分)若的展开式中只有第6项的系数最大,则不含x的项为()A . 462B . 252C . 210D . 1011. (2分)已知AO为平面的一条斜线,O为斜足,OB为OA在平面内的射影,直线OC在平面内,且,则的大小为()A .B .C .D .12. (2分)设函数f(x)=x3+sinx,(x∈R).若当0<θ<时,不等式f(msinθ)+f(1﹣m)>0恒成立,则实数m的取值范围是()A . [1,+∞)B . (﹣∞,1]C . (,1)D . (,1]二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2018高一下·北京期中) 下面茎叶图记录了在某项体育比赛中,九位裁判为一名选手打出的分数情况,则去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值为________,方差为________.14. (1分)(2018·南阳模拟) 某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示:体积(升/件)重量(公斤/件)利润(元/件)甲乙在一次运输中,货物总体积不超过升,总重量不超过公斤,那么在合理的安排下,一次运输获得的最大利润为________元.15. (1分) (2015高一下·兰考期中) 计算:1﹣2sin222.5°的结果等于________16. (1分) (2017高二上·绍兴期末) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长等于________,体积等于________.三、解答题 (共7题;共35分)17. (5分)(2013·山东理) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ,且S4=4S2 , a2n=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Tn且(λ为常数).令cn=b2n(n∈N*)求数列{cn}的前n项和Rn.18. (5分) (2018高二上·綦江期末) 如图,在四棱锥中,底面是菱形,且.点是棱的中点,平面与棱交于点 .(1)求证:∥ ;(2)若,且平面平面,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.19. (5分)(2017·甘肃模拟) 持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一.为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求,中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点.2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策,其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表:某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车,根据其续驶里程R(单词充电后能行驶的最大里程,R∈[100,300])进行如下分组:第1组[100,150),第2组[150,200),第3组[200,250),第4组[250,300],制成如图所示的频率分布直方图.已知第1组与第3组的频率之比为1:4,第2组的频数为7.纯电动续驶里程R(公100≤R<150 150≤R<250R>250里)补贴标准(万元/辆)2 3.6 44(1)请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程;(2)若以频率作为概率,设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).20. (5分)(2016·上海文) 双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设,若l的斜率存在,且|AB|=4,求l的斜率.21. (5分)(2017·潮州模拟) 已知函数g(x)=lnx﹣ax2+(2﹣a)x,a∈R.(1)求g(x)的单调区间;(2)若函数f(x)=g(x)+(a+1)x2﹣2x,x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个零点,f′(x)是函数f(x)的导函数,证明:f′()<0.22. (5分)(2017·葫芦岛模拟) 在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的参数方程为(θ为参数),曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上一点,Q为曲线 C2上一点,求|PQ|的最小值.23. (5分)(2017·湖北模拟) 已知函数f(x)=|x+a|+|x+3|,g(x)=|x﹣1|+2.(1)解不等式|g(x)|<3;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题;共35分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

山东省枣庄市2018届高三数学上学期期末检测 理 新人教

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二○一二届高三第一学期期末检测数学(理科)2018.1本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第I 卷1-2页,第II 卷3-4页.满分150分,考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共60分)注意事项:1.答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上.3.考试结束后,监考人员将答题卡和第II 卷的答题纸一并收回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R ,则正确表示集合{}1,0=M 和{}02=+=x x x N 关系的韦恩(Venn )图是2.命题“存在02,00≥∈x R x ”的否定是 A.不存在002,x R x ∈<0B.存在002,x R x ∈<0C.对任意的02,≥∈xR xD.对任意的xR x 2,∈<03.在四边形ABCD 中,若AD AB AC +==ABCD 是 A.平行四边行B.矩形C.正方形D.菱形4.函数x y 24-=的值域是A.[)+∞,0B.[]2,0C.[)2,0D.(0,2)5.设a >0,b >0.若2是a 2与b2的等比中项,则ba 11+的最小值为 A.8B.4C.1D.416.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其体积等于 A.2B.3C.32D.67.函数()()(A x A x f ϕω+=sin >ω,0>0,ϕ<⎪⎭⎫2π的部分图象如图所示,则ϕω,的值分别为 A.3,2πB.6,3πC.3,3πD.6,2π8.直线()R t t y tx ∈=+-+01与圆044222=-+-+y x y x 的位置关系为 A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能9.设a ,b 为两条不重合的直线,βα,为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是 A.若,,//αα⊂b a 则b a //B.若,//,//,//βαβαb a 则b a //C.若,,,βαβα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥D.若,//,,βααa b a ⊂⊂则βα// 10.设,32m ba==且,211 =+ba 则=m A.6B.6C.12D.3611.已知双曲线12222=-by a x 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,且该双曲线的离心率为5,则该双曲线的渐近线方程为A.x y 21±= 2 B.x y 2±= 4C.x y 2±=D.x y 22±= 12.数列{}n a 中b a a a ==21,,且满足,21+++=n n n a a a 则2012a 的值为 A.bB.b —aC.—bD.—a>0,第II 卷(非选择题 共90分)说明:1.第II 卷3—4页;2.第II 卷的答案必须用0.5mm 黑色签字笔答在答题纸的指定位置. 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.若平面向量c b a ,,两两所成的角相等,,3,1===c b a 则=++c b a _______.14.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+,1,1,1x y x y x 则y x z 2-=的最小值是_______.15.设偶函数()x f 满足()()042≥-=x x f x ,则不等式()x f >0的解集为_____. 16.在平面内有n 条直线,其中任何两条直线不平行,任何三条直线都不相交于同一点,则这n 条直线把平面分成________部分.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分12分)设数列{}n a 满足.,2222*13221N n na a a a n n ∈=+⋅⋅⋅+++-(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设,1,log 1121nn b b c a b n n n n n ++==+记,21n n c c c S +⋅⋅⋅++=证明:S n <1.18.(本题满分12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知.cos cos cos 2C b B c A a += (1)求A cos 的值; (2)若23cos cos ,1=+=C B a ,求边c 的值.19.(本题满分12分)如图,ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AD=2,∠BAD=60°.(1)证明:面PBD ⊥面PAC ;(2)求锐二面角A —PC —B 的余弦值.20.(本题满分12分) 观察下表:1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15, …… 问:(1)此表第n 行的第一个数与最后一个数分别是多少? (2)此表第n 行的各个数之和是多少? (3)2018是第几行的第几个数?21.(本题满分12分) 已知函数().ln x x x f = (1)求函数()x f 的极值点;(2)若直线l 过点(0,—1),并且与曲线()x f y =相切,求直线l 的方程;(3)设函数()()()1--=x a x f x g ,其中R a ∈,求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.(其中e 为自然对数的底数)22.(本题满分14分)已知椭圆(a b x a y C 1:2222=+>b >)0的离心率为,22且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为22.斜率为()0≠k k 的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M (0,m ).(1)求椭圆的标准方程; (2)求m 的取值范围.(3)试用m 表示△MPQ 的面积S ,并求面积S 的最大值.二○一二届高三第一学期期末检测 数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.ADDC BBDA CACA二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分 13.2或514.—315.()()+∞⋃-∞-,22,16.222++n n三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17.解(1)由题意,,222221123221n a a a a a n n n n =++⋅⋅⋅+++--- 当 2≥n 时,.21222123221-=+⋅⋅⋅+++--n a a a a n n 两式相减,得.2121221=--=-n n a n n 所以,当2≥n 时,.21n n a =………………………………………………………………4分当n =1时,211=a 也满足上式,所求通项公式().21*N n a n n ∈=……………………6分(2).121log 1log 12121n a b nnn =⎪⎭⎫⎝⎛==……………………………………………………8分 ()11111+-=+-+=n n n n n n c n ………………………………………………………10分⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++=1114131312121121n nc c c S n n 111+-=n <1.……………………………………………………12分 18.解:(1)由C b B c A a cos cos cos 2+=及正弦定理得,cos sin cos sin cos sin 2C B B C A A +=即().sin cos sin 2C B A A +=4分 又,A C B -=+π所以有(),sin cos sin 2A A A -=π即.sin cos sin 2A A A = 而0sin ≠A ,所以.21cos =A ………………………………………………6分 (2)由21cos =A 及0<A <π,得A =.3π 因此.32ππ=-=+A C B 由,23cos cos =+C B 得,2332cos cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+B B π即23sin 23cos 21cos =+-B B B ,即得.236sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ………………8分由,3π=A 知.65,66⎪⎭⎫⎝⎛∈+πππB 于是,36ππ=+B 或.326ππ=+B 所以6π=B ,或.2π=B …………………………………………………………10分 若,6π=B 则.2π=C 在直角△ABC 中, c 13sin =π,解得;332=c 若,2π=B 在直角△ABC 中,,13tanc =π解得.33=c ……………………12分 19.(1)因为四边形ABCD 是菱形,所以AC .BD ⊥因为PA ⊥平面ABCD ,所有PA ⊥BD.…………………………2分 又因为PA ⋂AC=A ,所以BD ⊥面 PAC.……………………3分 而BD ⊂面PBD ,所以面PBD ⊥面PAC.…………………5分(2)如图,设AC ⋂BD=O.取PC 的中点Q ,连接OQ.在△APC 中,AO=OC ,CQ=QP ,OQ 为△APC 的中位线,所以OQ//PA. 因为PA ⊥平面ABCD ,所以OQ ⊥平面ABCD ,……………………………………………………6分 以OA 、OB 、OQ 所在直线分别为x 轴、z 轴,建立空间直角坐标系O .xyz - 则()()(),0,0,3,0,1,0,0,0,3-C B A ().2,0,3P ………………………………………………………………………7分因为BO ⊥面PAC ,所以平面PAC 的一个法向量为().0,1,0=…………………………………8分 设平面PBC 的一个法向量为(),,,z y x = 而()(),2,1,3,0,1,3--=--=PB BC由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--.023,03x y x y x令,1=x 则.3,3-=-=z y所以()3,3,1--=为平面PBC 的一个法向量.……………………………10分cos <,>.72133113-=++⨯-==……………………12分20.此表n 行的第1个数为,21-n 第n 行共有12-n 个数,依次构成公差为1的等差数列.…………………………………………………………………………………………4分 (1)由等差数列的通项公式,此表第n 行的最后一个数是()121122121-=⨯-+--n n ;8分(2)由等差数列的求和公式,此表第n 行的各个数之和为()[]2211222122---=⨯-+n n n n,22232---+n n 或().2221212222232221111--------+=⨯-⨯+⨯n n n n n n n ……………8分(3)设2018在此数表的第n 行. 则,12201221-≤≤-n n 可得.11=n故2018在此数表的第11行.………………………………………………………10分设2018是此数表的第11行的第m 个数,而第11行的第1个数为210,因此,2018是第11行的第989个数.………………………………………………12分21. 解:(1)()x x x f ,1ln +='>0.………………………………………………………1分而()x f '>0⇔lnx+1>0⇔x >()x f e ',1<0⇔1ln +x <0⇔0<x <,1e所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减,在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e 上单调递增.………………3分所以ex 1=是函数()x f 的极小值点,极大值点不存在.…………………4分 (2)设切点坐标为()00,y x ,则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-……………………5分 又切线l 过点()1,0-,所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=--解得.0,100==y x所以直线l 的方程为.1-=x y ………………………………………………7分 (3)()()1ln --=x a x x x g ,则().1ln a x x g -+='()x g '<0a x -+⇔1ln <0⇔0<x <()x g e a '-,1>0x ⇔>,1-a e所以()x g 在()1,0-a e 上单调递减,在()+∞-,1a e 上单调递增.………………8分 ①当,11≤-a e 即1≤a 时,()x g 在[]e ,1上单调递增,所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g ………………………………………9分 ②当1<1-a e<e ,即1<a <2时,()x g 在[)1,1-a e 上单调递减,在(]e e a ,1-上单调递增.()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g ……………………………………10分③当,1-≤a e e即2≥a 时,()x g 在[]e ,1上单调递减,所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=………………………………11分 综上,当1≤a 时,()x g 的最小值为0;当1<a <2时,()x g 的最小值为1--a ea ;当2≥a 时,()x g 的最小值为.ae e a -+…………………………………………12分22.解:(1)依题意可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+,12,12c a c a 解得.1,2==c a从而.1,22222=-==c a b a 所求椭圆方程为.1222=+x y …………………4分 (2)直线l 的方程为.1+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12,122x y kx y 可得().012222=-++kx x k 该方程的判别式△=()22288244kkk +=++>0恒成立.设()(),,,,2211y x Q y x P 则.21,22221221+-=+-=+k x x k k x x ………………5分 可得().24222121+=++=+k x x k y y 设线段PQ 中点为N ,则点N 的坐标为.22,222⎪⎭⎫⎝⎛++-k k k ………………6分 线段PQ 的垂直平分线方程为.212222⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=k k x k k y 令0=x ,由题意.212+=k m ………………………………………………7分又0≠k ,所以0<m <.21…………………………………………………8分(3)点M ()m ,0到直线1:+=kx y l 的距离221111km km d +-=+-=()212212212411x x x x k x x k PQ -+⋅+=-+=242212222++⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+=k k k k 2881222++⋅+k k k于是28811121212222++⋅+⋅+-⋅=⋅⋅=∆k k k k m PQ d S MPQ.2882122++⋅-=k k m由,212+=k m 可得.212-=mk 代入上式,得(),123m m S MPQ-=∆ 即()(0123m m S -=<m <⎪⎭⎫21.…………………………………………11分设()(),13m m m f -=则()()().4112m m m f --=' 而()m f '>0⇔0<m <()m f ',41<041⇔<m <,21所以()m f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0上单调递增,在⎪⎭⎫⎝⎛21,41上单调递减. 所以当41=m 时,()m f 有最大值.2562741=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ……………………13分 所以当41=m 时,△MPQ 的面积S 有最大值.1663…………………14分。

2017-2018学年山东省枣庄一中高三(上)期末数学试卷(理科) Word版含解析

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2017-2018学年山东省枣庄一中高三(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.函数y=的定义域是()A.(1,2] B.(1,2)C.(2,+∞)D.(﹣∞,2)2.若向量=(1,2),=(4,5),则=()A.(5,7)B.(﹣3,﹣3)C.(3,3)D.(﹣5,﹣7)3.若a∈R,则“a2>a”是“a>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件4.设变量x、y满足,则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.7 B.8 C.22 D.235.设S n是等比数列{a n}的前n项和,若=3,则=()A.2 B.C.D.l或26.己知f(x)=的值域为R,那么a的取值范围是()A.(一∞,一1] B.(一l,)C.[﹣1,)D.(0,)7.执行如图所示的算法,则输出的结果是()A.1 B.C.D.28.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于()A.B.C.1 D.9.己知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),f()+f()=0,且f(x)在区间(,)上递减,则ω=()A.3 B. 2 C. 6 D. 510.4名大学生到三家企业应聘,每名大学生至多被一家企业录用,则每家企业至少录用一名大学生的情况有()A.24种B.36种C.48种D.60种11.椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.一l12.设函数f(x)=ax3﹣x+1(x∈R),若对于任意x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0,则实数a的取值范围为()A.(﹣∞,2] B.[0+∞)C.[0,2] D.[1,2]二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题中横线上.13.若复数z满足z=i(2+z)(i为虚数单位),则z=.14.过点A(3,1)的直线l与圆C:x2+y2﹣4y﹣1=0相切于点B,则•=.15.在三棱锥P﹣ABC中,PB=6,AC=3,G为△PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线PB和AC,则截面的周长为.16.数列{a n}的前n项和为S n,2S n﹣na n=n(n∈N*),若S20=﹣360,则a2=.三、解答题:本大题共70分,其中(17)-(21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)(2014秋•唐山期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且csinB=bcos C=3.(I)求b;(Ⅱ)若△ABC的面积为,求c.18.(12分)(2014秋•唐山期末)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,PA⊥底面ABCD,∠PCD=90°,PA=AB=AC.(I)求证:AC⊥CD;(Ⅱ)点E在棱PC上,满足∠DAE=60°,求二面角B﹣AE﹣D的余弦值.19.(12分)(2014秋•唐山期末)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口,在早高峰时间段,时常发生交通拥堵现象,交警部门统计11月份30天内的拥堵天数.东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天,15天,9天,15天.假设每个入口发生拥堵现象互相独立,视频率为概率.(I)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率;(Ⅱ)设翻乏示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数,求ξ的分布列及数学期望.20.(12分)(2014秋•唐山期末)已知抛物线y2=2px(p>0),过点C(一2,0)的直线l 交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,•=12.(I)求抛物线的方程;(Ⅱ)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.21.(12分)(2014秋•唐山期末)己知函数f(x)=ae x+x2,g(x)=sin+bx,直线l与曲线y=f(x)切于点(0,f(0))且与曲线y=g(x)切于点(1,g(1)).(I)求a,b的值和直线l的方程.(Ⅱ)证明:f(x)>g(x)请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4-1:几何证明选讲22.(10分)(2014秋•唐山期末)如图,四边形么BDC内接于圆,BD=CD,过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点.(I)求证:∠EAC=2∠DCE;(Ⅱ)若BD⊥AB,BC=BE,AE=2,求AB的长.选修4-4;坐标系与参数方程23.(2014秋•唐山期末)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ),斜率为的直线l交y轴于点E(0,1).(I)求C的直角坐标方程,l的参数方程;(Ⅱ)直线l与曲线C交于A、B两点,求|EA|+|EB|.选修4-5:不等式选讲24.(2015•河南二模)设函数f(x)=|x+1|+|x|(x∈R)的最小值为a.(I)求a;(Ⅱ)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求+的最小值.2017-2018学年山东省枣庄一中高三(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.函数y=的定义域是()A.(1,2] B.(1,2)C.(2,+∞)D.(﹣∞,2)考点:函数的定义域及其求法;对数函数的定义域.专题:计算题.分析:由函数的解析式知,令真数x﹣1>0,根据,得出x≤2,又在分母上不等于0,即x≠2最后取交集,解出函数的定义域.解答:解:∵log2(x﹣1),∴x﹣1>0,x>1根据,得出x≤2,又在分母上不等于0,即x≠2∴函数y=的定义域是(1,2)故选B.点评:本题主要考查对数及开方的取值范围,同时考查了分数函数等来确定函数的定义域,属基础题.2.若向量=(1,2),=(4,5),则=()A.(5,7)B.(﹣3,﹣3)C.(3,3)D.(﹣5,﹣7)考点:向量的减法及其几何意义;平面向量的坐标运算.专题:平面向量及应用.分析:直接利用向量的减法运算法则求解即可.解答:解:∵向量=(1,2),=(4,5),∴==(1,2)﹣(4,5)=(﹣3,﹣3);故选:B.点评:本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义,基本知识的考查.3.若a∈R,则“a2>a”是“a>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:根据不等式的解法以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解答:解:由a2>a得a>1或a<0,则“a2>a”是“a>1”的必要不充分条件,故选:B点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的关系是解决本题的关键.4.设变量x、y满足,则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.7 B.8 C.22 D.23考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论.解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:设z=2x+3y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点C时,直线y=﹣x+z的截距最小,此时z最小,由,解得,即C(2,1),此时z min=2×2+3×1=7,故选:A.点评:本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.5.设S n是等比数列{a n}的前n项和,若=3,则=()A.2 B.C.D.l或2考点:等比数列的前n项和.专题:等差数列与等比数列.分析:利用等比数列的前n项和公式求解.解答:解:∵S n是等比数列{a n}的前n项和,=3,∴=1+q2=3,∴q2=2,∴====.故选:B.点评:本题考查等比数列的前6项和与前4项和的比值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的前n项和公式的合理运用.6.己知f(x)=的值域为R,那么a的取值范围是()A.(一∞,一1] B.(一l,)C.[﹣1,)D.(0,)考点:分段函数的应用;函数的值域.专题:计算题;分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析:由于x≥1,lnx≥0,由于f(x)的值域为R,则当x<1时,(1﹣2a)x+3a的值域包含一切负数,对a讨论,分a=时,当a>时,当a<时,结合二次函数的单调性,解不等式即可得到所求范围.解答:解:由于x≥1,lnx≥0,由于f(x)的值域为R,则当x<1时,(1﹣2a)x+3a的值域包含一切负数,则当a=时,(1﹣2a)x+3a=不成立;当a>时,(1﹣2a)x+3a>1+a,不成立;当a<时,(1﹣2a)x+3a<1+a,由1+a≥0,可得a≥﹣1.则有﹣1≤a<.故选C.点评:本题考查分段函数的值域,考查一次函数和对数函数的单调性的运用,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于中档题和易错题.7.执行如图所示的算法,则输出的结果是()A.1 B.C.D.2考点:程序框图.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n,M,S的值,当S=1时,满足条件S∈Q,退出循环,输出S的值为1.解答:解:模拟执行程序框图,可得S=0,n=2n=3,M=,S=不满足条件S∈Q,n=4,M=,S=+不满足条件S∈Q,n=5,M=,S=++=1满足条件S∈Q,退出循环,输出S的值为1.故选:A.点评:本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,属于基础题.8.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于()A.B.C.1 D.考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥,根据三视图判断相关几何量的数据,把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算.解答:解:由三视图知:几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥,其中三棱柱的高为2,底面是直角边长为1的等腰直角三角形,三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形,∴几何体的体积V=×1×1×2﹣××1×1×2=.故选:A.点评:本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.9.己知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),f()+f()=0,且f(x)在区间(,)上递减,则ω=()A.3 B. 2 C. 6 D. 5考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.分析:首先通过三角恒等变换把函数变形成正弦型函数,进一步利用整体思想利用区间与区间的子集关系求出ω的范围,进一步利用代入法进行验证求出结果.解答:解:f(x)=sinωx+cosωx=2sin()所以:当k=0时,由于:f(x)在区间(,)单调递减,所以:解不等式组得到:当ω=2时,f()+f()=0,故选:B.点评:本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数单调性的应用,带入验证法的应用,属于基础题型.10.4名大学生到三家企业应聘,每名大学生至多被一家企业录用,则每家企业至少录用一名大学生的情况有()A.24种B.36种C.48种D.60种考点:计数原理的应用.专题:排列组合.分析:分两类,第一类,有3名被录用,第二类,4名都被录用,则有一家录用两名,根据分类计数原理即可得到答案解答:解:分两类,第一类,有3名被录用,有=24种,第二类,4名都被录用,则有一家录用两名,有=36,根据分类计数原理,共有24+36=60(种)故选D.点评:本题考查排列、组合的综合运用,解题时要先确定分几类,属于基础题11.椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.一l考点:椭圆的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:求出F(﹣c,0)关于直线x+y=0的对称点A的坐标,代入椭圆方程可得离心率.解答:解:设F(﹣c,0)关于直线x+y=0的对称点A(m,n),则,∴m=,n=c,代入椭圆方程可得,化简可得e4﹣8e2+4=0,∴e=﹣1,故选:D.点评:本题考查椭圆的方程简单性质的应用,考查对称知识以及计算能力.12.设函数f(x)=ax3﹣x+1(x∈R),若对于任意x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0,则实数a的取值范围为()A.(﹣∞,2] B.[0+∞)C.[0,2] D.[1,2]考点:利用导数求闭区间上函数的最值.专题:导数的综合应用;不等式的解法及应用.分析:对x讨论,当x=0,当x∈(0,1]时,f(x)=ax3﹣3x+1≥0可化为:aa≥﹣,设g(x)=﹣,由导数判断单调性,即可求出a≥0;x∈[﹣1,0)时,求出a≤2,由此可得a的取值范围.解答:解:若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0都成立;当x>0即x∈(0,1]时,f(x)=ax3﹣x+1≥0可化为:a≥﹣,设g(x)=﹣,则g′(x)=,所以g(x)在区间(0,1]上单调递增,因此g(x)max=g(1)=0,从而a≥0;当x<0即x∈[﹣1,0)时,f(x)=ax3﹣x+1≥0可化为:a≤﹣,设g(x)=﹣,则g′(x)=,g(x)在区间[﹣1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(﹣1)=2,从而a≤2,则0≤a≤2.即有实数a的取值范围为[0,2].故选:C.点评:本题考查不等式恒成立问题的解法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题中横线上.13.若复数z满足z=i(2+z)(i为虚数单位),则z=﹣1+i.考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:根据复数的基本运算进行求解即可.解答:解:由z=i(2+z)=zi+2i得(1﹣i)z=2i,则z==﹣1+i,故答案为:﹣1+i点评:本题主要考查复数的基本运算,比较基础.14.过点A(3,1)的直线l与圆C:x2+y2﹣4y﹣1=0相切于点B,则•=5.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:过点A(3,1)的直线l与圆C:x2+y2﹣4y﹣1=0相切于点B,可得=0.因此•==,即可得出.解答:解:由圆C:x2+y2﹣4y﹣1=0配方为x2+(y﹣2)2=5.∴C(0,2),半径r=.∵过点A(3,1)的直线l与圆C:x2+y2﹣4y﹣1=0相切于点B,∴=0.∴•==+==5.故答案为:5.点评:本题考查了直线与圆相切性质、向量的三角形法则、数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.在三棱锥P﹣ABC中,PB=6,AC=3,G为△PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线PB和AC,则截面的周长为8.考点:棱锥的结构特征.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:如图所示,过G作EF∥AC,分别交PA,PC于点E,F.过点F作FM∥PB交BC 于点M,过点E作EN∥PB交AB于点N.由作图可知:四点EFMN共面.可得=,EF=MN=2.同理可得:EN=FM=2.解答:解:如图所示,过点G作EF∥AC,分别交PA,PC于点E,F过点F作FM∥PB交BC于点M,过点E作EN∥PB交AB于点N.由作图可知:EN∥FM,∴四点EFMN共面可得MN∥AC∥EF,EN∥PB∥FM.∴=,可得EF=MN=2.同理可得:EN=FM=2.∴截面的周长为8.故答案为:8.点评:本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理,考查了推理能力用途计算能力,属于中档题.16.数列{a n}的前n项和为S n,2S n﹣na n=n(n∈N*),若S20=﹣360,则a2=﹣1.考点:数列递推式;数列的求和.专题:等差数列与等比数列.分析:由已知得S n=,从而,解得a1=1,进而,由此得到{a n}是等差数列,从而由已知条件利用等差数列的性质能求出a2.解答:解:∵2S n﹣na n=n(n∈N*),∴S n=,∴,解得a1=1,∴,∴{a n}是等差数列,∵S20=﹣360,∴S20==﹣360,解得a20+1=﹣36,即a20=﹣37,∴19d=a20﹣a1=﹣38,解得d=﹣2,∴a2=a1+d=1﹣2=﹣1.故答案为:﹣1.点评:本题考查数列的第二项的值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.三、解答题:本大题共70分,其中(17)-(21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)(2014秋•唐山期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且csinB=bcos C=3.(I)求b;(Ⅱ)若△ABC的面积为,求c.考点:正弦定理;余弦定理.专题:计算题;解三角形.分析:(Ⅰ)由正弦定理得sinC=cosC,可得C=45°,由bcosC=3,即可求得b的值.(Ⅱ)由S=acsinB=,csinB=3,可求得a,据余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=25,即可求得c的值.解答:解:(Ⅰ)由正弦定理得sinCsinB=sinBcosC,又sinB≠0,所以sinC=cosC,C=45°.因为bcosC=3,所以b=3.…(6分)(Ⅱ)因为S=acsinB=,csinB=3,所以a=7.据余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=25,所以c=5.…(12分)点评:本题主要考查了正弦定理、余弦定理面积公式的应用,属于基础题.18.(12分)(2014秋•唐山期末)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,PA⊥底面ABCD,∠PCD=90°,PA=AB=AC.(I)求证:AC⊥CD;(Ⅱ)点E在棱PC上,满足∠DAE=60°,求二面角B﹣AE﹣D的余弦值.考点:用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(Ⅰ)通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论;(Ⅱ)以点A为原点,以为x轴正方向、以||为单位长度,建立空间直角坐标系.利用∠DAE=60°即cos<,>=可得=(0,,),通过cos<,>=即得二面角B﹣AE﹣D的余弦值为.解答:(Ⅰ)证明:因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,因为∠PCD=90°,所以PC⊥CD,所以CD⊥平面PAC,所以CD⊥AC;(Ⅱ)解:∵底面ABCD是平行四边形,CD⊥AC,∴AB⊥AC.又PA⊥底面ABCD,∴AB,AC,AP两两垂直.如图所示,以点A为原点,以为x轴正方向、以||为单位长度,建立空间直角坐标系.则B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),D(﹣1,1,0).设=λ=λ(0,1,﹣1),则=+=(0,λ,1﹣λ),又∠DAE=60°,则cos<,>=,即=,解得λ=.则=(0,,),=﹣=(﹣1,,﹣),所以cos<,>==﹣.因为•=0,所以⊥.又⊥,故二面角B﹣AE﹣D的余弦值为﹣.点评:本题考查空间中线线垂直的判定,以及求二面角的三角函数值,注意解题方法的积累,属于中档题.19.(12分)(2014秋•唐山期末)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口,在早高峰时间段,时常发生交通拥堵现象,交警部门统计11月份30天内的拥堵天数.东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天,15天,9天,15天.假设每个入口发生拥堵现象互相独立,视频率为概率.(I)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率;(Ⅱ)设翻乏示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数,求ξ的分布列及数学期望.考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.专题:概率与统计.分析:(Ⅰ)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A,B,C,D,设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M,则M=BCD+A CD+AB D+ABC.由此能求出该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率.(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3,4.分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列及数学期望.解答:解:(Ⅰ)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A,B,C,D.则P(A)==,P(B)==,P(C)==,P(D)==.设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M,则M=BCD+A CD+AB D+ABC.则P(M)=+×××+×××+×××=.…(5分)(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)=,P(ξ=3)==,P(ξ=4)=.ξ的分布列为:ξ 0 1 2 3 4pE(ξ)=0×+3×+4×=.…(12分)点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要认真审题,注意排列组合的合理运用,是中档题.20.(12分)(2014秋•唐山期末)已知抛物线y2=2px(p>0),过点C(一2,0)的直线l 交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,•=12.(I)求抛物线的方程;(Ⅱ)当以AB为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.考点:抛物线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)设l:x=my﹣2,代入y2=2px,可得根与系数的关系,再利用•=12,可得x1x2+y1y2=12,代入即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ)(∗)化为y2﹣4my+8=0.设AB的中点为M,可得|AB|=2x m=x1+x2=m(y1+y2)﹣4=4m2﹣4,又|AB|=|y1﹣y2|=,联立解出m即可得出.解答:解:(Ⅰ)设l:x=my﹣2,代入y2=2px,可得y2﹣2pmy+4p=0.(∗)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=4p,则x1x2==4.∵•=12,∴x1x2+y1y2=12,即4+4p=12,得p=2,抛物线的方程为y2=4x.(Ⅱ)由(Ⅰ)(∗)化为y2﹣4my+8=0.y1+y2=4m,y1y2=8.设AB的中点为M,则|AB|=2x m=x1+x2=m(y1+y2)﹣4=4m2﹣4,①又|AB|=|y1﹣y2|=,②由①②得(1+m2)(16m2﹣32)=(4m2﹣4)2,解得m2=3,m=±.∴直线l的方程为x+y+2=0,或x﹣y+2=0.点评:本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦长公式、弦长公式、直线与圆相切的性质、数量积运算,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.21.(12分)(2014秋•唐山期末)己知函数f(x)=ae x+x2,g(x)=sin+bx,直线l与曲线y=f(x)切于点(0,f(0))且与曲线y=g(x)切于点(1,g(1)).(I)求a,b的值和直线l的方程.(Ⅱ)证明:f(x)>g(x)考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.专题:导数的概念及应用;导数的综合应用.分析:(Ⅰ)分别求出f(x)、g(x)的导数,求得切线的斜率和切线方程,再由切线唯一,即可求得a,b和切线方程;(Ⅱ)设F(x)=f(x)﹣(x+1)=e x+x2﹣x﹣1,运用导数,求得最小值大于0,再设G(x)=x+1﹣g(x),由正弦函数的值域可得G(x)≥0,即可得到f(x)>g(x),即可得证.解答:解:(Ⅰ)f′(x)=ae x+2x,g′(x)=cos+b,即有f(0)=a,f′(0)=a,g(1)=1+b,g′(1)=b,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线为y=ax+a,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线为y=b(x﹣1)+1+b,即y=bx+1.依题意,有a=b=1,直线l方程为y=x+1.(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知f(x)=e x+x2,g(x)=sin+x.设F(x)=f(x)﹣(x+1)=e x+x2﹣x﹣1,则F′(x)=e x+2x﹣1,当x∈(﹣∞,0)时,F′(x)<F′(0)=0;当x∈(0,+∞)时,F′(x)>F′(0)=0.F(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,故F(x)≥F(0)=0.设G(x)=x+1﹣g(x)=1﹣sin,则G(x)≥0,当且仅当x=4k+1(k∈Z)时等号成立.由上可知,f(x)≥x+1≥g(x),且两个等号不同时成立,因此f(x)>g(x).点评:本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值和最值,同时考查函数的单调性的运用,三角函数的图象和性质,属于中档题和易错题.请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4-1:几何证明选讲22.(10分)(2014秋•唐山期末)如图,四边形么BDC内接于圆,BD=CD,过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点.(I)求证:∠EAC=2∠DCE;(Ⅱ)若BD⊥AB,BC=BE,AE=2,求AB的长.考点:与圆有关的比例线段;弦切角.专题:推理和证明.分析:(Ⅰ)由等腰三角形性质得∠BCD=∠CBD,由弦切角定理得∠ECD=∠CBD,从而∠BCE=2∠ECD,由此能证明∠EAC=2∠ECD.(Ⅱ)由已知得AC⊥CD,AC=AB,由BC=BE,得AC=EC.由切割线定理得EC2=AE•BE,由此能求出AB的长.解答:(Ⅰ)证明:因为BD=CD,所以∠BCD=∠CBD.因为CE是圆的切线,所以∠ECD=∠CBD.所以∠ECD=∠BCD,所以∠BCE=2∠ECD.因为∠EAC=∠BCE,所以∠EAC=2∠ECD.…(5分)(Ⅱ)解:因为BD⊥AB,所以AC⊥CD,AC=AB.因为BC=BE,所以∠BEC=∠BCE=∠EAC,所以AC=EC.由切割线定理得EC2=AE•BE,即AB2=AE•(AE﹣AB),即AB2+2 AB﹣4=0,解得AB=﹣1.…(10分)点评:本题考查一个角是另一个角的二倍的证明,考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意弦切角定理、切割线定理的合理运用.选修4-4;坐标系与参数方程23.(2014秋•唐山期末)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ),斜率为的直线l交y轴于点E(0,1).(I)求C的直角坐标方程,l的参数方程;(Ⅱ)直线l与曲线C交于A、B两点,求|EA|+|EB|.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:直线与圆.分析:(I)由ρ=2(cosθ+sinθ),得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),把代入即可得出;由斜率为的直线l交y轴于点E(0,1)即可得出直线的参数方程.(II)将代入(x﹣1)2+(y﹣1)2=2得t2﹣t﹣1=0,利用根与系数的关系、直线参数的意义即可得出.解答:解:(Ⅰ)由ρ=2(cosθ+sinθ),得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),即x2+y2=2x+2y,即(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.l的参数方程为(t为参数,t∈R),(Ⅱ)将代入(x﹣1)2+(y﹣1)2=2得t2﹣t﹣1=0,解得,t1=,t2=.则|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=.点评:本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线方程的应用,考查了计算能力,属于基础题.选修4-5:不等式选讲24.(2015•河南二模)设函数f(x)=|x+1|+|x|(x∈R)的最小值为a.(I)求a;(Ⅱ)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求+的最小值.考点:绝对值三角不等式;基本不等式.专题:不等式的解法及应用.分析:(I)化简函数的解析式,再利用函数的单调性求得函数的最小值,再根据函数的最小值为a,求得a的值.(Ⅱ)由(Ⅰ)知m2+n2=1,利用基本不等式求得≥2,再利用基本不等式求得+的最小值.解答:解:(I)函数f(x)=|x+1|+|x|=,当x∈(﹣∞,0]时,f(x)单调递减;当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,所以当x=0时,f(x)的最小值a=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知m2+n2=1,由m2+n2≥2mn,得mn≤,∴≥2故有+≥2≥2,当且仅当m=n=时取等号.所以+的最小值为2.点评:本题主要考查带有绝对值的函数,利用函数的单调性求函数的最值,基本不等式的应用,属于中档题.。

山东省枣庄市2018届高三数学第二次模拟考试试题文

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山东省枣庄市届高三数学第二次模拟考试试题 文第Ⅰ卷(选择题 共分)一、选择题:本大题共个小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的..已知集合2{|20}A x x x =--≥,则R C A =( ).(1,2)- .[1,2]- .(2,1)- .[2,1]- .已知复数1iz i=+(i 是虚数单位),则z =( ).1 .12.2.已知123a -=,31log 2b =,2log 3c =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) .a c b >> .c a b >> .a b c >> .c b a >> .下图给出的是计算11112462018+++⋅⋅⋅+值的程序框图,其中判断框内可填入的条件是( ).2016?i > .2018?i > .2016?i ≤ .2018?i ≤.已知2()log (41)xf x ax =-+是偶函数,则a =( ).1 .1- .2 .2- .已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若()(sin sin )a b A B +-()sin c b C =-,则A =( ).6π .3π.56π .23π.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ).316 .38 .14 .18.已知1sin()43πα-=,则sin 2α=( ).79- .79 .19- .19.函数()ln(1)f x x x =-+的大致图象为( ). . . ..某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是等腰三角形,则该几何体的体积为( ).32 .643 .163 .323.设1F 、2F 是椭圆C :2212x y m +=的两个焦点,若C 上存在点M 满足12120F MF ∠=,则m的取值范围是( ).1(0,][8,)2+∞ .(0,1][8,)+∞.1(0,][4,)2+∞ .(0,1][4,)+∞.已知函数2()(12)()f x x x ax b =+++(,)a b R ∈的图象关于点(1,0)对称,则()f x 在[1,1]-上的最大值为( ).2..2第Ⅱ卷(共分)二、填空题:本大题共小题,每小题分,共分.已知实数x ,y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩的最大值为 ..在平行四边形ABCD 中,1AB =,2AD =,则AC BD ⋅= ..已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切,圆心在直线2y x =-+上,则圆M 的标准方程为 ..已知()sin cos f x x x ωω=-2()3ω>,若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ,则ω的取值范围是 .(结果用区间表示) 三、解答题:本大题共小题,共分..已知数列{}n a 的前n 项和2352n n nS +=.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设13n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和. .在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,平面SAB ⊥平面ABCD ,平面SAD ⊥平面ABCD ,且23SA AD AB ==.(Ⅰ)证明:SA ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)若E 为SC 的中点,三棱锥E BCD -的体积为89,求四棱锥S ABCD -外接球的表面积..随着高校自主招生活动的持续开展,我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度,从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生,记录他们在一周内平均每天学习数学的时间,并将其分成了6个区间:(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60],整理得到如下频率分布直方图:根据一周内平均每天学习数学的时间t ,将学生对于数学的喜好程度分为三个等级:(Ⅰ)试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲(精确到0.01); (Ⅱ)判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系(只需写出结论),并计算其中的X 甲、2S 甲(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅲ)从甲高中与乙高中随机抽取的80名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取2人,求选出的2人中甲高中与乙高中各有1人的概率..已知抛物线C :22(01)y px p =<<上的点(,1)P m 到其焦点F 的距离为54. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ,B 两点,且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,证明:l 过定点..已知曲线2()1ln ()y f x x a x a R ==--∈与x 轴有唯一公共点A . (Ⅰ)求实数a 的取值范围;(Ⅱ)曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为27a a --.若两个不相等的正实数1x ,2x 满足12()()f x f x =,求证:121x x <.请考生在、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. .选修:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为121x t y t a =-⎧⎨=--⎩(t 为参数). (Ⅰ)若1a =,求直线l 被曲线C 截得的线段的长度;(Ⅱ)若11a =,在曲线C 上求一点M ,使得点M 到直线l 的距离最小,并求出最小距离. .选修:不等式选讲 已知函数()3f x x a =-.(Ⅰ)当4a =时,求不等式()3f x <的解集;(Ⅱ)设函数()1g x x =+.当x R ∈时,()()1f x g x +>恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题 : : 、: 二、填空题. 2 . 3 . 22(2)2x y +-= . 37[,]48三、解答题.(Ⅰ)解:114a S ==. 当2n ≥时,1n n n a S S -=-22353(1)5(1)22n n n n +-+-=-.又14a =符合2n ≥时n a 的形式,所以{}n a 的通项公式为31n a n =+. (Ⅱ)由(Ⅰ)知3(31)(34)n b n n =++113134n n =-++. 数列{}n b 的前n 项和为121111()()47710n b b b ++⋅⋅⋅+=-+-1111()()32313134n n n n +⋅⋅⋅+-+--+++11434n =-+. .(Ⅰ)证明:由底面ABCD 为矩形,得BC AB ⊥. 又平面SAB ⊥平面ABCD ,平面SAB 平面ABCD AB =,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面SAB .所以BC SA ⊥. 同理可得CD SA ⊥. 又BCCD C =,BC ⊂平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以SA ⊥平面ABCD .(Ⅱ)解:设6SA a =,则2AB a =,3AD a =.13E BCD BCD V S h -∆=⨯⨯111()()322BC CD SA =⨯⨯⨯⨯ 311(23)(3)332a a a a =⨯⨯⨯⨯=. 又89E BCD V -=,所以3839a =.解得23a =.四棱锥S ABCD -的外接球是以AB 、AD 、AS 为棱的长方体的外接球,设半径为R .则2R 1473a ==,即73R =. 所以,四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为219649R ππ=.. 解:(Ⅰ)由样本估计总体的思想,甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数0.5(0.10.2)200.3m -+=+甲1026.67⨯≈;(Ⅱ)X X <甲乙;22S S >甲乙;50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=; 221[(527.5)(400.1)40S =⨯-⨯⨯甲2(1527.5)(400.2)+-⨯⨯2(2527.5)(400.3)+-⨯⨯ 2(3527.5)(400.2)+-⨯⨯2(4527.5)(400.15)+-⨯⨯2(5527.5)(400.05)]+-⨯⨯178.75=.(Ⅲ)甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.00510)2⨯⨯=人,记为1A ,2A ;乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.01510)6⨯⨯=人,记为1B ,2B ,3B ,4B ,5B ,6B .随机选出2人有以下28种可能:12(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,13(,)A B ,14(,)A B ,15(,)A B ,16(,)A B , 21(,)A B ,22(,)A B ,23(,)A B ,24(,)A B ,25(,)A B ,26(,)A B ,12(,)B B , 13(,)B B ,14(,)B B ,15(,)B B ,16(,)B B ,23(,)B B ,24(,)B B ,25(,)B B , 26(,)B B ,34(,)B B ,35(,)B B ,36(,)B B ,45(,)B B ,46(,)B B ,56(,)B B ,甲、乙两所高中各有1人,有以下12种可能:11(,)A B ,12(,)A B ,13(,)A B ,14(,)A B ,15(,)A B ,16(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,23(,)A B ,24(,)A B ,25(,)A B ,26(,)A B .所以,从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人,选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率为123287=. .解:(Ⅰ)由题意,得21pm =,即12m p=. 由抛物线的定义,得1()222p pPF m p =--=+. 由题意,15224p p +=.解得12p =,或2p =(舍去). 所以C 的方程为2y x =.(Ⅱ)证法一:设直线PA 的斜率为k (显然0k ≠),则直线PA 的方程为1(1)y k x -=-,则1y kx k =+-.由21y kx k y x=+-⎧⎨=⎩消去y 并整理得22[2(1)1]k x k k x +--2(1)0k +-=. 设11(,)A x y ,由韦达定理,得212(1)1k x k -⨯=,即212(1)k x k -=. 2112(1)11k y kx k k k k -=+-=⋅+-11k=-+.所以22(1)1(,1)k A k k --+. 由题意,直线PB 的斜率为1k. 同理可得221(1)1(,1)11()k B k k--+,即22((1),1)B k k --. 若直线l 的斜率不存在,则222(1)(1)k k k-=-.解得1k =,或1k =-. 当1k =时,直线PA 与直线PB 的斜率均为1,A ,B 两点重合,与题意不符; 当1k =-时,直线PA 与直线PB 的斜率均为1-,A ,B 两点重合,与题意不符. 所以,直线l 的斜率必存在.直线l 的方程为2(1)(1)k y k k --=-2[(1)]x k --,即21(1)k y x k =--. 所以直线l 过定点(0,1)-. 证法二:由(),得(1,1)P . 若l 的斜率不存在,则l 与x 轴垂直.设11(,)A x y ,则11(,)B x y -,211y x =.则11111111PA PBy y k k x x ---=⋅--211221111(1)(1)y x x x --==--111x =-. (110x -≠,否则,11x =,则(1,1)A ,或(1,1)B ,直线l 过点P ,与题设条件矛盾) 由题意,1111x =-,所以10x =.这时A ,B 两点重合,与题意不符. 所以l 的斜率必存在.设l 的斜率为k ,显然0k ≠,设l :y kx t =+, 由直线l 不过点(1,1)P ,所以1k t +≠.由2y x y kx t⎧=⎨=+⎩消去y 并整理得222(21)0k x kt x t +-+=. 由判别式140kt ∆=->,得14kt <. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则12212ktx x k -+=①,2122t x x k =②,则12121111PA PBy y k k x x --=⋅--12121111kx t kx t x x +-+-=⋅--2212121212(1)()(1)()1k x x k t x x t x x x x +-++-=-++. 由题意,2212121212(1)()(1)1()1k x x k t x x t x x x x +-++-=-++.故212(1)(1)k x x kt k -+-+212()20x x t t ++-=③将①②代入③式并化简整理得2210t kt kk---=,即210t kt k ---=. 即(1)(1)(1)0t t k t +--+=,即(1)(1)0t t k +--=.又1k t +≠,即10t k --≠,所以10t +=,即1t =-. 所以l :1y kx =-.显然l 过定点(0,1)-. 证法三:由(),得(1,1)P .设l :x ny t =+,由直线l 不过点(1,1)P ,所以1n t +≠.由2y x x ny t⎧=⎨=+⎩消去x 并整理得20y ny t --=. 由题意,判别式240n t ∆=+>.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则12y y n +=①,12y y t =-② 则12121111PA PB y y k k x x --=⋅--1222121111y y y y --=⋅--12121()1y y y y =+++. 由题意,1212()11y y y y +++=,即1212()0y y y y ++=③ 将①②代入③式得0t n -+=,即t n =. 所以l :(1)x n y =+.显然l 过定点(0,1)-..(Ⅰ)解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =. 由题意,函数()f x 有唯一零点1.'()2a f x x x=-. ()若0a ≤,则0a -≥.显然'()0f x >恒成立,所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. 又(1)0f =,所以0a ≤符合题意.()若0a >,22'()x af x x-=.'()0f x x >⇔>'()00f x x <⇔<<. 所以()f x在上是减函数,在)+∞上是增函数.所以min ()f x f =1ln 222a a a =--.由题意,必有0f ≤(若0f >,则()0f x >恒成立,()f x 无零点,不符合题意)①若0f <,则1ln 0222a a a --<. 令()1ln (0)222a a a g a a =-->,则11'()ln 222a g a =-111ln 22222a a a -⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<;'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数,在(2,)+∞上是减函数.所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤,当且仅当2a =时取等号.所以,00f a <⇔>,且2a ≠.取正数1}a b e -<,则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a>--⨯-=; 取正数1c a >+,显然c >>.而2()1ln f c c a x =--, 令()ln h x x x =-,则1'()1h x x =-.当1x >时,显然1'()10h x x=-<. 所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以,当1x >时,()ln h x x x =-(1)10h <=-<,所以ln x x <.因为1c >,所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->. 又()f x在上是减函数,在)+∞上是增函数, 则由零点存在性定理,()f x在、)+∞上各有一个零点. 可见,02a <<,或2a >不符合题意.注:0a >时,若利用00lim ()x f x →+=+∞,0f <,lim ()x f x →+∞=+∞,说明()f x在、)+∞上各有一个零点.②若0f =1=,即2a =.符合题意. 综上,实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.(Ⅱ)由题意,2'(1)27f a a a =-=--.所以29a =,即3a =±. 由(Ⅰ)的结论,得3a =-.2()13ln f x x x =-+,()f x 在(0,)+∞上是增函数.()001f x x <⇔<<;()01f x x >⇔>. 由12()()f x f x =,不妨设12x x <,则1201x x <<<.从而有12()()f x f x -=,即221122(13ln )13ln x x x x --+=-+.所以2212123ln 20x x x x ++-=121223ln 2x x x x >+-.令()23ln 2p t t t =+-,显然()p t 在(0,)+∞上是增函数,且(1)0p =. 所以()001p t t <⇔<<.从而由121223ln 20x x x x +-<,得121x x <..选修:坐标系与参数方程解:()曲线C 的普通方程为22194x y +=. 当1a =时,直线l 的普通方程为2y x =. 由222194y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩.解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 直线l 被曲线C=. ()解法一:11a =时,直线l 的普通方程为2100x y --=.由点到直线的距离公式,椭圆3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点(3cos ,2sin )M θθ到直线l :2100x y --=的距离为d ===, 其中0θ满足0cos θ=,0sin θ=. 由三角函数性质知,当00θθ+=时,d取最小值此时,03cos 3cos()θθ=-=,02sin 2sin()θθ=-=. 因此,当点M位于时,点M 到l的距离取最小值解法二:当11a =时,直线l 的普通方程为2100x y --=.设与l 平行,且与椭圆22194x y +=相切的直线m 的方程为20x y t -+=. 由2220194x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2240369360x tx t ++-=. 由判别式22(36)440(936)0t t ∆=-⨯⨯-=,解得t =±所以,直线m的方程为20x y -+=,或20x y --=.要使两平行直线l 与m 间的距离最小,则直线m的方程为20x y --=. 这时,l 与m间的距离d==. 此时点的坐标为方程组的解.因此,当点位于时,点到直线的距离取最小值..选修:不等式选讲解:()当时,.由,解得.所以,不等式的解集为. ()(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号).综上,当时,有最小值. 故由题意得,解得,或. 所以,实数的取值范围为.。

2018届山东省枣庄市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2018届山东省枣庄市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2018届山东省枣庄市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意或,所以,故选A.2. 已知复数(是虚数单位),则()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意,所以,故选C.3. 已知,,,则,,的大小关系是()A. B. C. D.【答案】B【解析】根据指数函数的性质可知,根据对数函数的性质可知,,所以,故选B.4. 下图给出的是计算值的程序框图,其中判断框内可填入的条件是()A. B. C. D.【答案】D【解析】程序运行过程中,各变量值如下表所示:第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;一次类推,第1009次循环,,,不满足条件,推出选好,输出的值,所以,故选D.5. 若的展开式中的系数为,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意二项式的展开式为,展开式的为,所以,解得,故选D.6. 七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示,设,则,所以,,所以点取自阴影部分的概率是,故选C.7. 已知,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意,故选B.8. 函数的大致图象为()A. B.C. D.【答案】A【解析】 由题意,函数满足,则或,当时,为单调递增函数,当时,,故选A.9. 已知,则满足成立的取值范围是( )A. B.C.D.【答案】B【解析】 由题意,函数,满足,所以函数为偶函数,且当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,又,所以,解得或,故选B.10. 某多面体的三视图如图所示,其中俯视图是等腰三角形.该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形,这些等腰三角形的面积之和为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】 由题意得,根据给定的三视图可得原几何体为横放的一个四棱锥, 如图所示, 其中为等腰三角形,且,,所以,所以等腰三角形的面积之和,故选B.11. 设、是椭圆:的两个焦点,若上存在点满足,则的取值范围是()A. B.C. D.【答案】A【解析】根据椭圆的性质可知,当点在短轴的端点时,此时角最大,要使得椭圆上存在点满足,则,即,当时,,解得,当时,,解得,所以实数的取值范围是,故选A.点睛:本题考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质,其中解答中根据根据椭圆的性质得到当点在短轴的端点时角最大,要使得椭圆上存在点满足,则,即,进而得到不等关系是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及数形结合法的应用.12. 已知函数的图象关于点对称,则在上的值域为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得,函数的图象关于点对称,则,即,解得,所以,则,令,解得或,当,则,函数单调递减,当,则,函数单调递增,所以,,所以函数的值域为,故选D.点睛:本题考查了函数的基本性质的应用,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,其中解答中根据函数的图象关于点对称,列出方程组,求的得值是解得关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知实数,满足,则的最大值为__________.【答案】【解析】由题意得,画出约束条件坐标表示的平面区域,如图所示,设,则表示点与平面区域内点的距离,则目标函数表示的平方,由图象可知当取点时,点与点的距离最远,此时,所以最大值为.14. 在平行四边形中,,,若,则__________.【答案】【解析】由题意则,即,所以.15. 已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的标准方程为__________.【答案】【解析】由题意,圆心在,设圆心为,因为圆与直线及都相切,则圆心到两直线的距离相等,即,解得,即圆心,且,所以圆的方程.点睛:本题主要考查了圆的标准方程的求解,其中解答中点到直线的距离公式和圆的标准方程的应用,对于圆的方程的求解通常:一是采用圆的标准方程,通过确定圆心的坐标和圆的半径,进而得到圆的标准方程;二是采用圆的一般方程,设出圆的一般方程,列出方程组,求解,从而得到圆的一般方程.16. 已知,若函数图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间,则的取值范围是__________.(结果用区间表示)【答案】【解析】由题意,函数,由的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间,则,解得,即,函数的对称轴的方程为,即,则,解得,所以实数的取值范围是.点睛:本题主要考查了三角函数的图象与性质,其中解答中涉及到三角函数的辅助角公式的化简,函数的对称轴的方程的应用,熟记三角函数的图象与性质是解答的关键.三、解答题:本大题共6小题,共70分.17. 为数列的前项和.已知,.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)当时,,再利用递推公式化简得,得到数列是首项为,公差为的等差数列,即可求解数列的通项公式;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,采用裂项法,即可求解数列的前项和.试题解析:(Ⅰ)当时,有,即.因为,所以.从而,即.由,知.两式相减,得.即,即,即.因为,所以,即.所以,数列是首项为,公差为的等差数列.所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.数列的前项和为.18. 在四棱锥中,平面平面,平面平面.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)若底面为矩形,,为的中点,,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意平面,得到所以,同理可证,利用线面垂直的判定定理,即可证得平面;(Ⅱ)分别以、、所在方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,求得向量和平面的一个法向量为,利用向量的夹角公式,即可求解直线与平面所成的角的正弦值.试题解析:(Ⅰ)证法1:在平面内过点作两条直线,,使得,.因为,所以,为两条相交直线.因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面.所以.同理可证.又因为平面,平面,,所以平面.证法2:在平面内过点作,在平面内过点作.因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面.同理可证平面.而过点作平面的垂线有且仅有一条,所以与重合.所以平面.所以,直线为平面与平面的交线.所以,直线与直线重合.所以平面.(Ⅱ)如图,分别以、、所在方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系.设,则,,,,,.由为的中点,得;由,得.所以,,.设平面的一个法向量为,则,即.取,则,.所以.所以.所以,直线与平面所成角的正弦值为.19. 随着高校自主招生活动的持续开展,我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度,从甲、乙两所高中各随机抽取了名学生,记录他们在一周内平均每天学习数学的时间,并将其分成了个区间:、、、、、,整理得到如下频率分布直方图:根据一周内平均每天学习数学的时间,将学生对于数学的喜好程度分为三个等级:(Ⅰ)试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数(精确到);(Ⅱ)判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值与及方差与的大小关系(只需写出结论),并计算其中的、(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅲ)记事件:“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求的概率.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),,,;(Ⅲ).【解析】试题分析:(Ⅰ)利用中位数的公式,即可求得中位数的值;(Ⅱ)根据平均数和方差的公式,求解即可;(Ⅲ)由题意,甲高中学生对数学的喜好程度为“一般”、“爱好”、“痴迷”的概率,利用概率加法公式,即可得到概率.试题解析:(Ⅰ);(Ⅱ);;;.(Ⅲ)由题意,甲高中学生对数学的喜好程度为“一般”、“爱好”、“痴迷”的概率分别为、、..20. 已知抛物线:,不过坐标原点的直线交于,两点.(Ⅰ)若,证明:直线过定点;(Ⅱ)设过且与相切的直线为,过且与相切的直线为.当与交于点时,求的方程.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:设,.(Ⅰ)设直线的方程为,联立方程组,得到则,再由,所以,代入求得,即可判定直线过定点.(Ⅱ)解法一:设直线的方程为,联立方程组,利用,求得,得到韦达定理,在利用斜率公式,求得直线的斜率,进而得到直线的方程;解法二:由,则过且与相切的直线的斜率为,的斜率为,转化为方程的两个实根,求得的值,进而求解直线的方程;解法三:由,则过且与相切的直线的斜率为,同理,的斜率为.得到切线,的方程,代入点,得,,即可得到直线的方程.试题解析:设,.(Ⅰ)解:显然直线的斜率存在,设为,直线的方程为.由题意,.由,得.由题意,该方程的判别式,即.则,.因为,所以,所以,即,即.所以.所以.解得(舍去),或.当时,,满足式.所以直线的方程为.直线过定点.(Ⅱ)解法一:过点且与:相切的直线的斜率必存在,设其斜率为,则其方程为,即.由消去并整理得.由判别式,解得.不妨设的斜率,则的斜率.由韦达定理,得,即..所以.同理可得.直线的方程为,即直线的方程为.解法二:,所以过且与相切的直线的斜率为.同理,的斜率为.:,即:.同理:.因为与的交点的坐标为方程组的解,所以,且.所以方程,即的两个实根是,.由,解得,.又点,在:上,可得,.直线的方程为,即直线的方程为.解法三:,所以过且与相切的直线的斜率为.同理,的斜率为. 所以,切线:,即.又是抛物线上的点,所以,即.故切线的方程为.同理切线的方程为.又切线与切线均过点,故,.所以切点、的坐标适合方程.所以的方程为.21. 已知.(Ⅰ)若曲线与轴有唯一公共点,求的取值范围;(Ⅱ)若不等式对任意的恒成立,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)或;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意,函数有唯一零点,求导,分类讨论得到函数的单调性,利用零点的存在定理,即可求得实数的取值范围;(Ⅱ)由题意,可得,构造新函数,则对任意的恒成立,分类讨论,得到函数的单调性,转化为利用函数的,即可求解实数的取值范围.试题解析:(Ⅰ)解:函数的定义域为..由题意,函数有唯一零点..(1)若,则.显然恒成立,所以在上是增函数.又,所以符合题意.(2)若,.;.所以在上是减函数,在上是增函数.所以.由题意,必有(若,则恒成立,无零点,不符合题意).①若,则.令,则.;.所以函数在上是增函数,在上是减函数.所以.所以,当且仅当时取等号.所以,,且.取正数,则;取正数,显然.而,令,则.当时,显然.所以在上是减函数.所以,当时,,所以.因为,所以.又在上是减函数,在上是增函数.则由零点存在性定理,在、上各有一个零点.可见,,或不符合题意.注:时,若利用,,,说明在、上各有一个零点.②若,显然,即.符合题意.综上,实数的取值范围为.(Ⅱ).令,则对任意的恒成立.(1)当时,.当时,,所以在上是减函数.所以,当时,.可见,符合题意.(2)若,显然在上是减函数.取实数,显然.则(利用).又,在上是减函数,由零点存在定点,存在唯一的使得.于是,当时,,函数在上是增函数.所以,当时,.可见,不符合题意.当时,分如下三种解法:解法一:(3)若,,.令,显然在上是减函数,所以,当时,,当且仅当时取等号.所以,当时,,在上是减函数.所以,当时,.所以,在上是减函数.所以,当时,.可见,符合题意.(4)若,,.令,显然在上是减函数,且,,所以,存在唯一的,使得,即.于是,当时,;当时,.所以,当时,;当时,.所以,在上是增函数,在上是减函数.所以,在上的最大值.将式代入上式,得.所以,当时,,所以在上是减函数.所以,当时,.可见,符合题意.综上,所求的取值范围是.解法二:(3)若,对任意的恒成立对任意的恒成立. 令,.,当时,,所以在上是增函数.所以.显然在上是减函数,.所以,当时,,即对任意的恒成立.所以符合题意.综上,所求的取值范围是.解法三:(3)若,对任意的恒成立.令,.,当时,,所以在上是减函数.所以.所以,当时,.当,时,.所以,当,时,恒成立.所以符合题意.综上,所求的取值范围是.解法四:.令,则对任意的恒成立..令,当时,,所以在上是增函数.(1)若,则时,,,所以在上是增函数.所以,当时,.可见,符合题意.(2)若,,.(这里利用了时,)又在上是增函数,由零点存在性定理,知存在唯一的,使得.于是,当时,,,所以,在上是减函数.所以,当时,.可见,不符合题意.综上,所求的取值范围是.注:利用,,说明在上有零点.解法五:.令,则对任意的恒成立.(1)先寻求使结论成立的充分条件.由,要使对任意的恒成立.只需要在上是减函数,即对任意的恒成立.而,所以,只需要对任意的恒成立.令,.显然在上是减函数,所以,当时,.所以在上是减函数.所以在上的最大值.则只需要.可见,当时,对任意的恒成立.(2)当时,,(时,).又时,在上是减函数,由零点存在定理,存在唯一的,使得.于是,当时,,所以在上是增函数.所以,当时,.可见,不符合题意.综上,所求的取值范围是.注:时,用,,说明在上有零点.点睛:本题主要考查导数在函数中的综合应用问题,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、圆等知识联系; (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数; (3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题;(4)考查数形结合思想的应用.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 选修4-4:坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).(Ⅰ)若,求直线被曲线截得的线段的长度;(Ⅱ)若,在曲线上求一点,使得点到直线的距离最小,并求出最小距离.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意,得曲线的普通方程和直线的普通方程,联立方程组,解焦点,即可求解截曲线的线段长;(Ⅱ)解法一:时,得直线的普通方程,由点到直线的距离公式,得到距离的表达式,转化为三角函数的性质,即可求解最小值.试题解析:(Ⅰ)曲线的普通方程为.当时,直线的普通方程为.由.解得或,直线被曲线截得的线段的长度为.(Ⅱ)解法一:时,直线的普通方程为.由点到直线的距离公式,椭圆上的点到直线:的距离为,其中满足,.由三角函数性质知,当时,取最小值.此时,,.因此,当点位于时,点到的距离取最小值.解法二:当时,直线的普通方程为.设与平行,且与椭圆相切的直线的方程为.由消去并整理得.由判别式,解得.所以,直线的方程为,或.要使两平行直线与间的距离最小,则直线的方程为.这时,与间的距离.此时点的坐标为方程组的解.因此,当点位于时,点到直线的距离取最小值.选修4-5:不等式选讲23. 已知函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)设函数.当时,恒成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)利用绝对值的定义,去掉绝对值号,转化为一般不等式,即可求解不等式的解集;(Ⅱ)利用绝对值三角不等式,即可求解最小值,得,即可求解实数的取值范围. 试题解析:(Ⅰ)当时,.由,解得.所以,不等式的解集为.(Ⅱ)(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号).综上,当时,有最小值.故由题意得,解得,或.所以,实数的取值范围为.。

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2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分全卷满分150分,考试时间120分钟.注意:1. 考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效.3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内.答在试题卷上无效.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡上对应题号后的框内,答在试卷上无效.1.设集合{123}A =,,,{45}B =,,{|}M x x a b a A b B ==+∈∈,,,则M 中的元素个数为A .3B .4C .5D .62.在北京召开的第24届国际数学家大会的会议,会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图(如图)设计的,其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成,若直角三角形的直角边的边长分别是3和4,在绘图内随机取一点,则此点取自直角三角形部分的概率为 A .125B .925C .1625D .24253.设i 为虚数单位,则下列命题成立的是A .a ∀∈R ,复数3i a --是纯虚数B .在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C .若复数12i z =--,则存在复数1z ,使得1z z ∈RD .x ∈R ,方程2i 0x x +=无解4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知3215109S a a a =+=,,则1a =A .19B .19-C .13D .13-5.已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --,处切线的斜率为8,则(1)f -=试卷类型:A天门 仙桃 潜江A .7B .-4C .-7D .4 6.84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A .56B .84C .112D .1687.已知一个空间几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是 A .4cm 3B .5 cm 3C .6 cm 3D .7 cm 38.函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示,则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D .19.某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3…,24 这24个整数中等可能随机产生。

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高三期末数学参考答案11. 60,40,20; 12. 2; 13. 10; 14. 15; 15.81125; 16. ③ ④ . 三、解答题:17.解:(1)在ABC ∆中,由3cos 4C =,得s i n C =, 又由正弦定理:sin sin AB BC C A = 得:sin 8A =. ……………………4分 (2)由余弦定理:2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅得:232124b b =+-⨯, 即23102b b --=,解得2b =或12b =-(舍去),所以2AC =. ……8分所以,BCCA cos ,cos()BC CA BC CA BC CA C π=⋅⋅<>=⋅⋅-3312()42=⨯⨯-=- 即32BC CA =-.…………………12分 18.解:(1)依题意,双曲线C 的方程可设为:22221(0x y a a b-=>、0)b >,则222212tan 60c a bacba⎧=+⎪⎪⎪-=-⎨⎪⎪=︒=⎪⎩ 解之得:12a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩, 所以双曲线C 的方程为:2213y x -=. ……………………6分(2)设11(,)A x y 、22(,)B x y ,直线2y x =-与x 轴交于P (2,0)点,此点即为双曲线C 的右焦点,由22233y x x y =-⎧⎨-=⎩ 消去y ,得22470x x +-=, 此方程的16427720∆=+⨯⨯=>且122x x +=-,12702x x ⋅=-<, 所以A 、B 两点分别在左、右支上,不妨设A 在左支、B 在右支上 ………9分 则由第二定义知:1||212PA c e a x ===-,2||212PB ce a x ===-, …………11分 所以||||PA PB +122112212()x x x x =-+-=-===,即||||PA PB +=………14分(亦可求出A 、B 的坐标,用两点间距离公式求.)19.(1)当点E 为BC 的中点时,EF 与平面PAC 平行.∵在PBC ∆中,E 、F 分别为BC 、PB 的中点∴EF ∥PC 又EF ⊄平面PAC ,而PC ⊂平面PAC∴EF ∥平面PAC . ……………………4分 (2)证明(略证):易证EB ⊥平面PAB ,又PB 是PE 在平面PAB 内的射影,AF PB ⊥,∴AF PE ⊥. ……………………8分 (3)∵PD 与平面ABCD 所成的角是30︒,∴30PDA ∠=︒,AD 2PD =.过A 作AG DE ⊥于G ,连PG ,则045PGA ∠=. …………………10分易知:1AG =,DG =设BE x =,则G E x =,CE x =,在Rt DCE ∆中,))2221xx =+,得BE x ==. ………14分PAFBEDCG解法二:(向量法)(1)同解法一(2)建立图示空间直角坐标系,则()0,0,1P ,()0,1,0B,110,,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,)D.设BE x =,则(),1,0E x11(,1,1)(0,,)022PE AF x =-= ∴AF ⊥(3)设平面PDE 的法向量为(),,1m p q =,由0m m PE ⎧⎪⎨=⎪⎩,得:m ⎫=⎪⎭, 依题意02cos 452m APm AP ==⋅=, 得BE x ==. (本小题6分)20.解:(1)()20(1,3)f x x ->-的解集为,∴可设()2(1)(3),0f x x a x x a -=+-<且,因而2()(1)(3)22(1)3f x a x x x ax a x a =+-+=+-- ① 由()70f x a += 得 22(1)40ax a x a +-+= ② ∵方程②有两个相等的根,∴224(1)160a a ∆=--=,即23210a a +-= 解得 1a =-或13a =由于0a <,13a =(舍去),将1a =- 代入 ① 得 )(x f 的解析式2()43f x x x =-++. …………………6分(2)()g x x =)(x f =322(1)3ax a x ax +--, ∵()g x 在区间,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减, ∴()()/23413g x ax a x a =+--在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上的函数值非正, 由于0a <,对称轴()2103a x a -=>,故只需()3/4130333a a g a a a ⎛⎫=+--≤ ⎪⎝⎭,注意到0a <,∴()24190a a +--≥,得1a ≤-或5a ≥(舍去)故所求a 的取值范围是(],1-∞-. …………………11分 (3)1a =-时,方程()321f x x =-仅有一个实数根,即证方程322440x x x +--=仅有一个实数根.令()h x =32244x x x +--,由()/26240h x x x =+-=,得11x =-,223x =,易知()h x 在(),1-∞-,2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增,在21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减,()h x 的极大值()110h -=-<,()h x 的极小值2152(1)327h h ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭,故函数()h x 的图像与x 轴仅有一个交点,∴1a =-时,方程()321f x x =-仅有一个实数根,得证. ……………………16分21.解:(1)12(0)2f λλ=-+, ……………………1分 1a =211(0)(0)24f f λλ+=+. ……………………4分 (2)112(0)[(0)]2(0)n n n f f f f λλ+==-++, ……………………5分1112(0)2(0)2(0)2 22(0)n n n n n f f a f f λλλλλλ+++-++++==+-+++(0)2(0)22n n n f a f λλλ+=⋅=+,………7分∴数列{}n a 是24λ为首项,2λ为公比的等比数列. ……………………8分(3)由(2)知211()()422n n n a λλλ-+=⋅=, S n =2[1()]4212nλλλ--, ……………9分 214[1()]2212n n n n a S λλλλ+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭-=2142[1()]()[1()]()222221122n n n na λλλλλλλλλ⋅-⋅=⋅-⋅--∵0<λ<1,∴1a >0,1022λ<<,0<212λλ-<1,21()()122[1()]()[]2224n nn n λλλλ-+-⋅<=, ∴n n a S 114a <, ……………………11分又当2n ≥时,21111n n n <--,∴1111()41n b a n n <--, ……………………13分 ∴1111111[1(1)()()]42231n T a n n <+-+-++--111(2)4a n =-<112a .……14分。

山东省枣庄市2018届高三第一次模拟考试(上学期期末)数学(理)答案

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② − ①得 2 S n = −3 × 31 − 2 × 32 − 2 × 33 − L − 2 × 3n + (2n + 1) × 3n +1
= − 9 − 2×
32 − 3n × 3 + (2n + 1) × 3n +1 =2n × #43;1 . ·································································································· 12 分 19. 解: (I)在 △ABC 中,由正弦定理得 2sin C − 2sin B ⋅ cos A = sin A . ··················· 2 分 所以 2sin( A + B ) − 2sin B ⋅ cos A = sin A. 从而有 2sin A ⋅ cos B = sin A. ················································································· 4 分
解得 λ =2 , µ =1 .经验证, λ =2 , µ =1 符合题意. ········································· 6 分
高三数学(理科)答案 第 1 页 共 8 页
解法二:由题意, an +1 + λ ( n + 1) + µ = 3( an + λ n + µ ) , ······································· 3 分 即 an +1 = 3an + 2λ n + 2 µ − λ . 又 an +1 =3an + 4n ,所以 2λ = 4 , 2 µ − λ = 0. ··············································· 5 分 解得 λ = 2 , µ = 1. ·························································································· 6 分 (II)由(I) ,知若设 bn = an + λ n + µ , {bn } 是首项为 3 ,且公比为 3 的等比数列, 故 bn = 3 × 3n −1 = 3n ,即 an + 2n + 1 = 3n ,故 an = 3n − 2n − 1 . ························· 7 分 所以 cn =(2n + 1) × 3n .

2018年山东省枣庄市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2018年山东省枣庄市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2018年山东省枣庄市高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合U=R,A={x|x2﹣x﹣2≥0},则∁U A=()A.[﹣1,2]B.(﹣1,2)C.(﹣2,1)D.[﹣2,1)2.(5分)已知复数z=,其中i为虚数单位,则|z|=()A.B.C.D.23.(5分)已知,,c=log23,则a,b,c的大小关系是()A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a4.(5分)如图给出的是计算的值的程序框图,其中判断框内应填入的是()A.i≤2015?B.i≤2017?C.i≤2018?D.i≤2016?5.(5分)已知是偶函数,则a=()A.1B.﹣1C.2D.﹣26.(5分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A﹣sin B)=(c﹣b)sin C,则A=()A.B.C.D.7.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.B.C.D.8.(5分)已知=,则sin2α=()A.﹣B.C.D.±9.(5分)函数f(x)=ln(|x|﹣1)+x的大致图象是()A.B.C.D.10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是等腰三角形,则该几何体的体积为()A.32B.C.D.11.(5分)设F1、F2是椭圆C:的两个焦点,若C上存在点M满足∠F1MF2=120°,则m的取值范围是()A.B.(0,1]∪[8,+∞)C.D.(0,1]∪[4,+∞)12.(5分)已知函数f(x)=(1+2x)(x2+ax+b)(a,b∈R)的图象关于点(1,0)对称,则f(x)在[﹣1,1]上的最大值为()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知实数x,y满足,则的最大值为.14.(5分)在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,则=.15.(5分)已知圆M与直线x﹣y=0及x﹣y+4=0都相切,圆心在直线y=﹣x+2上,则圆M的标准方程为.16.(5分)已知f(x)=sinωx﹣cosωx,若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则ω的取值范围是.(结果用区间表示)三、解答题:本大题共5小题,共70分.17.(12分)已知数列{a n}的前n项和.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设,求数列{b n}的前n项和.18.(12分)在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,平面SAB⊥平面ABCD,平面SAD ⊥平面ABCD,且SA=2AD=3AB.(Ⅰ)证明:SA⊥平面ABCD;(Ⅱ)若E为SC的中点,三棱锥E﹣BCD的体积为,求四棱锥S﹣ABCD外接球的表面积.19.(12分)随着高校自主招生活动的持续开展,我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度,从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生,记录他们在一周内平均每天学习数学的时间,并将其分成了6个区间:(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60],整理得到如下频率分布直方图:根据一周内平均每天学习数学的时间t,将学生对于数学的喜好程度分为三个等级:(Ⅰ)试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m甲(精确到0.01);(Ⅱ)判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值与及方差与的大小关系(只需写出结论),并计算其中的、(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅲ)从甲高中与乙高中随机抽取的80名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取2人,求选出的2人中甲高中与乙高中各有1人的概率.20.(12分)已知抛物线C:y2=2px(0<p<1)上的点P(m,1)到其焦点F的距离为.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)已知直线l不过点P且与C相交于A,B两点,且直线P A与直线PB的斜率之积为1,证明:l过定点.21.(12分)已知曲线y=f(x)=x2﹣1﹣alnx(a∈R)与x轴有唯一公共点A.(Ⅰ)求实数a的取值范围;(Ⅱ)曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为a2﹣a﹣7.若两个不相等的正实数x1,x2满足|f(x1)|=|f(x2)|,求证:x1x2<1.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t为参数).(Ⅰ)若a=1,求直线l被曲线C截得的线段的长度;(Ⅱ)若a=11,在曲线C上求一点M,使得点M到直线l的距离最小,并求出最小距离.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|3x﹣a|.(Ⅰ)当a=4时,求不等式f(x)<3的解集;(Ⅱ)设函数g(x)=|x+1|.当x∈R时,f(x)+g(x)>1恒成立,求实数a的取值范围.2018年山东省枣庄市高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合U=R,A={x|x2﹣x﹣2≥0},则∁U A=()A.[﹣1,2]B.(﹣1,2)C.(﹣2,1)D.[﹣2,1)【解答】解:由A中不等式变形得:(x﹣2)(x+1)≥0,解得:x≤﹣1或x≥2,即A=(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞),∵U=R,∴∁U A=(﹣1,2),故选:B.2.(5分)已知复数z=,其中i为虚数单位,则|z|=()A.B.C.D.2【解答】解:z==,则|z|=.故选:B.3.(5分)已知,,c=log23,则a,b,c的大小关系是()A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a【解答】解:∵0<<30=1,<log31=0,c=log23>log22=1,∴c>a>b.故选:B.4.(5分)如图给出的是计算的值的程序框图,其中判断框内应填入的是()A.i≤2015?B.i≤2017?C.i≤2018?D.i≤2016?【解答】解:∵程序的功能是求S=的值,且在循环体中,S=S+表示,每次累加的是的值,故当i≤2018应满足条件进入循环,i>2018时就不满足条件,分析四个答案可得条件为:i≤2018?故选:C.5.(5分)已知是偶函数,则a=()A.1B.﹣1C.2D.﹣2【解答】解:根据题意,f(x)=ax﹣log2(4x+1),则f(﹣x)=a(﹣x)﹣log2(4﹣x+1),若函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(﹣x),即ax﹣log2(4x+1)=a(﹣x)﹣log2(4﹣x+1),即2ax=log2(4x+1)﹣log2(4﹣x+1)=2x,则a=1;故选:A.6.(5分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A﹣sin B)=(c﹣b)sin C,则A=()A.B.C.D.【解答】解:∵(a+b)(sin A﹣sin B)=(c﹣b)sin C,∴利用正弦定理化简得:(a+b)(a﹣b)=c(c﹣b),即b2+c2﹣a2=bc,∴cos A==,∴A=,故选:B.7.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.B.C.D.【解答】解:设正方形的面积是1,结合图象,阴影部分是和大三角形的面积相等,从而阴影部分占正方形的,故满足条件的概率p==,故选:C.8.(5分)已知=,则sin2α=()A.﹣B.C.D.±【解答】解:sin2α=cos(﹣2α)=1﹣2=故选:B.9.(5分)函数f(x)=ln(|x|﹣1)+x的大致图象是()A.B.C.D.【解答】解:f(x)的定义域为{x|x<﹣1或x>1}.f(x)=,∴f′(x)=,∴当x>1时,f′(x)>0,当x<﹣2时,f′(x)>0,当﹣2<x<﹣1时,f′(x)<0,∴f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增,在(﹣2,﹣1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.故选:A.10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是等腰三角形,则该几何体的体积为()A.32B.C.D.【解答】解:由三视图还原原几何体如图,该几何体是四棱锥A﹣BCDE,其中底面BCDE为边长是4的正方形,侧面ABE为等腰三角形,且平面ABE⊥平面BCDE,由三视图可知,四棱锥的高AG=2,∴.故选:D.11.(5分)设F1、F2是椭圆C:的两个焦点,若C上存在点M满足∠F1MF2=120°,则m的取值范围是()A.B.(0,1]∪[8,+∞)C.D.(0,1]∪[4,+∞)【解答】解:假设椭圆C:的焦点在x轴上,则2<m,假设M位于短轴的端点时,∠F1MF2取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠F1MF2=120°,∠F1MF2≥120°,∠F1MO≥60°,tan∠F1MO==≥tan60°=,解得:m≥8;当椭圆的焦点在y轴上时,0<m<3,假设M位于短轴的端点时,∠F1MF2取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠F1MF2=120°,∠F1MF2≥120°,∠F1MO≥60°,tan∠F1MO=≥tan60°=,解得:0<m,∴m的取值范围是(0,]∪[8,+∞)故选:A.12.(5分)已知函数f(x)=(1+2x)(x2+ax+b)(a,b∈R)的图象关于点(1,0)对称,则f(x)在[﹣1,1]上的最大值为()A.B.C.D.【解答】解:由f(x)的图象关于点(1,0)对称,得f(1)=3(a+b+1)=0,①而f(﹣)=f()=6(+a+b)=0,②,联立①②,解得:a=﹣,b=,故f(x)=(1+2x)(x2﹣x+),f′(x)=6x2﹣12x+,令f′(x)>0,解得:x<,或x>(舍),令f′(x)<0,解得:x>,故f(x)在[﹣1,)递增,在(,1]递减,故f(x)max=f()=,故选:D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知实数x,y满足,则的最大值为2.【解答】解:实数x,y满足的可行域如图:则的几何意义是可行域内的点与P(﹣1,0)的距离,由可行域可知A(1,0)到P(﹣1,0)距离最大,显然最大值为:2.故答案为:2.14.(5分)在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,则=3.【解答】解:在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,则=()==22﹣12=3.故答案为:3.15.(5分)已知圆M与直线x﹣y=0及x﹣y+4=0都相切,圆心在直线y=﹣x+2上,则圆M的标准方程为x2+(y﹣2)2=2.【解答】解:圆心在y=﹣x+2上,设圆心为(a,2﹣a),∵圆C与直线x﹣y=0及x﹣y+4=0都相切,∴圆心到直线x﹣y=0的距离等于圆心到直线x﹣y+4=0的距离,即:,解得a=0,∴圆心坐标为(0,2),r=,圆C的标准方程为x2+(y﹣2)2=2.故答案为:x2+(y﹣2)2=2.16.(5分)已知f(x)=sinωx﹣cosωx,若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则ω的取值范围是.(结果用区间表示)【解答】解:f(x)=sinωx﹣cosωx=sin(ωx﹣)(ω>,x∈R),若f(x)的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则=≥2π﹣π=π,ω≤1,即<ω≤1,①∵令ωx﹣=kπ+,k∈Z,可得数f(x)图象的对称轴为:x=,k∈Z,∴≤π,或≥2π,k∈Z,∴解得:ω≥k+,k∈Z,②或ω≤+,k∈Z,③∴当k=0时,ω≥,或ω≤,当k=1时,ω≥(舍去),或ω≤,综上,可得ω的取值范围是:.故答案为:.三、解答题:本大题共5小题,共70分.17.(12分)已知数列{a n}的前n项和.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设,求数列{b n}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)a1=S1=4.当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=.又a1=4符合n≥2时a n的形式,所以{a n}的通项公式为a n=3n+1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知=.数列{b n}的前n项和为=.18.(12分)在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,平面SAB⊥平面ABCD,平面SAD ⊥平面ABCD,且SA=2AD=3AB.(Ⅰ)证明:SA⊥平面ABCD;(Ⅱ)若E为SC的中点,三棱锥E﹣BCD的体积为,求四棱锥S﹣ABCD外接球的表面积.【解答】(Ⅰ)证明:由底面ABCD为矩形,得BC⊥AB.又平面SAB⊥平面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面SAB.所以BC⊥SA.同理可得CD⊥SA.又BC∩CD=C,BC⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以SA⊥平面ABCD.(Ⅱ)解:设SA=6a,则AB=2a,AD=3a.==.又,所以.解得.四棱锥S﹣ABCD的外接球是以AB、AD、AS为棱的长方体的外接球,设半径为R.则=,即.所以,四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为.19.(12分)随着高校自主招生活动的持续开展,我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度,从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生,记录他们在一周内平均每天学习数学的时间,并将其分成了6个区间:(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60],整理得到如下频率分布直方图:根据一周内平均每天学习数学的时间t,将学生对于数学的喜好程度分为三个等级:(Ⅰ)试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m甲(精确到0.01);(Ⅱ)判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值与及方差与的大小关系(只需写出结论),并计算其中的、(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅲ)从甲高中与乙高中随机抽取的80名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取2人,求选出的2人中甲高中与乙高中各有1人的概率.【解答】解:(Ⅰ)由样本估计总体的思想,甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数:×10≈26.67;(Ⅱ),,+35×0.2+45×0.15+55×0.05=27.5,+(15﹣27.5)2×(40×0.2)+(25﹣27.5)2×(40×0.3)+(35﹣27.5)2×(40×0.2)+(45﹣27.5)2×(40×0.15)+(55﹣27.5)2×(40×0.05)]=178.75.(Ⅲ)甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×(0.005×10)=2人,记为A1,A2,乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×(0.015×10)=6人,记为B1,B2,B3,B4,B5,B6.随机选出2人有以下28种可能:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A1,B5),(A1,B6),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A2,B6),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,B5),(B1,B6),(B2,B3),(B2,B4),(B2,B5),(B2,B6),(B3,B4),(B3,B5),(B3,B6),(B4,B5),(B4,B6),(B5,B6),甲、乙两所高中各有1人,有以下12种可能:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A1,B5),(A1,B6),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A2,B6).所以,从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人,选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率为p=.20.(12分)已知抛物线C:y2=2px(0<p<1)上的点P(m,1)到其焦点F的距离为.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)已知直线l不过点P且与C相交于A,B两点,且直线P A与直线PB的斜率之积为1,证明:l过定点.【解答】解:(Ⅰ)由题意,得2pm=1,即.由抛物线的定义,得.由题意,.解得,或p=2(舍去).所以C的方程为y2=x.(Ⅱ)证法一:设直线P A的斜率为k(显然k≠0),则直线P A的方程为y﹣1=k(x﹣1),则y=kx+1﹣k.由消去y并整理得k2x2+[2k(1﹣k)﹣1]x+(1﹣k)2=0.设A(x1,y1),由韦达定理,得,即.=.所以.由题意,直线PB的斜率为.同理可得,即B((k2﹣1)2,k﹣1).若直线l的斜率不存在,则.解得k=1,或k=﹣1.当k=1时,直线P A与直线PB的斜率均为1,A,B两点重合,与题意不符;当k=﹣1时,直线P A与直线PB的斜率均为﹣1,A,B两点重合,与题意不符.所以,直线l的斜率必存在.直线l的方程为[x﹣(k﹣1)2],即.所以直线l过定点(0,﹣1).证法二:由(1),得P(1,1).若l的斜率不存在,则l与x轴垂直.设A(x1,y1),则B(x1,﹣y1),.则==.(x1﹣1≠0,否则,x1=1,则A(1,1),或B(1,1),直线l过点P,与题设条件矛盾)由题意,,所以x1=0.这时A,B两点重合,与题意不符.所以l的斜率必存在.设l的斜率为k,显然k≠0,设l:y=kx+t,由直线l不过点P(1,1),所以k+t≠1.由消去y并整理得k2x2+(2kt﹣1)x+t2=0.由判别式△=1﹣4kt>0,得.设A(x1,y1),B(x2,y2),则①,②,则==.由题意,.故(k2﹣1)x1x2+(kt﹣k+1)③将①②代入③式并化简整理得,即1﹣t2﹣kt﹣k=0.即(1+t)(1﹣t)﹣k(t+1)=0,即(1+t)(1﹣t﹣k)=0.又k+t≠1,即1﹣t﹣k≠0,所以1+t=0,即t=﹣1.所以l:y=kx﹣1.显然l过定点(0,﹣1).证法三:由(1),得P(1,1).设l:x=ny+t,由直线l不过点P(1,1),所以n+t≠1.由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0.由题意,判别式△=n2+4t>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=n①,y1y2=﹣t②则==.由题意,y1y2+(y1+y2)+1=1,即y1y2+(y1+y2)=0③将①②代入③式得﹣t+n=0,即t=n.所以l:x=n(y+1).显然l过定点(0,﹣1).21.(12分)已知曲线y=f(x)=x2﹣1﹣alnx(a∈R)与x轴有唯一公共点A.(Ⅰ)求实数a的取值范围;(Ⅱ)曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为a2﹣a﹣7.若两个不相等的正实数x1,x2满足|f(x1)|=|f(x2)|,求证:x1x2<1.【解答】(Ⅰ)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞).f(1)=0.由题意,函数f(x)有唯一零点1..(1)若a≤0,则﹣a≥0.显然f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.又f(1)=0,所以a≤0符合题意.(2)若a>0,.;.所以f(x)在上是减函数,在上是增函数.所以=.由题意,必有(若,则f(x)>0恒成立,f(x)无零点,不符合题意)①若,则.令,则.g'(a)>0⇔0<a<2;g'(a)<0⇔a>2.所以函数g(a)在(0,2)上是增函数,在(2,+∞)上是减函数.所以g(a)max=g(2)=0.所以g(a)≤0,当且仅当a=2时取等号.所以,,且a≠2.取正数,则f(b)=b2﹣1﹣alnb>﹣1﹣alnb;取正数c>a+1,显然.而f(c)=c2﹣1﹣alnx,令h(x)=lnx﹣x,则.当x>1时,显然.所以h(x)在[1,+∞)上是减函数.所以,当x>1时,h(x)=lnx﹣x<h(1)=﹣1<0,所以lnx<x.因为c>1,所以f(c)=c2﹣1﹣alnc>c2﹣1﹣ac=c(c﹣a)﹣1>c×1﹣1>0.又f(x)在上是减函数,在上是增函数,则由零点存在性定理,f(x)在、上各有一个零点.可见,0<a<2,或a>2不符合题意.注:a>0时,若利用,,,说明f(x)在、上各有一个零点.②若,显然,即a=2.符合题意.综上,实数a的取值范围为{a|a≤0,或a=2}.(Ⅱ)由题意,f'(1)=2﹣a=a2﹣a﹣7.所以a2=9,即a=±3.由(Ⅰ)的结论,得a=﹣3.f(x)=x2﹣1+3lnx,f(x)在(0,+∞)上是增函数.f(x)<0⇔0<x<1;f(x)>0⇔x>1.由|f(x1)|=|f(x2)|,不妨设x1<x2,则0<x1<1<x2.从而有﹣f(x1)=f(x2),即.所以>2x1x2+3lnx1x2﹣2.令p(t)=2t+3lnt﹣2,显然p(t)在(0,+∞)上是增函数,且p(1)=0.所以p(t)<0⇔0<t<1.从而由2x1x2+3lnx1x2﹣2<0,得x1x2<1.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t为参数).(Ⅰ)若a=1,求直线l被曲线C截得的线段的长度;(Ⅱ)若a=11,在曲线C上求一点M,使得点M到直线l的距离最小,并求出最小距离.【解答】选修4﹣4:坐标系与参数方程解:(Ⅰ)曲线C的普通方程为.当a=1时,直线l的普通方程为y=2x.由.解得或,直线l被曲线C截得的线段的长度为.(Ⅱ)解法一:a=11时,直线l的普通方程为2x﹣y﹣10=0.由点到直线的距离公式,椭圆上的点M(3cosθ,2sinθ)到直线l:2x﹣y﹣10=0的距离为:==,其中θ0满足,.由三角函数性质知,当θ+θ0=0时,d取最小值.此时,,.因此,当点M位于时,点M到l的距离取最小值.解法二:当a=11时,直线l的普通方程为2x﹣y﹣10=0.设与l平行,且与椭圆相切的直线m的方程为2x﹣y+t=0.由消去y并整理得40x2+36tx+9t2﹣36=0.由判别式△=(36t)2﹣4×40×(9t2﹣36)=0,解得.所以,直线m的方程为,或.要使两平行直线l与m间的距离最小,则直线m的方程为.这时,l与m间的距离=.此时点M的坐标为方程组的解.因此,当点M位于时,点M到直线l的距离取最小值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|3x﹣a|.(Ⅰ)当a=4时,求不等式f(x)<3的解集;(Ⅱ)设函数g(x)=|x+1|.当x∈R时,f(x)+g(x)>1恒成立,求实数a的取值范围.【解答】选修4﹣5:不等式选讲解:(Ⅰ)当a=4时,f(x)=|3x﹣4|.由|3x﹣4|<3,解得.所以,不等式f(x)<3的解集为.(Ⅱ)f(x)+g(x)=|3x﹣a|+|x+1|==(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)=.综上,当时,f(x)+g(x)有最小值.故由题意得,解得a<﹣6,或a>0.所以,实数a的取值范围为(﹣∞,﹣6)∪(0,+∞).。

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山东省枣庄市薛城区2018届高三第一学期期末考试数学试题(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数2121,34,1z z i z i z ⋅--=-=则在复平面内对应的点位于 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射,如果B ={1,2},则A ∩B 等于( ) A . B .{1} C . 或{2} D . 或{1} 3.首项为2,公比为3的等比数列,从第n 项到第N 项的和为720,则n ,N 的值分别为 ( ) A .n =2,N =6 B .n =3,N =6 C .n =2,N =7 D .n =3,N =7 4.“21=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线互相垂直”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知函数0)(,)(2<++=x f c bx ax x f 不等式的解集为}13|{>-<x x x 或,则函数)(x f y -=图象可以为( )6.过抛物线x y 42=焦点的弦AB 的长为8,则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为( )A .4B .5C .6D .87.nmx x x f )31()21()(+++=(1,1,,>>∈n m N n m )的展开式中x 的系数是13,则2x的系数为( )A .31或40B .71或80C .31D .408.设点A 是半径为r 、圆心为O 的圆上一定点,点B 是圆O 内一点,与的夹角为θ,则r AB r 2||,6≤≤≤且πθ的概率为( )A .61B .41 C .31 D .21 9.把函数2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象按向量a =(-3π,0)平移,所得曲线的一部分如图所示,则ω,ϕ的值分别是( ) A .1,3π B .1,-3πC .2,3πD .2,-3π10.设F 1、F 2为双曲线)0,20(1sin 2222>≤<=-b by x πθθ的两个焦点,过F 1的直线交双曲线的同支于A 、B 两点,如果|AB |=m ,则△AF 2B 的周长的最大值是 ( )A .4-mB .4C .4+ mD .4+2 m11.设α、β、γ为三个不同的平面,m 、n 是两条不同的直线,在命题“α∩β= m ,γ⊂n ,且 ,则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α∥γ,⊂n β;②m ∥γ,n ∥β;③n ∥β,⊂m γ 可以填入的条件有 ( )A .①或②B .②或③C .①或③D .①或②或③12.已知函数)(x f 的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表,)(x f '为)(x f 的导函数,函数=y )(x f '的图像如右图所示. 若两正数a 、b 满足,1)2(<+b a f 则33++a b 的取值范围( )A .()3,5B .()3,7C .()56,32D .)3,31(-第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在题中横线上. 13.若21)sin(-=-απ,则),23cos(απ-= .14.一个算法如下:第一步:s 取值0,i 取值为1 第二步:若i 不大于12,则执行下一步;否则执行第六步 第三步:计算S +i 并将结果代替S 第四步:用i +2的值代替i 第五步:转去执行第二步 第六步:输出S 则运行以上步骤输出的结果为 . 15.已知△ABC 的面积====a c b s 则,3,4,24 .16.某高级中学共有学生m 名,编号为1,2,3,…,m (*)N m ∈;该校共开设了n 门选修课,编号为1,2,3,…n (*)N n ∈. 定义记号ij a ;若第i 号学生选修了第j 号课程,则ij a =1;否则ij a =0;如果a 31+ a 32+ a 33+…+ a 3n =5,则该等式说明的实际含义是 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量.)(),sin cos ,sin 4(),sin cos ,42(sin2b a x f x x x b x x xa ⋅=-=++=π.(Ⅰ)求)(x f 的解析式;(Ⅱ)求)(x f 的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积. 18.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和n S 满足.1,2,2211==+=+a a KS S n n 又(Ⅰ)求n S ;(Ⅱ)已知存在正整数m 、n ,使211<--+m S m S n n 成立,试求出m 、n 的值.19.(本小题满分12分) 某几何体的三视图如图所示,P 是正方形ABCD 对角线的交点,G 是PB 的中点. (Ⅰ)根据三视图,画出该几何体的直观图;(Ⅱ)在直观图中,①证明:PD ∥面AGC ;②证明:面PBD ⊥AGC .③求面PAB 与面PBC 的夹角的余弦值. 20.(本小题满分12分) 最近,李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财,提出了三种方案: 第一种方案:李师傅的儿子认为:根据股市收益大的特点,应该将10万块钱全部用来买股票. 据分析预测:投资股市一年可能获利40%,也可能亏损20%. (只有这两种可能). 且获得的概率为21第二种方案:李师傅认为:现在股市风险大,基金风险较小,应将10万块钱全部用来买基金. 据分析预测:投资基金一年后可能获利20%,可能损失10%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为.51,51,53第三种方案:李师傅妻子认为:投入股市、基金均有风险,应该将10万块钱全部存入银行一年,现在存款年利率为4%,存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方法,并说明理由.21.(本小题满分12分)已知).,2()()(2R x a e a ax x x f x∈≤++=-(Ⅰ)当a =1时,求)(x f 的单调区间;(Ⅱ)是否存在实数a ,使)(x f 的极大值为3?若存在,求出a 的值,若不存在,说明理由.22.(本小题满分14分)如图,椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为F 1,F 2,过点F 1的直线l 与椭圆相交与A 、B 两点.(Ⅰ)若∠AF 1F 2=60°,且021=⋅AF AF 求椭圆的离心率.(Ⅱ)若F F b a 21,1,2⋅==求的最大值和最小值.参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.C 7.A 8.A 9.D 10.D 11.C 12.A 二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分.13.21-14.36 15.3317或 16.3号学生选修了5门课程 三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17.解:(Ⅰ))sin )(cos sin (cos sin 442sin)(2x x x x x xx f -++⋅+=π…………2分=x x x 2cos 2)2cos(1sin 4++-⋅π………………………………………………4分 =x x x 2sin 21)sin 1(sin 2-++………………………………………………6分 =1sin 2+x1sin 2)(+=∴x x f …………………………………………………………8分(II )显然)(x f 的图象与x 轴正半轴的第一个交点为(0,67π)…………10分所以)(x f 的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积=6732)1sin 2(670ππ++=+⎰dx x ……………………………………12分18.(Ⅰ)21.1,2.222112112=∴==+=++=K a a Ka a a KS S 又 ……2分 2211+=+n n S S ①221,21+=≥-n n S S n 时 ②,①—②得)2(211≥=+n a a n n …………………………………………………4分又}{),(21)(0,21*1*12n n n n a n n a a N n a a a ∴∈=∴∈≠=+是等比数列,公比为21)211(4211])21(1[2n n n S -=--=∴……………………………………………7分(Ⅱ)不等式21)211(4)211(4,2111<----<--++mmm S m S n n n n 即整理得6)4(220]2)4(2[26)4(2<-<∴<----m m m n nn ……………9分∵存在正整数m ,n 使得上面的不等式成立,由于n2为整数,4—m 为整数,则只能4)4(2=-m n ……………………………………………………10分⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=∴231214422422n m n m m m n n 或或即2,31,2====n m n m 或……………………………………………12分19.解:(Ⅰ)该几何体的直观图如图所示。

2018届高三上学期期末考试数学试题 (2)

2018届高三上学期期末考试数学试题 (2)

参考公式:柱体的体积公式:V=Sh,其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高.锥体的体积公式:V=Sh,其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高.球的表面积公式:S=4πR2 ,其中R表示球的半径.球的体积公式:V=πR3 ,其中R表示球的半径.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若抛物线的准线方程为, 则抛物线的标准方程为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得抛物线的标准方程为.故选D.2. 若双曲线的左、右焦点分别为,点在双曲线上,且,则等于()A. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B考点:双曲线.3. 直线a与平面所成角的为30o,直线b在平面内,且与b异面,若直线a与直线b所成的角为,则( )A. 0º<≤30ºB. 0º<≤90ºC. 30º≤≤90ºD. 30º≤≤180º【答案】C【解析】设直线a在平面α的射影为直线c,在平面α内作直线d⊥c,由三垂线定理可得直线d⊥a.因为直线a与平面α所成的角为30°,所以直线a与直线c所成的角为30°,等于平面α内的直线与直线a所成角的最小值.直线b在平面α内,当b与直线d平行或重合时,可得a⊥b,直线a与b所成的角为90°,达到最大值;当b与直线c平行或重合时,可得a、b所成的角为30°,达到最小值.因此,直线a与b所成的角为φ的取值范围为30°≤θ≤90°.故选C4. 设为向量,则“”是“”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先讨论充分性:由得所以“”是“”的充分条件.再讨论必要性:因为,所以,所以“”是“”的必要条件.故选C.5. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列选项正确的是()A. 若,且,则B. 若,且,则C. 若,且,则D. 若,且,,则【答案】A【解析】对于选项A,可以证明,所以选项A正确;对于选项B,画图可知,直线m和n 可能平行,也可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,可以举反例,不垂直,满足已知条件,但是不垂直;对于选项D,可能不平行,是相交的关系.故选A.6. 椭圆M:长轴上的两个顶点为、,点P为椭圆M上除、外的一个动点,若且,则动点Q在下列哪种曲线上运动( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】B【解析】设P(m,n),Q(x,y)∵椭圆M的方程为,∴作出椭圆如图所示,可得长轴的端点为A(﹣a,0),B(a,0)∴=(x+a,y),=(m+a,n)∵=0,∴(x+a)(m+a)+ny=0,可得m+a=﹣①同理根据=0,可得m﹣a=﹣②②,可得m2﹣a2=.③∵点P(m,n)是椭圆上的动点,∴,整理得n2=(a2﹣m2),代入③可得:m2﹣a2=(a2﹣m2),化简得此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆,可得动点Q的轨迹是一个椭圆,B项是正确答案故选B.7. 如图,小于的二面角中,,,且为钝角,是在内的射影,则下列结论错误..的是()A. 为钝角B.C. D.【答案】D【解析】如图,过点B作垂足为C,过点A作垂足为D.在直角△BCO中,,在直角三角形中,因为是锐角二面角,所以同理,因为故选D.点睛:本题的关键是证明利用什么方法来判断选项,由于选项判断的是角的大小关系,所以一般要构造直角三角形,再利用三角函数分析解析.8. 已知点P在以为左右焦点的椭圆上,椭圆内一点Q在的延长线上,满足,若,则该椭圆离心率取值范围是()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵满足QF1⊥QP,∴点Q与点F2重合时,∵sin∠F1PQ=,不妨设|PF1|=13,则|PF2|=12.∴可得:e=.因此e.当点Q在最下端时,∠F1QF2最大,此时F1Q⊥F2Q.可得点Q在椭圆的内部,当b=c,e=,因此.综上可得:.故选C.点睛:本题的关键在于找到点Q的临界位置,从而找到它们对应的椭圆的离心率. 所以本题利用了数形结合的思想,它是一种重要的数学思想,在解题过程中注意灵活运用.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题: 本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9. 双曲线的焦距为__________,渐近线方程为________.【答案】 (1). 6 (2).【解析】由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.10. 命题“若实数满足,则”的逆否命题是________命题(填“真”或者“假”);否命题是________命题(填“真”或者“假”).【答案】 (1). 假 (2). 真【解析】,所以原命题是假命题,由于原命题和逆否命题的真假性是一致的,所以其逆否命题是假命题. 其否命题是“若实数满足,则”,所以其否命题是真命题. 故填(1). 假 (2). 真.11. 已知是边长为1的正三角形,平面,且,则与平面所成角的正弦值为________.若点关于直线的对称点为,则直线与所成角的余弦值是________.【答案】 (1). (2).【解析】如图,取AC中点O,连接BO,PO,∵△ABC是边长为1的正三角形,PA⊥平面ABC,∴BO⊥AC,∴BO⊥平面APC∴则PB与平面PAC所成角是∠BPO,可得BO=,PB=∴sin∠BPO==.如图,建立空间直角坐标系,易得AD与PC的交点H为PC中点,A(0,0,0),B(,,0),C(0,1,0),H(0,,)=(0,,),=(﹣,,0)cos,故答案为: (1). (2).点睛:本题的难点在第二问,直接研究比较困难,利用空间向量来研究问题就简单了很多,所以要注意一点,如果利用几何法比较困难,可以尝试用空间向量来研究.12. 已知,直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是,则点M的轨迹C的方程是___________.若点为轨迹C的焦点,是直线上的一点,是直线与轨迹的一个交点,且,则_____.【答案】 (1). (2).【解析】设M(x,y),∵A(1,),B(﹣1,),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是,∴k AM﹣k BM=,整理,得点M的轨迹C的方程是x2=4y(x≠±1).∵点F为轨迹C的焦点,∴F(0,1),P是直线l:y=﹣1上的一点,Q是直线PF与轨迹C的一个交点,且=3,作QM⊥y轴于M点,作PN⊥y轴于N点,则,∴MF=,∴Q(,),∴|QF|=.故答案为:(1). (2).13. 过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60 角的直线有________条.【答案】4【解析】由于正四面体的所有边长都相等,所有三角形的内角都是60°,除了一组对棱AB和CD,剩下的四条棱与AB和CD所成的角都是60°,所以只要把这四条棱平移到正四面体的中心,所以有四条. 故填4.14. 已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为,若,则双曲线的离心率为_________.【答案】或【解析】双曲线的两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0,点P(x0,y0)到两条渐近线的距离之积为,即,又点P(x0,y0)满足双曲线的方程,∴b2x02﹣a2y02=a2b2,∴,即2a2+2b2=5ab,∴b=2a或b=a,则e=故填或.15. 四棱锥中,平面ABCD,,,BC//AD,已知Q是四边形ABCD内部一点,且二面角的平面角大小为,若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为的两部分,则=_______.【答案】【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图:设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q(0,b,0)(b>0).由题意可知A(0,0,0),D(2,0,0),P(0,0,1),∴=(﹣2,0,1),=(﹣2,b,0). =(2,0,0).设平面APD的法向量为=(x1,y1,z1),平面PDQ的法向量为=(x2,y2,z2)则即,令y1=0得=(0,1,0),令z2=2得=(1,,2).∴.∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为,∴cos<>=即解得b=.∴S△ADQ=.S梯形ABCD﹣S△ADQ=.∵S1<S2,∴S1=,S2=.∴S1:S2=(3﹣4):4.故答案为(3﹣4):4.点睛:本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分,它就是一条线段DQ,确定点Q 在y轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 已知从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点.又点A是椭圆与x轴正半轴的交点,点B是椭圆与y轴正半轴的交点,且,.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)在椭圆C中,求以点为中点的弦MN所在的直线方程.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析: (1)第一问,直接由得到,化简得到一个方程,再结合对应的方程,得到a,b,c的值,即得到椭圆C的方程. (2)先利用韦达定理得到斜率k的方程,再根据点斜式写出直线的方程.试题解析:(Ⅰ)由题意知:,故,即,解得,又,解得,故椭圆C的方程为;(Ⅱ)因为点在椭圆内,且显然直线MN的斜率存在,故设直线MN的方程为,代入椭圆方程得故,解得,故直线MN的方程为17. (本小题满分15分)如图,三棱柱中,侧棱平面,为等腰直角三角形,,且,分别是的中点.(Ⅰ)求证:①平面;②平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)第一问,先证明,即可证明平面;证明和,即可证明平面. (2)第二问,先证明即为直线与平面所成角.再解,即可得到直线与平面所成角.试题解析:(Ⅰ)①连接,,故点G即为与的交点,且G为的中点,又F为的中点,故,又GF平面,平面故平面②因为是等腰直角三角形斜边的中点,所以.因为三棱柱为直三棱柱,所以面面,所以面,.设,则.所以,所以.又,所以平面.(2)由(1)知在平面上的投影为,故在平面上的投影落在AF上.所以即为直线与平面所成角.由题知:不妨设,所以,在中,,所以,即直线与平面所成角为.18. 如图,平行四边形平面,,,(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值的大小.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)第一问,证明,即可证明平面.(2)第二问,先作出二面角的平面角,再解三角形,即可得到二面角的余弦值的大小. 试题解析:(Ⅰ)过点A作,因为平行四边形平面,平行四边形平面=CD,平面ABCD,故平面CDE,又平面CDE,故,又,,平面ABCD,故平面(Ⅱ)过作⊥交于,过作⊥交于,连接.由(Ⅰ)得⊥平面,又∵平面,∴平面⊥平面. ∴平面ADE,⊥,又∵垂直,且.∴⊥平面,得角就是所求二面角的一个平面角.又∵,,∴所求二面角的余弦值为.19. 抛物线,,为抛物线的焦点,是抛物线上两点,线段的中垂线交轴于,,。

山东省枣庄市2018-2019学年高二上学期期末第二学段模块考试数学试卷-

山东省枣庄市2018-2019学年高二上学期期末第二学段模块考试数学试卷-

2018~2019学年度第一学期第二学段模块考试高二数学一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数(为虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数,然后求得其虚部.【详解】依题意,故虚部为,所以选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘法运算,考查复数实部和虚部的识别,属于基础题.2.不等式的解集为()A. B.C. D.【答案】A【解析】,选A.3.曲线在(其中为自然对数的底数)处的切线方程为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导函数,确定x=e处的切线的斜率,确定切点的坐标,利用点斜式可得结论.【详解】求导函数f′(x)=lnx+1,∴f′(e)=lne+1=2∵f(e)=elne=e∴曲线f(x)=xln x在x=e处的切线方程为y﹣e=2(x﹣e),即y=2x﹣e故答案为:B.【点睛】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,属于基础题.求曲线在点P处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在点P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程.4.“k>9”是“方程表示双曲线”的 ( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当k>9时,9-k<0,k-4>0,方程表示双曲线.当k<4时,9-k>0,k-4<0,方程也表示双曲线.∴“k>9”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.选B.点睛:充分、必要条件的三种判断方法.1.定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假.并注意和图示相结合,例如“⇒”为真,则是的充分条件.2.等价法:利用⇒与非⇒非,⇒与非⇒非,⇔与非⇔非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.3.集合法:若⊆,则是的充分条件或是的必要条件;若=,则是的充要条件.5.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则的值为()A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的两焦点坐标,即为椭圆的焦点坐标,即可得到c的值,然后根据椭圆的定义得到a,最后利用a,b,c的关系即可求出a的值.【详解】双曲线方程化为,由此得a=2,b=,c=,焦点为(﹣,0),(,0).椭圆中,则a2=b2+c2=9+7=16.则a的值为4.故选:C.【点睛】此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征,会求椭圆的标准方程,是一道综合题.本题还考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,利用条件求出a,b,c值,是解题的关键.6.已知为等差数列,其前项和为,若,,则公差等于().A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差数列的前2n-1项和与项的关系和公差公式可求解。

2018年山东省枣庄市高考数学二模试卷(文科)

2018年山东省枣庄市高考数学二模试卷(文科)

2018年山东省枣庄市高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合U=R,A={x|x2−x−2≥0},则∁U A=()A.[−1, 2]B.(−1, 2)C.(−2, 1)D.[−2, 1)2. 已知复数z=i1+i,其中i为虚数单位,则|z|=()A.1 2B.√22C.√2D.23. 已知a=3−12,b=log312,c=log23,则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a4. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+12018的值的程序框图,其中判断框内应填入的是()A.i≤2015?B.i≤2017?C.i≤2018?D.i≤2016?5. 已知f(x)=ax−log2(4x+1)是偶函数,则a=()A.1B.−1C.2D.−26. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.2π37. 七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.3 16B.38C.14D.188. 已知sin(π4−α)=13,则sin2α=()A.−79B.79C.4√29D.±4√299. 函数f(x)=ln(|x|−1)+x的大致图象是()A.B.C.D.10. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是等腰三角形,则该几何体的体积为()A.32B.643 C.163D.32311. 设F 1、F 2是椭圆C:x 2m+y 22=1的两个焦点,若C 上存在点M 满足∠F 1MF 2=120∘,则m 的取值范围是( ) A.(0,12]∪[8,+∞) B.(0, 1]∪[8, +∞) C.(0,12]∪[4,+∞)D.(0, 1]∪[4, +∞)12. 已知函数f(x)=(1+2x)(x 2+ax +b)(a, b ∈R)的图象关于点(1, 0)对称,则f(x)在[−1, 1]上的最大值为( )A.√3B.√32C.2√3D.3√32二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.已知实数x ,y 满足{x ≥0y ≥0x +y −1≤0 ,则√(x +1)2+y 2的最大值为________.在平行四边形ABCD 中,AB =1,AD =2,则AC →∗BD →=________.已知圆M 与直线x −y =0及x −y +4=0都相切,圆心在直线y =−x +2上,则圆M 的标准方程为________.已知f(x)=sinωx −cosωx(ω>23),若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π, 2π),则ω的取值范围是________.(结果用区间表示) 三、解答题:本大题共5小题,共70分.已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+5n2.(Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)设b n =3an a n+1,求数列{b n }的前n 项和.在四棱锥S −ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面SAB ⊥平面ABCD ,平面SAD ⊥平面ABCD ,且SA =2AD =3AB . (Ⅰ)证明:SA ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)若E为SC的中点,三棱锥E−BCD的体积为8,求四棱锥S−ABCD外接球的表面积.9随着高校自主招生活动的持续开展,我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度,从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生,记录他们在一周内平均每天学习数学的时间,并将其分成了6个区间:(0, 10]、(10, 20]、(20, 30]、(30, 40]、(40, 50]、(50, 60],整理得到如下频率分布直方图:根据一周内平均每天学习数学的时间t,将学生对于数学的喜好程度分为三个等级:(Ⅰ)试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m甲(精确到0.01);(Ⅱ)判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X与X及方差S2与S2的大小关系(只需写出结论),并计算其中的X、S2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅲ)从甲高中与乙高中随机抽取的80名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取2人,求选出的2人中甲高中与乙高中各有1人的概率.已知抛物线C:y2=2px(0<p<1)上的点P(m, 1)到其焦点F的距离为5.4(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)已知直线l不过点P且与C相交于A,B两点,且直线PA与直线PB的斜率之积为1,证明:l过定点.已知曲线y=f(x)=x2−1−alnx(a∈R)与x轴有唯一公共点A.(Ⅰ)求实数a的取值范围;(Ⅱ)曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为a2−a−7.若两个不相等的正实数x1,x2满足|f(x1)|=|f(x2)|,求证:x1x2<1.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =2sinθ (θ为参数),直线l 的参数方程为{x =t −1y =2t −a −1(t 为参数).(Ⅰ)若a =1,求直线l 被曲线C 截得的线段的长度;(Ⅱ)若a =11,在曲线C 上求一点M ,使得点M 到直线l 的距离最小,并求出最小距离. [选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|3x −a|.(Ⅰ)当a =4时,求不等式f(x)<3的解集;(Ⅱ)设函数g(x)=|x +1|.当x ∈R 时,f(x)+g(x)>1恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案与试题解析2018年山东省枣庄市高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】 B【考点】 补集及其运算 【解析】求出A 中不等式的解集确定出A ,根据全集U =R ,求出A 的补集即可. 【解答】解:由A 中不等式变形得:(x −2)(x +1)≥0,解得:x ≤−1或x ≥2,即A =(−∞, −1]∪[2, +∞), ∵ U =R ,∴ ∁U A =(−1, 2), 故选:B . 2.【答案】 B【考点】 复数的运算 【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ,再利用复数求模公式计算得答案. 【解答】 z =i 1+i=i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i 2=12+12i , 则|z|=√(12)2+(12)2=√22.3.【答案】 B【考点】 对数值大小的比较 【解析】直接利用指数函数、对数函数的单调性求解即可. 【解答】∵ 0<a =3−12<30=1,b =log 312<log 31=0,c =log 23>log 22=1, ∴ c >a >b . 4.【答案】 C【考点】 程序框图根据已知中程序的功能是求S =12+14+16+⋯+12018的值,由于满足条件进入循环,每次累加的是1i 的值,当i ≤2014时进入循环,进而得到答案. 【解答】∵ 程序的功能是求S =12+14+16+⋯+12018的值, 且在循环体中,S =S +1i 表示,每次累加的是1i 的值,故当i ≤2018应满足条件进入循环, i >2018时就不满足条件,分析四个答案可得条件为:i ≤2018? 5.【答案】 A【考点】函数奇偶性的性质 【解析】根据题意,求出f(−x)的表达式,由偶函数的性质可得ax −log 2(4x +1)=a(−x)−log 2(4−x +1),变形可得2ax =log 2(4x +1)−log 2(4−x +1)=2x ,分析可得答案. 【解答】根据题意,f(x)=ax −log 2(4x +1),则f(−x)=a(−x)−log 2(4−x +1), 若函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(−x),即ax −log 2(4x +1)=a(−x)−log 2(4−x +1), 即2ax =log 2(4x +1)−log 2(4−x +1)=2x , 则a =1; 6.【答案】 B【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】已知等式利用正弦定理化简,整理得到关系式,再利用余弦定理表示出cosA ,把得出关系式代入求出cosA 的值,即可确定出角A 的大小. 【解答】解:∵ (a +b)(sinA −sinB)=(c −b)sinC , ∴ 利用正弦定理化简得: (a +b)(a −b)=c(c −b), 即b 2+c 2−a 2=bc , ∴ cosA =b 2+c 2−a 22bc=12.∴ A =π3. 故选B . 7.C【考点】几何概型计算(与长度、角度、面积、体积有关的几何概型) 【解析】求出阴影部分的面积,根据几何概型的定义求出满足条件的概率即可. 【解答】设正方形的面积是1,结合图象,阴影部分是和大三角形的面积相等, 从而阴影部分占正方形的14, 故满足条件的概率p =141=14,8.【答案】 B【考点】二倍角的三角函数 【解析】根据二倍角公式可知cos(π2−2α)=1−2sin 2(π4−α)进而求得cos(π2−2α),则sin2α可求. 【解答】sin2α=cos(π2−2α)=1−2sin 2(π4−α)=799.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】化简f(x),利用导数判断f(x)的单调性即可得出正确答案. 【解答】f(x)的定义域为{x|x <−1或x >1}. f(x)={ln(x −1)+x,x >1ln(−x −1)+x,x <−1,∴ f′(x)={1x−1+1,x >11x+1+1,x <−1,∴ 当x >1时,f′(x)>0,当x <−2时,f′(x)>0,当−2<x <−1时,f′(x)<0, ∴ f(x)在(−∞, −2)上单调递增,在(−2, −1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递增. 10.【答案】 D【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图还原原几何体,可知原几何体是四棱锥A−BCDE,其中底面BCDE为边长是4的正方形,侧面ABE为等腰三角形,且平面ABE⊥平面BCDE,四棱锥的高AG=2,代入棱锥体积公式求解.【解答】由三视图还原原几何体如图,该几何体是四棱锥A−BCDE,其中底面BCDE为边长是4的正方形,侧面ABE为等腰三角形,且平面ABE⊥平面BCDE,由三视图可知,四棱锥的高AG=2,∴V A−BCDE=13×4×4×2=323.11.【答案】A【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程【解析】分类讨论,由要使椭圆C上存在点M满足∠F1MF2≥120∘,∠F1MO≥60∘,当假设椭圆的焦点在x轴上,∠F1MF2≥120∘,∠F1MO≥60∘,tan∠F1MO≥tan60∘,当即可求得椭圆的焦点在y轴上时,∠F1MF2≥120∘,∠F1MO≥60∘,通过tan∠F1MO,即可求得m 的取值范围.【解答】解:假设椭圆C:x2m +y22=1的焦点在x轴上,则2<m,假设M位于短轴的端点时,∠F1MF2取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠F1MF2= 120∘,∠F1MF2≥120∘,∠F1MO≥60∘,tan∠F1MO=cb =√m−2√2≥tan60∘=√3,解得:m≥8;当椭圆的焦点在y轴上时,0<m<3,假设M位于短轴的端点时,∠F1MF2取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠F1MF2= 120∘,∠F1MF2≥120∘,∠F1MO≥60∘,tan∠F1MO=√2−mm ≥tan60∘=√3,解得:0<m≤12,∴m的取值范围是(0, 12]∪[8, +∞). 故选A.12.【答案】 D【考点】导数求函数的最值 【解析】根据函数的对称性得到关于a ,b 的方程组,求出a ,b ,求出函数f(x)的解析式,求出函数的导数,根据函数的单调性求出f(x)的最大值即可. 【解答】而f(−12)=f(52)=6(254+52a +b)=0,(1), 联立(2)(3),解得:a =−72,b =52, 故f(x)=(1+2x)(x 2−72x +52), f′(x)=6x 2−12x +32, 令f′(x)>0,解得:x <2−√32,或x >2+√32(舍),令f′(x)<0,解得:x >2−√32,故f(x)在[−1, 2−√32)递增, 在(2−√32, 1]递减,故f(x)max =f(2−√32)=3√32,故选:D .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 【答案】 2【考点】简单线性规划 【解析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解即可. 【解答】实数x ,y 满足{x ≥0y ≥0x +y −1≤0 的可行域如图: 则√(x +1)2+y 2的几何意义是可行域内的点 与P(−1, 0)的距离,由可行域可知A(1, 0)到P(−1, 0)距离最大, 显然最大值为:(2) 【答案】 3【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 数量积表示两个向量的夹角【解析】利用向量的和以及差表示数量积的两个向量,然后求解即可.【解答】在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,AD→=BC→则AC→∗BD→=(BC→+AB→)∗(BC→−AB→)=BC→2−AB→2=22−12=(3)【答案】x2+(y−2)2=2【考点】圆的标准方程【解析】根据圆心在直线y=−x+2上,设出圆心坐标为(a, 2−a),利用圆C与直线x−y=0及x−y+4=0都相切,求得圆心坐标,再求圆的半径,可得圆的方程.【解答】圆心在y=−x+2上,设圆心为(a, 2−a),∵圆C与直线x−y=0及x−y+4=0都相切,∴圆心到直线x−y=0的距离等于圆心到直线x−y+4=0的距离,即:√2=√2,解得a=0,∴圆心坐标为(0, 2),r=√2=√2,圆C的标准方程为x2+(y−2)2=(2)【答案】[34, 7 8]【考点】两角和与差的三角函数三角函数的周期性及其求法【解析】由已知化简函数解析式可得f(x)=√2sin(ωx−π4)(ω>23),利用正弦函数的对称性可得23<ω≤1,令ωx−π4=kπ+π2,k∈Z,可得数f(x)图象的对称轴为:x=kπ+3π4ω,k∈Z,由kπ+3π4ω≤π,或kπ+3π4ω≥2π,k∈Z,解得:ω≥k+34,或ω≤k2+38,k∈Z,分类讨论即可得解ω的取值范围.【解答】f(x)=sinωx−cosωx=√2sin(ωx−π4)(ω>23, x∈R),若f(x)的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π, 2π),则T2=πω≥2π−π=π,ω≤1,即23<ω≤1,①∵令ωx−π4=kπ+π2,k∈Z,可得数f(x)图象的对称轴为:x=kπ+3π4ω,k∈Z,∴kπ+3π4ω≤π,或kπ+3π4ω≥2π,k∈Z,∴ 解得:ω≥k +34,k ∈Z ,②或ω≤k2+38,k ∈Z ,③∴ 当k =0时,ω≥34,或ω≤38, 当k =1时,ω≥74(舍去),或ω≤78, 综上,可得ω的取值范围是:[34,78]. 三、解答题:本大题共5小题,共70分. 【答案】(Ⅰ)a 1=S 1=(4)当n ≥2时,a n =S n −S n−1=3n 2+5n2−3(n−1)2+5(n−1)2.又a 1=4符合n ≥2时a n 的形式,所以{a n }的通项公式为a n =3n +(1) (Ⅱ)由(Ⅰ)知b n =3(3n+1)(3n+4)=13n+1−13n+4. 数列{b n }的前n 项和为b 1+b 2+⋯+b n =(14−17)+(17−110)+⋯+(13n −2−13n +1)+(13n +1−13n +4)=14−13n+4.【考点】数列的求和 【解析】(Ⅰ)求出a 1=S 1=(4)通过当n ≥2时,a n =S n −S n−1,转化求解数列的通项公式即可. (Ⅱ)化简数列的通项公式,利用裂项相消法求解数列的和即可. 【解答】(Ⅰ)a 1=S 1=(4)当n ≥2时,a n =S n −S n−1=3n 2+5n2−3(n−1)2+5(n−1)2.又a 1=4符合n ≥2时a n 的形式,所以{a n }的通项公式为a n =3n +(1) (Ⅱ)由(Ⅰ)知b n =3(3n+1)(3n+4)=13n+1−13n+4. 数列{b n }的前n 项和为b 1+b 2+⋯+b n =(14−17)+(17−110)+⋯+(13n −2−13n +1)+(13n +1−13n +4)=14−13n+4.【答案】(Ⅰ)证明:由底面ABCD 为矩形,得BC ⊥AB .又平面SAB ⊥平面ABCD ,平面SAB ∩平面ABCD =AB ,BC ⊂平面ABCD , 所以BC ⊥平面SAB .所以BC ⊥SA . 同理可得CD ⊥SA .又BC ∩CD =C ,BC ⊂平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以SA ⊥平面ABCD .(Ⅱ)设SA =6a ,则AB =2a ,AD =3a . V E−BCD =13×S △BCD ×ℎ=13×(12×BC ×CD)×(12SA) =13×(12×2a ×3a)×(3a)=3a 3. 又V E−BCD =89,所以3a 3=89.解得a =23.四棱锥S −ABCD 的外接球是以AB 、AD 、AS 为棱的长方体的外接球,设半径为R . 则2R =√AB 2+AD 2+AS 2=7a =143,即R =73. 所以,四棱锥S −ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=196π9.【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 球的体积和表面积 直线与平面垂直 【解析】(Ⅰ)证明BC ⊥AB .BC ⊥SA .CD ⊥SA ,即可证明SA ⊥平面ABCD .(Ⅱ)设SA =6a ,则AB =2a ,AD =3a .通过几何体的体积求解a ,设半径为R .然后求解R ,然后求解球的表面积. 【解答】(Ⅰ)证明:由底面ABCD 为矩形,得BC ⊥AB .又平面SAB ⊥平面ABCD ,平面SAB ∩平面ABCD =AB ,BC ⊂平面ABCD , 所以BC ⊥平面SAB .所以BC ⊥SA . 同理可得CD ⊥SA .又BC ∩CD =C ,BC ⊂平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以SA ⊥平面ABCD .(Ⅱ)设SA =6a ,则AB =2a ,AD =3a . V E−BCD =13×S △BCD ×ℎ =13×(12×BC ×CD)×(12SA) =13×(12×2a ×3a)×(3a)=3a 3. 又V E−BCD =89,所以3a 3=89.解得a =23.四棱锥S −ABCD 的外接球是以AB 、AD 、AS 为棱的长方体的外接球,设半径为R . 则2R =√AB 2+AD 2+AS 2=7a =143,即R =73. 所以,四棱锥S −ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=196π9.【答案】(1)由样本估计总体的思想,甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数:m=20+0.5−(0.1+0.2)0.3×10≈26.67;(2)X<X,S2>S2,X=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.2+45×0.15+55×0.05=27.5,S2=140×[(5−27.5)2×(40×0.1)+(15−27.5)2×(40×0.2)+(25−27.5)2×(40×0.3)+(35−27.5)2×(40×0.2)+(45−27.5)2×(40×0.15)+(55−27.5)2×(40×0.05)]=178.(75)(Ⅲ)甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×(0.005×10)=2人,记为A1,A2,乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×(0.015×10)=6人,记为B1,B2,B3,B4,B5,B6.随机选出2人有以下28种可能:(A1, A2),(A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A1, B4),(A1, B5),(A1, B6),(A2, B1),(A2, B2),(A2, B3),(A2, B4),(A2, B5),(A2, B6),(B1, B2),(B1, B3),(B1, B4),(B1, B5),(B1, B6),(B2, B3),(B2, B4),(B2, B5),(B2, B6),(B3, B4),(B3, B5),(B3, B6),(B4, B5),(B4, B6),(B5, B6),甲、乙两所高中各有1人,有以下12种可能:(A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A1, B4),(A1, B5),(A1, B6),(A2, B1),(A2, B2),(A2, B3),(A2, B4),(A2, B5),(A2, B6).所以,从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人,选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率为p=1228=37.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率众数、中位数、平均数【解析】(Ⅰ)由样本估计总体的思想,能求出甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数.(Ⅱ)利用频率分布直方图能判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X与X及方差S2与S2的大小关系,并能计算其中的X、S2.(Ⅲ)甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×(0.005×10)=2人,记为A 1,A 2,乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×(0.015×10)=6人,记为B 1,B 2,B 3,B 4,B 5,B 6.利用列举法能求出从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人,选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率. 【解答】(1)由样本估计总体的思想,甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数: m =20+0.5−(0.1+0.2)0.3×10≈26.67;(2)X <X ,S 2>S 2,X =5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.2+45×0.15+55×0.05=27.5, S 2=140×[(5−27.5)2×(40×0.1)+(15−27.5)2×(40×0.2)+(25−27.5)2×(40×0.3)+(35−27.5)2×(40×0.2)+(45−27.5)2×(40×0.15)+(55−27.5)2×(40×0.05)]=178.(75)(Ⅲ)甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×(0.005×10)=2人,记为A 1,A 2,乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40×(0.015×10)=6人,记为B 1,B 2,B 3,B 4,B 5,B 6.随机选出2人有以下28种可能:(A 1, A 2),(A 1, B 1),(A 1, B 2),(A 1, B 3),(A 1, B 4),(A 1, B 5),(A 1, B 6), (A 2, B 1),(A 2, B 2),(A 2, B 3),(A 2, B 4),(A 2, B 5),(A 2, B 6),(B 1, B 2), (B 1, B 3),(B 1, B 4),(B 1, B 5),(B 1, B 6),(B 2, B 3),(B 2, B 4),(B 2, B 5), (B 2, B 6),(B 3, B 4),(B 3, B 5),(B 3, B 6),(B 4, B 5),(B 4, B 6),(B 5, B 6), 甲、乙两所高中各有1人,有以下12种可能:(A 1, B 1),(A 1, B 2),(A 1, B 3),(A 1, B 4),(A 1, B 5),(A 1, B 6), (A 2, B 1),(A 2, B 2),(A 2, B 3),(A 2, B 4),(A 2, B 5),(A 2, B 6).所以,从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人, 选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率为p =1228=37. 【答案】(1)由题意,得2pm =1,即m =12p . 由抛物线的定义,得|PF|=m −(−p2)=12p +p2. 由题意,12p +p2=54.解得p =12,或p =2(舍去).所以C 的方程为y 2=x .(2)证法一:设直线PA 的斜率为k (显然k ≠0),则直线PA 的方程为y −1=k(x −1),则y =kx +1−k . 由{y =kx +1−ky 2=x 消去y 并整理得k 2x 2+[2k(1−k)−1]x +(1−k)2=(0) 设A(x 1, y 1),由韦达定理,得1×x 1=(1−k)2k 2,即x 1=(1−k)2k 2.y 1=kx 1+1−k =k ⋅(1−k)2k 2+1−k =−1+1k .所以A((1−k)2k 2,−1+1k ).由题意,直线PB 的斜率为1k . 同理可得B((1−1k )2(1k)2,−1+11k),即B ((k 2−1)2,k −1).若直线l 的斜率不存在,则(1−k)2k 2=(k −1)2.解得k =1,或k =−(1)当k =1时,直线PA 与直线PB 的斜率均为1,A ,B 两点重合,与题意不符;当k =−1时,直线PA 与直线PB 的斜率均为−1,A ,B 两点重合,与题意不符. 所以,直线l 的斜率必存在.直线l 的方程为y −(k −1)=k (k−1)2[x −(k −1)2],即y =k(k−1)2x −1. 所以直线l 过定点(0, −1). 证法二:由(1),得P(1, 1).若l 的斜率不存在,则l 与x 轴垂直.设A(x 1, y 1),则B(x 1, −y 1),y 12=x 1. 则k PA k PB =y 1−1x 1−1⋅−y 1−1x 1−1=1−y 12(x1−1)2=1−x 1(x1−1)2=11−x 1.(x 1−1≠0,否则,x 1=1,则A(1, 1),或B(1, 1),直线l 过点P ,与题设条件矛盾) 由题意,11−x 1=1,所以x 1=(0)这时A ,B 两点重合,与题意不符.所以l 的斜率必存在.设l 的斜率为k ,显然k ≠0,设l:y =kx +t , 由直线l 不过点P(1, 1),所以k +t ≠(1)由{y 2=xy =kx +t 消去y 并整理得k 2x 2+(2kt −1)x +t 2=(0) 由判别式△=1−4kt >0,得kt <14. 设A(x 1, y 1),B(x 2, y 2),则x 1+x 2=1−2kt k ①,x 1x 2=t 2k 2②,则k PA k PB =y 1−1x 1−1⋅y 2−1x 2−1=kx 1+t−1x 1−1⋅kx 2+t−1x 2−1=k 2x 1x 2+k(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2x 1x 2−(x 1+x 2)+1.由题意,k 2x 1x 2+k(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=1.故(k 2−1)x 1x 2+(kt −k +1)(x 1+x 2)+t 2−2t =0③ 将①②代入③式并化简整理得1−t 2−kt−kk 2=0,即1−t 2−kt −k =(0)即(1+t)(1−t)−k(t +1)=0,即(1+t)(1−t −k)=(0) 又k +t ≠1,即1−t −k ≠0,所以1+t =0,即t =−(1) 所以l:y =kx −(1)显然l 过定点(0, −1). 证法三:由(1),得P(1, 1).设l:x =ny +t ,由直线l 不过点P(1, 1),所以n +t ≠(1) 由{y 2=xx =ny +t消去x 并整理得y 2−ny −t =(0) 由题意,判别式△=n 2+4t >(0)设A(x 1, y 1),B(x 2, y 2),则y 1+y 2=n ①,y 1y 2=−t ②则k PA k PB =y 1−1x 1−1⋅y 2−1x 2−1=y 1−1y 1−1⋅y 2−1y 2−1=1y1y 2+(y 1+y 2)+1.由题意,y 1y 2+(y 1+y 2)+1=1,即y 1y 2+(y 1+y 2)=0③ 将①②代入③式得−t +n =0,即t =n . 所以l:x =n(y +1).显然l 过定点(0, −1). 【考点】圆锥曲线的综合问题 直线与抛物线的位置关系 【解析】(Ⅰ)通过点在抛物线上,以及抛物线的定义,列出方程求解可得C 的方程; (Ⅱ)证法一:设直线PA 的斜率为k (显然k ≠0),则直线PA 的方程为y −1=k(x −1),联立直线与抛物线方程,设A(x 1, y 1),由韦达定理,求出A 的坐标,直线PB 的斜率为1k.得到B 的坐标,通过直线的向量是否垂直,求出直线l 的方程,然后求解定点坐标.证法二:由(1),得P(1, 1).若l 的斜率不存在,则l 与x 轴垂直.设A(x 1, y 1),则B(x 1, −y 1),y 12=x 1.推出l 的斜率必存在.设l 的斜率为k ,显然k ≠0,设l:y =kx +t ,利用直线方程与抛物线方程联立,设A(x 1, y 1),B(x 2, y 2),利用韦达定理,转化求解直线l:y =kx −(1)即可说明l 过定点(0, −1). 证法三:由(1),得P(1, 1).设l:x =ny +t ,由直线l 不过点P(1, 1),所以n +t ≠(1)由{y 2=x x =ny +t 消去x 并整理得y 2−ny −t =(0)判别式△=n 2+4t >(0)设A(x 1, y 1),B(x 2, y 2),则y 1+y 2=n ①,y 1y 2=−t ②,转化求解l:x =n(y +1).说明l 过定点(0, −1). 【解答】(1)由题意,得2pm =1,即m =12p . 由抛物线的定义,得|PF|=m −(−p2)=12p +p2. 由题意,12p +p2=54.解得p =12,或p =2(舍去).所以C 的方程为y 2=x .(2)证法一:设直线PA 的斜率为k (显然k ≠0),则直线PA 的方程为y −1=k(x −1),则y =kx +1−k . 由{y =kx +1−ky 2=x 消去y 并整理得k 2x 2+[2k(1−k)−1]x +(1−k)2=(0) 设A(x 1, y 1),由韦达定理,得1×x 1=(1−k)2k 2,即x 1=(1−k)2k 2.y 1=kx 1+1−k =k ⋅(1−k)2k 2+1−k =−1+1k .所以A((1−k)2k 2,−1+1k ).由题意,直线PB 的斜率为1k . 同理可得B((1−1k )2(1k)2,−1+11k),即B ((k 2−1)2,k −1).若直线l 的斜率不存在,则(1−k)2k 2=(k −1)2.解得k =1,或k =−(1)当k =1时,直线PA 与直线PB 的斜率均为1,A ,B 两点重合,与题意不符;当k =−1时,直线PA 与直线PB 的斜率均为−1,A ,B 两点重合,与题意不符.所以,直线l 的斜率必存在.直线l 的方程为y −(k −1)=k (k−1)2[x −(k −1)2],即y =k(k−1)2x −1. 所以直线l 过定点(0, −1). 证法二:由(1),得P(1, 1).若l 的斜率不存在,则l 与x 轴垂直.设A(x 1, y 1),则B(x 1, −y 1),y 12=x 1. 则k PA k PB =y 1−1x1−1⋅−y 1−1x 1−1=1−y 12(x1−1)2=1−x 1(x1−1)2=11−x 1. (x 1−1≠0,否则,x 1=1,则A(1, 1),或B(1, 1),直线l 过点P ,与题设条件矛盾) 由题意,11−x 1=1,所以x 1=(0)这时A ,B 两点重合,与题意不符.所以l 的斜率必存在.设l 的斜率为k ,显然k ≠0,设l:y =kx +t , 由直线l 不过点P(1, 1),所以k +t ≠(1)由{y 2=xy =kx +t 消去y 并整理得k 2x 2+(2kt −1)x +t 2=(0) 由判别式△=1−4kt >0,得kt <14. 设A(x 1, y 1),B(x 2, y 2),则x 1+x 2=1−2kt k 2①,x 1x 2=t 2k ②,则k PA k PB =y 1−1x 1−1⋅y 2−1x 2−1=kx 1+t−1x 1−1⋅kx 2+t−1x 2−1=k 2x 1x 2+k(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2x 1x 2−(x 1+x 2)+1.由题意,k 2x 1x 2+k(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=1.故(k 2−1)x 1x 2+(kt −k +1)(x 1+x 2)+t 2−2t =0③ 将①②代入③式并化简整理得1−t 2−kt−kk 2=0,即1−t 2−kt −k =(0)即(1+t)(1−t)−k(t +1)=0,即(1+t)(1−t −k)=(0) 又k +t ≠1,即1−t −k ≠0,所以1+t =0,即t =−(1) 所以l:y =kx −(1)显然l 过定点(0, −1). 证法三:由(1),得P(1, 1).设l:x =ny +t ,由直线l 不过点P(1, 1),所以n +t ≠(1) 由{y 2=xx =ny +t消去x 并整理得y 2−ny −t =(0) 由题意,判别式△=n 2+4t >(0)设A(x 1, y 1),B(x 2, y 2),则y 1+y 2=n ①,y 1y 2=−t ②则k PA k PB =y 1−1x 1−1⋅y 2−1x 2−1=y 1−1y 12−1⋅y 2−1y 22−1=1y1y 2+(y 1+y 2)+1.由题意,y 1y 2+(y 1+y 2)+1=1,即y 1y 2+(y 1+y 2)=0③ 将①②代入③式得−t +n =0,即t =n . 所以l:x =n(y +1).显然l 过定点(0, −1). 【答案】(1)函数f(x)的定义域为(0, +∞).f(1)=(0) 由题意,函数f(x)有唯一零点1.f ′(x)=2x −ax . (1)若a ≤0,则−a ≥(0)显然f ′(x)>0恒成立,所以f(x)在(0, +∞)上是增函数. 又f(1)=0,所以a ≤0符合题意. (2)若a >0,f ′(x)=2x 2−a x.f ′(x)>0⇔x >√a 2;f ′(x)<0⇔0<x <√a2.所以f(x)在(0,√a 2)上是减函数,在(√a 2,+∞)上是增函数. 所以f(x)min =f(√a2)=a2−1−a2ln a2.由题意,必有f(√a2)≤0(若f(√a2)>0,则f(x)>0恒成立,f(x)无零点,不符合题意)①若f(√a2)<0,则a 2−1−a 2ln a2<0.令g(a)=a 2−1−a 2ln a 2(a >0),则g ′(a)=12−12ln a2−a2×1a 2×12=−12ln a2. g ′(a)>0⇔0<a <2;g ′(a)<0⇔a >(2)所以函数g(a)在(0, 2)上是增函数,在(2, +∞)上是减函数.所以g(a)max =g(2)=(0)所以g(a)≤0,当且仅当a =2时取等号. 所以,f(√a2)<0⇔a >0,且a ≠(2)取正数b <min{√a2,e−1a},则f(b)=b 2−1−alnb >−1−alnb >−1−a ×(−1a )=0;取正数c >a +1,显然c >2√a >√a 2.而f(c)=c 2−1−alnx , 令ℎ(x)=lnx −x ,则ℎ(x)=1x −1.当x >1时,显然ℎ(x)=1x −1<0.所以ℎ(x)在[1, +∞)上是减函数.所以,当x >1时,ℎ(x)=lnx −x <ℎ(1)=−1<0,所以lnx <x .因为c >1,所以f(c)=c 2−1−alnc >c 2−1−ac =c(c −a)−1>c ×1−1>(0) 又f(x)在(0,√a2)上是减函数,在(√a2,+∞)上是增函数,则由零点存在性定理,f(x)在(0,√a2)、(√a2,+∞)上各有一个零点.可见,0<a <2,或a >2不符合题意.注:a >0时,若利用lim x→0+0f(x)=+∞,f(√a 2)<0,lim x→+∞f(x)=+∞, 说明f(x)在(0,√a 2)、(√a2,+∞)上各有一个零点.②若f(√a 2)=0,显然√a2=1,即a =(2)符合题意.综上,实数a 的取值范围为{a|a ≤0, 或a =2}.(2)由题意,f ′(1)=2−a =a 2−a −(7)所以a 2=9,即a =±(3)由(Ⅰ)的结论,得a =−(3)f(x)=x 2−1+31nx ,f(x)在(0, +∞)上是增函数. f(x)<0⇔0<x <1;f(x)>0⇔x >(1)由|f(x 1)|=|f(x 2)|,不妨设x 1<x 2,则0<x 1<1<x 2.从而有−f(x 1)=f(x 2),即−(x 12−1+31nx 1)=x 22−1+31nx 2. 所以x 12+x 22+31nx 1x 2−2=0>2x 1x 2+31nx 1x 2−(2)令p(t)=2t+31nt−2,显然p(t)在(0, +∞)上是增函数,且p(1)=(0)所以p(t)<0⇔0<t<(1)从而由2x1x2+31nx1x2−2<0,得x1x2<(1)【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,结合单调性求出f(x)的最小值,从而确定a的范围;(Ⅱ)求出a的值,不妨设x1<x2,则0<x1<1<x2,得到−(x12−1+31nx1)=x22−1+31nx2,令p(t)=2t+31nt−2,根据函数的单调性证明即可.【解答】(1)函数f(x)的定义域为(0, +∞).f(1)=(0)由题意,函数f(x)有唯一零点1.f′(x)=2x−ax.(1)若a≤0,则−a≥(0)显然f′(x)>0恒成立,所以f(x)在(0, +∞)上是增函数.又f(1)=0,所以a≤0符合题意.(2)若a>0,f′(x)=2x2−ax .f′(x)>0⇔x>√a2;f′(x)<0⇔0<x<√a2.所以f(x)在(0,√a2)上是减函数,在(√a2,+∞)上是增函数.所以f(x)min=f(√a2)=a2−1−a2ln a2.由题意,必有f(√a2)≤0(若f(√a2)>0,则f(x)>0恒成立,f(x)无零点,不符合题意)①若f(√a2)<0,则a2−1−a2ln a2<0.令g(a)=a2−1−a2ln a2(a>0),则g′(a)=12−12ln a2−a2×1a2×12=−12ln a2.g′(a)>0⇔0<a<2;g′(a)<0⇔a>(2)所以函数g(a)在(0, 2)上是增函数,在(2, +∞)上是减函数.所以g(a)max=g(2)=(0)所以g(a)≤0,当且仅当a=2时取等号.所以,f(√a2)<0⇔a>0,且a≠(2)取正数b<min{√a2,e−1a},则f(b)=b2−1−alnb>−1−alnb>−1−a×(−1a)=0;取正数c>a+1,显然c>2√a>√a2.而f(c)=c2−1−alnx,令ℎ(x)=lnx−x,则ℎ(x)=1x −1.当x>1时,显然ℎ(x)=1x−1<0.所以ℎ(x)在[1, +∞)上是减函数.所以,当x>1时,ℎ(x)=lnx−x<ℎ(1)=−1<0,所以lnx<x.因为c>1,所以f(c)=c2−1−alnc>c2−1−ac=c(c−a)−1>c×1−1>(0)又f(x)在(0,√a2)上是减函数,在(√a2,+∞)上是增函数,则由零点存在性定理,f(x)在(0,√a2)、(√a2,+∞)上各有一个零点.可见,0<a <2,或a >2不符合题意.注:a >0时,若利用lim x→0+0f(x)=+∞,f(√a 2)<0,lim x→+∞f(x)=+∞, 说明f(x)在(0,√a 2)、(√a2,+∞)上各有一个零点.②若f(√a 2)=0,显然√a2=1,即a =(2)符合题意.综上,实数a 的取值范围为{a|a ≤0, 或a =2}.(2)由题意,f ′(1)=2−a =a 2−a −(7)所以a 2=9,即a =±(3)由(Ⅰ)的结论,得a =−(3)f(x)=x 2−1+31nx ,f(x)在(0, +∞)上是增函数. f(x)<0⇔0<x <1;f(x)>0⇔x >(1)由|f(x 1)|=|f(x 2)|,不妨设x 1<x 2,则0<x 1<1<x 2.从而有−f(x 1)=f(x 2),即−(x 12−1+31nx 1)=x 22−1+31nx 2. 所以x 12+x 22+31nx 1x 2−2=0>2x 1x 2+31nx 1x 2−(2)令p(t)=2t +31nt −2,显然p(t)在(0, +∞)上是增函数,且p(1)=(0) 所以p(t)<0⇔0<t <(1)从而由2x 1x 2+31nx 1x 2−2<0,得x 1x 2<(1)请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程] 【答案】选修4−4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)曲线C 的普通方程为x 29+y 24=1.当a =1时,直线l 的普通方程为y =2x . 由{y =2x x 29+y 24=1 .解得{x =√10y =√10或{x =√10y =√10, 直线l 被曲线C 截得的线段的长度为√(2×√10)2+(2√10)2=3√2.(Ⅱ)解法一:a =11时,直线l 的普通方程为2x −y −10=(0)由点到直线的距离公式,椭圆{x =3cosθy =2sinθ 上的点M(3cosθ, 2sinθ)到直线l:2x −y −10=0的距离为: d =√5=|2√10(√10cosθ−√10√5=√10cos(θ+θ0√5,其中θ0满足cosθ0=√10,sinθ0=√10.由三角函数性质知,当θ+θ0=0时,d 取最小值2√5−2√2. 此时,3cosθ=3cos(−θ0)=9√1010,2sinθ=2sin(−θ0)=−√105.因此,当点M 位于(9√1010,−√105)时,点M 到l 的距离取最小值2√5−2√2.解法二:当a =11时,直线l 的普通方程为2x −y −10=(0) 设与l 平行,且与椭圆x 29+y 24=1相切的直线m 的方程为2x −y +t =(0)由{2x −y +t =0x 29+y 24=1消去y 并整理得40x 2+36tx +9t 2−36=(0) 由判别式△=(36t)2−4×40×(9t 2−36)=0,解得t =±2√10. 所以,直线m 的方程为2x −y +2√10=0,或2x −y −2√10=0.要使两平行直线l 与m 间的距离最小,则直线m 的方程为2x −y −2√10=0. 这时,l 与m 间的距离d =√105=2√5−2√2.此时点M 的坐标为方程组{2x −y −2√10=0x 29+y 24=1 的解{x =9√1010y =−√105. 因此,当点M 位于(9√1010,−√105)时,点M 到直线l 的距离取最小值2√5−2√2.【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)曲线C 的参数方程消去参数求出曲线C 的普通方程,当a =1时,直线l 的普通方程为y =2x .由{y =2xx 29+y 24=1,能求出直线l 被曲线C 截得的线段的长度. (Ⅱ)法一:a =11时,直线l 的普通方程为2x −y −10=(0)由点到直线的距离公式,求出椭圆{x =3cosθy =2sinθ上的点M(3cosθ, 2sinθ)到直线l:2x −y −10=0的距离为√10cos(θ+θ0√5,由此能求出点M 到l 的距离的最小值.法二:当a =11时,直线l 的普通方程为2x −y −10=(0)设与l 平行,且与椭圆x 29+y 24=1相切的直线m 的方程为2x −y +t =(0)由{2x −y +t =0x 29+y 24=1,得40x 2+36tx +9t 2−36=0,要使两平行直线l 与m 间的距离最小,直线m 的方程为2x −y −2√10=0.l 与m 间的距离d =2√5−2√2.点M 的坐标为方程组{2x −y −2√10=0x 29+y 24=1的解{x =9√1010y =−√105.由此能求出点M 到直线l 的距离取最小值.【解答】选修4−4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)曲线C 的普通方程为x 29+y 24=1.当a =1时,直线l 的普通方程为y =2x . 由{y =2x x 29+y 24=1 .解得{x =√10y =10或{x =√10y =10, 直线l 被曲线C 截得的线段的长度为√(2×√10)2+(2√10)2=3√2.(Ⅱ)解法一:a =11时,直线l 的普通方程为2x −y −10=(0)由点到直线的距离公式,椭圆{x =3cosθy =2sinθ 上的点M(3cosθ, 2sinθ)到直线l:2x −y −10=0的距离为: d =5=|2√10(√10cosθ−√105=√10cos(θ+θ05,其中θ0满足cosθ0=√10,sinθ0=√10.由三角函数性质知,当θ+θ0=0时,d 取最小值2√5−2√2. 此时,3cosθ=3cos(−θ0)=9√1010,2sinθ=2sin(−θ0)=−√105.因此,当点M 位于(9√1010,−√105)时,点M 到l 的距离取最小值2√5−2√2.解法二:当a =11时,直线l 的普通方程为2x −y −10=(0) 设与l 平行,且与椭圆x 29+y 24=1相切的直线m 的方程为2x −y +t =(0)由{2x −y +t =0x 29+y 24=1消去y 并整理得40x 2+36tx +9t 2−36=(0) 由判别式△=(36t)2−4×40×(9t 2−36)=0,解得t =±2√10. 所以,直线m 的方程为2x −y +2√10=0,或2x −y −2√10=0.要使两平行直线l 与m 间的距离最小,则直线m 的方程为2x −y −2√10=0. 这时,l 与m 间的距离d =√10√5=2√5−2√2.此时点M 的坐标为方程组{2x −y −2√10=0x 29+y 24=1 的解{x =9√1010y =−√105. 因此,当点M 位于(9√1010,−√105)时,点M 到直线l 的距离取最小值2√5−2√2.[选修4-5:不等式选讲]【答案】选修4−5:不等式选讲(1)当a =4时,f(x)=|3x −4|. 由|3x −4|<3,解得13<x <73.所以,不等式f(x)<3的解集为{x|13<x <73}.(2)f(x)+g(x)=|3x −a|+|x +1|=|3(x −a3)|+|x +1|=2|x −a3|+|x −a3|+|x +1|≥|x −a3|+|x +1|(当且仅当x =a3时取等号)≥|(x −a3)−(x +1)|(当且仅当(x −a3)(x +1)≤0时取等号)=|a3+1|. 综上,当x =a3时,f(x)+g(x)有最小值|a3+1|. 故由题意得|a 3+1|>1,解得a <−6,或a >(0)所以,实数a的取值范围为(−∞, −6)∪(0, +∞).【考点】绝对值不等式的解法与证明函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)当a=4时,不等式化简为:|3x−4|<3,然后求解即可.(Ⅱ)利用绝对值的几何意义求出f(x)+g(x)有最小值|a3+1|.然后化简求解即可.【解答】选修4−5:不等式选讲(1)当a=4时,f(x)=|3x−4|.由|3x−4|<3,解得13<x<73.所以,不等式f(x)<3的解集为{x|13<x<73}.(2)f(x)+g(x)=|3x−a|+|x+1|=|3(x−a3)|+|x+1|=2|x−a3|+|x−a3|+|x+1|≥|x−a3|+|x+1|(当且仅当x=a3时取等号)≥|(x−a3)−(x+1)|(当且仅当(x−a3)(x+1)≤0时取等号)=|a3+1|.综上,当x=a3时,f(x)+g(x)有最小值|a3+1|.故由题意得|a3+1|>1,解得a<−6,或a>(0)所以,实数a的取值范围为(−∞, −6)∪(0, +∞).。

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2016届高三第一学期期末质量检测高三数学(文科) 第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}22,0,2,|20A B x x x =-=--≤,则AB =( )A .{}0B .{}2C .{}2,0-D .{}02, 2.直线30x -=的倾斜角的大小是( ) A .6π B .23π C .3π D .56π4.已知实数,x y 满足120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩,则x y +的最小值为( )A .2B .3C .4D .55.设0.3.0.33log 2,log 2,2a b c ===,则这三个数的大小关系是( ) A .c b a >> B .a c b >> C .a b c >> D .b c a >>6.已知命题():1,1p x ∀∈+∞>;命题()q :0,1a ∀∈,函数xy a =在(),-∞+∞上为减函数,则下列命题为真命题的是( )A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝7.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,()CO AB AD λ=+,则实数λ=( )A .12-B .12C .-2D .2 8.若函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位,得到的函数图象的对称中心与()f x 图象的对称中心重合,则ω的最小值是( ) A .1 B .2 C .4 D .89.函数()|lg |cos f x x x =-的零点的个数为( ) A .3 B .4 C .5 D .610.已知圆C :221x y +=,点P 在直线:2l y x =+上,若圆C 上存在两点A ,B 使得3PA PB =,则点P 的横坐标的取值范围为( )A .112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .122,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .[]10,-D .[]20,- 第Ⅱ卷(共100分)二、填空题(每题5分,满分25分,将答案填在答题纸上)11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当[)0,1x ∈时,()f x x =,则12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭= . 12.抛物线24y x =上的点(1,2)到其焦点的距离为 . 13.观察下列等式:11234934567254567891049++=++=++=++++++=……照此规律,第n 个等式为 .14.某几何体的三视图如图所示,其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 .15.已知直线()y k x m =-与抛物线()220y px p =>交于A 、B 两点,O 为坐标原点,OA⊥OB,OD⊥AB 于D ,点D 在曲线2240x y x +-=上,则p = .三、解答题 (本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分12分) 已知直线4x π=与直线54x π=是函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的图象的两条相邻的对称轴. (1)求,ωϕ的值; (2)若3,44ππα⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,()45f α=-,求sin α的值.17. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,公比0q >,113322,,S a S a S a +++成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设2221log log n n n b a a +=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .18. (本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程2220x ax b -+=.(1)若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为a 和b ,求上述方程有实根的概率; (2)若从区间中随机取两个数a 和b ,求上述方程有实根且2236a b +≤的概率. 19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,DP=DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 于点F. (1)求证:PA//平面EDB ; (2)求证:PB ⊥平面EFD.20. (本小题满分13分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点与它的左、右两个焦点12,F F 的距离之和为且它的离心率与双曲线222x y -=的离心率互为倒数. (1)求椭圆的方程;(2)如图,点A 为椭圆上一动点(非长轴端点),1AF 的延长线与椭圆交于B 点,AO 的延长线与椭圆交于C 点.(i)当直线AB 的斜率存在时,求证:直线AB 与BC 的斜率之积为定值; (ii)求△ABC 面积的最大值,并求此时直线AB 的方程.21. (本小题满分14分)已知函数()()ln 1,f x x x a x a R =--∈.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; (2)当0a >时,求证:()f x 在(0,a )上为减函数; (3)若当1x ≥时,()1f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.二○一六届高三第一学期期末质量检测高三数学(文科)参考答案及评分标准 2016.1一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.DDCA AAAC BD二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.12- 12.2 13.2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-14.8π315.2 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解:(1)因为直线π4x =、5π4x =是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴, 所以,函数()f x 的最小正周期5π2(4π)2π4T ⨯=-=.………………………………2分所以πππ,42k k ϕ+=+∈Z ,即ππ,4k k ϕ=+∈Z .………………………………………5分 又因为ππ22ϕ-<<,所以π.4ϕ=………………………………………………………6分 (2)由(1),得π()sin()4f x x =+.由题意,π4sin()45α+=-.………………………………7分由3ππ(,)44α∈--,得ππ(,0)42α+∈-.从而π3cos()45α+=.…………………………8分 ππππππsin sin[()]sin()cos cos()sin 444444αααα=+-=+-+…………………………10分4355=-=………………………………12分17.解:(1)因为113322,,S a S a S a +++成等差数列,所以33112233S a S a S a S a +--=+--.…………………………………………1分化简得314a a =.……………………………………………………………………3分 所以23114a q a ==. 因为0q >,所以12q =.………………………………………4分 故111111()().222n n n n a a q --==⨯=……………………………………………………6分(2) 2222221111.11log log ()[(2)](2)log ()log ()22n n n n n b a a n n n n ++====⋅--++⋅…………8分可见,111().22n b n n =-+……………………………………………………………10分121n n n T b b b b -=++++11111111111111[(1)()()()()()()]232435462112n n n n n n =-+-+-+-++-+-+---++ 1111(1)2212n n =+--++ 1311().2212n n =--++………………………………………………………………12分 18.解: (1)判别式22440a b ∆=-≥, a 和b 非负,∴a b ≥.当1,1a b ≥≥时,方程2220x ax b -+=有实根的充要条件是1a b ≥≥.……………2分 设事件A 为“方程2220x ax b -+=有实根”, 当1a =时,1b =; 当2a =时,1,2b =;,当6a =时,1,2,3,4,5,6b =. 所以适合1a b ≥≥的情况有123621++++=种.………………………5分所求概率为()2176612P A ==⨯.……………………………6分 (2) a 和b 满足的条件为2236,06,06,.a b a b a b ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≥……………8分其图形为阴影部分(如图),即以原点为圆心,6为半径,圆心角 为π4的扇形区域. ………………………………………………………………………10分 所求概率为21π6π24668P ⨯⨯==⨯.…………………………………………………12分19.证明:(1)连接AC ,设.ACBD G =因为ABCD 是正方形,所以G 是线段AC 的中点. 又E 是线段PC 的中点,所以EG 是△PAC 的中位线.…………………………2分 所以.PAEG …………………………………………3分又PA ⊄平面EDB ,EG ⊂平面EDB ,所以PA 平面EDB .…………4分注:条件PA ⊄平面EDB ,或EG ⊂平面EDB 中少写一个,扣1分.(2)因为PD ⊥底面ABCD ,所以.PD BC ⊥ 又BC DC ⊥,PDDC D =,所以BC ⊥平面.PDC …………………………6分 又DE ⊂平面PDC ,所以.DE BC ⊥…………7分 在△PDC 中,DP DC =,E 是PC 的中点, 所以.DE PC ⊥………………………………8分 又DE BC ⊥,PCBC C =,所以DE ⊥平面.PBC ………………………10分所以.DE PB ⊥……………………………………………………………………11分又EF PB ⊥,DEEF E =,所以PB ⊥平面EFD .………………………12分20.解:(1)设椭圆的半焦距为.c因为双曲线222x y -=,即c a =………………………………………………1分由题意,得2a =解得a =……………………………………………………2分 于是1c =, 222211b a c =-=-=.故椭圆的方程为2212x y +=.……………………3分(2)(i )设1122(,),(,)A x y B x y ,则2222112222,22x y x y =-=-. 由于点A 与点C 关于原点对称,所以11(,)C x y --.……………………………………4分 222222212121212122222221212121121.2(22)(22)2()AB BCy y y y y y y y y y k k x x x x x x y y y y -+---⋅=⋅====--+----- 故直线AB 与BC 的斜率之积为定值12-.…………………………………………6分(ii )设直线AB 的方程为1x ty =-.设1122(,),(,)A x y B x y由221,22x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并整理,得22(2)210.t y ty +--=………………………7分 因为直线AB 与椭圆交于,A B 两点,所以12122221,.22t y y y y t t -+==++…………8分法一:||AB =2t +………………………………9分点O到直线AB的距离为d=.………………………………………………10分因为O是线段AC的中点,所以点C到直线AB的距离为2.d1||22ABCS AB d=⋅=△.……………………………11分u,则1u≥.1ABCSu uu==++△,………………………………………………12分当且仅当1uu=,即1u=,亦即0t=时,ABC△此时直线AB的方程为1x=-.…………………………………………………………13分法二:由题意,ABCS=△2ABOS=△11212(||||)2OF y y⨯⨯⨯-12||y y=-……………9分==2t+11分以下过程同方法一.21.解:(1)对()f x 求导,得()ln 1f x x a '=+-.………………………………………1分 则(1)1f a '=-.又(1)0f =,所以,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y a x =--.…………3分 (2)因为()ln 1f x x a '=+-为增函数,所以当(0,)x a ∈时, ()()ln 1f x f a a a ''<=+-.………………………………4分 令()ln 1a a a ϕ=+-,求导得11()1aa a aϕ-'=-=.………………………………5分 当(0,1)a ∈时, ()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数;当(1,)a ∈+∞时, ()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数. 因此()(1)0a ϕϕ=…,即()0f a '…. …………………………………………………7分 所以,当(0,)x a ∈时, ()0f x '<.所以()f x 在(0,)a 上为减函数.…………………………………………………………8分 (3)解法1:()ln 1f x x a '=+-.①当1a …时,因为()ln 1f x x a '=+-为增函数,所以当1x …时, ln 1ln111x a a a +-+-=-…0?,因此()0f x '….当且仅当1a =且1x =时等号成立.所以()f x 在(1,)+∞上为增函数.因此当1x …时,()(1)0f x f =….…………………………………………………………11分 ② 当1a >时,由()ln 10f x x a '=+-=,得ln 1x a =-.解得1e a x -=. 当1(1,e )a x -∈时,()0f x '<,因此()f x 在1(1,e )a -上为减函数. 所以当1(1,e )a x -∈时,()(1)0f x f <=,不合题意.综上所述,实数a 的取值范围是(,1]-∞.……………………………………………14分解法2:()ln (1)0f x x x a x =--…⇔1ln (1)0x a x--….令1()ln (1)g x x a x =--,则221()a x ag x x x x-'=-=.①当1a …时,因为1x …,所以()0g x '….当且仅当1a =且1x =时等号成立. 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数.因此,当1x …时,()(1)0g x g =….此时()0f x ….………………………………11分 ② 当1a >时,当(1,)x a ∈时,()0g x '<,因此()g x 在(1,)a 上为减函数. 所以,当(1,)x a ∈时,()(1)0g x g <=,此时()0f x <,不合题意.综上所述,实数a 的取值范围是(,1]-∞.……………………………………………14分。

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